Transformacije identiteta trigonometrijskih izraza. Lekcija "pojednostavljenje trigonometrijskih izraza" Trigonometrijski izrazi i njihove transformacije

Odjeljci: Matematika

Klasa: 11

Lekcija 1

Tema: 11. razred (priprema za ispit)

Pojednostavljivanje trigonometrijskih izraza.

Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi. (2 sata)

Ciljevi:

  • Usustaviti, generalizirati, proširiti znanja i vještine učenika vezane uz korištenje trigonometrijskih formula i rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi.

Oprema za lekciju:

Struktura lekcije:

  1. Orgmoment
  2. Testiranje na prijenosnim računalima. Rasprava o rezultatima.
  3. Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza
  4. Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi
  5. Samostalni rad.
  6. Sažetak lekcije. Objašnjenje domaće zadaće.

1. Organizacijski trenutak. (2 minute.)

Nastavnik pozdravlja publiku, najavljuje temu lekcije, prisjeća se prethodnog zadatka ponavljanja trigonometrijskih formula i postavlja učenike na testiranje.

2. Ispitivanje. (15 min + 3 min rasprave)

Cilj je provjeriti poznavanje trigonometrijskih formula i sposobnost njihove primjene. Svaki učenik na svom stolu ima prijenosno računalo u kojem postoji mogućnost testiranja.

Može biti koliko god želite opcija, evo primjera jedne od njih:

I opcija.

Pojednostavite izraze:

a) osnovni trigonometrijski identiteti

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) formule sabiranja

3. sin5x - sin3x;

c) pretvaranje umnoška u zbroj

6. 2sin8y cos3y;

d) formule dvostrukog kuta

7,2sin5x cos5x;

e) formule polukuta

f) formule trostrukog kuta

g) univerzalna supstitucija

h) snižavanje stepena

16. cos 2 (3x/7);

Učenici na prijenosnom računalu ispred svake formule vide svoje odgovore.

Rad se trenutno provjerava računalom. Rezultati se prikazuju na velikom ekranu kako bi ih svi mogli vidjeti.

Također, nakon završetka rada točni odgovori se prikazuju na prijenosnim računalima učenika. Svaki učenik vidi gdje je pogriješio i koje formule treba ponoviti.

3. Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza. (25 min.)

Cilj je ponoviti, razraditi i učvrstiti primjenu osnovnih formula trigonometrije. Rješavanje zadataka B7 s ispita.

U ovoj fazi preporučljivo je podijeliti razred u grupe jakih (samostalan rad uz naknadnu provjeru) i slabih učenika koji rade s učiteljem.

Zadatak za jake učenike (unaprijed pripremljen u tiskanom obliku). Glavni naglasak je na formulama redukcije i dvostrukog kuta, prema USE 2011.

Pojednostavite izraze (za dobre učenike):

Paralelno, nastavnik radi sa slabijim učenicima, raspravlja i rješava zadatke na ekranu pod diktatom učenika.

Izračunati:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

6)

Pojednostaviti:

Na red je došla rasprava o rezultatima rada jakosne skupine.

Na ekranu se pojavljuju odgovori, a uz pomoć video kamere prikazuju se i radovi 5 različitih učenika (svakom po jedan zadatak).

Slaba skupina vidi uvjet i način rješenja. Postoji rasprava i analiza. Uz korištenje tehničkih sredstava to se događa brzo.

4. Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi. (30 minuta.)

Cilj je ponoviti, sistematizirati i generalizirati rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi, bilježeći njihove korijene. Rješenje problema B3.

Svaka trigonometrijska jednadžba, kako god je riješili, vodi do najjednostavnije.

Prilikom rješavanja zadatka učenici trebaju paziti na pisanje korijena jednadžbi pojedinih slučajeva i općeg oblika te na izbor korijena u posljednjoj jednadžbi.

Riješite jednadžbe:

Zapišite najmanji pozitivni korijen odgovora.

5. Samostalni rad (10 min.)

Cilj je provjeriti stečene vještine, identificirati probleme, pogreške i načine otklanjanja istih.

Po izboru studenta nudi se niz radova.

Opcija za "3"

1) Odredite vrijednost izraza

2) Pojednostavite izraz 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Riješite jednadžbu

Opcija za "4"

1) Odredite vrijednost izraza

2) Riješite jednadžbu Zapišite najmanji pozitivni korijen svog odgovora.

Opcija za "5"

1) Nađi tgα ako

2) Pronađite korijen jednadžbe Zapišite najmanji pozitivni korijen svog odgovora.

6. Sažetak lekcije (5 min.)

Nastavnik sažima činjenicu da je sat ponavljao i konsolidirao trigonometrijske formule, rješenja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi.

Zadaje se domaća zadaća (unaprijed pripremljena u tiskanom obliku) s provjerom na licu mjesta na sljedećem satu.

Riješite jednadžbe:

9)

10) Dajte svoj odgovor kao najmanji pozitivni korijen.

Lekcija 2

Tema: 11. razred (priprema za ispit)

Metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi. Izbor korijena. (2 sata)

Ciljevi:

  • Generalizirati i usustaviti znanja o rješavanju trigonometrijskih jednadžbi različitih vrsta.
  • Poticati razvoj matematičkog mišljenja učenika, sposobnost zapažanja, uspoređivanja, generaliziranja, klasificiranja.
  • Poticati učenike na prevladavanje poteškoća u procesu mentalne aktivnosti, na samokontrolu, introspekciju svojih aktivnosti.

Oprema za lekciju: KRMu, prijenosna računala za svakog učenika.

Struktura lekcije:

  1. Orgmoment
  2. Rasprava d / s i samot. rad zadnje lekcije
  3. Ponavljanje metoda rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.
  4. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi
  5. Odabir korijena u trigonometrijskim jednadžbama.
  6. Samostalni rad.
  7. Sažetak lekcije. Domaća zadaća.

1. Organizacijski trenutak (2 min.)

Nastavnik pozdravlja publiku, najavljuje temu sata i plan rada.

2. a) Analiza domaće zadaće (5 min.)

Cilj je provjeriti performanse. Jedan rad uz pomoć video kamere prikazuje se na ekranu, ostali se selektivno prikupljaju za nastavnika na provjeru.

b) Analiza samostalnog rada (3 min.)

Cilj je razvrstati pogreške, ukazati na načine za njihovo prevladavanje.

Na ekranu su odgovori i rješenja, učenici su unaprijed izdali svoje radove. Analiza ide brzo.

3. Ponavljanje metoda rješavanja trigonometrijskih jednadžbi (5 min.)

Cilj je prisjetiti se metoda rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.

Pitajte učenike koje metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi poznaju. Naglasite da postoje tzv. osnovne (često korištene) metode:

  • zamjena varijable,
  • faktorizacija,
  • homogene jednadžbe,

a postoje i primijenjene metode:

  • prema formulama za pretvaranje zbroja u umnožak i umnoška u zbroj,
  • formulama redukcije,
  • univerzalna trigonometrijska supstitucija
  • uvođenje pomoćnog kuta,
  • množenje nekom trigonometrijskom funkcijom.

Također treba podsjetiti da se jedna jednadžba može riješiti na različite načine.

4. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi (30 min.)

Cilj je generalizirati i konsolidirati znanja i vještine o ovoj temi, pripremiti se za rješavanje C1 iz USE.

Smatram svrhovitim jednadžbe za svaku metodu rješavati zajedno s učenicima.

Učenik diktira rješenje, nastavnik zapisuje na tablet, cijeli proces se prikazuje na ekranu. To će vam omogućiti brzo i učinkovito vraćanje prethodno obrađenog materijala u vašu memoriju.

Riješite jednadžbe:

1) promjena varijable 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorizacija 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogene jednadžbe sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) pretvaranje zbroja u umnožak cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) pretvaranje umnoška u zbroj 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) snižavanje stupnja sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) univerzalna trigonometrijska supstitucija sinx + 5cosx + 5 = 0.

Kod rješavanja ove jednadžbe treba imati na umu da korištenje ove metode dovodi do sužavanja domene definicije, budući da su sinus i kosinus zamijenjeni s tg(x/2). Stoga je prije ispisivanja odgovora potrebno provjeriti jesu li brojevi iz skupa π + 2πn, n Z konji ove jednadžbe.

8) uvođenje pomoćnog kuta √3sinx + cosx - √2 = 0

9) množenje nekom trigonometrijskom funkcijom cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Izbor korijena trigonometrijskih jednadžbi (20 min.)

Kako u uvjetima oštre konkurencije pri upisu na sveučilišta rješavanje jednog prvog dijela ispita nije dovoljno, većina učenika treba obratiti pozornost na zadatke drugog dijela (C1, C2, C3).

Stoga je svrha ove faze lekcije prisjetiti se prethodno proučenog materijala, pripremiti se za rješavanje problema C1 iz USE-a 2011.

Postoje trigonometrijske jednadžbe u kojima trebate odabrati korijene kada ispisujete odgovor. To je zbog nekih ograničenja, na primjer: nazivnik razlomka nije jednak nuli, izraz pod korijenom parnog stupnja je nenegativan, izraz pod znakom logaritma je pozitivan itd.

Takve se jednadžbe smatraju jednadžbama povećane složenosti i u USE verziji nalaze se u drugom dijelu, točnije C1.

Riješite jednadžbu:

Razlomak je nula ako je tada koristeći jedinični krug, odabrat ćemo korijene (vidi sliku 1)

Slika 1.

dobivamo x = π + 2πn, n Z

Odgovor: π + 2πn, n Z

Na ekranu je odabir korijena prikazan u krugu na slici u boji.

Umnožak je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli, a luk pritom ne gubi svoje značenje. Zatim

Koristeći jedinični krug, odaberite korijene (vidi sliku 2)

Slika 2.

5)

Idemo na sustav:

U prvoj jednadžbi sustava napravimo dnevnik promjena 2 (sinx) = y, dobijemo jednadžbu tada , natrag u sustav

koristeći jedinični krug, odabiremo korijene (vidi sliku 5),

Slika 5

6. Samostalni rad (15 min.)

Cilj je konsolidirati i provjeriti asimilaciju materijala, identificirati pogreške i naznačiti načine za njihovo ispravljanje.

Rad je ponuđen u tri verzije, unaprijed pripremljene u tiskanom obliku, po izboru učenika.

Jednadžbe se mogu rješavati na bilo koji način.

Opcija za "3"

Riješite jednadžbe:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

Opcija za "4"

Riješite jednadžbe:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

Opcija za "5"

Riješite jednadžbe:

1) 2sinx - 3cosx = 2

2)

7. Sažetak lekcije, domaća zadaća (5 min.)

Nastavnik sažima lekciju, još jednom skreće pozornost na činjenicu da se trigonometrijska jednadžba može riješiti na nekoliko načina. Najbolji način za postizanje brzog rezultata je onaj koji je pojedini učenik najbolje naučio.

Prilikom pripreme za ispit potrebno je sustavno ponavljati formule i metode rješavanja jednadžbi.

Dijele se domaće zadaće (unaprijed pripremljene u tiskanom obliku) i komentiraju načini rješavanja pojedinih jednadžbi.

Riješite jednadžbe:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2x + sin2x = 3

4) sin 2 x + sin 2 2x - sin 2 3x - sin 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)

Video lekcija "Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza" osmišljena je za razvijanje vještina učenika u rješavanju trigonometrijskih problema korištenjem osnovnih trigonometrijskih identiteta. Tijekom video lekcije razmatraju se vrste trigonometrijskih identiteta, primjeri rješavanja problema pomoću njih. Koristeći vizualna pomagala, učitelju je lakše postići ciljeve lekcije. Živopisan prikaz gradiva doprinosi pamćenju važnih točaka. Korištenje animacijskih efekata i glasovne glume omogućuju vam da u potpunosti zamijenite učitelja u fazi objašnjavanja materijala. Dakle, koristeći ovu vizualnu pomoć u nastavi matematike, učitelj može povećati učinkovitost nastave.

Na početku video lekcije najavljuje se njezina tema. Zatim se prisjećaju trigonometrijski identiteti koji su ranije proučavani. Zaslon prikazuje jednakosti sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, gdje je t≠π/2+πk za kϵZ, ctg t=cos t/sin t, istinito za t≠πk, gdje je kϵZ, tan t · ctg t=1, pri t≠πk/2, gdje je kϵZ, zvani osnovni trigonometrijski identiteti. Napominje se da se ovi identiteti često koriste u rješavanju problema gdje je potrebno dokazati jednakost ili pojednostaviti izraz.

Nadalje se razmatraju primjeri primjene ovih identiteta u rješavanju problema. Prvo se predlaže razmatranje rješavanja problema pojednostavljivanja izraza. U primjeru 1 potrebno je pojednostaviti izraz cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Da bismo riješili primjer, zajednički faktor cos 2 t prvo stavljamo u zagrade. Kao rezultat takve transformacije u zagradi se dobiva izraz 1-cos 2 t čija je vrijednost iz osnovnog identiteta trigonometrije jednaka sin 2 t. Nakon transformacije izraza očito je da se još jedan zajednički faktor sin 2 t može izbaciti iz zagrade, nakon čega izraz poprima oblik sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t). Iz istog osnovnog identiteta deduciramo vrijednost izraza u zagradama jednaku 1. Kao rezultat pojednostavljenja dobivamo cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

U primjeru 2, izraz cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) također treba pojednostaviti. Budući da je trošak izraza u brojnicima oba razlomka, može se staviti u zagradu kao zajednički faktor. Zatim se razlomci u zagradama svode na zajednički nazivnik množenjem (1- sint)(1+ sint). Nakon smanjenja sličnih članova, 2 ostaje u brojniku, a 1 - sin 2 t u nazivniku. Na desnoj strani ekrana prisjeća se osnovnog trigonometrijskog identiteta sin 2 t+cos 2 t=1. Pomoću njega nalazimo nazivnik razlomka cos 2 t. Nakon redukcije razlomka dobivamo pojednostavljeni oblik izraza cijena/(1- sint)+ cijena/(1+ sint)=2/trošak.

Zatim se razmatraju primjeri dokazivanja identiteta u kojima se primjenjuju stečena znanja o osnovnim identitetima trigonometrije. U primjeru 3 potrebno je dokazati identitet (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Desna strana ekrana prikazuje tri identiteta koja će biti potrebna za dokaz - tg t ctg t=1, ctg t=cos t/sin t i tg t=sin t/cos t s ograničenjima. Da bi se dokazao identitet, prvo se otvaraju zagrade, nakon čega se formira produkt koji odražava izraz glavnog trigonometrijskog identiteta tg t·ctg t=1. Zatim se prema identitetu iz definicije kotangensa transformira ctg 2 t. Kao rezultat transformacija dobiva se izraz 1-cos 2 t. Pomoću osnovnog identiteta nalazimo vrijednost izraza. Dakle, dokazano je (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

U primjeru 4 potrebno je pronaći vrijednost izraza tg 2 t+ctg 2 t ako je tg t+ctg t=6. Za procjenu izraza, desna i lijeva strana jednadžbe (tg t+ctg t) 2 =6 2 prvo se kvadriraju. Skraćena formula množenja prikazana je na desnoj strani ekrana. Nakon otvaranja zagrada na lijevoj strani izraza nastaje zbroj tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t za čiju se transformaciju može primijeniti jedan od trigonometrijskih identiteta tg t ctg t=1, čiji se oblik poziva na desnoj strani ekrana. Nakon transformacije dobije se jednakost tg 2 t+ctg 2 t=34. Lijeva strana jednakosti poklapa se s uvjetom zadatka, pa je odgovor 34. Zadatak je riješen.

Video lekcija "Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza" preporučuje se za korištenje na tradicionalnom školskom satu matematike. Također, materijal će biti koristan učitelju koji pruža učenje na daljinu. Radi formiranja vještine rješavanja trigonometrijskih zadataka.

OBJAŠNJENJE TEKSTA:

"Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza".

Jednakost

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus na kvadrat te plus kosinus na kvadrat te jednako je jedan)

2) tgt =, pri t ≠ + πk, kϵZ (tangens od te jednak je omjeru sinusa od te i kosinusa od te kada te nije jednako pi za dva plus pi ka, ka pripada zet)

3) ctgt = , pri t ≠ πk, kϵZ (kotangens od te jednak je omjeru kosinusa od te i sinusa od te kada te nije jednak vrhu od ka, koji pripada z).

4)tgt ∙ ctgt = 1 za t ≠ , kϵZ

nazivaju se osnovni trigonometrijski identiteti.

Često se koriste za pojednostavljivanje i dokazivanje trigonometrijskih izraza.

Razmotrite primjere korištenja ovih formula pri pojednostavljivanju trigonometrijskih izraza.

PRIMJER 1. Pojednostavite izraz: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (izraz a kosinus na kvadrat te minus kosinus četvrtog stupnja te plus sinus četvrtog stupnja te).

Riješenje. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(izvadimo zajednički faktor kosinus kvadrat te, u zagradama dobijemo razliku između jedinice i kvadrata kosinusa te, koji je jednak kvadratu sinusa te po prvom identitetu. Dobijemo zbroj sinusa četvrtog stupanj te umnoška kosinusa kvadrata te i sinusa kvadrata te. Zajednički faktor sinus kvadrat te iznesemo izvan zagrada, u zagradi dobijemo zbroj kvadrata kosinusa i sinusa, koji prema osnovnoj trigonometriji identitet, jednak je 1. Kao rezultat, dobivamo kvadrat sinusa te).

PRIMJER 2. Pojednostavite izraz: + .

(izraz je zbroj dva razlomka u brojniku prvog kosinusa te u nazivniku jedan minus sinus te, u brojniku drugog kosinusa te u nazivniku drugog plus sinus te).

(Izvadimo zajednički faktor kosinus te iz zagrada, au zagradama ga dovedemo do zajedničkog nazivnika, koji je umnožak jedan minus sinus te s jedan plus sinus te.

U brojniku dobivamo: jedan plus sinus te plus jedan minus sinus te, dajemo slične, brojnik je jednak dva nakon dovođenja sličnih.

U nazivniku možete primijeniti skraćenu formulu množenja (razlika kvadrata) i dobiti razliku jedinice i kvadrata sinusa te, koji prema osnovnom trigonometrijskom identitetu

jednak je kvadratu kosinusa te. Nakon redukcije za kosinus te dobivamo konačan odgovor: dva podijeljena s kosinusom te).

Razmotrimo primjere korištenja ovih formula u dokazu trigonometrijskih izraza.

PRIMJER 3. Dokažite identičnost (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (produkt razlike kvadrata tangensa od te i sinusa od te i kvadrata kotangensa od te je jednako kvadratu sinusa od te).

Dokaz.

Transformirajmo lijevu stranu jednakosti:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = sin 2 t

(Otvorimo zagrade, iz prethodno dobivene relacije poznato je da je umnožak kvadrata tangensa od te i kotangensa od te jednak jedan. Podsjetimo se da je kotangens od te jednak omjeru kosinusa od te te na sinus od te, što znači da je kvadrat kotangensa omjer kvadrata kosinusa od te i kvadrata sinusa od te.

Nakon redukcije za sinus kvadrata te, dobivamo razliku između jedinice i kosinusa kvadrata te, koji je jednak sinusu kvadrata te). Q.E.D.

PRIMJER 4. Odredite vrijednost izraza tg 2 t + ctg 2 t ako je tgt + ctgt = 6.

(zbroj kvadrata tangensa od te i kotangensa od te, ako je zbroj tangensa i kotangensa šest).

Riješenje. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Kvadrirajmo oba dijela izvorne jednakosti:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (kvadrat zbroja tangensa od te i kotangensa od te je šest na kvadrat). Prisjetite se skraćene formule množenja: Kvadrat zbroja dviju veličina jednak je kvadratu prve plus dvostruki umnožak prve i druge veličine plus kvadrat druge. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Dobivamo tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 .

Budući da je umnožak tangensa od te i kotangensa od te jednak jedan, tada je tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (zbroj kvadrata tangensa od te i kotangensa od te i dva je trideset šest),

Odjeljci: Matematika

Klasa: 11

Lekcija 1

Tema: 11. razred (priprema za ispit)

Pojednostavljivanje trigonometrijskih izraza.

Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi. (2 sata)

Ciljevi:

  • Usustaviti, generalizirati, proširiti znanja i vještine učenika vezane uz korištenje trigonometrijskih formula i rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi.

Oprema za lekciju:

Struktura lekcije:

  1. Orgmoment
  2. Testiranje na prijenosnim računalima. Rasprava o rezultatima.
  3. Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza
  4. Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi
  5. Samostalni rad.
  6. Sažetak lekcije. Objašnjenje domaće zadaće.

1. Organizacijski trenutak. (2 minute.)

Nastavnik pozdravlja publiku, najavljuje temu lekcije, prisjeća se prethodnog zadatka ponavljanja trigonometrijskih formula i postavlja učenike na testiranje.

2. Ispitivanje. (15 min + 3 min rasprave)

Cilj je provjeriti poznavanje trigonometrijskih formula i sposobnost njihove primjene. Svaki učenik na svom stolu ima prijenosno računalo u kojem postoji mogućnost testiranja.

Može biti koliko god želite opcija, evo primjera jedne od njih:

I opcija.

Pojednostavite izraze:

a) osnovni trigonometrijski identiteti

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) formule sabiranja

3. sin5x - sin3x;

c) pretvaranje umnoška u zbroj

6. 2sin8y cos3y;

d) formule dvostrukog kuta

7,2sin5x cos5x;

e) formule polukuta

f) formule trostrukog kuta

g) univerzalna supstitucija

h) snižavanje stepena

16. cos 2 (3x/7);

Učenici na prijenosnom računalu ispred svake formule vide svoje odgovore.

Rad se trenutno provjerava računalom. Rezultati se prikazuju na velikom ekranu kako bi ih svi mogli vidjeti.

Također, nakon završetka rada točni odgovori se prikazuju na prijenosnim računalima učenika. Svaki učenik vidi gdje je pogriješio i koje formule treba ponoviti.

3. Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza. (25 min.)

Cilj je ponoviti, razraditi i učvrstiti primjenu osnovnih formula trigonometrije. Rješavanje zadataka B7 s ispita.

U ovoj fazi preporučljivo je podijeliti razred u grupe jakih (samostalan rad uz naknadnu provjeru) i slabih učenika koji rade s učiteljem.

Zadatak za jake učenike (unaprijed pripremljen u tiskanom obliku). Glavni naglasak je na formulama redukcije i dvostrukog kuta, prema USE 2011.

Pojednostavite izraze (za dobre učenike):

Paralelno, nastavnik radi sa slabijim učenicima, raspravlja i rješava zadatke na ekranu pod diktatom učenika.

Izračunati:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

6)

Pojednostaviti:

Na red je došla rasprava o rezultatima rada jakosne skupine.

Na ekranu se pojavljuju odgovori, a uz pomoć video kamere prikazuju se i radovi 5 različitih učenika (svakom po jedan zadatak).

Slaba skupina vidi uvjet i način rješenja. Postoji rasprava i analiza. Uz korištenje tehničkih sredstava to se događa brzo.

