Kako pronaći LCM (najmanji zajednički višekratnik)

Zajednički višekratnik dvaju cijelih brojeva je cijeli broj koji je ravnomjerno djeljiv s oba zadana broja bez ostatka.

Najmanji zajednički višekratnik dva cijela broja je najmanji od svih cijelih brojeva koji je djeljiv ravnomjerno i bez ostatka s oba navedena broja.

Metoda 1. LCM možete pronaći redom za svaki od zadanih brojeva, ispisujući rastućim redoslijedom sve brojeve koji se dobiju njihovim množenjem s 1, 2, 3, 4 itd.

Primjer za brojeve 6 i 9.
Množimo broj 6, redom, sa 1, 2, 3, 4, 5.
Dobivamo: 6, 12, 18 , 24, 30
Broj 9 množimo redom sa 1, 2, 3, 4, 5.
Dobijamo: 9, 18 , 27, 36, 45
Kao što vidite, LCM za brojeve 6 i 9 bit će 18.

Ova metoda je prikladna kada su oba broja mala i lako ih je pomnožiti nizom cijelih brojeva. Međutim, postoje slučajevi kada trebate pronaći LCM za dvoznamenkaste ili troznamenkaste brojeve, a također i kada postoje tri ili čak više početnih brojeva.

Metoda 2. LCM možete pronaći rastavljanjem izvornih brojeva na proste faktore.
Nakon razgradnje, potrebno je izbrisati iz rezultirajućih redaka glavni faktori isti brojevi. Preostali brojevi prvog broja bit će faktor za drugi, a preostali brojevi drugog broja bit će faktor za prvi.

Primjer za broj 75 i 60.
Najmanji zajednički višekratnik brojeva 75 i 60 može se pronaći bez ispisivanja višekratnika tih brojeva u nizu. Da bismo to učinili, rastavljamo 75 i 60 na proste faktore:
75 = 3 * 5 * 5, i
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kao što vidite, faktori 3 i 5 pojavljuju se u oba retka. Mentalno ih "precrtavamo".
Zapišimo preostale faktore uključene u proširenje svakog od ovih brojeva. Kod rastavljanja broja 75 ostavili smo broj 5, a kod rastavljanja broja 60 ostavili smo 2 * 2
Dakle, da bismo odredili LCM za brojeve 75 i 60, moramo preostale brojeve iz proširenja 75 (ovo je 5) pomnožiti sa 60, a brojeve preostale iz proširenja broja 60 (ovo je 2 * 2) ) pomnožiti sa 75. Odnosno, radi lakšeg razumijevanja, kažemo da množimo "naprijed".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Ovako smo pronašli LCM za brojeve 60 i 75. Ovo je broj 300.

Primjer. Odredite LCM za brojeve 12, 16, 24
U ovom će slučaju naše radnje biti nešto složenije. Ali prvo, kao i uvijek, rastavljamo sve brojeve na proste faktore
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Da bismo ispravno odredili LCM, odabiremo najmanji od svih brojeva (ovo je broj 12) i redom prolazimo kroz njegove faktore, križajući ih ako barem jedan od ostalih redova brojeva ima isti faktor koji još nije prekrižen van.

Korak 1 . Vidimo da se 2 * 2 pojavljuje u svim nizovima brojeva. Prekrižimo ih.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Korak 2. U prostim činiteljima broja 12 ostaje samo broj 3. Ali postoji u prostim činiteljima broja 24. Broj 3 precrtavamo iz oba reda, dok se za broj 16 ne očekuje nikakva radnja. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kao što vidite, prilikom rastavljanja broja 12 "precrtali" smo sve brojeve. Dakle, nalaz NOO-a je završen. Ostaje samo izračunati njegovu vrijednost.
Za broj 12 uzimamo preostale faktore od broja 16 (najbliži u rastućem redoslijedu)
12 * 2 * 2 = 48
Ovo je NOC

Kao što vidite, u ovom slučaju je pronalaženje LCM-a bilo nešto teže, ali kada ga trebate pronaći za tri ili više brojeva, ovu metodu omogućuje vam da to učinite brže. Međutim, oba načina pronalaženja LCM su točna.

Učenici dobivaju puno matematičkih zadataka. Među njima vrlo često postoje zadaci sa sljedećom formulacijom: postoje dvije vrijednosti. Kako pronaći najmanji zajednički višekratnik zadanih brojeva? Takve zadatke potrebno je znati obavljati, budući da se stečene vještine koriste za rad s razlomcima kada različite nazivnike. U članku ćemo analizirati kako pronaći LCM i osnovne pojmove.

Prije pronalaska odgovora na pitanje kako pronaći LCM potrebno je definirati pojam višestruke. Najčešće je formulacija ovog koncepta sljedeća: višekratnik neke vrijednosti A je prirodni broj koji će bez ostatka biti djeljiv s A. Dakle, za 4, 8, 12, 16, 20 i tako dalje, do zahtijevanu granicu.

U tom slučaju broj djelitelja za određenu vrijednost može biti ograničen, a višekratnika ima beskonačno mnogo. Ista je vrijednost i za prirodne vrijednosti. Ovo je pokazatelj koji se njima dijeli bez ostatka. Nakon što smo se pozabavili konceptom najmanje vrijednosti za određene pokazatelje, prijeđimo na to kako je pronaći.

Pronalazak NOC-a

Najmanji višekratnik dvaju ili više eksponenata je najmanji prirodni broj koji je potpuno djeljiv sa svim zadanim brojevima.

Postoji nekoliko načina da se pronađe takva vrijednost. Razmotrimo sljedeće metode:

1. Ako su brojevi mali, upišite u red sve djeljive s njima. Nastavite tako dok ne pronađete nešto zajedničko među njima. U zapisu se označavaju slovom K. Na primjer, za 4 i 3 najmanji višekratnik je 12.
2. Ako su oni veliki ili trebate pronaći višekratnik za 3 ili više vrijednosti, tada biste ovdje trebali koristiti drugu tehniku ​​koja uključuje rastavljanje brojeva na proste faktore. Prvo položite najveći od navedenih, a zatim sve ostale. Svaki od njih ima svoj broj množitelja. Kao primjer, rastavimo 20 (2*2*5) i 50 (5*5*2). Za manji od njih podcrtajte faktore i dodajte najvećem. Rezultat će biti 100, što će biti najmanji zajednički višekratnik gornjih brojeva.
3. Kod pronalaženja 3 broja (16, 24 i 36) principi su isti kao i za druga dva. Proširimo svaki od njih: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. U razlaganje najvećeg nisu ušle samo dvije dvojke iz proširenja broja 16. Zbrajamo ih i dobivamo 144, što je najmanji rezultat za prethodno navedene brojčane vrijednosti.

Sada znamo koja je opća tehnika za pronalaženje najmanje vrijednosti za dvije, tri ili više vrijednosti. Međutim, postoje i privatne metode, pomoć u traženju NOC-a, ako prethodni ne pomognu.

Kako pronaći GCD i NOC.

Privatni načini pronalaženja

Kao i kod svakog matematičkog dijela, postoje posebni slučajevi pronalaženja LCM-ova koji pomažu u određenim situacijama:

• ako je jedan od brojeva djeljiv s ostalima bez ostatka, tada mu je najmanji višekratnik tih brojeva jednak (NOC 60 i 15 jednako je 15);
• Koprosti brojevi nemaju zajedničke proste djelitelje. Njihova najmanja vrijednost jednaka je umnošku tih brojeva. Dakle, za brojeve 7 i 8 to će biti 56;
• isto pravilo vrijedi i za druge slučajeve, uključujući posebne, o kojima se može pročitati u stručnoj literaturi. Tu treba uključiti i slučajeve dekompozicije kompozitnih brojeva, koji su predmet zasebnih članaka, pa čak i doktorskih disertacija.

Posebni slučajevi su rjeđi od standardnih primjera. Ali zahvaljujući njima, možete naučiti kako raditi s frakcijama različitih stupnjeva složenosti. To posebno vrijedi za razlomke., gdje postoje različiti nazivnici.

Neki primjeri

Pogledajmo nekoliko primjera zahvaljujući kojima možete razumjeti princip pronalaženja najmanjeg višekratnika:

1. Nalazimo LCM (35; 40). Prvo postavljamo 35 = 5*7, zatim 40 = 5*8. Najmanjem broju dodamo 8 i dobijemo NOC 280.
2. NOK (45; 54). Postavljamo svaki od njih: 45 = 3*3*5 i 54 = 3*3*6. Dodamo broj 6 na 45. Dobit ćemo NOC jednak 270.
3. Pa, posljednji primjer. Postoje 5 i 4. Za njih ne postoje jednostavni višekratnici, pa će najmanji zajednički višekratnik u ovom slučaju biti njihov umnožak, jednak 20.

Zahvaljujući primjerima, možete razumjeti kako se nalazi NOC, koje su nijanse i koje je značenje takvih manipulacija.

Pronalaženje NOC-a puno je lakše nego što se na prvi pogled čini. Za to se koriste i jednostavno proširenje i množenje jednostavnih vrijednosti jedna s drugom.. Sposobnost rada s ovim dijelom matematike pomaže u daljnjem učenju matematičke teme, posebno frakcije različitih stupnjeva složenosti.

Ne zaboravite povremeno rješavati primjere različitim metodama, to razvija logički aparat i omogućuje vam pamćenje brojnih pojmova. Naučite metode za pronalaženje takvog pokazatelja i moći ćete dobro raditi s ostatkom matematičkih dijelova. Sretno učenje matematike!

Video

Ovaj će vam video pomoći razumjeti i zapamtiti kako pronaći najmanji zajednički višekratnik.

Razmotrite tri načina za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika.

Pronalaženje faktoringom

Prvi način je pronaći najmanji zajednički višekratnik rastavljanjem danih brojeva na proste faktore.

Pretpostavimo da trebamo pronaći LCM brojeva: 99, 30 i 28. Da bismo to učinili, rastavljamo svaki od ovih brojeva na proste faktore:

Da bi željeni broj bio djeljiv s 99, 30 i 28, potrebno je i dovoljno da sadrži sve proste faktore ovih djelitelja. Da bismo to učinili, trebamo uzeti sve proste faktore ovih brojeva na najveću potenciju i pomnožiti ih zajedno:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

Dakle, LCM (99, 30, 28) = 13 860. Nijedan drugi broj manji od 13 860 nije ravnomjerno djeljiv s 99, 30 ili 28.

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik zadanih brojeva, trebate ih rastaviti na proste faktore, zatim uzeti svaki prosti faktor s najvećim eksponentom s kojim se pojavljuje i pomnožiti te faktore zajedno.

Budući da međusobno prosti brojevi nemaju zajedničke proste faktore, njihov najmanji zajednički višekratnik jednak je umnošku tih brojeva. Na primjer, tri broja: 20, 49 i 33 su prosti. Zato

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

Isto treba učiniti kada se traži najmanji zajednički višekratnik raznih primarni brojevi. Na primjer, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Pronalaženje odabirom

Drugi način je pronaći najmanji zajednički višekratnik prilagodbom.

Primjer 1. Kada je najveći od zadanih brojeva ravnomjerno djeljiv s drugim zadanim brojevima, tada je LCM tih brojeva jednak većem od njih. Na primjer, dana su četiri broja: 60, 30, 10 i 6. Svaki od njih je djeljiv sa 60, dakle:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

U drugim slučajevima, za pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika, koristi se sljedeći postupak:

1. Od zadanih brojeva odredi najveći broj.
2. Zatim pronalazimo brojeve koji su višekratnici najvećeg broja, množimo ga prirodnim brojevima rastućim redoslijedom i provjeravamo jesu li preostali zadani brojevi djeljivi s dobivenim umnoškom.

Primjer 2. Dana su tri broja 24, 3 i 18. Odredite najveći od njih - to je broj 24. Zatim pronađite višekratnike broja 24, provjeravajući je li svaki od njih djeljiv s 18 i s 3:

24 1 = 24 je djeljivo s 3, ali nije djeljivo s 18.

24 2 = 48 - djeljivo s 3, ali ne djeljivo s 18.

24 3 \u003d 72 - djeljivo s 3 i 18.

Dakle, LCM(24, 3, 18) = 72.

Nalaženje sekvencijalnim nalaženjem LCM

Treći način je pronaći najmanji zajednički višekratnik uzastopnim pronalaženjem LCM-a.

LCM dva zadana broja jednak je umnošku tih brojeva podijeljenih njihovim najvećim zajedničkim djeliteljem.

Primjer 1. Odredite LCM dva zadana broja: 12 i 8. Odredite njihov najveći zajednički djelitelj: GCD (12, 8) = 4. Pomnožite ove brojeve:

Proizvod dijelimo na GCD:

Dakle, LCM(12, 8) = 24.

Za pronalaženje LCM tri ili više brojeva koristi se sljedeći postupak:

1. Prvo se pronalazi LCM bilo koja dva zadana broja.
2. Zatim, LCM pronađenog najmanjeg zajedničkog višekratnika i treći zadani broj.
3. Zatim, LCM rezultirajućeg najmanjeg zajedničkog višekratnika i četvrtog broja, i tako dalje.
4. Stoga se LCM pretraga nastavlja sve dok ima brojeva.

Primjer 2. Nađimo LCM tri zadana broja: 12, 8 i 9. Već smo pronašli LCM brojeva 12 i 8 u prethodnom primjeru (ovo je broj 24). Preostaje pronaći najmanji zajednički višekratnik broja 24 i trećeg zadanog broja - 9. Odrediti njihov najveći zajednički djelitelj: gcd (24, 9) = 3. Pomnožiti LCM s brojem 9:

Proizvod dijelimo na GCD:

Dakle, LCM(12, 8, 9) = 72.

Ali mnogi prirodni brojevi ravnomjerno su djeljivi s drugim prirodnim brojevima.

Na primjer:

Broj 12 djeljiv je s 1, s 2, s 3, s 4, s 6, s 12;

Broj 36 je djeljiv sa 1, sa 2, sa 3, sa 4, sa 6, sa 12, sa 18, sa 36.

Brojevi kojima je broj djeljiv (za 12 je 1, 2, 3, 4, 6 i 12) nazivaju se djelitelji brojeva. Djelitelj prirodnog broja a je prirodni broj koji dijeli dati broj a bez traga. Prirodni broj koji ima više od dva faktora naziva se kompozitni .

Imajte na umu da brojevi 12 i 36 imaju zajedničke djelitelje. To su brojevi: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Najveći djelitelj ovih brojeva je 12. Zajednički djelitelj ova dva broja a i b je broj kojim su oba dana djeljiva bez ostatka a i b.

zajednički višekratnik više brojeva naziva se broj koji je djeljiv svakim od tih brojeva. Na primjer, brojevi 9, 18 i 45 imaju zajednički višekratnik 180. Ali 90 i 360 su također njihovi zajednički višekratnici. Među svim zajedničkim višekratnicima uvijek postoji najmanji, u ovom slučaju to je 90. Taj se broj naziva najmanjezajednički višekratnik (LCM).

LCM je uvijek prirodan broj, koji mora biti veći od najvećeg od brojeva za koje je definiran.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM). Svojstva.

Komutativnost:

Asocijativnost:

Konkretno, ako su i međusobno prosti brojevi, tada:

Najmanji zajednički višekratnik dvaju cijelih brojeva m i n je djelitelj svih ostalih zajedničkih višekratnika m i n. Štoviše, skup zajedničkih višekratnika m,n podudara se sa skupom višekratnika za LCM( m,n).

Asimptotika za može se izraziti u terminima nekih teorijskih funkcija brojeva.

Tako, Čebiševljeva funkcija. Kao i:

To proizlazi iz definicije i svojstava Landauove funkcije g(n).

Što slijedi iz zakona raspodjele prostih brojeva.

Pronalaženje najmanjeg zajedničkog višekratnika (LCM).

NOC( a, b) može se izračunati na nekoliko načina:

1. Ako je najveći zajednički djelitelj poznat, možete koristiti njegov odnos s LCM-om:

2. Neka je poznata kanonska dekompozicija oba broja na proste faktore:

gdje p 1 ,...,p k su različiti prosti brojevi, i d 1 ,...,d k i e 1 ,...,ek su nenegativni cijeli brojevi (mogu biti nula ako odgovarajući prost broj nije u proširenju).

Zatim LCM ( a,b) izračunava se po formuli:

Drugim riječima, LCM dekompozicija sadrži sve proste faktore koji se pojavljuju u barem jednoj od dekompozicija brojeva a, b, a uzima se najveći od dva eksponenta ovog faktora.

Primjer:

Izračun najmanjeg zajedničkog višekratnika više brojeva može se svesti na nekoliko uzastopnih izračuna LCM dvaju brojeva:

Pravilo. Da biste pronašli LCM niza brojeva, trebate:

- rastaviti brojeve na proste faktore;

- prenijeti najveću ekspanziju na faktore željenog umnoška (umnožak faktora veliki broj od zadanih), a zatim dodati faktore iz proširenja ostalih brojeva koji se ne pojavljuju u prvom broju ili su u njemu manji broj puta;

- rezultirajući umnožak prostih faktora bit će LCM zadanih brojeva.

Bilo koja dva ili više prirodni brojevi imaju svoj NOC. Ako brojevi nisu višekratnici jedan drugoga ili nemaju iste faktore u proširenju, tada je njihov LCM jednak umnošku tih brojeva.

Prosti faktori broja 28 (2, 2, 7) dopunjeni su faktorom 3 (broj 21), a dobiveni umnožak (84) bit će najmanji broj djeljiv s 21 i 28.

Prosti faktori najvećeg broja 30 dopunjeni su faktorom 5 broja 25, dobiveni umnožak 150 veći je od najvećeg broja 30 i djeljiv je sa svim zadani brojevi bez traga. Ovo je najmanji mogući umnožak (150, 250, 300...) čiji su višekratnici svi navedeni brojevi.

Brojevi 2,3,11,37 su prosti, pa je njihov LCM jednak umnošku zadanih brojeva.

Pravilo. Da biste izračunali LCM prostih brojeva, trebate pomnožiti sve te brojeve zajedno.

Druga opcija:

Da biste pronašli najmanji zajednički višekratnik (LCM) nekoliko brojeva, trebate:

1) predstaviti svaki broj kao umnožak njegovih prostih faktora, na primjer:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) zapišite potencije svih prostih faktora:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) zapišite sve proste djelitelje (množitelje) svakog od ovih brojeva;

4) odaberite najveći stupanj svakog od njih, koji se nalazi u svim proširenjima ovih brojeva;

5) umnožite ove moći.

Primjer. Odredite LCM brojeva: 168, 180 i 3024.

Riješenje. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Ispisujemo najveće potencije svih prostih djelitelja i množimo ih:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.