Մի բանում դուք կարող եք հարյուր տոկոսով վստահ լինել, որ երբ նրան հարցնեն, թե որն է հիպոթենուսի քառակուսին, ցանկացած մեծահասակ համարձակորեն կպատասխանի. «Ոտքերի քառակուսիների գումարը»: Այս տեսությունը ամուր դրված է բոլորի մտքերում: կրթված մարդ, բայց բավական է միայն խնդրել ինչ-որ մեկին ապացուցել, ու այդ ժամանակ կարող են դժվարություններ առաջանալ։ Ուստի հիշենք և դիտարկենք Պյութագորասի թեորեմի ապացուցման տարբեր եղանակներ։

Կենսագրության համառոտ ակնարկ

Պյութագորասի թեորեմը ծանոթ է գրեթե բոլորին, բայց ինչ-ինչ պատճառներով այն ստեղծողի կենսագրությունն այնքան էլ հայտնի չէ։ Մենք կուղղենք այն: Ուստի Պյութագորասի թեորեմի ապացուցման տարբեր ուղիներն ուսումնասիրելուց առաջ անհրաժեշտ է համառոտ ծանոթանալ նրա անձին։

Պյութագորաս - փիլիսոփա, մաթեմատիկոս, մտածող, ծագումով այսօրից շատ դժվար է տարբերել նրա կենսագրությունը լեգենդներից, որոնք մշակվել են ի հիշատակ այս մեծ մարդու: Բայց ինչպես հետևում է իր հետևորդների գրվածքներից, Պյութագորաս Սամոսացին ծնվել է Սամոս կղզում: Նրա հայրը սովորական քարահատ էր, բայց մայրը ազնվական ընտանիքից էր։

Ըստ լեգենդի՝ Պյութագորասի ծնունդը կանխագուշակել է Պիթիա անունով մի կին, ում պատվին տղային անվանել են։ Նրա կանխատեսմամբ՝ ծնված տղան մարդկությանը պետք է շատ օգուտներ և բարիքներ բերեր։ Ինչը նա իրականում արել է:

Թեորեմի ծնունդ

Իր պատանեկության տարիներին Պյութագորասը տեղափոխվեց Եգիպտոս՝ այնտեղ հանդիպելու եգիպտացի հայտնի իմաստուններին։ Նրանց հետ հանդիպելուց հետո նա ընդունվել է սովորելու, որտեղ սովորել է եգիպտական ​​փիլիսոփայության, մաթեմատիկայի և բժշկության բոլոր մեծ նվաճումները։

Հավանաբար, հենց Եգիպտոսում է, որ Պյութագորասը ոգեշնչվել է բուրգերի վեհությամբ ու գեղեցկությամբ և ստեղծել իր սեփականը. մեծ տեսություն. Սա կարող է ցնցել ընթերցողներին, սակայն ժամանակակից պատմաբանները կարծում են, որ Պյութագորասը չի ապացուցել իր տեսությունը: Բայց նա միայն իր գիտելիքները փոխանցեց իր հետևորդներին, որոնք հետագայում ավարտեցին բոլոր անհրաժեշտ մաթեմատիկական հաշվարկները։

Ինչևէ, այսօր հայտնի է այս թեորեմի ապացուցման ոչ թե մեկ տեխնիկա, այլ միանգամից մի քանիսը։ Այսօր մենք կարող ենք միայն կռահել, թե ինչպես են իրականացրել հին հույները իրենց հաշվարկները, ուստի այստեղ մենք կքննարկենք Պյութագորասի թեորեմի ապացուցման տարբեր եղանակներ:

Պյութագորասի թեորեմ

Նախքան որևէ հաշվարկ սկսելը, դուք պետք է պարզեք, թե որ տեսությունն ապացուցել: Պյութագորասի թեորեմը հնչում է այսպես. «Եռանկյունում, որի անկյուններից մեկը 90 o է, ոտքերի քառակուսիների գումարը հավասար է հիպոթենուսի քառակուսուն»։

Ընդհանուր առմամբ Պյութագորասի թեորեմն ապացուցելու 15 տարբեր եղանակ կա: Սա բավականին մեծ թիվ է, ուստի եկեք ուշադրություն դարձնենք դրանցից ամենահայտնիներին:

Մեթոդ առաջին

Եկեք նախ սահմանենք, թե ինչ ունենք։ Այս տվյալները կկիրառվեն նաև Պյութագորասի թեորեմի ապացուցման այլ եղանակների վրա, այնպես որ դուք պետք է անմիջապես հիշեք առկա բոլոր նշումները:

Ենթադրենք տրված է ուղղանկյուն եռանկյուն, որի a, b ոտքերը և հիպոթենուսը հավասար են c-ի: Ապացույցի առաջին միջոցը հիմնված է այն փաստի վրա, որ ուղղանկյուն եռանկյունդուք պետք է նկարեք քառակուսի:

Դա անելու համար հարկավոր է ոտքին հավասար հատված գծել ոտքի երկարությանը a և հակառակը: Այսպիսով, պետք է ստացվի քառակուսու երկու հավասար կողմեր: Մնում է միայն երկու զուգահեռ գծեր գծել, և հրապարակը պատրաստ է։

Ստացված նկարի ներսում դուք պետք է նկարեք ևս մեկ քառակուսի, որի կողմը հավասար է սկզբնական եռանկյունու հիպոթենուսին: Դա անելու համար ac և s գագաթներից պետք է նկարել երկուսը զուգահեռ հատվածհետ հավասար. Այսպիսով, մենք ստանում ենք քառակուսու երեք կողմ, որոնցից մեկը սկզբնական ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսն է: Մնում է միայն չորրորդ հատվածը նկարել։

Ելնելով ստացված նկարից՝ կարող ենք եզրակացնել, որ արտաքին քառակուսու մակերեսը (a + b) 2 է: Եթե ​​նայեք նկարի ներսում, ապա կտեսնեք, որ բացի ներքին քառակուսուց, այն ունի չորս ուղղանկյուն եռանկյուն: Յուրաքանչյուրի մակերեսը 0,5 պող.

Հետևաբար, տարածքը հետևյալն է.

Հետևաբար (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

Եվ, հետևաբար, 2 \u003d a 2 + 2-ում

Թեորեմն ապացուցված է.

Մեթոդ երկրորդ. նմանատիպ եռանկյուններ

Պյութագորասի թեորեմի ապացուցման այս բանաձևը ստացվել է նմանատիպ եռանկյունների մասին երկրաչափության բաժնի մի հայտարարության հիման վրա։ Այն ասում է, որ ուղղանկյուն եռանկյան ոտքը միջինը համամասնական է նրա հիպոթենուսին և հիպոթենուսային հատվածին, որը բխում է 90 o անկյան գագաթից:

Նախնական տվյալները մնում են նույնը, ուստի եկեք անմիջապես սկսենք ապացույցից: Եկեք գծենք CD հատված AB կողմին ուղղահայաց: Ելնելով վերոնշյալ հայտարարությունից՝ եռանկյունների ոտքերը հավասար են.

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV:

Հարցին պատասխանելու համար, թե ինչպես կարելի է ապացուցել Պյութագորասի թեորեմը, ապացույցը պետք է տրվի երկու անհավասարությունների քառակուսու վրա։

AC 2 \u003d AB * HELL և SV 2 \u003d AB * DV

Այժմ մենք պետք է ավելացնենք ստացված անհավասարությունները:

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), որտեղ AD + DV \u003d AB

Ստացվում է, որ.

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

Եւ, հետեւաբար:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Պյութագորասի թեորեմի ապացուցումը և դրա լուծման տարբեր եղանակները պահանջում են բազմակողմանի մոտեցում այս խնդրին։ Այնուամենայնիվ, այս տարբերակը ամենապարզներից մեկն է:

Մեկ այլ հաշվարկի մեթոդ

Պյութագորասի թեորեմի ապացուցման տարբեր եղանակների նկարագրությունը կարող է ոչինչ չասել, քանի դեռ չեք սկսել ինքնուրույն զբաղվել: Շատ մեթոդներ ներառում են ոչ միայն մաթեմատիկական հաշվարկներ, այլև սկզբնական եռանկյունից նոր թվերի կառուցում:

AT այս դեպքըանհրաժեշտ է լրացնել ևս մեկ ուղղանկյուն եռանկյուն VSD ինքնաթիռի ոտքից: Այսպիսով, այժմ կան երկու եռանկյուններ ընդհանուր ոտքով մ.թ.ա.

Իմանալով, որ համանման պատկերների մակերեսները հարաբերակցություն ունեն իրենց նման գծային չափերի քառակուսիների հետ, ապա.

S avs * s 2 - S avd * in 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (2-ից մինչև 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

2-ից մինչև 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + 2-ում

Քանի որ այս տարբերակը դժվար թե հարմար լինի Պյութագորասի թեորեմի 8-րդ դասարանի ապացուցման տարբեր մեթոդներից, կարող եք օգտագործել հետևյալ տեխնիկան.

Պյութագորասի թեորեմն ապացուցելու ամենահեշտ ձևը. Կարծիքներ

Պատմաբանները կարծում են, որ այս մեթոդն առաջին անգամ օգտագործվել է Հին Հունաստանում թեորեմի ապացուցման համար։ Դա ամենապարզն է, քանի որ բացարձակապես որևէ հաշվարկ չի պահանջում։ Եթե ​​նկարը ճիշտ եք նկարում, ապա հստակ տեսանելի կլինի այն պնդման ապացույցը, որ a 2 + b 2 \u003d c 2:

Պայմաններ համար այս մեթոդըմի փոքր կտարբերվի նախորդից: Թեորեմն ապացուցելու համար ենթադրենք, որ ABC ուղղանկյուն եռանկյունը հավասարաչափ է:

Որպես քառակուսի կողմ վերցնում ենք AC հիպոթենուսը և գծում նրա երեք կողմերը։ Բացի այդ, ստացված քառակուսիում անհրաժեշտ է գծել երկու անկյունագծային գիծ։ Այսպիսով, դրա ներսում դուք ստանում եք չորս հավասարաչափ եռանկյուն:

AB և CB ոտքերին անհրաժեշտ է նաև քառակուսի նկարել և յուրաքանչյուրում մեկական անկյունագիծ գծել: Առաջին գիծը գծում ենք A գագաթից, երկրորդը՝ C-ից։

Այժմ դուք պետք է ուշադիր նայեք ստացված նկարին: Քանի որ AC հիպոթենուսի վրա կան չորս եռանկյուններ, որոնք հավասար են սկզբնականին, և երկու՝ ոտքերի վրա, սա ցույց է տալիս այս թեորեմի ճշմարտացիությունը:

Ի դեպ, Պյութագորասի թեորեմի ապացուցման այս մեթոդի շնորհիվ ծնվեց հայտնի արտահայտությունը՝ «Պյութագորասի շալվարը բոլոր ուղղություններով հավասար է»։

Ապացույց Ջ. Գարֆիլդի կողմից

Ջեյմս Գարֆիլդը Ամերիկայի Միացյալ Նահանգների 20-րդ նախագահն է։ Բացի այն, որ նա իր հետքը թողեց պատմության մեջ որպես Միացյալ Նահանգների կառավարիչ, նա նաև շնորհալի ինքնուսույց էր:

Իր կարիերայի սկզբում նա սովորական ուսուցիչ էր ժողովրդական դպրոցում, բայց շուտով դարձավ բարձրագույններից մեկի տնօրեն։ ուսումնական հաստատություններ. Ինքնազարգացման ցանկությունը և թույլ տվեց նրան առաջարկել նոր տեսությունՊյութագորասի թեորեմի ապացույցը. Թեորեմը և դրա լուծման օրինակը հետևյալն են.

Նախ պետք է թղթի վրա երկու ուղղանկյուն եռանկյունի նկարել, որպեսզի դրանցից մեկի ոտքը երկրորդի շարունակությունն է։ Այս եռանկյունների գագաթները պետք է միացվեն, որպեսզի վերջանան տրապիզոիդով:

Ինչպես գիտեք, trapezoid-ի մակերեսը հավասար է նրա հիմքերի և բարձրության գումարի կեսի արտադրյալին:

S=a+b/2 * (a+b)

Եթե ​​ստացված trapezoid-ը դիտարկենք որպես երեք եռանկյուններից բաղկացած գործիչ, ապա դրա մակերեսը կարելի է գտնել հետևյալ կերպ.

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Այժմ մենք պետք է հավասարեցնենք երկու բնօրինակ արտահայտությունները

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + 2-ում

Պյութագորասի թեորեմի և այն ապացուցելու եղանակների մասին կարելի է գրել մեկից ավելի հատորներ ուսումնական ուղեցույց. Բայց արդյո՞ք իմաստ ունի, երբ այդ գիտելիքը հնարավոր չէ կիրառել գործնականում:

Պյութագորասի թեորեմի գործնական կիրառում

Ցավոք, ժամանակակից դպրոցական ծրագրերԱյս թեորեմը նախատեսված է օգտագործել միայն երկրաչափական խնդիրներ. Շրջանավարտները շուտով կլքեն դպրոցի պատերը՝ չիմանալով, թե ինչպես կարող են գործնականում կիրառել իրենց գիտելիքներն ու հմտությունները:

Իրականում բոլորը կարող են օգտագործել Պյութագորասի թեորեմն իրենց առօրյա կյանքում: Եվ ոչ միայն ներս մասնագիտական ​​գործունեությունայլ նաև սովորական տնային գործերում: Դիտարկենք մի քանի դեպքեր, երբ Պյութագորասի թեորեմը և դրա ապացուցման մեթոդները կարող են չափազանց անհրաժեշտ լինել։

Թեորեմի և աստղագիտության կապը

Թվում է, թե ինչպես կարելի է աստղերն ու եռանկյունները միացնել թղթի վրա: Իրականում աստղագիտությունը գիտական ​​ոլորտ է, որտեղ լայնորեն կիրառվում է Պյութագորասի թեորեմը։

Օրինակ, դիտարկենք լույսի ճառագայթի շարժումը տարածության մեջ: Մենք գիտենք, որ լույսը երկու ուղղություններով շարժվում է նույն արագությամբ։ Հետագիծը մենք անվանում ենք AB, որով շարժվում է լույսի ճառագայթը լ. Իսկ լույսի A կետից B կետ հասնելու ժամանակի կեսը, եկեք կանչենք տ. Եվ ճառագայթի արագությունը - գ. Ստացվում է, որ. c*t=l

Եթե ​​նայեք հենց այս ճառագայթին մեկ այլ հարթությունից, օրինակ, տիեզերական գծից, որը շարժվում է v արագությամբ, ապա մարմինների նման դիտարկմամբ դրանց արագությունը կփոխվի։ Այս դեպքում նույնիսկ անշարժ տարրերը կշարժվեն v արագությամբ հակառակ ուղղությամբ։

Ենթադրենք, կատակերգական նավը նավարկում է դեպի աջ: Այնուհետև A և B կետերը, որոնց միջև ճառագայթը շտապում է, կտեղափոխվեն ձախ: Ավելին, երբ ճառագայթը շարժվում է A կետից B կետ, A կետը ժամանակ ունի շարժվելու և, համապատասխանաբար, լույսն արդեն կհասնի նոր C կետ: A կետի անցած հեռավորության կեսը գտնելու համար պետք է բազմապատկել երեսպատման արագությունը ճառագայթի ճամփորդության ժամանակի կեսով (t»):

Եվ որպեսզի պարզեք, թե որքան հեռու կարող է անցնել լույսի ճառագայթը այս ընթացքում, դուք պետք է նշեք նոր հաճարի ճանապարհի կեսը և ստացեք հետևյալ արտահայտությունը.

Եթե ​​պատկերացնենք, որ C և B լույսի կետերը, ինչպես նաև տիեզերական գիծը, հավասարաչափ եռանկյան գագաթներ են, ապա A կետից մինչև գիծ հատվածը այն կբաժանի երկու ուղղանկյուն եռանկյունու։ Հետևաբար, Պյութագորասի թեորեմի շնորհիվ դուք կարող եք գտնել այն հեռավորությունը, որը կարող էր անցնել լույսի ճառագայթը:

Այս օրինակը, իհարկե, ամենահաջողը չէ, քանի որ միայն քչերին կարող է բախտ վիճակվել փորձել այն գործնականում: Հետևաբար, մենք դիտարկում ենք այս թեորեմի ավելի սովորական կիրառությունները:

Բջջային ազդանշանի փոխանցման տիրույթ

Ժամանակակից կյանքն այլևս հնարավոր չէ պատկերացնել առանց սմարթֆոնների գոյության։ Բայց որքանո՞վ դրանք օգտակար կլինեին, եթե չկարողանային միացնել բաժանորդներին բջջային կապի միջոցով:

Բջջային կապի որակը ուղղակիորեն կախված է այն բարձրությունից, որի վրա գտնվում է բջջային օպերատորի ալեհավաքը: Հաշվարկելու համար, թե բջջային աշտարակից որքան հեռավորության վրա կարող է ազդանշան ստանալ հեռախոսը, կարող եք կիրառել Պյութագորասի թեորեմը:

Ենթադրենք, պետք է գտնել անշարժ աշտարակի մոտավոր բարձրությունը, որպեսզի այն կարողանա ազդանշան տարածել 200 կիլոմետր շառավղով:

AB (աշտարակի բարձրությունը) = x;

BC (ազդանշանի փոխանցման շառավիղ) = 200 կմ;

ՕՀ (շառավիղ երկրագունդը) = 6380 կմ;

OB=OA+ABOB=r+x

Կիրառելով Պյութագորասի թեորեմը՝ պարզում ենք, որ աշտարակի նվազագույն բարձրությունը պետք է լինի 2,3 կիլոմետր։

Պյութագորասի թեորեմը առօրյա կյանքում

Տարօրինակ կերպով, Պյութագորասի թեորեմը կարող է օգտակար լինել նույնիսկ կենցաղային հարցերում, օրինակ՝ առանձնասենյակի բարձրությունը որոշելիս, օրինակ: Առաջին հայացքից նման բարդ հաշվարկներ կիրառելու կարիք չկա, քանի որ կարելի է պարզապես չափումներ կատարել ժապավենի չափման միջոցով։ Բայց շատերը զարմացած են, թե ինչու են որոշակի խնդիրներ առաջանում հավաքման գործընթացում, եթե բոլոր չափումները կատարվել են ավելի քան ճշգրիտ:

Փաստն այն է, որ զգեստապահարանը հավաքվում է հորիզոնական դիրքով և միայն դրանից հետո բարձրանում և տեղադրվում է պատին: Հետևաբար, կառույցի բարձրացման գործընթացում կաբինետի կողային պատը պետք է ազատորեն անցնի ինչպես բարձրության, այնպես էլ սենյակի անկյունագծով:

Ենթադրենք կա 800 մմ խորությամբ զգեստապահարան։ Հեռավորությունը հատակից առաստաղ - 2600 մմ: Փորձառու կահույքագործը կասի, որ կաբինետի բարձրությունը պետք է լինի 126 մմ-ով պակաս սենյակի բարձրությունից: Բայց ինչու հենց 126 մմ: Դիտարկենք մի օրինակ։

Կաբինետի իդեալական չափերով, եկեք ստուգենք Պյութագորասի թեորեմի գործողությունը.

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 մմ - ամեն ինչ համընկնում է:

Ասենք պահարանի բարձրությունը ոչ թե 2474 մմ է, այլ 2505 մմ։ Ապա.

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 մմ:

Հետեւաբար, այս կաբինետը հարմար չէ այս սենյակում տեղադրելու համար: Քանի որ այն ուղղահայաց դիրք բարձրացնելիս կարող է վնասվել նրա մարմնին։

Թերևս, տարբեր գիտնականների կողմից Պյութագորասի թեորեմի ապացուցման տարբեր եղանակներ դիտարկելով, կարող ենք եզրակացնել, որ այն ավելի քան ճիշտ է։ Այժմ դուք կարող եք օգտագործել ստացված տեղեկատվությունը ձեր առօրյա կյանքում և լիովին վստահ լինել, որ բոլոր հաշվարկները ոչ միայն օգտակար կլինեն, այլև ճիշտ:

» Ուորվիքի համալսարանի մաթեմատիկայի վաստակավոր պրոֆեսոր, գիտության հայտնի հանրահռչակող Յան Ստյուարտը, որը նվիրված է թվերի դերին մարդկության պատմության մեջ և դրանց ուսումնասիրության արդիականությանը մեր ժամանակներում:

Պյութագորասի հիպոթենուզա

Պյութագորասի եռանկյուններն ունեն ուղիղ անկյուն և ամբողջ թվեր: Դրանցից ամենապարզում ամենաերկար կողմն ունի 5 երկարություն, մնացածները՝ 3 և 4։ Կան 5։ կանոնավոր պոլիեդրաներ. Հինգերորդ աստիճանի հավասարումը չի կարող լուծվել հինգերորդ աստիճանի արմատներով կամ որևէ այլ արմատով: Վանդակները հարթության և եռաչափ տարածության մեջ չունեն հնգբլթակ պտտվող համաչափություն, հետևաբար նման համաչափություններ բացակայում են նաև բյուրեղներում։ Այնուամենայնիվ, նրանք կարող են լինել ցանցերի վրա քառաչափ տարածությունև հետաքրքիր կառուցվածքներում, որոնք հայտնի են որպես քվազիկրիստալներ:

Պյութագորասի ամենափոքր եռյակի հիպոթենուզը

Պյութագորասի թեորեմը նշում է, որ ուղղանկյուն եռանկյան ամենաերկար կողմը (առակային հիպոթենուս) կապված է այդ եռանկյան մյուս երկու կողմերի հետ շատ պարզ և գեղեցիկ ձևով. հիպոթենուսի քառակուսին: հավասար է գումարինմյուս երկու կողմերի քառակուսիները:

Ավանդաբար, մենք այս թեորեմն անվանում ենք Պյութագորասի անունով, բայց իրականում դրա պատմությունը բավականին անորոշ է: Կավե տախտակները հուշում են, որ հին բաբելոնացիները գիտեին Պյութագորասի թեորեմը հենց Պյութագորասից շատ առաջ; Հայտնաբերողի փառքը նրան բերեց Պյութագորասի մաթեմատիկական պաշտամունքը, որի կողմնակիցները կարծում էին, որ տիեզերքը հիմնված է թվային օրինաչափությունների վրա: Հին հեղինակները Պյութագորասին, և հետևաբար Պյութագորասին վերագրում էին մաթեմատիկական մի շարք թեորեմներ, բայց իրականում մենք պատկերացում չունենք, թե ինչպիսի մաթեմատիկայով է զբաղվել ինքը Պյութագորասը: Մենք նույնիսկ չգիտենք, թե արդյոք պյութագորացիները կարող էին ապացուցել Պյութագորասի թեորեմը, թե՞ նրանք պարզապես հավատում էին, որ դա ճիշտ է: Կամ, ավելի հավանական է, ունեին համոզիչ տվյալներ դրա իսկության մասին, որոնք, այնուամենայնիվ, բավարար չէին լինի այն, ինչ մենք այսօր ապացույց ենք համարում։

Պյութագորասի վկայությունը

Պյութագորասի թեորեմի առաջին հայտնի ապացույցը գտնվում է Էվկլիդեսի տարրերում։ Սա բավականին բարդ ապացույց է՝ օգտագործելով գծանկարը, որը վիկտորիանական դպրոցականները անմիջապես կճանաչեն որպես «Պյութագորասյան շալվար». գծանկարն իսկապես հիշեցնում է պարանի վրա չորացող անդրավարտիքի: Բառացիորեն հայտնի են հարյուրավոր այլ ապացույցներ, որոնցից շատերն ավելի ակնհայտ են դարձնում պնդումը։

// Բրինձ. 33. Պյութագորասյան շալվար

Ամենապարզ ապացույցներից մեկը մի տեսակ մաթեմատիկական գլուխկոտրուկ է։ Վերցրեք ցանկացած ուղղանկյուն եռանկյուն, պատրաստեք դրա չորս օրինակ և հավաքեք դրանք քառակուսու ներսում: Մեկ դրվածքով մենք տեսնում ենք քառակուսի հիպոթենուսի վրա. մյուսի հետ - քառակուսիներ եռանկյունու մյուս երկու կողմերում: Հասկանալի է, որ երկու դեպքում էլ տարածքները հավասար են։

// Բրինձ. 34. Ձախ՝ քառակուսի հիպոթենուսի վրա (գումարած չորս եռանկյունի): Աջ՝ մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարը (գումարած նույն չորս եռանկյունները): Այժմ վերացրեք եռանկյունները

Պերիգալի մասնահատումը ևս մեկ հանելուկ ապացույց է:

// Բրինձ. 35. Պերիգալի մասնահատում

Կա նաև թեորեմի ապացույց՝ օգտագործելով հարթության վրա քառակուսիները: Թերևս այսպես են պյութագորացիները կամ նրանց անհայտ նախորդները բացահայտել այս թեորեմը։ Եթե ​​նայեք, թե թեք քառակուսին ինչպես է համընկնում մյուս երկու քառակուսիների հետ, կարող եք տեսնել, թե ինչպես կարելի է մեծ քառակուսին կտրել կտորներով, ապա դրանք միասին դնել երկու փոքր քառակուսիների մեջ: Կարող եք նաև տեսնել ուղղանկյուն եռանկյուններ, որոնց կողմերը տալիս են ներգրավված երեք քառակուսիների չափերը:

// Բրինձ. 36. Ապացուցում սալահատակով

Հետաքրքիր ապացույցներ կան՝ օգտագործելով նմանատիպ եռանկյունները եռանկյունաչափության մեջ: Հայտնի են առնվազն հիսուն տարբեր ապացույցներ։

Պյութագորասյան եռյակներ

Թվերի տեսության մեջ Պյութագորասի թեորեմը դարձավ բեղմնավոր գաղափարի աղբյուր՝ գտնել հանրահաշվական հավասարումների ամբողջ թվային լուծումներ։ Պյութագորասյան եռյակը a, b և c այնպիսի ամբողջ թվերի բազմություն է, որ

Երկրաչափորեն նման եռյակը սահմանում է ամբողջ թվով կողմերով ուղղանկյուն եռանկյուն:

Պյութագորասյան եռյակի ամենափոքր հիպոթենուսը 5-ն է:

Այս եռանկյան մյուս երկու կողմերը 3 և 4 են։ Ահա

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Հաջորդ ամենամեծ հիպոթենուսը 10-ն է, քանի որ

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Այնուամենայնիվ, սա, ըստ էության, նույն եռանկյունն է՝ կրկնապատկված կողմերով: Հաջորդ ամենամեծ և իսկապես տարբեր հիպոթենուսը 13-ն է, որի համար

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Էվկլիդեսը գիտեր, որ կան Պյութագորասի եռյակների անսահման թվով տարբեր տատանումներ, և նա տվեց այն, ինչը կարելի է անվանել բոլորը գտնելու բանաձև։ Ավելի ուշ Դիոֆանտ Ալեքսանդրացին առաջարկեց մի պարզ բաղադրատոմս, որը հիմնականում նույնն է, ինչ Էվկլիդեսը:

Վերցրեք ցանկացած երկու բնական թիվ և հաշվարկեք.

նրանց կրկնակի արտադրանքը;

նրանց քառակուսիների տարբերությունը;

դրանց քառակուսիների գումարը:

Ստացված երեք թվերը կլինեն Պյութագորասի եռանկյունու կողմերը:

Վերցրեք, օրինակ, 2 և 1 թվերը: Հաշվեք.

կրկնակի արտադրանք `2 × 2 × 1 = 4;

քառակուսիների տարբերությունը `22 - 12 = 3;

քառակուսիների գումարը՝ 22 + 12 = 5,

և ստացանք հայտնի 3-4-5 եռանկյունին: Եթե ​​փոխարենը վերցնենք 3 և 2 թվերը, ապա կստանանք.

կրկնակի արտադրանք `2 × 3 × 2 = 12;

քառակուսիների տարբերությունը `32 - 22 = 5;

քառակուսիների գումարը՝ 32 + 22 = 13,

և մենք ստանում ենք հաջորդ հայտնի եռանկյունը 5 - 12 - 13: Փորձենք վերցնել 42 և 23 թվերը և ստանալ.

կրկնակի արտադրանքը `2 × 42 × 23 = 1932;

քառակուսիների տարբերությունը՝ 422 - 232 = 1235;

քառակուսիների գումարը՝ 422 + 232 = 2293,

ոչ ոք երբեք չի լսել 1235-1932-2293 եռանկյունու մասին:

Բայց այս թվերը նույնպես աշխատում են.

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Դիոֆանտինի կանոնում կա ևս մեկ հատկանիշ, որի մասին արդեն ակնարկվել է՝ ստանալով երեք թիվ՝ մենք կարող ենք մեկ այլ կամայական թիվ վերցնել և բոլորը բազմապատկել դրանով։ Այսպիսով, 3-4-5 եռանկյունին կարելի է վերածել 6-8-10 եռանկյունու՝ բազմապատկելով բոլոր կողմերը 2-ով, կամ 15-20-25 եռանկյունի՝ ամեն ինչ 5-ով բազմապատկելով:

Եթե ​​անցնենք հանրահաշվի լեզվին, ապա կանոնը ստանում է հետևյալ ձևը՝ թող u, v և k լինեն բնական թվեր։ Այնուհետև ուղղանկյուն եռանկյուն՝ կողքերով

2kuv և k (u2 - v2) ունի հիպոթենուզ

Հիմնական գաղափարը ներկայացնելու այլ եղանակներ կան, բայց դրանք բոլորը հանգում են վերը նկարագրվածին: Այս մեթոդը թույլ է տալիս ստանալ Պյութագորասի բոլոր եռյակները:

Կանոնավոր պոլիեդրաներ

Կան ուղիղ հինգ կանոնավոր պոլիեդրաներ։ Կանոնավոր պոլիէդրոնը (կամ բազմանիստը) հարթ երեսների վերջավոր թվով եռաչափ պատկեր է։ Երեսները միմյանց հետ համընկնում են եզրեր կոչվող գծերի վրա. եզրերը հանդիպում են գագաթներ կոչվող կետերում:

Էվկլիդեսյան «Սկիզբների» գագաթնակետը ապացույցն է այն բանի, որ կարող է լինել միայն հինգ կանոնավոր բազմանիստ, այսինքն՝ բազմանիստ, որոնցում յուրաքանչյուր դեմք կանոնավոր բազմանկյուն է (հավասար կողմեր, հավասար անկյուններ), բոլոր երեսները նույնական են, և բոլոր գագաթները շրջապատված են հավասար թվով հավասարաչափ հեռավորության վրա գտնվող դեմքերով: Ահա հինգ կանոնավոր պոլիեդրաներ.

չորս եռանկյուն երեսներով, չորս գագաթներով և վեց եզրերով քառասյուն;

խորանարդ կամ վեցանկյուն, 6 քառակուսի երեսներով, 8 գագաթներով և 12 եզրերով;

ութանիստ 8 եռանկյուն դեմքով, 6 գագաթներով և 12 եզրերով;

12 հնգանկյուն երեսներով, 20 գագաթներով և 30 եզրերով տասներկուանիստ;

իկոսաեդրոն՝ 20 եռանկյուն երեսներով, 12 գագաթներով և 30 եզրերով։

// Բրինձ. 37. Հինգ կանոնավոր բազմանիստ

Բնության մեջ կարելի է գտնել նաև կանոնավոր պոլիեդրաներ։ 1904 թվականին Էռնստ Հեկելը հրապարակեց փոքրիկ օրգանիզմների նկարներ, որոնք հայտնի են որպես ռադիոլարերներ. նրանցից շատերը ունեն նույն հինգ կանոնավոր պոլիեդրների ձևը: Միգուցե, այնուամենայնիվ, նա մի փոքր ուղղեց բնությունը, և գծագրերը լիովին չեն արտացոլում կոնկրետ կենդանի էակների ձևը: Առաջին երեք կառուցվածքները նույնպես դիտվում են բյուրեղներում։ Բյուրեղների մեջ դու չես գտնի դոդեկաեդրոն և իկոսաեդրոն, թեև այնտեղ երբեմն հանդիպում են անկանոն տասներկուերորդներ և իկոսաեդրոններ։ Իսկական տասներկուանիստները կարող են հանդես գալ որպես քվազիկրիստալներ, որոնք բոլոր առումներով նման են բյուրեղների, բացառությամբ, որ դրանց ատոմները պարբերական ցանց չեն կազմում։

// Բրինձ. 38. Հեյկելի գծագրեր. ռադիոլարերներ կանոնավոր պոլիեդրների տեսքով

// Բրինձ. 39. Կանոնավոր պոլիեդրայի զարգացումները

Կարող է հետաքրքիր լինել թղթից սովորական պոլիեդրների մոդելներ պատրաստելը՝ նախ կտրելով փոխկապակցված դեմքերի մի շարք. սկանը ծալվում է եզրերի երկայնքով, իսկ համապատասխան եզրերը սոսնձված են իրար: Օգտակար է յուրաքանչյուր նման զույգի եզրերից մեկին սոսինձի համար լրացուցիչ տարածք ավելացնել, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 39. Եթե նման հարթակ չկա, կարող եք օգտագործել կպչուն ժապավեն:

Հինգերորդ աստիճանի հավասարում

5-րդ աստիճանի հավասարումների լուծման հանրահաշվական բանաձև չկա։

AT ընդհանուր տեսարան 5-րդ հավասարումն ունի հետևյալ տեսքը.

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0:

Խնդիրը նման հավասարման լուծման բանաձև գտնելն է (այն կարող է ունենալ մինչև հինգ լուծում): Քառակուսի և խորանարդ հավասարումների, ինչպես նաև չորրորդ աստիճանի հավասարումների հետ առնչվելու փորձը հուշում է, որ նման բանաձև պետք է լինի նաև հինգերորդ աստիճանի հավասարումների համար, իսկ տեսականորեն՝ հինգերորդ, երրորդ և երկրորդ աստիճանի արմատները։ հայտնվել դրա մեջ: Կրկին կարելի է հանգիստ ենթադրել, որ նման բանաձևը, եթե այն լինի, շատ ու շատ բարդ կստացվի։

Այս ենթադրությունը, ի վերջո, սխալ դուրս եկավ։ Իրոք, նման բանաձև գոյություն չունի. համենայնդեպս, չկա բանաձև, որը բաղկացած է a, b, c, d, e և f գործակիցներից, որոնք կազմված են գումարում, հանում, բազմապատկում և բաժանում և արմատներ վերցնում: Այսպիսով, 5 թվի մեջ շատ յուրահատուկ բան կա: Հինգի այս անսովոր վարքի պատճառները շատ խորն են, և դրանք պարզելու համար շատ ժամանակ պահանջվեց:

Խնդիրի առաջին նշանն այն էր, որ որքան էլ մաթեմատիկոսները փորձեին գտնել նման բանաձև, որքան էլ խելացի լինեին, նրանք միշտ ձախողվում էին: Որոշ ժամանակ բոլորը հավատում էին, որ պատճառները բանաձևի անհավանական բարդության մեջ են։ Համարվում էր, որ ոչ ոք պարզապես չի կարող ճիշտ հասկանալ այս հանրահաշիվը: Սակայն ժամանակի ընթացքում որոշ մաթեմատիկոսներ սկսեցին կասկածել, որ նման բանաձև նույնիսկ գոյություն ունի, և 1823 թվականին Նիլս Հենդրիկ Աբելը կարողացավ ապացուցել հակառակը։ Նման բանաձև չկա. Դրանից կարճ ժամանակ անց Էվարիստ Գալուան գտավ մի միջոց՝ որոշելու, թե արդյոք այս կամ այն ​​աստիճանի հավասարումը` 5-րդ, 6-րդ, 7-րդ, ընդհանուր առմամբ ցանկացած, լուծելի է այս բանաձևի միջոցով:

Այս ամենից եզրակացությունը պարզ է՝ 5 թիվը առանձնահատուկ է։ Դուք կարող եք լուծել հանրահաշվական հավասարումներ (օգտագործելով n-րդի արմատներըաստիճաններ n-ի տարբեր արժեքների համար) 1, 2, 3 և 4 աստիճանների համար, բայց ոչ 5-րդ աստիճանի համար: Այստեղ ավարտվում է ակնհայտ օրինաչափությունը:

Ոչ ոք չի զարմանում, որ 5-ից ավելի հզորությունների հավասարումները ավելի վատ են վարվում. մասնավորապես նրանք ունեն նույն դժվարությունը՝ ոչ ընդհանուր բանաձևերդրանց լուծման համար։ Սա չի նշանակում, որ հավասարումները լուծումներ չունեն. դա չի նշանակում նաև, որ անհնար է գտնել այս լուծումների շատ ճշգրիտ թվային արժեքներ: Ամեն ինչ վերաբերում է ավանդական հանրահաշվի գործիքների սահմանափակումներին: Սա հիշեցնում է քանոնով և կողմնացույցով անկյունը եռահատելու անհնարինությունը: Պատասխան կա, բայց թվարկված մեթոդները բավարար չեն և թույլ չեն տալիս որոշել, թե դա ինչ է։

Բյուրեղագրական սահմանափակում

Երկու և եռաչափ բյուրեղները չունեն 5 ճառագայթով պտտվող համաչափություն:

Բյուրեղի ատոմները կազմում են վանդակ, այսինքն՝ կառուցվածք, որը պարբերաբար կրկնվում է մի քանի անկախ ուղղություններով։ Օրինակ, պաստառի նախշը կրկնվում է գլանափաթեթի երկարությամբ; բացի այդ, այն սովորաբար կրկնվում է հորիզոնական ուղղությամբ՝ երբեմն պաստառի մի կտորից մյուսը տեղափոխելով: Ըստ էության, պաստառը երկչափ բյուրեղ է:

Ինքնաթիռում առկա են պաստառների նախշերի 17 տեսակ (տե՛ս գլուխ 17): Նրանք տարբերվում են սիմետրիայի տեսակներից, այսինքն՝ նախշը կոշտորեն փոխելու եղանակներով, որպեսզի այն իր սկզբնական դիրքում հենց իր վրա ընկնի։ Համաչափության տեսակները ներառում են, մասնավորապես, պտտվող սիմետրիայի տարբեր տարբերակներ, որտեղ նախշը պետք է պտտվի որոշակի անկյան տակ որոշակի կետի շուրջը` սիմետրիայի կենտրոնը:

Պտտման համաչափության կարգն այն է, թե քանի անգամ կարող եք մարմինը պտտել ամբողջական շրջանով, որպեսզի նկարի բոլոր մանրամասները վերադառնան իրենց սկզբնական դիրքերին: Օրինակ, 90° ռոտացիան 4-րդ կարգի պտտման համաչափություն է*։ Բյուրեղային ցանցում պտտվող սիմետրիայի հնարավոր տեսակների ցանկը կրկին մատնանշում է 5 թվի անսովորությունը. այն չկա: Գոյություն ունեն 2-րդ, 3-րդ, 4-րդ և 6-րդ կարգերի պտտվող սիմետրիկությամբ տարբերակներ, սակայն ոչ մի պաստառի նախշ չունի 5-րդ կարգի պտտվող համաչափություն: Չկա նաև բյուրեղներում 6-ից մեծ կարգի պտտվող սիմետրիա, բայց հաջորդականության առաջին խախտումը դեռ տեղի է ունենում 5 թվի մոտ։

Նույնը տեղի է ունենում եռաչափ տարածության բյուրեղագրական համակարգերի դեպքում։ Այստեղ վանդակաճաղը կրկնվում է երեք անկախ ուղղություններով. Կա 219 տարբեր տեսակներսիմետրիա կամ 230, եթե հաշվում ես հայելային արտացոլումնկարելը որպես դրա առանձին տարբերակ, ավելին, այս դեպքում հայելային սիմետրիա չկա։ Կրկին նկատվում են 2, 3, 4 և 6 կարգերի պտտվող համաչափություններ, բայց ոչ 5: Այս փաստը կոչվում է բյուրեղագրական սահմանափակում:

Քառաչափ տարածության մեջ կան 5-րդ կարգի համաչափությամբ վանդակավորներ. Ընդհանրապես, բավականաչափ բարձր հարթության վանդակների համար հնարավոր է պտտման համաչափության ցանկացած կանխորոշված ​​կարգ:

// Բրինձ. 40. Բյուրեղյա բջիջսեղանի աղ. Մուգ գնդիկները ներկայացնում են նատրիումի ատոմները, բաց գնդիկները՝ քլորի ատոմները:

Քվազիկրիստալներ

Թեև 5-րդ կարգի պտտման համաչափությունը հնարավոր չէ 2D և 3D ցանցերում, այն կարող է գոյություն ունենալ մի փոքր ավելի քիչ կանոնավոր կառույցներում, որոնք հայտնի են որպես քվազիկրիստալներ: Օգտագործելով Kepler-ի էսքիզները, Ռոջեր Պենրոուզը հայտնաբերեց հարթ համակարգեր ավելին ընդհանուր տեսակհնգապատիկ սիմետրիա. Դրանք կոչվում են քվազիկրիստալներ։

Քվազիկրիստալները գոյություն ունեն բնության մեջ: 1984 թվականին Դանիել Շեխտմանը հայտնաբերեց, որ ալյումինի և մանգանի համաձուլվածքը կարող է ձևավորել քվազի-բյուրեղներ. Սկզբում բյուրեղագետները նրա ուղերձը դիմավորեցին որոշակի թերահավատությամբ, սակայն հետագայում հայտնագործությունը հաստատվեց, և 2011 թվականին Շեխթմանը պարգևատրվեց. Նոբելյան մրցանակքիմիայի մեջ։ 2009 թվականին Լուկա Բինդիի գլխավորած գիտնականների խումբը ռուսական Կորյակ լեռնաշխարհից մի հանքանյութում հայտնաբերել է քվազիբյուրեղներ՝ ալյումինի, պղնձի և երկաթի միացություն: Այսօր այս հանքանյութը կոչվում է icosahedrite: Զանգվածային սպեկտրոմետրով հանքանյութում թթվածնի տարբեր իզոտոպների պարունակությունը չափելով՝ գիտնականները ցույց տվեցին, որ այս միներալը Երկրի վրա չի առաջացել։ Այն ձևավորվել է մոտ 4,5 միլիարդ տարի առաջ, այն ժամանակ, երբ Արեգակնային համակարգեղել է իր մանկության մեջ, և իր ժամանակի մեծ մասն անցկացրել է աստերոիդների գոտում՝ պտտվելով Արեգակի շուրջը, մինչև ինչ-որ խանգարումը փոխեց նրա ուղեծիրը և ի վերջո բերեց այն Երկիր:

// Բրինձ. 41. Ձախ՝ ճշգրիտ հնգապատիկ սիմետրիկությամբ երկու քվազիբյուրեղային վանդակներից մեկը: Աջ՝ իկոսաեդրային ալյումին-պալադիում-մանգան քվազիկյուրիստալի ատոմային մոդել

Պյութագորասի թեորեմը բոլորին հայտնի է դեռ դպրոցական տարիներից։ Մի նշանավոր մաթեմատիկոս ապացուցեց մի մեծ ենթադրություն, որը ներկայումս օգտագործում են շատ մարդիկ։ Կանոնը հնչում է այսպես՝ ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսի երկարության քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին։ Շատ տասնամյակներ շարունակ ոչ մի մաթեմատիկոս չի կարողացել վիճարկել այս կանոնը: Չէ՞ որ Պյութագորասը երկար քայլեց դեպի իր նպատակը, որպեսզի արդյունքում գծանկարները տեղ գտան առօրյա կյանքում։

1. Այս թեորեմի փոքրիկ հատվածը, որը հորինվել է ապացուցումից անմիջապես հետո, ուղղակիորեն ապացուցում է վարկածի հատկությունները. «Պյութագորասյան շալվարները բոլոր ուղղություններով հավասար են»: Այս երկտողն ավանդվել է շատերի հիշողության մեջ. մինչ օրս բանաստեղծությունը հիշվում է հաշվարկներում։
2. Այս թեորեմը կոչվել է «Պյութագորասի շալվար» այն պատճառով, որ մեջտեղում նկարելիս ստացվել է ուղղանկյուն եռանկյուն, որի կողերին եղել են քառակուսիներ։ Արտաքինից այս նկարը նման էր շալվարին, այստեղից էլ վարկածի անվանումը:
3. Պյութագորասը հպարտանում էր մշակված թեորեմով, քանի որ այս վարկածը իր նմաններից տարբերվում է ապացույցների առավելագույն քանակով։ Կարևոր է. հավասարումը գրանցվել է Գինեսի ռեկորդների գրքում 370 ճշմարտացի ապացույցների շնորհիվ:
4. Վարկածն ապացուցվել է հսկայական թվով մաթեմատիկոսների և պրոֆեսորների կողմից տարբեր երկրներբազմաթիվ եղանակներով. Անգլիացի մաթեմատիկոս Ջոնսը, վարկածի հայտարարությունից անմիջապես հետո, դա ապացուցեց դիֆերենցիալ հավասարման օգնությամբ։
5. Ներկայումս ոչ ոք չգիտի թեորեմի ապացույցն անձամբ Պյութագորասի կողմից. Այսօր մաթեմատիկոսի ապացույցների մասին փաստերը ոչ մեկին հայտնի չեն։ Ենթադրվում է, որ Էվկլիդեսի գծագրերի ապացույցը Պյութագորասի ապացույցն է։ Այնուամենայնիվ, որոշ գիտնականներ վիճում են այս հայտարարության հետ. շատերը կարծում են, որ Էվկլիդեսը ինքնուրույն ապացուցեց թեորեմը, առանց վարկածի ստեղծողի օգնության:
6. Ներկայիս գիտնականները պարզել են, որ մեծ մաթեմատիկոսն առաջինը չէր, ով հայտնաբերեց այս վարկածը։. Հավասարումը հայտնի էր Պյութագորասի բացահայտումից շատ առաջ։ Այս մաթեմատիկոսին հաջողվեց միայն վերամիավորել վարկածը։
7. Պյութագորասը հավասարմանը չի տվել «Պյութագորասի թեորեմ» անվանումը.. Այս անունը ամրագրվել է «բարձրաձայն երկտողից» հետո։ Մաթեմատիկոսը միայն ցանկանում էր, որ ամբողջ աշխարհը ճանաչի ու օգտագործի իր ջանքերն ու հայտնագործությունները։
8. Մորից Կանտոր - մեծագույն մաթեմատիկոսը գտել և տեսել է հին պապիրուսի վրա գծագրերով նշումներ. Դրանից կարճ ժամանակ անց Կանտորը հասկացավ, որ այս թեորեմը հայտնի էր եգիպտացիներին դեռ մ.թ.ա. 2300 թվականին: Միայն այդ ժամանակ ոչ ոք դրանից չօգտվեց ու չփորձեց ապացուցել դա։
9. Ներկայիս գիտնականները կարծում են, որ վարկածը հայտնի է եղել մ.թ.ա. 8-րդ դարում. Այն ժամանակվա հնդիկ գիտնականները հայտնաբերել են ուղիղ անկյուններով օժտված եռանկյան հիպոթենուսի մոտավոր հաշվարկ։ Ճիշտ է, այն ժամանակ ոչ ոք մոտավոր հաշվարկներով չէր կարող հաստատապես ապացուցել հավասարումը։
10. Մեծ մաթեմատիկոս Բարտել վան դեր Վաերդենը վարկածն ապացուցելուց հետո կարևոր եզրակացություն արեց.«Հույն մաթեմատիկոսի վաստակը համարվում է ոչ թե ուղղության և երկրաչափության բացահայտումը, այլ միայն դրա հիմնավորումը։ Պյութագորասի ձեռքում կային հաշվողական բանաձևեր, որոնք հիմնված էին ենթադրությունների, ոչ ճշգրիտ հաշվարկների և անորոշ գաղափարների վրա: Սակայն ականավոր գիտնականին հաջողվեց այն վերածել ճշգրիտ գիտության»։
11. Հայտնի բանաստեղծն ասաց, որ իր գծանկարի հայտնաբերման օրը նա փառահեղ մատաղ է կանգնեցրել ցլերին։. Վարկածի բացահայտումից հետո էր, որ լուրեր տարածվեցին, թե հարյուր ցլի զոհաբերությունը «թափառել է գրքերի ու հրատարակությունների էջերով»։ Խելացիները մինչ օրս կատակում են, որ այդ ժամանակից ի վեր բոլոր ցլերը վախենում են նոր բացահայտումից:
12. Ապացույց, որ Պյութագորասը տաբատի մասին բանաստեղծություն չի հորինել, որպեսզի ապացուցի իր առաջ քաշած գծագրերը. մեծ մաթեմատիկոսի կյանքի ընթացքում դեռ շալվար չի եղել. Նրանք հորինվել են մի քանի տասնամյակ անց:
13. Պեկկան, Լայբնիցը և մի քանի այլ գիտնականներ փորձեցին ապացուցել նախկինում հայտնի թեորեմը, բայց ոչ մեկին չհաջողվեց։
14. Գծանկարների անվանումը «Պյութագորասի թեորեմ» նշանակում է «խոսքով համոզում». Սա Պյութագորաս բառի թարգմանությունն է, որը մաթեմատիկոսն ընդունել է որպես կեղծանուն։
15. Պյութագորասի մտորումները իր սեփական իշխանության մասին. երկրի վրա գոյություն ունեցողի գաղտնիքը թվերի մեջ է. Ի վերջո, մաթեմատիկոսը, հենվելով սեփական վարկածի վրա, ուսումնասիրել է թվերի հատկությունները, բացահայտել հավասարությունն ու տարօրինակությունը, ստեղծել համամասնություններ։

Հուսով ենք, որ ձեզ դուր է եկել նկարների ընտրությունը - Հետաքրքիր փաստերՊյութագորասի թեորեմի մասին. իմացեք նոր բաներ հայտնի թեորեմի մասին (15 լուսանկար) առցանց լավ որակ. Խնդրում ենք թողնել ձեր կարծիքը մեկնաբանություններում: Մեզ համար կարևոր է յուրաքանչյուր կարծիք:

Պյութագորասի շալվար Պյութագորասի թեորեմի զավեշտական ​​անվանումը, որն առաջացել է այն պատճառով, որ ուղղանկյունի կողքերի վրա կառուցված և տարբեր ուղղություններով շեղվող քառակուսիները հիշեցնում են տաբատի կտրվածք։ Ես սիրում էի երկրաչափությունը ... և շարունակ ընդունելության քննությունհամալսարանը նույնիսկ գովասանքի է արժանացել մաթեմատիկայի պրոֆեսոր Չումակովի կողմից՝ բացատրելու հատկությունները զուգահեռ գծերև Պյութագորասի շալվարը(Ն. Պիրոգով. Ծեր բժշկի օրագիր):

արտահայտությունների գիրքռուսերեն գրական լեզու. - M.: Astrel, AST. Ա.Ի.Ֆեդորով. 2008 թ .

Տեսեք, թե ինչ է «Պյութագորասի շալվարը» այլ բառարաններում.

Տաբատ. ստացեք գործող SuperStep զեղչի կտրոն Akademika-ում կամ գնեք էժան տաբատներ անվճար առաքմամբ SuperStep-ում:

Պյութագորասյան շալվար- ... Վիքիպեդիա

Պյութագորասյան շալվար-Ժարգ. դպրոց Շաթլ. Պյութագորասի թեորեմը, որը հաստատում է հիպոթենուսի վրա կառուցված քառակուսիների մակերեսների և ուղղանկյուն եռանկյան ոտքերի միջև կապը։ BTS, 835... Մեծ բառարանՌուսական ասացվածքներ

Պյութագորասյան շալվար- Պյութագորասի թեորեմի զվարճալի անուն, որը սահմանում է հիպոթենուսի վրա կառուցված քառակուսիների տարածքների և ուղղանկյուն եռանկյունու ոտքերի միջև հարաբերակցությունը, որը նման է գծագրերում շալվարների կտրվածքին ... Բազմաթիվ արտահայտությունների բառարան

Պյութագորասյան շալվար (հորինել)- օտարերկրացի. շնորհալի մարդու մասին տես. Սա է իմաստունի վստահությունը։ Հին ժամանակներում նա հավանաբար հորինած կլիներ Պյութագորասյան շալվարը ... Սալտիկովը: Խայտաբղետ տառեր. Պյութագորասյան շալվար (գեոմ.). ուղղանկյունում հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիներին (ուսուցում ... ... Michelson's Big Explanatory Phraseological Dictionary

Պյութագորասի շալվարը բոլոր կողմերից հավասար է- Կոճակների թիվը հայտնի է։ Ինչու՞ է դիկը նեղացած: (մոտավորապես) տաբատի և արական սեռական օրգանի մասին։ Պյութագորասի շալվարը բոլոր կողմերից հավասար է: Դա ապացուցելու համար անհրաժեշտ է հեռացնել և ցույց տալ 1) Պյութագորասի թեորեմի մասին. 2) լայն շալվարների մասին ... Կենդանի ելույթ. Խոսակցական արտահայտությունների բառարան

Պյութագորասյան շալվարը հորինում է- Պյութագորաս շալվար (հորինել) օտար. շնորհալի մարդու մասին. ամուսնացնել Սա անկասկած իմաստունն է: Հին ժամանակներում նա հավանաբար հորինած կլիներ Պյութագորասյան շալվարը ... Սալտիկովը: Խայտաբղետ տառեր. Պյութագորասյան շալվար (երկր.). ուղղանկյունի մեջ հիպոթենուսի քառակուսին ... ... Michelson's Big Explanatory Phraseological Dictionary (բնօրինակ ուղղագրություն)

Պյութագորասյան շալվարները բոլոր ուղղություններով հավասար են- Պյութագորասի թեորեմի կատակով ապացույց; նաև կատակելով ընկերոջ լայն տաբատի մասին... Ժողովրդական դարձվածքաբանության բառարան

Ադժ., կոպիտ...

PYTHAGOREAN Տաբատը ԲՈԼՈՐ ԿՈՂՄԵՐՈՎ ՀԱՎԱՍԱՐ Է (ԿՈՈՈՄՆԵՐԻ ԹԻՎԸ ՀԱՅՏՆԻ Է. ԻՆՉՈՒ Է ՄՈՏ / ՍԱ ապացուցելու համար ԱՆՀՐԱԺԵՇՏ Է ՀԱՆԵԼ ԵՎ ՑՈՒՅՑՆԵԼ)- ադժ., կոպիտ ... Բառարանժամանակակից խոսակցական դարձվածքաբանական միավորներև ասացվածքներ

շալվար- գոյական, pl., օգտագործել համ. հաճախ Մորֆոլոգիա՝ pl. ինչ? շալվար, (ոչ) ինչ: շալվար ինչի՞ համար շալվար, (տես) ինչ: շալվար ինչ? շալվար, ինչ? տաբատի մասին 1. Տաբատը հագուստի մի կտոր է, որն ունի երկու կարճ կամ երկար ոտքեր և ծածկում է ներքևի մասը ... ... Դմիտրիևի բառարան

Գրքեր

• Պյութագորասյան շալվար,. Այս գրքում դուք կգտնեք ֆանտազիա և արկածներ, հրաշքներ և գեղարվեստական ​​գրականություն: Զվարճալի ու տխուր, սովորական ու խորհրդավոր... Իսկ էլ ի՞նչ է պետք զվարճալի ընթերցանությանը։ Գլխավորը լինել…

Հռոմեացի ճարտարապետ Վիտրուվիուսն առանձնացրել է Պյութագորասի թեորեմը «բազմաթիվ հայտնագործություններից, որոնք ծառայություններ են մատուցել մարդկային կյանքի զարգացմանը» և կոչ է արել դրան վերաբերվել մեծագույն հարգանքով։ Դա եղել է մ.թ.ա 1-ին դարում։ ե. 16-17-րդ դարերի սկզբին գերմանացի հայտնի աստղագետ Յոհաննես Կեպլերն այն անվանել է երկրաչափության գանձերից մեկը՝ համեմատելի ոսկու չափման հետ։ Դժվար թե ամբողջ մաթեմատիկայի մեջ լինի ավելի ծանրակշիռ և նշանակալի պնդում, քանի որ գիտական ​​և գործնական կիրառությունների քանակով Պյութագորասի թեորեմը հավասարը չունի։

Պյութագորասի թեորեմը հավասարաչափ ուղղանկյուն եռանկյան դեպքի համար:

Գիտություն և կյանք // Նկարազարդումներ

Պյութագորասի թեորեմի նկարազարդումը Չափիչ բևեռի մասին տրակտատից (Չինաստան, մ.թ.ա. III դար) և դրա հիման վրա վերակառուցված ապացույց։

Գիտություն և կյանք // Նկարազարդումներ

Ս. Պերկինս. Պյութագորաս.

Նկարչություն Պյութագորասի հնարավոր ապացույցի համար:

«Պյութագորասի խճանկարը» և ան-Նաիրիզիի երեք քառակուսիների բաժանումը Պյութագորասի թեորեմի ապացույցում.

Պ. դե Հոխ. Տիրուհին և սպասուհին բակում. Մոտ 1660 թ.

I. Ohtervelt. Թափառող երաժիշտները հարուստ տան դռան մոտ. 1665 թ.

Պյութագորասյան շալվար

Պյութագորասի թեորեմը թերևս ամենաճանաչվածն է և, անկասկած, ամենահայտնին մաթեմատիկայի պատմության մեջ: Երկրաչափության մեջ այն օգտագործվում է բառացիորեն ամեն քայլափոխի։ Չնայած ձևակերպման պարզությանը, այս թեորեմը ոչ մի կերպ ակնհայտ չէ. նայելով ուղղանկյուն եռանկյունին, որի կողմերը a.< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, - и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Его рассуждения, по сути, сводились к доказательству теоремы Пифагора, пусть и для конкретного треугольника.

Նկ.-ում պատկերված ֆիգուրները։ 1 և 2, հիշեցնում են քառակուսիների և դրանց հավասար մասերի ամենապարզ զարդարանքը՝ երկրաչափական նախշ, որը հայտնի է անհիշելի ժամանակներից: Նրանք կարող են ամբողջությամբ ծածկել ինքնաթիռը։ Մաթեմատիկոսը բազմանկյուններով ինքնաթիռի նման ծածկը կանվանի մանրահատակ կամ սալիկապատ: Ինչո՞ւ է այստեղ Պյութագորասը: Պարզվում է, որ նա առաջինն է լուծել սովորական մանրահատակների խնդիրը, որը սկսել է տարբեր մակերեսների սալիկապատերի ուսումնասիրությունը։ Այսպիսով, Պյութագորասը ցույց տվեց, որ կետի շուրջ հարթությունը կարող է ծածկվել առանց բացերի միայն հավասար կանոնավոր բազմանկյուններով երեք տեսակիվեց եռանկյուն, չորս քառակուսի և երեք վեցանկյուն:

4000 տարի անց

Պյութագորասի թեորեմի պատմությունը գալիս է հին ժամանակներից: Դրա մասին հիշատակումներ կան Համուրաբի թագավորի ժամանակների բաբելոնյան սեպագիր տեքստերում (մ.թ.ա. XVIII դար), այսինքն՝ Պյութագորասի ծնունդից 1200 տարի առաջ։ Թեորեմը որպես պատրաստի կանոն կիրառվել է բազմաթիվ խնդիրներում, որոնցից ամենապարզը քառակուսու անկյունագծը գտնելն է իր կողմի երկայնքով։ Հնարավոր է, որ կամայական ուղղանկյուն եռանկյունու համար a 2 + b 2 = c 2 կապը ստացվել է բաբելոնացիների կողմից պարզապես «ընդհանրացնելով» a 2 + a 2 = c 2 հավասարությունը: Բայց սա ներելի է նրանց համար՝ հնությունների գործնական երկրաչափության համար, որը հասցվել էր չափումների ու հաշվարկների, խիստ հիմնավորումներ չէին պահանջվում։

Այժմ, գրեթե 4000 տարի անց, մենք գործ ունենք ռեկորդային թեորեմի հետ՝ հնարավոր ապացույցների քանակով։ Ի դեպ, դրանց հավաքումը վաղեմի ավանդույթ է։ Պյութագորասի թեորեմի նկատմամբ հետաքրքրության գագաթնակետը ընկավ երկրորդի վրա կեսը XIX- XX դարի սկիզբ. Եվ եթե առաջին հավաքածուները պարունակում էին ոչ ավելի, քան երկու կամ երեք տասնյակ ապացույցներ, ապա դեպի վերջ XIXդարում նրանց թիվը մոտեցել է 100-ի, ևս կես դար հետո անցել է 360-ը, և դրանք միայն նրանք են, որոնք հավաքվել են տարբեր աղբյուրներից։ Ովքեր ուղղակի չձեռնարկեցին այս անժամկետ խնդրի լուծումը՝ ականավոր գիտնականներից և գիտության հանրահռչակողներից մինչև կոնգրեսականներ և դպրոցականներ: Եվ ինչն է ուշագրավ, լուծման ինքնատիպության ու պարզության մեջ մյուս սիրողականները չէին զիջում պրոֆեսիոնալներին։

Պյութագորասի թեորեմի ամենահին ապացույցը, որ հասել է մեզ, մոտ 2300 տարեկան է։ Դրանցից մեկը՝ խիստ աքսիոմատիկը, պատկանում է հին հույն մաթեմատիկոս Էվկլիդեսին, ով ապրել է մ.թ.ա. 4-3-րդ դարերում։ ե. Տարրերի I գրքում Պյութագորասի թեորեմը թվարկված է որպես Առաջարկ 47: Ամենատեսողական և գեղեցիկ ապացույցները կառուցված են «Պյութագորասի շալվարների» վերագծագրման վրա։ Նրանք նման են քառակուսի կտրող հնարամիտ գլուխկոտրուկի: Բայց ստիպեք թվերին ճիշտ շարժվել, և նրանք ձեզ կբացահայտեն հայտնի թեորեմի գաղտնիքը:

Ահա մի նրբագեղ ապացույց, որը ստացվել է հին չինական մեկ տրակտատից գծագրի հիման վրա (նկ. 3), և դրա կապը հրապարակի մակերեսը կրկնապատկելու խնդրի հետ անմիջապես պարզ է դառնում։

Հենց այս ապացույցն էր անգլիացի գրող Օլդոս Հաքսլիի «Փոքրիկ Արքիմեդը» պատմվածքի պայծառ աչքերով հերոս յոթամյա Գվիդոն, որը փորձում էր բացատրել իր կրտսեր ընկերոջը։ Հետաքրքիր է, որ պատմիչը, ով դիտել է այս նկարը, նշել է ապացույցների պարզությունն ու համոզիչությունը և, հետևաբար, դրանք վերագրել է հենց Պյութագորասին: Բայց Գլխավոր հերոսԵվգենի Վելտիստովի ֆանտաստիկ պատմությունը «Էլեկտրոնիկա. մի տղա ճամպրուկով» գիտեր Պյութագորասի թեորեմի 25 ապացույցներ, ներառյալ Էվկլիդեսի կողմից տրվածները. Ճիշտ է, նա սխալմամբ այն անվանեց ամենապարզը, չնայած իրականում «Սկիզբների» ժամանակակից հրատարակության մեջ այն զբաղեցնում է մեկուկես էջ:

Առաջին մաթեմատիկոս

Պյութագորաս Սամոսացին (մ.թ.ա. 570-495 թթ.), որի անունը վաղուց անքակտելիորեն կապված է ուշագրավ թեորեմի հետ, ինչ-որ իմաստով կարելի է անվանել առաջին մաթեմատիկոս: Այստեղից է սկսվում մաթեմատիկան։ ճշգրիտ գիտություն, որտեղ ցանկացած նոր գիտելիք ոչ թե տեսողական ներկայացումների և փորձից սովորած կանոնների արդյունք է, այլ տրամաբանական դատողությունների և եզրակացությունների։ Սա միակ միջոցն է՝ մեկընդմիշտ հաստատել ցանկացած մաթեմատիկական դրույթի ճշմարտությունը։ Մինչ Պյութագորասը դեդուկտիվ մեթոդը կիրառել է միայն հին հույն փիլիսոփա և գիտնական Թալես Միլետացին, ով ապրել է մ.թ.ա. 7-6-րդ դարերի վերջին։ ե. Նա արտահայտեց ապացուցման գաղափարը, բայց այն կիրառեց ոչ համակարգված, ընտրողաբար, որպես կանոն, ակնհայտ երկրաչափական պնդումների վրա, ինչպիսին է «տրամագիծը կիսում է շրջանը»: Պյութագորասը շատ ավելի հեռու գնաց։ Ենթադրվում է, որ նա ներկայացրել է առաջին սահմանումները, աքսիոմները և ապացուցման մեթոդները, ինչպես նաև ստեղծել է առաջին երկրաչափության դասընթացը, որը հայտնի է հին հույներին «Պյութագորասյան ավանդույթ» անունով։ Եվ նա կանգնած էր թվերի տեսության և ստերեոմետրիայի ակունքներում:

Պյութագորասի մեկ այլ կարևոր արժանիք է մաթեմատիկոսների փառավոր դպրոցի հիմնադրումը, որն ավելի քան մեկ դար որոշեց այս գիտության զարգացումը Հայաստանում: Հին Հունաստան. «Մաթեմատիկա» տերմինն ինքնին կապված է նրա անվան հետ (ից Հունարեն բառμαθημα - ուսուցում, գիտություն), որը միավորում էր Պյութագորասի և նրա հետևորդների՝ Պյութագորասի կողմից ստեղծված չորս հարակից առարկաներ՝ գիտելիքների համակարգ՝ երկրաչափություն, թվաբանություն, աստղագիտություն և ներդաշնակություն։

Անհնար է տարանջատել Պյութագորասի ձեռքբերումները իր աշակերտների ձեռքբերումներից. սովորույթին հետևելով՝ նրանք իրենց սեփական գաղափարներն ու հայտնագործությունները վերագրում էին իրենց Ուսուցչին: Վաղ պյութագորացիները ոչ մի գրություն չեն թողել, նրանք ամբողջ տեղեկատվությունը միմյանց փոխանցել են բանավոր: Այսպիսով, 2500 տարի անց, պատմաբաններին այլ բան չի մնում, քան կորցրած գիտելիքը վերականգնել՝ համաձայն այլ, ավելի ուշ հեղինակների արտագրությունների։ Հույներին արժանին մատուցենք, թեև նրանք Պյութագորասի անունը շրջապատել են բազմաթիվ լեգենդներով, բայց նրան ոչինչ չեն վերագրել, որ նա չկարողանա բացահայտել կամ վերածել տեսության: Եվ նրա անունը կրող թեորեմը բացառություն չէ։

Այսքան պարզ ապացույց

Հայտնի չէ, թե Պյութագորասն ինքը հայտնաբերել է ուղղանկյուն եռանկյունու կողմերի երկարությունների հարաբերակցությունը, թե փոխառել է այս գիտելիքը։ Հնագույն հեղինակները պնդում էին, որ նա ինքը և սիրում էր վերապատմել լեգենդն այն մասին, թե ինչպես իր հայտնագործության պատվին Պյութագորասը զոհաբերեց մի ցուլ: Ժամանակակից պատմաբանները հակված են կարծելու, որ նա իմացել է թեորեմի մասին՝ ծանոթանալով բաբելոնացիների մաթեմատիկայի հետ։ Մենք նաև չգիտենք, թե ինչ ձևով է Պյութագորասը ձևակերպել թեորեմը. թվաբանորեն, ինչպես ընդունված է այսօր, հիպոթենուսի քառակուսին հավասար է ոտքերի քառակուսիների գումարին, կամ երկրաչափական առումով, հնագույնների ոգով, կառուցված քառակուսին։ Ուղղանկյուն եռանկյան հիպոթենուսի վրա հավասար է նրա չմուշկների վրա կառուցված քառակուսիների գումարին:

Ենթադրվում է, որ հենց Պյութագորասն է տվել իր անունը կրող թեորեմի առաջին ապացույցը։ Չի գոյատևել, իհարկե: Վարկածներից մեկի համաձայն՝ Պյութագորասը կարող էր օգտագործել իր դպրոցում մշակված համամասնությունների ուսմունքը։ Դրա վրա է հիմնվել, մասնավորապես, նմանության տեսությունը, որի վրա հիմնված է դատողությունը։ Եկեք գծենք c հիպոթենուսի բարձրությունը a և b ոտքերով ուղղանկյուն եռանկյան մեջ: Մենք ստանում ենք երեք նմանատիպ եռանկյուններ, ներառյալ բնօրինակը: Դրանց համապատասխան կողմերը համաչափ են, a: c = m: a և b: c = n: b, որտեղից a 2 = c · m և b 2 = c · n: Այնուհետեւ a 2 + b 2 = = c (m + n) = c 2 (նկ. 4):

Սա ուղղակի վերակառուցում է, որն առաջարկել է գիտության պատմաբաններից մեկը, բայց ապացույցը, տեսնում եք, բավականին պարզ է. ընդամենը մի քանի տող է պահանջվում, պետք չէ ինչ-որ բան ավարտել, վերափոխել, հաշվարկել… Զարմանալի չէ, որ այն վերագտնվել է մեկից ավելի անգամ: Այն պարունակվում է, օրինակ, Լեոնարդո Պիզայի «Երկրաչափության պրակտիկա»-ում (1220 թ.), և այն դեռևս տրված է դասագրքերում։

Նման ապացույցը չէր հակասում պյութագորացիների պատկերացումներին համադրելիության մասին. սկզբում նրանք կարծում էին, որ ցանկացած երկու հատվածի երկարությունների հարաբերակցությունը և, հետևաբար, ուղղագիծ թվերի տարածքները կարող են արտահայտվել բնական թվերի միջոցով: Նրանք այլ թվեր չեն հաշվի առել, նույնիսկ կոտորակներ չեն թույլ տվել՝ դրանք փոխարինելով 1:2, 2:3 և այլն հարաբերակցությամբ: Այնուամենայնիվ, հեգնանքով, հենց Պյութագորասի թեորեմն է առաջնորդել պյութագորացիներին անկյունագծի անհամեմատելիության բացահայտմանը: հրապարակի և նրա կողմից: Այս շեղանկյունի երկարությունը թվային կերպով ներկայացնելու բոլոր փորձերը՝ միավոր քառակուսու համար այն հավասար է √2-ի, ոչնչի չհանգեցրին: Պարզվեց, որ ավելի հեշտ է ապացուցել, որ խնդիրն անլուծելի է։ Նման դեպքում մաթեմատիկոսներն ունեն ապացուցված մեթոդ՝ ապացուցում հակասության միջոցով։ Ի դեպ, դա նույնպես վերագրվում է Պյութագորասին։

Անարտահայտելի հարաբերությունների առկայությունը բնական թվեր, վերջ դրեց պյութագորացիների բազմաթիվ գաղափարներին։ Պարզ դարձավ, որ նրանց իմացած թվերը բավարար չեն նույնիսկ պարզ խնդիրներ լուծելու համար, չասելու ամբողջ երկրաչափությունը: Այս հայտնագործությունը շրջադարձային էր հունական մաթեմատիկայի զարգացման մեջ, նրա կենտրոնական խնդիր. Նախ դա հանգեցրեց անհամեմատելի մեծությունների՝ իռացիոնալությունների վարդապետության զարգացմանը, իսկ հետո թվի հասկացության ընդլայնմանը։ Այսինքն՝ նրանից է սկսվել իրական թվերի բազմության ուսումնասիրության դարավոր պատմությունը։

Պյութագորասի խճանկար

Եթե ​​դուք ծածկում եք ինքնաթիռը երկու տարբեր չափերի քառակուսիներով՝ յուրաքանչյուր փոքր քառակուսի չորս մեծով շրջապատելով, դուք ստանում եք Պյութագորասյան խճանկարային մանրահատակ: Նման նախշը երկար ժամանակ զարդարել է քարե հատակները՝ հիշեցնելով Պյութագորասի թեորեմի հնագույն ապացույցները (այստեղից էլ նրա անվանումը): Մանրահատակի վրա քառակուսի ցանց դնելով տարբեր ձևերով՝ կարելի է ձեռք բերել ուղղանկյուն եռանկյունու կողմերի վրա կառուցված քառակուսիների միջնորմներ, որոնք առաջարկվել են տարբեր մաթեմատիկոսների կողմից։ Օրինակ, եթե ցանցը դասավորեք այնպես, որ նրա բոլոր հանգույցները համընկնեն փոքր քառակուսիների վերին աջ գագաթների հետ, ապա կհայտնվեն գծագրի հատվածներ միջնադարյան պարսիկ մաթեմատիկոս ան-Նաիրիզիի ապացույցի համար, որը նա տեղադրել է Էվկլիդեսի մեկնաբանություններում: Սկզբունքները". Հեշտ է տեսնել, որ մեծ և փոքր քառակուսիների, մանրահատակի սկզբնական տարրերի մակերեսների գումարը հավասար է դրա վրա դրված ցանցի մեկ քառակուսու մակերեսին: Եվ սա նշանակում է, որ նշված միջնորմը իսկապես հարմար է մանրահատակ դնելու համար. արդյունքում ստացված բազմանկյունները քառակուսիների միացնելով, ինչպես ցույց է տրված նկարում, կարող եք դրանցով ամբողջ հարթությունը լրացնել առանց բացերի և համընկնումների: