U ovom ćemo članku pogledati osnovne operacije s algebarskim razlomcima:

• smanjenje frakcije
• množenje razlomaka
• dijeljenje razlomaka

Počnimo s posjekotine algebarski razlomci .

Čini se da, algoritam očito.

Do smanjiti algebarske razlomke, trebati

1. Rastavite brojnik i nazivnik razlomka na faktore.

2. Smanjite iste množitelje.

Međutim, školarci često griješe "smanjujući" ne čimbenike, već pojmove. Recimo, ima amatera koji "smanjuju" u razlomcima i dobiju kao rezultat, što naravno nije točno.

Razmotrite primjere:

1. Smanji razlomak:

1. Brojnik rastavljamo na faktore po formuli kvadrata zbroja, a nazivnik po formuli razlike kvadrata

2. Podijelite brojnik i nazivnik s

2. Smanji razlomak:

1. Faktoriziraj brojnik. Budući da brojnik sadrži četiri člana, primjenjujemo grupiranje.

2. Rastavite nazivnik na faktore. Isto vrijedi i za grupiranje.

3. Zapišimo razlomak koji smo dobili i smanjimo iste faktore:

Množenje algebarskih razlomaka.

Pri množenju algebarskih razlomaka brojnik množimo s brojnikom, a nazivnik s nazivnikom.

Važno! Nema potrebe žuriti s množenjem u brojniku i nazivniku razlomka. Nakon što smo u brojnik zapisali umnožak brojnika razlomaka, a u nazivnik umnožak nazivnika, svaki faktor trebamo faktorizirati i razlomak smanjiti.

Razmotrite primjere:

3. Pojednostavite izraz:

1. Zapišimo umnožak razlomaka: u brojnik umnožak brojnika, a u nazivnik umnožak nazivnika:

2. Rastavljamo svaku zagradu na faktore:

Sada moramo smanjiti iste množitelje. Imajte na umu da se izrazi i razlikuju samo u predznaku: a kao rezultat dijeljenja prvog izraza s drugim, dobivamo -1.

Tako,

Dijeljenje algebarskih razlomaka izvodimo prema sljedećem pravilu:

To je Da biste podijelili s razlomkom, morate pomnožiti s "obrnutim".

Vidimo da se dijeljenje razlomaka svodi na množenje, i množenje se u konačnici svodi na redukciju razlomaka.

Razmotrite primjer:

4. Pojednostavite izraz:

Da bismo razumjeli kako smanjiti razlomke, pogledajmo prvo jedan primjer.

Skratiti razlomak znači podijeliti brojnik i nazivnik s istim. I 360 i 420 završavaju brojem, pa ovaj razlomak možemo smanjiti za 2. U novom razlomku i 180 i 210 također su djeljivi s 2, taj razlomak smanjujemo za 2. U brojevima 90 i 105 zbroj znamenke su djeljive s 3, pa su oba broja djeljiva s 3, razlomak smanjujemo za 3. U novom razlomku 30 i 35 završavaju s 0 i 5, što znači da su oba broja djeljiva s 5, pa smanjujemo razlomak s 5. Dobiveni razlomak, šest sedmina, je neskrativ. Ovo je konačan odgovor.

Do istog odgovora možemo doći na drugačiji način.

I 360 i 420 završavaju nulom, što znači da su djeljivi s 10. Razlomak smanjujemo za 10. U novom razlomku i brojnik 36 i nazivnik 42 dijele se s 2. Razlomak smanjujemo za 2. U sljedeći razlomak, i brojnik 18 i nazivnik 21 dijelimo s 3, što znači da razlomak smanjujemo za 3. Došli smo do rezultata - šest sedmina.

I još jedno rješenje.

Sljedeći put ćemo razmotriti primjere redukcije razlomaka.

Ovaj članak nastavlja temu transformacije algebarskih razlomaka: smatrajte takvu radnju smanjenjem algebarskih razlomaka. Definirajmo sam pojam, formulirajmo pravilo skraćivanja i analizirajmo praktične primjere.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Značenje kratice algebarskog razlomka

U materijalima na običnoj frakciji razmatrali smo njegovu redukciju. Smanjenje običnog razlomka definirali smo kao dijeljenje njegovog brojnika i nazivnika zajedničkim faktorom.

