Glavni elementarne funkcije, njihova inherentna svojstva i odgovarajući grafovi jedna su od osnova matematičkog znanja, po važnosti slična tablici množenja. Elementarne funkcije temelj su, oslonac za proučavanje svih teorijskih pitanja.

Članak u nastavku pruža ključni materijal o temi osnovnih elementarnih funkcija. Uvest ćemo pojmove, dati im definicije; Proučimo detaljno svaku vrstu elementarnih funkcija i analizirajmo njihova svojstva.

Razlikuju se sljedeće vrste osnovnih elementarnih funkcija:

Definicija 1

• stalna funkcija (konstanta);
• korijen n-tog stupnja;
• funkcija snage;
• eksponencijalna funkcija;
• logaritamska funkcija;
• trigonometrijske funkcije;
• bratske trigonometrijske funkcije.

Konstantna funkcija definirana je formulom: y = C (C je neki realni broj) i također ima naziv: konstanta. Ovom funkcijom se utvrđuje odgovara li neka realna vrijednost nezavisne varijable x istoj vrijednosti varijable y – vrijednosti C .

Graf konstante je ravna linija koja je paralelna s x-osi i prolazi kroz točku koja ima koordinate (0, C). Radi preglednosti prikazujemo grafove konstantnih funkcija y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (na crtežu označene crnom, crvenom i plavom bojom).

Definicija 2

Ova elementarna funkcija definirana je formulom y = x n (n - prirodni broj više od jednog).

Razmotrimo dvije varijante funkcije.

1. Korijen n-tog stupnja, n je paran broj

Radi jasnoće, označavamo crtež koji prikazuje grafove takvih funkcija: y = x , y = x 4 i y = x 8 . Ove funkcije su označene bojama: crnom, crvenom i plavom.

Sličan prikaz grafova funkcije parnog stupnja za druge vrijednosti indikatora.

Definicija 3

Svojstva funkcijskog korijena n-tog stupnja, n je paran broj

• domena definicije je skup svih nenegativnih realnih brojeva [ 0 , + ∞) ;
• kada je x = 0, funkcija y = x n ima vrijednost jednaku nuli;
• dano funkcija – funkcija opći pogled(nije ni paran ni neparan);
• raspon: [ 0 , + ∞) ;
• ova funkcija y = x n s parnim eksponentima korijena raste po cijeloj domeni definicije;
• funkcija ima konveksnost sa smjerom prema gore preko cijele domene definicije;
• nema točaka infleksije;
• nema asimptota;
• graf funkcije za parno n prolazi kroz točke (0 ; 0) i (1 ; 1) .

1. Korijen n-tog stupnja, n je neparan broj

Takva je funkcija definirana na cijelom skupu realnih brojeva. Radi jasnoće, razmotrite grafove funkcija y = x 3 , y = x 5 i x 9 . Na crtežu su označene bojama: crnom, crvenom i plavom bojom krivulja.

Ostale neparne vrijednosti eksponenta korijena funkcije y = x n dat će graf sličnog oblika.

Definicija 4

Svojstva funkcijskog korijena n-tog stupnja, n je neparan broj

• domena definicije je skup svih realnih brojeva;
• ova funkcija je neparna;
• raspon vrijednosti je skup svih realnih brojeva;
• funkcija y = x n s neparnim eksponentima korijena raste na cijelom području definicije;
• funkcija ima konkavnost na intervalu (- ∞ ; 0 ] i konveksnost na intervalu [ 0 , + ∞) ;
• točka infleksije ima koordinate (0 ; 0) ;
• nema asimptota;
• graf funkcije za neparno n prolazi kroz točke (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) i (1 ; 1) .

Funkcija snage

Definicija 5

Funkcija potencije definirana je formulom y = x a .

Vrsta grafova i svojstva funkcije ovise o vrijednosti eksponenta.

• kada potencna funkcija ima cjelobrojni eksponent a, tada oblik grafa potencne funkcije i njezina svojstva ovise o tome je li eksponent paran ili neparan, te kakav predznak ima eksponent. Razmotrimo sve ove posebne slučajeve detaljnije u nastavku;
• eksponent može biti frakcijski ili iracionalan - ovisno o tome, vrsta grafikona i svojstva funkcije također variraju. Analizirat ćemo posebne slučajeve postavljanjem nekoliko uvjeta: 0< a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
• funkcija potencije može imati eksponent nula, u nastavku ćemo detaljnije analizirati i ovaj slučaj.

