Pronađite kut između linija online kalkulator. Određivanje kuta između ravnina (diedarski kut). Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne crte

Definicija. Ako su zadane dvije linije y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , tada oštar kut između ovih linija definirat će se kao

Dva su pravca paralelna ako je k 1 = k 2 . Dva su pravca okomita ako je k 1 = -1/ k 2 .

Teorema. Ravne linije Ax + Vy + C \u003d 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 su paralelne kada su koeficijenti A 1 \u003d λA, B 1 = λB proporcionalni. Ako je također S 1 = λS, tada se pravci podudaraju. Koordinate točke presjeka dviju pravaca nalaze se kao rješenje sustava jednadžbi tih pravaca.

Jednadžba pravca koji prolazi dana točka

Okomito na ovu liniju

Definicija. Pravac koji prolazi kroz točku M 1 (x 1, y 1) i okomit na pravac y \u003d kx + b predstavljen je jednadžbom:

Udaljenost od točke do linije

Teorema. Ako je dana točka M(x 0, y 0), tada je udaljenost do linije Ax + Vy + C \u003d 0 definirana kao

Dokaz. Neka je točka M 1 (x 1, y 1) osnovica okomice spuštene iz točke M na dani pravac. Tada je udaljenost između točaka M i M 1:

(1)

Koordinate x 1 i y 1 mogu se pronaći kao rješenje sustava jednadžbi:

Druga jednadžba sustava je jednadžba pravca koji prolazi zadanom točkom M 0 okomito na zadani pravac. Ako prvu jednadžbu sustava transformiramo u oblik:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada rješavanjem dobivamo:

Zamjenom ovih izraza u jednadžbu (1), nalazimo:

Teorem je dokazan.

Primjer. Odredite kut između pravaca: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Primjer. Pokažite da su pravci 3x - 5y + 7 = 0 i 10x + 6y - 3 = 0 okomiti.

Riješenje. Nalazimo: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, dakle, linije su okomite.

Primjer. Zadani su vrhovi trokuta A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Nađite jednadžbu za visinu povučenu iz vrha C.

Riješenje. Nalazimo jednadžbu stranice AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Željena jednadžba visine je: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b. k = . Tada je y = . Jer visina prolazi kroz točku C, tada njezine koordinate zadovoljavaju ovu jednadžbu: odakle je b = 17. Ukupno: .

Odgovor: 3x + 2y - 34 = 0.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku u zadanom smjeru. Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke. Kut između dva pravca. Uvjet paralelnosti i okomitosti dvaju pravaca. Određivanje točke presjeka dviju linija

1. Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku A(x 1 , g 1) u zadanom smjeru, određenom nagibom k,

g - g 1 = k(x - x 1). (1)

Ova jednadžba definira niz linija koje prolaze kroz točku A(x 1 , g 1), koji se naziva središte grede.

2. Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke: A(x 1 , g 1) i B(x 2 , g 2) piše se ovako:

Nagib pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke određen je formulom

3. Kut između ravnih linija A i B je kut za koji se mora zakrenuti prva pravac A oko točke sjecišta ovih linija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu dok se ne poklopi s drugom linijom B. Ako su dva pravca zadana jednadžbama nagiba

g = k 1 x + B 1 ,

g = k 2 x + B 2 , (4)

tada je kut između njih određen formulom

Treba primijetiti da se u brojniku razlomka nagib prve ravne crte oduzima od nagiba druge ravne crte.

Ako su jednadžbe pravca date u opći pogled

A 1 x + B 1 g + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 g + C 2 = 0, (6)

kut između njih određuje se formulom

4. Uvjeti za paralelnost dviju linija:

a) Ako su pravci zadani jednadžbama (4) s nagibom, tada je nužan i dovoljan uvjet njihove paralelnosti jednakost njihovih nagiba:

k 1 = k 2 . (8)

b) Za slučaj kada su pravci zadani jednadžbama u općem obliku (6), nužan i dovoljan uvjet za njihovu paralelnost je da su koeficijenti pri odgovarajućim trenutnim koordinatama u njihovim jednadžbama proporcionalni, tj.

5. Uvjeti za okomitost dviju linija:

a) U slučaju kada su pravci zadani jednadžbama (4) s nagibom, nužan i dovoljan uvjet za njihovu okomitost je da su njihovi nagibi recipročne veličine i suprotnog predznaka, tj.

Ovaj uvjet se također može napisati u obrascu

k 1 k 2 = -1. (11)

b) Ako su jednadžbe ravnih pravaca dane u općem obliku (6), tada je uvjet za njihovu okomitost (potreban i dovoljan) ispunjenje jednakosti

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Rješavanjem sustava jednadžbi (6) nalaze se koordinate sjecišta dviju pravaca. Pravci (6) se sijeku ako i samo ako

1. Napišite jednadžbe pravaca koji prolaze točkom M, od kojih je jedan paralelan, a drugi okomit na zadani pravac l.

Zadatak 1

Pronađite kosinus kuta između pravaca $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ i $\left\( \begin(niz )(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(niz)\right.$.

Neka su u prostoru zadane dvije crte: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_( 1 ) )(p_(1) ) $ i $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z - z_(2) )(p_(2) ) $. Odaberemo proizvoljnu točku u prostoru i kroz nju povučemo dvije pomoćne crte, paralelne s podacima. Kut između zadanih pravaca je bilo koji od ta dva susjedni uglovi formirana pomoćnim linijama. Kosinus jednog od kutova između linija može se pronaći iz dobro poznata formula$\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) +p_(1) \cdot p_(2) )(\sqrt(m_(1) ^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2)^(2) +n_(2)^(2) +p_(2) ^(2) ) ) $. Ako je vrijednost $\cos \phi >0$, tada se dobiva oštar kut između linija, ako je $\cos \phi

Kanonske jednadžbe prvog retka: $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $.