Smanjenje algebarskog razlomka je slična operacija.

Definicija 1

Redukcija algebarskih razlomaka je dijeljenje njegovog brojnika i nazivnika zajedničkim faktorom. U ovom slučaju, za razliku od redukcije običnog razlomka (samo broj može biti zajednički nazivnik), polinom, posebno monom ili broj, može poslužiti kao zajednički faktor za brojnik i nazivnik algebarskog razlomka.

Na primjer, algebarski razlomak 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 može se smanjiti za broj 3, kao rezultat dobivamo: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 . Isti razlomak možemo smanjiti za varijablu x i to će nam dati izraz 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . Također je moguće dati razlomak smanjiti monomom 3 x ili bilo koji od polinoma x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y ili 3 x 2 + 6 x y.

Konačni cilj redukcije algebarskog razlomka je razlomak jednostavnijeg oblika, u najboljem slučaju nesvodljiv razlomak.

Jesu li svi algebarski razlomci podložni redukciji?

Opet, iz materijala o običnim razlomcima, znamo da postoje svodivi i nesvodivi razlomci. Nesvodivi - to su razlomci koji nemaju zajedničke faktore brojnika i nazivnika, osim 1.

S algebarskim razlomcima sve je isto: mogu i ne moraju imati zajedničke faktore brojnika i nazivnika. Prisutnost zajedničkih faktora omogućuje vam pojednostavljenje izvornog razlomka redukcijom. Kada nema zajedničkih faktora, nemoguće je optimizirati dati razlomak metodom redukcije.

U općim slučajevima, za određenu vrstu razlomka, prilično je teško razumjeti je li podložan smanjenju. Naravno, u nekim slučajevima očita je prisutnost zajedničkog faktora brojnika i nazivnika. Na primjer, u algebarskom razlomku 3 · x 2 3 · y sasvim je jasno da je zajednički faktor broj 3 .

U razlomku - x · y 5 · x · y · z 3 također odmah razumijemo da ga je moguće smanjiti za x, ili y, ili za x · y. Pa ipak, mnogo su češći primjeri algebarskih razlomaka, kada zajednički faktor brojnika i nazivnika nije tako lako vidjeti, a još češće - jednostavno ga nema.

Na primjer, razlomak x 3 - 1 x 2 - 1 možemo smanjiti za x - 1, a navedeni zajednički faktor nije u zapisu. Ali razlomak x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 ne može se smanjiti, budući da brojnik i nazivnik nemaju zajednički faktor.

Dakle, pitanje pronalaženja kontraktibilnosti algebarskog razlomka nije tako jednostavno i često je lakše raditi s razlomkom zadanog oblika nego pokušavati otkriti je li kontraktibilan. U ovom slučaju postoje takve transformacije koje nam u određenim slučajevima omogućuju da odredimo zajednički faktor brojnika i nazivnika ili da zaključimo da je razlomak nesmanjiv. Ovo ćemo pitanje detaljno analizirati u sljedećem odlomku članka.

Pravilo redukcije algebarskih razlomaka

Pravilo redukcije algebarskih razlomaka sastoji se od dva uzastopna koraka:

• pronalaženje zajedničkih faktora brojnika i nazivnika;
• u slučaju pronalaska takvog, provedba izravne radnje smanjenja frakcije.

Najprikladnija metoda za pronalaženje zajedničkih nazivnika je rastavljanje polinoma prisutnih u brojniku i nazivniku danog algebarskog razlomka. To vam omogućuje da odmah vizualno vidite prisutnost ili odsutnost zajedničkih čimbenika.

Sama radnja redukcije algebarskog razlomka temelji se na glavnom svojstvu algebarskog razlomka, izraženom jednakošću undefined , gdje su a , b , c neki polinomi, a b i c različiti od nule. Prvi korak je svođenje razlomka na oblik a c b c , u kojem odmah uočavamo zajednički faktor c . Drugi korak je izvođenje redukcije, tj. prijelaz u razlomak oblika a b .

