Normálne vektory nie sú vektory, ktorým sa darí, alebo ktoré sa cítia dobre. Podľa definície je normálový vektor (normálny) k rovine vektor kolmý na danú rovinu.

Inými slovami, normála je vektor kolmý na akýkoľvek vektor v danej rovine. Určite ste sa s takouto definíciou stretli – namiesto vektorov však išlo o rovné čiary. Hneď vyššie sa však ukázalo, že v úlohe C2 sa dá pracovať s akýmkoľvek vhodným objektom – dokonca aj s priamkou, dokonca aj s vektorom.

Ešte raz pripomeniem, že akákoľvek rovina je v priestore definovaná rovnicou Ax + By + Cz + D = 0, kde A, B, C a D sú nejaké koeficienty. Bez toho, aby sme znížili všeobecnosť riešenia, môžeme predpokladať D = 1, ak rovina neprechádza počiatkom, alebo D = 0, ak prejde. V každom prípade súradnice normálového vektora k tejto rovine sú n = (A; B; C).

Takže rovina môže byť tiež úspešne nahradená vektorom - rovnakou normálou. Každá rovina je v priestore definovaná tromi bodmi. Ako nájsť rovnicu roviny (a teda normálu), sme už diskutovali na samom začiatku článku. Tento proces však mnohým spôsobuje problémy, preto uvediem niekoľko ďalších príkladov:

· Úloha . Rez A 1 BC 1 je nakreslený v kocke ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Nájdite normálový vektor pre rovinu tohto rezu, ak je počiatok v bode A a osi x, y a z sa zhodujú s hranami AB, AD a AA 1.

Riešenie. Keďže rovina neprechádza počiatkom, jej rovnica vyzerá takto: Ax + By + Cz + 1 = 0, t.j. koeficient D \u003d 1. Keďže táto rovina prechádza bodmi A 1, B a C 1, súradnice týchto bodov otočia rovnicu roviny na správnu číselnú rovnosť.

Ao + B0 + C1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Podobne pre body B = (1; 0; 0) a C 1 = (1; 1; 1) dostaneme rovnice:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
Ai + B1 + C1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Ale koeficienty A = − 1 a C = − 1 sú nám už známe, takže zostáva nájsť koeficient B:
B = − 1 − A − B = − 1 + 1 + 1 = 1.

Dostaneme rovnicu roviny: - A + B - C + 1 = 0, Preto súradnice normálového vektora sú n = (- 1; 1; - 1).

Odpoveď: n = (− 1; 1; − 1)

· Úloha . V kocke je nakreslený rez AA 1 C 1 C ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Nájdite normálový vektor pre rovinu tohto rezu, ak je počiatok v bode A a osi x, y a z sa zhodujú s hrany AB, AD a AA 1 v tomto poradí.

Riešenie. AT tento prípad rovina prechádza cez počiatok, takže koeficient D \u003d 0 a rovnica roviny vyzerá takto: Ax + By + Cz \u003d 0. Keďže rovina prechádza bodmi A 1 a C, súradnice týchto bodov otočte rovnicu roviny na správnu číselnú rovnosť.

Namiesto x, y a z dosadíme súradnice bodu A 1 = (0; 0; 1). Máme:
A° + B° + C1 = 0 ⇒ C = 0;

Podobne pre bod C = (1; 1; 0) dostaneme rovnicu:
A1 + B1 + Co = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Nech B = 1. Potom A = − B = − 1 a rovnica celej roviny je: − A + B = 0. Súradnice normálového vektora sú teda n = (− 1; 1; 0).

Odpoveď: n = (− 1; 1; 0)

Všeobecne povedané, v uvedených úlohách je potrebné zostaviť sústavu rovníc a vyriešiť ju. Budú tri rovnice a tri premenné, no v druhom prípade bude jedna z nich voľná, t.j. mať ľubovoľné hodnoty. Preto máme právo dať B = 1 - bez toho, aby bola dotknutá všeobecnosť riešenia a správnosť odpovede.

Typické vektor lietadlo(alebo normálne lietadlo) sa nazýva vektor kolmý na daný lietadlo. Jednou z metód na definovanie roviny je určenie súradníc jej normály a bodu, na ktorom leží lietadlo. Ak je rovina daná rovnicou Ax+By+Cz+D=0, potom je pre ňu typický vektor so súradnicami (A;B;C). V iných prípadoch bude výpočet typického vektora vyžadovať trochu práce.

Inštrukcia

1. Nech je rovina daná tromi bodmi K(xk;yk;zk), M(xm;ym;zm), P(xp;yp;zp), ktoré k nej patria. Aby sme našli typický vektor, sformulujeme na to rovnicu lietadlo. Označte ľubovoľný ležiaci bod lietadlo, písmeno L, nech má súradnice (x; y; z). Teraz zvážte tri vektory PK, PM a PL, ktoré ležia na rovnakom lietadlo(koplanárne), takže ich zmiešaný súčin je nulový.

2. Detekcia súradníc vektorov PK, PM a PL: PK = (xk-xp;yk-yp;zk-zp)PM = (xm-xp;ym-yp;zm-zp)PL = (x-xp;y-yp z-zp) Zmiešaný produkt týchto vektorov sa bude rovnať determinantu znázornenému na obrázku. Tento determinant by sa mal vypočítať, aby sa našla rovnica pre lietadlo. Pre výpočet zmiešaného produktu pre konkrétny prípad pozri príklad.

3. Príklad Nech je rovina definovaná tromi bodmi K(2;1;-2), M(0;0;-1) a P(1;8;1). Je potrebné nájsť typický vektor lietadlo.Vezmite ľubovoľný bod L so súradnicami (x;y;z). Vypočítajte vektory PK, PM a PL: PK = (2-1;1-8;-2-1) = (1;-7;-3)PM = (0-1;0-8;-1-1) = (-1;-8;-2)PL = (x-1;y-8;z-1) Zostavte determinant pre zmiešaný súčin vektorov (je na obrázku).

4. Teraz rozviňte determinant pozdĺž prvého riadku a potom vypočítajte hodnoty determinantov veľkosti 2 x 2. Teda rovnica lietadlo-10x + 5y - 15z - 15 \u003d 0 alebo, čo je rovnaké, -2x + y - 3z - 3 \u003d 0. Odtiaľ je ľahké určiť normálny vektor na lietadlo n = (-2;1;-3).

Pred zodpovedaním položenej otázky je potrebné určiť, aký druh normálu hľadať. V tomto prípade sa v probléme zhruba uvažuje s určitým povrchom.

Inštrukcia

1. Pri začatí riešenia problému treba pamätať na to, že normála k povrchu je definovaná ako normála k dotyčnicovej rovine. Na základe toho sa zvolí metodika riešenia.

2. Graf funkcie 2 premenných z=f(x, y)=z(x, y) je plocha v priestore. Preto sa ho často pýta každý. Najprv musíte nájsť dotykovú rovinu k povrchu v určitom bode М0(x0, y0, z0), kde z0=z(x0, y0).

3. Aby sme to dosiahli, je potrebné pripomenúť, že geometrickým významom derivácie funkcie jedného argumentu je uhlový exponent dotyčnice ku grafu funkcie v bode, kde y0=f(x0). Čiastočné derivácie funkcie 2 argumentov sa nachádzajú správnym fixovaním „zbytočného“ argumentu rovnakým spôsobom ako derivácie bežných funkcií. To znamená, že geometrický význam parciálnej derivácie vzhľadom na x funkcie z=z(x, y) v bode (x0,y0) je taký, že jej uhlový exponent je rovný dotyčnici k šikmine tvorenej priesečníkom. plochy a roviny y=y0 (pozri obr. 1).

4. Údaje uvedené na obr. 1 nám umožňuje dospieť k záveru, že rovnica dotyčnice k ploche z=z(x, y) obsahujúcej bod М0(xo, y0, z0) v reze pri y=y0: m(x-x0)=(z -z0), y = y0. V kanonickom tvare je dovolené písať: (x-x0)/(1/m)=(z-z0)/1, y=y0. Prostriedky na vedenie vektor táto dotyčnica s1(1/m, 0, 1).

5. Teraz, ak je uhlový exponent dotyčnice pre parciálnu deriváciu vzhľadom na y označený ako n, potom je dokonale viditeľné, že rovnako ako predchádzajúci výraz to povedie k (y-y0)/(1/n)= (z-z0), x=x0 a s2(0, 1/n, 1).

6. Ďalej sa pohyb riešenia vo forme hľadania rovnice dotyčnicovej roviny nechá zastaviť a ísť neobmedzene k požadovanej normále n. Môžete to získať ako vektor nový produkt n=. Jej výpočtom sa zistí, že v daný bod plochy (x0, y0, z0). n = (-1/n, -1/m, 1/mn).

7. Pretože každý proporcionálny vektor zostane tiež vektor ohm normálu, je pohodlnejšie prezentovať výsledok ako n=(-n, -m, 1) a nakoniec n(dz/dx, dz/dx, -1).

Podobné videá

Poznámka!
Otvorený povrch má dve strany. V tomto prípade je výsledok uvedený pre "hornú" stranu, kde sa tvoria normálne ostrý roh s osou 0Z.

Pre vektory Existujú dve reprezentácie diela. Jeden z nich je skalárny práca, druhá je vektorová. Každá z týchto reprezentácií má svoj vlastný matematický a fyzikálny zmysel a počíta sa úplne iným spôsobom.

Inštrukcia

1. Zvážte dva vektory v trojrozmernom priestore. Vektor a so súradnicami (xa; ya; za) a vektor b so súradnicami (xb; yb; zb). skalárne práca vektory a a b sú označené (a,b). Vypočíta sa podľa vzorca: (a,b) = |a|*|b|*cosα, kde α je uhol medzi dvoma vektormi. Je povolené vypočítať skalár práca v súradniciach: (a,b) = xa*xb + ya*yb + za*zb. Existuje aj znázornenie skalárneho štvorca vektora, toto je skalár práca vektor na seba: (a,a) = |a|² alebo v súradniciach (a,a) = xa² + ya² + za². práca vektory je číslo, ktoré charakterizuje polohu vektory vzhľadom na seba. Často sa používa na výpočet uhla medzi vektormi.

2. vektor práca vektory je uvedené. V dôsledku krížového produktu sa získa vektor, ktorý je kolmý na oba faktorové vektory a dĺžka tohto vektora sa rovná ploche rovnobežníka postaveného na vektoroch faktorov. Navyše tri vektory a, b tvoria takzvanú pravú trojicu vektory.Dĺžka vektora = |a|*|b|*sinα, kde α je uhol medzi vektormi a a b.

Podobné videá

V lineárnej algebre av geometrii reprezentácia vektor definované inak. V algebre vektor ohm je názov prvku vektor priestor pre nohy. V rovnakej geometrii vektor om je usporiadaná dvojica bodov v euklidovskom priestore - orientovaný segment. Vyššie vektor máme definované lineárne operácie - sčítanie vektor ov a násobenie vektor ale na nejaké číslo.

Inštrukcia

1. Pravidlo trojuholníka. Súčet 2 vektor ov a a o sú pomenované vektor, ktorého predslov sa zhoduje so zač vektor a a, a koniec leží na konci vektor a o, kým predslov vektor a o sa zhoduje s koncom vektor a. Konštrukcia tejto sumy je znázornená na obrázku.

2. Pravidlo paralelogramu vektor s a a o majú všeobecný predslov. Doplňme tieto vektor s na rovnobežník. Potom suma vektor ovs a a o sa zhodujú s uhlopriečkou rovnobežníka vychádzajúceho z počiatku vektor ov a a o.

3. Suma viac vektor ov možno zistiť postupným aplikovaním trojuholníkového pravidla na ne. Obrázok ukazuje súčet štyroch vektor ov.

4. práca vektor a za číslo? sa nazýva číslo?a také, že |?a| = |?| *|a|. Získa sa vynásobením číslom vektor paralelne s iniciálom vektor y buď s ním leží na rovnakej priamke. Ak? > 0, potom vektor s a a?a sú jednosmerné, ak?<0, то vektor s a a sú nasmerované rôznymi smermi.

Podobné videá

Vektor ako riadený segment závisí nielen od absolútnej hodnoty (modulu), ktorá sa rovná jeho dĺžke. Ďalším hlavným porovnávaním je smer vektora. Môže byť definovaný ako súradnicami, tak aj uhlom medzi vektorom a súradnicovou osou. Výpočet vektora sa vykonáva aj pri zisťovaní súčtu a rozdielu vektorov.

Budete potrebovať

• – definícia vektora;
• – vlastnosti vektorov;
• - kalkulačka;
• - Bradis stôl alebo PC.

Inštrukcia

1. Vypočítajte vektor, je možné poznať jeho súradnice. Za týmto účelom určte súradnice začiatku a konca vektora. Nech sa rovnajú (x1;y1) a (x2;y2). Ak chcete vypočítať vektor, nájdite jeho súradnice. Ak to chcete urobiť, odčítajte súradnice jeho začiatku od súradníc konca vektora. Budú sa rovnať (x2-x1;y2-y1). Vezmite x= x2- x1; y= y2-y1, potom súradnice vektora budú rovné (x;y).

2. Určte dĺžku vektora. To sa dá ľahko urobiť meraním pomocou pravítka. Ale ak poznáte súradnice vektora, vypočítajte dĺžku. Ak to chcete urobiť, nájdite súčet druhých mocnín vektorových súradníc a extrahujte druhú odmocninu z výsledného čísla. Potom bude dĺžka vektora rovná d=?(x?+y?).

3. Neskôr zistite smer vektora. Ak to chcete urobiť, určiť uhol? medzi ním a osou x. Tangenta tohto uhla sa rovná pomeru y-ovej súradnice vektora k x-ovej súradnici (tg ?= y/x). Ak chcete nájsť uhol, použite funkciu arctangens v kalkulačke, Bradisovej tabuľke alebo v počítači. Keď poznáme dĺžku vektora a jeho smer vzhľadom na os, je možné nájsť umiestnenie v priestore akéhokoľvek vektora.

4. Príklad: súradnice začiatku vektora sú (-3;5) a súradnice konca (1;7). Nájdite súradnice vektora (1-(-3);7-5)=(4;2). Potom jeho dĺžka bude d=?(4?+2?)=?20?4,47 lineárnych jednotiek. Tangenta uhla medzi vektorom a osou OX bude tg ?=2/4=0,5. Arkus tangens tohto uhla je zaokrúhlený na 26,6?.

5. Nájdite vektor, ktorý je súčtom 2 vektorov, ktorých súradnice sú známe. Ak to chcete urobiť, pridajte zodpovedajúce súradnice vektorov, ktoré sa sčítavajú. Ak súradnice vektorov, ktoré sa pridávajú, sú (x1;y1) a (x2;y2), potom sa ich súčet bude rovnať vektoru so súradnicami ((x1+x2;y1+y2)). Ak potrebujete nájsť rozdiel 2 vektorov, potom nájdite súčet vopred vynásobením súradníc vektora, ktorý sa odpočíta od -1.

6. Vzhľadom na dĺžky vektorov d1 a d2 a uhol medzi nimi? nájdite ich súčet pomocou kosínusovej vety. Ak to chcete urobiť, nájdite súčet druhých mocnín dĺžok vektorov a od výsledného čísla odčítajte dvojnásobok súčinu týchto dĺžok vynásobený kosínusom uhla medzi nimi. Vezmite druhú odmocninu výsledného čísla. Toto bude dĺžka vektora, ktorá je súčtom 2 daných vektorov (d=?(dl?+d2?-dl?d2?Cos(?)).

Úloha vyhľadávania vektor normálnosti priamka v rovine a rovina v priestore je príliš primitívna. V skutočnosti to končí zápisom všeobecných rovníc priamky alebo roviny. Zo skutočnosti, že krivka na rovine každého z nich je len špeciálnym prípadom plochy v priestore, potom budú diskutované normály k ploche.

Inštrukcia

1. 1. metóda Táto metóda je najprimitívnejšia, ale na jej pochopenie vyžaduje schopnosť reprezentovať skalárne pole. Výsledné vzorce tejto problematiky však dokáže aplikovať aj neskúsený čitateľ v tejto veci.

2. Je dobre známe, že skalárne pole f je definované ako f=f(x, y, z) a akýkoľvek povrch je v tomto prípade povrchom vrstvy f(x, y, z)=C (C=konšt.). Navyše normála povrchu vrstvy sa zhoduje s gradientom skalárneho poľa v danom bode.

3. Gradient skalárneho poľa (funkcia 3 premenných) je vektor g=gradf=idf/dx+jdf/dy+kdf/dz=(df/dx, df/dy, df/dz). Pretože dĺžka normálnosti nezáleží, zostáva len zaznamenať výsledok. Normála povrchu f(x, y, z)-C=0 v bode M0(x0, y0, z0) n=gradf=idf/dx+jdf/dy+kdf/dz=(df/dx, df/dy, df / dz).

4. Metóda 2 Nech je povrch daný rovnicou F(x, y, z)=0. Aby bolo možné v budúcnosti kresliť analógie s prvou metódou, malo by sa zvážiť, že derivácia spojitosti sa rovná nule a F je dané ako f(x, y, z)-C=0 (C =konšt.). Ak nakreslíme rez touto plochou ľubovoľnou rovinou, tak výslednú priestorovú krivku môžeme považovať za hodograf nejakej vektorovej funkcie r(t)= ix(t)x+jy(t)+kz(t). Potom derivát vektor r'(t)= ix'(t)+jy'(t)+kz'(t) smeruje tangenciálne v niektorom bode M0(x0, y0, z0) povrchu (pozri obr. 1).

5. Aby nedošlo k zámene, aktuálne súradnice dotyčnice by mali byť uvedené napríklad kurzívou (x, y, z). Kanonická rovnica dotyčnice, za predpokladu, že r'(t0) je smerový vektor, je napísaná ako (x-x(t0))/(dx(t0)/dt)= (y-y(t0))/(dy(t0) )/dt)= (z-z(to))/(dz(to)/dt).

6. Dosadením súradníc vektorovej funkcie do povrchovej rovnice f(x, y, z)-C=0 a derivovaním vzhľadom na t dostanete (df/dx)(dx/dt)+(df/dy) (dy/ dt)+(df/dz)(dz/dt)=0. Rovnosť je skalárnym produktom niektorých vektor n(df/dx, df/dy, df/dz) a r’(x’(t), y’(t), z’(t)). Pretože je nula, potom n(df/dx, df/dy, df/dz) je požadovaný vektor normálnosti. Zdá sa, že výsledky oboch metód sú rovnaké.

7. Príklad (má teoretickú hodnotu). Detekcia vektora normálnosti k ploche danej typickou rovnicou funkcie 2 premenných z=z(x, y). Riešenie. Prepíšte túto rovnicu do tvaru z-z(x, y)=F(x, y, z)=0. Po ktorejkoľvek z predložkových metód sa ukáže, že n(-dz/dx, -dz/dy, 1) je požadovaný vektor normálnosti .

akýkoľvek vektor možno rozložiť na súčet niekoľkých vektor Wow, existuje veľa takýchto možností. Rozložiť úlohu vektor môžu byť uvedené v geometrickej forme aj vo forme vzorcov, riešenie problému bude závisieť od toho.

Budete potrebovať

• je počiatočný vektor;
• sú vektory, v ktorých sa má rozložiť.

Inštrukcia

1. Ak sa potrebujete rozdeliť vektor na výkrese vyberte smer výrazov. Pre pohodlie výpočtov, rozšírenie do vektor a, rovnobežne so súradnicovými osami, ale určite môžete uprednostniť akýkoľvek pohodlný smer.

2. Nakreslite jeden z výrazov vektor ov; zároveň musí vychádzať z rovnakého bodu ako počiatočný (dĺžku si zvolíte sami). Spojte konce počiatočného a výsledného vektor a ešte jeden vektor ohm. Poznámka: prijaté dve vektor a nakoniec vás musia priviesť do rovnakého bodu ako na začiatku (ak sa budete pohybovať po šípkach).

3. Prevod prijatý vektor a na mieste, kde ich bude pohodlné používať, pričom si ušetríte smer a dĺžku. Nezávisle kde vektor a budú, v súčte sa budú rovnať počiatočnému. Upozorňujeme, že ak umiestnite prijaté vektor a tak, že pochádzajú z rovnakého bodu ako počiatočný bod a spájajú ich konce bodkovanou čiarou, dostanete rovnobežník a počiatočný bod vektor sa zhoduje s jednou z uhlopriečok.

4. Ak sa potrebujete rozdeliť vektor(x1,x2,x3) podľa založenia, teda podľa daného vektor am (p1, p2, p3), (q1, q2, q3), (r1, r2, r3), postupujte nasledovne. Dosaďte hodnoty súradníc do vzorca x=?p+?q+?r.

5. Vo výsledku dostanete sústavu 3 rovníc p1?+q1?+r1?=x1, p2?+q2?+r2?=x2, p3?+q3?+r3?=x3. Vyriešte túto sústavu metódou sčítania alebo matíc, nájdite ukazovatele ?, ?, ?. Ak je úloha zadaná v rovine, riešenie bude jednoduchšie, pretože namiesto 3 premenných a rovníc dostanete len dve (budú vyzerať ako p1?+q1?=x1, p2?+q2?=x2). Výsledok zapíšte ako x=?p+?q+?r.

6. Ak skončíte s nekonečným počtom rozhodnutí, zhrňte to vektor s p, q, r ležia v rovnakej rovine s vektor om x a je jednoznačne nemožné ho daným spôsobom rozložiť.

7. Ak systém nemá žiadne riešenia, odvážne napíšte výsledok problému: vektor p, q, r ležia v rovnakej rovine a vektor x - v inom, následne sa nedá rozložiť daným spôsobom.

Je možné, že existuje špeciálne zastúpenie lietadlo pyramídy, ale autor sa v tom nevyzná. Zo skutočnosti, že pyramída odkazuje na priestorové mnohosteny, lietadlo môže tvoriť iba okraje pyramídy. Toto sú tie, ktoré sa budú brať do úvahy.

Inštrukcia

1. Najprimitívnejšia úloha pyramídy je jeho znázornenie súradnicami vrcholových bodov. Je povolené používať iné reprezentácie, ktoré sa dajú ľahko preložiť do seba aj do navrhovaného. Pre jednoduchosť zvážte trojuholníkovú pyramídu. Potom v priestorovom prípade sa reprezentácia „základne“ stáva extrémne svojvoľnou. V dôsledku toho by nemal byť odlíšený od bočných plôch. Pri ľubovoľnej pyramíde sú jej bočné strany stále trojuholníky a napíšte rovnicu lietadlo základ ešte stačí na 3 body.

2. Akákoľvek trojuholníková tvár pyramídy je úplne určená tromi bodmi vrcholov príslušného trojuholníka. Nech je to М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2), М3(x3,y3,z3). Ak chcete nájsť rovnicu lietadlo obsahujúce túto tvár, použite všeobecnú rovnicu lietadlo v tvare A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. Tu (x0,y0,z0) je ľubovoľný bod lietadlo, pre ktoré použite jedno z 3 uvedených v súčasnosti, povedzme M1(x1,y1,z1). Exponenty A, B, C tvoria súradnice normálového vektora to lietadlo n = (A, B, C). Na nájdenie normály je dovolené použiť súradnice vektora rovného vektorovému súčinu [M1,M2] (pozri obr. 1). Vezmite ich rovné A, B C, resp. Zostáva nájsť skalárny súčin vektorov (n, M1M) v súradnicovom tvare a prirovnať ho k nule. Tu M(x, y, z) je ľubovoľný (aktuálny) bod lietadlo .

3. Výsledný algoritmus na zostavenie rovnice lietadlo na jeho troch bodoch je možné spríjemniť používanie. Všimnite si, že objavená metodológia predpokladá výpočet krížového súčinu a potom bodového súčinu. Nie je to nič iné ako zmiešaný produkt vektorov. V superkompaktnej forme sa rovná determinantu, ktorého čiary pozostávajú zo súradníc vektorov М1М=(x-x1, y-y1, z-z1), M1M2=(x2-x1, y2-y1, z2-z1), M1М3=(x3-x1, y3-y1, z3-z1). Prirovnajte to k nule a získajte rovnicu lietadlo vo forme determinantu (pozri obr. 2). Po jej odhalení sa dostanete k všeobecnej rovnici lietadlo .

Podobné videá

čo je normálne? Zjednodušene povedané, normála je kolmica. To znamená, že normálový vektor priamky je kolmý na danú priamku. Je zrejmé, že každá priamka ich má nekonečný počet (rovnako ako smerových vektorov) a všetky normálové vektory priamky budú kolineárne (súmerné alebo nie - na tom nezáleží).

Manipulácia s nimi bude ešte jednoduchšia ako so smerovými vektormi:

Ak je priamka daná všeobecnou rovnicou v pravouhlom súradnicovom systéme, potom vektor je normálový vektor tejto priamky.

Ak je potrebné z rovnice opatrne „vytiahnuť“ súradnice smerového vektora, súradnice normálového vektora sa jednoducho „odstránia“.

Normálny vektor je vždy ortogonálny k smerovému vektoru priamky. Uistime sa, že tieto vektory sú ortogonálne pomocou skalárneho súčinu:

Uvediem príklady s rovnakými rovnicami ako pre smerový vektor:

Je možné napísať rovnicu priamky, keď poznáme jeden bod a normálový vektor? Ak je známy normálny vektor, potom je smer samotnej priamky jednoznačne určený - ide o „tuhú štruktúru“ s uhlom 90 stupňov.

Ako napísať rovnicu priamky danej bodom a normálovým vektorom?

Ak je známy nejaký bod patriaci do priamky a normálový vektor tejto priamky, potom rovnica tejto priamky je vyjadrená vzorcom:

Zostavte rovnicu priamky danej bodom a normálovým vektorom. Nájdite smerový vektor priamky.

Riešenie: Použite vzorec:

Získame všeobecnú rovnicu priamky, skontrolujme:

1) "Odstráňte" súradnice normálového vektora z rovnice: - áno, skutočne, pôvodný vektor sa získa z podmienky (alebo vektor by mal byť kolineárny s pôvodným vektorom).

2) Skontrolujte, či bod spĺňa rovnicu:

Skutočná rovnosť.

Keď sa presvedčíme, že rovnica je správna, dokončíme druhú, ľahšiu časť úlohy. Vytiahneme smerový vektor priamky:

odpoveď:

Na výkrese je situácia nasledovná:

Na účely školenia podobná úloha pre nezávislé riešenie:

Zostavte rovnicu priamky danej bodom a normálovým vektorom. Nájdite smerový vektor priamky.

Záverečná časť hodiny bude venovaná menej bežným, ale aj dôležitým typom rovníc priamky v rovine

Rovnica priamky v segmentoch.
Rovnica priamky v parametrickom tvare

Rovnica priamky v segmentoch má tvar , kde sú nenulové konštanty. Niektoré typy rovníc nemôžu byť reprezentované v tejto forme, napríklad priama úmernosť (keďže voľný člen je nula a neexistuje spôsob, ako dostať jednotku na pravú stranu).

Ide, obrazne povedané, o „technický“ typ rovnice. Obvyklou úlohou je znázorniť všeobecnú rovnicu priamky ako rovnicu priamky v segmentoch. Prečo je to pohodlné? Rovnica priamky v segmentoch umožňuje rýchlo nájsť priesečníky priamky so súradnicovými osami, čo môže byť veľmi dôležité v niektorých úlohách vyššej matematiky.

Nájdite priesečník priamky s osou. Vynulujeme „y“ a rovnica má tvar . Požadovaný bod sa získa automaticky: .

To isté s osou je bod, kde priamka pretína os y.

Úkony, ktoré som práve podrobne vysvetlil, sa vykonávajú slovne.

Daná priamka. Zostavte rovnicu priamky v segmentoch a určte priesečníky grafu so súradnicovými osami.

Riešenie: Uveďme rovnicu do tvaru . Najprv presunieme voľný termín na pravú stranu:

Aby sme získali jednotku vpravo, vydelíme každý člen rovnice -11:

Vyrábame zlomky trojposchodové:

Priesečníky priamky s vynorenými osami súradníc:

odpoveď:

Zostáva pripojiť pravítko a nakresliť priamku.

Je ľahké vidieť, že táto priamka je jednoznačne určená červenými a zelenými segmentmi, odtiaľ názov - „rovnica priamky v segmentoch“.

Samozrejme, body nie je také ťažké nájsť z rovnice, ale problém je stále užitočný. Uvažovaný algoritmus bude potrebný na nájdenie priesečníkov roviny so súradnicovými osami, na uvedenie rovnice čiary druhého rádu do kanonického tvaru a v niektorých ďalších problémoch. Preto niekoľko priamych čiar pre nezávislé riešenie:

Zostavte rovnicu priamky v segmentoch a určte body jej priesečníkov so súradnicovými osami.

Riešenia a odpovede na záver. Nezabudnite, že ak chcete, môžete nakresliť všetko.

Ako napísať parametrické rovnice pre priamku?

Parametrické rovnice priamky sú relevantnejšie pre priame čiary v priestore, ale bez nich bude náš abstrakt osirelý.

Ak je známy nejaký bod patriaci do priamky a smerový vektor tejto priamky, potom sú parametrické rovnice tejto priamky dané systémom:

Zostavte parametrické rovnice priamky podľa bodu a smerového vektora

Riešenie skončilo skôr, ako mohlo začať:

Parameter „te“ môže nadobúdať akúkoľvek hodnotu od „mínus nekonečna“ po „plus nekonečno“ a každá hodnota parametra zodpovedá konkrétnemu bodu roviny. Napríklad, ak , potom dostaneme bod .

Inverzný problém: ako skontrolovať, či stavový bod patrí k danému riadku?

Dosaďte súradnice bodu do získaných parametrických rovníc:

Z oboch rovníc vyplýva, že systém je konzistentný a má jedinečné riešenie.

Uvažujme o zmysluplnejších úlohách:

Zostavte parametrické rovnice priamky

Riešenie: Podľa podmienky je priamka daná vo všeobecnom tvare. Aby ste mohli zostaviť parametrické rovnice priamky, musíte poznať jej smerový vektor a nejaký bod patriaci tejto priamke.

Poďme nájsť smerový vektor:

Teraz musíte nájsť nejaký bod patriaci k čiare (môže to urobiť každý), na tento účel je vhodné prepísať všeobecnú rovnicu vo forme rovnice so sklonom:

To si samozrejme žiada pointu

Zostavíme parametrické rovnice priamky:

A na záver malá kreatívna úloha na samostatné riešenie.

Zostavte parametrické rovnice priamky, ak je známy jej bod a normálový vektor

Úlohu možno vykonať viacerými spôsobmi. Jedna z verzií riešenia a odpoveď na záver.

Riešenia a odpovede:

Príklad 2: Riešenie: Nájdite sklon:

Zostavíme rovnicu priamky bodom a sklonom:

odpoveď:

Príklad 4: Riešenie: Rovnicu priamky zostavíme podľa vzorca:

odpoveď:

Príklad 6: Riešenie: Použite vzorec:

Odpoveď: (os y)

Príklad 8: Riešenie: Urobme rovnicu priamky na dvoch bodoch:

Vynásobte obe strany -4:

A vydeliť 5:

Odpoveď:

Príklad 10: Riešenie: Použite vzorec:

Znížime o -2:

Smerový vektor priamy:
Odpoveď:

Príklad 12:
a) Riešenie: Transformujme rovnicu:

Touto cestou:

Odpoveď:

b) Riešenie: Transformujme rovnicu:

Touto cestou:

Odpoveď:

Príklad 15: Riešenie: Najprv napíšeme všeobecnú rovnicu priamky danej bodom a normálny vektor :

Vynásobte 12:

Vynásobíme ešte 2, aby sme sa po otvorení druhej zátvorky zbavili zlomku:

Smerový vektor priamy:
Parametrické rovnice priamky skladáme podľa bodu a smerový vektor :
Odpoveď:

Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine.
Vzájomné usporiadanie liniek. Uhol medzi čiarami

Pokračujeme v zvažovaní týchto nekonečne nekonečných čiar.

Ako zistiť vzdialenosť od bodu k priamke?
Ako nájsť vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami?
Ako nájsť uhol medzi dvoma čiarami?

Vzájomné usporiadanie dvoch priamych línií

Zvážte dve priame čiary dané rovnicami vo všeobecnom tvare:

Prípad, keď sála spieva v zbore. Dva riadky môžu:

1) zápas;

2) byť paralelné: ;

3) alebo sa pretínajú v jednom bode: .

Zapamätajte si prosím matematické znamienko križovatky , vyskytuje sa veľmi často. Zadanie znamená, že čiara sa pretína s čiarou v bode.

Ako určiť vzájomnú polohu dvoch čiar?

Začnime prvým prípadom:

Dve čiary sa zhodujú vtedy a len vtedy, ak sú ich príslušné koeficienty proporcionálne, to znamená, že existuje taký počet "lambda", že platí rovnosť

Uvažujme rovné čiary a zo zodpovedajúcich koeficientov zostavme tri rovnice: . Z každej rovnice vyplýva, že tieto čiary sa teda zhodujú.

Vskutku, ak sú všetky koeficienty rovnice vynásobiť -1 (zmeniť znamienka) a všetky koeficienty rovnice znížiť o 2, dostanete rovnakú rovnicu: .

Druhý prípad, keď sú čiary rovnobežné:

Dve čiary sú rovnobežné vtedy a len vtedy, ak sú ich koeficienty v premenných proporcionálne: , ale .

Ako príklad zvážte dve priame čiary. Skontrolujeme proporcionalitu zodpovedajúcich koeficientov pre premenné:

Je však jasné, že .

A tretí prípad, keď sa čiary pretínajú:

Dve čiary sa pretínajú vtedy a len vtedy, ak ich koeficienty v premenných NIE sú proporcionálne, to znamená, že NIE JE taká hodnota "lambda", aby boli splnené rovnosti

Takže pre priame čiary zostavíme systém:

Z prvej rovnice vyplýva, že , a z druhej rovnice: , čo znamená, že systém je nekonzistentný (neexistujú žiadne riešenia). Koeficienty premenných teda nie sú proporcionálne.

Záver: čiary sa pretínajú

V praktických problémoch možno použiť práve uvažovanú schému riešenia. Mimochodom, je to veľmi podobné algoritmu na kontrolu kolinearity vektorov. Existuje však civilizovanejší balík:

Zistite relatívnu polohu čiar:

Riešenie je založené na štúdiu smerových vektorov priamych čiar:

a) Z rovníc nájdeme smerové vektory priamok: .

, takže vektory nie sú kolineárne a čiary sa pretínajú.

b) Nájdite smerové vektory čiar:

Čiary majú rovnaký smerový vektor, čo znamená, že sú buď rovnobežné, alebo rovnaké. Tu determinant nie je potrebný.

Je zrejmé, že koeficienty neznámych sú úmerné, zatiaľ čo .

Poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá:

Touto cestou,

c) Nájdite smerové vektory čiar:

Vypočítajme determinant zložený zo súradníc týchto vektorov:
, preto sú smerové vektory kolineárne. Čiary sú buď rovnobežné, alebo sa zhodujú.

Koeficient proporcionality "lambda" možno zistiť priamo pomerom vektorov kolineárneho smeru. Je to však možné aj cez koeficienty samotných rovníc: .

Teraz poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá. Oba voľné termíny sú nulové, takže:

Výsledná hodnota spĺňa túto rovnicu (vo všeobecnosti ju spĺňa akékoľvek číslo).

Čiary sa teda zhodujú.

Ako nakresliť čiaru rovnobežnú s danou?

Priamka je daná rovnicou . Napíšte rovnicu pre rovnobežku, ktorá prechádza bodom.

Riešenie: Neznámu priamku označte písmenom . Čo o tom hovorí podmienka? Čiara prechádza bodom. A ak sú priamky rovnobežné, potom je zrejmé, že smerový vektor priamky „ce“ je vhodný aj na zostrojenie priamky „te“.

Z rovnice vyberieme smerový vektor:

Geometria príkladu vyzerá jednoducho:

Analytické overenie pozostáva z nasledujúcich krokov:

1) Skontrolujeme, či priamky majú rovnaký smerový vektor (ak rovnica priamky nie je správne zjednodušená, vektory budú kolineárne).

2) Skontrolujte, či bod vyhovuje výslednej rovnici.

Analytické overenie je vo väčšine prípadov jednoduché vykonať verbálne. Pozrite sa na dve rovnice a mnohí z vás rýchlo prídu na to, ako sú čiary rovnobežné bez akéhokoľvek kreslenia.

Príklady na samoriešenie dnes budú kreatívne.

Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom rovnobežným s priamkou ak

Najkratšia cesta je na konci.

Ako nájsť priesečník dvoch čiar?

Ak rovno pretínajú v bode , potom sú jeho súradnice riešením sústavy lineárnych rovníc

Ako nájsť priesečník čiar? Vyriešte systém.

Toľko ku geometrickému významu sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi – ide o dve pretínajúce sa (najčastejšie) priamky v rovine.

Nájdite priesečník čiar

Riešenie: Existujú dva spôsoby riešenia - grafický a analytický.

Grafický spôsob je jednoducho nakresliť dané čiary a zistiť priesečník priamo z výkresu:

Tu je naša pointa: . Pre kontrolu by ste mali nahradiť jej súradnice do každej rovnice priamky, mali by sa zmestiť tam aj tam. Inými slovami, súradnice bodu sú riešením systému . V skutočnosti sme uvažovali o grafickej metóde riešenia sústavy lineárnych rovníc s dvoma rovnicami, dvoma neznámymi.

Grafická metóda, samozrejme, nie je zlá, ale existujú značné nevýhody. Nie, nejde o to, že siedmaci sa takto rozhodujú, ide o to, že správny a PRESNÝ nákres potrvá. Navyše, niektoré čiary nie je také ľahké zostrojiť a samotný priesečník môže byť niekde v tridsiatom kráľovstve mimo listu zošita.

Preto je vhodnejšie hľadať priesečník analytickou metódou. Poďme vyriešiť systém:

Na riešenie systému bola použitá metóda termického sčítania rovníc.

Overenie je triviálne - súradnice priesečníka musia spĺňať každú rovnicu systému.

Nájdite priesečník čiar, ak sa pretínajú.

Toto je príklad „urob si sám“. Je vhodné rozdeliť problém do niekoľkých etáp. Analýza stavu naznačuje, že je potrebné:
1) Napíšte rovnicu priamky.
2) Napíšte rovnicu priamky.
3) Zistite vzájomnú polohu čiar.
4) Ak sa čiary pretínajú, nájdite priesečník.

Vývoj akčného algoritmu je typický pre mnohé geometrické problémy a budem sa na to opakovane zameriavať.

Úplné riešenie a odpoveď na konci:

Kolmé čiary. Vzdialenosť od bodu k čiare.
Uhol medzi čiarami

Ako nakresliť čiaru kolmú na danú?

Priamka je daná rovnicou . Napíšte rovnicu pre kolmicu prechádzajúcu bodom.

Riešenie: Je známe, že . Bolo by pekné nájsť smerový vektor priamky. Keďže čiary sú kolmé, trik je jednoduchý:

Z rovnice „odstránime“ normálový vektor: , ktorý bude smerovacím vektorom priamky.

Zostavíme rovnicu priamky bodom a smerovacím vektorom:

odpoveď:

Rozvinieme geometrický náčrt:

Analytické overenie riešenia:

1) Vytiahnite smerové vektory z rovníc a pomocou skalárneho súčinu vektorov sme dospeli k záveru, že čiary sú skutočne kolmé: .

Mimochodom, môžete použiť normálne vektory, je to ešte jednoduchšie.

2) Skontrolujte, či bod vyhovuje výslednej rovnici .

Overenie je opäť jednoduché vykonať verbálne.

Nájdite priesečník kolmých čiar, ak je rovnica známa a bodka.

Toto je príklad „urob si sám“. V úlohe je viacero akcií, preto je vhodné usporiadať riešenie bod po bode.

Vzdialenosť od bodu k čiare

Vzdialenosť v geometrii sa tradične označuje gréckym písmenom "p", napríklad: - vzdialenosť od bodu "m" k priamke "d".

Vzdialenosť od bodu k čiare sa vyjadruje vzorcom

Nájdite vzdialenosť od bodu k čiare

Riešenie: všetko, čo musíte urobiť, je opatrne vložiť čísla do vzorca a vykonať výpočty:

odpoveď:

Vykonajte kreslenie:

Zistená vzdialenosť od bodu k čiare je presne dĺžka červeného segmentu. Ak kreslíte na kockovaný papier v mierke 1 jednotky. \u003d 1 cm (2 bunky), potom je možné vzdialenosť zmerať bežným pravítkom.

Zvážte ďalšiu úlohu podľa toho istého výkresu:

Ako zostrojiť bod symetrický podľa priamky?

Úlohou je nájsť súradnice bodu, ktorý je symetrický k bodu vzhľadom na priamku . Navrhujem vykonať akcie sami, načrtnem však algoritmus riešenia s priebežnými výsledkami:

1) Nájdite priamku, ktorá je kolmá na priamku.

2) Nájdite priesečník čiar: .

V geometrii sa uhol medzi dvoma priamkami berie ako MENŠÍ uhol, z čoho automaticky vyplýva, že nemôže byť tupý. Na obrázku sa uhol označený červeným oblúkom nepovažuje za uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami. A za taký sa považuje aj jeho „zelený“ sused alebo opačne orientovaný „malinový“ roh.

Ak sú čiary kolmé, potom ktorýkoľvek zo 4 uhlov možno považovať za uhol medzi nimi.

Ako sa líšia uhly? Orientácia. Po prvé, smer „rolovania“ rohu je zásadne dôležitý. Po druhé, negatívne orientovaný uhol sa zapíše so znamienkom mínus, napríklad ak .

Prečo som to povedal? Zdá sa, že si vystačíte s obvyklou koncepciou uhla. Faktom je, že vo vzorcoch, podľa ktorých nájdeme uhly, možno ľahko získať negatívny výsledok, čo by vás nemalo prekvapiť. Uhol so znamienkom mínus nie je o nič horší a má veľmi špecifický geometrický význam. Na výkrese pre záporný uhol je nevyhnutné označiť jeho orientáciu (v smere hodinových ručičiek) šípkou.

Na základe vyššie uvedeného je riešenie pohodlne formalizované v dvoch krokoch:

1) Vypočítajte skalárny súčin smerových vektorov priamych čiar:
takže čiary nie sú kolmé.

2) Uhol medzi čiarami nájdeme podľa vzorca:

Pomocou inverznej funkcie je ľahké nájsť samotný uhol. V tomto prípade používame nepárnosť arkustangens:

odpoveď:

V odpovedi uvádzame presnú hodnotu, ako aj približnú hodnotu (najlepšie v stupňoch aj v radiánoch), vypočítanú pomocou kalkulačky.

No mínus, tak mínus, je to v poriadku. Tu je geometrická ilustrácia:

Nie je prekvapujúce, že sa ukázalo, že uhol má negatívnu orientáciu, pretože v stave problému je prvé číslo priamka a „krútenie“ uhla začalo presne od nej.

Existuje aj tretie riešenie. Cieľom je vypočítať uhol medzi smerovými vektormi čiar:

Tu nehovoríme o orientovanom uhle, ale „len o uhle“, to znamená, že výsledok bude určite pozitívny. Háčik je v tom, že môžete získať tupý uhol (nie ten, ktorý potrebujete). V tomto prípade budete musieť urobiť rezerváciu, že uhol medzi čiarami je menší uhol, a odpočítať výsledný kosínus oblúka od radiánov „pí“ (180 stupňov).

Nájdite uhol medzi čiarami.

Toto je príklad „urob si sám“. Skúste to vyriešiť dvoma spôsobmi.

Riešenia a odpovede:

Príklad 3: Riešenie: Nájdite smerový vektor priamky:

Pomocou bodu a smerového vektora zostavíme rovnicu požadovanej priamky

Poznámka: tu sa prvá rovnica systému vynásobí 5, potom sa 2. odčíta po členoch od 1. rovnice.
odpoveď:

Rovinná rovnica. Ako napísať rovnicu pre rovinu?
Vzájomné usporiadanie rovín. Úlohy

Priestorová geometria nie je oveľa komplikovanejšia ako „plochá“ geometria a naše lety do vesmíru začínajú týmto článkom. Aby človek porozumel téme, musí jej dobre rozumieť vektory, okrem toho je žiaduce poznať geometriu roviny - bude tam veľa podobností, veľa analógií, takže informácie budú oveľa lepšie strávené. V sérii mojich lekcií sa 2D svet otvára článkom Rovnica priamky na rovine. Teraz však Batman vystúpil z TV s plochou obrazovkou a štartuje z kozmodrómu Bajkonur.

Začnime s kresbami a symbolmi. Schematicky môže byť rovina nakreslená ako rovnobežník, ktorý vytvára dojem priestoru:

Rovina je nekonečná, no my máme možnosť znázorniť len jej kúsok. V praxi sa okrem rovnobežníka kreslí aj ovál či dokonca oblak. Z technických dôvodov je pre mňa pohodlnejšie znázorniť lietadlo takto a v tejto polohe. Skutočné roviny, ktoré budeme uvažovať v praktických príkladoch, môžu byť usporiadané akýmkoľvek spôsobom - mentálne vezmite kresbu do rúk a otočte ju v priestore, čím dáte rovine akýkoľvek sklon, akýkoľvek uhol.

Notový zápis: je zvykom označovať lietadlá malými gréckymi písmenami, zrejme preto, aby nedošlo k ich zámene rovno v lietadle alebo s priamo v priestore. Som zvyknutý používať písmeno . Na výkrese je to písmeno "sigma" a vôbec nie diera. Aj keď, dierované lietadlo, je to určite veľmi zábavné.

V niektorých prípadoch je vhodné použiť rovnaké grécke písmená s dolnými indexmi na označenie lietadiel, napríklad .

Je zrejmé, že rovina je jednoznačne určená tromi rôznymi bodmi, ktoré neležia na rovnakej priamke. Preto sú pomerne obľúbené trojpísmenové označenia lietadiel – podľa bodov k nim patriacich napr. Písmená sú často uzavreté v zátvorkách: aby nedošlo k zámene roviny s iným geometrickým útvarom.

Pre skúsených čitateľov dám menu skratiek:

• Ako napísať rovnicu pre rovinu pomocou bodu a dvoch vektorov?
• Ako napísať rovnicu pre rovinu pomocou bodu a normálového vektora?

a nebudeme chradnúť v dlhom čakaní:

Všeobecná rovnica roviny

Všeobecná rovnica roviny má tvar , kde koeficienty sú súčasne nenulové.

Množstvo teoretických výpočtov a praktických problémov platí ako pre bežnú ortonormálnu, tak aj pre afinnú základňu priestoru (ak je ropa ropa, vráťte sa k lekcii Lineárna (ne)závislosť vektorov. Vektorový základ). Pre jednoduchosť budeme predpokladať, že všetky udalosti sa vyskytujú na ortonormálnom základe a karteziánskom pravouhlom súradnicovom systéme.

A teraz si potrénujme trochu priestorovej predstavivosti. Nevadí, ak to máte zlé, teraz to trochu rozvinieme. Aj hranie na nervy si vyžaduje cvik.

V najvšeobecnejšom prípade, keď sa čísla nerovnajú nule, rovina pretína všetky tri súradnicové osi. Napríklad takto:

Ešte raz opakujem, že rovina pokračuje donekonečna všetkými smermi a my máme možnosť znázorniť len jej časť.

Zvážte najjednoduchšie rovnice rovín:

Ako rozumieť tejto rovnici? Premýšľajte o tom: „Z“ VŽDY, pre akékoľvek hodnoty „X“ a „Y“ sa rovná nule. Toto je rovnica "natívnej" súradnicovej roviny. Formálne možno rovnicu prepísať takto: , odkiaľ je jasne vidieť, že nám je jedno, aké hodnoty „x“ a „y“ naberajú, je dôležité, aby sa „z“ rovnalo nule.

Podobne:
je rovnica súradnicovej roviny ;
je rovnica súradnicovej roviny.

Skúsme si problém trochu skomplikovať, uvažujme rovinu (tu a ďalej v odseku predpokladáme, že číselné koeficienty sa nerovnajú nule). Prepíšme rovnicu v tvare: . Ako tomu rozumieť? "X" je VŽDY, pre akúkoľvek hodnotu "y" a "z" sa rovná určitému číslu. Táto rovina je rovnobežná s rovinou súradníc. Napríklad rovina je rovnobežná s rovinou a prechádza bodom.

Podobne:
- rovnica roviny, ktorá je rovnobežná s rovinou súradníc;
- rovnica roviny, ktorá je rovnobežná s rovinou súradníc.

