Pravidlá sčítania zlomkov s rôznymi menovateľmi sú veľmi jednoduché.
Zvážte pravidlá pre pridávanie zlomkov s rôznymi menovateľmi v krokoch:
1. Nájdite LCM (najmenší spoločný násobok) menovateľov. Výsledný LCM bude spoločným menovateľom zlomkov;
2. Priveďte zlomky k spoločnému menovateľovi;
3. Pridajte zlomky zredukované na spoločného menovateľa.
Na jednoduchý príklad Naučte sa sčítať zlomky s rôznymi menovateľmi.
Príklad
Príklad sčítania zlomkov s rôznymi menovateľmi.
Pridajte zlomky s rôznymi menovateľmi:
| 1 | + | 5 |
|---|---|---|
| 6 | 12 |
Rozhodnime sa krok za krokom.
1. Nájdite LCM (najmenší spoločný násobok) menovateľov.
Číslo 12 je deliteľné 6.
Z toho usudzujeme, že 12 je najmenší spoločný násobok čísel 6 a 12.
Odpoveď: nok čísel 6 a 12 je 12:
LCM(6,12) = 12
Výsledné NOC bude spoločným menovateľom dvoch zlomkov 1/6 a 5/12.
2. Priveďte zlomky k spoločnému menovateľovi.
V našom príklade je potrebné zredukovať iba prvý zlomok na spoločného menovateľa 12, pretože druhý zlomok už má menovateľa 12.
Vydeľte spoločného menovateľa 12 menovateľom prvého zlomku:
2 má dodatočný multiplikátor.
Vynásobte čitateľa a menovateľa prvého zlomku (1/6) dodatočným faktorom 2.
Uvažujme zlomok $\frac63$. Jeho hodnota je 2, pretože $\frac63 =6:3 = 2$. Čo sa stane, ak sa čitateľ a menovateľ vynásobia 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Je zrejmé, že hodnota zlomku sa nezmenila, takže $\frac(12)(6)$ sa tiež rovná 2 ako y. vynásobte čitateľa a menovateľa o 3 a získate $\frac(18)(9)$ alebo o 27 a získate $\frac(162)(81)$ alebo o 101 a získate $\frac(606)(303)$. V každom z týchto prípadov je hodnota zlomku, ktorý dostaneme delením čitateľa menovateľom, 2. To znamená, že sa nezmenila.
Rovnaký vzor je pozorovaný v prípade iných frakcií. Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku $\frac(120)(60)$ (rovná sa 2) vydelí 2 (výsledok $\frac(60)(30)$) alebo 3 (výsledok $\ frac(40)(20) $), alebo o 4 (výsledok $\frac(30)(15)$) atď., potom v každom prípade zostane hodnota zlomku nezmenená a rovná sa 2.
Toto pravidlo platí aj pre zlomky, ktoré sa nerovnajú. celé číslo.
Ak sa čitateľ a menovateľ zlomku $\frac(1)(3)$ vynásobí 2, dostaneme $\frac(2)(6)$, teda hodnota zlomku sa nezmenila. A v skutočnosti, ak tortu rozdelíte na 3 časti a jednu z nich odoberiete, alebo ju rozdelíte na 6 častí a odoberiete 2 časti, dostanete v oboch prípadoch rovnaké množstvo koláča. Preto sú čísla $\frac(1)(3)$ a $\frac(2)(6)$ totožné. Sformulujme všeobecné pravidlo.
Čitateľ a menovateľ ľubovoľného zlomku možno vynásobiť alebo vydeliť rovnakým číslom a hodnota zlomku sa nemení.
Toto pravidlo je veľmi užitočné. Napríklad umožňuje v niektorých prípadoch, ale nie vždy, vyhnúť sa operáciám s veľkým počtom.
Napríklad, môžeme vydeliť čitateľa a menovateľa zlomku $\frac(126)(189)$ číslom 63 a dostaneme zlomok $\frac(2)(3)$, ktorý sa počíta oveľa jednoduchšie. Ešte jeden príklad. Čitateľ a menovateľ zlomku $\frac(155)(31)$ môžeme vydeliť 31 a dostaneme zlomok $\frac(5)(1)$ alebo 5, keďže 5:1=5.
V tomto príklade sme sa prvýkrát stretli zlomok, ktorého menovateľ je 1. Takéto zlomky zohrávajú dôležitú úlohu vo výpočtoch. Malo by sa pamätať na to, že akékoľvek číslo možno deliť 1 a jeho hodnota sa nezmení. To znamená, že $\frac(273)(1)$ sa rovná 273; $\frac(509993)(1)$ sa rovná 509993 a tak ďalej. Preto nemusíme deliť čísla , pretože každé celé číslo môže byť vyjadrené ako zlomok s menovateľom 1.
S takýmito zlomkami, ktorých menovateľ sa rovná 1, môžete vykonávať rovnaké aritmetické operácie ako so všetkými ostatnými zlomkami: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.
Možno sa pýtate, na čo slúži reprezentácia celého čísla ako zlomku, ktorý bude mať jednotku pod čiarou, pretože je pohodlnejšie pracovať s celým číslom. Faktom však je, že reprezentácia celého čísla ako zlomku nám dáva príležitosť vykonávať rôzne akcie efektívnejšie, keď sa zaoberáme celými aj zlomkovými číslami súčasne. Napríklad učiť sa pridať zlomky s rôznymi menovateľmi. Predpokladajme, že potrebujeme pridať $\frac(1)(3)$ a $\frac(1)(5)$.
Vieme, že môžete sčítať iba zlomky, ktorých menovatelia sa rovnajú. Musíme sa teda naučiť, ako priviesť zlomky do takejto formy, keď sú ich menovatelia rovnakí. V tomto prípade opäť potrebujeme skutočnosť, že môžete vynásobiť čitateľa a menovateľa zlomku rovnakým číslom bez toho, aby ste zmenili jeho hodnotu.
Najprv vynásobíme čitateľa a menovateľa zlomku $\frac(1)(3)$ 5. Dostaneme $\frac(5)(15)$, hodnota zlomku sa nezmenila. Potom vynásobíme čitateľa a menovateľa zlomku $\frac(1)(5)$ 3. Dostaneme $\frac(3)(15)$, opäť sa hodnota zlomku nezmenila. Preto $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.
Teraz sa pokúsime použiť tento systém na sčítanie čísel obsahujúcich celé číslo aj zlomkové časti.
Musíme pridať $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Najprv prevedieme všetky pojmy na zlomky a dostaneme: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Teraz musíme priviesť všetky zlomky k spoločnému menovateľovi, preto vynásobíme čitateľa a menovateľa prvého zlomku 12, druhého 4 a tretieho 3. Výsledkom je $\frac(36 )(12) + \frac(4)(12)+\frac(15)(12)$, čo sa rovná $\frac(55)(12)$. Ak sa chcete zbaviť nesprávny zlomok, možno ho premeniť na číslo pozostávajúce z celého čísla a zlomkovej časti: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ alebo $4\frac( 7) (12) $.
Všetky pravidlá, ktoré to umožňujú operácie so zlomkami, ktoré sme práve študovali, platia aj v prípade záporných čísel. Takže -1: 3 možno zapísať ako $\frac(-1)(3)$ a 1: (-3) ako $\frac(1)(-3)$.
Keďže delenie záporného čísla kladným číslom aj delenie kladného čísla záporným výsledkom v záporných číslach, v oboch prípadoch dostaneme odpoveď v tvare záporného čísla. Teda
$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ alebo $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Znamienko mínus, ak je napísané týmto spôsobom, sa vzťahuje na celý zlomok ako celok, a nie samostatne na čitateľa alebo menovateľa.
Na druhej strane, (-1) : (-3) môžeme zapísať ako $\frac(-1)(-3)$, a keďže keď vydelíme záporné číslo záporným číslom, dostaneme kladné číslo, potom $\frac(-1)(-3)$ možno zapísať ako $+\frac(1)(3)$.
Sčítanie a odčítanie negatívnych zlomkov sa vykonáva rovnakým spôsobom ako sčítanie a odčítanie pozitívnych zlomkov. Napríklad, čo je $ 1-1\frac13$? Predstavme obe čísla ako zlomky a získajme $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Zredukujeme zlomky na spoločného menovateľa a získame $\frac(1 \krát 3)(1 \krát 3)-\frac(4)(3)$, t.j. $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$ alebo $-\frac(1)(3)$.
Akcie so zlomkami.
Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)
Takže, čo sú zlomky, typy zlomkov, transformácie - zapamätali sme si. Poďme sa zaoberať hlavnou otázkou.
Čo môžete robiť so zlomkami?Áno, všetko je ako pri bežných číslach. Sčítajte, odčítajte, násobte, delte.
Všetky tieto akcie s desiatkový operácie so zlomkami sa nelíšia od operácií s celými číslami. V skutočnosti sú na to dobré, desiatkové. Jediná vec je, že musíte správne zadať čiarku.
zmiešané čísla, ako som povedal, sú pre väčšinu akcií málo užitočné. Stále ich treba previesť na obyčajné zlomky.
A tu sú akcie s obyčajné zlomky bude múdrejší. A oveľa dôležitejšie! Dovoľte mi pripomenúť vám: všetky akcie so zlomkovými výrazmi s písmenami, sínusmi, neznámymi atď. a tak ďalej sa nelíšia od akcií s obyčajnými zlomkami! Operácie s obyčajnými zlomkami sú základom celej algebry. Z tohto dôvodu tu budeme celú túto aritmetiku veľmi podrobne analyzovať.
Sčítanie a odčítanie zlomkov.
Každý môže sčítať (odčítať) zlomky s rovnakými menovateľmi (naozaj dúfam!). No, dovoľte mi pripomenúť, že som úplne zábudlivý: pri pridávaní (odčítaní) sa menovateľ nemení. Čitatelia sa sčítajú (odčítajú), čím sa získa čitateľ výsledku. Typ:
Skrátka v všeobecný pohľad:
Čo ak sú menovatelia odlišní? Potom pomocou hlavnej vlastnosti zlomku (tu sa to opäť hodilo!) urobíme menovateľov rovnakých! Napríklad:
Tu sme museli zo zlomku 2/5 urobiť zlomok 4/10. Len preto, aby boli menovatele rovnaké. Podotýkam, pre každý prípad, že 2/5 a 4/10 sú rovnaký zlomok! Len 2/5 sú pre nás nepríjemné a 4/10 dokonca nič.
Mimochodom, toto je podstata riešenia akýchkoľvek úloh v matematike. Keď sme vonku nepríjemné výrazy áno to isté, ale pohodlnejšie na riešenie.
Ďalší príklad:
Situácia je podobná. Tu urobíme 48 zo 16. Jednoduchým násobením na 3. Toto je všetko jasné. Ale tu narazíme na niečo ako:
Ako byť?! Zo sedmičky je ťažké urobiť deviatku! Ale my sme múdri, poznáme pravidlá! Poďme sa transformovať každý zlomok tak, aby menovatele boli rovnaké. Toto sa nazýva „redukovať na spoločného menovateľa“:
Ako! Ako som vedel o 63? Veľmi jednoduché! 63 je číslo, ktoré je zároveň rovnomerne deliteľné 7 a 9. Takéto číslo sa dá vždy získať vynásobením menovateľov. Ak nejaké číslo vynásobíme napríklad 7, tak výsledok určite vydelíme 7!
Ak potrebujete sčítať (odčítať) niekoľko zlomkov, nie je potrebné to robiť vo dvojiciach, krok za krokom. Musíte len nájsť menovateľa, ktorý je spoločný pre všetky zlomky, a priviesť každý zlomok k rovnakému menovateľovi. Napríklad:
A čo bude spoločným menovateľom? Môžete, samozrejme, vynásobiť 2, 4, 8 a 16. Dostaneme 1024. Nočná mora. Jednoduchšie je odhadnúť, že číslo 16 je dokonale deliteľné 2, 4 a 8. Preto je ľahké z týchto čísel dostať 16. Toto číslo bude spoločným menovateľom. Premeníme 1/2 na 8/16, 3/4 na 12/16 atď.
Mimochodom, ak zoberieme 1024 ako spoločného menovateľa, tiež všetko vyjde, nakoniec sa všetko zníži. Len nie každý sa dostane k tomuto cieľu, kvôli výpočtom ...
Vyriešte príklad sami. Nie logaritmus... Malo by to byť 29/16.
Takže so sčítaním (odčítaním) zlomkov je to dúfam jasné? Samozrejme, ľahšie sa pracuje v skrátenej verzii, s ďalšími násobičmi. Ale toto potešenie je k dispozícii tým, ktorí poctivo pracovali v nižších ročníkoch ... A na nič nezabudli.
A teraz urobíme rovnaké akcie, ale nie so zlomkami, ale s zlomkové výrazy. Nové hrable sa tu nájdu, áno ...
Musíme teda pridať dva zlomkové výrazy:
Musíme urobiť menovateľov rovnakých. A len s pomocou násobenie! Takže hlavná vlastnosť zlomku hovorí. Preto nemôžem pridať jednotku ku x v prvom zlomku v menovateli. (Ale to by bolo pekné!). Ale ak vynásobíte menovateľov, uvidíte, že všetko porastie! Zapíšeme si teda riadok zlomku, navrchu necháme prázdne miesto, potom ho pridáme a napíšeme súčin menovateľov nižšie, aby sme nezabudli:
A, samozrejme, na pravej strane nič nenásobíme, neotvárame zátvorky! A teraz, keď sa pozrieme na spoločného menovateľa pravej strany, myslíme si: aby sme dostali menovateľ x (x + 1) v prvom zlomku, musíme vynásobiť čitateľa a menovateľa tohto zlomku (x + 1) . A v druhom zlomku - x. Dostanete toto:
Poznámka! Tu sú zátvorky! Toto sú hrable, na ktoré mnohí šliapu. Nie zátvorky, samozrejme, ale ich absencia. Zátvorky sa objavujú, pretože sa množíme celáčitateľ a celá menovateľ! A nie ich jednotlivé kusy...
Do čitateľa pravej strany napíšeme súčet čitateľov, všetko je ako v číselných zlomkoch, potom otvoríme zátvorky v čitateli pravej strany, t.j. všetko rozmnož a daj like. Netreba otvárať zátvorky v menovateľoch, netreba niečo násobiť! Vo všeobecnosti je v menovateloch (akýchkoľvek) produkt vždy príjemnejší! Dostaneme:
Tu sme dostali odpoveď. Tento proces sa zdá byť dlhý a náročný, ale závisí od praxe. Vyriešte príklady, zvyknite si na to, všetko sa zjednoduší. Tí, ktorí zvládli zlomky v určenom čase, urobte všetky tieto operácie jednou rukou na stroji!
A ešte jedna poznámka. Mnohí sa skvele zaoberajú zlomkami, ale držte sa príkladov celýčísla. Typ: 2 + 1/2 + 3/4= ? Kde upevniť dvojku? Netreba sa nikde pripevňovať, z dvojky treba spraviť zlomok. Nie je to ľahké, je to veľmi jednoduché! 2 = 2/1. Páči sa ti to. Akékoľvek celé číslo možno zapísať ako zlomok. Čitateľ je samotné číslo, menovateľ je jedna. 7 je 7/1, 3 je 3/1 a tak ďalej. Rovnako je to aj s písmenami. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1 atď. A potom s týmito zlomkami pracujeme podľa všetkých pravidiel.
No a pri sčítaní - odčítaní zlomkov sa vedomosti osviežili. Premeny zlomkov z jedného typu na druhý – opakované. Môžete tiež skontrolovať. Urovnáme sa trochu?)
Vypočítať:
Odpovede (v neporiadku):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Násobenie / delenie zlomkov - v ďalšej lekcii. K dispozícii sú aj úlohy pre všetky akcie so zlomkami.
Ak sa vám táto stránka páči...
Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)
Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)
môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.
§ 87. Sčítanie zlomkov.
Sčítanie zlomkov má veľa podobností so sčítaním celých čísel. Sčítanie zlomkov je akcia spočívajúca v tom, že niekoľko daných čísel (členov) sa spojí do jedného čísla (súčtu), ktoré obsahuje všetky jednotky a zlomky jednotiek členov.
Postupne zvážime tri prípady:
1. Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
2. Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
3. Sčítanie zmiešaných čísel.
1. Sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
Zvážte príklad: 1/5 + 2/5 .
Vezmite segment AB (obr. 17), vezmite ho ako jednotku a rozdeľte ho na 5 rovnakých častí, potom sa časť AC tohto segmentu bude rovnať 1/5 segmentu AB a časť toho istého segmentu CD sa bude rovnať 2/5 AB.
Z nákresu je zrejmé, že ak vezmeme segment AD, bude sa rovnať 3/5 AB; ale segment AD je presne súčtom segmentov AC a CD. Môžeme teda napísať:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Vzhľadom na tieto pojmy a výslednú sumu vidíme, že čitateľ súčtu bol získaný sčítaním čitateľov členov a menovateľ zostal nezmenený.
Z toho dostaneme nasledujúce pravidlo: Ak chcete pridať zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte pridať ich čitateľov a ponechať rovnaký menovateľ.
Zvážte príklad:
2. Sčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
Pridajme zlomky: 3/4 + 3/8 Najprv ich treba zredukovať na najnižšieho spoločného menovateľa:
Medzičlánok 6/8 + 3/8 nemohol byť napísaný; pre väčšiu prehľadnosť sme to napísali sem.
Ak teda chcete sčítať zlomky s rôznymi menovateľmi, musíte ich najprv priviesť k najnižšiemu spoločnému menovateľovi, pridať ich čitateľov a podpísať spoločného menovateľa.
Zvážte príklad (napíšeme ďalšie faktory nad zodpovedajúce zlomky):
3. Sčítanie zmiešaných čísel.
Sčítajme čísla: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
Najprv privedieme zlomkové časti našich čísel k spoločnému menovateľovi a znova ich prepíšeme:
Teraz postupne pridajte celé číslo a zlomkové časti:
§ 88. Odčítanie zlomkov.
Odčítanie zlomkov je definované rovnakým spôsobom ako odčítanie celých čísel. Ide o akciu, pri ktorej sa na základe súčtu dvoch výrazov a jedného z nich nájde ďalší výraz. Pozrime sa postupne na tri prípady:
1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
3. Odčítanie zmiešaných čísel.
1. Odčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi.
Zvážte príklad:
13 / 15 - 4 / 15
Zoberme si segment AB (obr. 18), vezmime ho ako jednotku a rozdeľme ho na 15 rovnakých častí; potom časť AC tohto segmentu bude 1/15 AB a časť AD toho istého segmentu bude zodpovedať 13/15 AB. Odložme ďalší segment ED, rovný 4/15 AB.
Musíme odpočítať 4/15 od 13/15. Na výkrese to znamená, že segment ED sa musí odpočítať od segmentu AD. V dôsledku toho zostane segment AE, čo je 9/15 segmentu AB. Môžeme teda napísať:
Príklad, ktorý sme urobili, ukazuje, že čitateľ rozdielu bol získaný odčítaním čitateľov a menovateľ zostal rovnaký.
Preto, aby ste odčítali zlomky s rovnakými menovateľmi, musíte odčítať čitateľa podhodnoty od čitateľa menovateľa a ponechať rovnaký menovateľ.
2. Odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi.
Príklad. 3/4 - 5/8
Najprv zredukujme tieto zlomky na najmenšieho spoločného menovateľa:
Pre prehľadnosť je tu napísaný medzičlánok 6 / 8 - 5 / 8, ale v budúcnosti sa dá preskočiť.
Ak teda chcete odčítať zlomok od zlomku, musíte ich najprv priviesť k najmenšiemu spoločnému menovateľovi, potom odčítať čitateľa podradníka od čitateľa mínusu a podpísať spoločný menovateľ pod ich rozdiel.
Zvážte príklad:
3. Odčítanie zmiešaných čísel.
Príklad. 10 3/4 - 7 2/3.
Prinesme zlomkové časti minuendu a subtrahendu k najnižšiemu spoločnému menovateľovi:
Odčítali sme celok od celku a zlomok od zlomku. Existujú však prípady, keď je zlomková časť subtrahendu väčšia ako zlomková časť minuendu. V takýchto prípadoch musíte zobrať jednu jednotku z celočíselnej časti redukovaného, rozdeliť ju na tie časti, v ktorých je vyjadrená zlomková časť, a pridať k zlomkovej časti redukovaného. A potom sa odčítanie vykoná rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcom príklade:
§ 89. Násobenie zlomkov.
Pri štúdiu násobenia zlomkov zvážime nasledujúce otázky:
1. Násobenie zlomku celým číslom.
2. Nájdenie zlomku daného čísla.
3. Násobenie celého čísla zlomkom.
4. Násobenie zlomku zlomkom.
5. Násobenie zmiešaných čísel.
6. Pojem úroku.
7. Nájdenie percent daného čísla. Zvážme ich postupne.
1. Násobenie zlomku celým číslom.
Násobenie zlomku celým číslom má rovnaký význam ako násobenie celého čísla celým číslom. Násobenie zlomku (násobiteľa) celým číslom (násobiteľom) znamená zostavenie súčtu identických členov, pričom každý člen sa rovná násobiteľu a počet členov sa rovná násobiteľu.
Ak teda potrebujete vynásobiť 1/9 číslom 7, môžete to urobiť takto:
Výsledok sme získali ľahko, pretože akcia bola zredukovaná na sčítanie zlomkov s rovnakými menovateľmi. v dôsledku toho
Zváženie tejto akcie ukazuje, že vynásobenie zlomku celým číslom sa rovná zvýšeniu tohto zlomku toľkokrát, koľko jednotiek obsahuje celé číslo. A keďže zvýšenie zlomku sa dosiahne buď zvýšením jeho čitateľa
alebo znížením jeho menovateľa 
, potom môžeme čitateľa buď vynásobiť celým číslom, alebo ním vydeliť menovateľa, ak je takéto delenie možné.
Odtiaľ dostaneme pravidlo:
Ak chcete vynásobiť zlomok celým číslom, musíte vynásobiť čitateľa týmto celým číslom a ponechať rovnaký menovateľ alebo, ak je to možné, vydeliť menovateľa týmto číslom, pričom čitateľ zostane nezmenený.
Pri násobení sú možné skratky, napríklad:
2. Nájdenie zlomku daného čísla. Existuje veľa úloh, v ktorých musíte nájsť alebo vypočítať časť daného čísla. Rozdiel medzi týmito úlohami a ostatnými je v tom, že udávajú počet niektorých predmetov alebo jednotiek merania a musíte nájsť časť tohto čísla, ktorá je tu tiež označená určitým zlomkom. Na uľahčenie pochopenia uvedieme najprv príklady takýchto problémov a potom predstavíme spôsob ich riešenia.
Úloha 1. Mal som 60 rubľov; 1/3 z týchto peňazí som minul na nákup kníh. Koľko stáli knihy?
Úloha 2. Vlak musí prekonať vzdialenosť medzi mestami A a B, ktorá sa rovná 300 km. Už prekonal 2/3 tejto vzdialenosti. Koľko je toto kilometrov?
Úloha 3. V obci je 400 domov, z toho 3/4 sú murované, ostatné sú drevené. Koľko je tam tehlových domov?
Tu sú niektoré z mnohých problémov, s ktorými sa musíme vysporiadať, aby sme našli zlomok daného čísla. Zvyčajne sa nazývajú problémy na nájdenie zlomku daného čísla.
Riešenie problému 1. Od 60 rubľov. 1/3 som minul na knihy; Ak chcete zistiť cenu kníh, musíte vydeliť číslo 60 tromi:
Riešenie problému 2. Význam problému je, že potrebujete nájsť 2/3 z 300 km. Vypočítajte prvú 1/3 z 300; to sa dosiahne vydelením 300 km tromi:
300: 3 = 100 (to je 1/3 z 300).
Ak chcete nájsť dve tretiny z 300, musíte zdvojnásobiť výsledný kvocient, to znamená vynásobiť 2:
100 x 2 = 200 (to sú 2/3 z 300).
Riešenie problému 3. Tu je potrebné určiť počet murovaných domov, ktorých sú 3/4 zo 400. Najprv nájdime 1/4 zo 400,
400 : 4 = 100 (to je 1/4 zo 400).
Na výpočet troch štvrtín zo 400 sa musí výsledný kvocient strojnásobiť, to znamená vynásobiť 3:
100 x 3 = 300 (to sú 3/4 zo 400).
Na základe riešenia týchto problémov môžeme odvodiť nasledujúce pravidlo:
Ak chcete zistiť hodnotu zlomku z daného čísla, musíte toto číslo vydeliť menovateľom zlomku a výsledný podiel vynásobiť jeho čitateľom.
3. Násobenie celého čísla zlomkom.
Skôr (§ 26) sa stanovilo, že násobenie celých čísel by sa malo chápať ako sčítanie rovnakých výrazov (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). V tomto odseku (odsek 1) bolo stanovené, že vynásobenie zlomku celým číslom znamená nájsť súčet identických členov rovný tomuto zlomku.
V oboch prípadoch násobenie spočívalo v nájdení súčtu identických členov.
Teraz prejdeme k vynásobeniu celého čísla zlomkom. Tu sa stretneme napríklad s násobením: 9 2 / 3. Je celkom zrejmé, že predchádzajúca definícia násobenia v tomto prípade neplatí. Je to zrejmé z toho, že takéto násobenie nemôžeme nahradiť sčítaním rovnakých čísel.
Kvôli tomu budeme musieť dať novú definíciu násobenia, t.j. inými slovami, odpovedať na otázku, čo treba rozumieť pod násobením zlomkom, ako treba chápať tento úkon.
Význam násobenia celého čísla zlomkom je jasný z nasledujúcej definície: vynásobiť celé číslo (násobiteľ) zlomkom (násobiteľom) znamená nájsť tento zlomok násobiteľa.
Totiž vynásobenie 9 2/3 znamená nájdenie 2/3 z deviatich jednotiek. V predchádzajúcom odseku boli takéto problémy vyriešené; takže je ľahké zistiť, že skončíme so 6.
Teraz však vyvstáva zaujímavá a dôležitá otázka: prečo sa také zdanlivo odlišné akcie, ako je hľadanie súčtu rovnakých čísel a hľadanie zlomku čísla, v aritmetike nazývajú rovnakým slovom „násobenie“?
Stáva sa to preto, lebo predchádzajúca akcia (niekoľkokrát zopakovanie čísla s výrazmi) a nová akcia (nájdenie zlomku čísla) dávajú odpoveď na homogénne otázky. To znamená, že tu vychádzame z úvah, že homogénne otázky alebo úlohy sa riešia jednou a tou istou akciou.
Aby ste to pochopili, zvážte nasledujúci problém: „1 m látky stojí 50 rubľov. Koľko budú stáť 4 m takejto látky?
Tento problém sa rieši vynásobením počtu rubľov (50) počtom metrov (4), t.j. 50 x 4 = 200 (rubľov).
Zoberme si rovnaký problém, ale v ňom bude množstvo látky vyjadrené ako zlomkové číslo: „1 m látky stojí 50 rubľov. Koľko bude stáť 3/4 m takejto látky?
Tento problém je tiež potrebné vyriešiť vynásobením počtu rubľov (50) počtom metrov (3/4).
Čísla v ňom môžete zmeniť aj niekoľkokrát bez toho, aby ste zmenili význam problému, napríklad zoberte 9/10 m alebo 2 3/10 m atď.
Keďže tieto úlohy majú rovnaký obsah a líšia sa len číslami, akcie použité pri ich riešení nazývame rovnakým slovom – násobenie.
Ako sa celé číslo vynásobí zlomkom?
Zoberme si čísla, s ktorými sme sa stretli v poslednom probléme:
Podľa definície musíme nájsť 3/4 z 50. Najprv nájdeme 1/4 z 50 a potom 3/4.
1/4 z 50 je 50/4;
3/4 z 50 je .
V dôsledku toho.
Zvážte ďalší príklad: 12 5 / 8 = ?
1/8 z 12 je 12/8,
5/8 z čísla 12 je .
v dôsledku toho
Odtiaľ dostaneme pravidlo:
Ak chcete vynásobiť celé číslo zlomkom, musíte celé číslo vynásobiť čitateľom zlomku a urobiť z tohto súčinu čitateľa a menovateľa daného zlomku podpísať ako menovateľa.
Toto pravidlo napíšeme pomocou písmen:
Aby bolo toto pravidlo úplne jasné, treba pripomenúť, že zlomok možno považovať za podiel. Preto je užitočné zistené pravidlo porovnať s pravidlom pre násobenie čísla podielom, ktoré bolo ustanovené v § 38
Je potrebné mať na pamäti, že pred vykonaním násobenia by ste mali urobiť (ak je to možné) škrty, napríklad:
4. Násobenie zlomku zlomkom. Násobenie zlomku zlomkom má rovnaký význam ako násobenie celého čísla zlomkom, to znamená, že pri násobení zlomku zlomkom treba nájsť zlomok v násobilke z prvého zlomku (násobilky).
Totiž vynásobenie 3/4 1/2 (polovica) znamená nájdenie polovice 3/4.
Ako vynásobíte zlomok zlomkom?
Vezmime si príklad: 3/4 krát 5/7. To znamená, že musíte nájsť 5/7 z 3/4. Nájdite najprv 1/7 z 3/4 a potom 5/7
1/7 z 3/4 by bola vyjadrená takto:
5/7 číslic 3/4 budú vyjadrené takto:
Touto cestou,
Ďalší príklad: 5/8 krát 4/9.
1/9 z 5/8 je ,
4/9 čísla 5/8 sú .
Touto cestou, 
Z týchto príkladov možno odvodiť nasledujúce pravidlo:
Ak chcete vynásobiť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľa čitateľom a menovateľa menovateľom a urobiť prvý súčin čitateľom a druhý súčin menovateľom súčinu.
Toto pravidlo možno vo všeobecnosti napísať takto:
Pri násobení je potrebné robiť (ak je to možné) redukcie. Zvážte príklady:
5. Násobenie zmiešaných čísel. Pretože zmiešané čísla možno ľahko nahradiť nesprávnymi zlomkami, táto okolnosť sa zvyčajne používa pri násobení zmiešaných čísel. To znamená, že v prípadoch, keď sú násobiteľ alebo násobiteľ alebo oba faktory vyjadrené ako zmiešané čísla, sú nahradené nesprávnymi zlomkami. Vynásobte napríklad zmiešané čísla: 2 1/2 a 3 1/5. Každý z nich premeníme na nesprávny zlomok a výsledné zlomky potom vynásobíme podľa pravidla násobenia zlomku zlomkom:
Pravidlo. Ak chcete vynásobiť zmiešané čísla, musíte ich najskôr previesť na nesprávne zlomky a potom vynásobiť podľa pravidla násobenia zlomku zlomkom.
Poznámka. Ak je jedným z faktorov celé číslo, násobenie sa môže vykonať na základe distribučného zákona takto:
6. Pojem úroku. Pri riešení úloh a pri vykonávaní rôznych praktických výpočtov používame všetky druhy zlomkov. Treba však mať na pamäti, že mnohé veličiny nepripúšťajú žiadne, ale prirodzené členenia. Môžete si napríklad vziať jednu stotinu (1/100) rubľa, bude to cent, dve stotiny sú 2 kopejky, tri stotiny sú 3 kopejky. Môžete si vziať 1/10 rubľa, bude to "10 kopejok alebo desetník. Môžete si vziať štvrtinu rubľa, t. j. 25 kopejok, pol rubľa, t. j. 50 kopejok (päťdesiat kopejok). Neberte si napríklad 2/7 rubľov, pretože rubeľ nie je rozdelený na sedminy.
Jednotka merania hmotnosti, t.j. kilogram, umožňuje v prvom rade desatinné delenie, napríklad 1/10 kg alebo 100 g. A také zlomky kilogramu ako 1/6, 1/11, 1/ 13 sú zriedkavé.
Vo všeobecnosti sú naše (metrické) miery desatinné a umožňujú desiatkové delenie.
Treba však poznamenať, že je mimoriadne užitočné a vhodné v širokej škále prípadov použiť rovnakú (jednotnú) metódu delenia veličín. Dlhoročné skúsenosti ukázali, že takýmto opodstatneným delením je delenie na „stovky“. Uvažujme o niekoľkých príkladoch týkajúcich sa najrozmanitejších oblastí ľudskej praxe.
1. Cena kníh sa znížila o 12/100 z predchádzajúcej ceny.
Príklad. Predchádzajúca cena knihy je 10 rubľov. Klesla o 1 rubeľ. 20 kop.
2. Sporiteľne vyplácajú v priebehu roka vkladateľom 2/100 sumy, ktorá sa vloží do sporenia.
Príklad. Do pokladne sa vloží 500 rubľov, príjem z tejto sumy za rok je 10 rubľov.
3. Počet absolventov jednej školy bol 5/100 z celkového počtu žiakov.
PRÍKLAD Na škole študovalo len 1200 žiakov, z nich 60 školu ukončilo.
Stotina čísla sa nazýva percento..
Slovo „percento“ je prevzaté z latinčina a jeho koreň "cent" znamená sto. Spolu s predložkou (pro centum) toto slovo znamená „za sto“. Význam tohto výrazu vyplýva zo skutočnosti, že spočiatku v staroveký Rímúroky boli peniaze, ktoré dlžník zaplatil veriteľovi „za každú stovku“. Slovo "cent" je počuť v takých známych slovách: centner (sto kilogramov), centimeter (hovoria centimeter).
Napríklad, namiesto toho, aby sme povedali, že závod vyrobil 1/100 všetkých produktov, ktoré vyrobil za posledný mesiac, povieme toto: závod vyrobil za posledný mesiac jedno percento nepodarkov. Namiesto toho, aby sme povedali: závod vyrobil o 4/100 produktov viac ako bol stanovený plán, povieme: závod prekročil plán o 4 percentá.
Vyššie uvedené príklady môžu byť vyjadrené rôzne:
1. Cena kníh klesla o 12 percent z predchádzajúcej ceny.
2. Záložne vyplácajú vkladateľom 2 percentá ročne zo sumy vloženej do sporenia.
3. Počet absolventov jednej školy bol 5 percent z počtu všetkých žiakov školy.
Na skrátenie písmena je zvykom písať znak % namiesto slova „percento“.
Treba však pamätať na to, že znamienko % sa zvyčajne nezapisuje do výpočtov, môže sa zapísať do výkazu problému a do konečného výsledku. Pri výpočtoch musíte namiesto celého čísla s touto ikonou napísať zlomok s menovateľom 100.
Musíte byť schopní nahradiť celé číslo zadanou ikonou zlomkom s menovateľom 100:
Naopak, musíte si zvyknúť na písanie celého čísla s naznačenou ikonou namiesto zlomku s menovateľom 100:
7. Nájdenie percent daného čísla.
Úloha 1.Škola dostala 200 metrov kubických. m palivového dreva, pričom brezové palivové drevo predstavuje 30 %. Koľko tam bolo brezového dreva?
Význam tohto problému je, že brezové palivové drevo bolo len časťou palivového dreva, ktoré bolo dodané do školy a táto časť je vyjadrená ako zlomok 30/100. Stojíme teda pred úlohou nájsť zlomok čísla. Aby sme to vyriešili, musíme vynásobiť 200 30 / 100 (úlohy na nájdenie zlomku čísla riešime vynásobením čísla zlomkom.).
Takže 30% z 200 sa rovná 60.
Zlomok 30/100, ktorý sa vyskytuje v tomto probléme, môže byť znížený o 10. Toto zníženie by bolo možné vykonať od samého začiatku; riešenie problému by sa nezmenilo.
Úloha 2. V tábore bolo 300 detí rôzneho veku. Detí vo veku 11 rokov bolo 21 %, detí vo veku 12 rokov bolo 61 % a napokon 13-ročných 18 %. Koľko detí každého veku bolo v tábore?
V tomto probléme musíte vykonať tri výpočty, to znamená postupne nájsť počet detí vo veku 11 rokov, potom vo veku 12 rokov a nakoniec vo veku 13 rokov.
Takže tu bude potrebné nájsť zlomok čísla trikrát. Poďme na to:
1) Koľko detí malo 11 rokov?
2) Koľko detí malo 12 rokov?
3) Koľko detí malo 13 rokov?
Po vyriešení úlohy je užitočné doplniť nájdené čísla; ich súčet by mal byť 300:
63 + 183 + 54 = 300
Mali by ste tiež venovať pozornosť skutočnosti, že súčet percent uvedených v podmienke problému je 100:
21% + 61% + 18% = 100%
To naznačuje celkový počet deti, ktoré boli v tábore boli brané ako 100%.
3 a da cha 3. Pracovník dostal 1 200 rubľov mesačne. Z toho 65 % minul na stravu, 6 % na byt a kúrenie, 4 % na plyn, elektrinu a rozhlas, 10 % na kultúrne potreby a 15 % ušetril. Koľko peňazí bolo vynaložených na potreby uvedené v úlohe?
Ak chcete vyriešiť tento problém, musíte 5-krát nájsť zlomok čísla 1 200. Poďme na to.
1) Koľko peňazí sa minie na jedlo? Úloha hovorí, že tento výdavok je 65 % zo všetkých zárobkov, teda 65/100 z čísla 1 200. Urobme výpočet:
2) Koľko peňazí sa zaplatilo za byt s kúrením? Argumentujúc ako predchádzajúci, dospejeme k nasledujúcemu výpočtu:
3) Koľko peňazí ste zaplatili za plyn, elektrinu a rádio?
4) Koľko peňazí sa vynakladá na kultúrne potreby?
5) Koľko peňazí pracovník ušetril?
Pre overenie je užitočné pridať čísla nájdené v týchto 5 otázkach. Suma by mala byť 1 200 rubľov. Všetky zárobky sa berú ako 100 %, čo sa dá ľahko skontrolovať sčítaním percent uvedených vo vyhlásení o probléme.
Vyriešili sme tri problémy. Napriek tomu, že tieto úlohy boli o rôznych veciach (dodávka palivového dreva pre školu, počet detí rôzneho veku, výdavky pracovníka), riešili sa rovnako. Stalo sa tak preto, že vo všetkých úlohách bolo potrebné nájsť niekoľko percent z daných čísel.
§ 90. Delenie zlomkov.
Pri štúdiu rozdelenia zlomkov zvážime nasledujúce otázky:
1. Vydeľte celé číslo celým číslom.
2. Delenie zlomku celým číslom
3. Delenie celého čísla zlomkom.
4. Delenie zlomku zlomkom.
5. Delenie zmiešaných čísel.
6. Nájdenie čísla daného zlomkom.
7. Nájdenie čísla podľa jeho percent.
Zvážme ich postupne.
1. Vydeľte celé číslo celým číslom.
Ako bolo naznačené v časti o celých číslach, delenie je dej spočívajúci v tom, že pri súčine dvoch faktorov (dividenda) a jedného z týchto faktorov (deliteľ) sa nájde ďalší faktor.
Delenie celého čísla celým číslom sme uvažovali v oddelení celých čísel. Stretli sme sa tam s dvomi prípadmi delenia: delenie bez zvyšku, alebo „úplne“ (150: 10 = 15) a delenie so zvyškom (100: 9 = 11 a 1 vo zvyšku). Môžeme teda povedať, že v oblasti celých čísel nie je presné delenie vždy možné, pretože dividenda nie je vždy súčinom deliteľa a celého čísla. Po zavedení násobenia zlomkom môžeme považovať za možný akýkoľvek prípad delenia celých čísel (vylúčené je len delenie nulou).
Napríklad delenie 7 číslom 12 znamená nájdenie čísla, ktorého súčin krát 12 by bol 7. Toto číslo je zlomok 7/12, pretože 7/12 12 = 7. Ďalší príklad: 14: 25 = 14/25, pretože 14/25 25 = 14.
Ak teda chcete deliť celé číslo celým číslom, musíte vytvoriť zlomok, ktorého čitateľ sa rovná dividende a menovateľ je deliteľ.
2. Delenie zlomku celým číslom.
Vydeľte zlomok 6 / 7 3. Podľa vyššie uvedenej definície delenia tu máme súčin (6 / 7) a jeden z faktorov (3); treba nájsť taký druhý faktor, ktorý by vynásobením 3 dal táto práca 6/7. Je zrejmé, že by mal byť trikrát menší ako tento produkt. To znamená, že úlohou, ktorá bola pred nami, bolo znížiť zlomok 6/7 3-krát.
Už vieme, že zlomok možno zmenšiť buď zmenšením jeho čitateľa, alebo zvýšením jeho menovateľa. Preto môžete napísať:
AT tento prípadčitateľ 6 je deliteľný 3, takže čitateľ by sa mal zmenšiť 3-krát.
Zoberme si ďalší príklad: 5 / 8 delené 2. Tu čitateľ 5 nie je deliteľný 2, čo znamená, že menovateľ bude musieť byť vynásobený týmto číslom:
Na základe toho môžeme stanoviť pravidlo: Ak chcete rozdeliť zlomok celým číslom, musíte vydeliť čitateľa zlomku týmto celým číslom(Ak je to možné), ponecháme rovnakého menovateľa, alebo vynásobíme menovateľa zlomku týmto číslom, pričom zostane rovnaký čitateľ.
3. Delenie celého čísla zlomkom.
Nech je potrebné deliť 5 1/2, t.j. nájsť číslo, ktoré po vynásobení 1/2 dostane súčin 5. Toto číslo musí byť samozrejme väčšie ako 5, keďže 1/2 je vlastný zlomok, a pri vynásobení čísla správnym zlomkom musí byť súčin menší ako násobiteľ. Aby to bolo jasnejšie, napíšme naše akcie takto: 5: 1 / 2 = X , takže x 1/2 \u003d 5.
Takéto číslo musíme nájsť X , čo po vynásobení 1/2 by dalo 5. Keďže vynásobiť určité číslo 1/2 znamená nájsť 1/2 tohto čísla, potom teda 1/2 neznámeho čísla X je 5 a celé číslo X dvakrát toľko, t.j. 5 2 \u003d 10.
Takže 5: 1/2 = 5 2 = 10
Skontrolujme to: 
Uvažujme ešte o jednom príklade. Nech je potrebné deliť 6 2/3. Skúsme najprv nájsť požadovaný výsledok pomocou nákresu (obr. 19).
Obr.19
Nakreslite segment AB, ktorý sa rovná 6 z niektorých jednotiek, a rozdeľte každú jednotku na 3 rovnaké časti. V každej jednotke sú tri tretiny (3 / 3) v celom segmente AB 6-krát väčšie, t.j. napríklad 18/3. Spájame pomocou malých zátvoriek 18 získaných segmentov po 2; Bude len 9 segmentov. To znamená, že zlomok 2/3 je obsiahnutý v b jednotkách 9-krát, alebo inými slovami, zlomok 2/3 je 9-krát menší ako 6 celých jednotiek. v dôsledku toho
Ako získať tento výsledok bez výkresu iba pomocou výpočtov? Budeme argumentovať nasledovne: je potrebné deliť 6 2/3, t.j. je potrebné odpovedať na otázku, koľkokrát je 2/3 obsiahnutých v 6. Najprv zistime: koľkokrát je 1/3 obsiahnuté v 6? V celej jednotke - 3 tretiny a v 6 jednotkách - 6 krát viac, t.j. 18 tretín; aby sme našli toto číslo, musíme 6 vynásobiť 3. Preto 1/3 je obsiahnutá v b jednotkách 18-krát a 2/3 je obsiahnutá v b jednotkách nie 18-krát, ale polovične, t.j. 18: 2 = 9 Preto pri delení 6 2/3 sme urobili nasledovné:
Odtiaľ dostaneme pravidlo na delenie celého čísla zlomkom. Ak chcete deliť celé číslo zlomkom, musíte toto celé číslo vynásobiť menovateľom daného zlomku a urobiť z tohto súčinu čitateľa a vydeliť ho čitateľom daného zlomku.
Pravidlo napíšeme pomocou písmen:
Aby bolo toto pravidlo úplne jasné, treba pripomenúť, že zlomok možno považovať za podiel. Preto je užitočné zistené pravidlo porovnať s pravidlom delenia čísla podielom, ktoré bolo uvedené v § 38. Všimnite si, že tam bol získaný rovnaký vzorec.
Pri delení sú možné skratky, napr.
4. Delenie zlomku zlomkom.
Nech je potrebné deliť 3/4 3/8. Čo bude označovať číslo, ktoré sa získa v dôsledku delenia? Odpovie na otázku, koľkokrát je zlomok 3/8 obsiahnutý v zlomku 3/4. Aby sme pochopili túto problematiku, urobme si nákres (obr. 20).
Vezmite segment AB, vezmite ho ako celok, rozdeľte ho na 4 rovnaké časti a označte 3 takéto časti. Segment AC sa bude rovnať 3/4 segmentu AB. Rozdeľme teraz každý zo štyroch počiatočných segmentov na polovicu, potom sa segment AB rozdelí na 8 rovnakých častí a každá takáto časť sa bude rovnať 1/8 segmentu AB. Spojíme 3 takéto segmenty s oblúkmi, potom sa každý zo segmentov AD a DC bude rovnať 3/8 segmentu AB. Na výkrese je znázornené, že segment rovnajúci sa 3/8 je obsiahnutý v segmente rovnajúcemu sa 3/4 presne 2-krát; Takže výsledok delenia možno zapísať takto:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Uvažujme ešte o jednom príklade. Nech je potrebné deliť 15/16 3/32:
Môžeme uvažovať takto: musíme nájsť číslo, ktoré po vynásobení 3/32 dostane súčin rovný 15/16. Zapíšme si výpočty takto:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 neznáme číslo X make up 15/16
1/32 neznáme číslo X je ,
32/32 čísel X makeup .
v dôsledku toho
Ak teda chcete rozdeliť zlomok zlomkom, musíte vynásobiť čitateľa prvého zlomku menovateľom druhého a vynásobiť menovateľa prvého zlomku čitateľom druhého a urobiť z prvého súčinu čitateľa a druhý menovateľ.
Napíšme pravidlo pomocou písmen:
Pri delení sú možné skratky, napr.
5. Delenie zmiešaných čísel.
Pri delení zmiešaných čísel ich treba najskôr previesť na nesprávne zlomky, potom rozdeľte výsledné zlomky podľa pravidiel delenia zlomkové čísla. Zvážte príklad:
Previesť zmiešané čísla na nesprávne zlomky:
Teraz sa rozdeľme:
Ak teda chcete rozdeliť zmiešané čísla, musíte ich previesť na nesprávne zlomky a potom rozdeliť podľa pravidla na delenie zlomkov.
6. Nájdenie čísla daného zlomkom.
Medzi rôzne úlohy na zlomkoch, niekedy sú také, v ktorých je daná hodnota nejakého zlomku neznámeho čísla a je potrebné toto číslo nájsť. Tento typ problému bude inverzný k problému nájdenia zlomku daného čísla; tam bolo dané číslo a bolo potrebné nájsť nejaký zlomok tohto čísla, tu je daný zlomok čísla a je potrebné nájsť toto číslo samo. Táto myšlienka bude ešte jasnejšia, ak sa obrátime na riešenie tohto typu problému.
Úloha 1. V prvý deň sklenári zasklili 50 okien, čo je 1/3 všetkých okien postaveného domu. Koľko okien je v tomto dome?
Riešenie. Problém hovorí, že 50 zasklených okien tvorí 1/3 všetkých okien domu, čiže celkovo je okien 3x viac, t.j.
Dom mal 150 okien.
Úloha 2. Predajňa predala 1500 kg múky, čo sú 3/8 z celkových zásob múky v predajni. Aká bola počiatočná dodávka múky v obchode?
Riešenie. Zo stavu problému je vidieť, že predaných 1500 kg múky tvorí 3/8 celkových zásob; to znamená, že 1/8 tejto zásoby bude 3-krát menej, t.j. na jej výpočet je potrebné znížiť 1500 3-krát:
1 500: 3 = 500 (to je 1/8 zásob).
Je zrejmé, že celá zásoba bude 8-krát väčšia. v dôsledku toho
500 8 \u003d 4 000 (kg).
Počiatočná zásoba múky v obchode bola 4000 kg.
Z uvažovania o tomto probléme možno odvodiť nasledujúce pravidlo.
Ak chcete nájsť číslo zadanou hodnotou jeho zlomku, stačí túto hodnotu vydeliť čitateľom zlomku a výsledok vynásobiť menovateľom zlomku.
Vyriešili sme dva problémy s nájdením čísla daného zlomkom. Takéto problémy, ako je obzvlášť dobre vidieť z posledného, sa riešia dvoma akciami: delením (keď sa nájde jedna časť) a násobením (keď sa nájde celé číslo).
Avšak potom, čo sme študovali delenie zlomkov, vyššie uvedené problémy môžu byť vyriešené v jednej akcii, a to: delenie zlomkom.
Napríklad posledná úloha môže byť vyriešená jednou akciou takto:
V budúcnosti vyriešime problém nájsť číslo jeho zlomkom v jednej akcii - delení.
7. Nájdenie čísla podľa jeho percent.
V týchto úlohách budete musieť nájsť číslo a poznať niekoľko percent tohto čísla.
Úloha 1. Začiatkom tohto roka som dostal od sporiteľne 60 rubľov. príjem zo sumy, ktorú som pred rokom vložil do sporenia. Koľko peňazí som vložil do sporiteľne? (Pokladne dávajú vkladateľom 2 % z príjmu ročne.)
Zmysel problému je v tom, že určitú sumu peňazí som vložil do sporiteľne a ležal tam rok. Po roku som od nej dostal 60 rubľov. príjem, čo sú 2/100 z peňazí, ktoré som vložil. Koľko peňazí som vložil?
Preto, keď poznáme časť týchto peňazí, vyjadrenú dvoma spôsobmi (v rubľoch a zlomkoch), musíme nájsť celú, zatiaľ neznámu sumu. Toto je bežný problém nájsť číslo vzhľadom na jeho zlomok. Nasledujúce úlohy sa riešia delením:
Do sporiteľne sa teda vložilo 3 000 rubľov.
Úloha 2. Za dva týždne rybári splnili mesačný plán na 64 %, keď pripravili 512 ton rýb. Aký mali plán?
Zo stavu problému je známe, že rybári dokončili časť plánu. Táto časť sa rovná 512 tonám, čo je 64 % plánu. Koľko ton rýb treba podľa plánu vyloviť, nevieme. Riešenie problému bude spočívať v nájdení tohto čísla.
Takéto úlohy sa riešia rozdelením:
Takže podľa plánu musíte pripraviť 800 ton rýb.
Úloha 3. Vlak išiel z Rigy do Moskvy. Keď prešiel 276. kilometer, jeden z cestujúcich sa spýtal okoloidúceho sprievodcu, koľko cesty už prešli. Na to sprievodca odpovedal: „Už sme prešli 30 % celej cesty. Aká je vzdialenosť z Rigy do Moskvy?
Zo stavu problému je vidieť, že 30% cesty z Rigy do Moskvy je 276 km. Musíme nájsť celú vzdialenosť medzi týmito mestami, t. j. pre túto časť nájsť celok:
§ 91. Vzájomné čísla. Nahradenie delenia násobením.
Vezmite zlomok 2/3 a preusporiadajte čitateľa na miesto menovateľa, dostaneme 3/2. Dostali sme zlomok, recipročný tento.
Aby ste dostali zlomok prevrátený k danému, musíte na miesto menovateľa umiestniť jeho čitateľa a na miesto čitateľa menovateľa. Týmto spôsobom môžeme získať zlomok, ktorý je prevrátený k ľubovoľnému zlomku. Napríklad:
3/4, spätný chod 4/3; 5/6, spätný chod 6/5
Dva zlomky, ktoré majú vlastnosť, že čitateľ prvého je menovateľom druhého a menovateľ prvého je čitateľom druhého, sa nazývajú vzájomne inverzné.
Teraz sa zamyslime nad tým, aký zlomok bude prevrátená 1/2. Je zrejmé, že to bude 2 / 1, alebo len 2. Ak hľadáme prevrátenú hodnotu, máme celé číslo. A tento prípad nie je izolovaný; naopak, pre všetky zlomky s čitateľom 1 (jedna) budú prevrátené celé čísla, napríklad:
1/3, prevrátená 3; 1/5, obrátene 5
Keďže pri hľadaní reciprokáli sme sa stretli aj s celými číslami, v budúcnosti nebudeme hovoriť o recipročných, ale o recipročných.
Poďme zistiť, ako napísať prevrátenú hodnotu celého čísla. V prípade zlomkov je to vyriešené jednoducho: namiesto čitateľa musíte umiestniť menovateľa. Rovnakým spôsobom môžete získať prevrátenú hodnotu celého čísla, pretože každé celé číslo môže mať menovateľa 1. Takže prevrátená hodnota 7 bude 1 / 7, pretože 7 \u003d 7 / 1; pre číslo 10 je to naopak 1/10, pretože 10 = 10/1
Túto myšlienku možno vyjadriť aj inak: prevrátenú hodnotu daného čísla získame vydelením jednotky daným číslom. Toto tvrdenie platí nielen pre celé čísla, ale aj pre zlomky. Skutočne, ak chcete napísať číslo, ktoré je prevrátené k zlomku 5 / 9, potom môžeme vziať 1 a vydeliť ho 5 / 9, t.j.
Teraz poukážeme na jeden nehnuteľnosť vzájomne recipročné čísla, ktoré sa nám budú hodiť: súčin vzájomne recipročných čísel sa rovná jednej. Naozaj:
Pomocou tejto vlastnosti môžeme nájsť recipročné hodnoty nasledujúcim spôsobom. Nájdime prevrátenú hodnotu 8.
Označme to písmenom X , potom 8 X = 1, teda X = 1/8. Nájdime iné číslo, prevrátené číslo 7/12, označme ho písmenom X , potom 7/12 X = 1, teda X = 1:7 / 12 alebo X = 12 / 7 .
Zaviedli sme tu pojem reciproké čísla, aby sme mierne doplnili informácie o delení zlomkov.
Keď vydelíme číslo 6 3/5, urobíme nasledovné:
Venujte zvláštnu pozornosť výrazu a porovnajte ho s daným: .
Ak vezmeme výraz oddelene, bez spojenia s predchádzajúcim, potom nie je možné vyriešiť otázku, odkiaľ pochádza: z delenia 6 3/5 alebo z vynásobenia 6 5/3. V oboch prípadoch je výsledok rovnaký. Takže môžeme povedať že delenie jedného čísla druhým možno nahradiť vynásobením dividendy prevrátenou hodnotou deliteľa.
Príklady, ktoré uvádzame nižšie, plne potvrdzujú tento záver.
Čitateľ a to, čím sa delí, je menovateľ.
Ak chcete napísať zlomok, najprv napíšte jeho čitateľa, potom pod toto číslo nakreslite vodorovnú čiaru a pod čiaru napíšte menovateľa. Vodorovná čiara oddeľujúca čitateľa a menovateľa sa nazýva zlomková čiara. Niekedy sa zobrazuje ako šikmé „/“ alebo „∕“. V tomto prípade sa čitateľ píše naľavo od riadku a menovateľ napravo. Takže napríklad zlomok „dve tretiny“ sa zapíše ako 2/3. Kvôli prehľadnosti sa čitateľ zvyčajne píše v hornej časti riadku a menovateľ v dolnej časti, teda namiesto 2/3, nájdete: ⅔.
Ak chcete vypočítať súčin zlomkov, najprv vynásobte čitateľa jednej zlomky do iného čitateľa. Výsledok zapíšte do čitateľa nového zlomky. Potom vynásobte aj menovateľov. Zadajte konečnú hodnotu v novom zlomky. Napríklad 1/3? 1/5 = 1/15 (1 x 1 = 1; 3 x 5 = 15).
Ak chcete rozdeliť jeden zlomok druhým, najprv vynásobte čitateľa prvého zlomku menovateľom druhého. Urobte to isté s druhým zlomkom (deliteľom). Alebo pred vykonaním všetkých krokov najprv „otočte“ deliteľa, ak je to pre vás pohodlnejšie: menovateľ by mal byť namiesto čitateľa. Potom vynásobte menovateľa dividendy novým menovateľom deliteľa a vynásobte čitateľov. Napríklad 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).
Zdroje:
- Základné úlohy pre zlomky
Zlomkové čísla vám umožňujú vyjadriť presnú hodnotu množstva rôznymi spôsobmi. So zlomkami môžete vykonávať rovnaké matematické operácie ako s celými číslami: odčítanie, sčítanie, násobenie a delenie. Aby ste sa naučili, ako sa rozhodnúť zlomky, je potrebné pamätať na niektoré ich vlastnosti. Závisia od typu zlomky, prítomnosť celočíselnej časti, spoločného menovateľa. Niektoré aritmetické operácie po vykonaní vyžadujú zníženie zlomkovej časti výsledku.
Budete potrebovať
- - kalkulačka
Inštrukcia
Pozrite sa pozorne na čísla. Ak sú medzi zlomkami desatinné miesta a nepravidelnosti, niekedy je vhodnejšie najprv vykonať akcie s desatinnými miestami a potom ich previesť do nesprávneho tvaru. Môžete preložiť zlomky v tejto forme na začiatku napíšte hodnotu za desatinnou čiarkou v čitateli a vložte 10 do menovateľa. Ak je to potrebné, zlomok znížte vydelením čísel nad a pod jedným deliteľom. Zlomky, v ktorých vyniká celá časť, vedú k nesprávnemu tvaru vynásobením menovateľom a pridaním čitateľa k výsledku. Táto hodnota sa stane novým čitateľom zlomky. Vytiahnuť celú časť z pôvodne nesprávneho zlomky, vydeľte čitateľa menovateľom. Napíšte celý výsledok z zlomky. A zvyšok delenia sa stáva novým čitateľom, menovateľom zlomky pričom sa nezmení. Pre zlomky s celočíselnou časťou je možné vykonávať akcie samostatne, najprv pre celé číslo a potom pre zlomkové časti. Napríklad je možné vypočítať súčet 1 2/3 a 2 ¾:
- Prevod zlomkov do nesprávneho tvaru:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Súčet oddelených celých a zlomkových častí pojmov:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Prepíšte ich cez oddeľovač ":" a pokračujte v obvyklom delení.
Ak chcete získať konečný výsledok, znížte výsledný zlomok vydelením čitateľa a menovateľa jedným celým číslom, v tomto prípade najväčším. V tomto prípade musia byť nad a pod čiarou celé čísla.
Poznámka
Nerobte aritmetiku so zlomkami, ktoré majú rôznych menovateľov. Vyberte číslo také, že keď sa ním vynásobí čitateľ a menovateľ každého zlomku, v dôsledku toho sa menovatelia oboch zlomkov rovnajú.
Pri písaní zlomkových čísel sa dividenda píše nad čiarou. Toto množstvo sa označuje ako čitateľ zlomku. Pod čiarou sa píše deliteľ alebo menovateľ zlomku. Napríklad jeden a pol kilogramu ryže vo forme zlomku bude napísané takto: 1 ½ kg ryže. Ak je menovateľ zlomku 10, zlomok sa nazýva desatinné. V tomto prípade sa čitateľ (dividenda) píše napravo od celej časti oddelenej čiarkou: 1,5 kg ryže. Pre pohodlie výpočtov môže byť takýto zlomok vždy napísaný v nesprávnom tvare: 1 2/10 kg zemiakov. Pre zjednodušenie môžete znížiť hodnoty čitateľa a menovateľa tak, že ich vydelíte jedným celým číslom. V tomto príklade je možné delenie číslom 2. Výsledkom je 1 1/5 kg zemiakov. Uistite sa, že čísla, s ktorými budete robiť aritmetiku, sú v rovnakom tvare.