Tipični primjeri

Unatoč određenoj očitosti, razjasnimo poseban slučaj kada su brojnik i nazivnik algebarskog razlomka jednaki. Slični razlomci su identički jednaki 1 na cijelom ODZ varijabli ovog razlomka:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y ;

Jer obični razlomci su poseban slučaj algebarskih razlomaka, prisjetimo se kako se provodi njihova redukcija. Prirodni brojevi zapisani u brojniku i nazivniku rastavljaju se na proste faktore, zatim se zajednički faktori reduciraju (ako postoje).

Na primjer, 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Umnožak jednostavnih identičnih faktora može se zapisati kao stupnjevi, au procesu redukcije razlomaka koristiti svojstvo dijeljenja stupnjeva s istim bazama. Tada bi gornje rješenje bilo:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(brojnik i nazivnik podijeljeni zajedničkim faktorom 2 2 3). Ili, radi jasnoće, na temelju svojstava množenja i dijeljenja, rješenju ćemo dati sljedeći oblik:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Analogno se provodi redukcija algebarskih razlomaka u kojima brojnik i nazivnik imaju monome s cjelobrojnim koeficijentima.

Primjer 1

Zadan je algebarski razlomak - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Treba ga smanjiti.

Riješenje

Brojnik i nazivnik zadanog razlomka moguće je napisati kao umnožak glavni faktori i varijable, a zatim reducirati:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c c c z = = - 3 3 a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Međutim, racionalniji način bio bi napisati rješenje kao izraz s potencijama:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6 .

Odgovor:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Kada u brojniku i nazivniku algebarskog razlomka postoje razlomački numerički koeficijenti, postoje dva moguća načina daljnjih radnji: ili odvojeno podijelite te razlomačke koeficijente ili se prvo riješite razlomačkih koeficijenata množenjem brojnika i nazivnika s nekim prirodni broj. Posljednja transformacija provodi se zbog glavnog svojstva algebarskog ulomka (o tome možete pročitati u članku "Svođenje algebarskog ulomka na novi nazivnik").

Primjer 2

Dan je razlomak 2 5 x 0 , 3 x 3 . Treba ga smanjiti.

Riješenje

Moguće je smanjiti frakciju na ovaj način:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Pokušajmo problem riješiti drugačije, prethodno se riješivši frakcijskih koeficijenata - brojnik i nazivnik množimo s najmanjim zajedničkim višekratnikom nazivnika tih koeficijenata, tj. po LCM(5, 10) = 10. Tada dobivamo:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Odgovor: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Kada reduciramo algebarske razlomke opći pogled, u kojem brojnici i nazivnici mogu biti i monomi i polinomi, problem je moguć kada zajednički faktor nije uvijek odmah vidljiv. Ili više od toga, jednostavno ne postoji. Zatim, da bi se odredio zajednički faktor ili popravila činjenica njegovog odsustva, brojnik i nazivnik algebarskog razlomka faktoriziraju se.

Primjer 3

Zadan je racionalni razlomak 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Treba ga skratiti.

Riješenje

Rastavimo polinome na faktore u brojniku i nazivniku. Napravimo zagrade:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Vidimo da se izraz u zagradama može pretvoriti pomoću skraćenih formula množenja:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Jasno se vidi da je razlomak moguće smanjiti zajedničkim faktorom b 2 (a + 7). Napravimo redukciju:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Zapisujemo kratko rješenje bez objašnjenja kao lanac jednakosti:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Odgovor: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b .

Dešava se da su zajednički faktori skriveni numeričkim koeficijentima. Tada je kod sažimanja razlomaka optimalno izbaciti numeričke faktore na većim potencijama brojnika i nazivnika.

Primjer 4

Zadan je algebarski razlomak 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Trebalo bi ga smanjiti ako je moguće.

Riješenje

Na prvi pogled, brojnik i nazivnik nemaju zajednički nazivnik. Ipak, pokušajmo preračunati zadani razlomak. Izbacimo faktor x iz brojnika:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Sada možete vidjeti neku sličnost između izraza u zagradama i izraza u nazivniku zbog x 2 y . Izdvojimo numeričke koeficijente na višim potencijama ovih polinoma:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Sada zajednički množitelj postaje vidljiv, provodimo redukciju:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Odgovor: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Naglasimo da vještina reduciranja racionalnih razlomaka ovisi o sposobnosti rastavljanja polinoma na faktore.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Zadnji put smo napravili plan prema kojem možete naučiti kako brzo smanjiti razlomke. Sada razmotrite konkretne primjere redukcije frakcija.

Primjeri.

Provjeravamo da li je veći broj djeljiv s manjim (brojnik nazivnikom ili nazivnik brojnikom)? Da, u sva tri ova primjera veći broj je djeljiv manjim. Dakle, svaki razlomak umanjujemo za manji od brojeva (brojnik ili nazivnik). Imamo:

Provjerite je li veći broj djeljiv s manjim? Ne, ne dijeli se.

Zatim prelazimo na provjeru sljedeće točke: završava li zapis i brojnika i nazivnika s jednom, dvije ili više nula? U prvom primjeru brojnik i nazivnik završavaju s nulom, u drugom - s dvije nule, u trećem - s tri nule. Dakle, prvi razlomak umanjimo za 10, drugi za 100, a treći za 1000:

Dobiti nesvodive razlomke.

Veći broj nije djeljiv s manjim, zapis brojeva ne završava nulama.

Sada provjeravamo jesu li brojnik i nazivnik u istom stupcu u tablici množenja? 36 i 81 su djeljivi sa 9, 28 i 63 - sa 7, a 32 i 40 - sa 8 (djeljivi su i sa 4, ali ako postoji izbor, uvijek ćemo smanjiti za više). Tako dolazimo do odgovora:

Svi dobiveni brojevi su nesvodivi razlomci.

Veći broj nije djeljiv s manjim. Ali zapis i brojnika i nazivnika završava nulom. Dakle, smanjujemo razlomak za 10:

Ovaj se udio još uvijek može smanjiti. Provjeravamo prema tablici množenja: i 48 i 72 dijelimo s 8. Razlomak smanjujemo za 8:

Također možemo smanjiti dobiveni razlomak za 3:

Ovaj razlomak je nesvodiv.

Veći broj nije djeljiv s manjim. Zapis brojnika i nazivnika završava nulom, pa razlomak smanjujemo za 10.

Dobivene brojeve provjeravamo u brojniku i nazivniku za i . Budući da je zbroj znamenki brojeva 27 i 531 djeljiv s 3 i 9, ovaj se razlomak može smanjiti i s 3 i s 9. Odaberemo veći i smanjimo s 9. Rezultat je neskrativ razlomak.

Na prvi pogled algebarski razlomci izgledaju vrlo komplicirani, a nespremni učenik može pomisliti da je s njima nemoguće učiniti bilo što. Gomilanje varijabli, brojeva, pa čak i moći izaziva strah. Međutim, ista se pravila koriste za smanjivanje razlomaka (kao što je 15/25) i algebarskih razlomaka.

Koraci

Smanjenje razlomaka

Provjerite korake za prosti razlomci. Operacije s običnim i algebarskim razlomcima su slične. Na primjer, uzmite razlomak 15/35. Da pojednostavimo ovaj razlomak, pronaći zajednički djelitelj . Oba broja su djeljiva s pet, tako da možemo izdvojiti 5 u brojniku i nazivniku:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Sada možeš smanjiti zajedničke faktore, odnosno precrtajte 5 u brojniku i nazivniku. Kao rezultat toga, dobivamo pojednostavljeni razlomak 3/7 . U algebarskim izrazima zajednički se faktori razlikuju na isti način kao i u običnim. U prethodnom smo primjeru mogli lako izdvojiti 5 od 15 - isti princip vrijedi za složenije izraze kao što je 15x - 5. Pronađimo zajednički faktor. NA ovaj slučaj ovo će biti 5, budući da su oba člana (15x i -5) djeljiva s 5. Kao i prije, izdvajamo zajednički faktor i prenosimo ga nalijevo.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

Da biste provjerili je li sve točno, dovoljno je pomnožiti izraz u zagradama s 5 - rezultat će biti isti brojevi koji su bili na početku. Složeni članovi mogu se razlikovati na isti način kao i jednostavni. Za algebarske razlomke vrijede isti principi kao i za obične razlomke. Ovo je najlakši način za smanjenje razlomka. Razmotrimo sljedeći razlomak:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Imajte na umu da i brojnik (gore) i nazivnik (dno) imaju član (x+2), tako da se može smanjiti na isti način kao zajednički faktor 5 u 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

Kao rezultat, dobivamo pojednostavljeni izraz: (x-3)/(x+10)

Redukcija algebarskih razlomaka

Pronađite zajednički faktor u brojniku, odnosno na vrhu razlomka. Kada reducirate algebarski razlomak, prvi korak je pojednostaviti oba njegova dijela. Počnite s brojnikom i pokušajte ga rastaviti na što više više množitelji. Razmotrite u ovom odjeljku sljedeći razlomak:

9x-3 15x+6

Počnimo s brojnikom: 9x - 3. Za 9x i -3, zajednički faktor je broj 3. Izbacimo 3 iz zagrada, kao što radimo s običnim brojevima: 3 * (3x-1). Kao rezultat ove transformacije dobit će se sljedeći razlomak:

3(3x-1) 15x+6

Pronađite zajednički faktor u brojniku. Nastavimo s izvođenjem gornjeg primjera i ispišemo nazivnik: 15x+6. Kao i prije, nalazimo kojim su brojem oba dijela djeljiva. I u ovom slučaju zajednički faktor je 3, tako da možemo napisati: 3 * (5x +2). Prepišimo razlomak u sljedećem obliku:

3(3x-1) 3(5x+2)

Smanjite identične pojmove. U ovom koraku možete pojednostaviti razlomak. Poništite iste članove u brojniku i nazivniku. U našem primjeru, ovaj broj je 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Utvrdite da razlomak ima najjednostavniji oblik. Razlomak je potpuno pojednostavljen kada nema zajedničkih faktora u brojniku i nazivniku. Imajte na umu da ne možete skratiti one pojmove koji su unutar zagrada - u gornjem primjeru, ne postoji način za izdvajanje x iz 3x i 5x, budući da su (3x -1) i (5x + 2) puni članovi. Dakle, razlomak nije podložan daljnjem pojednostavljivanju, a konačni odgovor je sljedeći:

(3x-1)(5x+2)

Vježbajte sami smanjivati ​​razlomke. Najbolji način naučiti metodu je samostalno rješavati probleme. Ispod primjera navedeni su točni odgovori.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

Odgovor:(x=13)

2x 2-x 5x

Odgovor:(2x-1)/5

Posebni potezi

Izbacite negativni predznak iz razlomka. Pretpostavimo da nam je dan sljedeći razlomak:

3(x-4) 5 (4x)

Imajte na umu da su (x-4) i (4-x) "gotovo" identični, ali se ne mogu odmah poništiti jer su "okrenuti". Međutim, (x - 4) se može napisati kao -1 * (4 - x), kao što se (4 + 2x) može napisati kao 2 * (2 + x). To se zove "preokret predznaka".

-1*3(4-x) 5 (4x)

Sada možete smanjiti iste uvjete (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4x)

Dakle, evo konačnog odgovora: -3/5 . Naučite prepoznati razliku kvadrata. Razlika kvadrata je kada se kvadrat jednog broja oduzme od kvadrata drugog broja, kao u izrazu (a 2 - b 2). razlika puni kvadrati uvijek se može rastaviti na dva dijela – zbroj i razliku odgovarajućih kvadratni korijeni. Tada će izraz imati sljedeći oblik:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Ovaj je trik vrlo koristan kada tražite zajedničke pojmove u algebarskim razlomcima.

• Provjerite jeste li ispravno rastavili ovaj ili onaj izraz. Da biste to učinili, pomnožite faktore - rezultat bi trebao biti isti izraz.
• Da biste potpuno pojednostavili razlomak, uvijek odaberite najveće faktore.