Հիմնական երկրաչափության դասընթացում ապացուցված է, որ ուռուցիկ n-անկյունի անկյունների գումարը 180° է (n-2): Պարզվում է, որ այս պնդումը ճիշտ է նաև ոչ ուռուցիկ բազմանկյունների համար։

Թեորեմ 3. Կամայական n-անկյունի անկյունների գումարը 180° է (n - 2):

Ապացույց. Բաժանենք բազմանկյունը եռանկյունների՝ գծելով անկյունագծեր (նկ. 11): Նման եռանկյունների թիվը n-2 է, իսկ յուրաքանչյուր եռանկյունում անկյունների գումարը 180° է։ Քանի որ եռանկյունների անկյունները բազմանկյան անկյուններն են, ապա պոլիգոնի անկյունների գումարը 180° է (n - 2):

Եկեք հիմա դիտարկենք կամայական փակ կոտրված գծերը, հնարավոր է A1A2…AnA1 ինքնահատումներով (Նկար 12, ա): Նման ինքնահատվող կոտրված գծերը կկոչվեն աստղաձեւ բազմանկյուններ (նկ. 12, բ-դ):

Եկեք ֆիքսենք անկյունները հաշվելու ուղղությունը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ։ Նկատի ունեցեք, որ փակ պոլիգիծով ձևավորված անկյունները կախված են այն ուղղությունից, որով այն անցնում է: Եթե ​​պոլիգծի շրջանցման ուղղությունը հակադարձված է, ապա բազմանկյան անկյունները կլինեն այն անկյունները, որոնք լրացնում են սկզբնական բազմանկյան անկյունները մինչև 360°:

Եթե ​​M-ը բազմանկյուն է, որը ձևավորվում է ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ անցնող պարզ փակ գծի միջոցով (նկ. 13, ա), ապա այս բազմանկյունի անկյունների գումարը հավասար կլինի 180 ° (n - 2): Եթե ​​կոտրված գիծն անցկացվի ժամացույցի սլաքի հակառակ ուղղությամբ (նկ. 13, բ), ապա անկյունների գումարը հավասար կլինի 180 ° (n + 2):

Այս կերպ, ընդհանուր բանաձեւպարզ փակ պոլիգիծով ձևավորված բազմանկյան անկյունների գումարը ունի \u003d 180 ° (n 2) ձև, որտեղ անկյունների գումարն է, n-ը բազմանկյունի անկյունների թիվն է, «+» կամ «-»: Վերցվում է կախված պոլիգիծը շրջանցելու ուղղությունից։

Մեր խնդիրն է ստանալ կամայական բազմանկյան անկյունների գումարի բանաձևը, որը ձևավորվում է փակ (հնարավոր է ինքնհատվող) բազմագծով: Դա անելու համար մենք ներկայացնում ենք բազմանկյունի աստիճանի հայեցակարգը:

Բազմանկյունի աստիճանը նրա կողմերի ամբողջական հաջորդական շրջանցման ընթացքում կետի կատարած պտույտների թիվն է։ Ընդ որում, ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ կատարված պտույտները համարվում են «+» նշանով, իսկ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ՝ «-» նշանով։

Հասկանալի է, որ պարզ փակ ճեղքված գծով ձևավորված բազմանկյունի աստիճանը +1 կամ -1 է՝ կախված անցման ուղղությունից։ Նկար 12-ում a-ի կոտրված գծի աստիճանը հավասար է երկուսի: Աստղային յետանկյունների աստիճանը (նկ. 12, գ, դ) հավասար է համապատասխանաբար երկուսի և երեքի։

Աստիճան հասկացությունը սահմանվում է նույն կերպ հարթության փակ կորերի համար: Օրինակ, Նկար 14-ում ներկայացված կորի աստիճանը երկու է:

Բազմանկյունի կամ կորի աստիճանը գտնելու համար կարող եք գործել հետևյալ կերպ. Ենթադրենք, որ, շարժվելով կորի երկայնքով (նկ. 15, ա), մենք, սկսելով A1 ինչ-որ տեղից, լրիվ շրջադարձ կատարեցինք և հայտնվեցինք նույն A1 կետում։ Համապատասխան հատվածը հանենք կորից և շարունակենք շարժվել մնացած կորի երկայնքով (նկ. 15բ): Եթե ​​A2 ինչ-որ տեղից սկսելով նորից լրիվ պտույտ կատարեցինք և հասանք նույն կետին, ապա ջնջում ենք կորի համապատասխան հատվածը և շարունակում շարժվել (նկ. 15, գ): Հաշվելով հեռավոր հատվածների թիվը «+» կամ «-» նշաններով, կախված դրանց շրջանցման ուղղությունից, մենք ստանում ենք կորի ցանկալի աստիճանը:

Թեորեմ 4. կամայական բազմանկյունի համար բանաձեւը

180° (n+2m),

որտեղ անկյունների գումարն է, n-ը անկյունների թիվն է, m-ը բազմանկյունի աստիճանն է:

Ապացույց. Թող M բազմանկյունն ունենա m աստիճան և պայմանականորեն ցույց է տրված Նկար 16-ում: M1, …, Mk պարզ փակ բեկված գծեր են, որոնք անցնում են, որոնց միջով կետը կատարում է լրիվ պտույտներ: A1, …, Ak-ը բազմուղիների համապատասխան ինքնահատման կետերն են, որոնք նրա գագաթները չեն: M բազմանկյունի գագաթների թիվը, որոնք ներառված են M1, …, Mk բազմանկյունների մեջ, նշանակենք համապատասխանաբար n1, …, nk: Քանի որ M բազմանկյունի գագաթներից բացի, այս բազմանկյուններին գումարվում են նաև A1, …, Ak գագաթները, M1, …, Mk բազմանկյունների գագաթների թիվը հավասար կլինի n1+1, …, nk+1, համապատասխանաբար. Այնուհետև նրանց անկյունների գումարը հավասար կլինի 180° (n1+12), …, 180° (nk+12): Պլյուս կամ մինուս վերցվում է կախված կոտրված գծերը շրջանցելու ուղղությունից: M0 բազմանկյունի անկյունների գումարը, որը մնացել է M բազմանկյունից M1, ..., Mk բազմանկյունների հեռացումից հետո, հավասար է 180°-ի (n-n1- ...-nk+k2): M0, M1, …, Mk բազմանկյունների անկյունների գումարները տալիս են M բազմանկյան անկյունների գումարը, իսկ յուրաքանչյուր A1, …, Ak գագաթին լրացուցիչ ստանում ենք 360°: Հետևաբար, մենք ունենք հավասարություն

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1-…-nk+k2)=+360°k.

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

որտեղ m-ը M բազմանկյան աստիճանն է:

Որպես օրինակ դիտարկենք հնգաթև աստղանիշի անկյունների գումարի հաշվարկը (նկ. 17, ա): Համապատասխան փակ պոլիգծի աստիճանը -2 է։ Հետևաբար, անկյունների ցանկալի գումարը 180 է։

Երկրաչափական պատկեր, որը կազմված է AB, BC, CD, .., EF, FA հատվածներից այնպես, որ հարակից հատվածները մեկ ուղիղ գծի վրա չեն ընկած, իսկ ոչ կից հատվածները չունեն. ընդհանուր կետեր, կոչվում է բազմանկյուն։ Այս հատվածների ծայրերը A, B, C կետերը, D, …, E, F կոչվում են գագաթներըբազմանկյուն, իսկ հատվածներն իրենք՝ AB, BC, CD, .., EF, FA - կուսակցություններբազմանկյուն.

Բազմանկյունը կոչվում է ուռուցիկ, եթե այն գտնվում է յուրաքանչյուր տողի մի կողմում, որն անցնում է իր հարակից երկու գագաթներով: Ստորև բերված նկարը ցույց է տալիս ուռուցիկ բազմանկյուն.

Եվ հետևյալ նկարը ցույց է տալիս ոչ ուռուցիկ բազմանկյուն.

Ուռուցիկ բազմանկյան անկյունը տվյալ գագաթին այն անկյունն է, որը ձևավորվում է այս բազմանկյան կողմերի կողմից, որոնք համընկնում են տվյալ գագաթին: Որոշ գագաթի ուռուցիկ բազմանկյան արտաքին անկյունը տվյալ գագաթում բազմանկյան ներքին անկյունին հարող անկյունն է։

Թեորեմ. Ուռուցիկ n-անկյունի անկյունների գումարը 180˚ *(n-2) է:

Ապացույց՝ դիտարկենք ուռուցիկ n-անկյուն: Բոլոր ներքին անկյունների գումարը գտնելու համար մենք միացնում ենք բազմանկյան գագաթներից մեկը մյուս գագաթներին:

Արդյունքում ստանում ենք (n-2) եռանկյուններ։ Մենք գիտենք, որ եռանկյան անկյունների գումարը 180 աստիճան է։ Եվ քանի որ բազմանկյան մեջ դրանց թիվը (n-2) է, ապա բազմանկյան անկյունների գումարը 180˚ *(n-2): Սա այն է, ինչ պետք էր ապացուցել։

Առաջադրանք.

Գտե՛ք ուռուցիկ ա) հնգանկյուն բ) վեցանկյուն գ) տասնանկյան անկյունների գումարը:

Ուռուցիկ n-անկյունի անկյունների գումարը հաշվարկելու համար օգտագործենք բանաձևը:

ա) S5 = 180˚*(5-2) = 180˚ *3 = 540˚:

բ) S6 180˚*(6-2) = 180˚*4=720˚։

գ) S10 = 180˚*(10-2) = 180˚*8 = 1440˚:

Պատասխան՝ ա) 540˚. բ) 720˚. գ) 1440˚.

Բազմանկյունի ներքին անկյունբազմանկյան երկու կից կողմերից կազմված անկյունն է։ Օրինակ՝ ∠ ABCներքին անկյուն է:

Բազմանկյունի արտաքին անկյունայն անկյունն է, որը ձևավորվում է բազմանկյան մի կողմի և մյուս կողմի երկարացման կողմից: Օրինակ՝ ∠ LBCարտաքին անկյունն է։

Բազմանկյունի անկյունների թիվը միշտ հավասար է նրա կողմերի թվին։ Սա վերաբերում է ինչպես ներքին, այնպես էլ արտաքին անկյուններին: Թեև բազմանկյան յուրաքանչյուր գագաթի համար հնարավոր է կառուցել երկու հավասար արտաքին անկյուն, սակայն միշտ հաշվի է առնվում դրանցից միայն մեկը։ Հետևաբար, ցանկացած բազմանկյունի անկյունների թիվը գտնելու համար պետք է հաշվել նրա կողմերի թիվը։

ներքին անկյունների գումարը

Ուռուցիկ բազմանկյունի ներքին անկյունների գումարը հավասար է 180°-ի արտադրյալին և առանց երկու կողմերի թվին:

ս = 2դ(n - 2)

որտեղ սանկյունների գումարն է, 2 դ- երկու ուղիղ անկյուն (այսինքն՝ 2 90 = 180°), և n- կողմերի քանակը.

Եթե ​​մենք սահեցնենք վերևից Աբազմանկյուն ABCDEFբոլոր հնարավոր անկյունագծերը, այնուհետև այն բաժանում ենք եռանկյունների, որոնց թիվը երկուսով պակաս կլինի բազմանկյան կողմերից.

Հետևաբար, բազմանկյունի անկյունների գումարը հավասար կլինի ստացված բոլոր եռանկյունների անկյունների գումարին։ Քանի որ յուրաքանչյուր եռանկյան անկյունների գումարը 180° է (2 դ), ապա բոլոր եռանկյունների անկյունների գումարը հավասար կլինի 2-ի արտադրյալին դնրանց թվի համար.

ս = 2դ(n- 2) = 180 4 = 720 °

Այս բանաձևից հետևում է, որ ներքին անկյունների գումարը հավասար է հաստատուն արժեքև կախված է բազմանկյունի կողմերի քանակից:

Արտաքին անկյունների գումարը

Ուռուցիկ բազմանկյունի արտաքին անկյունների գումարը 360° է (կամ 4 դ).

ս = 4դ

որտեղ սարտաքին անկյունների գումարն է, 4 դ- չորս ուղիղ անկյուն (այսինքն 4 90 = 360 °):

Բազմանկյան յուրաքանչյուր գագաթի արտաքին և ներքին անկյունների գումարը 180° է (2 դ), քանի որ դրանք հարակից անկյուններ են։ Օրինակ՝ ∠ 1 և ∠ 2 :

Հետևաբար, եթե բազմանկյունն ունի nկուսակցություններ (և nգագաթներ), ապա արտաքին և ներքին անկյունների գումարը բոլորի համար nգագաթները հավասար կլինեն 2-ի dn. Այսպիսով, այս գումարից 2 dnմիայն արտաքին անկյունների գումարը ստանալու համար անհրաժեշտ է դրանից հանել ներքին անկյունների գումարը, այսինքն՝ 2. դ(n - 2):

ս = 2dn - 2դ(n - 2) = 2dn - 2dn + 4դ = 4դ

Ապացույց

Ուռուցիկ n-անկյունի դեպքում

Թող A 1 A 2. . . A n (\displaystyle A_(1)A_(2)...A_(n))տրված ուռուցիկ բազմանկյուն է և n> 3. Այնուհետև նկարեք մեկ գագաթից դեպի հակառակ գագաթները ( n− 3) անկյունագծեր. A 1 A 3, A 1 A 4, A 1 A 5: . . A 1 A n − 1 (\displaystyle A_(1)A_(3),A_(1)A_(4),A_(1)A_(5)...A_(1)A_(n-1)). Քանի որ բազմանկյունը ուռուցիկ է, այս անկյունագծերը այն բաժանում են ( n− 2) եռանկյուններ. Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, . . . , Δ A 1 A n − 1 A n (\displaystyle \Delta A_(1)A_(2)A_(3),\Delta A_(1)A_(3)A_(4),...,\Delta A_ (1)A_(n-1)A_(n)). Բազմանկյունի անկյունների գումարը նույնն է, ինչ այս բոլոր եռանկյունների անկյունների գումարը։ Յուրաքանչյուր եռանկյան անկյունների գումարը 180° է, և այդ եռանկյունների թիվը՝ n− 2. Հետևաբար, անկյունների գումարը n- Գոնը 180° է ( n − 2) . Թեորեմն ապացուցված է.

Մեկնաբանություն

Ոչ ուռուցիկ n-անկյունի համար անկյունների գումարը նույնպես 180° է ( n− 2) . Ապացույցը կարող է նման լինել՝ օգտագործելով նաև այն լեմման, որ ցանկացած բազմանկյուն կարող է անկյունագծերով կտրվել եռանկյունների, և չհիմնվելով այն փաստի վրա, որ անկյունագծերը պարտադիր կերպով կազմված են մեկ գագաթից (այդ պայմանով սահմանափակված ոչ ուռուցիկ բազմանկյունը կտրելը միշտ չէ, որ հնարավոր է այն իմաստով, որ ոչ ուռուցիկ բազմանկյունը պարտադիր չէ, որ ունենա առնվազն մեկ գագաթ, որի բոլոր անկյունագծերը գտնվում են բազմանկյունի ներսում, ինչպես նաև նրանց կողմից կազմված եռանկյունները):

Այս երկրաչափական ձևերը մեզ շրջապատում են ամենուր: Ուռուցիկ բազմանկյունները բնական են, օրինակ՝ մեղրախորիսխները կամ արհեստական ​​(տեխնածին): Այս թվերն օգտագործվում են արտադրության մեջ տարբեր տեսակներծածկույթներ, գեղանկարչության, ճարտարապետության, հարդարման և այլնի մեջ: Ուռուցիկ բազմանկյուններն ունեն այն հատկությունը, որ նրանց բոլոր կետերը գտնվում են գծի միևնույն կողմում, որն անցնում է այս ուղիղի զույգ հարակից գագաթներով: երկրաչափական պատկեր. Կան նաև այլ սահմանումներ. Բազմանկյունը կոչվում է ուռուցիկ, եթե այն գտնվում է մեկ կիսահարթության մեջ իր կողմերից մեկը պարունակող ցանկացած ուղիղ գծի նկատմամբ:

Տարրական երկրաչափության ընթացքում միշտ դիտարկվում են միայն պարզ բազմանկյունները։ Նմանների բոլոր հատկությունները հասկանալու համար անհրաժեշտ է հասկանալ դրանց բնույթը: Սկզբից պետք է հասկանալ, որ ցանկացած տող կոչվում է փակ, որի ծայրերը համընկնում են։ Ավելին, նրա կողմից ձևավորված գործիչը կարող է ունենալ տարբեր կոնֆիգուրացիաներ: Բազմանկյունը պարզ փակ բեկված գիծ է, որում հարևան կապերը գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա։ Նրա կապերն ու գագաթները, համապատասխանաբար, այս երկրաչափական պատկերի կողմերն ու գագաթներն են։ Պարզ բազմագիծը չպետք է ունենա ինքնահատումներ:

Բազմանկյունի գագաթները կոչվում են կից, եթե դրանք ներկայացնում են նրա կողմերից մեկի ծայրերը: Երկրաչափական պատկեր, որն ունի n-րդ համարըգագաթները, և հետևաբար n-րդ քանակկողմերը կոչվում են n-գոն: Կտրված գիծն ինքնին կոչվում է այս երկրաչափական գործչի եզրագիծը կամ եզրագիծը: Բազմանկյուն հարթություն կամ հարթ բազմանկյուն կոչվում է դրանով սահմանափակված ցանկացած հարթության ծայրամաս: Այս երկրաչափական պատկերի հարակից կողմերը կոչվում են մեկ գագաթից բխող կոտրված գծի հատվածներ։ Դրանք կից չեն լինի, եթե բխեն բազմանկյան տարբեր գագաթներից։

Ուռուցիկ բազմանկյունների այլ սահմանումներ

Տարրական երկրաչափության մեջ կան ևս մի քանի համարժեք սահմանումներ, որոնք ցույց են տալիս, թե որ բազմանկյունն է կոչվում ուռուցիկ: Այս բոլոր հայտարարությունները հավասարապես ճիշտ են: Ուռուցիկ բազմանկյունն այն է, որն ունի.

Յուրաքանչյուր գծային հատված, որը միացնում է իր ներսում գտնվող ցանկացած երկու կետ, ամբողջությամբ գտնվում է դրա մեջ.

Նրա բոլոր անկյունագծերը գտնվում են դրա ներսում.

Ցանկացած ներքին անկյուն չի գերազանցում 180°-ը:

Բազմանկյունը միշտ հարթությունը բաժանում է 2 մասի։ Դրանցից մեկը սահմանափակ է (այն կարող է պարփակվել շրջանագծի մեջ), իսկ մյուսը՝ անսահմանափակ։ Առաջինը կոչվում է ներքին շրջան, իսկ երկրորդը. արտաքին տարածքայս երկրաչափական պատկերը. Այս բազմանկյունը մի քանի կիսհարթությունների հատում է (այլ կերպ ասած՝ ընդհանուր բաղադրիչ): Ավելին, յուրաքանչյուր հատված, որն ունի վերջավորություններ պոլիգոնին պատկանող կետերում, ամբողջությամբ պատկանում է դրան:

Ուռուցիկ բազմանկյունների տարատեսակներ

Ուռուցիկ բազմանկյունի սահմանումը չի նշանակում, որ դրանց տեսակները շատ են: Եվ նրանցից յուրաքանչյուրն ունի որոշակի չափանիշներ։ Այսպիսով, ուռուցիկ բազմանկյունները, որոնք ունեն 180° ներքին անկյուն, կոչվում են թույլ ուռուցիկ: Ուռուցիկ երկրաչափական պատկերը, որն ունի երեք գագաթ, կոչվում է եռանկյուն, չորսը՝ քառանկյուն, հինգը՝ հնգանկյուն և այլն: Ուռուցիկ n-անկյուններից յուրաքանչյուրը բավարարում է հետևյալ էական պահանջը. n-ը պետք է լինի 3-ից մեծ կամ հավասար: եռանկյունները ուռուցիկ են. Այս տիպի երկրաչափական պատկերը, որի բոլոր գագաթները գտնվում են նույն շրջանագծի վրա, կոչվում է շրջանագծի մեջ ներգրված: Ուռուցիկ բազմանկյունը կոչվում է շրջագծված, եթե շրջանագծի մոտ գտնվող նրա բոլոր կողմերը դիպչում են դրան: Երկու բազմանկյունները հավասար են համարվում միայն այն դեպքում, եթե դրանք կարող են վերադրվել սուպերպոզիցիայով: Հարթ բազմանկյունը բազմանկյուն հարթություն է (հարթության մաս), որը սահմանափակված է այս երկրաչափական պատկերով։

Կանոնավոր ուռուցիկ բազմանկյուններ

Կանոնավոր բազմանկյունները երկրաչափական պատկերներ են, որոնց հետ հավասար անկյուններև կուսակցություններ։ Նրանց ներսում կա 0 կետ, որն իր յուրաքանչյուր գագաթից գտնվում է նույն հեռավորության վրա։ Այն կոչվում է այս երկրաչափական պատկերի կենտրոն։ Այս երկրաչափական պատկերի գագաթներին կենտրոնը կապող հատվածները կոչվում են ապոթեմներ, իսկ 0 կետը կողմերի հետ կապող հատվածները՝ շառավիղներ։

Կանոնավոր քառանկյունը քառակուսի է: ուղղանկյուն եռանկյունկոչվում է հավասարակողմ: Նման թվերի համար կա հետևյալ կանոնը՝ ուռուցիկ բազմանկյունի յուրաքանչյուր անկյուն 180°* (n-2)/n է,

որտեղ n-ը այս ուռուցիկ երկրաչափական պատկերի գագաթների թիվն է:

Ցանկացած կանոնավոր բազմանկյունի տարածքը որոշվում է բանաձևով.

որտեղ p-ը հավասար է տրված բազմանկյան բոլոր կողմերի գումարի կեսին, իսկ h-ը հավասար է ապոտեմի երկարությանը։

Ուռուցիկ բազմանկյունների հատկությունները

Ուռուցիկ բազմանկյուններն ունեն որոշակի հատկություններ. Այսպիսով, մի հատված, որը կապում է նման երկրաչափական գործչի ցանկացած 2 կետ, անպայմանորեն գտնվում է դրա մեջ: Ապացույց:

Ենթադրենք P-ն տրված ուռուցիկ բազմանկյուն է: Վերցնում ենք 2 կամայական կետ, օրինակ՝ A, B, որոնք պատկանում են P-ին։ Համաձայն ուռուցիկ բազմանկյունի գոյություն ունեցող սահմանման՝ այս կետերը գտնվում են գծի նույն կողմում, որը պարունակում է P-ի ցանկացած կողմ։ Հետևաբար, AB. Նաև ունի այս հատկությունը և պարունակվում է P-ում: Ուռուցիկ բազմանկյունը միշտ հնարավոր է բաժանել այն մի քանի եռանկյունների բացարձակապես բոլոր անկյունագծերով, որոնք գծված են նրա գագաթներից մեկից:

Ուռուցիկ երկրաչափական ձևերի անկյուններ

Ուռուցիկ բազմանկյունի անկյուններն այն անկյուններն են, որոնք կազմված են նրա կողմերից: Ներքին անկյունները գտնվում են տվյալ երկրաչափական պատկերի ներքին հատվածում։ Այն անկյունը, որը ձևավորվում է նրա կողմերից, որոնք միանում են մեկ գագաթին, կոչվում է ուռուցիկ բազմանկյունի անկյուն: Տրված երկրաչափական պատկերի ներքին անկյուններով կոչվում են արտաքին։ Նրա ներսում գտնվող ուռուցիկ բազմանկյունի յուրաքանչյուր անկյուն հավասար է.

որտեղ x-ը արտաքին անկյան արժեքն է: Սա պարզ բանաձեւկիրառվում է այս տեսակի ցանկացած երկրաչափական ձևի համար:

Ընդհանուր առմամբ, արտաքին անկյունների համար գործում է հետևյալ կանոնը՝ ուռուցիկ բազմանկյունի յուրաքանչյուր անկյուն հավասար է 180°-ի և ներքին անկյան արժեքի տարբերությանը։ Այն կարող է ունենալ -180°-ից մինչև 180° արժեքներ: Հետևաբար, երբ ներքին անկյունը 120° է, արտաքին անկյունը կլինի 60°։

Ուռուցիկ բազմանկյունների անկյունների գումարը

Ուռուցիկ բազմանկյունի ներքին անկյունների գումարը որոշվում է բանաձևով.

որտեղ n-ը n-անկյունի գագաթների թիվն է:

Ուռուցիկ բազմանկյան անկյունների գումարը բավականին հեշտ է հաշվարկել։ Դիտարկենք ցանկացած նման երկրաչափական պատկեր: Ուռուցիկ բազմանկյան ներսում անկյունների գումարը որոշելու համար նրա գագաթներից մեկը պետք է միացված լինի մյուս գագաթներին: Այս գործողության արդյունքում ստացվում են (n-2) եռանկյուններ։ Մենք գիտենք, որ ցանկացած եռանկյան անկյունների գումարը միշտ 180° է։ Քանի որ ցանկացած բազմանկյունում դրանց թիվը (n-2) է, ապա նման պատկերի ներքին անկյունների գումարը 180° x է (n-2):

Ուռուցիկ բազմանկյունի, այն է՝ ցանկացած երկու ներքին և հարակից արտաքին անկյունների անկյունների գումարը տվյալ ուռուցիկ երկրաչափական պատկերի համար միշտ կլինի 180°: Դրա հիման վրա դուք կարող եք որոշել դրա բոլոր անկյունների գումարը.

Ներքին անկյունների գումարը 180° * (n-2): Դրա հիման վրա տվյալ գործչի բոլոր արտաքին անկյունների գումարը որոշվում է բանաձևով.

180° * n-180°-(n-2)= 360°։

Ցանկացած ուռուցիկ բազմանկյունի արտաքին անկյունների գումարը միշտ կլինի 360° (անկախ կողմերի քանակից):

Ուռուցիկ բազմանկյունի արտաքին անկյունը սովորաբար ներկայացված է 180°-ի և ներքին անկյան տարբերությամբ:

Ուռուցիկ բազմանկյունի այլ հատկություններ

Բացի այս երկրաչափական ձևերի հիմնական հատկություններից, նրանք ունեն ուրիշներ, որոնք առաջանում են դրանք շահարկելիս: Այսպիսով, բազմանկյուններից որևէ մեկը կարելի է բաժանել մի քանի ուռուցիկ n-անկյունների։ Դա անելու համար անհրաժեշտ է շարունակել նրա յուրաքանչյուր կողմը և կտրել այս երկրաչափական պատկերը այս ուղիղ գծերով: Հնարավոր է նաև ցանկացած բազմանկյուն բաժանել մի քանի ուռուցիկ մասերի այնպես, որ կտորներից յուրաքանչյուրի գագաթները համընկնեն նրա բոլոր գագաթների հետ։ Նման երկրաչափական պատկերից եռանկյուններ կարելի է շատ պարզ դարձնել՝ բոլոր անկյունագծերը մեկ գագաթից գծելով։ Այսպիսով, ցանկացած բազմանկյուն, ի վերջո, կարելի է բաժանել որոշակի թվով եռանկյունների, ինչը պարզվում է, որ շատ օգտակար է նման երկրաչափական ձևերի հետ կապված տարբեր խնդիրների լուծման համար։

Ուռուցիկ բազմանկյունի պարագիծը

Կտրված գծի հատվածները, որոնք կոչվում են բազմանկյան կողմեր, առավել հաճախ նշվում են հետևյալ տառերով՝ ab, bc, cd, de, ea: Սրանք երկրաչափական պատկերի կողմերն են՝ a, b, c, d, e գագաթներով: Այս ուռուցիկ բազմանկյան բոլոր կողմերի երկարությունների գումարը կոչվում է նրա պարագիծ:

Բազմանկյուն շրջան

Ուռուցիկ բազմանկյունները կարող են լինել մակագրված և շրջագծված: Շրջանակը, որը դիպչում է այս երկրաչափական պատկերի բոլոր կողմերին, կոչվում է դրա մեջ գրված: Նման բազմանկյունը կոչվում է շրջագծված: Շրջանի կենտրոնը, որը ներգծված է բազմանկյունի մեջ, տրված երկրաչափական պատկերի մեջ բոլոր անկյունների կիսատների հատման կետն է: Նման բազմանկյունի մակերեսը հետևյալն է.

որտեղ r-ը ներգծված շրջանագծի շառավիղն է, իսկ p-ն՝ տրված բազմանկյան կիսաշրջագիծը։

Բազմանկյունի գագաթները պարունակող շրջանագիծը կոչվում է նրա շուրջը շրջագծված: Ընդ որում, այս ուռուցիկ երկրաչափական պատկերը կոչվում է մակագրված։ Շրջանի կենտրոնը, որը շրջագծված է նման բազմանկյունով, բոլոր կողմերի այսպես կոչված ուղղահայաց կիսորդների հատման կետն է։

Ուռուցիկ երկրաչափական ձևերի անկյունագծեր

Ուռուցիկ բազմանկյան անկյունագծերը գծային հատվածներ են, որոնք միացնում են ոչ կից գագաթները: Նրանցից յուրաքանչյուրն ընկած է այս երկրաչափական պատկերի ներսում: Նման n-անկյունի անկյունագծերի թիվը որոշվում է բանաձևով.

N = n (n - 3) / 2:

Ուռուցիկ բազմանկյան անկյունագծերի թիվը կարևոր դեր է խաղում տարրական երկրաչափության մեջ։ Եռանկյունների թիվը (K), որոնց կարելի է բաժանել յուրաքանչյուր ուռուցիկ բազմանկյուն, հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևով.

Ուռուցիկ բազմանկյան անկյունագծերի թիվը միշտ կախված է նրա գագաթների թվից։

Ուռուցիկ բազմանկյունի բաժանում

Որոշ դեպքերում լուծելու համար երկրաչափական խնդիրներանհրաժեշտ է ուռուցիկ բազմանկյունը բաժանել մի քանի եռանկյունների՝ չհատվող անկյունագծերով։ Այս խնդիրը կարող է լուծվել կոնկրետ բանաձևով.

Խնդրի սահմանումը. Եկեք ուռուցիկ n-անկյունի ճիշտ բաժանումը անվանենք մի քանի եռանկյունների անկյունագծերով, որոնք հատվում են միայն այս երկրաչափական պատկերի գագաթներով:

Լուծում. Ենթադրենք, որ Р1, Р2, Р3…, Pn այս n-անկյունի գագաթներն են: Xn թիվը նրա բաժանումների թիվն է։ Եկեք ուշադիր դիտարկենք Pi Pn երկրաչափական պատկերի ստացված անկյունագիծը: Կանոնավոր բաժանմունքներից որևէ մեկում P1 Pn-ը պատկանում է որոշակի եռանկյունու P1 Pi Pn, որն ունի 1.

Թող i = 2 լինի կանոնավոր բաժանումների մեկ խումբ, որը միշտ պարունակում է Р2 Pn անկյունագիծը: Նրանում ներառված միջնորմների թիվը համընկնում է (n-1)-գոն Р2 Р3 Р4 միջնապատերի քանակի հետ… Pn. Այլ կերպ ասած, այն հավասար է Xn-1-ին:

Եթե ​​i = 3, ապա բաժանումների այս մյուս խումբը միշտ կպարունակի P3 P1 և P3 Pn անկյունագծերը: Այս դեպքում այս խմբում պարունակվող կանոնավոր բաժանմունքների թիվը կհամընկնի (n-2)-gon Р3 Р4 բաժանումների քանակի հետ… Pn: Այսինքն՝ այն կհավասարվի Xn-2-ին։

Թող i = 4, ապա եռանկյունների շարքում կանոնավոր բաժանումը անպայման կպարունակի P1 P4 Pn եռանկյուն, որին կկապվի քառանկյուն P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 ... Pn: Նման քառանկյունի կանոնավոր բաժանումների թիվը X4 է, իսկ (n-3)-gon բաժանումների թիվը՝ Xn-3։ Ելնելով վերոգրյալից՝ կարող ենք ասել, որ այս խմբում պարունակվող ճիշտ բաժինների ընդհանուր թիվը Xn-3 X4 է։ Այլ խմբեր, որոնց համար i = 4, 5, 6, 7… կպարունակեն Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … սովորական միջնապատեր:

Թող i = n-2, ապա այս խմբի ճիշտ բաժանումների թիվը նույնն է, ինչ այն խմբի բաժանմունքների թիվը, որտեղ i=2 (այլ կերպ ասած՝ հավասար է Xn-1):

Քանի որ X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2…, ուրեմն ուռուցիկ բազմանկյունի բոլոր բաժանումների թիվը հավասար է.

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Ներսում մեկ անկյունագիծ հատող կանոնավոր միջնապատերի քանակը

Հատուկ դեպքեր ստուգելիս կարելի է գալ այն ենթադրության, որ ուռուցիկ n-գոնների անկյունագծերի թիվը հավասար է այս գործչի բոլոր բաժանումների արտադրյալին (n-3):

Այս ենթադրության ապացույցը. պատկերացրեք, որ P1n = Xn * (n-3), ապա ցանկացած n-անկյուն կարելի է բաժանել (n-2)-եռանկյունների: Ընդ որում, դրանցից կարող է կազմվել (n-3)-քառանկյուն։ Սրա հետ մեկտեղ յուրաքանչյուր քառանկյուն կունենա անկյունագիծ։ Քանի որ այս ուռուցիկ երկրաչափական պատկերում կարող են գծվել երկու անկյունագծեր, դա նշանակում է, որ լրացուցիչ (n-3) անկյունագծերը կարող են գծվել ցանկացած (n-3) քառանկյունների վրա: Ելնելով դրանից՝ կարող ենք եզրակացնել, որ ցանկացած կանոնավոր բաժանման մեջ հնարավոր է նկարել (n-3)-անկյունագծեր, որոնք համապատասխանում են այս խնդրի պայմաններին։

Ուռուցիկ բազմանկյունների տարածք

Հաճախ տարրական երկրաչափության տարբեր խնդիրներ լուծելիս անհրաժեշտ է դառնում որոշել ուռուցիկ բազմանկյունի տարածքը: Ենթադրենք, որ (Xi. Yi), i = 1,2,3… n-ը բազմանկյունի բոլոր հարևան գագաթների կոորդինատների հաջորդականությունն է, որը չունի ինքնահատումներ: Այս դեպքում դրա տարածքը հաշվարկվում է հետևյալ բանաձևով.

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

որտեղ (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1):