U ovom članku ćemo pogledati dijeljenje pozitivnih brojeva negativnim brojevima i obrnuto. Dajmo detaljna analiza pravila za dijeljenje brojeva s različitim predznacima, a također dati primjere.

Pravilo dijeljenja brojeva s različitim predznacima

Pravilo za cijele brojeve s različitim predznacima, dobiveno u članku o dijeljenju cijelih brojeva, vrijedi i za racionalne i realne brojeve. Dajmo općenitiju formulaciju ovog pravila.

Pravilo dijeljenja brojeva s različitim predznacima

Kod dijeljenja pozitivnog broja s negativnim brojem i obrnuto potrebno je modul djelitelja podijeliti s modulom djelitelja, a rezultat napisati s predznakom minus.

Doslovno to izgleda ovako:

a ÷ - b = - a ÷ b

A ÷ b = - a ÷ b.

Rezultat dijeljenja brojeva s različitim predznacima uvijek je negativan broj. Razmatrano pravilo, naime, svodi dijeljenje brojeva s različitim predznacima na dijeljenje pozitivnih brojeva, budući da su moduli djelitelja i djelitelja pozitivni.

Druga ekvivalentna matematička formulacija ovog pravila je:

a ÷ b = a b - 1

Da biste podijelili brojeve a i b koji imaju različite predznake, potrebno je broj a pomnožiti s obrnutim brojem b, odnosno b ​​- 1. Ova je formulacija primjenjiva na skup racionalnih i realnih brojeva; omogućuje vam prijelaz s dijeljenja na množenje.

Razmotrimo sada kako gore opisanu teoriju primijeniti u praksi.

Kako podijeliti brojeve s različitim predznacima? Primjeri

U nastavku ćemo pogledati nekoliko tipičnih primjera.

Primjer 1. Kako dijeliti brojeve s različitim predznacima?

Podijeli - 35 sa 7.

Prvo, zapišimo module dividende i djelitelja:

35 = 35 , 7 = 7 .

Sada odvojimo module:

35 7 = 35 7 = 5 .

Dodajte znak minus ispred rezultata i dobit ćete odgovor:

Upotrijebimo sada drugačiju formulaciju pravila i izračunajmo recipročnu vrijednost od 7.

Sada napravimo množenje:

35 · 1 7 = - - 35 · 1 7 = - 35 7 = - 5.

Primjer 2. Kako dijeliti brojeve s različitim predznacima?

Ako podijelimo razlomački brojevi s racionalnim predznacima, dividenda i djelitelj moraju biti predstavljeni kao obični razlomci.

Primjer 3. Kako dijeliti brojeve s različitim predznacima?

Mješoviti broj - 3 3 22 podijelimo decimalnim razlomkom 0, (23).

Moduli djelitelja i djelitelja jednaki su 3 3 22 i 0, (23). Pretvarajući 3 3 22 u obični razlomak, dobivamo:

3 3 22 = 3 22 + 3 22 = 69 22.

Također možemo prikazati djelitelj kao običan razlomak:

0 , (23) = 0 , 23 + 0 , 0023 + 0 , 000023 = 0 , 23 1 - 0 , 01 = 0 , 23 0 , 99 = 23 99 .

Sada dijelimo obične razlomke, vršimo redukcije i dobivamo rezultat:

69 22 ÷ 23 99 = - 69 22 99 23 = - 3 2 9 1 = - 27 2 = - 13 1 2.

Zaključno, razmotrite slučaj kada su dividenda i djelitelj iracionalni brojevi i zapisani su u obliku korijena, logaritma, potencije itd.

U takvoj situaciji kvocijent se zapisuje u obliku numeričkog izraza koji je maksimalno pojednostavljen. Ako je potrebno, izračunava se njegova približna vrijednost s potrebnom točnošću.

Primjer 4. Kako dijeliti brojeve s različitim predznacima?

Podijelimo brojeve 5 7 i - 2 3.

Prema pravilu dijeljenja brojeva s različitim predznacima, zapisujemo jednakost:

5 7 ÷ - 2 3 = - 5 7 ÷ - 2 3 = - 5 7 ÷ 2 3 = - 5 7 2 3 .

Oslobodimo se iracionalnosti u nazivniku i dobijemo konačni odgovor:

5 7 · 2 3 = - 5 · 4 3 14 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Klasa: 6

“Znanje je skup činjenica. Mudrost je sposobnost da ih koristimo"

Svrha lekcije: 1) izvođenje pravila za množenje pozitivnih i negativni brojevi; načine primjene ovih pravila u najjednostavnijim slučajevima;
2) razvoj vještina uspoređivanja, identificiranja obrazaca, generaliziranja;
3) traženje različitih načina i metoda rješavanja praktičnih problema;
4) izraditi mini-projekt. Novosti.

Oprema: model termometra, kartice za zajednički simulator, projektor.

Tijekom nastave

Lijepi pozdrav. Saznaj koji nova tema Danas ćemo to pogledati; pomoći će nam usmeno brojanje. Izračunajte primjere, zamijenite odgovore slovima koristeći "broj - slovo".

Slajd br. 1 Razmislite malo

Slajd br. 2 Tko je ovo?

Indijski matematičar Brahmagupta, koji je živio u 7. stoljeću, predstavljao je pozitivne brojeve kao “svojstva”, a negativne brojeve kao “dugove”.
Izrazio je pravila za zbrajanje pozitivnih i negativnih brojeva na sljedeći način:
"Zbroj dva svojstva je vlasništvo":

“Zbroj dva duga je dug”:

A pravilo ćemo naučiti nakon što razmotrimo temu "Množenje negativnih i pozitivnih brojeva"
Vaš zadatak je naučiti množiti pozitivne i negativne brojeve, kao i množiti negativne brojeve.
Napravit ćemo mini-projekt.
Mini projekt.
Novosti
"Množenje pozitivnih i negativnih brojeva"

Rad u skupinama (4 skupine).(Radnju smještamo u matematički simulator)

1. zadatak (1 grupa)
Svakih sat vremena temperatura zraka pada za dva stupnja. Sada termometar pokazuje nula stupnjeva. Koju će temperaturu pokazati nakon tri sata? Nacrtajte ovo na koordinatnoj liniji. Navedite slične primjere. Izvedite zaključak i generalizirajte.
Riješenje: Budući da je sada temperatura nula stupnjeva i svaki sat pada za 2 stupnja, onda će za 3 sata biti jednaka -6,
(-2) 3=-(2 3)=-6

1. zadatak (2. grupa)
Svakih sat vremena temperatura zraka pada za dva stupnja. Sada termometar pokazuje nula stupnjeva. Koliku je temperaturu zraka pokazivao termometar prije 3 sata? Nacrtajte ovo na koordinatnoj liniji. Izvući zaključak.
Riješenje: Budući da temperatura svakog sata pada za dva stupnja, a sada je nula stupnjeva, prije 3 sata je bilo +6.
(-2)·(-3)=2·3=6

1. zadatak (3. grupa)
Tvornica proizvodi 200 muških odijela dnevno. Kada su počeli proizvoditi odijela novog kroja, potrošnja tkanine po odijelu se promijenila na -0,4 m2. Koliko se dnevno mijenjala potrošnja tkanine za odijela?
Riješenje: To znači da se potrošnja tkanine za odijela po danu promijenila na -80.
(-0,4) 200=-(0,4 200)=-80.

Zadatak 1 (4 grupa)
Svakih sat vremena temperatura zraka pada za dva stupnja. Sada termometar pokazuje nula stupnjeva. Koliku je temperaturu zraka pokazivao termometar prije 4 sata?
Riješenje: Kako temperatura svakog sata pada za dva stupnja, a sada je nula stupnjeva, onda je prije 4 sata bilo +8, tj.
(-2)·(-4)=2·4=8

Zaključci (učenici upisuju podatke u izgled biltena).

Slajd broj 4 Dobro razmislite

Primarno razumijevanje i primjena naučenog.
Rad na tabli i na terenu (koristeći newsletter izgled).

Ponavljamo pravilo (učenici postavljaju pitanja).
Rad s udžbenikom:

• 1 student: br. 1105 (f, h, i) 2 student: br. 1105 (k, l, m)
• br. 1107 (radimo u skupinama) 1. skupina: a), d);

2. skupina: b), d);
3. skupina: c), d).
Tjelesna minuta (2 min.)
Ponavljamo pravilo za jednadžbu pozitivnih i negativnih brojeva.

Slajd br. 5 Zadatak 2

Zadatak 2 (isti za sve grupe).

Primijeniti svojstvo komutativnosti i asocijativnosti, izvesti umnožak više brojeva i zaključiti:

Ako je broj negativnih faktora paran, tada je umnožak broj _?_

Ako je broj negativnih faktora neparan, tada je umnožak broj _?_

Dodajte još jednu informaciju u izgled biltena.

Slajd br. 6 Pravilo znakova.

Odredite znak proizvoda:
1) “+”·«-»·«-»·«+»·«-»·«-»
2) “-”·«-»·«-»·«+»·«+»·
·«+»·«-»·«-»
3) “-”·«+»·«-»·«-»·«+»·«+»·
·«-»·«+»·«-»·«-»·«+»

Dakle, prođimo kroz cijeli bilten i ponovimo pravila te ih primijenimo na rješavanje zadataka na karticama.
Simulator (4 opcije).