Analizirajmo funkciju snage y = x a kada je a neparan pozitivan broj, na primjer, a = 1 , 3 , 5 ...

Radi jasnoće, označavamo grafove takvih funkcija snage: y = x (crna boja grafikona), y = x 3 (plava boja grafikona), y = x 5 (crvena boja grafikona), y = x 7 (zeleni grafikon). Kada je a = 1, dobivamo linearnu funkciju y = x.

Definicija 6

Svojstva funkcije stepena kada je eksponent neparan pozitivan

• funkcija je rastuća za x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• funkcija je konveksna za x ∈ (- ∞ ; 0 ] i konkavna za x ∈ [ 0 ; + ∞) (isključujući linearnu funkciju);
• točka infleksije ima koordinate (0 ; 0) (isključujući linearnu funkciju);
• nema asimptota;
• prolazne točke funkcije: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Analizirajmo funkciju snage y = x a kada je a paran pozitivan broj, na primjer, a = 2 , 4 , 6 ...

Radi jasnoće, označavamo grafove takvih funkcija snage: y \u003d x 2 (crna boja grafikona), y = x 4 (plava boja grafikona), y = x 8 (crvena boja grafikona). Kada je a = 2, dobivamo kvadratnu funkciju čiji je graf kvadratna parabola.

Definicija 7

Svojstva funkcije stepena kada je eksponent čak i pozitivan:

• domena definicije: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• opadajući za x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• funkcija je konkavna za x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
• nema točaka infleksije;
• nema asimptota;
• prolazne točke funkcije: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Donja slika prikazuje primjere grafova eksponencijalne funkcije y = x a kada je a neparan negativan broj: y = x - 9 (crna boja grafikona); y = x - 5 (plava boja grafikona); y = x - 3 (crvena boja grafikona); y = x - 1 (zeleni grafikon). Kada je \u003d - 1, dobivamo obrnutu proporcionalnost, čiji je grafikon hiperbola.

Definicija 8

Svojstva funkcije stepena kada je eksponent neparno negativan:

Kada je x \u003d 0, dobivamo diskontinuitet druge vrste, budući da je lim x → 0 - 0 x a \u003d - ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ za a \u003d - 1, - 3, - 5, .... Dakle, pravac x = 0 je vertikalna asimptota;

• raspon: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• funkcija je neparna jer je y (- x) = - y (x) ;
• funkcija je opadajuća za x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
• funkcija je konveksna za x ∈ (- ∞ ; 0) i konkavna za x ∈ (0 ; + ∞) ;
• nema točaka infleksije;

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 kada je a = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .

• prolazne točke funkcije: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .

Donja slika prikazuje primjere grafova funkcije snage y = x a kada je a paran negativan broj: y = x - 8 (grafikon u crnoj boji); y = x - 4 (plava boja grafikona); y = x - 2 (crvena boja grafa).

Definicija 9

Svojstva funkcije stepena kada je eksponent čak i negativan:

• domena definicije: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;

Kada je x \u003d 0, dobivamo diskontinuitet druge vrste, budući da je lim x → 0 - 0 x a \u003d + ∞, lim x → 0 + 0 x a \u003d + ∞ za a \u003d - 2, - 4, - 6, .... Dakle, pravac x = 0 je vertikalna asimptota;

• funkcija je parna jer je y (- x) = y (x) ;
• funkcija je rastuća za x ∈ (- ∞ ; 0) i padajuća za x ∈ 0 ; +∞ ;
• funkcija je konkavna za x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
• nema točaka infleksije;
• vodoravna asimptota je ravna linija y = 0 jer:

k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 kada je a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .

• prolazne točke funkcije: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .

Od samog početka obratite pozornost na sljedeći aspekt: ​​u slučaju kada je a pozitivan razlomak s neparnim nazivnikom, neki autori uzimaju interval - ∞ kao domenu definicije ove potencije; + ∞ , uz uvjet da je eksponent a nesvodivi razlomak. Trenutno su autori mnogih obrazovne publikacije prema algebri i počecima analize, potencne funkcije NISU DEFINIRANE, gdje je eksponent razlomak s neparnim nazivnikom za negativne vrijednosti argumenta. Dalje ćemo se pridržavati upravo takvog stava: uzimamo skup [ 0 ; +∞) . Preporuka učenicima: doznajte stajalište nastavnika o ovome kako biste izbjegli nesuglasice.

Dakle, pogledajmo funkciju snage y = x a kada je eksponent racionalan ili iracionalan broj pod uvjetom da je 0< a < 1 .

Ilustrirajmo grafovima funkcije snage y = x a kada je a = 11 12 (grafikon u crnoj boji); a = 5 7 (crvena boja grafa); a = 1 3 (plava boja grafa); a = 2 5 (zelena boja grafa).

Ostale vrijednosti eksponenta a (uz pretpostavku 0< a < 1) дадут аналогичный вид графика.

Definicija 10

Svojstva funkcije snage na 0< a < 1:

• raspon: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• funkcija je rastuća za x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• funkcija ima konveksnost za x ∈ (0 ; + ∞) ;
• nema točaka infleksije;
• nema asimptota;

Analizirajmo funkciju snage y = x a kada je eksponent necijeli racionalni ili iracionalni broj uz uvjet da je a > 1 .

Ilustriramo grafove funkcije snage y = x a pod zadanim uvjetima koristeći sljedeće funkcije kao primjer: y = x 5 4, y = x 4 3, y = x 7 3, y = x 3 π (crna, crvena, plava, zelena grafovi, redom).

Ostale vrijednosti eksponenta a pod uvjetom a > 1 dat će sličan prikaz grafa.

Definicija 11

Svojstva funkcije snage za a > 1:

• domena definicije: x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• raspon: y ∈ [ 0 ; +∞) ;
• ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije parna ni neparna);
• funkcija je rastuća za x ∈ [ 0 ; +∞) ;
• funkcija je konkavna za x ∈ (0 ; + ∞) (kada je 1< a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
• nema točaka infleksije;
• nema asimptota;
• točke prolaza funkcije: (0 ; 0) , (1 ; 1) .

Skrećemo pozornost!Kada je a negativan razlomak s neparnim nazivnikom, u radovima nekih autora postoji stajalište da je domena definicije u ovaj slučaj– interval - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) uz uvjet da je eksponent a nesvodivi razlomak. U ovom trenutku autori nastavni materijali prema algebri i počecima analize, potencne funkcije s eksponentom u obliku razlomka s neparnim nazivnikom s negativnim vrijednostima argumenta NISU DEFINIRANE. Nadalje, držimo se upravo takvog gledišta: uzimamo skup (0 ; + ∞) kao domenu funkcija snage s razlomačkim negativnim eksponentima. Prijedlozi za učenike: Razjasnite viziju svog učitelja u ovom trenutku kako biste izbjegli neslaganje.

Nastavljamo temu i analiziramo funkciju snage y = x a pod uvjetom: - 1< a < 0 .

Ovdje je crtež grafova sljedećih funkcija: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (crne, crvene, plave, zelene linije, redom ).

Definicija 12

Svojstva funkcije snage na - 1< a < 0:

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kada je - 1< a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• raspon: y ∈ 0 ; +∞ ;
• ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije parna ni neparna);
• nema točaka infleksije;

Donji crtež prikazuje grafove funkcija snage y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (crna, crvena, plava, zelene boje krivulje).

Definicija 13

Svojstva funkcije snage za a< - 1:

• domena definicije: x ∈ 0 ; +∞ ;

lim x → 0 + 0 x a = + ∞ kada je a< - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;

• raspon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije parna ni neparna);
• funkcija je padajuća za x ∈ 0; +∞ ;
• funkcija je konkavna za x ∈ 0; +∞ ;
• nema točaka infleksije;
• horizontalna asimptota - pravac y = 0 ;
• točka prolaza funkcije: (1 ; 1) .

Kada je a \u003d 0 i x ≠ 0, dobivamo funkciju y \u003d x 0 \u003d 1, koja određuje liniju iz koje se isključuje točka (0; 1) (složili smo se da se izraz 0 0 neće dati bilo koje vrijednosti).

Eksponencijalna funkcija ima oblik y = a x, gdje je a > 0 i a ≠ 1, a graf ove funkcije izgleda drugačije ovisno o vrijednosti baze a. Razmotrimo posebne slučajeve.

Prvo, analizirajmo situaciju kada baza eksponencijalne funkcije ima vrijednost od nule do jedan (0< a < 1) . Ilustrativan primjer su grafovi funkcija za a = 1 2 (plava boja krivulje) i a = 5 6 (crvena boja krivulje).

Grafikoni eksponencijalne funkcije imat će sličan oblik i za ostale vrijednosti baze, pod uvjetom da je 0< a < 1 .

Definicija 14

Svojstva eksponencijalne funkcije kada je baza manja od jedan:

• raspon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije parna ni neparna);
• eksponencijalna funkcija čija je baza manja od jedan pada u cijeloj domeni definicije;
• nema točaka infleksije;
• horizontalna asimptota je pravac y = 0 s varijablom x koja teži + ∞ ;

Sada razmotrite slučaj kada je baza eksponencijalne funkcije veća od jedan (a > 1).

Ilustrirajmo ovaj poseban slučaj grafom eksponencijalnih funkcija y = 3 2 x (plava boja krivulje) i y = e x (crvena boja grafa).

Ostale vrijednosti baze, veće od jedan, dat će sličan prikaz grafa eksponencijalne funkcije.

Definicija 15

Svojstva eksponencijalne funkcije kada je baza veća od jedan:

• domena definicije je cijeli skup realnih brojeva;
• raspon: y ∈ (0 ; + ∞) ;
• ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije parna ni neparna);
• eksponencijalna funkcija čija je baza veća od jedan raste za x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• funkcija je konkavna za x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• nema točaka infleksije;
• horizontalna asimptota - pravac y = 0 s varijablom x koja teži na - ∞ ;
• točka prolaza funkcije: (0 ; 1) .

Logaritamska funkcija ima oblik y = log a (x) , gdje je a > 0 , a ≠ 1 .

Takva je funkcija definirana samo za pozitivne vrijednosti argumenta: za x ∈ 0 ; +∞ .

Grafik logaritamske funkcije ima drugačija vrsta, na temelju vrijednosti baze a.

Razmotrimo prvo situaciju kada je 0< a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).

Ostale vrijednosti baze, ne veće od jedan, dat će sličan prikaz grafikona.

Definicija 16

Svojstva logaritamske funkcije kada je baza manja od jedan:

• domena definicije: x ∈ 0 ; +∞ . Kako x teži nuli s desne strane, vrijednosti funkcije teže + ∞;
• raspon: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije parna ni neparna);
• logaritamski
• funkcija je konkavna za x ∈ 0; +∞ ;
• nema točaka infleksije;
• nema asimptota;

Analizirajmo sada poseban slučaj kada je baza logaritamske funkcije veća od jedan: a > 1 . Na donjem crtežu nalaze se grafovi logaritamskih funkcija y = log 3 2 x i y = ln x (plava i crvena boja grafova).

Ostale vrijednosti baze veće od jedan dat će sličan prikaz grafikona.

Definicija 17

Svojstva logaritamske funkcije kada je baza veća od jedan:

• domena definicije: x ∈ 0 ; +∞ . Kako x teži nuli s desne strane, vrijednosti funkcije teže - ∞;
• raspon: y ∈ - ∞ ; + ∞ (cijeli skup realnih brojeva);
• ova funkcija je funkcija općeg oblika (nije parna ni neparna);
• logaritamska funkcija je rastuća za x ∈ 0; +∞ ;
• funkcija ima konveksnost za x ∈ 0; +∞ ;
• nema točaka infleksije;
• nema asimptota;
• točka prolaza funkcije: (1 ; 0) .

Trigonometrijske funkcije su sinus, kosinus, tangens i kotangens. Analizirajmo svojstva svakog od njih i odgovarajućih grafova.

Općenito, sve trigonometrijske funkcije karakterizira svojstvo periodičnosti, tj. kada se vrijednosti funkcija ponavljaju za različite vrijednosti argumenta koje se međusobno razlikuju po vrijednosti razdoblja f (x + T) = f (x) (T je razdoblje). Tako se na popis svojstava trigonometrijskih funkcija dodaje stavka "najmanji pozitivni period". Osim toga, naznačit ćemo takve vrijednosti argumenta za koje odgovarajuća funkcija nestaje.

1. Sinusna funkcija: y = sin(x)

Graf ove funkcije naziva se sinusni val.

Definicija 18

Svojstva sinusne funkcije:

• domena definicije: cijeli skup realnih brojeva x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• funkcija nestaje kada je x = π k , gdje je k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
• funkcija je rastuća za x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π k , k ∈ Z i opadajući za x ∈ π 2 + 2 π k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z ;
• funkcija sinusa ima lokalne maksimume u točkama π 2 + 2 π · k ; 1 i lokalni minimumi u točkama - π 2 + 2 π · k ; -1, k ∈ Z;
• funkcija sinusa je konkavna kada je x ∈ - π + 2 π k; 2 π k , k ∈ Z i konveksan kada je x ∈ 2 π k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
• nema asimptota.

1. kosinusna funkcija: y=cos(x)

Graf ove funkcije naziva se kosinusni val.

Definicija 19

Svojstva kosinusne funkcije:

• domena definicije: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• najmanji pozitivni period: T \u003d 2 π;
• raspon: y ∈ - 1 ; jedan ;
• ova funkcija je parna, jer je y (- x) = y (x) ;
• funkcija je rastuća za x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z i opadajuća za x ∈ 2 π · k ; π + 2 π k , k ∈ Z ;
• kosinusna funkcija ima lokalne maksimume u točkama 2 π · k ; 1 , k ∈ Z i lokalni minimumi u točkama π + 2 π · k ; -1, k ∈ z;
• funkcija kosinus je konkavna kada je x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π k , k ∈ Z i konveksan kada je x ∈ - π 2 + 2 π k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
• točke infleksije imaju koordinate π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
• nema asimptota.

1. Tangentna funkcija: y = t g (x)

Graf ove funkcije zove se tangentoid.

Definicija 20

Svojstva funkcije tangente:

• domena definicije: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π k , gdje je k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
• Ponašanje funkcije tangente na granici domene definicije lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Dakle, pravci x = π 2 + π · k k ∈ Z su vertikalne asimptote;
• funkcija nestaje kada je x = π k za k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
• raspon: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• ova funkcija je neparna jer je y (- x) = - y (x) ;
• funkcija raste pri - π 2 + π · k ; π 2 + π k , k ∈ Z ;
• funkcija tangente je konkavna za x ∈ [ π · k ; π 2 + π k), k ∈ Z i konveksan za x ∈ (- π 2 + π k ; π k ], k ∈ Z ;
• točke infleksije imaju koordinate π k; 0, k ∈ Z;

1. Kotangens funkcija: y = c t g (x)

Graf ove funkcije naziva se kotangentoid. .

Definicija 21

Svojstva kotangens funkcije:

• domena definicije: x ∈ (π k ; π + π k) , gdje je k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);

Ponašanje funkcije kotangensa na granici domene definicije lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Dakle, pravci x = π k k ∈ Z su vertikalne asimptote;

• najmanji pozitivni period: T \u003d π;
• funkcija nestaje kada je x = π 2 + π k za k ∈ Z (Z je skup cijelih brojeva);
• raspon: y ∈ - ∞ ; +∞ ;
• ova funkcija je neparna jer je y (- x) = - y (x) ;
• funkcija je opadajuća za x ∈ π · k ; π + π k , k ∈ Z ;
• funkcija kotangens je konkavna za x ∈ (π k ; π 2 + π k ] , k ∈ Z i konveksna za x ∈ [ - π 2 + π k ; π k) , k ∈ Z ;
• točke infleksije imaju koordinate π 2 + π · k ; 0, k ∈ Z;
• nema kosih i horizontalnih asimptota.

Inverzne trigonometrijske funkcije su arksinus, arkosinus, arktangens i arkotangens. Često se, zbog prisutnosti prefiksa "luk" u nazivu, inverzne trigonometrijske funkcije nazivaju lučnim funkcijama. .

1. Funkcija arkusina: y = a r c sin (x)

Definicija 22

Svojstva funkcije arksinus:

• ova funkcija je neparna jer je y (- x) = - y (x) ;
• arkus sinus funkcija je konkavna za x ∈ 0; 1 i konveksnost za x ∈ - 1 ; 0;
• točke infleksije imaju koordinate (0 ; 0) , to je ujedno i nula funkcije;
• nema asimptota.

1. Arkosinusna funkcija: y = a r c cos (x)

Definicija 23

Svojstva arkosinusne funkcije:

• domena definicije: x ∈ - 1 ; jedan ;
• raspon: y ∈ 0 ; π;
• ova funkcija je općeg oblika (niti parna niti neparna);
• funkcija je opadajuća na cijeloj domeni definicije;
• arkosinusna funkcija je konkavna za x ∈ - 1 ; 0 i konveksnost za x ∈ 0 ; jedan ;
• točke infleksije imaju koordinate 0 ; π2;
• nema asimptota.

1. Funkcija arktangens: y = a r c t g (x)

Definicija 24

Svojstva funkcije arktangens:

• domena definicije: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• raspon: y ∈ - π 2 ; π2;
• ova funkcija je neparna jer je y (- x) = - y (x) ;
• funkcija raste u cijeloj domeni definicije;
• funkcija arktangensa je konkavna za x ∈ (- ∞ ; 0 ] i konveksna za x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
• točka infleksije ima koordinate (0; 0), ona je ujedno i nula funkcije;
• horizontalne asimptote su ravne linije y = - π 2 za x → - ∞ i y = π 2 za x → + ∞ (asimptote na slici su zelene linije).

1. Arkus kotangens funkcija: y = a r c c t g (x)

Definicija 25

Svojstva funkcije arc kotangens:

• domena definicije: x ∈ - ∞ ; +∞ ;
• raspon: y ∈ (0 ; π) ;
• ova funkcija je općeg tipa;
• funkcija je opadajuća na cijeloj domeni definicije;
• funkcija arc kotangens je konkavna za x ∈ [ 0 ; + ∞) i konveksnost za x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
• točka infleksije ima koordinate 0 ; π2;
• vodoravne asimptote su ravne linije y = π na x → - ∞ (zelena linija na crtežu) i y = 0 na x → + ∞.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Na domeni funkcije snage y = x p vrijede formule:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Svojstva funkcija snage i njihovih grafova

Funkcija stepena s eksponentom jednakim nuli, p = 0

Ako je eksponent funkcije potencije y = x p nula, p = 0 , tada je funkcija snage definirana za sve x ≠ 0 i konstantna je, jednaka jedinici:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Funkcija potencije s prirodnim neparnim eksponentom, p = n = 1, 3, 5, ...

Promotrimo funkciju potencije y = x p = x n s prirodnim neparnim eksponentom n = 1, 3, 5, ... . Takav se pokazatelj također može napisati kao: n = 2k + 1, gdje je k = 0, 1, 2, 3, ... nenegativan cijeli broj. Ispod su svojstva i grafovi takvih funkcija.

Graf potencije y = x n s prirodnim neparnim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta n = 1, 3, 5, ... .

Domena: -∞ < x < ∞
Više vrijednosti: -∞ < y < ∞
Paritet: neparan, y(-x) = - y(x)
Monotonija: monotono raste
Ekstremi: Ne
Konveksan:
na -∞< x < 0 выпукла вверх
na 0< x < ∞ выпукла вниз
Prijelomne točke: x=0, y=0
x=0, y=0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
pri x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
za x = 0, y(0) = 0 n = 0
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrnuta funkcija:
za n = 1, funkcija je inverzna sama sebi: x = y
za n ≠ 1, inverzna funkcija je korijen stupnja n:

Funkcija potencije s prirodnim parnim eksponentom, p = n = 2, 4, 6, ...

Promotrimo funkciju potencije y = x p = x n s prirodnim parnim eksponentom n = 2, 4, 6, ... . Takav pokazatelj se također može napisati kao: n = 2k, gdje je k = 1, 2, 3, ... prirodan broj. Svojstva i grafovi takvih funkcija dati su u nastavku.

Grafik potencije y = x n s prirodnim parnim eksponentom za razne vrijednosti eksponenta n = 2, 4, 6, ... .

Domena: -∞ < x < ∞
Više vrijednosti: 0 ≤ y< ∞
Paritet: paran, y(-x) = y(x)
Monotonija:
za x ≤ 0 monotono opada
za x ≥ 0 monotono raste
Ekstremi: minimum, x=0, y=0
Konveksan: konveksno prema dolje
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: x=0, y=0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
za x = 0, y(0) = 0 n = 0
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrnuta funkcija:
za n = 2, Korijen:
za n ≠ 2, korijen stupnja n:

Funkcija potencije s cjelobrojnim negativnim eksponentom, p = n = -1, -2, -3, ...

Razmotrimo funkciju potencije y = x p = x n s negativnim cijelim eksponentom n = -1, -2, -3, ... . Ako stavimo n = -k, gdje je k = 1, 2, 3, ... prirodan broj, tada se može prikazati kao:

Graf potencije y = x n s negativnim cijelim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta n = -1, -2, -3, ... .

Neparni eksponent, n = -1, -3, -5, ...

Ispod su svojstva funkcije y = x n s neparnim negativnim eksponentom n = -1, -3, -5, ... .

Domena: x ≠ 0
Više vrijednosti: y ≠ 0
Paritet: neparan, y(-x) = - y(x)
Monotonija: monotono se smanjuje
Ekstremi: Ne
Konveksan:
na x< 0 : выпукла вверх
za x > 0 : konveksno prema dolje
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: Ne
Znak:
na x< 0, y < 0
za x > 0, y > 0
Ograničenja:
; ; ;
Privatne vrijednosti:
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrnuta funkcija:
za n = -1,
za n< -2 ,

Parni eksponent, n = -2, -4, -6, ...

Ispod su svojstva funkcije y = x n s parnim negativnim eksponentom n = -2, -4, -6, ... .

Domena: x ≠ 0
Više vrijednosti: y > 0
Paritet: paran, y(-x) = y(x)
Monotonija:
na x< 0 : монотонно возрастает
za x > 0 : monotono opadajuća
Ekstremi: Ne
Konveksan: konveksno prema dolje
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: Ne
Znak: y > 0
Ograničenja:
; ; ;
Privatne vrijednosti:
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrnuta funkcija:
za n = -2,
za n< -2 ,

Funkcija stepena s racionalnim (frakcijskim) eksponentom

Razmotrimo funkciju potencije y = x p s racionalnim (frakcijskim) eksponentom, gdje je n cijeli broj, m > 1 je prirodan broj. Štoviše, n, m nemaju zajednički djelitelji.

Nazivnik frakcijskog pokazatelja je neparan

Neka je nazivnik razlomljenog eksponenta neparan: m = 3, 5, 7, ... . U ovom slučaju, funkcija snage x p definirana je i za pozitivne i za negativne x vrijednosti. Razmotrimo svojstva takvih funkcija snage kada je eksponent p unutar određenih granica.

p je negativan, p< 0

Neka racionalni eksponent (s neparnim nazivnikom m = 3, 5, 7, ... ) bude manji od nule: .

Grafovi eksponencijalnih funkcija s racionalnim negativnim eksponentom za različite vrijednosti eksponenta, gdje je m = 3, 5, 7, ... neparan.

Neparni brojnik, n = -1, -3, -5, ...

Ovdje su svojstva funkcije potencije y = x p s racionalnim negativnim eksponentom, gdje je n = -1, -3, -5, ... neparan negativan cijeli broj, m = 3, 5, 7 ... je neparan prirodni broj.

Domena: x ≠ 0
Više vrijednosti: y ≠ 0
Paritet: neparan, y(-x) = - y(x)
Monotonija: monotono se smanjuje
Ekstremi: Ne
Konveksan:
na x< 0 : выпукла вверх
za x > 0 : konveksno prema dolje
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: Ne
Znak:
na x< 0, y < 0
za x > 0, y > 0
Ograničenja:
; ; ;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrnuta funkcija:

Parni brojnik, n = -2, -4, -6, ...

Svojstva funkcije potencije y = x p s racionalnim negativnim eksponentom, gdje je n = -2, -4, -6, ... paran negativan cijeli broj, m = 3, 5, 7 ... neparan prirodan broj .

Domena: x ≠ 0
Više vrijednosti: y > 0
Paritet: paran, y(-x) = y(x)
Monotonija:
na x< 0 : монотонно возрастает
za x > 0 : monotono opadajuća
Ekstremi: Ne
Konveksan: konveksno prema dolje
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: Ne
Znak: y > 0
Ograničenja:
; ; ;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
za x = 1, y(1) = 1 n = 1
Obrnuta funkcija:

P-vrijednost je pozitivna, manja od jedan, 0< p < 1

Graf funkcije snage s racionalnim eksponentom (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Neparni brojnik, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domena: -∞ < x < +∞
Više vrijednosti: -∞ < y < +∞
Paritet: neparan, y(-x) = - y(x)
Monotonija: monotono raste
Ekstremi: Ne
Konveksan:
na x< 0 : выпукла вниз
za x > 0 : konveksno gore
Prijelomne točke: x=0, y=0
Sječne točke s koordinatnim osima: x=0, y=0
Znak:
na x< 0, y < 0
za x > 0, y > 0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = -1
za x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1
Obrnuta funkcija:

Parni brojnik, n = 2, 4, 6, ...

Prikazana su svojstva funkcije snage y = x p s racionalnim eksponentom unutar 0.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Domena: -∞ < x < +∞
Više vrijednosti: 0 ≤ y< +∞
Paritet: paran, y(-x) = y(x)
Monotonija:
na x< 0 : монотонно убывает
za x > 0 : monotono rastuće
Ekstremi: minimum pri x = 0, y = 0
Konveksan: konveksan prema gore na x ≠ 0
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: x=0, y=0
Znak: za x ≠ 0, y > 0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = 1
za x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1
Obrnuta funkcija:

Eksponent p je veći od jedan, p > 1

Graf funkcije snage s racionalnim eksponentom (p > 1) za različite vrijednosti eksponenta, gdje je m = 3, 5, 7, ... neparan.

Neparni brojnik, n = 5, 7, 9, ...

Svojstva funkcije potencije y = x p s racionalnim eksponentom većim od jedan: . Gdje je n = 5, 7, 9, ... neparan prirodan broj, m = 3, 5, 7 ... je neparan prirodan broj.

Domena: -∞ < x < ∞
Više vrijednosti: -∞ < y < ∞
Paritet: neparan, y(-x) = - y(x)
Monotonija: monotono raste
Ekstremi: Ne
Konveksan:
na -∞< x < 0 выпукла вверх
na 0< x < ∞ выпукла вниз
Prijelomne točke: x=0, y=0
Sječne točke s koordinatnim osima: x=0, y=0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = -1
za x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1
Obrnuta funkcija:

Parni brojnik, n = 4, 6, 8, ...

Svojstva funkcije potencije y = x p s racionalnim eksponentom većim od jedan: . Gdje je n = 4, 6, 8, ... paran prirodan broj, m = 3, 5, 7 ... je neparan prirodan broj.

Domena: -∞ < x < ∞
Više vrijednosti: 0 ≤ y< ∞
Paritet: paran, y(-x) = y(x)
Monotonija:
na x< 0 монотонно убывает
za x > 0 monotono raste
Ekstremi: minimum pri x = 0, y = 0
Konveksan: konveksno prema dolje
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: x=0, y=0
Ograničenja:
;
Privatne vrijednosti:
za x = -1, y(-1) = 1
za x = 0, y(0) = 0
za x = 1, y(1) = 1
Obrnuta funkcija:

Nazivnik frakcijskog pokazatelja je paran

Neka je nazivnik razlomačkog eksponenta paran: m = 2, 4, 6, ... . U ovom slučaju, funkcija snage x p nije definirana za negativne vrijednosti argumenta. Njegova svojstva podudaraju se sa svojstvima funkcije potencije s iracionalnim eksponentom (vidi sljedeći odjeljak).

Funkcija potencije s iracionalnim eksponentom

Promotrimo funkciju potencije y = x p s iracionalnim eksponentom p . Svojstva takvih funkcija razlikuju se od gore navedenih po tome što nisu definirana za negativne vrijednosti argumenta x. Za pozitivne vrijednosti argumenta, svojstva ovise samo o vrijednosti eksponenta p i ne ovise o tome je li p cijeli broj, racionalan ili iracionalan.

y = x p za različite vrijednosti eksponenta p.

Funkcija potencije s negativnim p< 0

Domena: x > 0
Više vrijednosti: y > 0
Monotonija: monotono se smanjuje
Konveksan: konveksno prema dolje
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: Ne
Ograničenja: ;
privatna vrijednost: Za x = 1, y(1) = 1 p = 1

Funkcija potencije s pozitivnim eksponentom p > 0

Indikator je manji od jedne 0< p < 1

Domena: x ≥ 0
Više vrijednosti: y ≥ 0
Monotonija: monotono raste
Konveksan: konveksno gore
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: x=0, y=0
Ograničenja:
Privatne vrijednosti: Za x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Za x = 1, y(1) = 1 p = 1

Indikator je veći od jednog p > 1

Domena: x ≥ 0
Više vrijednosti: y ≥ 0
Monotonija: monotono raste
Konveksan: konveksno prema dolje
Prijelomne točke: Ne
Sječne točke s koordinatnim osima: x=0, y=0
Ograničenja:
Privatne vrijednosti: Za x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Za x = 1, y(1) = 1 p = 1

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.

Vidi također:

Funkcija stepena naziva se funkcija oblika y=x n (čita se kao da je y jednako x na stepen n), gdje je n neki dati broj. Posebni slučajevi potencijskih funkcija su funkcije oblika y=x, y=x 2 , y=x 3 , y=1/x i mnoge druge. Razgovarajmo više o svakom od njih.

Linearna funkcija y=x 1 (y=x)

Graf je ravna crta koja prolazi točkom (0;0) pod kutom od 45 stupnjeva u odnosu na pozitivan smjer osi Ox.

Grafikon je prikazan u nastavku.

Osnovna svojstva linearne funkcije:

• Funkcija je rastuća i definirana je na cijeloj brojčanoj osi.
• Nema maksimalne i minimalne vrijednosti.

Kvadratna funkcija y=x 2

Graf kvadratne funkcije je parabola.

Osnovna svojstva kvadratne funkcije:

• 1. Za x=0, y=0 i y>0 za x0
• 2. Kvadratna funkcija postiže svoju minimalnu vrijednost na svom vrhu. Ymin pri x=0; Također treba napomenuti da maksimalna vrijednost funkcije ne postoji.
• 3. Funkcija pada na intervalu (-∞; 0] i raste na intervalu )