4. Rješenje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi. (30 minuta.)

Cilj je ponoviti, sistematizirati i generalizirati rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi, bilježeći njihove korijene. Rješenje problema B3.

Svaka trigonometrijska jednadžba, kako god je riješili, vodi do najjednostavnije.

Prilikom rješavanja zadatka učenici trebaju paziti na pisanje korijena jednadžbi pojedinih slučajeva i općeg oblika te na izbor korijena u posljednjoj jednadžbi.

Riješite jednadžbe:

Zapišite najmanji pozitivni korijen odgovora.

5. Samostalni rad (10 min.)

Cilj je provjeriti stečene vještine, identificirati probleme, pogreške i načine otklanjanja istih.

Po izboru studenta nudi se niz radova.

Opcija za "3"

1) Odredite vrijednost izraza

2) Pojednostavite izraz 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Riješite jednadžbu

Opcija za "4"

1) Odredite vrijednost izraza

2) Riješite jednadžbu Zapišite najmanji pozitivni korijen svog odgovora.

Opcija za "5"

1) Nađi tgα ako

2) Pronađite korijen jednadžbe Zapišite najmanji pozitivni korijen svog odgovora.

6. Sažetak lekcije (5 min.)

Nastavnik sažima činjenicu da je sat ponavljao i konsolidirao trigonometrijske formule, rješenja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi.

Zadaje se domaća zadaća (unaprijed pripremljena u tiskanom obliku) s provjerom na licu mjesta na sljedećem satu.

Riješite jednadžbe:

9)

10) Dajte svoj odgovor kao najmanji pozitivni korijen.

Lekcija 2

Tema: 11. razred (priprema za ispit)

Metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi. Izbor korijena. (2 sata)

Ciljevi:

  • Generalizirati i usustaviti znanja o rješavanju trigonometrijskih jednadžbi različitih vrsta.
  • Poticati razvoj matematičkog mišljenja učenika, sposobnost zapažanja, uspoređivanja, generaliziranja, klasificiranja.
  • Poticati učenike na prevladavanje poteškoća u procesu mentalne aktivnosti, na samokontrolu, introspekciju svojih aktivnosti.

Oprema za lekciju: KRMu, prijenosna računala za svakog učenika.

Struktura lekcije:

  1. Orgmoment
  2. Rasprava d / s i samot. rad zadnje lekcije
  3. Ponavljanje metoda rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.
  4. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi
  5. Odabir korijena u trigonometrijskim jednadžbama.
  6. Samostalni rad.
  7. Sažetak lekcije. Domaća zadaća.

1. Organizacijski trenutak (2 min.)

Nastavnik pozdravlja publiku, najavljuje temu sata i plan rada.

2. a) Analiza domaće zadaće (5 min.)

Cilj je provjeriti performanse. Jedan rad uz pomoć video kamere prikazuje se na ekranu, ostali se selektivno prikupljaju za nastavnika na provjeru.

b) Analiza samostalnog rada (3 min.)

Cilj je razvrstati pogreške, ukazati na načine za njihovo prevladavanje.

Na ekranu su odgovori i rješenja, učenici su unaprijed izdali svoje radove. Analiza ide brzo.

3. Ponavljanje metoda rješavanja trigonometrijskih jednadžbi (5 min.)

Cilj je prisjetiti se metoda rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.

Pitajte učenike koje metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi poznaju. Naglasite da postoje tzv. osnovne (često korištene) metode:

  • zamjena varijable,
  • faktorizacija,
  • homogene jednadžbe,

a postoje i primijenjene metode:

  • prema formulama za pretvaranje zbroja u umnožak i umnoška u zbroj,
  • formulama redukcije,
  • univerzalna trigonometrijska supstitucija
  • uvođenje pomoćnog kuta,
  • množenje nekom trigonometrijskom funkcijom.

Također treba podsjetiti da se jedna jednadžba može riješiti na različite načine.

4. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi (30 min.)

Cilj je generalizirati i konsolidirati znanja i vještine o ovoj temi, pripremiti se za rješavanje C1 iz USE.

Smatram svrhovitim jednadžbe za svaku metodu rješavati zajedno s učenicima.

Učenik diktira rješenje, nastavnik zapisuje na tablet, cijeli proces se prikazuje na ekranu. To će vam omogućiti brzo i učinkovito vraćanje prethodno obrađenog materijala u vašu memoriju.

Riješite jednadžbe:

1) promjena varijable 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorizacija 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogene jednadžbe sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) pretvaranje zbroja u umnožak cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) pretvaranje umnoška u zbroj 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) snižavanje stupnja sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) univerzalna trigonometrijska supstitucija sinx + 5cosx + 5 = 0.

Kod rješavanja ove jednadžbe treba imati na umu da korištenje ove metode dovodi do sužavanja domene definicije, budući da su sinus i kosinus zamijenjeni s tg(x/2). Stoga je prije ispisivanja odgovora potrebno provjeriti jesu li brojevi iz skupa π + 2πn, n Z konji ove jednadžbe.

8) uvođenje pomoćnog kuta √3sinx + cosx - √2 = 0

9) množenje nekom trigonometrijskom funkcijom cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Izbor korijena trigonometrijskih jednadžbi (20 min.)

Kako u uvjetima oštre konkurencije pri upisu na sveučilišta rješavanje jednog prvog dijela ispita nije dovoljno, većina učenika treba obratiti pozornost na zadatke drugog dijela (C1, C2, C3).

Stoga je svrha ove faze lekcije prisjetiti se prethodno proučenog materijala, pripremiti se za rješavanje problema C1 iz USE-a 2011.

Postoje trigonometrijske jednadžbe u kojima trebate odabrati korijene kada ispisujete odgovor. To je zbog nekih ograničenja, na primjer: nazivnik razlomka nije jednak nuli, izraz pod korijenom parnog stupnja je nenegativan, izraz pod znakom logaritma je pozitivan itd.

Takve se jednadžbe smatraju jednadžbama povećane složenosti i u USE verziji nalaze se u drugom dijelu, točnije C1.

Riješite jednadžbu:

Razlomak je nula ako je tada koristeći jedinični krug, odabrat ćemo korijene (vidi sliku 1)

Slika 1.

dobivamo x = π + 2πn, n Z

Odgovor: π + 2πn, n Z

Na ekranu je odabir korijena prikazan u krugu na slici u boji.

Umnožak je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli, a luk pritom ne gubi svoje značenje. Zatim

Koristeći jedinični krug, odaberite korijene (vidi sliku 2)

Voronkova Olga Ivanovna

MBOU „Srednja škola

br. 18"

Engels, Saratovska oblast.

Profesor matematike.

"Trigonometrijski izrazi i njihove transformacije"

Uvod ………………………………………………………………………………...3

Poglavlje 1 Klasifikacija zadataka za korištenje transformacija trigonometrijskih izraza ……………………………………………………...5

1.1. Računski zadaci vrijednosti trigonometrijskih izraza……….5

1.2.Zadaci za pojednostavljenje trigonometrijskih izraza .... 7

1.3. Zadaci za pretvorbu numeričkih trigonometrijskih izraza ... ..7

1.4 Mješoviti zadaci……………………………………………………….....9

2. Poglavlje

2.1 Tematsko ponavljanje u 10. razredu…………………………………………...11

Test 1………………………………………………………………………………..12

Test 2…………………………………………………………………………………..13

Test 3…………………………………………………………………………………..14

2.2 Završno ponavljanje u 11. razredu………………………………………………...15

Test 1…………………………………………………………………………………..17

Test 2…………………………………………………………………………………..17

Test 3…………………………………………………………………………………..18

Zaključak.………………………………………………………………………..19

Popis korištene literature…………………………………………..…….20

Uvod.

U današnjim uvjetima najvažnije je pitanje: "Kako pomoći otklanjanju nekih rupa u znanju studenata i upozoriti ih na moguće pogreške na ispitu?" Da bi se riješio ovaj problem, potrebno je od učenika postići ne formalnu asimilaciju programskog materijala, već njegovo duboko i svjesno razumijevanje, razvoj brzine usmenog računanja i transformacija, kao i razvoj vještina za rješavanje najjednostavnijih zadataka. problema “u umu”. Potrebno je uvjeriti učenike da se samo u prisutnosti aktivne pozicije, u proučavanju matematike, uz stjecanje praktičnih vještina, vještina i njihove upotrebe, može računati na pravi uspjeh. Potrebno je iskoristiti svaku priliku za pripremu ispita, uključujući i izborne predmete u 10.-11. razredu, redovito s učenicima analizirati složene zadatke, birajući najracionalniji način njihovog rješavanja u razrednoj i dodatnoj nastavi.pozitivan rezultat upodručje rješavanja tipičnih problema može se postići ako učitelji matematike, stvarajućidobro osnovno osposobljavanje učenika, tražiti nove načine za rješavanje problema koji su se otvorili pred nama, aktivno eksperimentirati, primjenjivati ​​suvremene pedagoške tehnologije, metode, tehnike koje stvaraju povoljne uvjete za učinkovito samoostvarenje i samoodređenje učenika u novim društvenim uvjetima.

Trigonometrija je sastavni dio školskog tečaja matematike. Dobro poznavanje i jake vještine u trigonometriji dokaz su dovoljne razine matematičke kulture, neizostavan uvjet za uspješno proučavanje matematike, fizike i niza tehničkih disciplinama.

Relevantnost rada. Značajan dio maturanata iz godine u godinu pokazuje vrlo lošu pripremljenost u ovom važnom dijelu matematike, o čemu svjedoče i rezultati prošlih godina (postotak završenosti 2011.-48,41%, 2012.-51,05%), budući da analiza prolaznosti Jedinstveni državni ispit pokazao je da učenici rade mnogo pogrešaka prilikom ispunjavanja zadataka iz ovog odjeljka ili ih uopće ne rješavaju. U jednom Pitanja za državni ispit iz trigonometrije nalaze se u gotovo tri vrste zadataka. Riječ je o rješavanju najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi u zadatku B5, te radu s trigonometrijskim izrazima u zadatku B7, te proučavanju trigonometrijskih funkcija u zadatku B14, kao i zadacima B12, u kojima se nalaze formule koje opisuju fizikalne pojave i sadrže trigonometrijske funkcije . A ovo je samo dio zadataka B! Ali tu su i omiljene trigonometrijske jednadžbe s odabirom korijena C1, te “ne baš omiljeni” geometrijski zadaci C2 i C4.

Cilj. Analizirajte gradivo USE zadataka B7, posvećenih transformaciji trigonometrijskih izraza i klasificirajte zadatke prema obliku njihove prezentacije u testovima.

Rad se sastoji od dva poglavlja, uvoda i zaključka. U uvodu se ističe relevantnost rada. U prvom poglavlju data je klasifikacija zadataka za korištenje transformacija trigonometrijskih izraza u ispitnim zadatcima za USE (2012).

U drugom poglavlju razmatra se organizacija ponavljanja teme "Pretvorba trigonometrijskih izraza" u 10., 11. razredu te se izrađuju testovi na ovu temu.

Popis literature uključuje 17 izvora.

Poglavlje 1. Klasifikacija zadataka za korištenje transformacija trigonometrijskih izraza.

Sukladno standardu srednjeg (potpunog) obrazovanja i zahtjevima za razinu osposobljenosti učenika, zadaci za poznavanje osnova trigonometrije uključeni su u šifrant zahtjeva.

Učenje osnova trigonometrije bit će najučinkovitije kada:

    učenici će biti pozitivno motivirani za ponavljanje prethodno proučenog gradiva;

    u obrazovnom procesu provodit će se pristup usmjeren na učenika;

    primjenjivat će se sustav zadataka koji pridonosi proširivanju, produbljivanju, usustavljivanju znanja učenika;

    koristit će se napredne pedagoške tehnologije.

Nakon analize literature i internetskih izvora za pripremu ispita, predložili smo jednu od mogućih klasifikacija zadataka B7 (KIM USE 2012-trigonometrija): zadaci za računanjevrijednosti trigonometrijskih izraza; zadaci zapretvorba numeričkih trigonometrijskih izraza; zadaci za transformaciju literalnih trigonometrijskih izraza; mješoviti zadaci.

1.1. Računski zadaci vrijednosti trigonometrijskih izraza.

Jedan od najčešćih tipova jednostavnih trigonometrijskih problema je izračun vrijednosti trigonometrijskih funkcija prema vrijednosti jedne od njih:

a) Korištenje osnovnog trigonometrijskog identiteta i njegovih posljedica.

Primjer 1 . Pronađite ako
i
.

Riješenje.
,
,

Jer , onda
.

Odgovor.

Primjer 2 . Pronaći
, ako
i .

Riješenje.
,
,
.

Jer , onda
.

Odgovor. .

b) Korištenje formula dvostrukog kuta.

Primjer 3 . Pronaći
, ako
.

Riješenje. , .

Odgovor.
.

Primjer 4 . Pronađite vrijednost izraza
.

Riješenje. .

Odgovor.
.

1. Pronaći , ako
i
. Odgovor. -0,2

2. Pronaći , ako
i
. Odgovor. 0.4

3. Pronaći
, ako . Odgovor. -12.884. Pronaći
, ako
. Odgovor. -0,845. Pronađite vrijednost izraza:
. Odgovor. 66. Pronađite vrijednost izraza
.Odgovor. -19

1.2.Zadaci za pojednostavljenje trigonometrijskih izraza. Formule redukcije učenici bi trebali dobro savladati jer će se dalje koristiti u nastavi geometrije, fizike i drugih srodnih disciplina.

Primjer 5 . Pojednostavite izraze
.

Riješenje. .

Odgovor.
.

Zadaci za samostalno rješavanje:

1. Pojednostavite izraz
. Odgovor. 0.62. Pronaći
, ako
i. Odgovor. 10.563. Pronađite vrijednost izraza
, ako
. Odgovor. 2

1.3. Zadaci za transformaciju numeričkih trigonometrijskih izraza.

Pri razvijanju vještina i sposobnosti zadataka za pretvaranje numeričkih trigonometrijskih izraza treba obratiti pozornost na poznavanje tablice vrijednosti trigonometrijskih funkcija, svojstava pariteta i periodičnosti trigonometrijskih funkcija.

a) Korištenje točnih vrijednosti trigonometrijskih funkcija za neke kutove.

Primjer 6 . Izračunati
.

Riješenje.
.

Odgovor.
.

b) Korištenje svojstava pariteta trigonometrijske funkcije.

Primjer 7 . Izračunati
.

Riješenje. .

Odgovor.

u) Korištenje svojstava periodičnostitrigonometrijske funkcije.

Primjer 8 . Pronađite vrijednost izraza
.

Riješenje. .

Odgovor.
.

Zadaci za samostalno rješavanje:

1. Pronađite vrijednost izraza
. Odgovor. -40,52. Odredi vrijednost izraza
. Odgovor. 17

3. Pronađite vrijednost izraza
. Odgovor. 6


. Odgovor. -24
Odgovor. -64

1.4 Mješoviti zadaci.

Testni oblik certificiranja ima vrlo značajne značajke, stoga je važno obratiti pozornost na zadatke povezane s korištenjem nekoliko trigonometrijskih formula istovremeno.

Primjer 9 Pronaći
, ako
.

Riješenje.
.

Odgovor.
.

Primjer 10 . Pronaći
, ako
i
.

Riješenje. .

Jer , onda
.

Odgovor.
.

Primjer 11. Pronaći
, ako .

Riješenje. , ,
,
,
,
,
.

Odgovor.

Primjer 12 Izračunati
.

Riješenje. .

Odgovor.
.

Primjer 13 Pronađite vrijednost izraza
, ako
.

Riješenje. .

Odgovor.
.

Zadaci za samostalno rješavanje:

1. Pronaći
, ako
. Odgovor. -1,75
2. Pronaći
, ako
. Odgovor. 33. Pronađite
, ako .Odgovor. 0,254. Odredi vrijednost izraza
, ako
. Odgovor. 0.35. Odredi vrijednost izraza
, ako
. Odgovor. 5

Poglavlje 2. Metodički aspekti Organizacija završnog ponavljanja teme "Transformacija trigonometrijskih izraza".

Jedno od najvažnijih pitanja koje pridonosi daljnjem poboljšanju akademskog uspjeha, postizanju dubokog i čvrstog znanja među studentima je pitanje ponavljanja prethodno proučenog gradiva. Praksa pokazuje da je u 10. razredu svrsishodnije organizirati tematsko ponavljanje; u 11. razredu - završno ponavljanje.

2.1. Tematsko ponavljanje u 10. razredu.

U procesu rada na matematičkom gradivu posebno je važno ponavljanje svake odrađene teme ili cijelog dijela kolegija.

Tematskim ponavljanjem znanje učenika o temi sistematizira se u završnoj fazi njezina prolaska ili nakon pauze.

Za tematsko ponavljanje dodjeljuju se posebne lekcije na kojima se koncentrira i generalizira materijal jedne određene teme.

Ponavljanje na satu provodi se kroz razgovor uz široko uključivanje učenika u taj razgovor. Nakon toga studenti dobivaju zadatak ponoviti pojedinu temu i upozoravaju ih da će se na kolokvijima raditi kreditno.

Test na temu treba sadržavati sva glavna pitanja. Nakon obavljenog rada analiziraju se karakteristične pogreške te se organizira ponavljanje za njihovo otklanjanje.

Za lekcije tematskog ponavljanja nudimo razvijene testni radovi na temu "Pretvorba trigonometrijskih izraza".

Test #1

Test #2

Test #3

Tablica odgovora

Test

2.2. Završno ponavljanje u 11. razredu.

Završno ponavljanje provodi se u završnoj fazi proučavanja glavnih pitanja tečaja matematike i provodi se u logičnoj vezi s proučavanjem obrazovnog materijala za ovaj dio ili tečaj u cjelini.

Završno ponavljanje nastavnog gradiva ima sljedeće ciljeve:

1. Aktivacija materijala cjelokupnog tečaja obuke kako bi se razjasnila njegova logička struktura i izgradio sustav unutar predmetnih i međupredmetnih odnosa.

2. Produbljivanje i po mogućnosti proširivanje znanja studenata o glavnim temama kolegija u procesu ponavljanja.

U kontekstu obveznog ispita iz matematike za sve maturante, postupno uvođenje USE-a tjera nastavnike na novi pristup pripremi i izvođenju nastave, uzimajući u obzir potrebu da se osigura da svi učenici svladaju nastavno gradivo na osnovnoj razini, kao i prilika za motivirane studente zainteresirane za postizanje visokih bodova za upis na sveučilište, dinamično napredovanje u svladavanju gradiva na sve većoj i visokoj razini.

U lekcijama završnog ponavljanja možete razmotriti sljedeće zadatke:

Primjer 1 . Izračunaj vrijednost izraza.Riješenje. =
= =
=
=
=
=0,5. Odgovor. 0,5. Primjer 2 Navedite najveću vrijednost cijelog broja koju izraz može uzeti
.

Riješenje. Jer
može uzeti bilo koju vrijednost koja pripada segmentu [–1; 1], zatim
uzima bilo koju vrijednost segmenta [–0,4; 0,4], dakle . Cjelobrojna vrijednost izraza je jedan - broj 4.

Odgovor: 4 Primjer 3 . Pojednostavite izraz
.

Rješenje: Upotrijebimo formulu za faktoring zbroja kubova: . Imamo

Imamo:
.

Odgovor: 1

Primjer 4 Izračunati
.

Riješenje. .

Odgovor: 0,28

Za lekcije završnog ponavljanja nudimo razvijene testove na temu "Pretvorba trigonometrijskih izraza".

Navedite najveći cijeli broj koji ne prelazi 1

Zaključak.

Proučavajući relevantnu metodičku literaturu na ovu temu, možemo zaključiti da je sposobnost i vještina rješavanja zadataka vezanih uz trigonometrijske transformacije u školskom kolegiju matematike vrlo važna.

U tijeku rada izvršena je klasifikacija zadataka B7. Razmatraju se trigonometrijske formule koje se najčešće koriste u CMM-ovima 2012. godine. Navedeni su primjeri zadataka s rješenjima. Za organiziranje ponavljanja i sistematiziranja znanja u pripremi za ispit razvijeni su razlikovni testovi.

Preporučljivo je nastaviti započeti posao, s obzirom na to rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi u zadatku B5, proučavanje trigonometrijskih funkcija u zadatku B14, zadatak B12 u kojem se nalaze formule koje opisuju fizikalne pojave i sadrže trigonometrijske funkcije.

Zaključno, želio bih napomenuti da je učinkovitost polaganja ispita uvelike određena time koliko je učinkovito organiziran proces pripreme na svim razinama obrazovanja, sa svim kategorijama učenika. A ako uspijemo kod učenika oblikovati samostalnost, odgovornost i spremnost na učenje kroz daljnji život, tada ćemo ne samo ispuniti nalog države i društva, nego i povećati vlastito samopoštovanje.

Ponavljanje nastavnog gradiva zahtijeva kreativan rad nastavnika. Mora osigurati jasnu vezu između vrsta ponavljanja, implementirati duboko promišljen sustav ponavljanja. Ovladati vještinom organiziranja ponavljanja zadatak je učitelja. O njegovom rješenju uvelike ovisi snaga znanja učenika.

Književnost.

    Vygodsky Ya.Ya., Priručnik elementarne matematike. -M.: Nauka, 1970.

    Zadaci povećane težine iz algebre i počeci analize: Udžbenik za 10.-11. razred srednje škole / B.M. Ivlev, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnicin, S.I. Schwarzburd. – M.: Prosvjetljenje, 1990.

    Primjena osnovnih trigonometrijskih formula na transformaciju izraza (10. razred) // Festival pedagoških ideja. 2012-2013.

    Koryanov A.G. , Prokofjev A.A. Za ispit pripremamo dobre učenike i odlične učenike. - M.: Pedagoško sveučilište "Prvi rujan", 2012.- 103 str.

    Kuznjecova E.N. Pojednostavljivanje trigonometrijskih izraza. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi različitim metodama (priprema za ispit). 11. razred. 2012-2013.

    Kulanin E.D. 3000 natjecateljskih zadataka iz matematike. 4. id., točno. i dodatni – M.: Rolf, 2000.

    Mordkovich A.G. Metodički problemi učenja trigonometrije u općeobrazovnoj školi // Matematika u školi. 2002. br. 6.

    Pichurin L.F. O trigonometriji i ne samo o njoj: -M. Prosvjeta, 1985

    Reshetnikov N.N. Trigonometrija u školi: -M. : Pedagoško sveučilište "Prvi rujan", 2006., lk 1.

    Šabunjin M.I., Prokofjev A.A. Matematika. Algebra. Počeci matematičke analize Razina profila: udžbenik za 10. razred - M .: BINOM. Laboratorija znanja, 2007. (monografija).

    Edukativni portal za pripremu ispita.

    Priprema za ispit iz matematike "Ah, ova trigonometrija! http://festival.1september.ru/articles/621971/

    Projekt "Matematika? Lako!!!" http://www.resolventa.ru/

Pročitajte također