Provjerite se.
Odgovori na kartice.

	1 opcija	opcija 2	Opcija 3	Opcija 4
1)	18	20	24	18
2)	-20	-18	-18	-24
3)	-24	16	24	18
4)	15	-15	1	-2
5)	-4	0	-5	0
6)	0	2	2	-5
7)	-1	-3	-1,5	-3
8)	-0,8	-3,5	-4,8	3,6

Sada se pozabavimo time množenje i dijeljenje.

Recimo da trebamo pomnožiti +3 sa -4. Kako to učiniti?

Razmotrimo takav slučaj. Tri osobe su dužne i svaka ima 4 dolara duga. Koliki je ukupni dug? Da biste ga pronašli, morate zbrojiti sva tri duga: 4 dolara + 4 dolara + 4 dolara = 12 dolara. Odlučili smo da zbrajanje tri broja 4 označimo kao 3x4. Budući da je u u ovom slučaju govorimo o dugu, ispred 4 stoji znak “-”. Znamo da je ukupni dug 12 dolara, tako da naš problem sada postaje 3x(-4)=-12.

Dobit ćemo isti rezultat ako, prema zadatku, svaka od četiri osobe ima dug od 3 dolara. Drugim riječima, (+4)x(-3)=-12. A budući da redoslijed faktora nije bitan, dobivamo (-4)x(+3)=-12 i (+4)x(-3)=-12.

Rezimirajmo rezultate. Kada pomnožite jedan pozitivan broj i jedan negativan broj, rezultat će uvijek biti negativan broj. Numerička vrijednost odgovora bit će ista kao u slučaju pozitivnih brojeva. Proizvod (+4)x(+3)=+12. Prisutnost znaka "-" utječe samo na znak, ali ne utječe na brojčanu vrijednost.

Kako pomnožiti dva negativna broja?

Nažalost, vrlo je teško pronaći odgovarajući primjer iz stvarnog života na ovu temu. Lako je zamisliti dug od 3 ili 4 dolara, ali apsolutno je nemoguće zamisliti -4 ili -3 osobe koje su se zadužile.

Možda ćemo krenuti drugim putem. Kod množenja, kada se promijeni predznak jednog od faktora, mijenja se predznak umnoška. Ako promijenimo predznake oba faktora, moramo promijeniti dva puta oznaka rada, prvo iz pozitivnog u negativno, a zatim obrnuto, iz negativnog u pozitivno, odnosno umnožak će imati početni predznak.

Stoga je sasvim logično, iako malo čudno, da je (-3) x (-4) = +12.

Položaj znaka kada se pomnoži mijenja se ovako:

• pozitivan broj x pozitivan broj = pozitivan broj;
• negativan broj x pozitivan broj = negativan broj;
• pozitivan broj x negativan broj = negativan broj;
• negativan broj x negativan broj = pozitivan broj.

Drugim riječima, množenjem dva broja s istim predznakom dobivamo pozitivan broj. Množenjem dva broja s različitim predznacima dobivamo negativan broj.

Isto pravilo vrijedi i za radnju suprotnu množenju – za.

To možete lako provjeriti pokretanjem inverzne operacije množenja. U svakom od gornjih primjera, ako kvocijent pomnožite djeliteljem, dobit ćete dividendu i provjerite ima li isti predznak, na primjer (-3)x(-4)=(+12).

Budući da zima dolazi, vrijeme je da razmislite o tome u što promijeniti cipele svog željeznog konja kako se ne biste skliznuli na ledu i osjećali samopouzdanje na zimskim cestama. Možete, na primjer, kupiti Yokohama gume na web stranici: mvo.ru ili neke druge, glavna stvar je da su visoke kvalitete, možete saznati više informacija i cijene na web stranici Mvo.ru.

Fokus ovog članka je dijeljenje negativnih brojeva. Prvo se daje pravilo dijeljenja negativnog broja s negativnim, daje se njegovo obrazloženje, a nakon toga primjeri dijeljenja negativnih brojeva s Detaljan opis odluke.

Navigacija po stranici.

Pravilo za dijeljenje negativnih brojeva

Prije nego što damo pravilo dijeljenja negativnih brojeva, podsjetimo se značenja operacije dijeljenja. Dijeljenje inherentno predstavlja pronalaženje nepoznatog faktora pomoću poznato djelo i poznati drugi faktor. To jest, broj c je kvocijent a podijeljen s b kada je c·b=a, i obrnuto, ako je c·b=a, tada je a:b=c.