Kanonske jednadžbe drugog pravca mogu se dobiti iz parametarskih:

\ \ \

Dakle, kanonske jednadžbe ove linije su: $\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $.

Računamo:

\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\lijevo(-3\desno)\cdot \lijevo(-1\desno)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ lijevo(-3\desno)^(2) +4^(2) ) \cdot \sqrt(2^(2) +\lijevo(-1\desno)^(2) +3^(2) ) ) = \frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) ) \približno 0,9449.\]

Zadatak 2

Prolazi prva linija zadanih bodova$A\left(2,-4,-1\right)$ i $B\left(-3,5,6\right)$, drugi pravac je kroz zadane točke $C\left(1,-2 , 8\desno)$ i $D\lijevo(6,7,-2\desno)$. Odredi udaljenost između ovih linija.

Neka je neki pravac okomit na pravce $AB$ i $CD$ i siječe ih u točkama $M$ odnosno $N$. Pod tim uvjetima duljina odsječka $MN$ jednaka je udaljenosti između pravaca $AB$ i $CD$.

Gradimo vektor $\overline(AB)$:

\[\overline(AB)=\lijevo(-3-2\desno)\cdot \bar(i)+\lijevo(5-\lijevo(-4\desno)\desno)\cdot \bar(j)+ \lijevo(6-\lijevo(-1\desno)\desno)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k ).\]

Neka segment koji predstavlja udaljenost između pravaca prolazi kroz točku $M\lijevo(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \desno)$ na pravcu $AB$.

Gradimo vektor $\overline(AM)$:

\[\overline(AM)=\lijevo(x_(M) -2\desno)\cdot \bar(i)+\lijevo(y_(M) -\lijevo(-4\desno)\desno)\cdot \ bar(j)+\lijevo(z_(M) -\lijevo(-1\desno)\desno)\cdot \bar(k)=\] \[=\lijevo(x_(M) -2\desno)\ cdot \bar(i)+\lijevo(y_(M) +4\desno)\cdot \bar(j)+\lijevo(z_(M) +1\desno)\cdot \bar(k).\]

Vektori $\overline(AB)$ i $\overline(AM)$ su isti, stoga su kolinearni.

Poznato je da ako vektori $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ i $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ su kolinearne, tada su njihove koordinate su proporcionalni, tada je $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2)) )((\it y)_( (\it 1)) ) =\frac(z_((\it 2)) )((\it z)_((\it 1)) ) $.

$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, gdje je $m $ je rezultat dijeljenja.

Odavde dobivamo: $x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(M) +1=7\cdot m$.

Konačno, dobivamo izraze za koordinate točke $M$:

Gradimo vektor $\overline(CD)$:

\[\overline(CD)=\lijevo(6-1\desno)\cdot \bar(i)+\lijevo(7-\lijevo(-2\desno)\desno)\cdot \bar(j)+\ lijevo(-2-8\desno)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k).\]

Neka segment koji predstavlja udaljenost između pravaca prolazi točkom $N\left(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ na pravcu $CD$.

Konstruiramo vektor $\overline(CN)$:

\[\overline(CN)=\lijevo(x_(N) -1\desno)\cdot \bar(i)+\lijevo(y_(N) -\lijevo(-2\desno)\desno)\cdot \ bar(j)+\lijevo(z_(N) -8\desno)\cdot \bar(k)=\] \[=\lijevo(x_(N) -1\desno)\cdot \bar(i)+ \lijevo(y_(N) +2\desno)\cdot \bar(j)+\lijevo(z_(N) -8\desno)\cdot \bar(k).\]

Vektori $\overline(CD)$ i $\overline(CN)$ su isti, stoga su kolinearni. Primjenjujemo uvjet kolinearnih vektora:

$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$ gdje je $n $ je rezultat podjele.

Odavde dobivamo: $x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$.

Konačno, dobivamo izraze za koordinate točke $N$:

Gradimo vektor $\overline(MN)$:

\[\overline(MN)=\lijevo(x_(N) -x_(M) \desno)\cdot \bar(i)+\lijevo(y_(N) -y_(M) \desno)\cdot \bar (j)+\lijevo(z_(N) -z_(M) \desno)\cdot \bar(k).\]

Zamijenimo izraze za koordinate točaka $M$ i $N$:

\[\overline(MN)=\lijevo(1+5\cdot n-\lijevo(2-5\cdot m\desno)\desno)\cdot \bar(i)+\] \[+\lijevo(- 2+9\cdot n-\lijevo(-4+9\cdot m\desno)\desno)\cdot \bar(j)+\lijevo(8-10\cdot n-\lijevo(-1+7\cdot m\desno)\desno)\cdot \bar(k).\]

Nakon dovršetka koraka dobivamo:

\[\overline(MN)=\lijevo(-1+5\cdot n+5\cdot m\desno)\cdot \bar(i)+\lijevo(2+9\cdot n-9\cdot m\desno )\cdot \bar(j)+\lijevo(9-10\cdot n-7\cdot m\desno)\cdot \bar(k).\]

Budući da su pravci $AB$ i $MN$ okomiti, skalarni umnožak odgovarajućih vektora jednak je nuli, tj. $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:

\[-5\cdot \lijevo(-1+5\cdot n+5\cdot m\desno)+9\cdot \lijevo(2+9\cdot n-9\cdot m\desno)+7\cdot \ lijevo(9-10\cdot n-7\cdot m\desno)=0;\] \

Nakon dovršetka koraka dobivamo prvu jednadžbu za određivanje $m$ i $n$: $155\cdot m+14\cdot n=86$.

Budući da su pravci $CD$ i $MN$ okomiti, skalarni umnožak odgovarajućih vektora jednak je nuli, tj. $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:

\ \[-5+25\cdot n+25\cdot m+18+81\cdot n-81\cdot m-90+100\cdot n+70\cdot m=0.\]

Nakon dovršetka koraka dobivamo drugu jednadžbu za određivanje $m$ i $n$: $14\cdot m+206\cdot n=77$.

Pronađite $m$ i $n$ rješavanjem sustava jednadžbi $\left\(\begin(array)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206\ cdot n =77) \end(array)\right.$.

Primjenjujemo Cramer metodu:

Pronađite koordinate točaka $M$ i $N$:

\ \

Konačno:

Na kraju pišemo vektor $\overline(MN)$:

$\overline(MN)=\lijevo(2,691-\lijevo(-0,6215\desno)\desno)\cdot \bar(i)+\lijevo(1,0438-0,7187\desno)\cdot \bar (j)+\lijevo (4,618-2,6701\desno)\cdot \bar(k)$ ili $\overline(MN)=3,3125\cdot \bar(i)+0,3251\cdot \bar( j)+1,9479\cdot \bar(k)$.

Udaljenost između pravaca $AB$ i $CD$ je duljina vektora $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3.3125^(2) +0.3251^(2) +1.9479^( 2) ) \ oko 3,8565$ lin. jedinice

Oh-oh-oh-oh-oh ... pa, sitno je, kao da ste sami pročitali rečenicu =) Međutim, tada će opuštanje pomoći, pogotovo jer sam danas kupila odgovarajuće dodatke. Stoga, prijeđimo na prvi odjeljak, nadam se da ću do kraja članka zadržati veselo raspoloženje.

Međusobni raspored dviju ravnih linija

Slučaj kada dvorana pjeva u zboru. Dvije linije mogu:

1) utakmica;

2) biti paralelan: ;

3) ili se sijeku u jednoj točki: .

Pomoć za glupane : molimo zapamtite matematički znak raskrižja, on će se pojaviti vrlo često. Zapis znači da se pravac siječe s pravcem u točki.

Kako odrediti međusobni položaj dviju linija?

Počnimo s prvim slučajem:

Dva se pravca podudaraju ako i samo ako su im koeficijenti proporcionalni, odnosno postoji takav broj "lambda" da jednakosti

Promotrimo ravne linije i sastavimo tri jednadžbe od odgovarajućih koeficijenata: . Iz svake jednadžbe slijedi da se, dakle, ove linije podudaraju.

Doista, ako su svi koeficijenti jednadžbe pomnožite s -1 (promijenite predznak), a sve koeficijente jednadžbe smanjite za 2, dobit ćete istu jednadžbu: .

Drugi slučaj kada su pravci paralelni:

Dva pravca su paralelna ako i samo ako su im koeficijenti pri varijablama proporcionalni: , ali.

Kao primjer, razmotrite dvije ravne linije. Provjeravamo proporcionalnost odgovarajućih koeficijenata za varijable:

Međutim, jasno je da.

I treći slučaj, kada se linije sijeku:

Dva se pravca sijeku ako i samo ako njihovi koeficijenti varijabli NISU proporcionalni, to jest, NE postoji takva vrijednost "lambda" da su jednakosti ispunjene

Dakle, za ravne linije ćemo sastaviti sustav:

Iz prve jednadžbe slijedi da je , a iz druge jednadžbe: , dakle, sustav je nedosljedan(nema rješenja). Dakle, koeficijenti kod varijabli nisu proporcionalni.

Zaključak: linije se sijeku

U praktičnim problemima može se koristiti upravo razmatrana shema rješenja. Usput, vrlo je sličan algoritmu za provjeru kolinearnosti vektora, koji smo razmatrali u lekciji. Pojam linearne (ne)ovisnosti vektora. Vektorska osnova. Ali postoji civiliziraniji paket:

Primjer 1

Odredi relativni položaj linija:

Riješenje na temelju proučavanja vektora usmjeravanja ravnih linija:

a) Iz jednadžbi nalazimo vektore smjera pravaca: .

, pa vektori nisu kolinearni i pravci se sijeku.

Za svaki slučaj, na raskrižju ću postaviti kamen sa pokazivačima:

Ostali preskaču kamen i slijede dalje, ravno do Kashcheija Besmrtnog =)

b) Odredite vektore smjera pravaca:

Pravci imaju isti vektor smjera, što znači da su ili paralelni ili isti. Ovdje odrednica nije potrebna.

Očito je da su koeficijenti nepoznanica proporcionalni, dok je .

Otkrijmo je li jednakost istinita:

Na ovaj način,

c) Odredite vektore smjera pravaca:

Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata ovih vektora:
, stoga su vektori smjera kolinearni. Pravci su ili paralelni ili se poklapaju.

Faktor proporcionalnosti "lambda" lako je vidjeti izravno iz omjera kolinearnih vektora smjera. Međutim, može se pronaći i preko koeficijenata samih jednadžbi: .

Sada saznajmo je li jednakost istinita. Oba besplatna termina su nula, pa:

Rezultirajuća vrijednost zadovoljava ovu jednadžbu (bilo koji broj je općenito zadovoljava).

Dakle, linije se podudaraju.

Odgovor:

Vrlo brzo ćete naučiti (ili ste već naučili) razmatrani problem riješiti verbalno doslovno u nekoliko sekundi. U tom smislu, ne vidim razloga ponuditi nešto za neovisno rješenje, bolje je postaviti još jednu važnu ciglu u geometrijski temelj:

Kako nacrtati pravac paralelan sa zadanim?

Za nepoznavanje ovog najjednostavnijeg zadatka, Slavuj Razbojnik strogo kažnjava.

Primjer 2

Pravac je dan jednadžbom . Napiši jednadžbu za paralelni pravac koji prolazi točkom.

Riješenje: Označite nepoznatu liniju slovom . Što stanje govori o tome? Pravac prolazi točkom. A ako su pravci paralelni, onda je očito da je i smjerni vektor pravca "ce" pogodan za konstruiranje pravca "te".

Iz jednadžbe izdvajamo vektor smjera:

Odgovor:

Geometrija primjera izgleda jednostavno:

Analitička verifikacija sastoji se od sljedećih koraka:

1) Provjeravamo imaju li pravci isti vektor smjera (ako jednadžba pravca nije ispravno pojednostavljena, vektori će biti kolinearni).

2) Provjerite zadovoljava li točka dobivenu jednadžbu.

Analitičku provjeru u većini slučajeva lako je izvesti verbalno. Pogledajte dvije jednadžbe i mnogi od vas će brzo shvatiti kako su linije paralelne bez ikakvog crteža.

Primjeri za samostalno rješavanje danas će biti kreativni. Jer još se morate natjecati s Baba Yagom, a ona je, znate, ljubiteljica svih vrsta zagonetki.

Primjer 3

Napišite jednadžbu za pravac koji prolazi kroz točku paralelnu s pravcem if

Postoji racionalan i ne baš racionalan način rješavanja. Najkraći put je na kraju lekcije.

Malo smo radili s paralelnim linijama i vratit ćemo im se kasnije. Slučaj podudarnih linija je od malog interesa, pa razmotrite problem koji vam je dobro poznat iz školski plan i program:

Kako pronaći točku sjecišta dviju linija?

Ako je ravno sijeku u točki , tada su njegove koordinate rješenje sustavi linearnih jednadžbi

Kako pronaći točku sjecišta linija? Riješite sustav.

Ovo je za tebe geometrijsko značenje sustavi dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice su dvije (najčešće) prave u ravnini koje se sijeku.

Primjer 4

Pronađite točku sjecišta linija

Riješenje: Postoje dva načina rješavanja - grafički i analitički.

Grafički način je jednostavno nacrtati zadane linije i pronaći točku sjecišta izravno iz crteža:

Evo naše tvrdnje: . Da biste provjerili, trebali biste zamijeniti njegove koordinate u svaku jednadžbu ravne linije, one bi trebale stati i tamo i tamo. Drugim riječima, koordinate točke su rješenje sustava . Zapravo, razmotrili smo grafički način rješavanja sustavi linearnih jednadžbi s dvije jednadžbe, dvije nepoznanice.

Grafička metoda, naravno, nije loša, ali postoje vidljivi nedostaci. Ne, nije poanta da sedmaši tako odluče, poanta je da će trebati vremena da se napravi ispravan i TOČAN crtež. Osim toga, neke linije nije lako konstruirati, a sama točka sjecišta može biti negdje u tridesetom kraljevstvu izvan lista bilježnice.

Stoga je svrsishodnije tražiti točku sjecišta analitička metoda. Riješimo sustav:

Za rješavanje sustava korištena je metoda počlanog zbrajanja jednadžbi. Da biste razvili relevantne vještine, posjetite lekciju Kako riješiti sustav jednadžbi?

Odgovor:

Provjera je trivijalna - koordinate točke presjeka moraju zadovoljiti svaku jednadžbu sustava.

Primjer 5

Pronađite točku sjecišta pravaca ako se sijeku.

Ovo je primjer "uradi sam". Pogodno je podijeliti problem u nekoliko faza. Analiza stanja sugerira da je potrebno:
1) Napišite jednadžbu pravca.
2) Napišite jednadžbu pravca.
3) Odredi relativni položaj pravaca.
4) Ako se pravci sijeku, pronađite točku sjecišta.

Razvoj algoritma akcije tipičan je za mnoge geometrijski problemi, i na to ću se više puta usredotočiti.

Kompletno rješenje i odgovor na kraju lekcije:

Par cipela još nije istrošen, jer smo došli do drugog dijela lekcije:

Okomite linije. Udaljenost od točke do pravca.
Kut između pravaca

Počnimo s tipičnim i vrlo važnim zadatkom. U prvom dijelu naučili smo kako izgraditi ravnu liniju paralelnu sa zadanom, a sada će se koliba na pilećim nogama okrenuti za 90 stupnjeva:

Kako nacrtati pravac okomit na zadani?

Primjer 6

Pravac je dan jednadžbom . Napišite jednadžbu za okomiti pravac koji prolazi točkom.

Riješenje: Poznato je po pretpostavci da . Bilo bi lijepo pronaći vektor smjera ravne linije. Budući da su linije okomite, trik je jednostavan:

Iz jednadžbe “uklonimo” vektor normale: , koji će biti vektor usmjeravanja pravca.

Jednadžbu pravca sastavljamo pomoću točke i usmjeravajućeg vektora:

Odgovor:

Razmotrimo geometrijsku skicu:

Hmmm... Narančasto nebo, narančasto more, narančasta deva.

Analitička provjera rješenja:

1) Izdvojite vektore smjera iz jednadžbi i uz pomoć točkasti umnožak vektora zaključujemo da su pravci doista okomiti: .

Usput, možete koristiti normalne vektore, čak je i lakše.

2) Provjerite zadovoljava li točka dobivenu jednadžbu .

Potvrdu je, opet, lako izvesti verbalno.

Primjer 7

Odredite sjecište okomitih pravaca, ako je jednadžba poznata i točka.

Ovo je primjer "uradi sam". U zadatku postoji nekoliko radnji, pa je zgodno rješavati točku po točku.

Naše uzbudljivo putovanje se nastavlja:

Udaljenost od točke do linije

Pred nama je ravni pojas rijeke i naš zadatak je doći do njega najkraćim putem. Nema prepreka, a najoptimalnija ruta bit će kretanje duž okomice. To jest, udaljenost od točke do crte je duljina okomitog segmenta.

Udaljenost se u geometriji tradicionalno označava grčkim slovom "ro", npr.: - udaljenost od točke "em" do pravca "de".

Udaljenost od točke do linije izražava se formulom

Primjer 8

Nađi udaljenost od točke do pravca

Riješenje: sve što trebate je pažljivo zamijeniti brojeve u formulu i napraviti izračune:

Odgovor:

Izvršimo crtež:

Nađena udaljenost od točke do pravca jednaka je duljini crvenog segmenta. Ako nacrtate crtež na kariranom papiru u mjerilu 1 jedinice. \u003d 1 cm (2 ćelije), tada se udaljenost može izmjeriti običnim ravnalom.

Razmotrite još jedan zadatak prema istom crtežu:

Zadatak je pronaći koordinate točke koja je simetrična točki u odnosu na pravac . Predlažem da radnje izvršite sami, međutim, opisat ću algoritam rješenja s međurezultatima:

1) Pronađite pravac koji je okomit na pravac.

2) Pronađite točku sjecišta pravaca: .

Obje radnje se detaljno razmatraju u ovoj lekciji.

3) Točka je središte odsječka. Znamo koordinate sredine i jednog od krajeva. Po formule za koordinate sredine segmenta pronaći .

Neće biti suvišno provjeriti je li udaljenost također jednaka 2,2 jedinice.

Ovdje se mogu pojaviti poteškoće u izračunima, ali u tornju mikrokalkulator puno pomaže, omogućujući vam da brojite obični razlomci. Savjetovao sam mnogo puta i preporučit ću opet.

Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne crte?

Primjer 9

Nađi udaljenost između dvije paralelne crte

Ovo je još jedan primjer neovisnog rješenja. Mali savjet: postoji beskonačno mnogo načina za rješavanje. Ispitivanje na kraju lekcije, ali bolje pokušajte sami pogoditi, mislim da ste uspjeli dobro raspršiti svoju domišljatost.

Kut između dva pravca

Kakav ugao, takav dovratnik:

U geometriji se kut između dviju ravnih crta uzima kao MANI kut, iz čega automatski proizlazi da ne može biti tup. Na slici se kut označen crvenim lukom ne smatra kutom između linija koje se sijeku. I njegov “zeleni” susjed ili suprotno orijentiran grimizni kutak.

Ako su pravci okomiti, tada se bilo koji od 4 kuta može uzeti kao kut između njih.

Kako se razlikuju kutovi? Orijentacija. Prvo, smjer "klizanja" ugla je temeljno važan. Drugo, negativno orijentirani kut se piše sa znakom minus, na primjer, ako .

Zašto sam ovo rekao? Čini se da se možete snaći s uobičajenim konceptom kuta. Činjenica je da se u formulama kojima ćemo pronaći kutove vrlo lako može dobiti negativan rezultat, što vas ne bi trebalo iznenaditi. Kut s predznakom minus nije ništa gori i ima vrlo specifično geometrijsko značenje. Na crtežu za negativni kut potrebno je strelicom označiti njegovu orijentaciju (u smjeru kazaljke na satu).

Kako pronaći kut između dva pravca? Postoje dvije radne formule:

Primjer 10

Pronađite kut između pravaca

Riješenje i Prva metoda

Razmotrite dvije linije dane jednadžbama općenito:

Ako je ravno nije okomito, onda orijentiran kut između njih može se izračunati pomoću formule:

Obratimo pozornost na nazivnik - to je točno skalarni proizvod vektori smjera ravnih linija:

Ako je , tada nazivnik formule nestaje, a vektori će biti ortogonalni, a pravci će biti okomiti. Zato je napravljena rezerva oko neokomitosti linija u formulaciji.

Na temelju prethodno navedenog, rješenje je praktično formalizirano u dva koraka:

1) Izračunajte skalarni umnožak vektora usmjeravanja ravnih linija:
pa linije nisu okomite.

2) Kut između linija nalazimo formulom:

Pomoću inverzna funkcija lako pronaći sam kutak. U ovom slučaju koristimo neparnost arc tangensa (vidi sl. Grafovi i svojstva elementarnih funkcija):

Odgovor:

U odgovoru navodimo točnu vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti iu stupnjevima iu radijanima), izračunatu pomoću kalkulatora.

Pa minus, pa minus, nema veze. Evo geometrijske ilustracije:

Nije iznenađujuće što je kut ispao negativne orijentacije, jer je u uvjetu zadatka prvi broj ravna crta i "uvijanje" kuta je počelo upravo od nje.

Ako stvarno želite dobiti pozitivan kut, trebate zamijeniti ravne linije, odnosno uzeti koeficijente iz druge jednadžbe , te uzmite koeficijente iz prve jednadžbe. Ukratko, morate početi s izravnim .

Bit ću kratak. Kut između dva pravca jednaka kutu između njihovih vektora smjera. Dakle, ako uspijete pronaći koordinate vektora smjera a \u003d (x 1; y 1; z 1) i b \u003d (x 2; y 2; z 2), možete pronaći kut. Točnije, kosinus kuta prema formuli:

Pogledajmo kako ova formula funkcionira na konkretnim primjerima:

Zadatak. U kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 označene su točke E i F - središta bridova A 1 B 1 odnosno B 1 C 1. Odredite kut između pravaca AE i BF.

Budući da rub kocke nije određen, postavljamo AB = 1. Uvodimo standardni koordinatni sustav: ishodište je u točki A, a osi x, y, z usmjerene su duž AB, AD i AA 1, redom. . Jedinični segment jednak je AB = 1. Nađimo sada koordinate vektora smjera za naše pravce.

Odredite koordinate vektora AE. Da bismo to učinili, potrebne su nam točke A = (0; 0; 0) i E = (0,5; 0; 1). Budući da je točka E sredina segmenta A 1 B 1 , njezine su koordinate jednake aritmetičkoj sredini koordinata krajeva. Uočimo da se ishodište vektora AE podudara s ishodištem, pa je AE = (0,5; 0; 1).

Sada se pozabavimo BF vektorom. Slično analiziramo točke B = (1; 0; 0) i F = (1; 0,5; 1), jer F - sredina segmenta B 1 C 1 . Imamo:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Dakle, vektori smjera su spremni. Kosinus kuta između pravaca je kosinus kuta između vektora smjera, pa imamo:

Zadatak. U pravilnoj trokutnoj prizmi ABCA 1 B 1 C 1 , čiji su svi bridovi jednaki 1, označene su točke D i E - središta bridova A 1 B 1, odnosno B 1 C 1. Odredite kut između pravaca AD i BE.

Uvodimo standardni koordinatni sustav: ishodište je u točki A, x-os je usmjerena duž AB, z - duž AA 1 . Os y usmjerimo tako da ravnina OXY koincidira s ravninom ABC. Jedinični odsječak jednak je AB = 1. Odredite koordinate vektora smjera za tražene pravce.

Najprije pronađimo koordinate vektora AD. Razmotrimo točke: A = (0; 0; 0) i D = (0,5; 0; 1), jer D - sredina segmenta A 1 B 1 . Budući da se početak vektora AD poklapa s ishodištem, dobivamo AD = (0,5; 0; 1).

Nađimo sada koordinate vektora BE. Točku B = (1; 0; 0) lako je izračunati. S točkom E - sredinom segmenta C 1 B 1 - malo teže. Imamo:

Ostaje pronaći kosinus kuta:

Zadatak. U pravilnoj šesterokutnoj prizmi ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, čiji su svi bridovi jednaki 1, označene su točke K i L - središta bridova A 1 B 1 i B 1 C 1, odnosno. Odredite kut između pravaca AK i BL.

Uvodimo standardni koordinatni sustav za prizmu: postavljamo ishodište koordinata u središte donje baze, usmjeravamo x-os duž FC, y-os kroz središta odsječaka AB i DE, a z-os okomito prema gore. Jedinični segment opet je jednak AB = 1. Zapišimo koordinate točaka koje nas zanimaju:

Točke K i L su središta odsječaka A 1 B 1 odnosno B 1 C 1, pa se njihove koordinate nalaze preko aritmetičke sredine. Znajući točke, nalazimo koordinate vektora smjera AK i BL:

Nađimo sada kosinus kuta:

Zadatak. U pravilnoj četverokutnoj piramidi SABCD, čiji su svi bridovi jednaki 1, označene su točke E i F - središta stranica SB, odnosno SC. Odredite kut između pravaca AE i BF.

Uvodimo standardni koordinatni sustav: ishodište je u točki A, osi x i y usmjerene su duž AB odnosno AD, a os z je usmjerena okomito prema gore. Jedinični segment jednak je AB = 1.

Točke E i F su polovišta odsječaka SB odnosno SC, pa se njihove koordinate nalaze kao aritmetička sredina krajeva. Zapisujemo koordinate točaka koje nas zanimaju:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Poznavajući točke, nalazimo koordinate vektora smjera AE i BF:

Koordinate vektora AE podudaraju se s koordinatama točke E, jer je točka A ishodište. Ostaje pronaći kosinus kuta:

U članku se govori o pronalaženju kuta između ravnina. Nakon donošenja definicije, postavit ćemo grafički prikaz, razmotriti detaljnu metodu za pronalaženje koordinata metodom. Dobivamo formulu za presječne ravnine, koja uključuje koordinate normalni vektori.

Materijal će koristiti podatke i pojmove koji su prethodno proučavani u člancima o ravnini i liniji u prostoru. Za početak, potrebno je prijeći na razmišljanje koje omogućuje određeni pristup određivanju kuta između dvije ravnine koje se sijeku.

Zadane su dvije ravnine γ 1 i γ 2 koje se sijeku. Njihovo sjecište će dobiti oznaku c . Konstrukcija ravnine χ povezana je sa sjecištem ovih ravnina. Ravnina χ prolazi točkom M kao pravac c. Ravnine γ 1 i γ 2 presjeći ćemo ravninom χ. Oznake pravca koji siječe γ 1 i χ prihvaćamo za pravac a, a sijecišta γ 2 i χ za pravac b. Dobivamo da sjecište pravaca a i b daje točku M .

Položaj točke M ne utječe na kut između pravaca a i b koji se sijeku, a točka M nalazi se na pravcu c kojim prolazi ravnina χ.

Potrebno je konstruirati ravninu χ 1 okomitu na pravac c, a različitu od ravnine χ. Sjecište ravnina γ 1 i γ 2 pomoću χ 1 poprimit će oznaku pravaca a 1 i b 1 .

Vidi se da su kod konstruiranja χ i χ 1 pravci a i b okomiti na pravac c, zatim su a 1, b 1 okomiti na pravac c. Pronalaženje pravaca a i a 1 u ravnini γ 1 s okomitošću na pravac c, tada se one mogu smatrati paralelnima. Na isti način, položaj b i b 1 u ravnini γ 2 s okomitošću pravca c označava njihovu paralelnost. To znači da je potrebno izvršiti paralelni prijenos ravnine χ 1 na χ, pri čemu dobivamo dvije koincidentne prave a i a 1 , b i b 1 . Dobivamo da je kut između pravaca a i b 1 koji se sijeku jednak kutu pravaca a i b.

Razmotrite sliku u nastavku.

Ovu prosudbu dokazuje činjenica da između pravaca a i b koji se sijeku postoji kut koji ne ovisi o položaju točke M, odnosno sjecišta. Ove se linije nalaze u ravninama γ 1 i γ 2 . Zapravo, rezultirajući kut se može zamisliti kao kut između dvije ravnine koje se sijeku.

Prijeđimo na određivanje kuta između postojećih presječnih ravnina γ 1 i γ 2 .

Definicija 1

Kut između dvije ravnine koje se sijeku γ 1 i γ 2 nazovimo kut koji nastaje sjecištem pravaca a i b, gdje se ravnine γ 1 i γ 2 sijeku s ravninom χ okomitom na pravac c.

Razmotrite sliku u nastavku.

Definicija se može dostaviti iu drugom obliku. U sjecištu ravnina γ 1 i γ 2, gdje je c pravac na kojem se one sijeku, označite točku M kroz koju povucite pravce a i b, okomite na pravac c i leže u ravninama γ 1 i γ 2. , tada će kut između pravaca a i b biti kut između ravnina. U praksi je to primjenjivo za konstruiranje kuta između ravnina.

U sjecištu se formira kut čija je vrijednost manja od 90 stupnjeva, odnosno stupanjska mjera kuta vrijedi na intervalu ovog tipa (0, 90] . Ujedno se te ravnine nazivaju okomitima ako je u presjeku formiran pravi kut Kut između paralelnih ravnina smatra se jednak nuli.

Uobičajeni način za pronalaženje kuta između ravnina koje se sijeku je izvođenje dodatnih konstrukcija. To pomaže da se odredi s točnošću, a to se može učiniti pomoću znakova jednakosti ili sličnosti trokuta, sinusa, kosinusa kuta.

Razmotrite rješavanje problema koristeći primjer iz problema Jedinstvenog državnog ispita bloka C 2.

Primjer 1

Dat je pravokutni paralelopiped A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, gdje stranica A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, točka E odvaja stranicu A A 1 u omjeru 4:3. Odredite kut između ravnina A B C i B E D 1 .

Riješenje

Radi jasnoće, morate napraviti crtež. Shvaćamo to

Potreban je vizualni prikaz kako bi bilo prikladnije raditi s kutom između ravnina.

Napravimo definiciju pravca po kojem se sijeku ravnine A B C i B E D 1 . Točka B je zajednička točka. Treba pronaći još jednu zajedničku točku sjecišta. Promotrimo pravce D A i D 1 E koji se nalaze u istoj ravnini A D D 1 . Njihov položaj ne ukazuje na paralelnost, što znači da imaju zajedničku sjecišnu točku.

Međutim, pravac D A nalazi se u ravnini A B C, a D 1 E u B E D 1 . Stoga dobivamo te linije D A i D 1 E imaju zajedničku sjecišnu točku, koja je zajednička i za ravnine A B C i B E D 1 . Označava točku sjecišta linija D A i D 1 E slovo F. Odavde dobivamo da je B F pravac po kojem se sijeku ravnine A B C i B E D 1 .

Razmotrite sliku u nastavku.

Da bi se dobio odgovor, potrebno je konstruirati pravce koji se nalaze u ravninama A B C i B E D 1 s prolazom kroz točku koja se nalazi na pravcu B F i okomita je na njega. Tada se dobiveni kut između ovih pravaca smatra željenim kutom između ravnina A B C i B E D 1.

Iz ovoga je vidljivo da je točka A projekcija točke E na ravninu A B C. Potrebno je povući pravac koji siječe pravac B F pod pravim kutom u točki M. Vidi se da pravac A M je projekcija pravca E M na ravninu A B C, na temelju teorema o tim okomicama A M ⊥ B F . Razmotrite sliku u nastavku.

∠ A M E je traženi kut koji čine ravnine A B C i B E D 1 . Iz dobivenog trokuta A E M možemo pronaći sinus, kosinus ili tangens kuta, a nakon toga i sam kut, samo s dvije poznate stranice. Prema uvjetu, imamo da se duljina A E nalazi na ovaj način: pravac A A 1 je podijeljen točkom E u omjeru 4: 3, što znači da je ukupna duljina pravca 7 dijelova, tada je A E \u003d 4 dijela. Nalazimo A.M.

Treba uzeti u obzir pravokutni trokut A B F . Imamo pravi kut A s visinom A M. Iz uvjeta A B \u003d 2, tada možemo pronaći duljinu A F po sličnosti trokuta D D 1 F i A E F. Dobivamo da je A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Potrebno je pronaći duljinu stranice B F iz trokuta A B F pomoću Pitagorinog poučka. Dobivamo da je B F = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Duljina stranice A M određena je površinom trokuta A B F. Imamo da površina može biti jednaka i S A B C = 1 2 · A B · A F , i S A B C = 1 2 · B F · A M .

Dobivamo da je A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Tada možemo pronaći vrijednost tangensa kuta trokuta A E M. Dobivamo:

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

Traženi kut dobiven presjekom ravnina A B C i B E D 1 jednak je a r c t g 5, tada, pojednostavljeno, dobivamo a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Odgovor: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Neki slučajevi pronalaženja kuta između pravaca koji se sijeku dani su pomoću koordinatna ravnina O x y z i metodi koordinata. Razmotrimo detaljnije.

Ako je zadan zadatak u kojem je potrebno pronaći kut između siječnih ravnina γ 1 i γ 2, željeni kut označavamo s α.

Tada zadani koordinatni sustav pokazuje da imamo koordinate vektora normala siječnih ravnina γ 1 i γ 2 . Tada označavamo da je n 1 → = n 1 x , n 1 y , n 1 z normalni vektor ravnine γ 1 , a n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) - za ravnina γ 2 . Razmotrite detaljan pronalazak kuta koji se nalazi između ovih ravnina prema koordinatama vektora.

Pravu liniju duž koje se sijeku ravnine γ 1 i γ 2 potrebno je označiti slovom c. Na pravcu s imamo točku M, kroz koju povučemo ravninu χ, okomitu na c. Ravnina χ duž pravaca a i b siječe ravnine γ 1 i γ 2 u točki M . iz definicije proizlazi da je kut između siječnih ravnina γ 1 i γ 2 jednak kutu siječnih pravaca a i b koji pripadaju tim ravninama.

U ravnini χ izdvojimo vektore normale iz točke M i označimo ih n 1 → i n 2 →. Vektor n 1 → nalazi se na pravcu okomitom na pravac a, a vektor n 2 → na pravcu okomitom na pravac b. Odavde dobivamo da data ravnina χ ima vektor normale pravca a jednak n 1 → i za pravac b jednak n 2 → . Razmotrite sliku u nastavku.

Odavde dobivamo formulu pomoću koje pomoću koordinata vektora možemo izračunati sinus kuta pravaca koji se sijeku. Utvrdili smo da je kosinus kuta između ravnih linija a i b isti kao kosinus između ravnina koje se sijeku γ 1 i γ 2 i izvodi se iz formule cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , gdje imamo da je n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) i n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) su koordinate vektora prikazanih ravnina.

Kut između linija koje se sijeku izračunava se pomoću formule

α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

Primjer 2

Po uvjetu je zadan paralelopiped A V S D A 1 B 1 C 1 D 1 , gdje je A B \u003d 2, A D \u003d 3, A A 1 \u003d 7, a točka E odvaja stranicu A A 1 4: 3. Odredite kut između ravnina A B C i B E D 1 .

Riješenje

Iz uvjeta se vidi da su mu stranice u paru okomite. To znači da je potrebno uvesti koordinatni sustav O x y z s vrhom u točki C i koordinatnim osima O x, O y, O z. Potrebno je staviti smjer na odgovarajuće strane. Razmotrite sliku u nastavku.

Presječne ravnine A B C i B E D 1 tvore kut koji se može pronaći formulom 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , gdje je n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) i n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z ) su normalni vektori ovih ravnina. Potrebno je odrediti koordinate. Sa slike vidimo da se koordinatna os O x y poklapa u ravnini A B C, što znači da su koordinate vektora normale k → jednake vrijednosti n 1 → = k → = (0, 0, 1) .

Normalni vektor ravnine B E D 1 je vektorski umnožak B E → i B D 1 → , gdje se njihove koordinate nalaze pomoću koordinata ekstremne točke B, E, D 1 , koji se određuju na temelju uvjeta zadatka.

Dobivamo da je B (0 , 3 , 0) , D 1 (2 , 0 , 7) . Budući da je A E E A 1 = 4 3 , iz koordinata točaka A 2 , 3 , 0 , A 1 2 , 3 , 7 nalazimo E 2 , 3 , 4 . Dobivamo da je B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12, - 6, - 6)

Potrebno je zamijeniti pronađene koordinate u formulu za izračunavanje kuta kroz kosinus luka. Dobivamo

α = a r c cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Metoda koordinata daje sličan rezultat.

Odgovor: a r c cos 6 6 .

Završni problem se razmatra kako bi se pronašao kut između ravnina koje se sijeku s dostupnim poznatim jednadžbama ravnina.

Primjer 3

Izračunajte sinus, kosinus kuta i vrijednost kuta kojeg tvore dvije crte koje se sijeku, a koje su definirane u koordinatnom sustavu O x y z i dane jednadžbama 2 x - 4 y + z + 1 = 0 i 3 y - z - 1 = 0 .

Riješenje

Prilikom proučavanja teme opća jednadžba linija oblika A x + B y + C z + D = 0 otkrila je da su A, B, C koeficijenti jednaki koordinatama normalnog vektora. Stoga su n 1 → = 2 , - 4 , 1 i n 2 → = 0 , 3 , - 1 normalni vektori zadanih pravaca.

U formulu za izračunavanje željenog kuta ravnina koje se sijeku potrebno je zamijeniti koordinate normalnih vektora ravnina. Onda to shvaćamo

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Stoga imamo da kosinus kuta ima oblik cos α = 13 210 . Tada kut linija koje se sijeku nije tup. Zamjena u trigonometrijski identitet, dobivamo da je vrijednost sinusa kuta jednaka izrazu. To izračunamo i dobijemo

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

Odgovor: sin α = 41 210 , cos α = 13 210 , α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter