Typ lekcie: učenie sa nového materiálu.

Vyučovacie metódy: vizuálne, čiastočne prieskumné.

Účel lekcie:

1. Zaviesť pojem dotyčnica ku grafu funkcie v bode, zistiť aký geometrický význam derivovať, odvodiť tangentovú rovnicu a naučiť ju nájsť pre konkrétne funkcie.
2. Rozvoj logického myslenia, bádateľských schopností, funkčného myslenia, matematickej reči.
3. Rozvíjať komunikačné zručnosti v práci, podporovať rozvoj samostatná činnosťštudentov.

Vybavenie: počítač, multimediálny projektor, letáky.

Stiahnuť ▼:

Náhľad:

Lekcia na tému "Dotyčnica. Dotyková rovnica"

Typ lekcie: učenie sa nového materiálu.

Vyučovacie metódy:vizuálne, čiastočne prieskumné.

Účel lekcie:

1. Zaviesť pojem dotyčnica do grafu funkcie v bode, zistiť, aký je geometrický význam derivácie, odvodiť rovnicu dotyčnice a naučiť ju nájsť pre konkrétne funkcie.
2. Rozvoj logického myslenia, bádateľských schopností, funkčného myslenia, matematickej reči.
3. Rozvoj komunikačných zručností v práci, podporovať rozvoj samostatnej činnosti žiakov.

Vybavenie: počítač, multimediálny projektor, letáky.

Plán lekcie

I organizačný moment.
Kontrola pripravenosti žiakov na vyučovaciu hodinu. Posolstvo témy a motto vyučovacej hodiny.

II Aktualizácia materiálu.
(Aktivujte pozornosť, ukážte nedostatok vedomostí o dotyčnici, formulujte ciele a ciele lekcie.)

Poďme diskutovať o tom, čo je dotyčnica k funkčnému grafu? Súhlasíte s tvrdením, že „dotyčnica je priamka, ktorá má jeden spoločný bod s danou krivkou“?
Prebieha diskusia. Výpovede detí (áno a prečo, nie a prečo). Počas diskusie prichádzame na to, že toto tvrdenie nie je pravdivé.

Príklady.
1) Priamka x = 1 má jeden spoločný bod M(1; 1) s parabolou y = x2, ale nie je dotyčnicou paraboly. Priamka y = 2x – 1 prechádzajúca tým istým bodom je dotyčnicou danej paraboly.
2) Podobne priamka x = π nie je dotyčnicou grafu y = cos x , hoci má s ním jediný spoločný bod K(π; 1). Na druhej strane priamka y = - 1 prechádzajúca tým istým bodom je dotyčnicou grafu, hoci má nekonečne veľa spoločné body typ;(π+2 πk; 1), kde k je celé číslo, v každom z nich sa dotýka grafu.

Obrázok 1

Obrázok 2

Stanovenie cieľov a úloh pre deti na lekcii:zistiť, aká je dotyčnica ku grafu funkcie v bode, ako napísať rovnicu pre dotyčnicu?
Čo k tomu potrebujeme?
Odvolanie všeobecná forma rovnice priamky, podmienky pre rovnobežky, definícia derivácie, pravidlá diferenciácie.

III Prípravné práce na štúdium nového materiálu.
Materiál na otázky na kartách: (úlohy sa plnia na tabuli)
1 žiak: doplní tabuľku derivácií elementárne funkcie

2 žiak: zapamätaj si pravidlá rozlišovania

3 žiak: napíš rovnicu priamky y = kx + 4 prechádzajúci bodom A(3; -2).
(y=-2x+4)

4 žiak: zostavte rovnicu priamok y=3x+b prechádzajúci bodom С(4; 2).
(y = 3x - 2).

So zvyškom frontálna práca.

1. Formulujte definíciu derivátu.
2. Ktoré z nasledujúcich riadkov sú rovnobežné? y = 0,5x; y \u003d - 0,5x; y \u003d - 0,5x + 2. Prečo?

Hádaj meno vedca:

Kľúč k odpovediam

Kto bol tento vedec, s čím je spojená jeho práca, sa dozvieme v ďalšej lekcii.
Skontrolujte odpovede študentov na kartičkách.
IV Štúdium nového materiálu.
Na nastavenie rovnice priamky na rovine nám stačí poznať jej uhlovú
koeficient a súradnice jedného bodu.

• Začnime svahom

Obrázok 3

Zvážte graf funkcie y = f(x) rozlíšiteľné v bode A(x 0, f(x 0)) .
Vyberte si na ňom bod M (x 0 + Δх, f(x 0 + Δх)) a nakreslite sečnicu AM .
Otázka: aký je sklon sečnice? (∆f/∆x=tgβ)

Približujeme bod pozdĺž oblúka M do bodu A . V tomto prípade rovno AM sa bude otáčať okolo bodu A , blížiace sa (pre hladké čiary) do nejakej obmedzujúcej polohy - priamky AT . Inými slovami, AT , ktorý má túto vlastnosť, je tzv dotyčnica do grafu funkcie y \u003d f (x) v bode A (x 0, f (x 0)).

Sklon sečnice AM o AM → 0 smeruje k sklonu dotyčnice AT Δf/Δx → f "(x 0) . Hodnota derivátu v bode x 0 vziať za sklon dotyčnice. To hovoriadotyčnica je hraničná poloha sečnice pri ∆х → 0.

Existencia derivácie funkcie v bode x 0 je ekvivalentné existencii (nezvislej) dotyčnice v bode (x 0, f(x 0 )) graf, pričom sklon dotyčnice je rovný f "(x 0) . Toto je geometrický význam derivátu.

Definícia dotyčnice: Tangenta ku grafu diferencovateľnému v bode x 0 funkcia f je priamka prechádzajúca bodom(x 0, f(x 0)) a majú sklon f "(x 0) .
Nakreslíme funkcie dotyčnice ku grafu y \u003d f (x) v bodoch x 1, x 2, x 3 a všimnite si uhly, ktoré zvierajú s osou x. (Toto je uhol meraný v kladnom smere od kladného smeru osi k priamke.)

Obrázok 4

Vidíme, že uhol α 1 je ostrý, uhol a3 je tupý a uhol a2 nula, pretože priamka l je rovnobežná s osou Ox. Tangenta ostrý uhol pozitívny, hlúpy - negatívny. Preto f "(x 1)> 0, f" (x 2) \u003d 0, f "(x 3)

• Teraz odvodíme tangentovú rovnicudo grafu funkcie f v bode A(x 0 , f(x 0 ) ).

Celkový pohľad na rovnicu priamky y = kx + b.

1. Poďme nájsť uhlový koeficient k \u003d f "(x 0), dostaneme y \u003d f "(x0) ∙ x + b, f (x) \u003d f "(x 0)∙x + b
2. Poďme nájsť b. b \u003d f (x 0) - f "(x 0) ∙ x 0.
3. Nahraďte získané hodnoty k a b do rovnice priamky: y \u003d f "(x 0) ∙x + f (x 0) - f "(x 0) ∙x 0 alebo y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)

• Zovšeobecnenie prednáškového materiálu.

- sformulovať algoritmus na nájdenie tangentovej rovnice v bode?

1. Hodnota funkcie v bode dotyku
2. Spoločná derivácia funkcie
3. Hodnota derivátu v bode kontaktu
4. Nahraďte nájdené hodnoty do všeobecná rovnica dotyčnica.

V Konsolidácia študovaného materiálu.

1. Ústna práca:
1) B aké body grafu sa k nemu dotýkajú
a) horizontálne;
b) zviera ostrý uhol s osou x;
c) zviera s osou x tupý uhol?
2) Pre aké hodnoty argumentu je derivácia funkcie daná grafom
a) rovná 0;
b) viac ako 0;
c) menej ako 0?

Obrázok 5

Obrázok 6

3) Na obrázku je znázornený graf funkcie f(x) a dotyčnica k nej v bode s úsečkou x0 . Nájdite hodnotu derivácie funkcie f "(x) v bode x 0 .

Obrázok 7

2. Písomná práca.
č. 253 (a, b), č. 254 (a, b). (práce v teréne, s komentárom)

3. Riešenie referenčných problémov.
Zoberme si štyri typy úloh. Deti si prečítajú podmienku úlohy, ponúknu algoritmus riešenia, jeden zo žiakov ho nakreslí na tabuľu, ostatní si ho zapíšu do zošita.
1. Ak je daný dotykový bod
Napíšte rovnicu pre dotyčnicu ku grafu funkcie f(x) = x 3 - 3 x - 1 v bode M s osou -2.
Riešenie:

1. Vypočítajme hodnotu funkcie: f(-2) = (-2)3-3(-2)-1=-3;
2. nájdite deriváciu funkcie: f "(x) \u003d 3x 2 - 3;
3. vypočítajte hodnotu derivátu: f "(-2) \u003d - 9 .;
4. dosadíme tieto hodnoty do rovnice dotyčnice: y = 9(x + 2) - 3 = 9x + 15.

Odpoveď: y = 9x + 15.

2. Podľa súradnice bodu kontaktu.
Napíšte rovnicu pre dotyčnicu v bode grafu s y 0 = 1.
Riešenie:

Odpoveď: y \u003d -x + 2.

3. Prednastavený smer.
Do grafu napíšte tangentové rovnice y \u003d x 3 – 2x + 7 , rovnobežne s čiarou y = x .
Riešenie.
Požadovaná dotyčnica je rovnobežná s priamkou y=x . Majú teda rovnaký sklon k \u003d 1, y "(x) \u003d 3x2 - 2. Úsečka x 0 styčných bodov spĺňa rovnicu 3x 2 - 2 \u003d 1, odkiaľ x 0 = ±1.
Teraz môžeme napísať tangentové rovnice: y = x + 5 a y = x + 9.
Odpoveď: y = x + 5 , y = x + 9 .

4. Podmienky dotyku grafu a priamky.
Úloha. Pri čom b rovno y = 0,5x + b je dotyčnicou ku grafu funkcie f(x) = ?
Riešenie.
Pripomeňme si, že sklon dotyčnice je hodnota derivácie v bode dotyčnice. Sklon tejto priamky je k = 0,5. Odtiaľ dostaneme rovnicu na určenie úsečky x bodu dotyku: f "(x) \u003d = 0,5. Je zrejmé, že jej jediným koreňom je x = 1. Hodnota tejto funkcie v tomto bode je y(1) = 1. Súradnice dotykového bodu sú teda (1; 1). Teraz zostáva zvoliť takú hodnotu parametra b, pri ktorej čiara prechádza týmto bodom, to znamená, že súradnice bodu spĺňajú rovnicu priamky: 1 = 0,5 1 + b, odkiaľ b = 0,5.

5. Samostatná práca vzdelávací charakter.

Pracovať v pároch.


Kontrola: výsledky riešenia sa zapisujú do tabuľky na tabuľu (jedna odpoveď z každej dvojice), diskusia o odpovediach.

6. Nájdenie uhla priesečníka grafu funkcie a priamky.
Uhol priesečníka grafu funkcie y = f(x) a priama čiara l nazývaný uhol, pod ktorým dotyčnica ku grafu funkcie pretína priamku v tom istom bode.
č. 259 (a, b), č. 260 (a) - rozobrať pri doske.

7. Samostatná práca kontrolného charakteru.(rozdielová práca, učiteľ kontroluje na ďalšiu hodinu)
1 možnosť.

Možnosť 2.

1. V ktorých bodoch je dotyčnica ku grafu funkcie f(x) = 3x 2 - 12x + 7 rovnobežne s osou x?
2. Prirovnajte dotyčnicu ku grafu funkcie f(x)= x 2 - 4 v bode s úsečkou x 0 = - 2. Nakreslite vzor.
3. Zistite, či je čiara y \u003d 12x – 10 dotyčnica ku grafu funkcie y = 4x3.

3 možnosť.

VI Zhrnutie lekcie.
1. Odpovede na otázky
- čo sa nazýva dotyčnica ku grafu funkcie v bode?
Aký je geometrický význam derivácie?
- sformulovať algoritmus na nájdenie tangentovej rovnice v bode?
2. Spomeňte si na ciele a zámery lekcie, dosiahli sme tento cieľ?
3. Aké boli ťažkosti na hodine, ktoré momenty hodiny sa vám najviac páčili?
4. Známkovanie za hodinu.
VII Komentár k domácej úlohe: s. 19 (1, 2), č. 253 (c), č. 255 (d), č. 256 (d), č. 257 (d), č. 259 (d). Pripravte správu o Leibnizovi.

Literatúra

1. Algebra a začiatok analýzy: učebnica pre 10. ročník vzdelávacie inštitúcie. Kompilátory:. M. Nikolskij, M. K. Potapov, N. N. Rešetnikov, A. V. Ševkin. - M.: Vzdelávanie, 2008.

2. Didaktické materiály o algebre a princípoch analýzy pre 10. ročník / B.M. Ivlev, S.M. Saakyan, S.I. Schwarzburd. - M.: Vzdelávanie, 2008.
3. Multimediálny disk spoločnosti "1C". 1C: Tútor. Matematika (1. časť) + POUŽÍVAŤ možnosti. 2006.
4. otvorená bankaúlohy z matematiky/ http://mathege.ru/

Lekcie 70-71. Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie

09.07.2015 5132 0

Cieľ: získajte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie.

I. Komunikácia témy a cieľov vyučovacích hodín

II. Opakovanie a upevňovanie preberanej látky

1. Odpovede na otázky na domácu úlohu (rozbor nevyriešených problémov).

2. Kontrola asimilácie materiálu (test).

možnosť 1

1. Nájdite deriváciu funkcie y \u003d 3x4 - 2 cos x .

odpoveď:

v bode x = π.

odpoveď:

3. Vyriešte rovnicu y '(x) = 0, ak

odpoveď:

Možnosť 2

1. Nájdite deriváciu funkcie y \u003d 5xb + 3 hriech x .

odpoveď:

2. Vypočítajte hodnotu derivácie funkcie v bode x = π.

odpoveď:

3. Vyriešte rovnicu y '(x) = 0, ak

odpoveď:

III. Učenie sa nového materiálu

Nakoniec prejdime k záverečnej fáze štúdia derivácie a pouvažujme o aplikácii derivácie v zostávajúcich lekciách. V tejto lekcii budeme diskutovať o dotyčnici ku grafu funkcie.

O koncepte dotyčnice sa už uvažovalo skôr. Ukázalo sa, že graf funkcie diferencovateľnej v bode a f (x) blízko a sa prakticky nelíši od tangentového grafu, čo znamená, že je blízko sečnice prechádzajúcej cez body (a; f (a) a (a + Ax; f (a + Ax)). Ktorýkoľvek z týchto sečníc prechádza bodom M(a; f (a)). Ak chcete napísať rovnicu dotyčnice, musíte určiť jej sklon. Sklon sečny Δ f /Δx pri Δх → 0 smeruje k číslu f "(a), čo je sklon dotyčnice. Preto hovoria, že dotyčnica je hraničná poloha sečny na Δх→ 0.

Teraz dostaneme rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f (X). Keďže dotyčnica je priamka a jej sklon f "(a), potom môžeme napísať jeho rovnicu y \u003d f "(a) x + b . Poďme nájsť koeficient b z podmienky, že dotyčnica prechádza bodom M(a; f (a)). Dosaďte súradnice tohto bodu do rovnice dotyčnice a získajte: f (a) \u003d f "(a) a + b, odkiaľ b \u003d f (a) - f "(a) a. Teraz dosadíme nájdenú hodnotu b do rovnice dotyčnice a získajte: alebo Toto je tangentová rovnica. Poďme diskutovať o aplikácii tangentovej rovnice.

Príklad 1

V akom uhle je sínusoidapretína os x v počiatku?

Uhol, pod ktorým graf tejto funkcie pretína os x, rovný uhlu sklon a dotyčnice nakreslenej ku grafu funkcie f(x ) v tomto bode. Poďme nájsť derivát:Ak vezmeme do úvahy geometrický význam derivátu, máme: a a = 60°.

Príklad 2

Napíšme rovnicu dotyčnicového grafu funkcie f (x) = -x2 + 4x v bode a = 1.

f "(x) a samotná funkcia f (x) v bode a = 1 a získajte: f "(a) = f" (1) = -2 1 + 4 = 2 a f (a) = f (1) = -12 + 4 1 = 3. Dosaďte tieto hodnoty do rovnice dotyčnice. Máme: y \u003d 2 (x - 1) + 3 alebo y \u003d 2x + 1.

Pre názornosť je na obrázku znázornený graf funkcie f(x ) a dotyčnica k tejto funkcii. Dotyk sa vyskytuje v určitom bode M(1; 3).

Na základe príkladov 1 a 2 môžeme sformulovať algoritmus na získanie rovnice dotyčnice ku grafu funkcie y = f(x):

1) označte abscisu bodu kontaktu s písmenom a;

2) vypočítajte f(a);

3) nájdite f "(x) a vypočítajte f "(a);

4) nahradiť nájdené čísla a, f (a), f "(a) do vzorca y \u003d f '(a) (x - a) + f (a).

Všimnite si, že spočiatku bod a môže byť neznámy a treba ho nájsť z podmienok problému. Potom sa v algoritme v odsekoch 2 a 3 slovo „vypočítať“ musí nahradiť slovom „zapísať“ (čo ilustruje príklad 3).

V príklade 2 bola úsečka a bodu dotyčnice špecifikovaná priamo. V mnohých prípadoch je bod dotyku určený rôznymi dodatočnými podmienkami.

Príklad 3

Napíšme rovnice dotyčníc nakreslené z bodu A (0; 4) do grafu funkcie f(x) \u003d - x 2 + 2x.

Je ľahké skontrolovať, či bod A neleží na parabole. Zároveň nie sú známe body dotyku paraboly a dotyčníc, preto sa na nájdenie týchto bodov použije ďalšia podmienka - prechod dotyčníc cez bod A.

Predpokladajme, že ku kontaktu dôjde v bode a. Poďme nájsť deriváciu funkcie:Vypočítajte hodnoty derivácie f"(x ) a samotná funkcia f (x) v bode kontaktu a a dostaneme: f '(a) \u003d -2a + 2 a f (a ) = -a2 + 2a. Dosaďte tieto hodnoty do tangentovej rovnice. Máme: alebo Toto je tangentová rovnica.

Zapíšeme si podmienku prechodu dotyčnice bodom A, pričom dosadíme súradnice tohto bodu. Dostávame: 4alebo 4 = a2, odkiaľ a = ±2. K dotyku teda dochádza v dvoch bodoch B(-2; -8) a C(2; 0). Preto budú existovať dve takéto dotyčnice. Poďme nájsť ich rovnice. Dosadíme do rovnice dotyčnice hodnoty a = ±2. Dostávame: o a = 2 alebo yx \u003d -2x + 4; pri a = -2 alebo y2 = 6x + 4. Takže rovnice dotyčníc sú y1 = -2x + 4 a y2 = 6x + 4.

Príklad 4

Nájdite uhol medzi dotyčnicami pomocou podmienok predchádzajúcej úlohy.

Dotyčnice nakreslené y1 = -2x + 4 a y2 = 6x + 4 zvierajú uhly a1 a a2 s kladným smerom osi x (a tg a 1 = -2 a tg a 2 = 6) a medzi sebou uhol φ = 1 - a2. Pomocou známeho vzorca zistíme,odkiaľ φ = arktan 8/11.

Príklad 5

Napíšeme rovnicu dotyčnice ku grafu funkcierovnobežná čiara y \u003d -x + 2.

Dve čiary sú navzájom rovnobežné, ak majú rovnaký sklon. Sklon priamky y \u003d -x + 2 je -1, sklon požadovanej dotyčnice je f '(a), kde a - úsečka styčného bodu. Preto na určenie a máme ďalšiu podmienku f '(a) \u003d -1.

Pomocou vzorca pre deriváciu súkromných funkcií nájdeme deriváciu:Nájdite hodnotu derivácie v bode a a získaj:

Dostaneme rovnicualebo (a - 2)2 = 4, alebo a - 2 = ±2, odkiaľ a = 4 a a = 0. Existujú teda dve dotyčnice, ktoré spĺňajú podmienku úlohy. Dosadíme hodnoty a = 4 a a = 0 do rovnice dotyčnice y = f '(a)(x - a) + f (a). Pre a = 4 máme:a dotyčnica y1 \u003d - (x - 4) + 3 alebo y1 \u003d -x + 7. S \u003d 0 dostaneme:a dotyčnica y2 \u003d - (x - 0) - 1 alebo y2 \u003d -x - 1. Takže rovnice dotyčníc y1 \u003d -x + 7 a y2 \u003d -x - 1.

Všimnite si, že ak f "(a ) neexistuje, potom dotyčnica alebo neexistuje (ako vo funkcii f (x) = |x| v bode (0; 0) - obr. a alebo vertikálne (ako funkciav bode (0; 0) - obr. b.

Čiže existencia derivácie funkcie f x) v bode a je ekvivalentné existencii nevertikálnej dotyčnice v bode (a; f a)) grafika. V tomto prípade je sklon dotyčnice rovný f "(a). Toto je geometrický význam derivátu."

Koncept derivátu umožňuje vykonávať približné výpočty. Opakovane bolo uvedené, že pri Δх→ 0 funkčných hodnôt f(x ) a jeho dotyčnica y(x) sa prakticky zhodujú. Preto pri Δx→ 0 funkčné správanie f (x) v okolí bodu x0 možno približne opísať vzorcom(v skutočnosti rovnica dotyčnice). Tento vzorec sa úspešne používa na približné výpočty.

Príklad 6

Vypočítajte hodnotu funkcie v bode x = 2,03.

Nájdite deriváciu tejto funkcie: f "(x) \u003d 12x2 - 4x + 3. Budeme predpokladať, že x \u003d a + Δx, kde a \u003d 2 a Δx \u003d 0,03. Vypočítame hodnoty funkcie a jej deriváciu v bode a a získaj: a Teraz definujme hodnotu funkcie v daný bod x = 2,03. Máme:

Samozrejme, vyššie uvedený vzorec je vhodné použiť, ak hodnoty f (a) a f“ (a ) je ľahké vypočítať.

Príklad 7

Vypočítať

Zvážte funkciuPoďme nájsť derivát:Budeme predpokladať, že x = a + Δx, kde a = 8 a Δx = 0,03. Vypočítajme hodnoty funkcie a jej derivácie v bode a a dostaneme:Teraz určme hodnotu funkcie v danom bode x = 8,03. Máme:

Príklad 8

Získaný výsledok zovšeobecníme. Zvážte funkciu napájania f (x) = x n a budeme predpokladať, že x = a + Δx a Δx→ 0. Nájdite f "(x) = n x n -1 a vypočítame hodnoty funkcie a jej derivácie v bode a, dostaneme: f (a) \u003d an a f '(a) \u003d nan -1 . Teraz máme vzorec f (x) = a n + nan-1 Δx. Využime to na výpočet čísla 0,98-20. Budeme to predpokladať a = 1, Aх = -0,02 a n = -20. Potom dostaneme:

Samozrejme, vyššie uvedený vzorec možno použiť pre akékoľvek iné funkcie, najmä trigonometrické.

Príklad 9

Vypočítajme tg 48°.

Zvážte funkciu f(x) = tg x a nájdite derivát:Budeme predpokladať, že x = a + Δ x, kde a = 45° = π/4 a (Ešte raz si všimnite, že v trigonometrii sa uhly zvyčajne merajú v radiánoch). Nájdite hodnoty funkcie a jej derivácie v bode a a získame:Teraz poďme počítať(berúc do úvahy, že π = 3,14).

IV. testovacie otázky

1. Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie.

2. Algoritmus na odvodenie tangentovej rovnice.

3. Geometrický význam derivácie.

4. Aplikácia tangentovej rovnice na približné výpočty.

V. Úloha na hodinách

§ 29 ods.1 písm. 2(b); 5 (a, b); 6 (c, d); 9(a); 10 (b); 12 (d); 14(a); 17; 21(a); 22 (a, c); 24 (a, b); 25(a); 26.

VI. Domáca úloha

§ 29 ods. 1 písm. 2 (c); 5 (c, d); 6 (a, b); 9(b); 10(a); 12(b); 14 (b); osemnásť; 21(c); 22 (b, d); 24 (c, d); 25 (b); 27.

VII. Kreatívne úlohy

1. V ktorých bodoch sú x dotyčnice funkčných grafov paralelne?

Odpoveď: x \u003d -1, x \u003d 3.

2. Aké x sú dotyčnice ku grafom funkcií y \u003d 3 cos 5 x - 7 a y = 5 cos 3 x + 4 sú rovnobežné?

odpoveď:

3. Pod akými uhlami sa pretínajú krivky y = x2 a

Odpoveď: π/2 a arctg 3/5.

4. Pod akými uhlami pretínajú krivky y = cos x a y = sin x?

odpoveď:

5. K parabole y \u003d 4 - x2 v bode s os x \u003d 1 sa nakreslí dotyčnica. Nájdite priesečník tejto dotyčnice s osou y.

Odpoveď: (0; 5).

6. K parabole y \u003d 4x - x2 sa nakreslí dotyčnica v bode s úsečkou x \u003d 3. Nájdite priesečník tejto dotyčnice s osou x.

Odpoveď: (9/2; 0).

7. Nájdite uhol medzi dvoma dotyčnicami nakreslenými z bodu (0; -2) k parabole y \u003d x2.

odpoveď:

8. Do grafu funkcie y \u003d 3x2 + 3x + 2 sú dotyčnice nakreslené so sklonmi k1 = 0 a k2 = 15. Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi dotyku.

Odpoveď: y \u003d 12x - 4.

9. Nájdite rovnice priamok, ktoré sa súčasne dotýkajú parabol y = x2 + x - 2 a y = -x2 + 7x - 11.

Odpoveď: y \u003d 7x - 11 a y \u003d x - 2.

10. Napíšte rovnicu spoločnej dotyčnice k parabolám y \u003d -3x2 + 4x + 4 a y \u003d -3x2 + 16x - 20.

Odpoveď: y = -2x + 7.

11. Dotyčnica ku grafu funkcie y \u003d x2 - 4x - 3 je nakreslená v bode x \u003d 0. Nájdite plochu trojuholníka tvoreného dotyčnicou a súradnicovými osami.

Odpoveď: 8.9.

12. Nájdite obsah trojuholníka ohraničeného súradnicovými osami a dotyčnicou ku grafu funkciev bode x = 2.

odpoveď: 1.

VIII. Zhrnutie lekcií

Sekcie: Matematika

Ciele.

• Zovšeobecniť a systematizovať pravidlá diferenciácie;
• Zopakujte algoritmus na zostavenie dotyčnice ku grafu funkcie, schému na štúdium funkcie;
• Riešenie problémov pre použitie najväčších a najmenšia hodnota funkcie.

Vybavenie. Plagát „Derivácia. Pravidlá pre výpočet derivátov. Aplikácie derivátu“.

Počas vyučovania

Podľa kartičiek si žiaci zopakujú teoretickú látku.

1. Definujte deriváciu funkcie v bode. Čo sa nazýva diferenciácia? Ktorá funkcia sa nazýva diferencovateľná v bode?

(Derivácia funkcie f v bode x je číslo, ku ktorému pomer smeruje

Funkcia, ktorá má deriváciu v bode x 0, sa v tomto bode nazýva diferencovateľná. Nájdenie derivácie f sa nazýva diferenciácia.)

2. Formulujte pravidlá hľadania derivácie.

(1. Derivácia súčtu (u + v)"=u"+v";
2. O konštantnom faktore (Cu)"=Cu";
3. Derivát produktu (uv)"=u"v+uv";
4. Derivácia zlomku (u / v) "= (u" v-uv ") / v 2;
5. Derivát výkonová funkcia(xn)"=nxn+1.)

3. Aké sú deriváty nasledujúcich funkcií:

4. Ako nájsť deriváciu komplexnej funkcie?

(Musíme to dôsledne reprezentovať vo forme elementárnych funkcií a deriváciu vziať podľa známych pravidiel).

5. Aké sú deriváty nasledujúcich funkcií:

6. Aký je geometrický význam derivácie?

(Existencia derivácie v bode je ekvivalentná existencii nevertikálnej dotyčnice v bode (x 0, f (x 0)) grafu funkcie a sklon tejto dotyčnice je f "( x 0)).

7. Aká je rovnica dotyčnice ku grafu funkcie v bode (x 0, f (x 0))?

(Rovnica dotyčnice má tvar y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x-x 0))

8. Sformulujte algoritmus na zostavenie grafu funkcie pomocou derivácie.

(1. Nájdite OOF.
2. Preskúmajte paritu.
3. Preskúmajte periodicitu.
4. Nájdite priesečníky grafu so súradnicovými osami.
5. Nájdite deriváciu funkcie a jej kritické body.
6. Nájdite intervaly monotónnosti a extrémy funkcie.
7. Zostavte tabuľku na základe výsledkov štúdie.
8. Vytvorte graf funkcie.)

9. Formulujte vety, pomocou ktorých je módne vykresľovať graf funkcie.

(1. Znak zvýšenia (zníženia).
2. Nevyhnutný znak extrému.
3. Znamienko maxima (minimum).)

10. Aké vzorce existujú na približné výpočty funkcií?

Samostatná práca.

Úroveň A (tri možnosti), úroveň B (jedna možnosť).

Úroveň A

Možnosť 1.

1. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie

f (x) \u003d (x -1) 2 (x -3) 3 rovnobežné čiary y \u003d 5-24x.

2. Napíšte číslo 18 ako súčet troch kladných členov tak, aby jeden člen bol dvojnásobkom druhého a súčin všetkých troch členov bol najväčší.

4. Nájdite intervaly nárastu a poklesu funkcie f(x)=(x-1) e x+1.

Možnosť 2.

1. V akom uhle k úsečke je dotyčnica ku grafu funkcie f (x) \u003d 0,x 2 + x-1,5 v bode s os x 0 \u003d - 2? Napíšte rovnicu pre túto dotyčnicu a dokončite kresbu tejto úlohy.

2. Rovnako ako v B. 1.

3. Nájdite deriváciu funkcie:

Úroveň B

1. Nájdite deriváciu funkcie:

a) f (x) \u003d e -5x;
b) f(x) = log3 (2x2-3x+1).

2. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v bode s os x 0, ak f (x) \u003d e -x, x 0 \u003d 1.

3. Nájdite intervaly nárastu a poklesu funkcie f(x)=x·e 2х.

Zhrnutie lekcie.

Práca sa skontroluje, udelí sa známka za teóriu a prax.

Domáca úloha podávané jednotlivo:

a) zopakujte si derivácie goniometrických funkcií;
b) intervalová metóda;
c) mechanický význam derivátu.

2. A: č. 138, č. 142, B: č. 137 (a, b), č. 140 (a).

3. Vezmite deriváciu funkcií:

a) f(x)=x4-3x2-7;
b) f(x)=4x3-6x;
c) f(x)=-2sin(2x-4);
d) f(x)=cos(2x-4).

4. Pomenujte schému výskumu funkcií.

Trieda: 10

Prezentácia na lekciu

Späť dopredu

Pozor! Ukážka snímky slúži len na informačné účely a nemusí predstavovať celý rozsah prezentácie. Ak máš záujem táto práca prosím stiahnite si plnú verziu.

Typ lekcie: učenie sa nového materiálu.

Vyučovacie metódy: vizuálne, čiastočne vyhľadávacie.

Účel lekcie.

1. Zaviesť pojem dotyčnica do grafu funkcie v bode, zistiť, aký je geometrický význam derivácie, odvodiť rovnicu dotyčnice a naučiť ju nájsť pre konkrétne funkcie.
2. Rozvíjať logické myslenie, matematická reč.
3. Kultivujte vôľu a vytrvalosť, aby ste dosiahli konečné výsledky.

Vybavenie: interaktívna tabuľa, počítač.

Plán lekcie

I. Organizačný moment

Kontrola pripravenosti žiakov na vyučovaciu hodinu. Správa o téme lekcie a cieľoch.

II. Aktualizácia znalostí.

(Pripomeňte si so študentmi geometrickú definíciu dotyčnice ku grafu funkcie. Uveďte príklady, ktoré ukazujú, že toto tvrdenie nie je úplné.)

Spomeňte si, čo je tangens?

"Dotyčnica je priamka, ktorá má jeden spoločný bod s danou krivkou." (Snímka č. 2)

Diskusia o správnosti tejto definície. (Žiaci po diskusii dospejú k záveru, že táto definícia je nesprávna.) Na ilustráciu ich záveru uvádzame nasledujúci príklad.

Zvážte príklad. (Snímka č. 3)

Nech je daná parabola a dve priamky , ktorý má s touto parabolou jeden spoločný bod M (1; 1). Diskutuje sa, prečo prvá priamka nie je dotyčnicou tejto paraboly (obr. 1), ale druhá je (obr. 2).

V tejto lekcii musíme zistiť, aká je dotyčnica ku grafu funkcie v bode, ako napísať rovnicu pre dotyčnicu?

Zvážte hlavné úlohy zostavenia tangentovej rovnice.

Za týmto účelom si pripomeňte všeobecný tvar rovnice priamky, podmienky pre rovnobežky, definíciu derivácie a pravidlá diferenciácie. (Snímka číslo 4)

III. Prípravné práce na štúdium nového materiálu.

1. Formulujte definíciu derivátu. (Snímka číslo 5)
2. Doplňte tabuľku ľubovoľných elementárnych funkcií. (Snímka číslo 6)
3. Pamätajte na pravidlá rozlišovania. (Snímka číslo 7)
4. Ktoré z nasledujúcich riadkov sú rovnobežné a prečo? (Uistite sa vizuálne) (Snímka číslo 8)

IV Štúdium nového materiálu.

Na nastavenie rovnice priamky na rovine nám stačí poznať sklon a súradnice jedného bodu.

Nech je daný graf funkcie. Vyberie sa na ňom bod, v tomto bode sa nakreslí dotyčnica ku grafu funkcie (predpokladáme, že existuje). Nájdite sklon dotyčnice.

Zväčšíme argument a uvažujme na grafe (obr. 3) bod P s osou . Sklon sečného MP, t.j. dotyčnica uhla medzi sečnicou a osou x sa vypočíta podľa vzorca .

Ak teraz máme tendenciu k nule, potom sa bod P začne po krivke približovať k bodu M. Dotyčnicu sme v tejto aproximácii charakterizovali ako hraničnú polohu sečny. Je teda prirodzené predpokladať, že sklon dotyčnice sa vypočíta podľa vzorca .

V dôsledku toho, .

Ak do grafu funkcie y = f (x) v bode x = a môžete nakresliť dotyčnicu, ktorá nie je rovnobežná s osou pri, potom vyjadruje sklon dotyčnice. (Snímka číslo 10)

Alebo inak. Derivát v bode x = a rovný sklonu dotyčnice ku grafu funkcie y = f(x) v tomto bode.

Toto je geometrický význam derivácie. (Snímka číslo 11)

Navyše, ak:

Poďme zistiť všeobecný tvar tangentovej rovnice.

Nech je priamka daná rovnicou . My to vieme . Na výpočet m využívame fakt, že priamka prechádza bodom . Dajme to do rovnice. Dostávame, t.j. . Nahraďte nájdené hodnoty k a m do rovnice priamky:

je rovnica dotyčnice ku grafu funkcie. (Snímka číslo 12)

Zvážte príklady:

Urobme rovnicu dotyčnice:

(Snímka číslo 14)

Pri riešení týchto príkladov sme použili veľmi jednoduchý algoritmus, ktorý je nasledovný: (Snímka č. 15)

Zvážte typické úlohy a ich riešenie.

№1 Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie v bode.

(Snímka číslo 16)

Riešenie. Použime algoritmus vzhľadom na to, že v tomto príklade .

2)

3) ;

4) Dosaďte nájdené čísla ,, do vzorca.

№2 Nakreslite dotyčnicu ku grafu funkcie tak, aby bola rovnobežná s priamkou. (Snímka číslo 17)

Riešenie. Upresnime formuláciu problému. Požiadavka „nakresliť dotyčnicu“ zvyčajne znamená „vytvoriť rovnicu pre dotyčnicu“. Použime algoritmus vykresľovania dotyčníc, vzhľadom na to, že v tomto príklade .

Požadovaná dotyčnica musí byť rovnobežná s priamkou. Dve čiary sú rovnobežné práve vtedy, ak sú ich sklony rovnaké. Takže sklon dotyčnice sa musí rovnať sklonu danej priamky: .č. V dôsledku toho: ; ., t.j.

V. Riešenie problémov.

1. Riešenie úloh na hotových výkresoch (snímka č. 18 a snímka č. 19)

2. Riešenie úloh z učebnice: č. 29.3 (a, c), č. 29.12 (b, d), č. 29.18, č. 29.23 (a) (Snímka č. 20)

VI. Zhrnutie.

1. Odpovedzte na otázky:

• Čo sa nazýva dotyčnica ku grafu funkcie v bode?
• Aký je geometrický význam derivácie?
• Formulovať algoritmus na nájdenie tangentovej rovnice?

2. Aké boli ťažkosti na hodine, ktoré momenty hodiny sa vám najviac páčili?

3. Označovanie.

VII. Komentáre na domáca úloha

Č. 29.3 (b, d), č. 29.12 (a, c), č. 29.19, č. 29.23 (b) (Snímka č. 22)

Literatúra. (Snímka 23)

1. Algebra a začiatok matematickej analýzy: Proc. Pre 10-11 buniek. pre študentov vzdelávacích inštitúcií (základná úroveň) / Edited by A.G. Mordkovič. – M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra a začiatok matematickej analýzy: Kniha úloh, Pre 10-11 buniek. pre študentov vzdelávacích inštitúcií (základná úroveň) / Edited by A.G. Mordkovič. – M.: Mnemosyne, 2009.
3. Algebra a začiatky analýzy. Nezávislé a testovacie papiere pre ročníky 10-11. / Ershova A.P., Goloborodko V.V. – M.: ILEKSA, 2010.
4. POUŽITIE 2010. Matematika. Úloha B8. Pracovný zošit/ Pod redakciou A.L. Semenova a I.V. Yashchenka - M.: Vydavateľstvo MCNMO, 2010.

Otvorená hodina algebry v 11. ročníku 19.10. 2011

Učiteľ: Gorbunova S.V.

Téma lekcie: Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie.

Ciele lekcie

1. 
   Objasnite pojem „tangens“.
2. 
   Odvoďte tangentovú rovnicu.
3. 
   Napíšte algoritmus na „zostavenie rovnice dotyčnice ku grafu funkcie

y = f(x)".

1. 
   Začnite precvičovať zručnosti a schopnosti pri zostavovaní dotyčnicovej rovnice v rôznych matematických situáciách.
2. 
   Formovať schopnosť analyzovať, zovšeobecňovať, zobrazovať, používať prvky štúdia, rozvíjať matematickú reč.

Vybavenie: počítač, prezentácia, projektor, interaktívna tabuľa, pamäťové karty, reflexné karty.

Štruktúra lekcie:

1. 
   ON. U.
2. 
   Správa k téme lekcie
3. 
   Opakovanie preberanej látky
4. 
   Formulácia problému.
5. 
   Vysvetlenie nového materiálu.
6. 
   Vytvorenie algoritmu na "zostavenie rovnice dotyčnice".
7. 
   Odkaz na históriu.
8. 
   Konsolidácia. Rozvoj zručností a schopností pri zostavovaní tangentovej rovnice.
9. 
   Domáca úloha.
10. 
    Samostatná práca s autotestom
11. 
    Zhrnutie lekcie.
12. 
    Reflexia

Počas vyučovania

1. O.N.U.

2. Uverejnenie témy lekcie

Témou dnešnej hodiny je "Rovnica dotyčnice ku grafu funkcie." Otvorte si zošity, zapíšte si dátum a tému hodiny. (snímka 1)

Nech sa slová, ktoré vidíte na obrazovke, stanú mottom dnešnej hodiny. (snímka 2)

• 
  Neexistujú žiadne zlé nápady
• 
  Myslite kreatívne
• 
  Riskuj
• 
  Nekritizujte

Aby sme sa pripravili na lekciu, zopakujeme predtým preštudovaný materiál. Pozor na obrazovku. Riešenie si zapíšte do zošita.

2. Opakovanie preberanej látky (snímka 3).

Účel: preveriť znalosti základných pravidiel diferenciácie.

Nájdite deriváciu funkcie:

Kto má viac ako jednu chybu? Kto ho má?

3. Aktualizácia

Účel: Aktivovať pozornosť, ukázať nedostatok vedomostí o dotyčnici, formulovať ciele a ciele hodiny. (Snímka 4)

Poďme diskutovať o tom, čo je dotyčnica k funkčnému grafu?

Súhlasíte s tvrdením, že „dotyčnica je priamka, ktorá má jeden spoločný bod s danou krivkou“?
Prebieha diskusia. Výpovede detí (áno a prečo, nie a prečo). Počas diskusie prichádzame na to, že toto tvrdenie nie je pravdivé.

Pozrime sa na konkrétne príklady:

Príklady.(snímka 5)
1) Priamka x = 1 má jeden spoločný bod M(1; 1) s parabolou y = x 2, ale nie je dotyčnicou paraboly.

Priamka y = 2x – 1 prechádzajúca tým istým bodom je dotyčnicou danej paraboly.

Priamka x = π nie je dotyčnicou grafu y = cos x, hoci má s ním jediný spoločný bod K(π; 1). Na druhej strane priamka y = - 1 prechádzajúca tým istým bodom je dotyčnicou grafu, hoci má nekonečne veľa spoločných bodov tvaru (π+2 πk; 1), kde k je celé číslo, v každom z ktorého sa týka graf.

^ 4. Stanovenie cieľov a cieľov pre deti na lekcii: (snímka 6)

Skúste sami formulovať účel lekcie.

Zistite, aká je dotyčnica ku grafu funkcie v bode, odvodite rovnicu dotyčnice. Použite vzorec na riešenie problémov
^ 5. Učenie sa nového materiálu

Pozrite sa, ako sa líši poloha čiary x=1 od polohy y=2x-1? (snímka 7)

Urobte záver, čo je tangens?

Tangenta je hraničná poloha sečny.

Keďže dotyčnica je priamka a musíme napísať rovnicu dotyčnice, čo si myslíte, že si musíme zapamätať?

Pripomeňte si všeobecný tvar rovnice s priamkou. (y \u003d kx + b)

Aký je iný názov pre číslo k? (sklon alebo dotyčnica uhla medzi touto čiarou a kladným smerom osi Ox) k \u003d tg α

Aký je geometrický význam derivácie?

Tangenta uhla sklonu medzi dotyčnicou a kladným smerom osi x

To znamená, že môžem napísať tg α = yˈ(x). (snímka 8)

Znázornime to kresbou. (snímka 9)

Nech je daná funkcia y = f (x) a bod M patriaci grafu tejto funkcie. Definujme jeho súradnice takto: x=a, y=f(a), t.j. M (a, f (a)) a nech existuje derivácia f "(a), t.j. v danom bode je derivácia definovaná. Bodom M nakreslite dotyčnicu. Rovnica dotyčnice je rovnica priamky. , takže to vyzerá takto: y \u003d kx + b. Preto úlohou je nájsť k a b. Venujte pozornosť tabuli, z toho, čo je tam napísané, je možné nájsť k? (áno, k = f " (a).)

Ako nájsť b teraz? Požadovaná čiara prechádza bodom M (a; f (a)), tieto súradnice dosadíme do rovnice čiary: f (a) \u003d ka + b, teda b \u003d f (a) - ka, pretože k \u003d tg α \u003d yˈ(x), potom b = f(a) – f "(a)a

Dosaďte hodnotu b a k do rovnice y = kx + b.

y \u003d f "(a) x + f (a) - f "(a) a, po vyňatí spoločného činiteľa zo zátvorky dostaneme:

y \u003d f (a) + f "(a) (x-a).

Získali sme rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y = f(x) v bode x = a.

Ak chcete s istotou vyriešiť problémy na dotyčnici, musíte jasne pochopiť význam každého prvku v tejto rovnici. Zastavme sa ešte raz: (snímka 10)

1. 
   (a, f (a)) - kontaktné miesto
2. 
   f "(a) \u003d tg α \u003d k uhol sklonu alebo sklon
3. 
   (x, y) - ľubovoľný bod dotyčnice

A tak sme odvodili rovnicu dotyčnice, analyzovali význam každého prvku v tejto rovnici, skúsme teraz odvodiť algoritmus na zostavenie rovnice dotyčnice ku grafu funkcie y = f (x)

6. Zostavenie algoritmu (snímka 11).

Navrhujem vytvoriť algoritmus pre samotných študentov:

1. 
   Úsečku styčného bodu označujeme písmenom a.
2. 
   Vypočítajme f(a).
3. 
   Nájdite f "(x) a vypočítajte f "(a).
4. 
   Dosadíme nájdené hodnoty čísla a, f (a), f "(a) do tangentovej rovnice.
5. 
   y \u003d f (a) + f "(a) (x-a).

(Vopred vytlačený algoritmus distribuujem študentom ako pripomienku pre neskoršiu prácu.)

1. 
   Historické pozadie (snímka 12).

Pozor na obrazovku. Rozlúštiť slovo

1	4/3	9	-4	-1	-3	5

Odpoveď: FLUX (snímka 13).

Aký je pôvod tohto mena? (snímka 14.15)

Pojem derivácie vznikol v súvislosti s potrebou riešiť množstvo problémov z fyziky, mechaniky a matematiky. Pocta objaviť základné zákony matematickej analýzy patrí anglickému vedcovi Newtonovi a nemeckému matematikovi Leibnizovi. Leibniz uvažoval o probléme nakreslenia dotyčnice k ľubovoľnej krivke.

Slávny fyzik Isaac Newton, ktorý sa narodil v anglickej dedine Woolstrop, významne prispel k matematike. Riešením problémov pri kreslení dotyčníc ku krivkám, výpočtom plôch krivočiarych útvarov vytvoril všeobecnú metódu riešenia takýchto problémov - toková metóda (deriváty) a nazval samotný derivát plynulé .

Vypočítal deriváciu a integrál mocninnej funkcie. O diferenciálnom a integrálnom počte píše vo svojej práci „Method of Fluxions“ (1665 - 1666), ktorá slúžila ako jeden zo začiatkov matematickej analýzy, diferenciálneho a integrálneho počtu, ktorý vedec vyvinul nezávisle od Leibniza.

Mnohí vedci v rôzne roky mali záujem o tangentu. S pojmom tangens sa občas stretol aj taliansky matematik N. Tartaglia (okolo 1500 - 1557) - tu sa tangenta objavila v rámci štúdia problematiky uhla sklonu pištole, ktorý zabezpečuje najväčšia danosť letu strely. I. Keppler uvažoval o dotyčnici pri riešení úlohy najväčšieho objemu kvádra vpísaného do gule daného polomeru.

V 17. storočí sa na základe teórie pohybu G. Galilea aktívne rozvíjala kinematická koncepcia derivácie. Rôzne verzie prezentácie nachádzame u R. Descartesa, francúzskeho matematika Robervala, anglického vedca D. Gregoryho v prácach I. Barrowa.

8. Konsolidácia (snímka 16-18).

1) Zostavte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie f (x) \u003d x² - 3x + 5 v bode s osou

Riešenie:

Zostavme rovnicu dotyčnice (podľa algoritmu). Zavolajte silného študenta.

1. 
   a = -1;
2. 
   f(a) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;
3. 
   f "(x) \u003d 2x - 3,
   f "(a) \u003d f "(-1) \u003d -2 - 3 \u003d -5;
4. 
   y \u003d 9 – 5 (x + 1),

y = 4-5x.

Odpoveď: y = 4 - 5x.

USE úlohy 2011 B-8

1. Funkcia y \u003d f (x) je definovaná na intervale (-3; 4). Na obrázku je znázornený jeho graf a dotyčnica k tomuto grafu v bode s úsečkou a \u003d 1. Vypočítajte hodnotu derivácie f "(x) v bode a \u003d 1.

Riešenie: na jeho vyriešenie je potrebné pamätať na to, že ak sú známe súradnice akýchkoľvek dvoch bodov A a B ležiacich na danej čiare, jej sklon možno vypočítať podľa vzorca: k \u003d, kde (x 1; y 1), (x 2; y 2) sú súradnice bodov A, B, resp. Graf ukazuje, že táto dotyčnica prechádza bodmi so súradnicami (1; -2) a (3; -1), čo znamená k=(-1-(-2))/(3-1)= 0,5.

2. Funkcia y \u003d f (x) je definovaná na intervale (-3; 4). Na obrázku je jeho graf a dotyčnica k tomuto grafu v bode s úsečkou a = -2. Vypočítajte hodnotu derivácie f "(x) v bode a \u003d -2.

Riešenie: graf prechádza bodmi (-2;1) (0;-1) . fˈ(-2)= -2

8. Domáca úloha (snímka 19).

Príprava na skúšku B-8 č.3 - 10

^ 9. Samostatná práca

Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie y \u003d f (x) v bode s osou a.
možnosť 1 možnosť 2

f(x) = x²+ x+1, a=1 f(x)= x-3x², a=2

odpovede: 1. možnosť: y=3x; Možnosť 2: y \u003d -11x + 12

10. Zhrnutie.

• 
  Čo sa nazýva dotyčnica ku grafu funkcie v bode?
• 
  Aký je geometrický význam derivácie?
• 
  Formulovať algoritmus na nájdenie tangentovej rovnice v bode?

11. Úvaha:

Vyberte si emotikon, ktorý zodpovedá vašej nálade a stavu po lekcii. Ďakujem za lekciu.