Մուտքագրեք գործառույթը, որի համար ցանկանում եք գտնել ինտեգրալը

Հաշվիչը տալիս է որոշակի ինտեգրալների ՄԱՆՐԱՄԱՍՆ լուծում։

Այս հաշվիչը լուծում է f(x) ֆունկցիայի որոշակի ինտեգրալը՝ տրված վերին և ստորին սահմաններով։

Օրինակներ

աստիճանի կիրառմամբ
(քառակուսի և խորանարդ) և կոտորակներ

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Քառակուսի արմատ

Sqrt(x)/(x + 1)

խորանարդի արմատ

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Օգտագործելով սինուս և կոսինուս

2*sin(x)*cos(x)

Արքսին

X*arcsin(x)

Աղեղային կոսինուս

x*arccos(x)

Լոգարիթմի կիրառում

X*log (x, 10)

բնական լոգարիթմ

Ցուցադրող

Tg(x)*sin(x)

Կոտանգենս

Ctg(x)*cos(x)

Իռացիոնալ կոտորակներ

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arctangent

X*arctg(x)

Աղեղային շոշափող

X*arсctg(x)

Հիբերբոլիկ սինուս և կոսինուս

2*sh(x)*ch(x)

Հիբերբոլիկ տանգենս և կոտանգենս

ctgh(x)/tgh(x)

Հիբերբոլիկ արկսին և արկկոսին

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Հիբերբոլիկ արկտանգենս և արկոտանգենս

X^2*arctgh(x)*arctgh(x)

Արտահայտությունների և ֆունկցիաների մուտքագրման կանոններ

Արտահայտությունները կարող են բաղկացած լինել ֆունկցիաներից (նշումները տրված են այբբենական կարգով). բացարձակ (x)Բացարձակ արժեք x
(մոդուլ xկամ |x|) arccos (x)Ֆունկցիա - աղեղային կոսինուս x arccosh (x) Arc cosine hyperbolic from x arcsin (x) Arcsine-ից x arcsinh (x)Արքսին հիպերբոլիկ ից x arctg (x)Ֆունկցիա - աղեղային շոշափող է x արկտղ(x)Աղեղային շոշափողը հիպերբոլիկ է x ե եթիվ, որը մոտավորապես հավասար է 2,7-ի exp(x)Ֆունկցիա - ցուցիչ-ից x(որն է ե^x) տեղեկամատյան (x)կամ տեղեկամատյան (x)-ի բնական լոգարիթմ x
(Ստանալ log7 (x), դուք պետք է մուտքագրեք log(x)/log(7) (կամ, օրինակ, համար log10 (x)=log(x)/log(10)) պիԹիվը «Pi» է, որը մոտավորապես հավասար է 3,14-ի մեղք (x)Ֆունկցիա - Sine of x cos(x)Ֆունկցիա - կոսինուս x sinh (x)Ֆունկցիա - հիպերբոլիկ սինուս x կանխիկ (x)Ֆունկցիա - հիպերբոլիկ կոսինուս x sqrt (x)Ֆունկցիան քառակուսի արմատն է x քառակուսի (x)կամ x^2Ֆունկցիան - քառակուսի x tg (x)Ֆունկցիա - շոշափում է x tgh(x)Ֆունկցիա - հիպերբոլիկ շոշափող x cbrt (x)Գործառույթը խորանարդի արմատն է x

Արտահայտություններում կարող եք օգտագործել հետևյալ գործողությունները. Իրական թվերմուտքագրեք ձևի մեջ 7.5 , ոչ 7,5 2*x- բազմապատկում 3/x- բաժանում x^3- հզորացում x + 7- լրացում x - 6- հանում
Այլ առանձնահատկություններ. հարկ (x)Գործառույթ - կլորացում xներքեւ (օրինակ հատակ (4.5)==4.0) առաստաղ (x)Գործառույթ - կլորացում xվերև (օրինակ առաստաղ (4.5)==5.0) նշան (x)Գործառույթ - Նշան x erf (x)Սխալի ֆունկցիա (կամ հավանականության ինտեգրալ) լապլաս (x)Լապլասի ֆունկցիան

Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը.

Լուծում.

Գտնում ենք տրված ուղիղների հատման կետերը. Դա անելու համար մենք լուծում ենք հավասարումների համակարգը.

Տրված ուղիղների հատման կետերի աբսցիսները գտնելու համար լուծում ենք հավասարումը.

Մենք գտնում ենք. x 1 = -2, x 2 = 4.

Այսպիսով, այս ուղիղները, որոնք պարաբոլա և ուղիղ գիծ են, հատվում են կետերում Ա(-2; 0), Բ(4; 6).

