Konštrukcia grafov funkcií obsahujúcich moduly zvyčajne spôsobuje školákom značné ťažkosti. Všetko však nie je také zlé. Stačí si zapamätať niekoľko algoritmov na riešenie takýchto problémov a môžete ľahko vykresliť aj tie zdanlivo zložité funkcie. Pozrime sa, aké sú tieto algoritmy.
1. Vykreslenie funkcie y = |f(x)|
Všimnite si, že množina funkčných hodnôt y = |f(x)| : y ≥ 0. Grafy takýchto funkcií sú teda vždy umiestnené úplne v hornej polrovine.
Vykreslenie funkcie y = |f(x)| pozostáva z nasledujúcich jednoduchých štyroch krokov.
1) Starostlivo a starostlivo zostrojte graf funkcie y = f(x).
2) Ponechajte nezmenené všetky body grafu, ktoré sú nad alebo na osi 0x.
3) Časť grafu, ktorá leží pod osou 0x, zobrazte symetricky okolo osi 0x.
Príklad 1. Nakreslite graf funkcie y = |x 2 - 4x + 3|
1) Zostavíme graf funkcie y \u003d x 2 - 4x + 3. Je zrejmé, že grafom tejto funkcie je parabola. Nájdite súradnice všetkých priesečníkov paraboly so súradnicovými osami a súradnicami vrcholu paraboly.
x 2 - 4 x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Preto parabola pretína os 0x v bodoch (3, 0) a (1, 0).
y \u003d 0 2 - 4 0 + 3 \u003d 3.
Preto parabola pretína os 0y v bode (0, 3).
Súradnice vrcholov paraboly:
x v \u003d - (-4/2) \u003d 2, y v \u003d 2 2 - 4 2 + 3 \u003d -1.
Preto bod (2, -1) je vrcholom tejto paraboly.
Nakreslite parabolu pomocou prijatých údajov (obr. 1)
2) Časť grafu ležiaca pod osou 0x je zobrazená symetricky vzhľadom na os 0x.
3) Získame graf pôvodnej funkcie ( ryža. 2, znázornené bodkovanou čiarou).
2. Vykreslenie funkcie y = f(|x|)
Všimnite si, že funkcie tvaru y = f(|x|) sú párne:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). To znamená, že grafy takýchto funkcií sú symetrické okolo osi 0y.
Vykreslenie funkcie y = f(|x|) pozostáva z nasledujúceho jednoduchého reťazca akcií.
1) Nakreslite funkciu y = f(x).
2) Ponechajte tú časť grafu, pre ktorú x ≥ 0, teda časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.
3) Zobrazte časť grafu špecifikovanú v odseku (2) symetricky k osi 0y.
4) Ako konečný graf vyberte spojenie kriviek získaných v odsekoch (2) a (3).
Príklad 2. Nakreslite graf funkcie y = x 2 – 4 · |x| + 3
Pretože x 2 = |x| 2 , potom môže byť pôvodná funkcia prepísaná takto: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. A teraz môžeme použiť algoritmus navrhnutý vyššie.
1) Starostlivo a starostlivo zostavujeme graf funkcie y \u003d x 2 - 4 x + 3 (pozri tiež ryža. jeden).
2) Ponecháme tú časť grafu, pre ktorú x ≥ 0, teda tú časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.
3) Displej pravá strana grafika symetrická k osi 0y.
(obr. 3).
Príklad 3. Nakreslite graf funkcie y = log 2 |x|
Aplikujeme schému uvedenú vyššie.
1) Nakreslíme funkciu y = log 2 x (obr. 4).
3. Vykreslenie funkcie y = |f(|x|)|
Všimnite si, že funkcie tvaru y = |f(|x|)| sú tiež párne. Skutočne, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), a preto sú ich grafy symetrické okolo osi 0y. Súbor hodnôt takýchto funkcií: y ≥ 0. Grafy takýchto funkcií sú teda umiestnené úplne v hornej polrovine.
Ak chcete vykresliť funkciu y = |f(|x|)|, musíte:
1) Zostrojte úhľadný graf funkcie y = f(|x|).
2) Ponechajte nezmenenú časť grafu, ktorá je nad alebo na osi 0x.
3) Časť grafu umiestnená pod osou 0x by mala byť zobrazená symetricky vzhľadom na os 0x.
4) Ako konečný graf vyberte spojenie kriviek získaných v odsekoch (2) a (3).
Príklad 4. Nakreslite graf funkcie y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Všimnite si, že x 2 = |x| 2. Preto namiesto pôvodnej funkcie y = -x 2 + 2|x| - jeden
môžete použiť funkciu y = -|x| 2 + 2|x| – 1, keďže ich grafy sú rovnaké.
Zostavíme graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Používame na to algoritmus 2.
a) Nakreslíme funkciu y \u003d -x 2 + 2x - 1 (obr. 6).
b) Necháme tú časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.
c) Zobrazte výslednú časť grafu symetricky k osi 0y.
d) Výsledný graf je na obrázku znázornený bodkovanou čiarou (obr. 7).
2) Nad osou 0x nie sú žiadne body, body na osi 0x necháme nezmenené.
3) Časť grafu umiestnená pod osou 0x je zobrazená symetricky vzhľadom na 0x.
4) Výsledný graf je na obrázku znázornený bodkovanou čiarou (obr. 8).
Príklad 5. Nakreslite funkciu y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Najprv musíte nakresliť funkciu y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Aby sme to urobili, vrátime sa k algoritmu 2.
a) Opatrne nakreslite funkciu y = (2x – 4) / (x + 3) (obr. 9).
Všimni si danú funkciu je lineárne zlomkový a jeho grafom je hyperbola. Ak chcete vytvoriť krivku, musíte najprv nájsť asymptoty grafu. Horizontálne - y \u003d 2/1 (pomer koeficientov v x v čitateli a menovateli zlomku), vertikálne - x \u003d -3.
2) Časť grafu, ktorá je nad alebo na osi 0x, zostane nezmenená.
3) Časť grafu umiestnená pod osou 0x sa zobrazí symetricky vzhľadom na 0x.
4) Výsledný graf je znázornený na obrázku (Obr. 11).
stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.
Lekcia na tému: "Graf a vlastnosti funkcie $y=x^3$. Príklady vykresľovania"
Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje pripomienky, spätnú väzbu, návrhy. Všetky materiály sú kontrolované antivírusovým programom.
Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode "Integral" pre ročník 7
Elektronická učebnica pre ročník 7 "Algebra za 10 minút"
Vzdelávací komplex 1C "Algebra, ročníky 7-9"
Vlastnosti funkcie $y=x^3$
Poďme si popísať vlastnosti tejto funkcie:
1. x je nezávislá premenná, y je závislá premenná.
2. Definičná oblasť: je zrejmé, že pre akúkoľvek hodnotu argumentu (x) je možné vypočítať hodnotu funkcie (y). V súlade s tým je doménou definície tejto funkcie celý číselný rad.
3. Rozsah hodnôt: y môže byť čokoľvek. Rozsah je teda aj celý číselný rad.
4. Ak x= 0, potom y= 0.
Graf funkcie $y=x^3$
1. Urobme si tabuľku hodnôt:
2. Pre kladné hodnoty x je graf funkcie $y=x^3$ veľmi podobný parabole, ktorej vetvy sú viac „pritlačené“ k osi OY.
3. Keďže funkcia $y=x^3$ má opačné hodnoty pre záporné hodnoty x, graf funkcie je symetrický vzhľadom na počiatok.
Teraz si označme body súradnicová rovina a zostavte graf (pozri obr. 1).
Táto krivka sa nazýva kubická parabola.
Príklady
I. Úplne hotový na malej lodi sladkej vody. Z mesta je potrebné priviesť dostatok vody. Voda sa objednáva vopred a platí sa za plnú kocku, aj keď jej napustíte o niečo menej. Koľko kociek je potrebné objednať, aby ste nepreplatili kocku navyše a úplne naplnili nádrž? Je známe, že nádrž má rovnakú dĺžku, šírku a výšku, ktoré sa rovnajú 1,5 m.Vyriešme tento problém bez vykonania výpočtov.
Riešenie:
1. Nakreslíme funkciu $y=x^3$.
2. Nájdite bod A, súradnicu x, ktorá sa rovná 1,5. Vidíme, že súradnica funkcie je medzi hodnotami 3 a 4 (pozri obr. 2). Treba si teda objednať 4 kocky.
Do zlatého veku informačných technológií Len málo ľudí si kúpi milimetrový papier a strávi hodiny kreslením funkcie alebo ľubovoľnej množiny údajov, a načo robiť takú fuška, keď si funkciu môžete vykresliť online. Okrem toho je takmer nemožné a ťažké vypočítať milióny hodnôt výrazov pre správne zobrazenie a napriek všetkému úsiliu dostanete prerušovanú čiaru, nie krivku. Pretože počítač v tomto prípade - nepostrádateľným pomocníkom.
Čo je to funkčný graf
Funkcia je pravidlo, podľa ktorého je každý prvok jednej množiny spojený s niektorým prvkom inej množiny, napríklad výraz y = 2x + 1 vytvára spojenie medzi množinami všetkých hodnôt x a všetkých hodnôt y, preto , toto je funkcia. Podľa toho sa graf funkcie bude nazývať množina bodov, ktorých súradnice vyhovujú danému výrazu.
Na obrázku vidíme graf funkcie y=x. Toto je priamka a každý jej bod má na osi svoje súradnice X a na osi Y. Na základe definície, ak dosadíme súradnicu X nejaký bod do tejto rovnice, potom dostaneme súradnicu tohto bodu na osi Y.
Služby na vykresľovanie funkčných grafov online
Zvážte niekoľko populárnych a najlepších služieb, ktoré vám umožňujú rýchlo nakresliť graf funkcie.
Otvorí zoznam najbežnejších služieb, ktoré vám umožňujú vykresliť funkčný graf pomocou online rovnice. Umath obsahuje iba potrebné nástroje, ako je zoomovanie, pohyb po rovine súradníc a zobrazenie súradníc bodu, na ktorý ukazuje myš.
Pokyn:
- Zadajte rovnicu do poľa za znakom „=“.
- Kliknite na tlačidlo "Vytvoriť graf".
Ako vidíte, všetko je veľmi jednoduché a prístupné, syntax na písanie zložitých matematických funkcií: s modulom, trigonometrické, exponenciálne - je uvedená priamo pod grafom. V prípade potreby môžete tiež nastaviť rovnicu parametrickou metódou alebo zostaviť grafy v polárnom súradnicovom systéme.
Yotx má všetky funkcie predchádzajúcej služby, no zároveň obsahuje také zaujímavé novinky ako vytvorenie intervalu zobrazovania funkcií, možnosť zostaviť graf pomocou tabuľkových údajov a tiež zobraziť tabuľku s celými riešeniami.
Pokyn:
- Vyberte požadovaný spôsob plánovania.
- Zadajte rovnicu.
- Nastavte interval.
- Kliknite na tlačidlo "Postaviť".
Pre tých, ktorí sú príliš leniví na to, aby zistili, ako zapísať určité funkcie, táto pozícia predstavuje službu s možnosťou vybrať si zo zoznamu tú, ktorú potrebujete, jedným kliknutím myši.
Pokyn:
- Nájdite v zozname funkciu, ktorú potrebujete.
- Kliknite naň ľavým tlačidlom myši
- V prípade potreby zadajte koeficienty do poľa "Funkcia:".
- Kliknite na tlačidlo "Postaviť".
Z hľadiska vizualizácie je možné zmeniť farbu grafu, ako aj skryť alebo úplne vymazať.
Desmos je zďaleka najsofistikovanejšia služba na zostavovanie rovníc online. Pohybom kurzora pri stlačenom ľavom tlačidle myši na grafe môžete detailne vidieť všetky riešenia rovnice s presnosťou 0,001. Zabudovaná klávesnica umožňuje rýchle písanie stupňov a zlomkov. Najdôležitejším plusom je schopnosť napísať rovnicu v akomkoľvek stave, bez toho, aby to viedlo k tvaru: y = f(x).
Pokyn:
- V ľavom stĺpci kliknite pravým tlačidlom myši na voľný riadok.
- V ľavom dolnom rohu kliknite na ikonu klávesnice.
- Na paneli, ktorý sa zobrazí, zadajte požadovanú rovnicu (ak chcete napísať názvy funkcií, prejdite do časti „A B C“).
- Graf sa vytvára v reálnom čase.
Vizualizácia je priam dokonalá, prispôsobivá, vidno, že dizajnéri na aplikácii zapracovali. Z plusov si možno všimnúť obrovské množstvo príležitostí, ktorých vývoj nájdete v ponuke v ľavom hornom rohu.
Existuje veľa stránok pre funkcie vykresľovania, ale každý si môže slobodne vybrať na základe požadovanej funkčnosti a osobných preferencií. Rebríček toho najlepšieho bol zostavený tak, aby splnil požiadavky každého matematika, mladého i staršieho. Veľa šťastia pri porozumení „kráľovnej vied“!