Pridať členov: . Rovnicu možno prepísať takto: , to znamená, že „Z“ môže byť čokoľvek. Čo to znamená? "X" a "Y" sú spojené pomerom, ktorý nakreslí určitú priamku v rovine (samozrejme rovnica priamky v rovine?). Keďže Z môže byť čokoľvek, táto čiara sa „replikuje“ v akejkoľvek výške. Rovnica teda definuje rovinu rovnobežnú so súradnicovou osou

Podobne:
- rovnica roviny, ktorá je rovnobežná so súradnicovou osou;
- rovnica roviny, ktorá je rovnobežná so súradnicovou osou.

Ak sú voľné členy nula, potom budú roviny priamo prechádzať cez príslušné osi. Napríklad klasická „priama úmernosť“:. Nakreslite rovnú čiaru v rovine a mentálne ju vynásobte hore a dole (keďže „z“ je ľubovoľné). Záver: rovina daná rovnicou prechádza súradnicovou osou.

Uzatvárame prehľad: rovnica roviny prechádza cez pôvod. No tu je úplne zrejmé, že bod spĺňa danú rovnicu.

A nakoniec prípad, ktorý je znázornený na výkrese: - rovina je priateľská so všetkými súradnicovými osami, pričom vždy „odreže“ trojuholník, ktorý sa môže nachádzať v ktoromkoľvek z ôsmich oktantov.

Lineárne nerovnosti v priestore

Na pochopenie informácií je potrebné dobre študovať lineárne nerovnosti v rovine pretože veľa vecí bude podobných. Tento odsek bude obsahovať stručný prehľad s niekoľkými príkladmi, keďže tento materiál je v praxi pomerne zriedkavý.

Ak rovnica definuje rovinu, potom nerovnosti
opýtať sa polovičné medzery. Ak nerovnosť nie je striktná (posledné dve v zozname), tak riešenie nerovnosti okrem polpriestoru zahŕňa aj samotnú rovinu.

Príklad 5

Nájdite jednotkový normálový vektor roviny .

Riešenie: Jednotkový vektor je vektor, ktorého dĺžka je jedna. Označme tento vektor . Je celkom jasné, že vektory sú kolineárne:

Najprv odstránime normálový vektor z rovnice roviny: .

Ako nájsť jednotkový vektor? Ak chcete nájsť jednotkový vektor, potrebujete každý vektorová súradnica delená dĺžkou vektora.

Prepíšeme normálny vektor do formulára a zistíme jeho dĺžku:

Podľa vyššie uvedeného:

Odpoveď:

Check: , ktorý bol povinný skontrolovať.

Čitatelia, ktorí si pozorne preštudovali posledný odsek lekcie, si to pravdepodobne všimli súradnice jednotkového vektora sú presne smerové kosínusy vektora:

Odbočme od rozobraného problému: keď dostanete ľubovoľný nenulový vektor a podľa podmienky je potrebné nájsť jej smerové kosínusy (pozri posledné úlohy lekcie Bodový súčin vektorov), potom v skutočnosti nájdete aj jednotkový vektor kolineárny s daným. V skutočnosti dve úlohy v jednej fľaši.

Potreba nájsť jednotkový normálový vektor vzniká v niektorých problémoch matematickej analýzy.

Prišli sme na lov normálneho vektora, teraz odpovieme na opačnú otázku:

Ako napísať rovnicu pre rovinu pomocou bodu a normálového vektora?

Táto tuhá konštrukcia normálneho vektora a bodu je dobre známa terčom šípok. Natiahnite ruku dopredu a v duchu vyberte ľubovoľný bod v priestore, napríklad malú mačku v príborníku. Je zrejmé, že cez tento bod môžete nakresliť jednu rovinu kolmú na vašu ruku.

Rovnica roviny prechádzajúcej bodom kolmým na vektor je vyjadrená vzorcom:

Normálny vektor

Rovinná plocha s dvoma normálami

V diferenciálnej geometrii, normálne- je to priamka, ortogonálna (kolmá) k dotyčnici nejakej krivky alebo dotyčnica k nejakej ploche. Hovoria aj o normálny smer.

Normálny vektor k povrchu v danom bode je jednotkový vektor aplikovaný na daný bod a rovnobežný so smerom normály. Pre každý bod na hladkom povrchu môžete určiť dva normálové vektory, ktoré sa líšia smerom. Ak je možné na povrchu definovať súvislé pole normálových vektorov, potom sa hovorí, že toto pole definuje orientácia povrch (to znamená výber jednej zo strán). Ak sa to nedá urobiť, povrch sa nazýva neorientovateľný.

Nadácia Wikimedia. 2010.

Pozrite sa, čo je "Normálny vektor" v iných slovníkoch:

normálny vektor- normalės vektorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. normálny vektor vok. Normalenvector, m rus. normálny vektor, m pranc. vecteur de la normale, m; vecteur normal, m … Fizikos terminų žodynas

Tento článok alebo sekcia potrebuje revíziu. Prosím o zlepšenie článku v súlade s pravidlami pre písanie článkov. Darbouxov vektor je smerový vektor okamžitej osi rotácie, okolo ktorej sa otáča sprievodný trojsten krivky L, keď ... ... Wikipedia

Elektrodynamika kontinua Elektrodynamika kontinua ... Wikipedia

Darbouxov vektor je smerový vektor okamžitej osi rotácie, okolo ktorej rotuje sprievodný trojsten krivky L pri rovnomernom pohybe bodu M po krivke L. Darbouxov vektor leží v rektifikačnej rovine krivky L a je vyjadrený v podmienky jednotky ... ... Wikipedia

Gradient (z lat. gradiens, rod gradientis walking), vektor znázorňujúci smer najrýchlejšej zmeny určitej veličiny, ktorej hodnota sa mení z jedného bodu v priestore do druhého (pozri Teória poľa). Ak je hodnota vyjadrená ... ...

Smerový vektor d okamžitej osi rotácie, okolo ktorej sa roj sprevádzajúci trojsten krivky L otáča, keď sa bod M pohybuje rovnomerne po krivke L. D. c. leží v rektifikačnej rovine krivky L a je vyjadrená v jednotkových vektoroch hlavnej normály ... Matematická encyklopédia

Tento článok alebo sekcia potrebuje revíziu. Prosím o zlepšenie článku v súlade s pravidlami pre písanie článkov. Hypersurface ... Wikipedia

Hardvérovo-softvérový komplex grafického potrubia na vizualizáciu trojrozmernej grafiky. Obsah 1 Prvky trojrozmernej scény 1.1 Hardvér 1.2 Softvérové ​​rozhrania ... Wikipedia

Matematická disciplína, ktorá študuje vlastnosti operácií s vektormi v euklidovskom priestore. Pojem vektor je zároveň matematickou abstrakciou veličín charakterizovaných nielen číselnou hodnotou, ale aj ... ... Veľká sovietska encyklopédia

Tento výraz má iné významy, pozri Rovina. Požiadavka "Rovnosť" je presmerovaná sem. Na túto tému je potrebný samostatný článok ... Wikipedia