Այս տողերը կազմում են փակ գործիչ, որի մակերեսը հաշվարկվում է վերը նշված բանաձևով.

Ըստ Նյուտոն-Լայբնից բանաձևի՝ մենք գտնում ենք.

Գտեք էլիպսով սահմանափակված տարածքի մակերեսը.

Լուծում.

I քառակուսի էլիպսային հավասարումից մենք ունենք . Այստեղից, ըստ բանաձևի, մենք ստանում ենք

Եկեք կիրառենք փոխարինումը x = ամեղք տ, dx = ա cos տ dt. Ինտեգրման նոր սահմաններ տ = α և տ = β որոշվում են 0 = հավասարումներից ամեղք տ, ա = ամեղք տ. Կարելի է դնել α = 0 և β = π /2.

Մենք գտնում ենք պահանջվող տարածքի մեկ չորրորդը

Այստեղից Ս = պաբ.

Գտեք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսըy = - x 2 + x + 4 ևy = - x + 1.

Լուծում.

Գտե՛ք ուղիղների հատման կետերը y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, հավասարեցնելով տողերի օրդինատները. x 2 + x + 4 = -x+ 1 կամ x 2 - 2x- 3 = 0. Գտի՛ր արմատները x 1 = -1, x 2 = 3 և դրանց համապատասխան օրդինատները y 1 = 2, y 2 = -2.

Օգտագործելով գործչի տարածքի բանաձևը, մենք ստանում ենք

Գտեք պարաբոլով պարփակված տարածքըy = x 2 + 1 և ուղիղx + y = 3.

Լուծում.

Հավասարումների համակարգի լուծում

գտե՛ք հատման կետերի աբսցիսները x 1 = -2 և x 2 = 1.

Ենթադրելով y 2 = 3 - xև y 1 = x 2 + 1, հիմնվելով այն բանաձևի վրա, որը մենք ստանում ենք

Հաշվեք Բեռնուլիի լեմնիսկատում պարունակվող տարածքըr 2 = ա 2 cos 2 φ .

Լուծում.

Բևեռային կոորդինատային համակարգում պատկերի տարածքը, որը սահմանափակվում է կորի աղեղով r = զ(φ ) և երկու բևեռային շառավիղներ φ 1 = ʅ և φ 2 = ʆ , արտահայտվում է ինտեգրալով

Կորի համաչափության շնորհիվ մենք նախ որոշում ենք ցանկալի տարածքի մեկ չորրորդը

Հետևաբար, ընդհանուր մակերեսը կազմում է Ս = ա 2 .

Հաշվիր ասրոիդի աղեղի երկարությունըx 2/3 + y 2/3 = ա 2/3 .

Լուծում.

Ասրոիդի հավասարումը գրում ենք ձևով

(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (ա 1/3) 2 .

դնենք x 1/3 = ա 1/3 կո տ, y 1/3 = ա 1/3 մեղք տ.

Այստեղից մենք ստանում ենք ասրոիդի պարամետրային հավասարումները

x = ա cos 3 տ, y = ամեղք 3 տ, (*)

որտեղ 0 ≤ տ ≤ 2π .

Հաշվի առնելով կորի (*) համաչափությունը, բավական է գտնել աղեղի երկարության մեկ չորրորդը Լպարամետրի փոփոխությանը համապատասխան տ 0-ից մինչև π /2.

Մենք ստանում ենք

dx = -3ա cos 2 տմեղք տ դտ, դի = 3ամեղք 2 տ cos տ դտ.

Այստեղից մենք գտնում ենք

Ստացված արտահայտության ինտեգրում 0-ից մինչև միջակայքում π /2, մենք ստանում ենք

Այստեղից Լ = 6ա.

Գտեք Արքիմեդի պարույրով սահմանափակված տարածքըr = aφ և երկու շառավղային վեկտորներ, որոնք համապատասխանում են բևեռային անկյուններինφ 1 ևφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Լուծում.

Տարածք, որը սահմանափակվում է կորով r = զ(φ ) հաշվարկվում է բանաձևով, որտեղ α և β - բևեռային անկյան փոփոխության սահմանները.

Այսպիսով, մենք ստանում ենք

(*)

(*)-ից հետևում է, որ բևեռային առանցքով սահմանափակված տարածքը և Արքիմեդի պարույրի առաջին շրջադարձը ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

Նմանապես, մենք գտնում ենք բևեռային առանցքով սահմանափակված տարածքը և Արքիմեդի պարույրի երկրորդ շրջադարձը ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Պահանջվող տարածքը հավասար է այս տարածքների տարբերությանը

Հաշվե՛ք առանցքի շուրջ պտտվելուց ստացված մարմնի ծավալըԵզ պարաբոլներով սահմանափակված պատկերy = x 2 ևx = y 2 .

Լուծում.

Լուծենք հավասարումների համակարգը

և ստացիր x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, որտեղից կորերի հատման կետերը Օ(0; 0), Բ(տասնմեկ): Ինչպես երևում է նկարում, հեղափոխության մարմնի ցանկալի ծավալը հավասար է առանցքի շուրջ պտույտից առաջացած երկու ծավալների տարբերությանը։ Եզկորագիծ trapezoids OCBAև ՕԴԲԱ:

Հաշվի՛ր առանցքով սահմանափակված տարածքըԵզ և սինուսոիդy = մեղքx հատվածների վրա՝ ա); բ) .

Լուծում.

ա) հատվածի վրա՝ sin ֆունկցիան xպահպանում է նշանը և, հետևաբար, բանաձևով, ենթադրելով y= մեղք x, գտնում ենք

բ) հատվածի վրա, ֆունկցիա sin xփոխում է նշանը. Խնդրի ճիշտ լուծման համար անհրաժեշտ է հատվածը բաժանել երկուսի և [. π , 2π ], որոնցից յուրաքանչյուրում ֆունկցիան պահպանում է իր նշանը։

Ըստ նշանների կանոնի՝ հատվածի վրա [ π , 2π ] տարածքը վերցված է մինուս նշանով։

Արդյունքում, ցանկալի տարածքը հավասար է

Որոշե՛ք էլիպսի պտույտից ստացված մակերևույթով սահմանափակված մարմնի ծավալըհիմնական առանցքի շուրջա .

Լուծում.

Հաշվի առնելով, որ էլիպսը սիմետրիկ է կոորդինատային առանցքների նկատմամբ, բավական է գտնել առանցքի շուրջ պտույտի արդյունքում ձևավորված ծավալը. Եզտարածք ՕԱԲ, հավասար է էլիպսի մակերեսի մեկ քառորդին և կրկնապատկել արդյունքը։

Նշենք հեղափոխության մարմնի ծավալը միջոցով Վ x; ապա բանաձևի հիման վրա ունենք , որտեղ 0 և ա- կետերի աբսցիսներ Բև Ա. Էլիպսի հավասարումից մենք գտնում ենք. Այստեղից

Այսպիսով, պահանջվող ծավալը հավասար է . (Երբ էլիպսը պտտվում է փոքր առանցքի շուրջ բ, մարմնի ծավալն է )

Գտեք պարաբոլներով սահմանափակված տարածքըy 2 = 2 px ևx 2 = 2 py .

Լուծում.

Նախ, մենք գտնում ենք պարաբոլների հատման կետերի կոորդինատները, որպեսզի որոշենք ինտեգրման միջակայքը: Վերափոխելով սկզբնական հավասարումները՝ մենք ստանում ենք և. Հավասարեցնելով այս արժեքները, մենք ստանում ենք կամ x 4 - 8էջ 3 x = 0.

x 4 - 8էջ 3 x = x(x 3 - 8էջ 3) = x(x - 2էջ)(x 2 + 2px + 4էջ 2) = 0.

Մենք գտնում ենք հավասարումների արմատները.

Նկատի ունենալով այն հանգամանքը, որ կետ Ապարաբոլների հատումը առաջին քառորդում է, ապա ինտեգրման սահմանները x= 0 և x = 2էջ.

Ցանկալի տարածքը հայտնաբերվում է բանաձևով

Օրինակ 1 . Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված նկարի մակերեսը՝ x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 և x = 2

Եկեք կառուցենք պատկեր (տես Նկ.) Մենք ուղիղ գիծ ենք կառուցում x + 2y - 4 \u003d 0 A (4; 0) և B (0; 2) կետերի երկայնքով: y-ն x-ով արտահայտելով՝ ստանում ենք y \u003d -0.5x + 2: Ըստ (1) բանաձևի, որտեղ f (x) \u003d -0.5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, մենք գտնել

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 քառ. միավորներ

Օրինակ 2 Հաշվեք գծերով սահմանափակված նկարի մակերեսը՝ x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 և y \u003d 0:

Լուծում. Եկեք կառուցենք գործիչ:

Եկեք կառուցենք ուղիղ գիծ x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2):

Կառուցենք ուղիղ x + y - 5 = 0՝ y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5):

Գտե՛ք ուղիղների հատման կետը՝ լուծելով հավասարումների համակարգը.

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Պահանջվող մակերեսը հաշվարկելու համար մենք AMC եռանկյունին բաժանում ենք երկու AMN և NMC եռանկյունների, քանի որ երբ x-ը փոխվում է A-ից N, տարածքը սահմանափակվում է ուղիղ գծով, իսկ երբ x-ը N-ից փոխվում է C, դա ուղիղ է:

AMN եռանկյունու համար ունենք՝ ; y \u003d 0,5x + 2, այսինքն f (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2:

NMC եռանկյունու համար մենք ունենք՝ y = - x + 5, այսինքն f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5:

Հաշվելով եռանկյուններից յուրաքանչյուրի մակերեսը և ավելացնելով արդյունքները՝ մենք գտնում ենք.

քառ. միավորներ

քառ. միավորներ

9 + 4, 5 = 13,5 քառ. միավորներ Ստուգում՝ = 0,5AC = 0,5 քառ. միավորներ

Օրինակ 3 Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը՝ y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3:

Այս դեպքում պահանջվում է հաշվարկել y = x պարաբոլով սահմանափակված կորագիծ տրապիզոնի մակերեսը: 2 , ուղիղ գծեր x \u003d 2 և x \u003d 3 և Ox առանցքը (տես Նկար) Ըստ (1) բանաձևի մենք գտնում ենք կորագիծ տրապիզոնի տարածքը

= = 6 կՎ. միավորներ

Օրինակ 4 Հաշվիր գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը՝ y \u003d - x 2 + 4 և y = 0

Եկեք կառուցենք գործիչ: Ցանկալի տարածքը փակված է y \u003d - x պարաբոլայի միջև 2 + 4 և առանցք Oh.

Գտե՛ք պարաբոլայի հատման կետերը x առանցքի հետ: Ենթադրելով y \u003d 0, մենք գտնում ենք x \u003d Քանի որ այս ցուցանիշը սիմետրիկ է Oy առանցքի նկատմամբ, մենք հաշվարկում ենք Oy առանցքի աջ կողմում գտնվող գործչի տարածքը և կրկնապատկում արդյունքը. \u003d + 4x] քառակուսի. միավորներ 2 = 2 քառ. միավորներ

Օրինակ 5 Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված գործչի մակերեսը՝ y 2 = x, yx = 1, x = 4

Այստեղ պահանջվում է հաշվարկել պարաբոլայի y վերին ճյուղով սահմանափակված կորագիծ տրապիզոնի մակերեսը 2 \u003d x, Ox առանցքը և ուղիղ գծերը x \u003d 1x \u003d 4 (տես Նկար)

Համաձայն (1) բանաձևի, որտեղ f(x) = a = 1 և b = 4, մենք ունենք = (= քառ.

Օրինակ 6 . Հաշվե՛ք գծերով սահմանափակված նկարի մակերեսը՝ y = sinx, y = 0, x = 0, x= :

Ցանկալի տարածքը սահմանափակվում է կիսաալիքային սինուսոիդով և Ox առանցքով (տես Նկ.):

Մենք ունենք - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 քառակուսի մետր: միավորներ

Օրինակ 7 Հաշվեք գծերով սահմանափակված նկարի տարածքը՝ y \u003d - 6x, y \u003d 0 և x \u003d 4:

Նկարը գտնվում է Ox առանցքի տակ (տես նկ.):

Հետևաբար, դրա տարածքը հայտնաբերվում է բանաձևով (3)

= =

Օրինակ 8 Հաշվեք գծերով սահմանափակված նկարի մակերեսը՝ y \u003d և x \u003d 2: Մենք կկառուցենք y կորը կետերով (տես նկարը): Այսպիսով, գործչի տարածքը հայտնաբերվում է (4) բանաձևով.

Օրինակ 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Այստեղ դուք պետք է հաշվարկեք x շրջանակով սահմանափակված տարածքը 2 + y 2 = r 2 , այսինքն՝ սկզբնակետում կենտրոնացած r շառավղով շրջանագծի մակերեսը։ Գտնենք այս տարածքի չորրորդ մասը՝ վերցնելով ինտեգրման սահմանները 0-ից

դոր; մենք ունենք: 1 = = [

հետևաբար, 1 =

Օրինակ 10 Հաշվեք գծերով սահմանափակված նկարի մակերեսը՝ y \u003d x 2 և y = 2x

Այս ցուցանիշը սահմանափակվում է y \u003d x պարաբոլայով 2 և ուղիղ y \u003d 2x (տես Նկ.) Տրված գծերի հատման կետերը որոշելու համար լուծում ենք հավասարումների համակարգը՝ x 2 – 2x = 0 x = 0 և x = 2

Տարածքը գտնելու համար (5) բանաձևով մենք ստանում ենք

= }