Unesite funkciju za koju želite pronaći integral

Kalkulator nudi DETALJNO rješenje određenih integrala.

Ovaj kalkulator rješava određeni integral funkcije f(x) sa zadanom gornjom i donjom granicom.

Primjeri

Uz korištenje diplome
(kvadrat i kocka) i razlomci

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Korijen

Sqrt(x)/(x + 1)

kockasti korijen

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Korištenje sinusa i kosinusa

2*sin(x)*cos(x)

Arksinus

X*arcsin(x)

Arkus kosinus

x*arccos(x)

Primjena logaritma

X*log(x, 10)

prirodni logaritam

Izlagač

Tg(x)*sin(x)

Kotangens

Ctg(x)*cos(x)

Iracionalni razlomci

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arktangens

X*arctg(x)

Arkus tangenta

X*arsctg(x)

Hiberbolički sinus i kosinus

2*sh(x)*ch(x)

Hiberbolički tangens i kotangens

ctgh(x)/tgh(x)

Hiberbolički arksinus i arkosinus

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Hiberbolički arktangens i arkotangens

X^2*arctgh(x)*arctgh(x)

Pravila za unos izraza i funkcija

Izrazi se mogu sastojati od funkcija (oznake su dane abecednim redom): apsolutni (x) Apsolutna vrijednost x
(modul x ili |x|) arccos(x) Funkcija - ark kosinus od x arccosh(x) Arkus kosinus hiperbolički od x arcsin(x) Arkusinus iz x arcsinh(x) Arksinus hiperbolički iz x arctg(x) Funkcija - arc tangenta iz x arctgh(x) Arkus tangens je hiperboličan iz x e e broj koji je približno jednak 2,7 exp(x) Funkcija - eksponent iz x(koji je e^x) log(x) ili log(x) Prirodni logaritam od x
(Dobiti log7(x), trebate unijeti log(x)/log(7) (ili, na primjer, for log10(x)=log(x)/log(10)) pi Broj je "Pi", što je približno jednako 3,14 grijeh(x) Funkcija - sinus od x cos(x) Funkcija - Kosinus od x sinh(x) Funkcija - Hiperbolički sinus od x gotovina(x) Funkcija - Hiperbolički kosinus od x sqrt(x) Funkcija je kvadratni korijen od x sqr(x) ili x^2 Funkcija - kvadrat x tg(x) Funkcija - Tangenta iz x tgh(x) Funkcija - Hiperbolički tangens od x cbrt(x) Funkcija je kubni korijen od x

U izrazima možete koristiti sljedeće operacije: Realni brojevi unesite u obrazac 7.5 , ne 7,5 2*x- množenje 3/x- podjela x^3- potenciranje x + 7- dodatak x - 6- oduzimanje
Druge značajke: kat(x) Funkcija - zaokruživanje x dolje (primjer kat(4.5)==4.0) strop(x) Funkcija - zaokruživanje x gore (primjer strop (4,5)==5,0) znak(x) Funkcija - Znak x erf(x) Funkcija pogreške (ili integral vjerojatnosti) laplace (x) Laplaceova funkcija

Izračunajte površinu figure omeđene linijama.

Riješenje.

Pronalazimo sjecišne točke zadanih pravaca. Da bismo to učinili, rješavamo sustav jednadžbi:

Da bismo pronašli apscise točaka sjecišta zadanih pravaca, rješavamo jednadžbu:

Pronašli smo: x 1 = -2, x 2 = 4.

Dakle, ove linije, koje su parabola i ravna linija, sijeku se u točkama A(-2; 0), B(4; 6).

Ove linije tvore zatvorenu figuru, čija se površina izračunava pomoću gornje formule:

Prema Newton-Leibnizovoj formuli nalazimo:

Pronađite površinu područja omeđenog elipsom.

Riješenje.

Iz jednadžbe elipse za I kvadrant imamo . Odavde, prema formuli, dobivamo

Primijenimo zamjenu x = a grijeh t, dx = a cos t dt. Nova ograničenja integracije t = α i t = β određuju se iz jednadžbi 0 = a grijeh t, a = a grijeh t. Može se staviti α = 0 i β = π /2.

Nalazimo jednu četvrtinu tražene površine

Odavde S = pab.

Pronađite površinu figure omeđene linijamag = - x 2 + x + 4 ig = - x + 1.

Riješenje.

Pronađite sjecišta pravaca g = -x 2 + x + 4, g = -x+ 1, izjednačujući ordinate linija: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 ili x 2 - 2x- 3 = 0. Pronađite korijene x 1 = -1, x 2 = 3 i njihove odgovarajuće ordinate g 1 = 2, g 2 = -2.

Koristeći formulu za površinu figure, dobivamo

Pronađite površinu koju zatvara parabolag = x 2 + 1 i izravnox + g = 3.

Riješenje.

Rješavanje sustava jednadžbi

pronađite apscise sjecišta x 1 = -2 i x 2 = 1.

Pretpostavljajući g 2 = 3 - x i g 1 = x 2 + 1, na temelju formule koju dobijemo

Izračunajte površinu unutar Bernoullijeve lemniskater 2 = a 2 cos 2 φ .

Riješenje.

U polarnom koordinatnom sustavu, područje figure ograničeno lukom krivulje r = f(φ ) i dva polarna radijusa φ 1 = ʅ i φ 2 = ʆ , izražava se integralom

Zbog simetričnosti krivulje prvo odredimo jednu četvrtinu željene površine

Prema tome, ukupna površina je S = a 2 .

Izračunajte duljinu luka astroidax 2/3 + g 2/3 = a 2/3 .

Riješenje.

Jednadžbu astroida zapisujemo u obliku

(x 1/3) 2 + (g 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .

Stavimo x 1/3 = a 1/3 kos t, g 1/3 = a 1/3 grijeha t.

Odavde dobivamo parametarske jednadžbe astroida

x = a jer 3 t, g = a grijeh 3 t, (*)

gdje je 0 ≤ t ≤ 2π .

S obzirom na simetriju krivulje (*), dovoljno je pronaći jednu četvrtinu duljine luka L koji odgovara promjeni parametra t od 0 do π /2.

Dobivamo

dx = -3a jer 2 t grijeh t dt, dy = 3a grijeh 2 t cos t dt.

Odavde nalazimo

Integriranje dobivenog izraza u rasponu od 0 do π /2, dobivamo

Odavde L = 6a.

Odredite površinu omeđenu Arhimedovom spiralomr = aφ i dva radijus vektora koji odgovaraju polarnim kutovimaφ 1 iφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Riješenje.

Područje omeđeno krivuljom r = f(φ ) izračunava se formulom , gdje je α i β - granice promjene polarnog kuta.

Dakle, dobivamo

(*)

Iz (*) slijedi da je područje omeđeno polarnom osi i prvim zavojom Arhimedove spirale ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

Slično, nalazimo područje ograničeno polarnom osi i drugim zavojom Arhimedove spirale ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Tražena površina jednaka je razlici tih površina

Izračunaj obujam tijela dobivenog rotacijom oko osiVol lik omeđen parabolamag = x 2 ix = g 2 .

Riješenje.

Riješimo sustav jednadžbi

i dobiti x 1 = 0, x 2 = 1, g 1 = 0, g 2 = 1, odakle su sjecišta krivulja O(0; 0), B(jedanaest). Kao što se može vidjeti na slici, željeni volumen tijela rotacije jednak je razlici između dva volumena nastala rotacijom oko osi Vol krivolinijski trapezi OCBA i ODBA:

Izračunaj površinu omeđenu osiVol i sinusoidag = grijehx na segmentima: a); b) .

Riješenje.

a) Na segmentu funkcija sin xčuva znak, i stoga formulom , uz pretpostavku g= grijeh x, pronašli smo

b) Na segmentu funkcija sin x mijenja predznak. Za ispravno rješenje zadatka potrebno je segment podijeliti na dva i [ π , 2π ], u svakom od njih funkcija zadržava svoj predznak.

Prema pravilu znakova, na segmentu [ π , 2π ] područje se uzima s predznakom minus.

Kao rezultat, željena površina je jednaka

Odredite volumen tijela omeđenog plohom dobivenom rotacijom elipseoko glavne osia .

Riješenje.

S obzirom da je elipsa simetrična u odnosu na koordinatne osi, dovoljno je pronaći volumen koji nastaje rotacijom oko osi Vol područje OAB, jednako jednoj četvrtini površine elipse, i udvostručite rezultat.

Označimo volumen tijela revolucije kroz V x; tada, na temelju formule, imamo , gdje je 0 i a- apscise točaka B i A. Iz jednadžbe elipse nalazimo . Odavde

Dakle, traženi volumen je jednak. (Kada elipsa rotira oko male osi b, volumen tijela je )

Odredite površinu omeđenu parabolamag 2 = 2 px ix 2 = 2 py .

Riješenje.

Prvo pronalazimo koordinate sjecišta parabola kako bismo odredili interval integracije. Transformacijom izvornih jednadžbi dobivamo i . Izjednačavanjem ovih vrijednosti dobivamo odn x 4 - 8str 3 x = 0.

x 4 - 8str 3 x = x(x 3 - 8str 3) = x(x - 2str)(x 2 + 2px + 4str 2) = 0.

Nalazimo korijene jednadžbi:

S obzirom na to da je točka A sjecište parabola je u prvoj četvrtini, zatim granice integracije x= 0 i x = 2str.

Željeno područje nalazi se formulom

Primjer1 . Izračunajte površinu figure omeđene linijama: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 i x = 2

Izgradimo lik (vidi sliku.) Gradimo ravnu liniju x + 2y - 4 \u003d 0 duž dvije točke A (4; 0) i B (0; 2). Izražavajući y u smislu x, dobivamo y \u003d -0,5x + 2. Prema formuli (1), gdje je f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, mi pronaći

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 sq. jedinice

Primjer 2 Izračunajte površinu figure omeđene linijama: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 i y \u003d 0.

Riješenje. Izgradimo figuru.

Izgradimo ravnu liniju x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Konstruirajmo ravnu liniju x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, S(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Odredite sjecište pravaca rješavanjem sustava jednadžbi:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Da bismo izračunali traženu površinu, trokut AMC podijelimo na dva trokuta AMN i NMC, budući da je kada se x promijeni iz A u N, površina je ograničena ravnom linijom, a kada se x promijeni iz N u C, to je ravna linija

Za trokut AMN imamo: ; y \u003d 0,5x + 2, tj. f (x) = 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

Za NMC trokut vrijedi: y = - x + 5, tj. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Izračunavanjem površine svakog od trokuta i zbrajanjem rezultata nalazimo:

kvadrat jedinice

kvadrat jedinice

9 + 4, 5 = 13,5 kvadratnih metara jedinice Provjerite: = 0,5AC = 0,5 sq. jedinice

Primjer 3 Izračunajte površinu lika omeđenog linijama: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

U ovom slučaju potrebno je izračunati površinu krivolinijskog trapeza omeđenog parabolom y = x 2 , ravne linije x \u003d 2 i x \u003d 3 i os Ox (vidi sl.) Prema formuli (1), nalazimo područje krivuljastog trapeza

= = 6kv. jedinice

Primjer 4 Izračunajte površinu figure omeđene linijama: y \u003d - x 2 + 4 i y = 0

Izgradimo figuru. Željeno područje je zatvoreno između parabole y \u003d - x 2 + 4 i os Oh.

Pronađite točke sjecišta parabole s osi x. Uz pretpostavku y \u003d 0, nalazimo x \u003d Budući da je ova figura simetrična u odnosu na os Oy, izračunavamo površinu figure koja se nalazi desno od osi Oy i udvostručimo rezultat: \u003d + 4x] kvadrat. jedinice 2 = 2 kvadrata jedinice

Primjer 5 Izračunajte površinu lika omeđenog linijama: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Ovdje je potrebno izračunati površinu krivocrtnog trapeza omeđenog gornjom granom parabole y 2 \u003d x, os Ox i ravne linije x \u003d 1x \u003d 4 (vidi sliku)

Prema formuli (1), gdje je f(x) = a = 1 i b = 4, imamo = (= kv. jedinice

Primjer 6 . Izračunajte površinu figure omeđene linijama: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Željeno područje ograničeno je poluvalnom sinusoidom i osi Ox (vidi sliku).

Imamo - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 kvadratna metra. jedinice

Primjer 7 Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y \u003d - 6x, y \u003d 0 i x \u003d 4.

Slika se nalazi ispod osi Ox (vidi sliku).

Stoga se njegova površina nalazi po formuli (3)

= =

Primjer 8 Izračunajte površinu figure ograničene linijama: y \u003d i x \u003d 2. Izgradit ćemo krivulju y \u003d točkama (vidi sliku). Dakle, područje figure nalazi se formulom (4)

Primjer 9 .

x 2 + g 2 = r 2 .

Ovdje trebate izračunati površinu omeđenu krugom x 2 + g 2 = r 2 , tj. površina kruga radijusa r sa središtem u ishodištu. Pronađimo četvrti dio ovog područja, uzimajući granice integracije od 0

dor; imamo: 1 = = [

Posljedično, 1 =

Primjer 10 Izračunajte površinu figure omeđene linijama: y \u003d x 2 i y = 2x

Ova je brojka ograničena parabolom y \u003d x 2 i pravac y \u003d 2x (vidi sl.) Za određivanje točaka sjecišta zadanih linija rješavamo sustav jednadžbi: x 2 – 2x = 0 x = 0 i x = 2

Koristeći formulu (5) za pronalaženje površine, dobivamo

= }