Transformacija potpune kvadratne jednadžbe u nepotpunu izgleda ovako (za slučaj \(b=0\)):

Za slučajeve kada je \(c=0\) ili kada su oba koeficijenta jednaka nuli, sve je slično.

Imajte na umu da \(a\) nije jednako nuli, ne može biti jednako nuli, jer se u ovom slučaju pretvara u:

Rješenje nepotpunih kvadratnih jednadžbi.

Prije svega, morate shvatiti da je nepotpuna kvadratna jednadžba i dalje, stoga se može riješiti na isti način kao i uobičajena kvadratna (kroz). Da bismo to učinili, jednostavno dodamo komponentu koja nedostaje jednadžbe s nultim koeficijentom.

Primjer : Pronađite korijene jednadžbe \(3x^2-27=0\)
Riješenje :

		Imamo nepotpunu kvadratnu jednadžbu s koeficijentom \(b=0\). Odnosno, jednadžbu možemo napisati u sljedećem obliku:
\(3x^2+0\cdot x-27=0\)		Zapravo, ovdje je ista jednadžba kao na početku, ali sada se može riješiti kao obični kvadrat. Prvo zapišemo koeficijente.
\(a=3;\) \(b=0;\) \(c=-27;\)		Izračunajte diskriminant pomoću formule \(D=b^2-4ac\)
\(D=0^2-4\cdot3\cdot(-27)=\) \(=0+324=324\)		Nađimo korijene jednadžbe pomoću formula \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) i \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\)
\(x_(1)=\) \(\frac(-0+\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(18)(6)\) \(=3\) \(x_(2)=\) \(\frac(-0-\sqrt(324))(2\cdot3)\)\(=\)\(\frac(-18)(6)\) \(=-3\)		Zapiši odgovor

Odgovor : \(x_(1)=3\); \(x_(2)=-3\)

Primjer : Pronađite korijene jednadžbe \(-x^2+x=0\)
Riješenje :

		Opet, nepotpuna kvadratna jednadžba, ali sada je koeficijent \(c\) jednak nuli. Jednadžbu pišemo kao potpunu.

Kvadratne jednadžbečesto se pojavljuju tijekom rješenja razne zadatke fizike i matematike. U ovom ćemo članku razmotriti kako te jednakosti riješiti na univerzalan način "preko diskriminante". U članku su također navedeni primjeri korištenja stečenog znanja.

O kojim jednadžbama govorimo?

Donja slika prikazuje formulu u kojoj je x nepoznata varijabla, a latinični znakovi a, b, c predstavljaju neke poznate brojeve.

Svaki od ovih simbola naziva se koeficijent. Kao što vidite, broj "a" je ispred kvadratirane varijable x. To je najveća snaga prikazanog izraza, zbog čega se zove kvadratna jednadžba. Često se koristi i drugi naziv: jednadžba drugog reda. Sama vrijednost a je kvadratni koeficijent (kvadriranje varijable), b je linearni koeficijent (nalazi se uz varijablu podignutu na prvu potenciju), i na kraju broj c je slobodni član.

Imajte na umu da je oblik jednadžbe prikazan na gornjoj slici opći klasični kvadratni izraz. Osim nje, postoje i druge jednadžbe drugog reda u kojima koeficijenti b, c mogu biti nula.

Kada je zadatak postavljen za rješavanje jednakosti koja se razmatra, to znači da se moraju pronaći takve vrijednosti varijable x koje bi je zadovoljile. Prvo što ovdje treba zapamtiti je sljedeće: budući da je najveća snaga x 2, ova vrsta izraza ne može imati više od 2 rješenja. To znači da ako su pri rješavanju jednadžbe pronađene 2 x vrijednosti koje ga zadovoljavaju, tada možete biti sigurni da ne postoji treći broj, zamijenivši ga umjesto x, jednakost bi također bila istinita. Rješenja jednadžbe u matematici nazivaju se njezini korijeni.

Metode rješavanja jednadžbi drugog reda

Rješavanje jednadžbi ovog tipa zahtijeva poznavanje neke teorije o njima. U školskom tečaju algebre razmatraju se 4 različite metode rješavanja. Nabrojimo ih:

• korištenje faktorizacije;
• korištenje formule za savršen kvadrat;
• primjena grafa odgovarajuće kvadratne funkcije;
• koristeći diskriminantnu jednadžbu.

Prednost prve metode je njezina jednostavnost, no ne može se primijeniti na sve jednadžbe. Druga metoda je univerzalna, ali pomalo glomazna. Treća metoda razlikuje se po svojoj jasnoći, ali nije uvijek prikladna i primjenjiva. I konačno, korištenje diskriminativne jednadžbe je univerzalan i prilično jednostavan način za pronalaženje korijena apsolutno bilo koje jednadžbe drugog reda. Stoga ćemo u članku razmotriti samo to.

Formula za dobivanje korijena jednadžbe

Okrenimo se općem obliku kvadratne jednadžbe. Zapišimo to: a*x²+ b*x + c =0. Prije korištenja metode rješavanja "preko diskriminante", jednakost uvijek treba svesti na pisani oblik. To jest, mora se sastojati od tri člana (ili manje ako je b ili c 0).

Na primjer, ako postoji izraz: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², onda prvo trebate prebaciti sve njegove članove na jednu stranu jednakosti i dodati članove koji sadrže varijablu x u istu ovlasti.

NA ovaj slučaj ova operacija će dovesti do sljedećeg izraza: -6*x²-4*x+8=0, što je ekvivalentno jednadžbi 6*x²+4*x-8=0 (ovdje smo pomnožili lijevi i desni dio jednadžba prema -1).

U gornjem primjeru, a = 6, b=4, c=-8. Imajte na umu da se svi članovi razmatrane jednakosti uvijek međusobno zbrajaju, stoga, ako se pojavi znak "-", to znači da je odgovarajući koeficijent negativan, kao u ovom slučaju broj c.

Nakon analize ove točke, sada se okrećemo samoj formuli, koja omogućuje dobivanje korijena kvadratne jednadžbe. Izgleda kao na slici ispod.

Kao što se može vidjeti iz ovog izraza, on vam omogućuje da dobijete dva korijena (trebate obratiti pozornost na znak "±"). Da biste to učinili, dovoljno je zamijeniti koeficijente b, c i a u njega.

Pojam diskriminante

U prethodnom odlomku dana je formula koja vam omogućuje brzo rješavanje bilo koje jednadžbe drugog reda. U njemu se radikalni izraz naziva diskriminantom, odnosno D \u003d b²-4 * a * c.

Zašto je ovaj dio formule izdvojen i ima li uopće svoj naziv? Činjenica je da diskriminant povezuje sva tri koeficijenta jednadžbe u jedan izraz. Posljednja činjenica znači da u potpunosti nosi informacije o korijenima, što se može izraziti sljedećim popisom:

1. D>0: jednakost ima 2 razna rješenja, a oba su realni brojevi.
2. D=0: Jednadžba ima samo jedan korijen i to je realan broj.

Zadatak određivanja diskriminante

Evo jednostavnog primjera kako pronaći diskriminant. Neka je dana sljedeća jednakost: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Dovedimo to u standardni oblik, dobivamo: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, iz čega dolazimo do jednakosti : -2*x² +2*x-11 = 0. Ovdje je a=-2, b=2, c=-11.

Sada možete koristiti imenovanu formulu za diskriminant: D \u003d 2² - 4 * (-2) * (-11) \u003d -84. Dobiveni broj je odgovor na zadatak. Budući da je diskriminant u primjeru manji od nule, možemo reći da ova kvadratna jednadžba nema pravih korijena. Njegovo rješenje bit će samo brojevi složenog tipa.

Primjer nejednakosti kroz diskriminantu

Riješimo probleme malo drugačijeg tipa: dana je jednakost -3*x²-6*x+c = 0. Potrebno je pronaći takve vrijednosti c za koje je D>0.

U ovom slučaju poznata su samo 2 od 3 koeficijenta, pa se neće moći izračunati točna vrijednost diskriminante, ali se zna da je pozitivna. Zadnju činjenicu koristimo pri sastavljanju nejednadžbe: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Rješenje dobivene nejednadžbe dovodi do rezultata: c>-3.

Provjerimo dobiveni broj. Da bismo to učinili, izračunavamo D za 2 slučaja: c=-2 i c=-4. Broj -2 zadovoljava rezultat (-2>-3), odgovarajuća diskriminanta će imati vrijednost: D = 12>0. Zauzvrat, broj -4 ne zadovoljava nejednakost (-4 Prema tome, svaki broj c koji je veći od -3 će zadovoljiti uvjet.

Primjer rješavanja jednadžbe

Ovdje je problem koji se sastoji ne samo u pronalaženju diskriminante, već iu rješavanju jednadžbe. Potrebno je pronaći korijene za jednakost -2*x²+7-9*x = 0.

U ovom primjeru, diskriminant je jednak sljedećoj vrijednosti: D = 81-4*(-2)*7= 137. Tada se korijeni jednadžbe određuju na sljedeći način: x = (9±√137)/(- 4). Ovo su točne vrijednosti korijena, ako otprilike izračunate korijen, tada ćete dobiti brojeve: x \u003d -5,176 i x \u003d 0,676.

geometrijski problem

Riješit ćemo problem koji će zahtijevati ne samo sposobnost izračunavanja diskriminante, već i korištenje vještina apstraktno mišljenje i znanje kako napisati kvadratne jednadžbe.

Bob je imao poplun veličine 5 x 4 metra. Dječak je želio sašiti neprekinutu traku prekrasne tkanine po cijelom obodu. Kolike će biti debela ta traka ako se zna da Bob ima 10 m² tkanine.

Neka traka ima debljinu od x m, tada će površina tkanine duž duge strane pokrivača biti (5 + 2 * x) * x, a budući da postoje 2 dugačke stranice, imamo: 2 * x * (5 + 2 * x). Na kraćoj strani, površina šivane tkanine bit će 4 * x, budući da postoje 2 ove strane, dobivamo vrijednost 8 * x. Imajte na umu da je 2*x dodan dužoj strani jer se duljina popluna povećala za taj broj. Ukupna površina tkanine zašivene na pokrivač je 10 m². Stoga dobivamo jednakost: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Za ovaj primjer, diskriminant je: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Njegov korijen je 22. Pomoću formule nalazimo željene korijene: x = (-18±22)/(2* 4) = (- 5; 0,5). Očito je da je od dva korijena samo broj 0,5 prikladan za uvjet zadatka.

Tako će traka tkanine koju Bob prišije na svoju deku biti široka 50 cm.

Formule za korijene kvadratne jednadžbe. Razmatraju se slučajevi pravih, višestrukih i kompleksnih korijena. Faktorizacija kvadratni trinom. Geometrijska interpretacija. Primjeri određivanja korijena i faktorizacije.

Osnovne formule

Razmotrimo kvadratnu jednadžbu:
(1) .
Korijeni kvadratne jednadžbe(1) određuju se formulama:
; .
Ove formule mogu se kombinirati ovako:
.
Kada su korijeni kvadratne jednadžbe poznati, tada se polinom drugog stupnja može prikazati kao umnožak faktora (faktoriziran):
.

Nadalje, pretpostavljamo da su to realni brojevi.
Smatrati diskriminanta kvadratne jednadžbe:
.
Ako je diskriminant pozitivan, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva različita realna korijena:
; .
Tada faktorizacija kvadratnog trinoma ima oblik:
.
Ako diskriminant nula, , tada kvadratna jednadžba (1) ima dva višestruka (jednaka) realna korijena:
.
Faktorizacija:
.
Ako je diskriminant negativan, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva kompleksna konjugirana korijena:
;
.
Ovdje je zamišljena jedinica, ;
i su stvarni i imaginarni dijelovi korijena:
; .
Zatim

.

Grafička interpretacija

Ako se gradi graf funkcije
,
koja je parabola, tada će točke presjeka grafa s osi biti korijeni jednadžbe
.
Kada je , graf siječe apscisnu os (os) u dvije točke.
Kada je , graf dodiruje x-os u jednoj točki.
Kada je , graf ne prelazi x-os.

Ispod su primjeri takvih grafikona.

Korisne formule povezane s kvadratnom jednadžbom

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Izvodimo transformacije i primjenjujemo formule (f.1) i (f.3):




,
gdje
; .

Dakle, dobili smo formulu za polinom drugog stupnja u obliku:
.
Iz ovoga se vidi da jednadžba

izvedeno na
i .
To jest, i su korijeni kvadratne jednadžbe
.

Primjeri određivanja korijena kvadratne jednadžbe

Primjer 1

(1.1) .

Riješenje

.
Uspoređujući s našom jednadžbom (1.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminante:
.
Budući da je diskriminant pozitivan, jednadžba ima dva realna korijena:
;
;
.

Odavde dobivamo rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore:

.

Graf funkcije y = 2 x 2 + 7 x + 3 siječe x-os u dvije točke.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Presijeca x-os (os) u dvije točke:
i .
Ove točke su korijeni izvorne jednadžbe (1.1).

Odgovor

;
;
.

Primjer 2

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(2.1) .

Riješenje

Zapisujemo kvadratnu jednadžbu u opći pogled:
.
Uspoređujući s izvornom jednadžbom (2.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminante:
.
Budući da je diskriminant nula, jednadžba ima dva višestruka (jednaka) korijena:
;
.

Tada faktorizacija trinoma ima oblik:
.

Graf funkcije y = x 2 - 4 x + 4 dodiruje x-os u jednoj točki.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Dotiče x-osu (os) u jednoj točki:
.
Ova točka je korijen izvorne jednadžbe (2.1). Budući da je ovaj korijen faktoriziran dva puta:
,
onda se takav korijen naziva višekratnik. Odnosno, oni smatraju da postoje dva jednaka korijena:
.

Odgovor

;
.

Primjer 3

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(3.1) .

Riješenje

Zapisujemo kvadratnu jednadžbu u općem obliku:
(1) .
Prepišimo izvornu jednadžbu (3.1):
.
Uspoređujući s (1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminante:
.
Diskriminanta je negativna, . Dakle, nema pravih korijena.

Možete pronaći složene korijene:
;
;
.

Zatim


.

Graf funkcije ne siječe x-os. Nema pravih korijena.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Ne siječe apscisu (os). Dakle, nema pravih korijena.

Odgovor

Nema pravih korijena. Složeni korijeni:
;
;
.

S ovim matematičkim programom možete riješiti kvadratnu jednadžbu.

Program ne samo da daje odgovor na problem, već također prikazuje proces rješavanja na dva načina:
- pomoću diskriminante
- koristeći Vieta teorem (ako je moguće).

Štoviše, odgovor se prikazuje točan, a ne približan.
Na primjer, za jednadžbu \(81x^2-16x-1=0\), odgovor se prikazuje u ovom obliku:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ umjesto ovoga: \(x_1 = 0,247; \ četvorka x_2 = -0,05 \)

Ovaj program može biti koristan za srednjoškolce općeobrazovne škole u pripremi za kontrolni rad i ispite, prilikom provjere znanja prije ispita, roditeljima za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti učitelja ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite to obaviti što je prije moguće? domaća zadaća matematika ili algebra? U tom slučaju također možete koristiti naše programe s detaljnim rješenjem.

Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili obuku svoje mlađe braće ili sestara, a pritom se povećava razina obrazovanja u području zadataka koje treba rješavati.

Ako niste upoznati s pravilima za unos kvadratnog polinoma, preporučamo da se s njima upoznate.

Pravila za unos kvadratnog polinoma

Bilo koje latinično slovo može djelovati kao varijabla.
Na primjer: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) itd.

Brojevi se mogu unijeti kao cijeli brojevi ili razlomci.
Štoviše, razlomački brojevi može se unijeti ne samo kao decimalni, već i kao obični razlomak.

Pravila za unos decimalnih razlomaka.
U decimalnim razlomcima, razlomak od cijelog broja može biti odvojen točkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimale dakle: 2,5x - 3,5x^2

Pravila za upisivanje običnih razlomaka.
Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.

Nazivnik ne može biti negativan.

Pri unosu brojčanog razlomka brojnik se od nazivnika odvaja znakom dijeljenja: /
cijeli dio odvojen od razlomka znakom &: &
Unos: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Prilikom unosa izraza možete koristiti zagrade. U tom se slučaju kod rješavanja kvadratne jednadžbe uvedeni izraz najprije pojednostavljuje.
Na primjer: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Odlučiti

Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog zadatka nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

U pregledniku vam je onemogućen JavaScript.
JavaScript mora biti omogućen da bi se rješenje pojavilo.
Ovdje su upute o tome kako omogućiti JavaScript u svom pregledniku.

Jer Puno je ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Molim pričekajte sekund...

Ako ti uočio grešku u rješenju, tada možete pisati o tome u obrascu za povratne informacije.
Ne zaboravi navesti koji zadatak ti odluči što unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Kvadratna jednadžba i njezini korijeni. Nepotpune kvadratne jednadžbe

Svaka od jednadžbi
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ima oblik
\(ax^2+bx+c=0, \)
gdje je x varijabla, a, b i c su brojevi.
U prvoj jednadžbi a = -1, b = 6 i c = 1,4, u drugoj a = 8, b = -7 i c = 0, u trećoj a = 1, b = 0 i c = 4/9. Takve se jednadžbe nazivaju kvadratne jednadžbe.

Definicija.
kvadratna jednadžba poziva se jednadžba oblika ax 2 +bx+c=0, gdje je x varijabla, a, b i c neki brojevi i \(a \neq 0 \).

Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratne jednadžbe. Broj a naziva se prvi koeficijent, broj b je drugi koeficijent, a broj c presjek.

U svakoj od jednadžbi oblika ax 2 +bx+c=0, gdje je \(a \neq 0 \), najveća potencija varijable x je kvadrat. Otuda naziv: kvadratna jednadžba.

Imajte na umu da se kvadratna jednadžba naziva i jednadžba drugog stupnja, jer je njena lijeva strana polinom drugog stupnja.

Naziva se kvadratna jednadžba u kojoj je koeficijent pri x 2 jednak 1 reducirana kvadratna jednadžba. Na primjer, dane kvadratne jednadžbe su jednadžbe
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Ako je u kvadratnoj jednadžbi ax 2 +bx+c=0 barem jedan od koeficijenata b ili c jednak nuli, tada se takva jednadžba naziva nepotpuna kvadratna jednadžba. Dakle, jednadžbe -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 su nepotpune kvadratne jednadžbe. U prvom od njih b=0, u drugom c=0, u trećem b=0 i c=0.

Tri su vrste nepotpunih kvadratnih jednadžbi:
1) ax 2 +c=0, gdje \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, gdje \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Razmotrimo rješenje jednadžbi svake od ovih vrsta.

Za rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe oblika ax 2 +c=0 za \(c \neq 0 \), njen slobodni član se prenosi na desna strana i podijelite obje strane jednadžbe s a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Budući da je \(c \neq 0 \), tada \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Ako \(-\frac(c)(a)>0 \), tada jednadžba ima dva korijena.

Ako \(-\frac(c)(a) Za rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe oblika ax 2 +bx=0 za \(b \neq 0 \) faktorizirajte njezinu lijevu stranu i dobijete jednadžbu
\(x(ax+b)=0 \desna strelica \lijevo\( \begin(niz)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(niz) \desno. \desna strelica \lijevo\( \begin (niz)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(niz) \desno. \)

Dakle, nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 +bx=0 za \(b \neq 0 \) uvijek ima dva korijena.

Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika ax 2 \u003d 0 ekvivalentna je jednadžbi x 2 \u003d 0 i stoga ima jedan korijen 0.

Formula za korijene kvadratne jednadžbe

Razmotrimo sada kako se rješavaju kvadratne jednadžbe u kojima su oba koeficijenta nepoznanica i slobodnog člana različiti od nule.

Rješavamo kvadratnu jednadžbu u općem obliku i kao rezultat dobivamo formulu korijena. Tada se ova formula može primijeniti za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe.

Riješite kvadratnu jednadžbu ax 2 +bx+c=0

Podijelimo li oba njezina dijela s a, dobivamo ekvivalentnu reduciranu kvadratnu jednadžbu
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformiramo ovu jednadžbu označavanjem kvadrata binoma:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\lijevo(\frac(b)(2a)\desno)^2- \lijevo(\frac(b)(2a)\desno)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \desna strelica \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\lijevo(\frac(b)(2a)\desno)^2 = \lijevo(\frac(b)(2a)\desno)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\lijevo(x+\frac(b)(2a)\desno)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \desna strelica \lijevo(x+\frac(b)(2a)\desno)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \desna strelica \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Korijenski izraz se zove diskriminanta kvadratne jednadžbe ax 2 +bx+c=0 ("diskriminant" na latinskom - razlikovač). Označava se slovom D, tj.
\(D = b^2-4ac\)

Sada, koristeći zapis diskriminante, prepisujemo formulu za korijene kvadratne jednadžbe:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), gdje \(D= b^2-4ac \)

Očito je da:
1) Ako je D>0, onda kvadratna jednadžba ima dva korijena.
2) Ako je D=0, tada kvadratna jednadžba ima jedan korijen \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ako je D Dakle, ovisno o vrijednosti diskriminante, kvadratna jednadžba može imati dva korijena (za D > 0), jedan korijen (za D = 0) ili bez korijena (za D Kada se kvadratna jednadžba rješava pomoću ove formule , preporučljivo je učiniti na sljedeći način:
1) izračunati diskriminant i usporediti ga s nulom;
2) ako je diskriminant pozitivan ili jednak nuli, onda upotrijebite formulu za korijen, ako je diskriminant negativan, onda zapišite da nema korijena.

Vietin teorem

Zadana kvadratna jednadžba ax 2 -7x+10=0 ima korijene 2 i 5. Zbroj korijena je 7, a umnožak 10. Vidimo da je zbroj korijena jednak drugom koeficijentu, uzetom s suprotnog predznaka, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu. Svaka reducirana kvadratna jednadžba koja ima korijene ima ovo svojstvo.

Zbroj korijena zadane kvadratne jednadžbe jednak je drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom, a umnožak korijena jednak je slobodnom članu.

Oni. Vietin teorem kaže da korijeni x 1 i x 2 reducirane kvadratne jednadžbe x 2 +px+q=0 imaju svojstvo:
\(\lijevo\( \begin(niz)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(niz) \desno. \)

Prva razina

Kvadratne jednadžbe. Sveobuhvatni vodič (2019)

U pojmu "kvadratna jednadžba" ključna je riječ "kvadratna". To znači da jednadžba mora nužno sadržavati varijablu (isti X) u kvadratu, au isto vrijeme ne bi trebalo biti X-ova u trećem (ili višem) stupnju.

Rješenje mnogih jednadžbi svodi se na rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Naučimo odrediti da imamo kvadratnu jednadžbu, a ne neku drugu.

Primjer 1

Riješite se nazivnika i pomnožite svaki član jednadžbe s

Pomaknimo sve na lijevu stranu i posložimo članove u silazni red potencija od x

Sada možemo sa sigurnošću reći da je ova jednadžba kvadratna!

Primjer 2

Pomnožite lijevu i desnu stranu s:

Ova jednadžba, iako je izvorno u njoj, nije kvadrat!

Primjer 3

Pomnožimo sve sa:

Zastrašujuće? Četvrti i drugi stupanj ... Međutim, ako napravimo zamjenu, vidjet ćemo da imamo jednostavnu kvadratnu jednadžbu:

Primjer 4

Čini se da jest, ali pogledajmo pobliže. Premjestimo sve na lijevu stranu:

Vidite, smanjio se - i sada je to jednostavna linearna jednadžba!

Sada pokušajte sami odrediti koje su od sljedećih jednadžbi kvadratne, a koje nisu:

Primjeri:

odgovori:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. nije kvadrat;
4. nije kvadrat;
5. nije kvadrat;
6. kvadrat;
7. nije kvadrat;
8. kvadrat.

Matematičari uvjetno dijele sve kvadratne jednadžbe na sljedeće vrste:

• Potpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima koeficijenti i, kao i slobodni član c, nisu jednaki nuli (kao u primjeru). Osim toga, među potpunim kvadratnim jednadžbama postoje dano su jednadžbe u kojima je koeficijent (jednadžba iz primjera jedan ne samo da je potpuna, već i smanjena!)

• Nepotpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

  One su nepotpune jer im nedostaje neki element. Ali jednadžba mora uvijek sadržavati x na kvadrat !!! U suprotnom, to više neće biti kvadratna, već neka druga jednadžba.

Zašto su došli do takve podjele? Čini se da postoji X na kvadrat, i u redu. Takva podjela je zbog metoda rješenja. Razmotrimo svaki od njih detaljnije.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Prvo, usredotočimo se na rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su puno jednostavnije!

Tipovi nepotpunih kvadratnih jednadžbi su:

1. , u ovoj jednadžbi koeficijent je jednak.
2. , u ovoj jednadžbi slobodni član je jednak.
3. , u ovoj jednadžbi koeficijent i slobodni član su jednaki.

1. i. Budući da znamo izvlačiti Korijen, onda izrazimo iz ove jednadžbe

Izraz može biti negativan ili pozitivan. Kvadrat broja ne može biti negativan, jer kada se množe dva negativna ili dva pozitivna broja, rezultat će uvijek biti pozitivan broj, dakle: ako, onda jednadžba nema rješenja.

A ako, tada dobivamo dva korijena. Ove formule nije potrebno pamtiti. Glavna stvar je da uvijek trebate znati i zapamtiti da ne može biti manje.

Pokušajmo riješiti neke primjere.

Primjer 5:

Riješite jednadžbu

Sada ostaje izvući korijen iz lijevog i desnog dijela. Uostalom, sjećate li se kako se vadi korijenje?

Odgovor:

Nikad ne zaboravite korijene s negativnim predznakom!!!

Primjer 6:

Riješite jednadžbu

Odgovor:

Primjer 7:

Riješite jednadžbu

Joj! Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da jednadžba

bez korijena!

Za takve jednadžbe u kojima nema korijena matematičari su osmislili posebnu ikonu - (prazan skup). A odgovor se može napisati ovako:

Odgovor:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena. Ovdje nema ograničenja jer nismo izvadili root.
Primjer 8:

Riješite jednadžbu

Izbacimo zajednički faktor iz zagrada:

Na ovaj način,

Ova jednadžba ima dva korijena.

Odgovor:

Najjednostavniji tip nepotpunih kvadratnih jednadžbi (iako su sve jednostavne, zar ne?). Očito, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Ovdje ćemo bez primjera.

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi

Podsjećamo da je potpuna kvadratna jednadžba jednadžba oblika jednadžbe gdje je

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi malo je kompliciranije (samo malo) od ovih danih.

Zapamtiti, bilo koja kvadratna jednadžba može se riješiti pomoću diskriminante! Čak i nepotpuna.

Ostale metode će vam pomoći da to učinite brže, ali ako imate problema s kvadratnim jednadžbama, prvo savladajte rješenje pomoću diskriminante.

1. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminante.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način je vrlo jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula.

Ako, onda jednadžba ima korijen.Posebnu pozornost treba obratiti na korak. Diskriminant () nam govori broj korijena jednadžbe.

• Ako, tada će se formula u koraku svesti na. Dakle, jednadžba će imati samo korijen.
• Ako, tada nećemo moći izvući korijen diskriminante na koraku. To znači da jednadžba nema korijena.

Vratimo se našim jednadžbama i pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 9:

Riješite jednadžbu

Korak 1 preskočiti.

Korak 2

Pronalaženje diskriminante:

Dakle, jednadžba ima dva korijena.

3. korak

Odgovor:

Primjer 10:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskočiti.

Korak 2

Pronalaženje diskriminante:

Dakle, jednadžba ima jedan korijen.

Odgovor:

Primjer 11:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskočiti.

Korak 2

Pronalaženje diskriminante:

To znači da nećemo moći izvući korijen iz diskriminante. Ne postoje korijeni jednadžbe.

Sada znamo kako takve odgovore ispravno zapisati.

Odgovor: bez korijena

2. Rješenje kvadratnih jednadžbi pomoću Vieta teorema.

Ako se sjećate, postoji takva vrsta jednadžbi koje se nazivaju smanjene (kada je koeficijent a jednak):

Takve je jednadžbe vrlo lako riješiti pomoću Vietinog teorema:

Zbroj korijena dano kvadratna jednadžba jednaka, a umnožak korijena jednak.

Primjer 12:

Riješite jednadžbu

Ova je jednadžba prikladna za rješavanje pomoću Vietinog teorema, jer .

Zbroj korijena jednadžbe je, tj. dobivamo prvu jednadžbu:

A proizvod je:

Kreirajmo i riješimo sustav:

• i. Zbroj je;
• i. Zbroj je;
• i. Iznos je jednak.

i rješenje su sustava:

Odgovor: ; .

Primjer 13:

Riješite jednadžbu

Odgovor:

Primjer 14:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je reducirana, što znači:

Odgovor:

KVADRATNE JEDNADŽBE. PROSJEČNA RAZINA

Što je kvadratna jednadžba?

Drugim riječima, kvadratna jednadžba je jednadžba oblika, gdje je - nepoznato - neki brojevi, štoviše.

Broj se naziva najvećim ili prvi koeficijent kvadratna jednadžba, - drugi koeficijent, a - slobodan član.

Zašto? Jer ako, jednadžba će odmah postati linearna, jer nestat će.

U ovom slučaju, i može biti jednak nuli. U ovoj se stolici jednadžba naziva nepotpunom. Ako su svi članovi na mjestu, to jest, jednadžba je potpuna.

Rješenja raznih vrsta kvadratnih jednadžbi

Metode rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

Za početak ćemo analizirati metode za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su jednostavnije.

Mogu se razlikovati sljedeće vrste jednadžbi:

I. , u ovoj jednadžbi koeficijent i slobodni član su jednaki.

II. , u ovoj jednadžbi koeficijent je jednak.

III. , u ovoj jednadžbi slobodni član je jednak.

Sada razmotrite rješenje svake od ovih podvrsta.

Očito, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Broj na kvadrat ne može biti negativan, jer će pri množenju dva negativna ili dva pozitivna broja rezultat uvijek biti pozitivan broj. Zato:

ako, onda jednadžba nema rješenja;

ako imamo dva korijena

Ove formule nije potrebno pamtiti. Glavna stvar koju treba zapamtiti je da ne može biti manje.

Primjeri:

rješenja:

Odgovor:

Nikad ne zaboravite korijene s negativnim predznakom!

Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da jednadžba

bez korijena.

Da bismo ukratko napisali da problem nema rješenja, koristimo ikonu praznog skupa.

Odgovor:

Dakle, ova jednadžba ima dva korijena: i.

Odgovor:

Izbacimo zajednički faktor iz zagrada:

Umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. To znači da jednadžba ima rješenje kada:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena: i.

Primjer:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Faktoriziramo lijevu stranu jednadžbe i nalazimo korijene:

Odgovor:

Metode rješavanja potpunih kvadratnih jednadžbi:

1. Diskriminator

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način je jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula. Zapamtite, bilo koja kvadratna jednadžba može se riješiti pomoću diskriminante! Čak i nepotpuna.

Jeste li primijetili korijen diskriminanta u formuli korijena? Ali diskriminant može biti negativan. Što učiniti? Moramo obratiti posebnu pozornost na korak 2. Diskriminant nam govori broj korijena jednadžbe.

• Ako, onda jednadžba ima korijen:
• Ako, onda jednadžba ima isti korijen, ali zapravo jedan korijen:

  Takvi se korijeni nazivaju dvostruki korijeni.

• Ako, tada se korijen diskriminante ne izdvaja. To znači da jednadžba nema korijena.

Zašto je moguće drugačiji iznos korijenje? Obratimo se geometrijski smisao kvadratna jednadžba. Graf funkcije je parabola:

U posebnom slučaju, koji je kvadratna jednadžba, . A to znači da su korijeni kvadratne jednadžbe točke presjeka s x-osi (osi). Parabola ne smije uopće sijeći os ili je može sijeći u jednoj (kada vrh parabole leži na osi) ili u dvije točke.

Osim toga, koeficijent je odgovoran za smjer grana parabole. Ako, tada su grane parabole usmjerene prema gore, a ako - onda prema dolje.

Primjeri:

rješenja:

Odgovor:

Odgovor: .

Odgovor:

To znači da nema rješenja.

Odgovor: .

2. Vietaov teorem

Korištenje Vieta teorema je vrlo jednostavno: trebate samo odabrati par brojeva čiji je produkt jednak slobodnom članu jednadžbe, a zbroj je jednak drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom.

Važno je zapamtiti da se Vietin teorem može primijeniti samo na zadane kvadratne jednadžbe ().

Pogledajmo nekoliko primjera:

Primjer #1:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Ova je jednadžba prikladna za rješavanje pomoću Vietinog teorema, jer . Ostali koeficijenti: ; .

Zbroj korijena jednadžbe je:

A proizvod je:

Izaberimo takve parove brojeva čiji je umnožak jednak i provjerimo je li im zbroj jednak:

• i. Zbroj je;
• i. Zbroj je;
• i. Iznos je jednak.

i rješenje su sustava:

Dakle, i su korijeni naše jednadžbe.

Odgovor: ; .

Primjer #2:

Riješenje:

Odaberemo takve parove brojeva koji daju umnožak, a zatim provjerimo je li im zbroj jednak:

i: dati ukupno.

i: dati ukupno. Da biste ga dobili, samo trebate promijeniti znakove navodnih korijena: i, nakon svega, posao.

Odgovor:

Primjer #3:

Riješenje:

Slobodni član jednadžbe je negativan, a time i umnožak korijena - negativan broj. To je moguće samo ako je jedan od korijena negativan, a drugi pozitivan. Dakle, zbroj korijena je razlike njihovih modula.

Biramo takve parove brojeva koji daju umnožak, a čija je razlika jednaka:

i: njihova je razlika - neprikladna;

i: - nije prikladno;

i: - nije prikladno;

i: - prikladan. Ostaje samo zapamtiti da je jedan od korijena negativan. Kako njihov zbroj mora biti jednak, tada korijen, koji je manji po apsolutnoj vrijednosti, mora biti negativan: . Provjeravamo:

Odgovor:

Primjer #4:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Jednadžba je reducirana, što znači:

Slobodni član je negativan, pa je stoga umnožak korijena negativan. A to je moguće samo kada je jedan korijen jednadžbe negativan, a drugi pozitivan.

Odaberemo takve parove brojeva čiji je umnožak jednak, a zatim odredimo koji korijeni trebaju imati negativan predznak:

Očito, samo korijenje i prikladni su za prvi uvjet:

Odgovor:

Primjer #5:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Jednadžba je reducirana, što znači:

Zbroj korijena je negativan, što znači da je barem jedan od korijena negativan. Ali budući da je njihov umnožak pozitivan, to znači da su oba korijena minus.

Biramo takve parove brojeva, čiji je proizvod jednak:

Očito, korijeni su brojevi i.

Odgovor:

Slažem se, vrlo je zgodno - izmisliti korijene usmeno, umjesto da brojite ovu gadnu diskriminaciju. Pokušajte što češće koristiti Vietin teorem.

Ali Vieta teorem je potreban kako bi se olakšalo i ubrzalo pronalaženje korijena. Da bi vam bilo isplativo koristiti ga, radnje morate dovesti do automatizma. A za ovo riješite još pet primjera. Ali nemojte varati: ne možete koristiti diskriminant! Samo Vietin teorem:

Rješenja zadataka za samostalan rad:

Zadatak 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Prema Vietinom teoremu:

Kao i obično, odabir počinjemo s proizvodom:

Nije prikladno jer količina;

: iznos je ono što vam je potrebno.

Odgovor: ; .

Zadatak 2.

I opet, naš omiljeni Vieta teorem: zbroj bi trebao ispasti, ali umnožak je jednak.

Ali budući da bi trebalo biti ne, ali, mijenjamo znakove korijena: i (ukupno).

Odgovor: ; .

Zadatak 3.

Hmm... Gdje je?

Potrebno je sve uvjete prenijeti u jedan dio:

Zbroj korijena jednak je umnošku.

Da, prestani! Jednadžba nije dana. Ali Vietin teorem primjenjiv je samo u danim jednadžbama. Dakle, prvo morate donijeti jednadžbu. Ako to ne možete iznijeti, odbacite ovu ideju i riješite je na drugi način (na primjer, kroz diskriminant). Dopustite mi da vas podsjetim da donijeti kvadratnu jednadžbu znači učiniti vodeći koeficijent jednak:

Izvrsno. Tada je zbroj korijena jednak, a umnožak.

Ovdje je lakše pokupiti: ipak - prost broj (oprostite na tautologiji).

Odgovor: ; .

Zadatak 4.

Slobodni izraz je negativan. Što je tu tako posebno? I činjenica da će korijeni biti različitih predznaka. I sada, tijekom odabira, ne provjeravamo zbroj korijena, već razliku između njihovih modula: ova razlika je jednaka, ali proizvod.

Dakle, korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je s minusom. Vietin teorem nam govori da je zbroj korijena jednak drugom koeficijentu sa suprotnim predznakom, tj. To znači da će manji korijen imati minus: i, budući da.

Odgovor: ; .

Zadatak 5.

Što prvo treba učiniti? Tako je, navedite jednadžbu:

Opet: odabiremo faktore broja, a njihova razlika treba biti jednaka:

Korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus. Koji? Njihov zbroj mora biti jednak, što znači da će s minusom biti veći korijen.

Odgovor: ; .

Dopustite mi da rezimiram:

1. Vietin teorem koristi se samo u zadanim kvadratnim jednadžbama.
2. Pomoću Vieta teorema možete pronaći korijene odabirom, usmeno.
3. Ako jednadžba nije dana ili nije pronađen odgovarajući par faktora slobodnog člana, tada nema cjelobrojnih korijena i trebate je riješiti na drugi način (na primjer, preko diskriminante).

3. Metoda odabira punog kvadrata

Ako se svi članovi koji sadrže nepoznanicu predstave kao članovi iz formula skraćenog množenja - kvadrata zbroja ili razlike - tada se jednadžba nakon izmjene varijabli može prikazati kao nepotpuna kvadratna jednadžba tipa .

Na primjer:

Primjer 1:

Riješite jednadžbu: .

Riješenje:

Odgovor:

Primjer 2:

Riješite jednadžbu: .

Riješenje:

Odgovor:

Općenito, transformacija će izgledati ovako:

Iz čega slijedi: .

Ne podsjeća li vas ni na što? To je diskriminator! Upravo tako je dobivena diskriminantna formula.

KVADRATNE JEDNADŽBE. UKRATKO O GLAVNOM

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika, gdje je nepoznanica, su koeficijenti kvadratne jednadžbe, je slobodni član.

Potpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj koeficijenti nisu jednaki nuli.

Reducirana kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj je koeficijent, odnosno: .

Nepotpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

• ako je koeficijent, jednadžba ima oblik: ,
• ako je slobodan član, jednadžba ima oblik: ,
• ako je i, jednadžba ima oblik: .

1. Algoritam za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

1.1. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

1) Izrazi nepoznato: ,

2) Provjerite predznak izraza:

• ako, onda jednadžba nema rješenja,
• ako, onda jednadžba ima dva korijena.

1.2. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

1) Izbacimo zajednički faktor iz zagrada: ,

2) Umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Dakle, jednadžba ima dva korijena:

1.3. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

Ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen: .

2. Algoritam za rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi oblika gdje

2.1. Rješenje pomoću diskriminante

1) Dovedimo jednadžbu u standardni oblik: ,

2) Izračunajte diskriminant koristeći formulu: , koja označava broj korijena jednadžbe:

3) Pronađite korijene jednadžbe:

• ako, onda jednadžba ima korijen koji se nalazi po formuli:
• ako, onda jednadžba ima korijen, koji se nalazi po formuli:
• ako, onda jednadžba nema korijena.

2.2. Rješenje pomoću Vietinog teorema

Zbroj korijena reducirane kvadratne jednadžbe (jednadžbe oblika, gdje) je jednak, a produkt korijena je jednak, tj. , a.

2.3. Potpuno kvadratno rješenje