- (Math.) Funkcija y \u003d f (x) se poziva čak i ako se ne mijenja kada nezavisna varijabla samo promijeni predznak, to jest, ako je f (x) \u003d f (x). Ako je f (x) = f (x), tada se funkcija f (x) naziva neparnom. Na primjer, y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x je primjer neparne funkcije. f(x) = x2 je primjer parne funkcije. f(x) = x3 ... Wikipedia

Funkcija koja zadovoljava jednakost f (x) = f (x). Pogledajte parne i neparne funkcije... Velika sovjetska enciklopedija

F(x) = x je primjer neparne funkcije. f(x) = x2 je primjer parne funkcije. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x je primjer neparne funkcije. f(x) = x2 je primjer parne funkcije. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x je primjer neparne funkcije. f(x) = x2 je primjer parne funkcije. f(x) = x3 ... Wikipedia

F(x) = x je primjer neparne funkcije. f(x) = x2 je primjer parne funkcije. f(x) = x3 ... Wikipedia

Posebne funkcije koje je uveo francuski matematičar E. Mathieu 1868. pri rješavanju problema o titranju eliptične membrane. M. f. također se koriste u proučavanju distribucije Elektromagnetski valovi u eliptičnom cilindru... Velika sovjetska enciklopedija

Zahtjev "grijeh" preusmjerava se ovdje; vidi i druga značenja. Zahtjev "sec" preusmjerava se ovdje; vidi i druga značenja. "Sine" preusmjerava ovdje; vidi i druga značenja ... Wikipedia

Funkcija se naziva parna (neparna) ako za bilo koju i jednakost

.

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na os
.

Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.

Primjer 6.2. Ispitajte parne ili neparne funkcije

1)
; 2)
; 3)
.

Riješenje.

1) Funkcija je definirana s
. Nađimo
.

Oni.
. Sredstva, dana funkcija je čak.

2) Funkcija je definirana za

Oni.
. Dakle, ova funkcija je neparna.

3) funkcija je definirana za , tj. za

,
. Dakle, funkcija nije ni parna ni neparna. Nazovimo to općom funkcijom.

3. Istraživanje funkcije za monotonost.

Funkcija
nazivamo rastućim (opadajućim) na nekom intervalu ako u tom intervalu svakoj većoj vrijednosti argumenta odgovara veća (manja) vrijednost funkcije.

Funkcije koje rastu (opadaju) na nekom intervalu nazivaju se monotonim.

Ako funkcija
diferencijabilan na intervalu
a ima pozitivnu (negativnu) derivaciju
, zatim funkcija
povećava (smanjuje) u ovom intervalu.

Primjer 6.3. Odredite intervale monotonosti funkcija

1)
; 3)
.

Riješenje.

1) Ova je funkcija definirana na cijeloj brojčanoj osi. Nađimo izvod.

Derivacija je nula ako
i
. Domena definicije - numerička os, podijeljena točkama
,
za intervale. Odredimo predznak derivacije u svakom intervalu.

U intervalu
derivacija je negativna, funkcija opada na tom intervalu.

U intervalu
derivacija je pozitivna, dakle funkcija raste na tom intervalu.

2) Ova funkcija je definirana ako
ili

.

U svakom intervalu odredimo predznak kvadratnog trinoma.

Dakle, opseg funkcije

Nađimo izvod
,
, ako
, tj.
, ali
. Odredimo predznak derivacije u intervalima
.

U intervalu
derivacija je negativna, dakle funkcija opada na intervalu
. U intervalu
derivacija je pozitivna, funkcija raste na intervalu
.

4. Istraživanje funkcije za ekstrem.

Točka
naziva se točka maksimuma (minimuma) funkcije
, ako postoji takva okolina točke to za sve
ovo susjedstvo zadovoljava nejednakost

.

Točke maksimuma i minimuma funkcije nazivaju se točkama ekstrema.

Ako funkcija
u točki ima ekstrem, tada je derivacija funkcije u ovoj točki jednaka nuli ili ne postoji (nužan uvjet za postojanje ekstrema).

Točke u kojima je derivacija jednaka nuli ili ne postoji nazivaju se kritičnim.

5. Dovoljni uvjeti za postojanje ekstrema.

Pravilo 1. Ako pri prijelazu (slijeva na desno) kroz kritičnu točku izvedenica
mijenja predznak iz "+" u "-", zatim na točku funkcija
ima maksimum; ako je od "-" do "+", tada minimum; ako
ne mijenja predznak, tada nema ekstrema.

Pravilo 2. Neka u točki
prva derivacija funkcije
nula
, a druga derivacija postoji i različita je od nule. Ako a
, onda je najveća točka, ako
, onda je minimalna točka funkcije.

Primjer 6.4 . Istražite maksimalne i minimalne funkcije:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Riješenje.

1) Funkcija je definirana i kontinuirana na intervalu
.

Nađimo izvod
i riješite jednadžbu
, tj.
.odavde
su kritične točke.

Odredimo predznak derivacije u intervalima ,
.

Pri prolasku kroz točke
i
izvod mijenja predznak iz “–” u “+”, dakle prema pravilu 1
su minimalni bodovi.

Pri prolasku kroz točku
izvedenica mijenja predznak iz "+" u "-", dakle
je najveća točka.

,
.

2) Funkcija je definirana i kontinuirana u intervalu
. Nađimo izvod
.

Rješavanjem jednadžbe
, pronaći
i
su kritične točke. Ako nazivnik
, tj.
, onda izvod ne postoji. Tako,
je treća kritična točka. Odredimo predznak derivacije u intervalima.

Dakle, funkcija ima minimum u točki
, maksimalno u točkama
i
.

3) Funkcija je definirana i neprekidna ako
, tj. na
.

Nađimo izvod

.

Pronađimo kritične točke:

Okolice točaka
ne pripadaju domeni definicije, pa nisu ekstremni t. Dakle, istražimo kritične točke
i
.

4) Funkcija je definirana i kontinuirana na intervalu
. Koristimo pravilo 2. Pronađite izvod
.

Pronađimo kritične točke:

Nađimo drugu derivaciju
i odrediti njegov predznak u točkama

U točkama
funkcija ima minimum.

U točkama
funkcija ima maksimum.

Ovisnost varijable y o varijabli x, u kojoj svaka vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y, naziva se funkcija. Oznaka je y=f(x). Svaka funkcija ima niz osnovnih svojstava, kao što su monotonost, paritet, periodičnost i druga.

Razmotrite svojstvo pariteta detaljnije.

Funkcija y=f(x) se poziva čak i ako zadovoljava sljedeća dva uvjeta:

2. Vrijednost funkcije u točki x koja pripada opsegu funkcije mora biti jednaka vrijednosti funkcije u točki -x. To jest, za bilo koju točku x, iz domene funkcije, mora biti istinita sljedeća jednakost f (x) \u003d f (-x).

Graf parne funkcije

Ako izgradite graf parne funkcije, on će biti simetričan oko y-osi.

Na primjer, funkcija y=x^2 je parna. Idemo to provjeriti. Područje definiranja je cijela numerička os, što znači da je simetrična u odnosu na točku O.

Uzmimo proizvoljno x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Prema tome, f(x) = f(-x). Dakle, za nas su zadovoljena oba uvjeta, što znači da je funkcija parna. Ispod je grafikon funkcije y=x^2.

Slika pokazuje da je grafikon simetričan u odnosu na y-osu.

Graf neparne funkcije

Funkcija y=f(x) se naziva neparnom ako zadovoljava sljedeća dva uvjeta:

1. Područje zadane funkcije mora biti simetrično u odnosu na točku O. Odnosno, ako neka točka a pripada području funkcije, tada i odgovarajuća točka -a mora pripadati području zadane funkcije.

2. Za bilo koju točku x, iz domene funkcije, mora biti zadovoljena sljedeća jednakost f (x) \u003d -f (x).

Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na točku O - ishodište. Na primjer, funkcija y=x^3 je neparna. Idemo to provjeriti. Područje definiranja je cijela numerička os, što znači da je simetrična u odnosu na točku O.

Uzmimo proizvoljno x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Prema tome f(x) = -f(x). Dakle, za nas su zadovoljena oba uvjeta, što znači da je funkcija neparna. Ispod je grafikon funkcije y=x^3.

Slika jasno pokazuje da je neparna funkcija y=x^3 simetrična u odnosu na ishodište.

Definicija 1. Funkcija se zove čak (neparan ) ako zajedno sa svakom vrijednošću varijable
značenje - x također pripada
i jednakosti

Dakle, funkcija može biti parna ili neparna samo ako je njezino područje definicije simetrično u odnosu na ishodište na realnom pravcu (brojevi x i - x istovremeno pripadaju
). Na primjer, funkcija
nije ni paran ni neparan, jer je njegova domena definicije
nije simetričan u pogledu podrijetla.

Funkcija
čak, jer
simetričan u odnosu na ishodište koordinata i.

Funkcija
čudno jer
i
.

Funkcija
nije ni paran ni neparan, jer iako
i simetričan je u odnosu na ishodište, jednakosti (11.1) nisu zadovoljene. Na primjer,.

Graf parne funkcije je simetričan u odnosu na os OU, budući da je točka

također pripada grafu. Graf neparne funkcije je simetričan u odnosu na ishodište, jer ako
pripada grafu, zatim točka
također pripada grafu.

Pri dokazivanju je li funkcija parna ili neparna korisne su sljedeće tvrdnje.

Teorema 1. a) Zbroj dviju parnih (neparnih) funkcija je parna (neparna) funkcija.

b) Umnožak dviju parnih (neparnih) funkcija je parna funkcija.

c) Umnožak parne i neparne funkcije je neparna funkcija.

d) Ako f je parna funkcija na skupu x, i funkcija g definirana na setu
, zatim funkcija
- čak.

e) Ako f je čudna funkcija na skupu x, i funkcija g definirana na setu
a par (nepar), onda funkcija
- paran (neparan).

Dokaz. Dokažimo npr. b) id).

b) Neka
i
su parne funkcije. Onda, dakle. Slično se razmatra slučaj neparnih funkcija
i
.

d) Neka f je parna funkcija. Zatim.

Slično se dokazuju i ostale tvrdnje teorema. Teorem je dokazan.

Teorema 2. Bilo koja funkcija
, definiran na skupu x, koja je simetrična u odnosu na ishodište, može se prikazati kao zbroj parne i neparne funkcije.

Dokaz. Funkcija
može se napisati u obliku

.

Funkcija
je čak, jer
, i funkcija
je čudno jer. Na ovaj način,
, gdje
- čak, i
je čudna funkcija. Teorem je dokazan.

Definicija 2. Funkcija
nazvao časopis ako postoji broj
, takav da za bilo koji
brojevima
i
također spadaju u domenu definicije
i jednakosti

Takav broj T nazvao razdoblje funkcije
.

Definicija 1 implicira da ako T– razdoblje funkcije
, zatim broj T isto je period funkcije
(jer prilikom zamjene T na - T održava se ravnopravnost). Metodom matematičke indukcije može se pokazati da ako T– razdoblje funkcije f, zatim i
, također je točka. Iz toga slijedi da ako funkcija ima period, onda ima beskonačno mnogo perioda.

Definicija 3. Najmanji od pozitivnih perioda funkcije naziva se njen glavni razdoblje.

Teorema 3. Ako T je glavno razdoblje funkcije f, tada su preostala razdoblja višekratnici toga.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji točka funkcije f (>0), ne višestruko T. Zatim, dijeljenje na T s ostatkom, dobivamo
, gdje
. Zato

to je – razdoblje funkcije f, i
, što je u suprotnosti s činjenicom da T je glavno razdoblje funkcije f. Iz dobivene kontradikcije proizlazi tvrdnja teorema. Teorem je dokazan.

Dobro je poznato da su trigonometrijske funkcije periodične. Glavno razdoblje
i
jednaki
,
i
. Nađi period funkcije
. Neka
je period ove funkcije. Zatim

(jer
.

ororor
.

Značenje T, određena iz prve jednakosti, ne može biti period, budući da ovisi o x, tj. je funkcija od x, a ne konstantan broj. Period se određuje iz druge jednakosti:
. Postoji beskonačno mnogo razdoblja
najmanji pozitivni period dobiva se kada
:
. Ovo je glavno razdoblje funkcije
.

Primjer složenije periodičke funkcije je Dirichletova funkcija

Imajte na umu da ako T je onda racionalan broj
i
su racionalni brojevi pod racionalnim x a iracionalno kad je iracionalno x. Zato

za bilo koji racionalni broj T. Prema tome, svaki racionalni broj T je period Dirichletove funkcije. Jasno je da ova funkcija nema glavnu periodu, jer postoje pozitivni racionalni brojevi proizvoljno blizu nule (na primjer, racionalan broj se može napraviti odabirom n proizvoljno blizu nule).

Teorema 4. Ako funkcija f postaviti na setu x i ima razdoblje T, i funkcija g postaviti na setu
, zatim složena funkcija
također ima razdoblje T.

Dokaz. Imamo dakle

odnosno dokazana je tvrdnja teoreme.

Na primjer, budući da cos x ima razdoblje
, zatim funkcije
imati mjesečnicu
.

Definicija 4. Funkcije koje nisu periodične nazivaju se neperiodičan .

Sakrij Prikaži

Načini postavljanja funkcije

Neka je funkcija dana formulom: y=2x^(2)-3 . Dodjeljujući bilo koju vrijednost nezavisnoj varijabli x, možete koristiti ovu formulu za izračun odgovarajućih vrijednosti zavisne varijable y. Na primjer, ako je x=-0,5 , tada pomoću formule dobivamo da je odgovarajuća vrijednost y y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 .

S obzirom na bilo koju vrijednost koju uzima argument x u formuli y=2x^(2)-3, može se izračunati samo jedna vrijednost funkcije koja joj odgovara. Funkcija se može prikazati kao tablica:

x	−2	−1	0	1	2	3
g	−4	−3	−2	−1	0	1

Koristeći ovu tablicu, možete shvatiti da će za vrijednost argumenta -1 odgovarati vrijednost funkcije -3; a vrijednost x=2 će odgovarati y=0, i tako dalje. Također je važno znati da svaka vrijednost argumenta u tablici odgovara samo jednoj vrijednosti funkcije.

Više funkcija može se postaviti pomoću grafikona. Uz pomoć grafa utvrđuje se koja vrijednost funkcije korelira s određenom vrijednošću x. Najčešće će to biti približna vrijednost funkcije.

Parna i neparna funkcija

Funkcija je ravnomjerna funkcija, kada je f(-x)=f(x) za bilo koji x iz domene. Takva funkcija će biti simetrična u odnosu na os Oy.

Funkcija je neparna funkcija kada je f(-x)=-f(x) za bilo koji x u domeni. Takva funkcija će biti simetrična oko ishodišta O (0;0) .

Funkcija je čak ni, niti neparan i nazvao funkcija opći pogled kada nema simetriju oko osi ili ishodišta.

Ispitujemo sljedeću funkciju za paritet:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) sa simetričnom domenom definicije o ishodištu. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Dakle, funkcija f(x)=3x^(3)-7x^(7) je neparna.

Periodična funkcija

Funkcija y=f(x) , u čijoj domeni za svaki x vrijedi jednakost f(x+T)=f(x-T)=f(x) , naziva se periodična funkcija s periodom T \neq 0 .

Ponavljanje grafa funkcije na bilo kojem segmentu apscisne osi koji ima duljinu T .

Intervali u kojima je funkcija pozitivna, odnosno f (x) > 0 - segmenti apscisne osi koji odgovaraju točkama grafa funkcije koje leže iznad apscisne osi.

f(x) > 0 uključeno (x_(1); x_(2)) \čaša (x_(3); +\infty)

Praznine u kojima je funkcija negativna, tj. f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \čaša (x_(2); x_(3))

Ograničenje funkcije

omeđen odozdo uobičajeno je pozvati funkciju y=f(x), x \in X kada postoji broj A za koji vrijedi nejednakost f(x) \geq A za bilo koji x \in X .

Primjer dolje ograničene funkcije: y=\sqrt(1+x^(2)) budući da je y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 za bilo koji x .

omeđen odozgo funkcija y=f(x), x \in X se poziva ako postoji broj B za koji vrijedi nejednakost f(x) \neq B za bilo koji x \in X .

Primjer dolje ograničene funkcije: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1] budući da je y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 za bilo koji x \in [-1;1] .

ograničeno uobičajeno je pozvati funkciju y=f(x), x \in X kada postoji broj K > 0 za koji vrijedi nejednakost \left | f(x) \desno | \neq K za bilo koji x \u X .

Primjer ograničena funkcija: y=\sin x ograničena je na cijelom brojevnom pravcu, jer \lijevo | \sin x \desno | \neq 1.

Rastuća i opadajuća funkcija

Uobičajeno je govoriti o funkciji koja raste na intervalu koji se razmatra kao povećanje funkcije kada će većoj vrijednosti x odgovarati veća vrijednost funkcije y=f(x) . Odavde se ispostavlja da uzimajući iz razmatranog intervala dvije proizvoljne vrijednosti argumenta x_(1) i x_(2) , i x_(1) > x_(2) , bit će y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Naziva se funkcija koja opada na promatranom intervalu opadajuća funkcija kada će većoj vrijednosti x odgovarati manja vrijednost funkcije y(x) . Odavde se ispostavlja da uzimajući iz razmatranog intervala dvije proizvoljne vrijednosti argumenta x_(1) i x_(2) , i x_(1) > x_(2) , bit će y(x_(1))< y(x_{2}) .

Funkcijski korijeni uobičajeno je imenovati točke u kojima funkcija F=y(x) siječe apscisnu os (dobive se kao rezultat rješavanja jednadžbe y(x)=0 ).

a) Ako parna funkcija raste za x > 0, onda opada za x< 0

b) Kad parna funkcija opada za x > 0, tada raste za x< 0

c) Kad neparna funkcija raste za x > 0, tada raste i za x< 0

d) Kada neparna funkcija opada za x > 0, tada će također opadati za x< 0

Funkcionalni ekstremi

Minimalna točka funkcije y=f(x) uobičajeno je nazvati takvu točku x=x_(0) , u kojoj će njezino susjedstvo imati druge točke (osim točke x=x_(0) ), i tada nejednakost f(x) > f (x_(0)) . y_(min) - oznaka funkcije u točki min.

Maksimalna točka funkcije y=f(x) uobičajeno je nazvati takvu točku x=x_(0) , u kojoj će njezino susjedstvo imati druge točke (osim točke x=x_(0) ), i tada nejednakost f(x) će biti zadovoljan za njih< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Neophodan uvjet

Prema Fermatovom teoremu: f"(x)=0, tada kada je funkcija f(x) , koja je diferencijabilna u točki x_(0) , pojavit će se ekstrem u ovoj točki.

Dovoljno stanje

1. Kada se predznak derivacije promijeni iz plusa u minus, tada će x_(0) biti minimalna točka;
2. x_(0) - bit će maksimalna točka samo kada derivacija promijeni predznak iz minus u plus pri prolasku kroz stacionarnu točku x_(0) .

Najveća i najmanja vrijednost funkcije na intervalu

Koraci izračuna:

1. Traženje izvoda f"(x) ;
2. Nalaze se stacionarne i kritične točke funkcije i biraju one koje pripadaju intervalu;
3. Vrijednosti funkcije f(x) nalaze se na stacionarnim i kritičnim točkama i krajevima segmenta. Najmanji će rezultati biti najmanja vrijednost funkcije, i više - najveći.