KINETIKA BIOLOGICKÝCH PROCESOV

Ako možno opísať dynamiku biologických systémov? V každom okamihu má biologický systém súbor určitých charakteristík. Napríklad pri pozorovaní populácie druhu môžete zaznamenať jeho veľkosť, oblasť, ktorú územie zaberá, množstvo dostupného jedla, teplotu životné prostredie atď. Únik chemická reakcia možno charakterizovať koncentráciami zúčastnených látok, tlakom, teplotou a úrovňou kyslosti média. Súbor hodnôt všetkých charakteristík, ktoré si výskumník zvolil na opis systému, je stav systému v každom okamihu. Pri vytváraní modelu sa premenné a parametre vyberajú v zadanej množine. Premenné sú tie veličiny, ktorých zmeny primárne zaujímajú výskumníka, parametre sú podmienky „vonkajšieho prostredia“. Práve pre vybrané premenné sa zostavujú rovnice, ktoré odrážajú vzorce zmien v systéme v čase. Napríklad pri vytváraní modelu pre rast kultúry mikroorganizmov sa jeho počet zvyčajne chová ako premenná a rýchlosť reprodukcie ako parameter. Je možné, že teplota, pri ktorej dochádza k rastu, sa ukáže ako významná, potom je tento ukazovateľ zahrnutý aj v modeli ako parameter. A ak je napríklad úroveň prevzdušnenia vždy dostatočná a nemá žiadny vplyv na rastové procesy, tak sa do modelu vôbec nezapočítava. Spravidla zostávajú parametre počas experimentu nezmenené, je však potrebné poznamenať, že to nie je vždy prípad.

Dynamiku biologického systému (teda zmenu jeho stavu v čase) je možné opísať pomocou diskrétnych aj spojitých modelov. Diskrétne modely predpokladajú, že čas je diskrétne množstvo. To zodpovedá zaznamenávaniu hodnôt premenných v určitých pevných intervaloch (napríklad raz za hodinu alebo raz za rok). V spojitých modeloch je biologická premenná spojitá funkcia času, označovaná napr. X(t).

Často veľký význam mať počiatočné podmienky modely - stav skúmanej charakteristiky v počiatočnom časovom okamihu, t.j. pri t = 0.

Pri štúdiu kontinuálnej zmeny nejakej charakteristiky X(t) môžeme poznať informácie o rýchlosti jeho zmeny. Tieto informácie možno vo všeobecnosti zapísať ako diferenciálnu rovnicu:

Takýto formálny zápis znamená, že rýchlosť zmeny niektorej skúmanej charakteristiky je funkciou času a veľkosti tejto charakteristiky.

Ak pravá strana diferenciálnej rovnice tvaru výslovne nezávisí od času, t.j. fér:

potom sa táto rovnica nazýva autonómny(systém opísaný takouto rovnicou sa nazýva autonómny). Stav autonómnych systémov v každom časovom okamihu charakterizuje jedna jediná hodnota – hodnota premennej X práve teraz t.

Položme si otázku: dajme diferenciálnu rovnicu X(t), je možné nájsť všetky funkcie X(t) vyhovuje tejto rovnici? Alebo: ak je známa počiatočná hodnota určitej premennej (napríklad počiatočná veľkosť populácie, koncentrácia látky, elektrická vodivosť média atď.) a existuje informácia o charaktere zmeny v je možné predpovedať, aká bude jej hodnota vo všetkých nasledujúcich bodoch v čase? Odpoveď na položenú otázku je nasledovná: ak sú dané počiatočné podmienky pre rovnicu a sú splnené podmienky Cauchyho vety (funkcia daná v určitej oblasti a jej parciálna derivácia sú v tejto oblasti spojité), potom je jedinečné riešenie rovnice, ktoré spĺňa dané počiatočné podmienky. (Pripomeňme, že každá spojitá funkcia, ktorá spĺňa diferenciálnu rovnicu, sa nazýva riešením tejto rovnice.) To znamená, že môžeme jednoznačne predpovedať správanie biologického systému, ak sú známe charakteristiky jeho počiatočného stavu a modelová rovnica spĺňa podmienky Cauchyho veta.

Stacionárny stav. Udržateľnosť

Budeme uvažovať o autonómnej diferenciálnej rovnici

V stacionárnom stave sa hodnoty premenných v systéme s časom nemenia, to znamená, že rýchlosť zmeny hodnôt premenných je 0: . Ak sa ľavá strana rovnice (1.2) rovná nule, potom sa rovná aj pravá strana: . Korene tejto algebraickej rovnice sú stacionárne stavy diferenciálnu rovnicu (1.2).

Príklad 1.1: Nájdite stacionárne stavy rovnice.

Riešenie: Presuňme výraz, ktorý neobsahuje deriváciu, na pravú stranu rovnosti: . Podľa definície v stacionárnom stave platí nasledujúca rovnosť: . Rovnosť teda musí platiť . Riešime rovnicu:

,

Takže rovnica má 3 stacionárne stavy: , .

Biologické systémy neustále podliehajú rôznym vonkajším vplyvom a početným výkyvom. Zároveň majú (biologické systémy) homeostázu, t.j. odolný. V matematickom jazyku to znamená, že premenné sa s malými odchýlkami vracajú do svojich stacionárnych hodnôt. Odrazí sa toto správanie biologického systému v jeho matematickom modeli? Sú stacionárne stavy modelu stabilné?

Ustálený stav je udržateľný, ak pre dostatočne malú odchýlku od rovnovážnej polohy sústava nikdy nepôjde ďaleko od singulárneho bodu. Stabilný stav zodpovedá stabilnému režimu prevádzky systému.

Rovnovážny stav rovnice je Ljapunov stabilný, ak pre kohokoľvek možno vždy nájsť taký, že ak, potom pre všetkých.

Existuje analytická metóda na štúdium stability ustálený stav- Ljapunovova metóda. Aby sme to podložili, pripomíname Taylorov vzorec.

Voľne povedané, Taylorov vzorec ukazuje správanie funkcie v blízkosti určitého bodu. Nech funkcia má derivácie v bode všetkých rádov až po n- vrátane. Potom Taylorov vzorec platí pre:

Vynechaním zvyšného člena, ktorý predstavuje nekonečne malé číslo vyššieho rádu ako , dostaneme približný Taylorov vzorec:

Pravá strana približného vzorca je tzv Taylorov polynóm funkcie, označuje sa ako .

Príklad 1.2: Rozšírte funkciu v Taylorovom rade v okolí bodu až do 4. rádu.

Riešenie: Taylorov rad do 4. rádu píšeme vo všeobecnom tvare:

Poďme nájsť deriváty danú funkciu v bode:

,

Nahraďte získané hodnoty do pôvodného vzorca:

Analytická metóda na štúdium stability stacionárneho stavu ( Ljapunovova metóda) je nasledujúci. Dovoliť je stacionárny stav rovnice . Nastavme malú odchýlku premennej X z jeho stacionárnej hodnoty: , kde . Nahraďte výraz za bod X do pôvodnej rovnice: . Ľavá strana rovnice bude mať tvar: , keďže v stacionárnom stave je rýchlosť zmeny hodnoty premennej rovná nule: . Rozšírime pravú stranu do Taylorovho radu v blízkosti stacionárneho stavu, berúc do úvahy, že ponecháme iba lineárny člen na pravej strane rovnice:

Mám linearizovaná rovnica alebo prvá aproximačná rovnica. Existuje určitá hodnota konštantný, označme to a: . Všeobecné riešenie linearizovanej rovnice má tvar: . Tento výraz popisuje zákon, podľa ktorého sa nami udaná odchýlka od stacionárneho stavu bude v čase meniť. Odchýlka bude časom klesať, t.j. at , ak je exponent v exponente záporný, t.j. . Podľa definície bude ustálený stav udržateľný. Ak , tak s pribúdajúcim časom bude odchýlka len narastať, je to stacionárny stav nestabilná. V prípade, keď rovnica prvej aproximácie nemôže dať odpoveď na otázku stability stacionárneho stavu. V expanzii Taylorovho radu je potrebné uvažovať o členoch vyššieho rádu.

Okrem analytickej metódy štúdia stability stacionárneho stavu existuje aj grafická metóda.

Príklad 1.3. Nechajte . Nájdite stacionárne stavy rovnice a určte ich typ stability pomocou grafu funkcie .

Riešenie: Poďme nájsť špeciálne body:

,

,

Zostavíme graf funkcie (obr. 1.1).

Ryža. 1.1. Funkčný graf (príklad 1.3).

Z grafu určme, či je každý z nájdených stacionárnych stavov stabilný. Nastavme malú odchýlku reprezentatívneho bodu od singulárneho bodu doľava: . V bode so súradnicou má funkcia kladnú hodnotu: alebo . Posledná nerovnosť znamená, že v priebehu času by sa súradnica mala zvýšiť, to znamená, že reprezentatívny bod by sa mal vrátiť do bodu . Teraz nastavme malú odchýlku reprezentatívneho bodu od singulárneho bodu doprava: . V tejto oblasti si funkcia zachováva kladnú hodnotu, preto časom aj súradnicu X sa tiež zvyšuje, to znamená, že reprezentatívny bod sa bude vzďaľovať od bodu. Malá odchýlka teda vyvedie systém zo stacionárneho stavu, preto je singulárny bod podľa definície nestabilný. Podobná úvaha vedie k tomu, že každá odchýlka od singulárneho bodu časom klesá, stacionárny stav je stabilný. Odchýlenie reprezentujúceho bodu v akomkoľvek smere od stacionárneho stavu vedie k jeho odstráneniu z bodu , ide o nestabilný stacionárny stav.

Riešenie lineárnej sústavy diferenciálne rovnice

Vráťme sa k štúdiu sústav rovníc, najprv lineárnych. Vo všeobecnosti môže byť systém lineárnych diferenciálnych rovníc reprezentovaný ako:

Analýza sústavy rovníc začína hľadaním stacionárnych stavov. Pre systémy tvaru (1.3) je singulárny bod jedinečný, jeho súradnice sú (0,0). Výnimkou je degenerovaný prípad, keď rovnice môžu byť reprezentované ako:

(1.3*)

V tomto prípade sú všetky dvojice vyhovujúce vzťahu stacionárnymi bodmi systému (1,3*). Najmä bod (0,0) je tiež stacionárny pre systém (1,3*). Na fázovej rovine máme v tomto prípade priamku s koeficientom sklonu prechádzajúcu počiatkom, ktorej každý bod je singulárnym bodom systému (1,3 *) (pozri tabuľku 1.1, bod 6).

Hlavnou otázkou, ktorú by mal zodpovedať výsledok štúdia sústavy rovníc, je, či je stacionárny stav sústavy stabilný a aký charakter má toto riešenie (monotónne alebo nemonotónne).

Spoločné rozhodnutie sústava dvoch lineárnych rovníc má tvar:

charakteristické čísla možno vyjadriť pomocou koeficientov lineárnych rovníc takto:

Charakteristické čísla môžu byť 1) reálne rôznych znamienok, 2) reálne toho istého znamenia, 3) komplexne konjugované a tiež v degenerovaných prípadoch 4) čisto imaginárne, 5) skutočné zhodné, 6) skutočné, z ktorých jedno (resp. obaja) nula. Tieto prípady určujú typ správania riešenia sústavy obyčajných diferenciálnych rovníc. Zodpovedajúce fázové portréty sú uvedené v tabuľke 1.1.

Tabuľka 1.1. Typy stacionárnych stavov sústavy dvoch lineárnych diferenciálnych rovníc a zodpovedajúcich fázových portrétov. Šípky ukazujú smer pohybu reprezentatívneho bodu

Konštrukcia fázových a kinetických portrétov sústavy dvoch lineárnych diferenciálnych rovníc

fázová rovina nazývaná rovina so súradnicovými osami, na ktorých sú vynesené hodnoty premenných X a r, každý bod roviny zodpovedá určitému stavu systému. Súbor bodov na fázovej rovine, ktorých poloha zodpovedá stavom systému v procese zmeny premenných v čase, podľa daných rovníc skúmaného systému, sa nazýva fázová trajektória. Sada fázových trajektórií pre rôzne počiatočné hodnoty premenných poskytuje portrét systému. Budovanie fázový portrét umožňuje vyvodiť závery o charaktere zmien premenných X a r bez znalosti analytických riešení pôvodnej sústavy rovníc.

Zvážte systém lineárnych diferenciálnych rovníc:

Konštrukcia fázového portrétu začína konštrukciou hlavné izokliny(izoklinála je čiara, v ktorej sklon fázovej krivky (trajektórie), určený rovnicou, zostáva konštantný). Pre systém dvoch lineárnych diferenciálnych rovníc sú to vždy priamky prechádzajúce počiatkom. Rovnica izokliny horizontálnych dotyčníc: . Rovnica izokliny vertikálnych dotyčníc: . Pre ďalšiu konštrukciu fázového portrétu je užitočné zostrojiť izoklinu dotyčníc prechádzajúcich pod uhlom . Na nájdenie zodpovedajúcej izoklinovej rovnice je potrebné rovnicu vyriešiť . Môžete tiež nájsť izokliny dotyčníc iných uhlov pomocou približných hodnôt dotyčníc uhlov. Pri konštrukcii fázového portrétu môže pomôcť aj odpoveď na otázku, pod akým uhlom by mali fázové trajektórie pretínať súradnicové osi. K tomu v izoklinovej rovnici dosadíme zodpovedajúce rovnosti (na určenie uhla priesečníka s osou OY) a (na určenie uhla priesečníka s osou OX).

Príklad 1.4. Určte typ singulárneho bodu sústavy lineárnych rovníc:

Zostrojte fázový a kinetický portrét systému.

Riešenie: Súradnice singulárneho bodu sú (0,0). Koeficienty lineárnych rovníc sú: , , , . Definujme typ stacionárneho stavu (pozri časť o charakteristických číslach):

Charakteristické korene sú teda imaginárne: preto singulárny bod uvažovaného lineárneho systému má stredový typ (obr. 1.2a).

Rovnica izokliny horizontálnych dotyčníc: , Rovnica izokliny vertikálnych dotyčníc: . V uhle 45° trajektórie systému pretínajú priamku .

Po zostrojení fázového portrétu je potrebné určiť smer pohybu po nájdených trajektóriách. Dá sa to urobiť nasledujúcim spôsobom. Vezmite ľubovoľný bod na ľubovoľnej trajektórii. Napríklad na izokline horizontálnych dotyčníc (1,1). Dosadíme súradnice tohto bodu do sústavy rovníc. Získame výrazy pre rýchlosti zmeny premenných X,r v tomto bode:

Získané hodnoty ukazujú, že rýchlosť zmeny premennej X- negatívny, to znamená, že jeho hodnota by mala klesať a premenná r nemení. Prijatý smer označíme šípkou. V uvažovanom príklade teda pohyb pozdĺž fázových trajektórií smeruje proti smeru hodinových ručičiek. Nahradením súradníc rôznych bodov do systému môžete získať „mapu“ smerov rýchlostí, tzv. vektorové pole.

Obr. 1.2. Fázový (a) a kinetický (b) portrét systému, príklad 1.4

Všimnite si, že na izokline horizontálnych dotyčníc premenná r dosiahne svoju maximálnu alebo minimálnu hodnotu na danej dráhe. Naopak, na izokline vertikálnych dotyčníc premenná X.

Vytvoriť kinetický portrét systému znamená vykresliť závislosť hodnôt premenných X,r z času. Fázový portrét možno použiť na zostavenie kinetického a naopak. Jedna fázová trajektória zodpovedá jednému páru kinetických kriviek. Vyberme si ľubovoľný bod na fázovom portréte na ľubovoľnej fázovej trajektórii. Toto je východiskový bod zodpovedajúci času. V závislosti od smeru pohybu v posudzovanom systéme sú hodnoty premenných X,r buď znížiť alebo zvýšiť. Nech sú súradnice začiatočného bodu (1,1). Podľa zostrojeného fázového portrétu, počnúc od tohto bodu, sa musíme posunúť proti smeru hodinových ručičiek, súradnice X a r kým budú klesať. Postupom času súradnice X prechádza cez 0, hodnotu r pričom zostáva pozitívny. Ďalšie súradnice X a r naďalej klesať, súradnica r prechádza cez 0 (hodnota X kým je negatívny). Hodnota X dosiahne svoju minimálnu hodnotu na izokline vertikálnych dotyčníc, potom sa začne zvyšovať. Hodnota r dosiahne svoju minimálnu hodnotu na izokline horizontálnych dotyčníc (hodnota X v tomto čase je záporná). Ďalej a hodnota X a hodnotu r zvýšenie, návrat k počiatočným hodnotám (obr. 1.2b).

Skúmanie stability stacionárnych stavov nelineárnych systémov druhého rádu

Nech je biologický systém opísaný systémom dvoch autonómnych diferenciálnych rovníc druhého rádu všeobecný pohľad:

Stacionárne hodnoty systémových premenných sa určujú z algebraických rovníc:

V susedstve každého stacionárneho stavu možno uvažovať prvý aproximačný systém(linearizovaný systém), ktorého štúdium môže umožniť odpovedať na otázku stability singulárneho bodu a charakteru fázových trajektórií v jeho malom okolí.

vonku

Máme , , singulárny bod je hrubý. Charakteristické korene systému prvej aproximácie sa rovnajú , sú skutočné aj záporné, preto v blízkosti nulového singulárneho bodu bude správanie fázových trajektórií systému zodpovedať typu stabilného uzla.

Úvod

Keďže koncept nelineárneho dynamického systému je dostatočne bohatý na to, aby pokryl extrémne široký rozsah procesov, v ktorých budúce správanie systému určuje minulosť, metódy analýzy vyvinuté v tejto oblasti sú užitočné v obrovskom množstve kontextov.

Nelineárna dynamika vstupuje do literatúry minimálne tromi spôsobmi. Po prvé, existujú prípady, keď sa experimentálne údaje o časových zmenách jednej alebo viacerých veličín zhromažďujú a analyzujú pomocou techník založených na nelineárnej dynamickej teórii s minimálnymi predpokladmi o základných rovniciach, ktoré riadia proces, ktorý produkuje údaje. To znamená, že ide o prípad, v ktorom sa snažíme nájsť korelácie v údajoch, ktoré môžu viesť k vývoju matematického modelu, namiesto toho, aby sme najprv model hádali a potom ho porovnávali s údajmi.

Po druhé, existujú prípady, kedy je možné použiť nelineárnu dynamickú teóriu na vyjadrenie, že by mal vykazovať nejaký zjednodušený model dôležité vlastnosti tohto systému, z čoho vyplýva, že popisujúci model je možné zostaviť a študovať v širokom rozsahu parametrov. To často vedie k modelom, ktoré sa pri rôznych parametroch správajú kvalitatívne odlišne a demonštrujú, že jedna oblasť vykazuje správanie, ktoré je veľmi podobné správaniu pozorovanému v reálnom systéme. V mnohých prípadoch je správanie modelu dosť citlivé na zmeny parametrov, takže ak je možné parametre modelu merať v reálnom systéme, model pri týchto hodnotách vykazuje realistické správanie a človek si môže byť istý, že model zachytáva základné vlastnosti systému.

Po tretie, existujú prípady, keď sú modelové rovnice zostavené na základe podrobné popisy známa fyzika. Numerické experimenty potom môžu poskytnúť informácie o premenných, ktoré nie sú dostupné pre fyzikálne experimenty.

Na základe druhej cesty je táto práca rozšírením mojej predchádzajúcej práce „Nelineárny dynamický model vzájomne závislých odvetví“, ako aj ďalšej práce (Dmitriev, 2015)

Všetky potrebné definície a ďalšie teoretické informácie potrebné v práci sa podľa potreby objavia v prvej kapitole. Uvedú sa tu dve definície, ktoré sú potrebné na odhalenie samotnej výskumnej témy.

Najprv definujme dynamiku systému. Podľa jednej definície je systémová dynamika prístupom simulačného modelovania, ktorý prostredníctvom svojich metód a nástrojov pomáha hodnotiť štruktúru komplexné systémy a ich dynamika (Shterman). Je potrebné dodať, že systémová dynamika je tiež modelovacia technika, ktorá sa používa na opätovné vytvorenie správnych (z hľadiska presnosti) počítačových modelov pre komplexné systémy pre ich budúce použitie s cieľom vytvoriť efektívnejšiu spoločnosť / organizáciu, ako aj zlepšiť metódy interakciu s týmto systémom. Potreba systémovej dynamiky vyvstáva predovšetkým pri konfrontácii s dlhodobými strategickými modelmi, pričom treba poznamenať, že je skôr abstraktná.

Keď už hovoríme o nelineárnej diferenciálnej dynamike, budeme uvažovať o nelineárnom systéme, čo je podľa definície systém, v ktorom zmena výsledku nie je úmerná zmene vstupných parametrov a v ktorom funkcia opisuje závislosť zmeny v čase a polohy bodu v priestore (Boeing, 2016).

Na základe vyššie uvedených definícií je zrejmé, že táto práca bude uvažovať o rôznych nelineárnych diferenciálnych systémoch, ktoré popisujú interakciu spoločností, ako aj o simulačných modeloch vybudovaných na ich základe. Na základe toho sa určí účel práce.

Účelom tejto práce je teda vykonať kvalitatívnu analýzu dynamických systémov, ktoré popisujú interakciu podnikov v prvej aproximácii a na základe nich zostaviť simulačný model.

Na dosiahnutie tohto cieľa boli určené nasledujúce úlohy:

Určenie stability systému.

Konštrukcia fázových portrétov.

Hľadanie integrálnych trajektórií systémov.

Konštrukcia simulačných modelov.

Každej z týchto úloh bude venovaná jedna z častí každej z kapitol práce.

Konštrukcia základných matematických štruktúr, ktoré efektívne modelujú dynamiku v rôznych fyzikálnych systémoch a procesoch, na základe praxe naznačuje, že zodpovedajúci matematický model do určitej miery odráža blízkosť k skúmanému originálu, keď jeho vlastnosti možno odvodiť z vlastností a štruktúry typu pohybu, ktorý tvorí dynamiku systému. Ekonomická veda je dodnes v štádiu svojho rozvoja, v ktorom sa v nej efektívne využívajú najmä nové, v mnohých prípadoch neštandardné metódy a metódy fyzikálneho a matematického modelovania. ekonomické procesy. Tu nasleduje záver o potrebe vytvárať, študovať a zostavovať modely, ktoré dokážu nejakým spôsobom opísať ekonomickú situáciu.

Pokiaľ ide o dôvod výberu skôr kvalitatívnej než kvantitatívnej analýzy, stojí za zmienku, že v prevažnej väčšine prípadov sa výsledky a závery kvalitatívnej analýzy dynamických systémov ukážu ako významnejšie ako výsledky ich kvantitatívnej analýzy. V takejto situácii je vhodné poukázať na vyjadrenia V.P. Milovanov, v ktorom uvádza, že tradične veria, že výsledky očakávané pri aplikácii matematických metód na analýzu reálnych objektov by sa mali zredukovať na numerický výsledok. V tomto zmysle majú kvalitatívne metódy trochu inú úlohu. Zameriava sa na dosiahnutie výsledku, ktorý popisuje kvalitu systému, na hľadanie charakteristických znakov všetkých javov ako celku, na prognózovanie. Samozrejme, je dôležité pochopiť, ako sa zmení dopyt, keď sa zmenia ceny určitého druhu tovaru, ale nezabudnite, že je oveľa dôležitejšie pochopiť, či za takýchto podmienok bude nedostatok alebo prebytok tohto tovaru (Dmitriev , 2016).

Predmetom tejto štúdie je nelineárna diferenciálna a systémová dynamika.

V tomto prípade je predmetom skúmania popis procesu interakcie medzi podnikmi prostredníctvom nelineárnej diferenciálnej a systémovej dynamiky.

Keď už hovoríme o praktickej aplikácii štúdie, stojí za to ju okamžite rozdeliť na dve časti. A to teoretickú, teda kvalitatívnu analýzu systémov, a praktickú, v ktorej sa bude uvažovať o konštrukcii simulačných modelov.

Teoretická časť tejto štúdie poskytuje základné pojmy a javy. Uvažuje o jednoduchých diferenciálnych systémoch, ako v prácach mnohých iných autorov (Teschl, 2012; Nolte, 2015), no zároveň umožňuje popísať interakciu medzi spoločnosťami. Na základe toho bude v budúcnosti možné vykonať hlbšie štúdie, alebo sa začať oboznamovať s tým, čo predstavuje kvalitatívnu analýzu systémov.

Praktickú časť práce je možné využiť na vytvorenie systému na podporu rozhodovania. Systém na podporu rozhodovania – Automatizovaný Informačný systém, zameraný na podporu podnikania alebo rozhodovania v organizácii, ktorý vám umožňuje vybrať si medzi mnohými rôznymi alternatívami (Keen, 1980). Aj keď modely momentálne nie sú príliš presné, no ich zmenou pre konkrétnu firmu môžete dosiahnuť presnejšie výsledky. Keď v nich zmeníte rôzne parametre a podmienky, ktoré môžu na trhu nastať, môžete získať predpoveď do budúcnosti a vopred urobiť výhodnejšie rozhodnutie.

1. Interakcia firiem v podmienkach mutualizmu

Príspevok predstaví dvojrozmerné systémy, ktoré sú pomerne jednoduché v porovnaní so systémami vyššieho rádu, no zároveň nám umožňujú demonštrovať vzťahy medzi organizáciami, ktoré potrebujeme.

Stojí za to začať pracovať s výberom typu interakcie, ktorý bude popísaný v budúcnosti, pretože pre každý z typov sú systémy, ktoré ich popisujú, aj keď mierne odlišné. Na obrázku 1.1 je znázornená klasifikácia Eujima Oduma pre interakciu obyvateľstva upravená pre ekonomickú interakciu (Odum, 1968), na základe ktorej budeme ďalej uvažovať o interakcii spoločností.

Obrázok 1.1. Typy interakcií medzi podnikmi

Na základe obrázku 1.1 vyčleňujeme 4 typy interakcií a pre každý z nich uvádzame systém rovníc, ktoré ich popisujú na základe Malthusovho modelu (Malthus, 1798). Podľa nej je rýchlosť rastu úmerná aktuálnej početnosti druhu, inými slovami, dá sa opísať nasledujúcou diferenciálnou rovnicou:

kde a je parameter, ktorý závisí od prirodzeného rastu populácie. Je tiež potrebné dodať, že v nižšie uvažovaných systémoch všetky parametre, ako aj premenné, nadobúdajú nezáporné hodnoty.

Výroba surovín je výroba produktov, ktorá je podobná modelu dravec-korisť. Model dravec-korisť, tiež známy ako model Lotka-Volterra, je dvojica nelineárnych diferenciálnych rovníc prvého rádu popisujúcich dynamiku biologického systému s dvoma druhmi, z ktorých jeden je predátor a druhý je korisť (Llibre , 2007). Zmena v početnosti týchto druhov je opísaná nasledujúcim systémom rovníc:

(1.2)

kde - charakterizuje rast produkcie prvého podniku bez vplyvu druhého (v prípade modelu dravec-korisť rast populácie koristi bez predátorov),

Charakterizuje rast produkcie druhého podniku bez vplyvu prvého (rast populácie dravcov bez koristi),

Charakterizuje rast produkcie prvého podniku, berúc do úvahy vplyv druhého podniku naň (zvýšenie počtu koristi pri interakcii s predátormi),

Charakterizuje rast produkcie druhého podniku, berúc do úvahy vplyv prvého podniku naň (nárast počtu predátorov počas ich interakcie s obeťami).

Po prvé, predátor, ako je zrejmé zo systému, ako aj z Odumovej klasifikácie, ich interakcia má priaznivý vplyv. Na druhej strane nepriaznivé. Ak sa to vezme do úvahy v ekonomickej realite, potom, ako je vidieť na obrázku, najjednoduchším analógom je výrobca a jeho dodávateľ zdrojov, ktoré zodpovedajú predátorovi a koristi. Pri nedostatku surovín teda produkcia klesá exponenciálne.

Konkurencia je rivalita medzi dvoma alebo viacerými (v našom prípade uvažujeme o dvojrozmerných systémoch, takže berieme presne dvojdruhovú konkurenciu) druhmi, ekonomickými skupinami o územia, obmedzenými zdrojmi alebo inými hodnotami (Elton, 1968). Zmeny v počte druhov, alebo v našom prípade v počte produktov, popisuje systém nižšie:

(1.3)

V tomto prípade sa druhy alebo spoločnosti, ktoré vyrábajú jeden produkt, navzájom nepriaznivo ovplyvňujú. To znamená, že pri absencii konkurenta sa rast produktu exponenciálne zvýši.

Teraz prejdime k symbiotickej interakcii, v ktorej sa oba podniky navzájom pozitívne ovplyvňujú. Začnime vzájomným vzťahom. Mutualizmus je typ vzťahu medzi rôznymi druhmi, v ktorom každý z nich profituje z konania toho druhého, a stojí za zmienku, že prítomnosť partnera je nevyhnutnou podmienkou existencie (Thompson, 2005). Tento typ vzťahu je opísaný systémom:

(1.4)

Keďže interakcia medzi spoločnosťami je nevyhnutná pre ich existenciu, pri absencii produktu jednej spoločnosti produkcia tovarov inej spoločnosti exponenciálne klesá. To je možné, keď spoločnosti jednoducho nemajú iné alternatívy obstarávania.

Zvážte iný typ symbiotickej interakcie, protokooperáciu. Protokooperácia je podobná mutualizmu, s jedinou výnimkou, že partner nemusí existovať, pretože existujú napríklad aj iné alternatívy. Keďže sú podobné, ich systémy vyzerajú navzájom takmer identicky:

(1.5)

Absencia produktu jednej firmy teda nebráni rastu produktu inej firmy.

Samozrejme, okrem tých, ktoré sú uvedené v odsekoch 3 a 4, možno zaznamenať aj iné typy symbiotických vzťahov: komenzalizmus a amensalizmus (Hanski, 1999). Nebudú sa však ďalej spomínať, pretože v komenzalizme je jeden z partnerov ľahostajný k jeho interakcii s druhým, ale stále berieme do úvahy prípady, keď existuje vplyv. A amensalizmus sa neberie do úvahy, pretože z ekonomického hľadiska takéto vzťahy, keď ich interakcia poškodzuje jedného a druhý je ľahostajný, jednoducho nemôžu existovať.

Na základe vzájomného vplyvu spoločností, konkrétne skutočnosti, že symbiotické vzťahy vedú k stabilnej koexistencii spoločností, sa v tomto príspevku budeme zaoberať iba prípadmi vzájomnosti a protokooperácie, pretože v oboch prípadoch je interakcia výhodná pre všetkých.

Táto kapitola je venovaná interakcii firiem v podmienkach mutualizmu. Zohľadní dva systémy, ktoré sú ďalším vývojom systémov založených na Malthusovom modeli, a to systémy s uloženými obmedzeniami na zvýšenie produkcie.

Dynamiku páru spojených vzájomnými vzťahmi, ako je uvedené vyššie, možno opísať v prvej aproximácii systémom:

(1.6)

Je vidieť, že pri veľkom počiatočnom množstve produkcie systém donekonečna rastie a pri malom produkcia klesá. V tom spočíva nesprávnosť bilineárneho opisu efektu vyplývajúceho zo mutualizmu. Aby sme sa pokúsili napraviť obraz, uvádzame faktor pripomínajúci saturáciu dravca, to znamená faktor, ktorý zníži rýchlosť rastu produkcie, ak je nadmerná. V tomto prípade sa dostávame k nasledujúcemu systému:

(1.7)

kde je rast produkcie produktu prvej spoločnosti v jej interakcii s druhou, berúc do úvahy saturáciu,

Rast výroby produktu druhej spoločnosti v jej interakcii s prvou, berúc do úvahy saturáciu,

Koeficienty nasýtenia.

Takto sme dostali dva systémy: Malthusiánsky model rastu so saturáciou a bez saturácie.

1.1 Stabilita systémov v prvej aproximácii

O stabilite systémov v prvej aproximácii sa uvažuje v mnohých zahraničných (Hairer, 1993; Bhatia, 2002; Khalil, 2001; Strogatz, 2001 a i.) a ruskojazyčných dielach (Akhromeyeva, 1992; Bellman, 1954; Demidovich, 1967; Krasovský, 1959 a ďalší) a jeho definícia je základným krokom pre analýzu procesov prebiehajúcich v systéme. Ak to chcete urobiť, vykonajte nasledujúce potrebné kroky:

Poďme nájsť body rovnováhy.

Nájdite Jacobovu maticu systému.

Nájdite vlastné hodnoty Jacobiánskej matice.

Body rovnováhy klasifikujeme podľa Ljapunovovej vety.

Po zvážení krokov stojí za to sa podrobnejšie zaoberať ich vysvetlením, preto uvediem definície a opíšem metódy, ktoré použijeme v každom z týchto krokov.

Prvým krokom je hľadanie rovnovážnych bodov. Aby sme ich našli, prirovnáme každú funkciu k nule. To znamená, že riešime systém:

kde a a b znamenajú všetky parametre rovnice.

Ďalším krokom je nájdenie Jacobiánskej matice. V našom prípade to bude matica 2x2 s prvými deriváciami v určitom bode, ako je uvedené nižšie:

Po dokončení prvých dvoch krokov pristúpime k nájdeniu koreňov nasledujúcej charakteristickej rovnice:

Kde bod zodpovedá rovnovážnym bodom zisteným v prvom kroku.

Po nájdení a prejdeme na štvrtý krok a použijeme nasledujúce Lyapunovove vety (Parks, 1992):

Veta 1: Ak majú všetky korene charakteristickej rovnice zápornú reálnu časť, potom je bod rovnováhy zodpovedajúci pôvodným a linearizovaným systémom asymptoticky stabilný.

Veta 2: Ak má aspoň jeden z koreňov charakteristickej rovnice kladnú reálnu časť, potom je bod rovnováhy zodpovedajúci pôvodným a linearizovaným systémom asymptoticky nestabilný.

Pri pohľade na a je možné presnejšie určiť typ stability na základe rozdelenia znázorneného na obrázkoch 1.2 (Lamar University).

Obrázok 1.2. Typy stability rovnovážnych bodov

Po zvážení potrebných teoretických informácií sa obraciame na analýzu systémov.

Predstavte si systém bez nasýtenia:

Je veľmi jednoduchý a nie je vhodný na praktické použitie, keďže nemá žiadne obmedzenia. Ale ako prvý príklad systémovej analýzy je vhodné zvážiť.

Najprv nájdime rovnovážne body prirovnaním pravých strán rovníc k nule. Nájdeme teda dva body rovnováhy, nazvime ich A a B: .

Spojme krok s hľadaním Jacobiánskej matice, koreňov charakteristickej rovnice a určením typu stability. Keďže sú elementárne, okamžite dostaneme odpoveď:

1. V bode , , je stabilný uzol.

V bode: ... sedlo.

Ako som už písal, tento systém je príliš triviálny, takže nebolo potrebné žiadne vysvetlenie.

Teraz analyzujme systém od nasýtenia:

(1.9)

Vzhľad obmedzenia vzájomnej saturácie produktov podnikmi nás približuje k skutočnému obrazu toho, čo sa deje, a tiež mierne komplikuje systém.

Ako predtým, prirovnáme správne časti systému k nule a vyriešime výsledný systém. Bod zostal nezmenený, ale druhý bod v tomto prípade obsahuje viac parametrov ako predtým: .

V tomto prípade má Jacobiho matica nasledujúcu formu:

Odčítajte od nej maticu identity vynásobenú , a prirovnajte determinant výslednej matice v bodoch A a B k nule.

V bode podobného skorého obrázku:

stabilný uzol.

Ale v podstate všetko je o niečo komplikovanejšie a hoci je matematika stále celkom jednoduchá, zložitosť spôsobuje nepríjemnosti pri práci s dlhými doslovnými výrazmi. Keďže sa hodnoty ukázali ako dosť dlhé a nevhodne zapísané, nie sú uvedené, stačí povedať, že v tomto prípade, rovnako ako v predchádzajúcom systéme, je typ získanej stability sedlový.

2 Fázové portréty systémov

Prevažná väčšina nelineárnych dynamických modelov sú zložité diferenciálne rovnice, ktoré sa buď nedajú vyriešiť, alebo ide o nejaký druh zložitosti. Príkladom je systém z predchádzajúcej časti. Napriek zjavnej jednoduchosti nebolo nájdenie typu stability v druhom rovnovážnom bode jednoduchou úlohou (aj keď nie z matematického hľadiska) a s nárastom parametrov, obmedzení a rovníc s cieľom zvýšiť počet interagujúcich podnikov, zložitosť sa bude len zvyšovať. Samozrejme, ak sú parametre číselné výrazy, potom sa všetko neuveriteľne zjednoduší, ale potom analýza akosi stratí zmysel, pretože nakoniec budeme môcť nájsť body rovnováhy a zistiť ich typy stability iba pre konkrétny prípad, a nie všeobecný.

V takýchto prípadoch stojí za to pamätať fázovú rovinu a fázové portréty. V aplikovanej matematike, najmä v kontexte analýzy nelineárnych systémov, je fázová rovina vizuálnym znázornením určitých charakteristík určitých typov diferenciálnych rovníc (Nolte, 2015). Súradnicová rovina s osami hodnôt ľubovoľnej dvojice premenných charakterizujúcich stav systému - dvojrozmerný prípad spoločného n-rozmerného fázového priestoru.

Vďaka fázovej rovine je možné graficky určiť existenciu limitných cyklov v riešeniach diferenciálnej rovnice.

Riešenia diferenciálnej rovnice sú rodinou funkcií. Graficky to možno vykresliť vo fázovej rovine ako dvojrozmerné vektorové pole. Na rovine sú nakreslené vektory, ktoré predstavujú derivácie v charakteristických bodoch vzhľadom na nejaký parameter, v našom prípade s ohľadom na čas, teda (). S dostatkom týchto šípok v jednej oblasti je možné vizualizovať správanie systému a ľahko identifikovať limitné cykly (Boeing, 2016).

Vektorové pole je fázový portrét, konkrétna dráha pozdĺž čiary toku (to znamená dráha, ktorá sa vždy dotýka vektorov) je fázová dráha. Toky vo vektorovom poli označujú zmenu systému v čase, opísanú diferenciálnou rovnicou (Jordan, 2007).

Stojí za zmienku, že fázový portrét je možné zostaviť aj bez riešenia diferenciálnej rovnice a zároveň dobrá vizualizácia môže poskytnúť veľa užitočná informácia. Okrem toho v súčasnosti existuje veľa programov, ktoré môžu pomôcť s konštrukciou fázových diagramov.

Fázové roviny sú teda užitočné na vizualizáciu správania fyzikálnych systémov. Predovšetkým oscilačné systémy, ako je už spomenutý model dravec – korisť. V týchto modeloch sa fázové trajektórie môžu „krútiť“ smerom k nule, „vychádzať zo špirály“ do nekonečna alebo dosiahnuť neutrálnu stabilnú situáciu nazývanú stredy. To je užitočné pri určovaní, či je dynamika stabilná alebo nie (Jordan, 2007).

Fázové portréty uvedené v tejto časti budú vytvorené pomocou nástrojov WolframAlpha alebo poskytnuté z iných zdrojov. Malthusiánsky rastový model bez nasýtenia.

Zostavme fázový portrét prvého systému s tromi sadami parametrov na porovnanie ich správania. Sada A ((1,1), (1,1)), ktorá sa bude označovať ako jedna sada, sada B ((10,0,1), (2,2)), keď je vybratá, systém zaznamená ostrý pokles produkcie a množina C ((1,10), (1,10)), pri ktorej naopak dochádza k prudkému a neobmedzenému rastu. Je potrebné poznamenať, že hodnoty pozdĺž osí budú vo všetkých prípadoch v rovnakých intervaloch od -10 do 10, aby sa uľahčilo vzájomné porovnávanie fázových diagramov. To sa samozrejme netýka kvalitatívneho portrétu systému, ktorého osi sú bezrozmerné.

Obrázok 1.3 Fázový portrét s parametrami A

mutualizmus diferenciálna limitná rovnica

Obrázok 1.3 vyššie zobrazuje fázové portréty systému pre tri špecifikované sady parametrov, ako aj fázový portrét popisujúci kvalitatívne správanie systému. Nezabúdajte, že z praktického hľadiska je najdôležitejší prvý štvrťrok, keďže objem produkcie, ktorý môže byť len nezáporný, sú naše osy.

Na každom z obrázkov je jasne viditeľná stabilita v rovnovážnom bode (0,0). A na prvom obrázku je „sedlový bod“ viditeľný aj v bode (1,1), inými slovami, ak do systému dosadíme hodnoty množiny parametrov, tak v rovnovážnom bode B. Keď sa zmenia hranice konštrukcie modelu, sedlový bod sa nachádza aj na iných fázových portrétoch.

Malthusiánsky model rastu zo saturácie.

Zostrojme fázové diagramy pre druhý systém, v ktorom je saturácia, s tromi novými sadami hodnôt parametrov. Sada A, ((0,1,15,100), (0,1,15,100)), sada B ((1,1,0,5), (1, 1,0,5)) a sada C ((20,1,100), (20,1,100 )).

Obrázok 1.4. Fázový portrét s parametrami A

Ako vidíte, pre akúkoľvek sadu parametrov je bod (0,0) rovnovážny a tiež stabilný. Na niektorých obrázkoch je tiež vidieť sedlový bod.

V tomto prípade sa zvažovali rôzne škály, aby sa jasnejšie preukázalo, že aj keď sa do systému pridá faktor saturácie, kvalitatívny obraz sa nemení, to znamená, že samotná saturácia nestačí. Treba brať do úvahy, že v praxi podniky potrebujú stabilitu, to znamená, že ak uvažujeme o nelineárnych diferenciálnych rovniciach, tak nás najviac zaujímajú body stabilnej rovnováhy a v týchto systémoch sú takými bodmi iba nulové body, čo znamená že takéto matematické modely zjavne nie sú vhodné pre podniky. To napokon znamená, že len pri nulovej produkcii sú firmy v stabilite, ktorá sa jednoznačne líši od reálneho obrazu sveta.

V matematike je integrálna krivka parametrická krivka, ktorá je konkrétnym riešením bežnej diferenciálnej rovnice alebo systému rovníc (Lang, 1972). Ak je diferenciálna rovnica reprezentovaná ako vektorové pole, potom zodpovedajúce integrálne krivky sú dotyčnice poľa v každom bode.

Integrálne krivky sú známe aj pod inými názvami v závislosti od povahy a interpretácie diferenciálnej rovnice alebo vektorového poľa. Vo fyzike integrálne krivky pre elektrické pole resp magnetické pole sú známe ako siločiary a integrálne krivky pre pole rýchlosti tekutiny sú známe ako prúdnice. V dynamických systémoch sa integrálne krivky pre diferenciálnu rovnicu nazývajú trajektórie.

Obrázok 1.5. Integrálne krivky

Za rovnice integrálnych kriviek možno považovať aj riešenia ktoréhokoľvek zo systémov. Je zrejmé, že každá fázová trajektória je projekciou nejakej integrálnej krivky priestor x, y, t do fázovej roviny.

Existuje niekoľko spôsobov, ako vytvoriť integrálne krivky.

Jednou z nich je izoklinová metóda. Izoklinála je krivka prechádzajúca bodmi, v ktorých bude sklon uvažovanej funkcie vždy rovnaký, bez ohľadu na počiatočné podmienky (Hanski, 1999).

Často sa používa ako grafická metóda na riešenie obyčajných diferenciálnych rovníc. Napríklad v rovnici v tvare y "= f (x, y) sú izokliny priamky v rovine (x, y) získané prirovnaním f (x, y) ku konštante. To dáva sériu priamok ( pre rôzne konštanty), pozdĺž ktorých majú riešenia kriviek rovnaký gradient.Výpočtom tohto gradientu pre každú izoklinu je možné vizualizovať pole sklonu, vďaka čomu je pomerne jednoduché nakresliť približné krivky riešenia.Na obrázku nižšie je znázornený príklad použitia metódy izokliny .

Obrázok 1.6. Izoklinová metóda

Táto metóda nevyžaduje počítačové výpočty a v minulosti bola veľmi populárna. Teraz existujú softvérové ​​riešenia, ktoré vytvoria integrálne krivky na počítačoch mimoriadne presne a rýchlo. Avšak aj tak sa izoklinová metóda dobre ukázala ako nástroj na štúdium správania riešení, pretože umožňuje zobraziť oblasti typického správania integrálnych kriviek.

Malthusiánsky rastový model bez nasýtenia.

Začnime tým, že napriek existencii rôznych konštrukčných metód nie je také jednoduché zobraziť integrálne krivky sústavy rovníc. Vyššie uvedená izoklinová metóda nie je vhodná, pretože funguje pre diferenciálne rovnice prvého rádu. A softvérové ​​nástroje, ktoré majú schopnosť vykresľovať takéto krivky, nie sú vo verejnej doméne. Platený je napríklad Wolfram Mathematica, ktorý je toho schopný. Preto sa budeme snažiť čo najviac využiť možnosti Wolfram Alpha, práca s ktorou je popísaná v rôznych článkoch a prácach (Orca, 2009). Aj napriek tomu, že obrázok zrejme nebude úplne spoľahlivý, ale aspoň vám umožní zobraziť závislosť v rovinách (x, t), (y, t). Najprv vyriešme každú z rovníc pre t. To znamená, že odvodíme závislosť každej z premenných vzhľadom na čas. Pre tento systém dostaneme:

(1.10)

(1.11)

Rovnice sú symetrické, preto uvažujeme len jednu z nich, a to x(t). Nech je konštanta rovná 1. V tomto prípade použijeme funkciu vykresľovania.

Obrázok 1.7. Trojrozmerný model pre rovnicu (1.10)

Malthusiánsky model rastu zo saturácie.

Urobme to isté pre ďalší model. Nakoniec získame dve rovnice, ktoré demonštrujú závislosť premenných od času.

(1.12)

(1.13)

Postavme si trojrozmerný model a opäť vyrovnajme čiary.

Obrázok 1.8. Trojrozmerný model pre rovnicu (1.12)

Keďže hodnoty premenných sú nezáporné, dostaneme zlomok s exponentom záporné číslo. Integrálna krivka teda klesá s časom.

Predtým bola daná definícia dynamiky systému, aby sme pochopili podstatu práce, ale teraz sa na to pozrieme podrobnejšie.

Systémová dynamika - metodológia a metóda matematické modelovanie na formovanie, pochopenie a diskusiu o zložitých problémoch, pôvodne vyvinuté v 50. rokoch 20. storočia Jayom Forresterom a opísané vo svojej práci (Forrester, 1961).

Systémová dynamika je jedným z aspektov teórie systémov ako metódy na pochopenie dynamického správania zložitých systémov. Základom metódy je poznanie, že štruktúra každého systému pozostáva z početných vzťahov medzi jeho komponentmi, ktoré sú často rovnako dôležité pri určovaní jeho správania ako jednotlivé komponenty samotné. Príkladom je teória chaosu a sociálna dynamika, opísané v prácach rôznych autorov (Grebogi, 1987; Sontag, 1998; Kuznetsov, 2001; Tabor, 2001). Tvrdí sa tiež, že keďže vlastnosti celku často nemožno nájsť vo vlastnostiach prvkov, v niektorých prípadoch nemožno správanie celku vysvetliť z hľadiska správania sa častí.

Simulácia môže skutočne ukázať celok praktický význam dynamický systém. Aj keď je to možné v tabuľkových procesoroch, existuje veľa softvérových balíkov, ktoré boli optimalizované špeciálne na tento účel.

Samotné modelovanie je proces vytvárania a analýzy prototypu fyzického modelu s cieľom predpovedať jeho výkon v reálnom svete. Simulačné modelovanie sa používa na pomoc dizajnérom a inžinierom pochopiť, za akých podmienok a v akých prípadoch môže proces zlyhať a aké zaťaženia môže vydržať (Khemdy, 2007). Simulácia môže tiež pomôcť predpovedať správanie tokov tekutín a iné fyzikálnych javov. Model analyzuje približné pracovné podmienky vďaka použitému simulačnému softvéru (Strogalev, 2008).

Obmedzenia možností simulačného modelovania majú spoločnú príčinu. Zostrojenie a numerický výpočet presného modelu zaručuje úspech len v tých oblastiach, kde existuje presná kvantitatívna teória, teda keď sú známe rovnice popisujúce určité javy a úlohou je len tieto rovnice vyriešiť s požadovanou presnosťou. V tých oblastiach, kde neexistuje kvantitatívna teória, má konštrukcia presného modelu obmedzenú hodnotu (Bazykin, 2003).

Možnosti modelovania však nie sú neobmedzené. V prvom rade je to spôsobené tým, že je ťažké posúdiť rozsah použiteľnosti simulačného modelu, najmä časové obdobie, na ktoré je možné prognózu zostaviť s požadovanou presnosťou (Zákon, 2006). Simulačný model je navyše svojou povahou viazaný na konkrétny objekt a pri pokuse o jeho aplikáciu na iný, aj podobný objekt si vyžaduje radikálnu úpravu alebo aspoň výraznú úpravu.

Existuje všeobecný dôvod na existenciu obmedzení na simuláciu. Konštrukcia a numerický výpočet „presného“ modelu je úspešný len vtedy, ak existuje kvantitatívna teória, teda iba vtedy, ak sú známe všetky rovnice a problém sa redukuje len na riešenie týchto rovníc s určitou presnosťou (Bazykin, 2003).

Ale aj napriek tomu je simulačné modelovanie výborným nástrojom na vizualizáciu dynamických procesov, ktorý umožňuje s viac či menej správnym modelom rozhodovať sa na základe jeho výsledkov.

V tejto práci budú modely systémov zostavené pomocou nástrojov systémovej dynamiky, ktoré ponúka program AnyLogic.

Malthusiánsky rastový model bez saturácie/

Pred zostavením modelu je potrebné zvážiť prvky systémovej dynamiky, ktoré budeme používať a dať ich do súvislosti s naším systémom. Nasledujúce definície boli prevzaté z informácií pomoci programu AnyLogic.

Pohon je hlavným prvkom diagramov dynamiky systému. Používajú sa na znázornenie predmetov skutočného sveta, v ktorých sa hromadia určité zdroje: peniaze, látky, počet skupín ľudí, niektoré materiálne predmety atď. Akumulátory odrážajú statický stav simulovaného systému a ich hodnoty sa časom menia v súlade s tokmi existujúcimi v systéme. Z toho vyplýva, že dynamiku systému určujú toky. Prietoky vstupujúce a vystupujúce z akumulátora zvyšujú alebo znižujú hodnoty akumulátora.

Prietok, ako aj spomínaný pohon, je hlavným prvkom systémovo-dynamických diagramov.

Kým zásobníky definujú statickú časť systému, toky určujú rýchlosť výmeny zásobníkov, teda ako sa menia zásoby v čase, a tým určujú dynamiku systému.

Agent môže obsahovať premenné. Premenné sa zvyčajne používajú na modelovanie meniacich sa charakteristík agenta alebo na ukladanie výsledkov modelu. Dynamické premenné sa zvyčajne skladajú z akumulátorových funkcií.

Agent môže mať parametre. Parametre sa často používajú na reprezentáciu niektorých charakteristík modelovaného objektu. Sú užitočné, keď majú inštancie objektov rovnaké správanie, ako je opísané v triede, ale líšia sa v niektorých hodnotách parametrov. Medzi premennými a parametrami je jasný rozdiel. Premenná predstavuje stav modelu a môže sa počas simulácie meniť. Parameter sa zvyčajne používa na statický popis objektov. Počas jedného „behu“ modelu je parameter väčšinou konštantný a mení sa len vtedy, keď je potrebné prekonfigurovať správanie modelu.

Odkaz je prvok dynamiky systému, ktorý sa používa na určenie vzťahu medzi prvkami vývojového diagramu a akumulátormi. Nevytvára automaticky prepojenia, ale núti používateľa ich explicitne nakresliť v grafickom editore (za zmienku však stojí že AnyLogic podporuje aj mechanizmus na rýchle nastavenie chýbajúcich odkazov). Napríklad, ak je v rovnici alebo počiatočnej hodnote prvku B uvedený akýkoľvek prvok A, musíte tieto prvky najskôr prepojiť s odkazom z A do B a až potom zadať výraz do vlastností B. .

Existujú niektoré ďalšie prvky dynamiky systému, ale nebudú zahrnuté do priebehu práce, takže ich vynecháme.

Na začiatok si povedzme, z čoho bude pozostávať model systému (1.4).

Najprv okamžite označíme dva disky, ktoré budú obsahovať hodnoty množstva produkcie každého z podnikov.

Po druhé, keďže v každej rovnici máme dva členy, dostaneme dva toky ku každému z pohonov, jeden prichádzajúci a druhý odchádzajúci.

Po tretie, prejdeme k premenným a parametrom. Existujú len dve premenné. X a Y, zodpovedné za rast produkcie. Máme tiež štyri možnosti.

Po štvrté, pokiaľ ide o prepojenia, každý z tokov musí byť spojený s premennými a parametrami zahrnutými v rovnici toku a obe premenné musia byť spojené s akumulátormi, aby sa hodnota časom menila.

Podrobný popis zostavenia modelu, ako príklad práce v modelovacom prostredí AnyLogic, si necháme na ďalší systém, keďže je o niečo komplikovanejší a využíva viac parametrov, a hneď pristúpime k úvahe o hotovej verzii. systém.

Obrázok 1.9 nižšie zobrazuje zostavený model:

Obrázok 1.9. Dynamický model systému pre systém (1.4)

Všetky prvky dynamiky systému zodpovedajú vyššie popísaným, t.j. dva disky, štyri toky (dva prichádzajúce, dva odchádzajúce), štyri parametre, dve dynamické premenné a potrebné pripojenia.

Obrázok ukazuje, že čím viac produktov, tým silnejší je jeho rast, čo vedie k prudkému nárastu počtu tovarov, čo zodpovedá nášmu systému. Ale ako už bolo spomenuté, absencia obmedzení tohto rastu neumožňuje uplatnenie tohto modelu v praxi.

Malthusiánsky rastový model zo saturácie/

Vzhľadom na tento systém sa pozrime na konštrukciu modelu podrobnejšie.

Prvým krokom je pridanie dvoch jednotiek, nazvime ich X_stock a Y_stock. Každému z nich priradíme počiatočnú hodnotu 1. Všimnite si, že pri absencii tokov v klasickom daná rovnica v sklade nie je nič.

Obrázok 1.10. Vytvorenie modelu systému (1.9)

Ďalším krokom je pridanie vlákien. Vytvorme prichádzajúci a odchádzajúce stream pre každý disk pomocou grafického editora. Nesmieme zabúdať, že jedna z hrán toku musí byť v pohone, inak nebudú spojené.

Vidíte, že rovnica pre pohon bola nastavená automaticky, samozrejme, používateľ si ju môže napísať sám výberom režimu „ľubovoľnej“ rovnice, ale najjednoduchší spôsob je nechať túto akciu na programe.

Naším tretím krokom je pridanie šiestich parametrov a dvoch dynamických premenných. Dajme každému prvku meno v súlade s jeho doslovným výrazom v systéme a tiež nastavme počiatočné hodnoty parametrov takto: e1=e2=1, a12=a21=3, n1=n2=0,2.

Všetky prvky rovníc sú prítomné, zostáva len napísať rovnice pre toky, ale na to musíte najskôr pridať spojenia medzi prvkami. Napríklad výstupný tok zodpovedný za výraz musí byť spojený s e1 a x. A každá dynamická premenná musí byť spojená s jej zodpovedajúcou zásobou (X_stock x, Y_stock y). Vytváranie odkazov je podobné pridávaniu vlákien.

Po vytvorení potrebných spojení môžete pristúpiť k písaniu rovníc pre toky, čo je znázornené na obrázku vpravo. Samozrejme, môžete ísť v opačnom poradí, ale ak existujú spojenia, pri písaní rovníc sa objavia rady na nahradenie potrebných parametrov / premenných, čo uľahčuje úlohu v zložitých modeloch.

Po dokončení všetkých krokov môžete spustiť simulačný model a pozrieť sa na jeho výsledok.

Po zvážení systémov nelineárnych diferenciálnych rovníc pre interakciu spoločností v podmienkach mutualizmu môžeme vyvodiť niekoľko záverov.

Existujú dva stavy systému: prudký neobmedzený rast alebo tendencia množstva produkcie k nule. Ktorý z týchto dvoch stavov systém zaujme, závisí od parametrov.

Žiadny z navrhovaných modelov, vrátane modelu zohľadňujúceho saturáciu, nie je vhodný na praktické použitie z dôvodu nedostatku nenulovej stabilnej polohy, ako aj dôvodov popísaných v odseku 1.

V prípade snahy o ďalšie štúdium tohto typu symbiotickej interakcie za účelom vytvorenia modelu aplikovateľného firmami v praxi je potrebné systém ďalej skomplikovať a zaviesť nové parametre. Napríklad Bazykin vo svojej knihe uvádza príklad dynamiky dvoch mutualistických populácií so zavedením dodatočného faktora vnútrodruhovej konkurencie. Vďaka tomu má systém podobu:

(1.15)

A v tomto prípade sa objaví nenulová stabilná poloha systému, oddelená od nuly „sedlom“, čím sa približuje skutočnému obrazu toho, čo sa deje.

2. Interakcia firiem v podmienkach protokooperácie

Všetky základné teoretické informácie boli uvedené v predchádzajúcej kapitole, takže pri analýze modelov uvažovaných v tejto kapitole bude z väčšej časti teória vynechaná, s výnimkou niekoľkých bodov, s ktorými sme sa nestretli v predchádzajúcej kapitole. kapitole a môže dôjsť aj k zníženiu výpočtov. Model interakcie medzi organizáciami uvažovaný v tejto kapitole v podmienkach protokooperácie, ktorý pozostáva zo systémov dvoch rovníc založených na Malthusiánskom modeli, vyzerá ako systém (1.5). Systémy analyzované v predchádzajúcej kapitole ukázali, že pre ich maximálnu aproximáciu k existujúcim modelom je potrebné systémy skomplikovať. Na základe týchto zistení do modelu okamžite pridáme obmedzenie rastu. Na rozdiel od predchádzajúceho typu interakcie, kedy je rast, ktorý nezávisí od inej spoločnosti, negatívny, v tomto prípade sú všetky znaky pozitívne, čo znamená, že máme neustály rast. Aby sme sa vyhli vyššie opísaným nedostatkom, pokúsime sa to obmedziť na logistickú rovnicu, známu aj ako Verhulstova rovnica (Gershenfeld, 1999), ktorá má nasledujúci tvar:

, (2.1)

kde P je veľkosť populácie, r je parameter ukazujúci rýchlosť rastu, K je parameter zodpovedný za maximálnu možnú veľkosť populácie. To znamená, že v priebehu času bude veľkosť populácie (v našom prípade produkcia) smerovať k určitému parametru K.

Táto rovnica pomôže obmedziť nekontrolovateľný rast produkcie, ktorý sme doteraz videli. Systém má teda nasledujúcu formu:

(2.2)

Netreba zabúdať, že objem tovaru skladovaného v sklade je pre každú firmu iný, teda aj parametre, ktoré obmedzujú rast, sú rôzne. Nazvime tento systém "" a v budúcnosti budeme tento názov používať, keď o ňom uvažujeme.

Druhý systém, ktorý zvážime, je ďalší vývoj modely s Verhulstovým obmedzením. Rovnako ako v predchádzajúcej kapitole zavedieme obmedzenie saturácie, potom bude mať systém podobu:

(2.3)

Teraz má každý z výrazov svoj vlastný limit, takže bez ďalšej analýzy je možné vidieť, že nedôjde k neobmedzenému rastu, ako v modeloch predchádzajúcej kapitoly. A keďže každý z výrazov vykazuje pozitívny rast, množstvo produkcie neklesne na nulu. Nazvime tento model „model s dvoma obmedzeniami proto-operácie“.

Tieto dva modely sú diskutované v rôznych zdrojoch o biologických populáciách. Teraz sa pokúsime trochu rozšíriť systémy. Ak to chcete urobiť, zvážte nasledujúci obrázok.

Obrázok ukazuje príklad procesov dvoch spoločností: oceliarskeho a uhoľného priemyslu. V oboch podnikoch dochádza k nárastu produkcie, ktorá je nezávislá od ostatných, a tiež dochádza k zvýšeniu produkcie, ktorá je získaná ich interakciou. Zohľadnili sme to už pri starších modeloch. Teraz stojí za to venovať pozornosť tomu, že spoločnosti nielen vyrábajú produkty, ale ich aj predávajú napríklad na trh alebo spoločnosti, ktorá s ním interaguje. Tie. Na základe logických záverov vzniká potreba negatívneho rastu firiem z dôvodu predaja produktov (na obrázku sú za to zodpovedné parametre β1 a β2), ako aj z dôvodu presunu časti produktov do iného podniku. . Predtým sme to brali do úvahy len s pozitívnym znamienkom pre inú spoločnosť, ale nezohľadnili sme skutočnosť, že pri prevode produktov klesá počet produktov pre prvý podnik. V tomto prípade dostaneme systém:

(2.4)

A ak možno povedať o termíne, že ak bolo v predchádzajúcich modeloch naznačené, že charakterizuje prirodzený prírastok a parameter môže byť záporný, potom nie je prakticky žiadny rozdiel, potom o termíne to sa nedá povedať. Okrem toho je v budúcnosti pri zvažovaní takéhoto systému s obmedzením, ktoré je naň uvalené, správnejšie používať podmienky pozitívneho a negatívneho rastu, pretože v tomto prípade na ne môžu byť uložené rôzne obmedzenia, čo je nemožné pre prirodzené rast. Nazvime to „model rozšírenej protokooperácie“.

Napokon, štvrtým modelom, ktorý sa uvažuje, je rozšírený model protokooperácie s vyššie uvedeným obmedzením logistického rastu. A systém pre tento model je nasledovný:

, (2.5)

kde je nárast výroby prvého podniku, nezávislý od druhého, berúc do úvahy logistické obmedzenia, - zvýšenie výroby prvého podniku v závislosti od druhého, pričom sa zohľadní logistické obmedzenie, - zvýšenie výroby druhého podniku, nezávislého od prvého podniku, s prihliadnutím na logistické obmedzenie, - zvýšenie výroby druhej spoločnosti v závislosti od prvej s prihliadnutím na logistické obmedzenie, - spotreba tovaru prvej spoločnosti, ktorá nesúvisí s inou, - spotreba tovaru druhej spoločnosti, ktorá nesúvisí s inou spoločnosťou , - spotreba tovarov prvého odvetvia druhým odvetvím, - spotreba tovarov druhého odvetvia prvým odvetvím.

V budúcnosti sa tento model bude označovať ako „rozšírený protooperačný model s logistickým obmedzením“.

1 Stabilita systémov v prvej aproximácii

Protooperačný model s Verhulstovým obmedzením

Metódy analýzy stability systému boli uvedené v podobnej časti predchádzajúcej kapitoly. V prvom rade nájdeme body rovnováhy. Jedna z nich je ako vždy nula. Druhý je bod so súradnicami.

Pre nulový bod λ1 = , λ2 = , keďže oba parametre sú nezáporné, dostaneme nestabilný uzol.

Keďže nie je veľmi vhodné pracovať s druhým bodom, kvôli nedostatku možnosti skrátiť výraz, necháme definíciu typu stability na fázové diagramy, pretože jasne ukazujú, či je rovnovážny bod stabilný. alebo nie.

Analýza tohto systému je zložitejšia ako predchádzajúca, pretože sa pridáva saturačný faktor, objavujú sa nové parametre a pri hľadaní rovnovážnych bodov bude potrebné riešiť nie lineárnu, ale bilineárnu rovnicu. premenná v menovateli. Preto, ako v predchádzajúcom prípade, nechávame definíciu typu stability na fázové diagramy.

Napriek objaveniu sa nových parametrov vyzerá Jacobian v nulovom bode, ako aj korene charakteristickej rovnice, podobne ako predchádzajúci model. Teda v nulovom bode nestabilný uzol.

Prejdime k pokročilým modelom. Prvý z nich neobsahuje žiadne obmedzenia a má podobu systému (2.4)

Urobme zmenu premenných, , a . Nový systém:

(2.6)

V tomto prípade dostaneme dva body rovnováhy, bod A(0,0), B(). Bod B leží v prvom štvrťroku, pretože premenné majú nezápornú hodnotu.

Pre bod rovnováhy A dostaneme:

. - nestabilný uzol

. - sedlo,

. - sedlo,

. - stabilný uzol

V bode B sú koreňmi charakteristickej rovnice komplexné čísla: λ1 = , λ2 = . Nevieme určiť typ stability opierajúc sa o Ljapunovove vety, preto vykonáme numerické simulácie, ktoré neukážu všetky možné stavy, ale umožnia nám zistiť aspoň niektoré z nich.

Obrázok 2.2. Numerická simulácia hľadania typu stability

Vzhľadom na tento model bude potrebné čeliť výpočtovým ťažkostiam, pretože má veľké množstvo rôznych parametrov, ako aj dve obmedzenia.

Bez toho, aby sme zachádzali do detailov výpočtov, dospejeme k nasledujúcim rovnovážnym bodom. Bod A(0,0) a bod B s týmito súradnicami:

(), kde a =

Pre bod A je určenie typu stability triviálnou úlohou. Korene charakteristickej rovnice sú λ1 = , λ2 = . Dostávame teda štyri možnosti:

1. λ1 > 0, λ2 > 0 - nestabilný uzol.

2.λ1< 0, λ2 >0 - sedlo.

3. λ1 ​​> 0, λ2< 0 - седло.

4.λ1< 0, λ2 < 0 - устойчивый узел.

Keď už hovoríme o bode B, stojí za to súhlasiť s tým, že jeho nahradenie skratkami vo výraze skomplikuje prácu s Jacobiánom a nájdenie koreňov charakteristickej rovnice. Napríklad po pokuse o ich nájdenie pomocou výpočtových nástrojov WolframAlpha, výstup koreňov trval asi päť riadkov, čo neumožňuje prácu s nimi v doslovnom vyjadrení. Samozrejme, ak už existujú parametre, zdá sa, že je možné rýchlo nájsť rovnovážny bod, ale toto je špeciálny prípad, pretože rovnovážny stav, ak existuje, nájdeme iba pre tieto parametre, čo nie je vhodné pre rozhodnutie. podporný systém, pre ktorý sa model plánuje vytvoriť.

Vzhľadom na zložitosť práce s koreňmi charakteristickej rovnice konštruujeme vzájomné usporiadanie nulových izoklinál analogicky so systémom analyzovaným v Bazykinovej práci (Bazykin, 2003). To nám umožní zvážiť možné stavy systému a v budúcnosti pri konštrukcii fázových portrétov nájsť rovnovážne body a typy ich stability.

Po niekoľkých výpočtoch majú nulové izoklinické rovnice nasledujúci tvar:

(2.7)

Izoklinály teda majú formu parabol.

Obrázok 2.3. Možné nulovo-izoklinické umiestnenie

Celkovo sú možné štyri prípady ich vzájomného usporiadania podľa počtu spoločných bodov medzi parabolami. Každý z nich má svoje vlastné sady parametrov, a teda aj fázové portréty systému.

2 Fázové portréty systémov

Zostavme fázový portrét systému za predpokladu, že je to tak a ostatné parametre sú rovné 1. V tomto prípade stačí jedna sada premenných, pretože kvalita sa nezmení.

Ako je zrejmé z obrázkov nižšie, nulový bod je nestabilný uzol a druhý bod, ak nahradíme číselné hodnoty parametrov, dostaneme (-1,5, -1,5) - sedlo.

Obrázok 2.4. Fázový portrét pre systém (2.2)

Keďže by teda nemali nastať žiadne zmeny, potom pre tento systém existujú iba nestabilné stavy, čo je s najväčšou pravdepodobnosťou spôsobené možnosťou neobmedzeného rastu.

Protooperačný model s dvoma obmedzeniami.

V tomto systéme existuje ďalší obmedzujúci faktor, takže fázové diagramy sa musia líšiť od predchádzajúceho prípadu, ako je vidieť na obrázku. Nulový bod je tiež nestabilný uzol, ale v tomto systéme sa objavuje stabilná poloha, a to stabilný uzol. S týmito parametrami, jeho súradnicami (5.5,5.5), je znázornený na obrázku.

Obrázok 2.5. Fázový portrét pre systém (2.3)

Obmedzenie každého termínu teda umožnilo získať stabilnú pozíciu systému.

Rozšírený protooperačný model.

Poďme zostaviť fázové portréty pre rozšírený model, ale okamžite v jeho upravenej podobe:

Uvažujme štyri množiny parametrov, aby sme zvážili všetky prípady s nulovým rovnovážnym bodom a tiež demonštrovali fázové diagramy numerickej simulácie použitej pre nenulový rovnovážny bod: množina A(1,0,5,0,5) zodpovedá stavu , množine B(1,0,5,-0,5) zodpovedá nastaviť C(-1,0,5, 0,5) a nastaviť D(-1,0,5,-0,5) , teda stabilný uzol v nulovom bode. Prvé dva súbory budú demonštrovať fázové portréty pre parametre, ktoré sme uvažovali v numerickej simulácii.

Obrázok 2.6. Fázový portrét pre systém (2.4) s parametrami А-D.

Na obrázkoch je potrebné venovať pozornosť bodom (-1,2) a (1,-2), v ktorých sa objavuje „sedlo“. Pre podrobnejšie znázornenie je na obrázku znázornená iná mierka postavy so sedlovým hrotom (1,-2). Na obrázku je v bodoch (1,2) a (-1,-2) viditeľný stabilný stred. Pokiaľ ide o nulový bod, počnúc od obrázku k obrázku na fázových diagramoch, môžeme jasne rozlíšiť nestabilný uzol, sedlo, sedlo a stabilný uzol.

Rozšírený model protokooperácie s logistickým obmedzením.

Rovnako ako v predchádzajúcom modeli budeme demonštrovať fázové portréty pre štyri prípady nulového bodu a pokúsime sa v týchto diagramoch zaznamenať aj nenulové riešenia. Ak to chcete urobiť, zoberte nasledujúce sady parametrov s parametrami špecifikovanými v nasledujúcom poradí (): A (2,1,2,1), B (2,1,1,2), C (1,2,2 1) a D (1,2,1,2). Zostávajúce parametre pre všetky sady budú nasledovné: , .

Na obrázkoch uvedených nižšie je možné pozorovať štyri rovnovážne stavy nulového bodu opísané v predchádzajúcej časti pre tento dynamický systém. A tiež na obrázkoch stabilná poloha bodu s jednou nenulovou súradnicou.

Obrázok 2.7. Fázový portrét pre systém (2.5) s parametrami A-B

3 Integrálne trajektórie systémov

Protooperačný model s Verhulstovým obmedzením

Rovnako ako v predchádzajúcej kapitole riešime každú z diferenciálnych rovníc samostatne a explicitne vyjadrujeme závislosť premenných od parametra času.

(2.8)

(2.9)

Zo získaných rovníc je vidieť, že hodnota každej z premenných rastie, čo je demonštrované na trojrozmernom modeli nižšie.

Obrázok 2.8. Trojrozmerný model pre rovnicu (2.8)

Tento typ grafu spočiatku pripomína nenasýtený 3D malthusiánsky model, o ktorom sa hovorí v kapitole 1, v tom, že má podobný rýchly rast, ale neskôr môžete vidieť zníženie rýchlosti rastu, keď sa dosiahne limit výstupu. Konečný vzhľad integrálnych kriviek je teda podobný grafu logistickej rovnice, ktorá bola použitá na obmedzenie jedného z členov.

Protooperačný model s dvoma obmedzeniami.

Každú z rovníc riešime pomocou nástrojov Wolfram Alpha. Závislosť funkcie x(t) je teda redukovaná na nasledujúci tvar:

(2.10)

Pri druhej funkcii je situácia podobná, preto jej riešenie vynecháme. Číselné hodnoty sa objavili v dôsledku nahradenia parametrov určitými vhodnými hodnotami, čo neovplyvňuje kvalitatívne správanie integrálnych kriviek. Nižšie uvedené grafy ukazujú použitie limitov rastu, pretože exponenciálny rast sa časom stáva logaritmickým.

Obrázok 2.9. Trojrozmerný model pre rovnicu (2.10)

Rozšírený protooperačný model

Takmer podobné modelom s mutualizmom. Jediný rozdiel je v rýchlejšom raste v porovnaní s týmito modelmi, čo je možné vidieť z rovníc nižšie (ak sa pozriete na stupeň exponentu) a grafov. Integrálna krivka musí mať formu exponentu.

(2.11)

(2.12)

Rozšírený model protokooperácie s logistickým obmedzením

Závislosť x(t) vyzerá takto:

Bez grafu je ťažké vyhodnotiť správanie funkcie, takže pomocou nám už známych nástrojov ju zostavíme.

Obrázok 2.10 3D model pre rovnicu

Hodnota funkcie klesá pre nemalé hodnoty inej premennej, čo je spôsobené absenciou obmedzení na záporný bilineárny člen a je to zrejmý výsledok

4 Systémová dynamika interagujúcich spoločností

Protooperačný model s Verhulstovým obmedzením.

Zostrojme systém (2.2). Pomocou už známych nástrojov vytvárame simulačný model. Tentoraz, na rozdiel od mutualistických modelov, bude mať model logistické obmedzenie.

Obrázok 2.11. Dynamický model systému pre systém (2.2)

Poďme spustiť model. V tomto modeli stojí za povšimnutie skutočnosť, že rast zo vzťahu nie je ničím limitovaný a rast produkcie bez vplyvu druhého má špecifické obmedzenie. Ak sa pozriete na samotné vyjadrenie logistickej funkcie, môžete vidieť, že v prípade, keď premenná (počet tovaru) prekročí maximálny možný skladovací objem, sa výraz stáva záporným. V prípade, že existuje iba logistická funkcia, je to nemožné, ale s dodatočným vždy pozitívnym rastovým faktorom je to možné. A teraz je dôležité pochopiť, že logistická funkcia sa vyrovná so situáciou nie príliš rýchleho rastu počtu produktov, napríklad lineárne. Poďme sa pozrieť na obrázky nižšie.

Obrázok 2.12. Príklad fungovania dynamického modelu systému pre systém (2.2)

Ľavý obrázok znázorňuje 5. krok programu zodpovedajúci navrhovanému modelu. Ale v súčasnosti stojí za to venovať pozornosť správnej postave.

Po prvé, pre jeden z prichádzajúcich tokov pre Y_stock bolo odstránené prepojenie na x, vyjadrené ako . Toto sa robí s cieľom ukázať rozdiel vo výkonnosti modelu s lineárnym vždy pozitívnym tokom a bilineárnym rastom, ktorý je prezentovaný pre X_stock. Pri lineárnych neobmedzených tokoch sa po prekročení parametra K systém v určitom bode dostane do rovnováhy (v tomto modeli je rovnovážny stav 200 tisíc jednotiek tovaru). Ale oveľa skôr vedie bilineárny rast k prudkému nárastu množstva tovaru, ktorý prechádza do nekonečna. Ak necháme pravé aj ľavé neustále kladné toky bilineárne, tak už pri cca 20-30 krokoch príde hodnota akumulátora k rozdielu dvoch nekonečna.

Na základe uvedeného možno s istotou povedať, že v prípade ďalšieho používania takýchto modelov je potrebné obmedziť akýkoľvek pozitívny rast.

Protooperačný model s dvoma obmedzeniami.

Po zistení nedostatkov predchádzajúceho modelu a zavedení obmedzenia druhého členu faktorom saturácie vytvoríme a spustíme nový model.

Obrázok 2.13. Model dynamiky systému a príklad jeho fungovania pre systém (2.3)

Tento model nakoniec prináša dlho očakávané výsledky. Ukázalo sa, že obmedzuje rast hodnôt akumulátora. Ako vidno z obrázku vpravo, pre oba podniky sa rovnováha dosiahne s miernym prevýšením skladovacieho objemu.

Rozšírený protooperačný model.

Pri zvažovaní systémovej dynamiky tohto modelu sa ukážu schopnosti softvérového prostredia AnyLogic pre farebnú vizualizáciu modelov. Všetky predchádzajúce modely boli postavené iba s použitím prvkov systémovej dynamiky. Samotné modely preto pôsobili nenápadne, neumožňovali sledovať dynamiku zmien množstva produkcie v čase a meniť parametre za behu programu. Pri práci s týmto a nasledujúcimi modelmi sa pokúsime využiť širšiu škálu možností programu na zmenu troch vyššie uvedených nevýhod.

Po prvé, okrem sekcie „dynamika systému“ obsahuje program aj sekcie „obrázky“, „3D objekty“, ktoré umožňujú diverzifikáciu modelu, čo je užitočné pre jeho ďalšiu prezentáciu, pretože model vyzerá „príjemnejšie“.

Po druhé, na sledovanie dynamiky zmien hodnôt modelu existuje sekcia „štatistika“, ktorá vám umožňuje pridávať grafy a rôzne nástroje na zber údajov ich prepojením s modelom.

Po tretie, na zmenu parametrov a iných objektov počas vykonávania modelu existuje sekcia "ovládacie prvky". Objekty v tejto časti vám umožňujú meniť parametre počas spustenia modelu (napríklad „posuvník“), vyberať rôzne stavy objektu (napríklad „prepnúť“) a vykonávať ďalšie akcie, ktoré menia pôvodne zadané údaje počas práce. .

Model je vhodný na výučbu oboznámenia sa s dynamikou zmien vo výrobe podnikov, ale nedostatok obmedzení rastu neumožňuje jeho použitie v praxi.

Rozšírený model protokooperácie s logistickým obmedzením.

Pomocou už pripraveného predchádzajúceho modelu doplníme parametre z logistickej rovnice na obmedzenie rastu.

Konštrukciu modelu vynechávame, keďže predchádzajúcich päť modelov prezentovaných v práci už demonštrovalo všetky potrebné nástroje a princípy na prácu s nimi. Za zmienku stojí len to, že jeho správanie je podobné modelu protokooperácie s Verhulstovým obmedzením. Tie. nedostatok sýtosti bráni jeho praktickej aplikácii.

Po analýze modelov z hľadiska protokooperácie definujeme niekoľko hlavných bodov:

Modely uvažované v tejto kapitole sú v praxi vhodnejšie ako mutualistické, keďže majú nenulové stabilné rovnovážne pozície aj pri dvoch členoch. Pripomínam, že v modeloch mutualizmu sme to dokázali dosiahnuť len pridaním tretieho termínu.

Vhodné modely musia mať obmedzenia na každý z výrazov, pretože inak prudký nárast bilineárnych faktorov „zničí“ celý simulačný model.

Vychádzajúc z odseku 2, pri pridaní protooperácie s Verhulstovým obmedzením saturačného faktora do rozšíreného modelu, ako aj pridaním nižšieho kritického množstva produkcie, by sa mal model čo najviac priblížiť skutočnému stavu vecí. Nezabudnite však, že takéto manipulácie so systémom skomplikujú jeho analýzu.

Záver

Výsledkom štúdie bola analýza šiestich systémov, ktoré popisujú dynamiku výroby podnikov, ktoré sa navzájom ovplyvňujú. V dôsledku toho boli body rovnováhy a typy ich stability určené jedným z nasledujúcich spôsobov: analyticky, alebo vďaka konštruovaným fázovým portrétom v prípadoch, keď analytické riešenie nie je z nejakého dôvodu možné. Pre každý zo systémov boli zostrojené fázové diagramy, ako aj trojrozmerné modely, na ktorých je možné pri premietaní získať integrálne krivky v rovinách (x, t), (y, t). Potom boli pomocou modelovacieho prostredia AnyLogic zostavené všetky modely a boli zvážené možnosti ich správania pri určitých parametroch.

Po analýze systémov a zostavení ich simulačných modelov je zrejmé, že tieto modely možno považovať len za nácvik alebo popis makroskopických systémov, ale nie ako systém na podporu rozhodovania pre jednotlivé spoločnosti, pretože majú nízku presnosť a na niektorých miestach nie celkom spoľahlivá reprezentácia prebiehajúcich procesov. Nezabúdajte však ani na to, že akokoľvek pravdivý je dynamický systém popisujúci model, každá spoločnosť / organizácia / odvetvie má svoje vlastné procesy a obmedzenia, preto nie je možné vytvoriť a popísať všeobecný model. V každom konkrétnom prípade sa to upraví: aby sa skomplikovalo alebo naopak zjednodušilo pre ďalšiu prácu.

Zo záverov pre každú kapitolu vyvodíme záver, že stojí za to zamerať sa na odhalenú skutočnosť, že zavedenie obmedzení na každý z členov rovnice síce skomplikuje systém, ale tiež umožňuje odhaliť stabilné polohy systému, ako aj priblížiť tomu, čo sa deje v skutočnosti. A stojí za zmienku, že modely protokooperácie sú vhodnejšie na štúdium, pretože majú nenulové stabilné pozície, na rozdiel od dvoch mutualistických modelov, ktoré sme uvažovali.

Účel tejto štúdie bol teda splnený a úlohy boli splnené. V budúcnosti, ako pokračovanie tejto práce, sa bude uvažovať o rozšírenom modeli interakcie typu protooperácie s tromi obmedzeniami, ktoré sú na ňu zavedené: logistický, saturačný faktor, nižšie kritické číslo, čo by malo umožniť vytvorenie presnejšieho model systému na podporu rozhodovania, ako aj model s tromi spoločnosťami. Za nadstavbu práce môžeme považovať okrem symbiózy aj dva ďalšie typy interakcie, ktoré boli v práci spomenuté.

Literatúra

1. Bhatia Nam Parshad; Szegh Giorgio P. (2002). Teória stability dynamických systémov. Springer.

2. Blanchard P.; Devaney, R. L.; Hall, G. R. (2006). Diferenciálne rovnice. Londýn: Thompson. pp. 96-111.

Boeing, G. (2016). Vizuálna analýza nelineárnych dynamických systémov: chaos, fraktály, sebepodobnosť a limity predikcie. systémov. 4(4):37.

4. Campbell, David K. (2004). Nelineárna fyzika: Svieži dych. Príroda. 432 (7016): 455-456.

Elton C.S. (1968) dotlač. ekológia zvierat. Veľká Británia: William Clowes and Sons Ltd.

7. Forrester Jay W. (1961). Priemyselná dynamika. MIT Press.

8. Gandolfo, Giancarlo (1996). Ekonomická dynamika (tretie vydanie). Berlín: Springer. pp. 407-428.

9. Gershenfeld Neil A. (1999). Povaha matematického modelovania. Cambridge, UK: Cambridge University Press.

10 Goodman M. (1989). Študijné poznámky v systémovej dynamike. Pegasus.

Grebogi C, Ott E a Yorke J. (1987). Chaos, podivné atraktory a hranice fraktálov v nelineárnej dynamike. Science 238 (4827), str. 632-638.

12 Kaderník Ernst; Nørsett Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Riešenie obyčajných diferenciálnych rovníc I: Nepevné problémy, Berlín, New York

Hanski I. (1999) Metapopulačná ekológia. Oxford University Press, Oxford, str. 43-46.

Hughes-Hallett Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). Calculus: Single and Multivariable (6 ed.). John Wiley.

15. Llibre J., Valls C. (2007). Globálne analytické prvé integrály pre skutočný planárny systém Lotka-Volterra, J. Math. Phys.

16. Jordan D.W.; Smith P. (2007). Nelineárne obyčajné diferenciálne rovnice: Úvod pre vedcov a inžinierov (4. vydanie). Oxford University Press.

Khalil Hassan K. (2001). nelineárne systémy. Prentice Hall.

Lamar University, Online Math Notes - Phase Plane, P. Dawkins.

Lamar University, Online Math Notes - Systems of Differential Equations, P. Dawkins.

Lang Serge (1972). Diferenciálne rozdeľovače. Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.

Law Averill M. (2006). Simulačné modelovanie a analýza pomocou softvéru Expertfit. McGraw-Hill Science.

Lazard D. (2009). Tridsať rokov riešenia polynomických systémov a teraz? Journal of Symbolic Computation. 44(3):222-231.

24 Lewis Mark D. (2000). Prísľub dynamických systémových prístupov pre integrovaný účet ľudského rozvoja. rozvoj dieťaťa. 71(1): 36-43.

25. Malthus T.R. (1798). Essay on the Principle of Population, v dotlači Oxford World's Classics, str. 61, koniec kapitoly VII

26. Morecroft John (2007). Strategické modelovanie a obchodná dynamika: Systémový prístup so spätnou väzbou. John Wiley & Sons.

27. Nolte D.D. (2015), Úvod do modernej dynamiky: Chaos, siete, priestor a čas, Oxford University Press.

Automatizácia a telemechanika, L-1, 2007

RAS B 02.70.-c, 47.ll.-j

© 2007 Yu.S. POPKOV, Dr tech. Sci. (Inštitút systémovej analýzy RAS, Moskva)

KVALITATÍVNA ANALÝZA DYNAMICKÝCH SYSTÉMOV S OPERÁTOROM Vd-ENTROPY

Navrhuje sa metóda na štúdium existencie, jedinečnosti a lokalizácie singulárnych bodov uvažovanej triedy DSEE. Získajú sa podmienky pre stabilitu „v malom“ a „vo veľkom“. Uvádzajú sa príklady aplikácie získaných podmienok.

1. Úvod

Mnohé problémy matematického modelovania dynamických procesov je možné riešiť na základe konceptu dynamických systémov s entropickým operátorom (DEOS). DSEE je dynamický systém, v ktorom je nelinearita opísaná parametrickým problémom maximalizácie entropie. Feio-moyologicky je DSEO modelom makrosystému s „pomalou“ samoreprodukciou a „rýchlou“ alokáciou zdrojov. Niektoré vlastnosti DSEO boli študované v. Táto práca pokračuje v cykle štúdií kvalitatívnych vlastností DSEO.

Uvažujeme o dynamickom systéme s operátorom Vd-entropie:

^ = £(x, y(x)), x e En:

y(x) = a^max(Hv(y) | Ty = u(x), ye E^) > 0.

V týchto výrazoch:

C(x, y), u(x) sú plynule diferencovateľné vektorové funkcie;

Entropia

(1.2) Hv (y) = uz 1n ako > 0, s = T~m;

T - (r x w)-matica s prvkami ^ 0 má celkové poradie rovné r;

Predpokladá sa, že vektorová funkcia u(x) je spojito diferencovateľná, množina

(1,3) Q = (q: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,

kde a- a a + sú vektory z E+, kde a- je vektor s malými zložkami.

Použitie známej reprezentácie operátora entropie v podmienkach Lagrangeových multiplikátorov. transformujeme systém (1.1) do nasledujúceho tvaru:

- = £(x, y(z)), x e Kn, y(z) e K?, r e Er+

Uz (r) \u003d az\\ ^, 3 \u003d 1, m-

O(x, z) = Ty(z) = q(x),

kde rk = exp(-Ak) > 0 sú exponenciálne Lagrangeove multiplikátory.

Spolu s DSEE všeobecného formulára (1.1) zvážime podľa klasifikácie uvedenej v .

DSEE s oddeliteľným prietokom:

(1-5) ^ = I (x) + Vy (z),

kde B (n x m)-matica;

DSEO s multiplikatívnym tokom:

(1.6) ^ = x® (a-x® Xu(r)), ab

kde W je (n x m)-matica s nezápornými prvkami, a je vektor s kladnými zložkami, ® je znak súradnicového násobenia.

Cieľom tohto článku je študovať existenciu, jedinečnosť a lokalizáciu singulárnych bodov DSEE a ich stabilitu.

2. Singulárne body

2.1. Existencia

Zvážte systém (1.4). Singulárne body tohto dynamického systému sú určené nasledujúcimi rovnicami:

(2.1) C^(x, y(z)) = 0, r = TP;

(2,2) uz(r) = a^ r^, 3 = T^:

(2.3) bk(r) = ^as r^ = dk(x), k = 1,r.

Najprv zvážte pomocný systém rovníc:

(2.4) C(q, z) = r, qeR,

kde množina R je definovaná rovnosťou (1.3) a C(q, r) je vektorová funkcia so zložkami

(2,5) Sk(d, r) = - Ok(r), a-< дк < а+, к =1,г.

Rovnica (2.4) má pre každý pevný vektor q jedinečné riešenie r*, čo vyplýva z vlastností operátora Vg-entropia (pozri ).

Z definície komponentov vektorovej funkcie С(g, z) vyplýva zrejmý odhad:

(2,6) C(a+, r)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:

Označme riešenie prvej rovnice r+ a druhej - r-. Poďme definovať

(2.7) C(a+,z) = z, C(a

(2.8) zmaX = max z+, zmin = mm zk

a r-rozmerné vektory

(2.9) z(zmax, zmax), z(zmin, zmin).

Lema 2.1. Pre všetky q G Q (1 . 3) riešenia z*(q) rovnice (2.4) patria vektoru 1 do segmentu

zmin< z*(q) < zmax,

kde vektory zmin a zmax sú definované výrazmi (2.7)-(2.9).

Dôkaz vety je uvedený v prílohe. Qq

qk(x) (1.3) pre x G Rn, potom máme

Dôsledok 2.1. Nech sú splnené podmienky Lemy 2.1 a funkcie qk(x) spĺňajú podmienky (1.3) pre všetky ex x G Rn. Potom pre všetky x G Rm patria riešenia z* z rovnice (2.3) do vektorového segmentu

zmin< z* < zmax

Vráťme sa teraz k rovniciam (2.2). ktoré určujú zložky vektorovej funkcie y(z). Prvky jeho jakobiánu majú formu

(2.10) jb aj zk JJ & > 0

pre všetky z G R+ okrem 0 a g. Preto je vektorová funkcia y(z) striktne monotónne rastúca. Podľa Lemy 2.1 je ohraničená zdola a zhora, t.j. pre všetky z G Rr (teda pre všetky x G Rn) patria jeho hodnoty do množiny

(2,11) Y = (y: y-< y < y+},

kde zložky vektorov yk, y+ sú určené výrazmi:

(2.12) yk = aj y+ = aj znlax, j = h™.

(2,13) ​​bj = Y, tsj, 3 = 1,

Zvážte prvú rovnicu v (2.1) a prepíšte ju takto:

(2.14) L(x, y) = 0 pre všetky y e Y ⊂ E^.

Táto rovnica určuje závislosť premennej x od premennej y patriacej do Y

we (1.4) redukuje na existenciu implicitnej funkcie x(y) definovanej rovnicou (2.14).

Lema 2.2. Nech sú splnené nasledujúce podmienky:

a) vektorová funkcia L(x, y) je v množine premenných spojitá;

b) lim L(x, y) = ±<ж для любого фиксированного у е Y;

c) det J (x, y) = 0 pre všetky ex x e En pre ľubovoľné pevné y e Y.

Potom existuje jedinečná implicitná funkcia x*(y) definovaná na Y. V tejto leme je J(x, y) jakobián s prvkami

(2.15) Ji,i (x,y) = --i, i,l = l,n.

Dôkaz je uvedený v prílohe. Z vyššie uvedených lém to vyplýva

Veta 2.1. Nech sú splnené podmienky lemmy 2.1 a 2.2. Potom existuje jedinečný singulárny bod DSEE (1.4) a podľa toho aj (1.1).

2.2. Lokalizácia

Štúdium lokalizácie singulárneho bodu sa chápe ako možnosť stanovenia intervalu, v ktorom sa nachádza. Táto úloha nie je veľmi jednoduchá, ale pre niektoré triedy DSEE je možné takýto interval stanoviť.

Prejdime k prvej skupine rovníc v (2.1) a znázornime ich vo forme

(2.16) L(x,y)=0, y- y y y+,

kde y- a y+ sú definované rovnosťami (2.12), (2.13).

Veta 2.2. Nech je vektorová funkcia L(x,y) spojito diferencovateľná a monotónne rastúca v oboch premenných, t.j.

--> 0, --> 0; i,l = 1, n; j = 1,m. dxi dyj

Potom riešenie sústavy (2.16) vzhľadom na premennú x patrí do intervalu (2.17) xmin x x x xmax,

a) vektory xmin, xmax majú tvar

Min \u003d i x 1 xmax \u003d r x t;

\xmin: . .., xminlxmax, . . ., xmax):

xmin - ^Qin ^ ■ , xmax - ^QaX ^ ;

6) x- a x+ - zložky riešenia nasledujúcich rovníc

(2.19) L(x,y-)=0, L(x,y+)=0

s oo m samozrejme.

Dôkaz vety je uvedený v prílohe.

3. Udržateľnosť DSEA „v malom“

3.1. DSEE so separovateľným tokom Prejdime k rovniciam DSEE so separovateľným tokom, ktoré uvádzame v tvare:

- \u003d / (x) + Bu (r (x)), x e Kp ab

Y-(r (X)) \u003d azP (X) Y33, 3 \u003d 1, "~ 8 \u003d 1

0(x, r(x)) = Ty(r(x)) = q(x), r e Hr.

Tu hodnoty komponentov vektorovej funkcie q(x) patria do množiny Q (1.3), (n × w)-matica B má celkové poradie rovné n (n< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.

Nech má uvažovaná sústava singulárny bod x. Na štúdium stability tohto singulárneho bodu „v malom“ zostrojíme linearizovaný systém

kde A je (n x n)-matica, ktorej prvky sú vypočítané v bode x, a vektor t = x - x. Podľa prvej rovnice v (3.1) má matica linearizovaného systému

A \u003d 7 (x) + BUg (g) Xx (x), x \u003d g (x),

| 3 \u003d 1, w, k \u003d 1,

I k \u003d 1, g, I \u003d 1, str

Z (3.1) sú určené prvky matice Yr:dy.

"bkz P" 8=1

3, r8 x 8, 5 1, r.

Na určenie prvkov matice Zx sa obrátime na poslednú skupinu rovníc v (3.1). B ukazuje, že tieto rovnice definujú implicitnú vektorovú funkciu r(x), ktorá je spojito diferencovateľná, ak je vektorová funkcia g(x) spojito diferencovateľná. Jacobián Zx vektorovej funkcie z(x) je definovaný rovnicou

<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),

vg (X) \u003d T Ug (X),

ddk, -t-, - "- k \u003d 1, r, I \u003d 1, n dx \

Z tejto rovnice máme (3.9) Zx(x) = s-1(z)Qx(x).

Nahradením tohto výsledku rovnosťou (3.3). dostaneme:

A \u003d 1 (x) + P (x), P (x) \u003d VUg (g) [Tg (g)] -1 Qx (x).

Rovnica linearizovaného systému teda nadobúda tvar

(c.i) | = (j+p)e

Tu sú prvky matíc J, P vypočítané v singulárnom bode. Podmienky dostatočnej stability „v malom“ DSEE (3.1) sú určené nasledovne

Veta 3.1. DSEE (3.1) má singulárny bod x, ktorý je stabilný „v malom“, ak sú splnené nasledujúce podmienky:

a) matice J, P (3.10) linearizovaného systému (3.11) majú reálne a rôzne vlastné hodnoty a matica J má maximálnu vlastnú hodnotu

Pmax = max Pg > 0,

Wmax = maxUi< 0;

Umax + Ptah<

Z tejto vety a rovnosti (3.10) vyplýva, že pre singulárne body, pre ktoré Qx(x) = 0 a (alebo) pre X, = 0 a tkj ^ 1 pre všetky ex k,j, nie sú postačujúce podmienky vety. spokojný.

3.2. DSEE s multiplikatívnym tokom Zvážte rovnice (1.6). prezentovať ich vo forme:

X® (a-x® Wy(z(x))), xeRn;

yj(z(x)) = aj ПZs(x)]isi" j = 1,m;

(ZL2) yj (z(x)) = a^<~"ts

Q(x, z(x)) = Ty(z(x)) = q(x), zeR++.

systémov. Bude mať:

(3.13)

V tomto výraze je diag C] diagonálna matica s kladnými prvkami a1,..., an, Yr, Zx sú matice definované rovnosťami (3.4)-(3.7).

Maticu A reprezentujeme vo forme

(3.14) A = diag + P (x),

(3.15) P(x) = -2xWYz(z)Zx(x).

Označme: maxi ai = nmax a wmax je maximálna vlastná hodnota matice P(x) (3.15). Potom Veta 3.1 platí aj pre DSEE (1.6). (3.12).

4. Udržateľnosť DSEA „vo veľkom“

Obráťme sa na DESO rovnice (1.4), v ktorých hodnoty komponentov vektorovej funkcie q(x) patria do množiny Q (1.3). V uvažovanom systéme existuje singulárny bod Z, ku ktorému vektory z(x) = z ^ z-> 0 a

y(x) = y(z) = y > y- > 0.

Zaveďme vektory odchýlok £, C, П od singulárneho bodu: (4.1) £ = x - x, (= y - y, n = z - z.

ZHEZHERUN A.A., POKROVSKY A.V. - 2009

1

Cieľom štúdia je vyvinúť superpočítačovo orientovanú logickú metódu (Boolean constraint method) a obslužne orientovanú technológiu na tvorbu a využitie počítačového systému na kvalitatívne štúdium dynamiky správania sa trajektórií autonómnych binárnych dynamických systémov nad konečný časový interval. Aktuálnosť témy potvrdzuje neustále sa zväčšujúci rozsah aplikácií binárnych modelov vo vedeckom a aplikovanom výskume, ako aj potreba kvalitatívnej analýzy takýchto modelov s veľkým stavovým vektorovým rozmerom. Je prezentovaný matematický model autonómneho binárneho systému na konečnom časovom intervale a booleovská rovnica ekvivalentná tomuto systému. Špecifikáciu dynamickej vlastnosti sa navrhuje napísať v jazyku predikátovej logiky s použitím obmedzených existenčných a univerzálnych kvantifikátorov. Získajú sa booleovské rovnice na hľadanie rovnovážnych stavov a cyklov binárneho systému a podmienky ich izolácie. Špecifikujú sa hlavné vlastnosti typu dosiahnuteľnosti (dosiahnuteľnosť, bezpečnosť, súčasná dosiahnuteľnosť, dosiahnuteľnosť pri fázových obmedzeniach, príťažlivosť, konektivita, celková dosiahnuteľnosť). Pre každú vlastnosť je jej model zostavený vo forme boolovského obmedzenia (boolovská rovnica alebo kvantifikovaný booleovský vzorec), ktorý spĺňa logickú špecifikáciu vlastnosti a rovnice dynamiky systému. Kontrola uskutočniteľnosti rôznych vlastností správania sa trajektórií autonómnych binárnych dynamických systémov v konečnom časovom intervale je teda redukovaná na problém realizovateľnosti booleovských obmedzení pomocou moderných SAT a TQBF riešiteľov. Uvádza sa demonštračný príklad použitia tejto technológie na testovanie uskutočniteľnosti niektorých vyššie uvedených vlastností. Na záver sú uvedené hlavné výhody metódy booleovských obmedzení, vlastnosti jej softvérovej implementácie v rámci prístupu orientovaného na služby a smery ďalšieho vývoja metódy pre ďalšie triedy binárnych dynamických systémov.

binárny dynamický systém

dynamická vlastnosť

kvalitatívna analýza

booleovské obmedzenia

booleovský problém splniteľnosti

1. Biere A., Ganesh V., Grohe M., Nordstrom J., Williams R. Theory and Practice of SAT Solving. Dagstuhl správy. 2015.zv. 5. č. 4. R. 98–122.

2. Marin P., Pulina L., Giunchiglia E., Narizzano M., Tacchella A. Dvanásť rokov hodnotenia QBF: QSAT je náročný na PSPACE a ukazuje to. fundam. informovať. 2016.zv. 149. R. 133-58.

3. Bohman D., Posthof H. Binárne dynamické systémy. M.: Energoatomizdat, 1986. 400 s.

4. Maslov S.Yu. Teória deduktívnych systémov a jej aplikácia. Moskva: Rádio a komunikácia, 1986. 133 s.

5. Jhala R., Majumdar R. Kontrola softvérového modelu. ACM Computing Surveys. 2009.zv. 41 č. 4 R. 21:1–21:54.

6. Vasiliev S.N. Redukčná metóda a kvalitatívna analýza dynamických systémov. I–II // Izvestiya RAN. Teória a riadiace systémy. 2006. Číslo 1. S. 21–29. č. 2, s. 5–17.

7. Formát DIMACS [Elektronický zdroj]. Režim prístupu: http://www.cs.utexas.edu/users/moore/acl2/manuals/current/manual/index-seo.php/SATLINK____DIMACS (prístup 24.07.2018).

8. Štandard QDIMACS [Elektronický zdroj]. Režim prístupu: http://qbflib.org/qdimacs.html (prístup 24.07.2018).

9. Delgado-Eckert E., Reger J., Schmidt K. Systémy diskrétneho času s dynamikou založenou na udalostiach: Nedávny vývoj v metódach analýzy a syntézy. Mario Alberto Jordan (ed.). Systémy diskrétneho času. intech. 2011. R. 447–476.

10. Vasiliev S.N. Dostupnosť a konektivita v sieti automatov so všeobecným pravidlom prepínania // diferenciálne rovnice. 2002. V. 38. Číslo 11. S. 1533–1539.

11. Bychkov I.V., Oparin G.A., Bogdanova V.G., Gorsky S.A., Pashinin A.A. Multi-agentová technológia na automatizáciu paralelného riešenia booleovských rovníc v distribuovanom výpočtovom prostredí // Výpočtové technológie. 2016. V. 21. Číslo 3. S. 5–17.

12. Lonsing F., Biere A. DepQBF. Riešenie QBF s ohľadom na závislosť. Časopis o spokojnosti. Booleovské modelovanie a výpočty. 2010. roč. 9. R. 71–76.

13. Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pashinin A.A., Gorsky S.A. Distribuovaní riešitelia aplikovaných problémov na základe Microservices a Agent Networks. Proc. Zo 41. Stáž. Dohovor o informačných a komunikačných technológiách, elektronike a mikroelektronike (MIPRO-2018). R. 1643–1648.

14. Bogdanova V.G., Gorsky S.A. Škálovateľný paralelný riešiteľ boolovských problémov s uspokojiteľnosťou. Proc. Zo 41. Stáž. Dohovor o informačných a komunikačných technológiách. Elektronika a mikroelektronika (MIPRO-2018). R. 244–249.

15. Byčkov I.V., Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pashinin A.A. The Applied Problems Solving Technology Based on Distributed Computational Subject Domain Model: a Decentralized Approach // Medzinárodná konferencia Parallel Computing Technologies XII, PaVT’2018, Rostov-on-Don, 2. – 6. apríla 2018. Krátke články a popisy plagátov. Čeľabinsk: Vydavateľské centrum SUSU, 2018. S. 34–48.

Spektrum aplikácií binárnych dynamických modelov je mimoriadne široké a každým rokom len narastá počet objektov a úloh, kde je potrebné ich použitie. Klasickým príkladom je binárny synchrónny automat, ktorý je modelom mnohých diskrétnych zariadení v riadiacich systémoch, výpočtovej technike, telemechanike. Moderné aplikácie binárnych dynamických modelov zahŕňajú problémy bioinformatiky, ekonómie, sociológie a mnohých ďalších oblastí, ktoré sa zdajú byť vzdialené od používania dvojhodnotových premenných. V tejto súvislosti výrazne narastá význam vývoja nových a zlepšovania existujúcich metód pre kvalitatívnu analýzu správania trajektórií binárnych dynamických systémov (DDS).

Ako je známe, cieľom kvalitatívnej analýzy dynamického systému (nielen binárneho) je získať kladnú alebo zápornú odpoveď na otázku: Platí v danom systéme požadovaná dynamická vlastnosť? Preformulujme si túto otázku takto: Spĺňa správanie trajektórií dynamického systému určitý súbor obmedzení, ktoré charakterizujú vlastnosť? Ďalej použijeme túto interpretáciu cieľa kvalitatívnej analýzy dynamických vlastností systému.

Pre DDS, ktorých činnosť sa uvažuje v konečnom časovom intervale, sú takéto obmedzenia boolovské a sú napísané v jazyku booleovských rovníc alebo booleovských vzorcov s kvantifikátormi. Prvý typ obmedzení vedie k potrebe vyriešiť problém SAT (booleovský problém splniteľnosti); druhý typ obmedzení je spojený s riešením problému TQBF (kontrola pravdivosti kvantifikovaných booleovských vzorcov). Prvým problémom je typický predstaviteľ triedy zložitosti NP a druhým problémom je trieda zložitosti PSPACE. Ako je známe, PSPACE-úplnosť diskrétneho problému poskytuje silnejší dôkaz o jeho neriešiteľnosti ako NP-úplnosť. Z tohto dôvodu je redukcia problému kvalitatívnej analýzy DDS na problém SAT výhodnejšia ako redukcia na problém TQBF. Vo všeobecnom prípade nie je možné štúdium každej vlastnosti DDS znázorniť v jazyku booleovských rovníc.

Teoretická možnosť použitia booleovských obmedzení (konkrétne booleovských rovníc) pri kvalitatívnej analýze DDS bola prvýkrát demonštrovaná v roku . Treba si však uvedomiť, že uplatnenie tohto prístupu v praxi v tom čase obmedzoval nedostatok efektívnych algoritmov a programov na riešenie booleovských rovníc (najmä s veľkým počtom neznámych premenných), čo by výrazne zmenšovalo priestor na vyhľadávanie. V poslednom desaťročí sa v dôsledku intenzívneho výskumu v tejto oblasti objavilo dostatočné množstvo rôznych efektívnych riešiteľov booleovských rovníc (SAT solvers), ktoré využívajú moderné výdobytky (nová heuristika, rýchle dátové štruktúry, paralelné výpočty a pod.) pri riešení booleovský problém splniteľnosti. Podobné procesy (avšak s určitým oneskorením) sú pozorované aj v oblasti vytvárania stále efektívnejších algoritmov a programov na riešenie problému TQBF. K dnešnému dňu teda existujú všetky potrebné predpoklady pre systematický rozvoj metódy booleovských obmedzení pri kvalitatívnej analýze DDS, jej softvérovej implementácii a aplikácii pri riešení vedeckých a aplikovaných problémov.

Okrem metódy booleovských obmedzení sú na DDS použiteľné aj iné metódy kvalitatívnej analýzy, medzi ktoré patrí deduktívna analýza, kontrola modelu a metóda redukcie. Každá z týchto metód (vrátane metódy booleovských obmedzení) má svoje obmedzenia, výhody a nevýhody. Spoločnou nevýhodou je, že všetky metódy majú enumeračný charakter a problém redukcie enumerácie je pre tieto metódy zásadný.

Dôležitosť deduktívnej analýzy, ktorá zahŕňa aplikáciu axióm a pravidiel odvodzovania na preukázanie správneho fungovania systému, uznáva široká škála odborníkov, ide však o pracnú, a preto málo používanú metódu. V metóde kontroly modelu používa jazyk špecifikácie požadovanej vlastnosti jazyk časovej logiky, čo je pre špecialistov na dynamiku automatov neobvyklé. Redukčná metóda je spojená s konštrukciou zjednodušeného (v určitom zmysle) modelu pôvodného systému, štúdiom jeho vlastností a podmienok prenosu týchto vlastností do pôvodného komplexného systému. Podmienky prevoditeľnosti nehnuteľností sú len v tomto prípade postačujúce. Jednoduchosť myšlienky redukčnej metódy v kvalitatívnej analýze DDS čelí problému výberu zjednodušeného systému, ktorý spĺňa všetky podmienky metódy.

Praktické využitie metódy booleovských obmedzení zahŕňa algoritmizáciu a automatizáciu nasledujúcich procesov:

1) vývoj logického jazyka pre špecifikáciu dynamických vlastností so zameraním na špecialistu na systémovú dynamiku;

2) vytvorenie modelu dynamickej vlastnosti vo forme booleovských obmedzení toho či onoho typu, ktorý spĺňa logickú špecifikáciu vlastnosti a rovnice dynamiky binárneho systému;

3) prezentácia výsledného modelu v medzinárodnom formáte DIMACS alebo QDIMACS;

4) výber (vývoj) efektívneho paralelného (distribuovaného) riešiteľa problému splniteľnosti booleovských obmedzení (riešiteľ SAT alebo TQBF);

5) vývoj nástrojov na vytváranie softvérových služieb;

6) rozvoj služieb pre kvalitatívny výskum rôznych dynamických vlastností DDS.

cieľ tejto štúdie je riešením len prvých dvoch problémov vo vzťahu k algoritmizácii kvalitatívnych štúdií autonómneho (bez riadiacich vstupov) synchrónneho DDS. Takéto systémy sa v anglických publikáciách nazývajú synchrónne booleovské siete (Boolean network). Ďalšie aspekty použitia metódy booleovských obmedzení (vrátane DDS s riadiacimi vstupmi) sú predmetom nasledujúcich publikácií.

Matematický model autonómneho DDS

Nech X = Bn (B = (0, 1) je množina binárnych vektorov dimenzie n (stavový priestor DDS), nech t∈T = (1,…,k) označuje diskrétny čas (číslo cyklu).

Pre každý stav x0∈X, nazývaný počiatočný stav, definujeme trajektóriu x(t, x0) ako konečnú postupnosť stavov x0, x1,…, xk z množiny X. Ďalej budeme uvažovať DDS, v ktorej každá dvojica susedných stavov xt, x(t - 1) (t∈T) sú trajektórie spojené vzťahom

xt = F(xt - 1). (jeden)

Tu je F:X>X vektorová funkcia algebry logiky, nazývaná prechodová funkcia. Pre ľubovoľné x0∈X teda systém booleovských rovníc (1) predstavuje model dynamiky správania sa trajektórií DDS v stavovom priestore X na konečnom časovom intervale T = (1, 2,…,k). Tu a nižšie sa predpokladá, že hodnota k v definícii množiny T je vopred určená konštanta. Toto obmedzenie je celkom prirodzené. Ide o to, že pri kvalitatívnej analýze správania sa trajektórií DDS je v praxi zaujímavá otázka, čo možno povedať o uskutočniteľnosti nejakej dynamickej vlastnosti pre pevné, nie príliš veľké k. Voľba hodnoty k v každom konkrétnom prípade je založená na apriórnej informácii o trvaní procesov v simulovanom diskrétnom systéme.

Je známe, že systém booleovských rovníc (1) s počiatočným stavom x0∈X pre T = (1, 2,…,k) je ekvivalentný jednej booleovskej rovnici v tvare

Pre k = 1 (uvažujú sa len jednokrokové prechody) má rovnica (2) tvar

(3)

Riešenia tejto rovnice definujú orientovaný graf pozostávajúci z 2n vrcholov označených jedným z 2n stavov množiny X. Vrcholy x0 a x1 grafu sú spojené oblúkom smerujúcim zo stavu x0 do stavu x1. Takýto graf sa v teórii binárnych automatov nazýva prechodový diagram. Reprezentácia správania DDS vo forme prechodového diagramu je veľmi jasná ako pri konštrukcii trajektórií, tak aj pri štúdiu ich vlastností, ale je prakticky realizovateľná len pre malé rozmery n stavového vektora x∈X.

Jazykové prostriedky na špecifikáciu dynamických vlastností

Najpohodlnejšie je špecifikovať dynamickú špecifikáciu vlastnosti v jazyku formálnej logiky. Podľa článku označíme X0∈X, X1∈X, X*∈X množiny počiatočných, prípustných a cieľových stavov.

Hlavnými syntaktickými prvkami logického vzorca dynamickej vlastnosti sú: 1) predmetové premenné (komponenty vektorov x0, x1,…, xk, čas t); 2) obmedzené kvantifikátory existencie a univerzálnosti; 3) logické spojky v, &; konečné vzorce. Výsledný vzorec predstavuje tvrdenie, že niektoré stavy množiny trajektórií x(t, x0) (x0∈X0) patria do hodnotiacich množín X* a X1.

Treba poznamenať, že použitie obmedzených existenčných a univerzálnych kvantifikátorov poskytuje spôsob zápisu dynamickej vlastnosti, ktorý je odborníkom na dynamiku známy. V procese konštrukcie booleovského modelu sú vlastnosti pre systém (1) nahradené obmedzenými kvantifikátormi obyčajnými podľa nasledujúcich definícií:

kde A(y) je predikát, ktorý obmedzuje hodnotu premennej y.

Vzhľadom na konečnosť rozsahu premennej t sú obmedzené kvantifikátory existencie a univerzálnosti vzhľadom na túto premennú nahradené ekvivalentnými vzorcami, ktoré neobsahujú kvantifikátory.

V nasledujúcom budeme predpokladať, že prvky množín X0, X1, X* sú určené nulami nasledujúcich booleovských rovníc

alebo charakteristické funkcie týchto množín , .

Berúc do úvahy obmedzenie počiatočných stavov G0(x) = 0, spolu s rovnicami (2, 3), použijeme na skrátenie zápisu nasledujúce booleovské rovnice:

(4)

Predbežná kvalitatívna analýza autonómneho DDS

V štádiu predbežnej analýzy možno identifikovať vetvenie stavu (súbor jeho bezprostredných predchodcov), prítomnosť rovnovážnych stavov a uzavretých trajektórií (cyklov), ak je to potrebné.

Stav x1 v (3) sa bude nazývať nástupcom stavu x0 a x0 predchodcom stavu x1. V autonómnom DDS má každý stav iba jedného následníka a počet predchodcov daného stavu sa môže meniť od nuly do 2n - 1. Všetci bezprostrední predchodcovia x0 stavu s∈X sú nuly booleovskej rovnice

Ak rovnica (6) nemá riešenia, potom neexistujú predchodcovia stavu s.

Rovnovážne stavy (ak existujú) sú riešeniami booleovskej rovnice

Dráha x0, x1,…, xk sa nazýva cyklus dĺžky k, ak sú stavy x0, x1,…, xk-1 párovo odlišné a xk = x0. Cyklická postupnosť dĺžky k (ak existuje) je riešením booleovskej rovnice

kde = 0 ( ) - párové diferenčné podmienky pre množinu stavov C cyklu dĺžky k. Ak žiadny zo stavov cyklu nemá predchodcov, ktorí nepatria do množiny C, potom sa takýto cyklus nazýva izolovaný. Nech sú prvky s množiny C určené riešením booleovskej rovnice Gc(s) = 0. Potom je ľahké ukázať, že podmienka izolácie cyklu je ekvivalentná absencii núl v nasledujúcej booleovskej rovnici:

Riešenia rovnice (7) (ak existujú) určujú stavy cyklu, ktoré majú predchodcov, ktorí nepatria do množiny C.

Keďže rovnovážny stav je cyklus dĺžky k = 1, jeho izolačná podmienka je podobná izolačnej podmienke s k ≥ 2 s tým rozdielom, že Gc(s) má tvar úplnej disjunkcie, ktorá tento rovnovážny stav určuje.

V nasledujúcom texte sa neizolované rovnovážne stavy a cykly budú nazývať atraktory.

Špecifikácia dynamických vlastností typu dosiahnuteľnosti

Hlavnou vlastnosťou DDS, potreba overenia, ktorá sa v praxi najčastejšie objavuje, je vlastnosť dosiahnuteľnosti tradične skúmaná v teórii grafov (v našom prípade je takýmto grafom prechodový diagram) a jej rôzne variácie. Dosiahnuteľnosť je definovaná ako klasický problém analýzy správania trajektórií DDS.

Definícia tejto vlastnosti je spojená s priradením predtým zavedených množín X0, X*, X1 (zodpovedajúcich týmto množinám booleovských rovníc). Predpokladá sa, že množiny X0, X*, X1 vyhovujú podmienke

Keďže množina T je konečná, vlastnosť dosiahnuteľnosti a jej variácie budeme ďalej chápať ako vlastnosť praktickej dosiahnuteľnosti (dosiahnuteľnosti v konečnom počte cyklov). Zohľadňujú sa tieto vlastnosti typu dosiahnuteľnosti:

1. Hlavná vlastnosť dosiahnuteľnosti množiny X* z množiny X0 je formulovaná nasledovne: akákoľvek trajektória spustená z množiny počiatočných stavov X0 dosiahne cieľovú množinu X*. Pomocou obmedzených existenčných a univerzálnych kvantifikátorov je vzorec pre túto vlastnosť:

2. Bezpečnostná vlastnosť zabezpečuje, že pre akúkoľvek trajektóriu spustenú z X0 je množina X* nedosiahnuteľná:

3. Vlastnosť simultánnej dosiahnuteľnosti. V niektorých prípadoch môže byť stanovená „prísnejšia požiadavka“, ktorá spočíva v tom, že každá trajektória dosiahne stanovený cieľ v presne k cykloch (k∈T):

4. Vlastnosť dosiahnuteľnosti v rámci fázových obmedzení:

Táto vlastnosť zaručuje, že všetky trajektórie emitované z množiny X0, kým nezasiahnu cieľovú množinu X*, sú v množine X1.

5. Vlastnosť príťažlivosti. Nech X* je atraktor. Potom sa logický vzorec vlastnosti príťažlivosti zhoduje so vzorcom hlavnej vlastnosti dosiahnuteľnosti:

tie. pre každú dráhu uvoľnenú z množiny X0 existuje čas t∈T, od ktorého dráha neprekročí množinu X*. Množina X0 v tomto prípade patrí do časti plochy príťažlivosti množiny X*(X0∈Xa, kde Xа je celá plocha príťažlivosti (pool) atraktora.

Všimnite si, že všetky premenné vo vyššie uvedených vzorcoch vlastností sú v skutočnosti spojené, pretože trajektória x0, x1,…, xk je úplne určená počiatočným stavom. Keďže kvantifikátory vzhľadom na premennú t sú nahradené operáciami viacmiestnej disjunkcie alebo konjunkcie zodpovedajúcich predikátov, v každom zo vzorcov zostáva jediný ohraničený univerzálny kvantifikátor (), ktorý nám umožňuje zapísať podmienky uskutočniteľnosti týchto vlastnosti v jazyku booleovských rovníc (vo forme úlohy SAT).

Uvádzame dve vlastnosti, ktorých overenie vedie k nutnosti riešenia problému TQBF.

6. Vlastnosť pripojenia cieľovej množiny:

tie. existuje počiatočný stav x0∈X0 taký, že každý cieľový stav x*⊆X* je dosiahnuteľný v určitom čase t∈T, čo znamená, že existuje trajektória zodpovedajúca tomuto stavu, takže všetky cieľové stavy x*∈X* patria na túto trajektóriu.

7. Vlastnosť celkovej dosiahnuteľnosti množiny X* z X0:

tie. každý cieľový stav je dosiahnuteľný od X0.

Kontrola realizovateľnosti dynamických vlastností

Pri vlastnostiach (1-5) sa kontrola ich realizovateľnosti redukuje na hľadanie núl booleovskej rovnice, ktorej technológia tvorby má štandardizovaný charakter a podrobne sa uvažuje len pre hlavnú vlastnosť realizovateľnosti. Vlastnosti (6, 7) vedú k problému overenia pravdivosti kvantifikovaného booleovského vzorca.

1. Hlavná vlastnosť dosiahnuteľnosti. Jeho logický vzorec je

Berúc do úvahy (4), píšeme vzorec (8) ako

kde je charakteristická funkcia množiny stavov trajektórie uvoľnenej z počiatočného stavu x0∈X0. Zbavme sa existenčného kvantifikátora v (9). Potom budeme mať

kde je charakteristická funkcia množiny X*. Obmedzené univerzálne kvantifikátory nahrádzame bežnými kvantifikátormi. V dôsledku toho dostaneme

Vzorec (10) je pravdivý vtedy a len vtedy, ak je výraz subkvantifikátora identicky pravdivý, t.j.

Identická pravdivosť implikácie znamená, že booleovská funkcia je logickým dôsledkom funkcie , t.j. akákoľvek trajektória s počiatočným stavom x0∈X0 dosiahne cieľovú množinu X*.

Uspokojenie identity (11) je ekvivalentné absencii núl v booleovskej rovnici

Pri odvodzovaní (12) sme sa zbavili implikácie a nahradili sme ϕ*(x0, x1,..., xk) za . Ak rovnica (12) má aspoň jedno riešenie, potom vlastnosť dosiahnuteľnosti neplatí. Takéto riešenie predstavuje (v určitom zmysle) protipríklad pre kontrolovanú vlastnosť a môže pomôcť výskumníkovi identifikovať príčinu chyby.

Ďalej, kvôli stručnosti, pre každú vlastnosť (2-4) napíšeme iba rovnicu typu (12), čo čitateľovi navrhuje, aby nezávisle reprodukoval potrebné argumenty blízke tým, ktoré sú uvedené pre hlavnú vlastnosť dosiahnuteľnosti.

2. Bezpečnostná vlastnosť

3. Vlastnosť simultánnej dosiahnuteľnosti

4. Vlastnosť dosiahnuteľnosti pri fázových obmedzeniach

5. Vlastnosť príťažlivosti. Uskutočniteľnosť tejto vlastnosti sa kontroluje v dvoch fázach. V prvej fáze sa zistí, či množina X* je atraktor. Ak je odpoveď áno, potom sa v druhej fáze skontroluje hlavná vlastnosť dosiahnuteľnosti. Ak je X* dosiahnuteľné z X0, potom sú splnené všetky podmienky vlastnosti príťažlivosti.

6. Vlastnosť pripojenia

7. Vlastnosť úplnej dosiahnuteľnosti“.

Pre vlastnosti (6, 7) má skalárny tvar rovnosti dvoch booleovských vektorov xt = x* tvar

Ukážme vyššie uvedenú technológiu pre kvalitatívnu analýzu autonómneho DDS pomocou metódy booleovských obmedzení pri kontrole realizovateľnosti niektorých vlastností uvedených vyššie pre model 3.2 z práce:

Označme x0∈X = B3 počiatočný stav modelu (13). Nech T = (1, 2). Vypíšme funkcie jednokrokových a dvojkrokových prechodov modelu (13) potrebné na špecifikáciu vlastností:

(14)

kde je znak "." označuje fungovanie konjunkcie.

Na kontrolu splniteľnosti každej vlastnosti sú špecifikované počiatočné (X0) a cieľové (X*) množiny, ktoré sú určené nulami rovníc G0(x) = 0, G*(x) = 0 alebo charakteristikou funkcie týchto sád (pozri časť 2). Ako riešiteľ SAT sa používa riešiteľ inštrumentálneho komplexu REBUS (IC) a riešiteľ TQBF je DepQBF . Kódovanie premenných v booleovských modeloch vlastností uvedených nižšie pre tieto riešiče je uvedené v tabuľke. 1, Booleovské modely týchto vlastností vo formátoch DIMACS a QDIMACS sa nachádzajú v tabuľke. 2.

stôl 1

Variabilné kódovanie

Premenné číslo v booleovskom modeli

Nehnuteľnosť 1

Nehnuteľnosť 2

Nehnuteľnosť 3

Nehnuteľnosť 4

Nehnuteľnosť 5

tabuľka 2

Booleovské modely vlastností

Nehnuteľnosť 1	Nehnuteľnosť 2	Nehnuteľnosť 3	Vlastnosť 4 (A)	Vlastnosť 4 (B)	Nehnuteľnosť 5
					e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 -5 -6 7 -8 -9 -10 11 12 0 4 5 6 -7 8 9 10 -11 -12 0

1. Hlavná vlastnosť dosiahnuteľnosti (k = 2). Nech X0 = (x∈X: x1 = 0), X*=(x∈X: x1 = 1). Počiatočná a cieľová množina sú definované rovnicami G0(x) = x1 = 0 a . Booleovská rovnica (12) má v tomto prípade tvar

kde funkcia ϕ(x0, x1, x2) je definovaná v (14). Riešič IR REBUS dáva odpoveď „nesadnutý“ (rovnica nemá nuly), takže vlastnosť dosiahnuteľnosti X* z X0 je splnená, čo je jasne vidieť z nasledujúceho prechodového diagramu znázorneného na obrázku.

2. Cykly dĺžky k = 2. Cyklická postupnosť dĺžky 2 (ak existuje) je riešením booleovskej rovnice

Funkcia vyzerá takto

Pri nájdení cyklu nebol do rovnice zahrnutý výraz R(x0, x1), pretože v modeli (13) nie sú žiadne cykly dĺžky k = 1 (rovnovážne stavy). Pomocou riešiča IR REBUS boli získané dve odpovede (vo výstupnom formáte DIMACS): 1 2 3 4 5 -6 0 a 1 2 -3 4 5 6 0, zodpovedajúce cyklickým sekvenciám (obrázok): ((1 1 1) , (1 1 0)) a ( (1 1 0), (1 1 1)). Množiny stavov oboch cyklov sa zhodujú, čo znamená, že model (13) má jeden cyklus s dĺžkou k = 2.

Schéma prechodu systému (13)

3. Vlastnosť izolácie cyklu. Ak sú prvky s množiny stavov C cyklu dĺžky k = 2 určené riešením booleovskej rovnice Gc(s) = 0, potom je podmienka izolácie cyklu ekvivalentná absencii núl v nasledujúcom booleovskom rovnica:

Keďže C = ((1 1 1), (1 1 0)), máme

Pre túto rovnicu riešiteľ IR REBUS nájde dve riešenia: -1 2 3 4 5 -6 0 a -1 2 -3 4 5 -6 0 (v binárnom znázornení podľa kódovania premenných v tabuľke 1 ide o dvojice stavov (0 1 1), (1 1 0) a ((0 1 0), (1 1 0)) Stav cyklu (1 1 0) má teda dvoch predchodcov (0 1 1) a (0 1 0), ktoré nepatria do cyklu stavového súboru To znamená, že izolačná vlastnosť cyklu nie je splnená, t.j. tento cyklus je atraktor.

4. Vlastnosť príťažlivosti. Nech X* = C je atraktor. Logický vzorec vlastnosti príťažlivosti je rovnaký ako vzorec hlavnej vlastnosti dosiahnuteľnosti

a zodpovedajúca booleovská rovnica pre náš prípad má tvar

Vypíšme funkcie G0(x0), ϕ(x0, x1, x2) a . Funkcia ϕ(x0, x1, x2) je uvedená v (14). Pre X* = C je výraz . Zvážte dve možnosti nastavenia množiny počiatočných stavov X0 pre prípady splnenia (A) a nesplnenia (B) vlastnosti príťažlivosti pre k = 2 cykly.

A. Nechajte . Potom

V tomto prípade je pre boolovskú rovnicu (15) odpoveď „nevysýtená“. Vlastnosť príťažlivosti pre danú množinu X0 je splnená.

B. Nechajte . Potom

V tomto prípade IR REBUS pre rovnicu (15) nájde riešenie: 1 -2 3 4 -5 -6 -7 8 9 0, čo zodpovedá trajektórii ((1 0 1),(1 0 0),(0 11)). Táto trajektória s počiatočným stavom x0 = (1 0 1) nedosiahne množinu X* = C v dvoch cykloch, čo znamená, že vlastnosť príťažlivosti nemôže byť pre danú X0 splnená.

5. Vlastnosť pripojenia. Logický vzorec vlastnosti konektivity má tvar nasledujúceho výroku:

Pre k = 2 ϕ*(x0, x1, x2) = G0(x0)∨ϕ(x0, x1, x2), kde funkcia ϕ(x0, x1, x2) je daná v (14). Zvoľme stav (1 0 1) ako počiatočný. Potom . Nech je cieľ nastavený X* = ((0 1 1), (1 0 0)). V tomto prípade má funkcia G*(x*) tvar

Napíšme G*(x*) vo formáte CNF:

Pomocou De-Morganovho zákona nájdeme negáciu funkcie ϕ*(x0, x1, x2). Dosadením všetkých získaných funkcií do (16) a zohľadnením kódovania booleovských premenných (tabuľka 1) získame booleovský model vo formáte QDIMACS (tabuľka 2). Riešiteľ DepQBF dáva odpoveď „sat“, čo znamená pravdivosť tvrdenia (16). Vlastnosť spojitosti pre dané X0, X*, T = (1, 2) je splnená.

Záver

Medzi hlavné výhody metódy booleovských obmedzení v kvalitatívnej štúdii DDS patria:

1. Logický jazyk špecifikácie dynamickej vlastnosti, známy špecialistovi na dynamiku automatov, vďaka použitiu obmedzených kvantifikátorov existencie a univerzálnosti.

2. Na základe vzorca vlastnosti a dynamických rovníc sa automaticky vykoná konštrukcia zodpovedajúcej booleovskej rovnice alebo kvantifikovaného boolovského vzorca.

3. Proces prevodu výsledných booleovských výrazov do konjunktívnej normálnej formy je celkom jednoduché zautomatizovať ďalším generovaním súboru vo formátoch DIMAX a QDIMAX, ktoré sú vstupom pre riešiče SAT a riešiče QBF.

4. Problém redukcie enumerácie je do určitej miery vyriešený vývojármi týchto riešiteľov a je chránený pred odborníkmi na kvalitatívnu analýzu DDS.

5. Poskytuje sa možnosť riešenia problému kvalitatívnej analýzy DDS pre veľké rozmery stavového vektora n na dostatočne dlhom časovom intervale T. Z hľadiska počtu stavov je metóda booleovských obmedzení kvantitatívne úmerná modelovej kontrole. metóda. Vzhľadom na to, že v posledných rokoch došlo k výraznému zvýšeniu výkonnosti špecializovaných algoritmov na riešenie problémov SAT a TQBF, celkový počet premenných v booleovskom modeli vlastností pre moderné riešiče možno merať v tisícoch.

Softvér pre kvalitatívnu analýzu DDS založený na metóde booleovských obmedzení je implementovaný v rámci servisne orientovaného prístupu pomocou špecializovaných riešiteľov booleovských rovníc. V príspevku je uvedený príklad implementácie metódy booleovských obmedzení založenej na prístupe orientovanom na služby pri hľadaní cyklov a rovnovážnych stavov v génových regulačných sieťach.

Je potrebné poznamenať, že metóda booleovských obmedzení je pomerne všeobecná metóda pre kvalitatívnu analýzu DDS v konečnom časovom intervale. Je použiteľný nielen pre autonómne systémy, ale aj pre systémy s riadiacimi vstupmi, pre systémy s hĺbkou pamäte väčšou ako jedna, pre všeobecné DDS, kedy je prechodová funkcia neriešiteľná vzhľadom na stav xt a má tvar F(xt). , xt-1) = 0. Pre DDS so vstupmi je obzvlášť dôležitá vlastnosť ovládateľnosti a jej rôzne variácie. Okrem problémov analýzy DDS je metóda Boolean constraint aplikovateľná aj na problémy syntézy spätnej väzby (statickej alebo dynamickej, stavovej alebo vstupnej), ktorá zabezpečuje splnenie požadovanej dynamickej vlastnosti v syntetizovanom systéme.

Štúdia bola podporená Ruskou nadáciou pre základný výskum, projekt č. 18-07-00596/18.

Bibliografický odkaz

Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pashinin A.A. BOOLEANSKÉ OBMEDZENIA V KVALITATÍVNEJ ANALÝZE BINÁRNYCH DYNAMICKÝCH SYSTÉMOV // International Journal of Applied and Fundamental Research. - 2018. - č. 9. - S. 19-29;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=12381 (dátum prístupu: 03/18/2020). Dávame do pozornosti časopisy vydávané vydavateľstvom "Academy of Natural History"