Pravilo za dijeljenje negativnih brojeva sljedeće: kvocijent dijeljenja jednog negativnog broja drugim jednak je kvocijentu dijeljenja brojnika s modulom nazivnika.

Zapišimo izgovoreno pravilo slovima. Ako su a i b negativni brojevi, onda je jednakost istinita a:b=|a|:|b| .

Jednakost a:b=a b −1 lako je dokazati polazeći od svojstva množenja realnih brojeva i definicije recipročnih brojeva. Doista, na temelju toga možemo napisati lanac jednakosti oblika (a b −1) b=a (b −1 b)=a 1=a, što, zbog značenja dijeljenja spomenutog na početku članka, dokazuje da je a·b −1 kvocijent a podijeljeno s b.

A ovo vam pravilo omogućuje prijelaz s dijeljenja negativnih brojeva na množenje.

Ostaje razmotriti primjenu razmatranih pravila dijeljenja negativnih brojeva pri rješavanju primjera.

Primjeri dijeljenja negativnih brojeva

Idemo to riješiti primjeri dijeljenja negativnih brojeva. Počnimo s jednostavnim slučajevima u kojima ćemo razraditi primjenu pravila dijeljenja.

Primjer.

Podijelite negativnih −18 s negativnih −3, zatim izračunajte kvocijent (−5):(−2) .

Riješenje.

Prema pravilu za dijeljenje negativnih brojeva, kvocijent dijeljenja −18 s −3 jednak je kvocijentu dijeljenja apsolutnih vrijednosti tih brojeva. Kako je |−18|=18 i |−3|=3, tada (−18):(−3)=|−18|:|−3|=18:3 , ostaje još samo podijeliti prirodne brojeve, imamo 18:3=6.

Na isti način rješavamo i drugi dio zadatka. Kako je |−5|=5 i |−2|=2 , tada (−5):(−2)=|−5|:|−2|=5:2 . Ovaj kvocijent odgovara običnom razlomku 5/2, koji se može napisati kao mješoviti broj.

Iste rezultate dobivamo ako koristimo drugačije pravilo za dijeljenje negativnih brojeva. Doista, broj −3 je tada inverzni broj , sada množimo negativne brojeve: . Isto tako,.

Odgovor:

(−18):(−3)=6 i .

Kod dijeljenja frakcijskih racionalnih brojeva najprikladnije je raditi s njim obični razlomci. Ali, ako je zgodno, možete podijeliti i konačne decimalne razlomke.

Primjer.

Podijelite broj −0,004 s −0,25.

Riješenje.

Moduli dividende i djelitelja jednaki su 0,004 odnosno 0,25, tada prema pravilu dijeljenja negativnih brojeva imamo (−0,004):(−0,25)=0,004:0,25 .

• ili izvršiti dijeljenje decimalnih razlomaka u stupce,
• ili otići od decimale na obične razlomke, zatim podijelite odgovarajuće obične razlomke.

Pogledajmo oba pristupa.

Da biste podijelili 0,004 s 0,25 stupcem, prvo pomaknite decimalnu točku za 2 znamenke udesno i doći ćemo do dijeljenja 0,4 s 25. Sada radimo podjelu po stupcima:

Dakle, 0,004:0,25=0,016.

Sada pokažimo kako bi rješenje izgledalo da decimalne razlomke odlučimo pretvoriti u obične. Jer i onda , i izvršiti

U ovoj lekciji ponovit ćemo pravila za zbrajanje pozitivnih i negativnih brojeva. Također ćemo naučiti kako množiti brojeve s različitim predznacima i naučiti pravila znakova za množenje. Pogledajmo primjere množenja pozitivnih i negativnih brojeva.

Svojstvo množenja s nulom ostaje istinito u slučaju negativnih brojeva. Nula pomnožena bilo kojim brojem jednaka je nuli.

Bibliografija

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematika 6. razred. - Gimnazija. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Iza stranica udžbenika matematike. - M.: Obrazovanje, 1989.
4. Rurukin A.N., Čajkovski I.V. Zadatci za kolegij matematike za 5.-6. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sočilov S.V., Čajkovski K.G. Matematika 5-6. Priručnik za učenike 6. razreda dopisne škole MEPhI. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematika: Udžbenik-govornik za 5.-6 Srednja škola. - M.: Obrazovanje, Biblioteka nastavnika matematike, 1989.

Domaća zadaća

1. Internet portal Mnemonica.ru ().
2. Internetski portal Youtube.com ().
3. Internet portal School-assistant.ru ().
4. Internetski portal Bymath.net ().