Եթե հավասարաչափ տրապիզոիդում անկյունագծերը ուղղահայաց են, ապա խնդրի լուծման համար օգտակար կլինի հետևյալ տեսական նյութը.
1. Եթե հավասարաչափ տրապիզիայում անկյունագծերը ուղղահայաց են, ապա տրապեզի բարձրությունը հիմքերի գումարի կեսն է:
Եկեք գծենք CF ուղիղ C կետի միջով BD-ին զուգահեռ և երկարացնենք AD ուղիղը մինչև այն հատվի CF-ին:
Քառանկյուն BCFD-ը զուգահեռագիծ է (BC∥ DF որպես տրապեզի հիմք, BD∥ CF կառուցմամբ): Այսպիսով, CF=BD, DF=BC և AF=AD+BC:
Եռանկյունը ACF-ն ուղղանկյուն է (եթե ուղիղը ուղղահայաց է երկու զուգահեռ ուղիղներից մեկին, ապա այն նաև ուղղահայաց է մյուս ուղիղին): Քանի որ հավասարաչափ տրապիզոիդում անկյունագծերը հավասար են, և CF=BD, ապա CF=AC, այսինքն՝ ACF եռանկյունը հավասարաչափ է AF հիմքով: Հետևաբար, նրա CN բարձրությունը նաև միջինն է: Եվ քանի որ հիպոթենուսին գծված ուղղանկյուն եռանկյան միջինը հավասար է դրա կեսին, ուրեմն
ինչում ընդհանուր տեսարանկարելի է գրել որպես
որտեղ h-ը trapezoid-ի բարձրությունն է, a-ն և b-ը նրա հիմքերն են:
2. Եթե հավասարաչափ տրապեզոիդում շեղանկյունները ուղղահայաց են, ապա նրա բարձրությունը հավասար է. միջին գիծ.
Քանի որ trapezoid m-ի միջնագիծը հավասար է հիմքերի գումարի կեսին, ապա
3. Եթե անկյունագծերը ուղղահայաց են հավասարաչափ տրապիզուում, ապա տրապեզիի մակերեսը հավասար է տրապիզոնի բարձրության քառակուսուն (կամ հիմքերի կիսագումարի քառակուսին կամ միջին գծի քառակուսին. )
Քանի որ տրապեզոիդի տարածքը հայտնաբերվում է բանաձևով
իսկ բարձրությունը, հիմքերի գումարի կեսը և ուղղահայաց անկյունագծերով հավասարաչափ տրապիզոիդի միջին գիծը հավասար են միմյանց.
4. Եթե հավասարաչափ տրապեզոիդում շեղանկյունները ուղղահայաց են, ապա նրա անկյունագծի քառակուսին հավասար է հիմքերի գումարի քառակուսու կեսին, ինչպես նաև բարձրության քառակուսու կրկնապատիկին և միջին գծի քառակուսու կրկնապատիկին։
Քանի որ ուռուցիկ քառանկյունի տարածքը կարելի է գտնել նրա անկյունագծերի և նրանց միջև անկյան միջոցով՝ օգտագործելով բանաձևը.
- Trapezoid-ի անկյունագծերի միջնակետերը միացնող հատվածը հավասար է հիմքերի տարբերության կեսին
- Տրապիզոնի հիմքերից և շեղանկյունների հատվածներից կազմված եռանկյունները մինչև դրանց հատման կետը նման են.
- Եռանկյուններ, որոնք ձևավորվում են տրապիզոնի անկյունագծերի հատվածներով, որոնց կողմերը ընկած են տրապիզոնի կողքերի վրա՝ հավասար մակերես (ունեն նույն մակերեսը)
- Եթե տրապեզի կողմերը երկարացնենք դեպի փոքր հիմքը, ապա դրանք մի կետում կհատվեն հիմքերի միջնակետերը միացնող ուղիղ գծի հետ։
- Տրապիզոնի հիմքերը միացնող և տրապիզոնի անկյունագծերի հատման կետով անցնող հատվածը բաժանվում է այս կետի վրա՝ տրապիզոնի հիմքերի երկարությունների հարաբերակցությանը հավասար համամասնությամբ։
- Տրապիզոնի հիմքերին զուգահեռ և անկյունագծերի հատման կետով գծված հատվածը կիսվում է այս կետով, և դրա երկարությունը հավասար է 2ab / (a + b), որտեղ a-ն և b-ը տրապեզի հիմքերն են:
Trapezoid-ի անկյունագծերի միջնակետերը միացնող հատվածի հատկությունները
Միացրեք ABCD տրապեզի անկյունագծերի միջնակետերը, ինչի արդյունքում կունենանք LM հատված։
Գծային հատված, որը միացնում է տրապիզոնի անկյունագծերի միջնակետերը ընկած է trapezium-ի միջին գծի վրա.
Այս հատվածը Trapezium-ի հիմքերին զուգահեռ.
Trapezoid-ի անկյունագծերի միջնակետերը միացնող հատվածի երկարությունը հավասար է նրա հիմքերի կես տարբերությանը:
LM = (AD - BC)/2
կամ
LM = (a-b)/2
Trapezoid-ի անկյունագծերով կազմված եռանկյունների հատկությունները
Եռանկյունները, որոնք ձևավորվում են տրապեզի հիմքերով և տրապիզոնի անկյունագծերի հատման կետով. նման են.
BOC և AOD եռանկյունները նման են: Քանի որ BOC և AOD անկյունները ուղղահայաց են, նրանք հավասար են:
OCB և OAD անկյունները ներքուստ խաչաձև ընկած են AD և BC զուգահեռ գծերի վրա (տրապեզի հիմքերը զուգահեռ են միմյանց) և AC հատվածային գծի վրա, հետևաբար, դրանք հավասար են:
OBC և ODA անկյունները հավասար են նույն պատճառով (ներքին խաչաձև պառկած):
Քանի որ մի եռանկյան բոլոր երեք անկյունները հավասար են մեկ այլ եռանկյան համապատասխան անկյուններին, այդ եռանկյունները նման են:
Ի՞նչ է հետևում սրանից։
Երկրաչափության խնդիրներ լուծելու համար եռանկյունների նմանությունն օգտագործվում է հետևյալ կերպ. Եթե գիտենք միանման եռանկյունների երկու համապատասխան տարրերի երկարությունները, ապա գտնում ենք նմանության գործակիցը (մեկը բաժանում ենք մյուսի վրա)։ Այնտեղից, որտեղից բոլոր մյուս տարրերի երկարությունները միմյանց հետ կապված են ճիշտ նույն արժեքով:
Trapezoid-ի կողային կողմում ընկած եռանկյունների և անկյունագծերի հատկությունները
Դիտարկենք երկու եռանկյունիներ, որոնք ընկած են AB և CD trapezoid-ի կողքերին: Սրանք AOB և COD եռանկյուններ են: Չնայած այն հանգամանքին, որ այս եռանկյունների առանձին կողմերի չափերը կարող են բոլորովին տարբեր լինել, բայց եռանկյունների մակերեսները, որոնք կազմված են կողմերից և տրապիզոնի անկյունագծերի հատման կետից., այսինքն՝ եռանկյունները հավասար են։
Եթե trapezoid-ի կողմերը ձգվում են դեպի փոքր հիմքը, ապա կողմերի հատման կետը կլինի. համընկնում է ուղիղ գծի հետ, որն անցնում է հիմքերի միջնակետերով.
Այսպիսով, ցանկացած trapezoid կարող է երկարաձգվել եռանկյունու վրա: Որտեղ:
- Ընդլայնված կողմերի հատման կետում ընդհանուր գագաթ ունեցող trapezoid-ի հիմքերով ձևավորված եռանկյունները նման են.
- Trapezoid-ի հիմքերի միջնակետերը միացնող ուղիղ գիծը, միևնույն ժամանակ, կառուցված եռանկյան միջնագիծն է.
Trapezoid-ի հիմքերը միացնող հատվածի հատկությունները
Եթե դուք գծում եք հատված, որի ծայրերը ընկած են տրապեզի հիմքերի վրա, որը գտնվում է տրապեզի (KN) անկյունագծերի հատման կետում, ապա դրա բաղկացուցիչ հատվածների հարաբերությունը հիմքի կողքից դեպի խաչմերուկի կետը: անկյունագծեր (KO / ON) հավասար կլինի տրապեզի հիմքերի հարաբերությանը(մ.թ.ա./մ.թ.):
KO/ON=BC/AD
Այս գույքըբխում է համապատասխան եռանկյունների նմանությունից (տե՛ս վերևում):
Trapezoid-ի հիմքերին զուգահեռ հատվածի հատկությունները
Եթե գծեք տրապեզիի հիմքերին զուգահեռ և տրապիզոնի անկյունագծերի հատման կետով անցնող հատված, ապա այն կունենա հետևյալ հատկությունները.
- Նախադրված հեռավորությունը (կմ) կիսում է տրապեզի անկյունագծերի հատման կետը
- Կտրեք երկարությունը, անցնելով տրապեզի անկյունագծերի հատման կետով և հիմքերին զուգահեռ, հավասար է. KM = 2ab/(a + b)
Տրապիզոնի անկյունագծերը գտնելու բանաձևեր
ա, բ- trapezoid-ի հիմքերը
գ, դ- trapezoid- ի կողմերը
d1 d2- trapezoid-ի անկյունագծերը
α β - անկյուններ տրապիզոիդի ավելի մեծ հիմքով
Բանաձևեր՝ հիմքի վրա գտնվող հիմքերի, կողմերի և անկյունների միջոցով տրապեզոիդի անկյունագծերը գտնելու համար
Բանաձևերի առաջին խումբը (1-3) արտացոլում է trapezoid diagonals- ի հիմնական հատկություններից մեկը.
1. Trapezoid-ի անկյունագծերի քառակուսիների գումարը հավասար է կողմերի քառակուսիների գումարին գումարած նրա հիմքերի արտադրյալի կրկնապատիկը: Trapezoid-ի անկյունագծերի այս հատկությունը կարելի է ապացուցել որպես առանձին թեորեմ
2 . Այս բանաձևը ստացվում է նախորդ բանաձևի փոխակերպմամբ։ Երկրորդ անկյունագծի քառակուսին նետվում է հավասար նշանի վրա, որից հետո արտահայտության ձախ և աջ կողմերից հանվում է քառակուսի արմատը։
3 . Trapezoid-ի անկյունագծի երկարությունը գտնելու այս բանաձևը նման է նախորդին, այն տարբերությամբ, որ արտահայտության ձախ կողմում մնացել է մեկ այլ անկյունագիծ.
Բանաձևերի հաջորդ խումբը (4-5) իմաստով նման է և արտահայտում է նմանատիպ հարաբերություն։
Բանաձևերի խումբը (6-7) թույլ է տալիս գտնել trapezoid-ի անկյունագիծը, եթե գիտեք տրապեզի ավելի մեծ հիմքը, մի կողմը և հիմքի անկյունը:
Բանաձևեր՝ ըստ բարձրության տրապեզի անկյունագծերը գտնելու
Առաջադրանք.
ABCD (AD | | BC) trapezoid-ի անկյունագծերը հատվում են O կետում: Գտե՛ք տրապիզոնի BC հիմքի երկարությունը, եթե հիմքը AD = 24 սմ, երկարությունը AO = 9 սմ, երկարությունը OS = 6 սմ:
Լուծում.
Այս խնդրի լուծումը գաղափարախոսական առումով բացարձակապես նույնական է նախորդ առաջադրանքների հետ։
AOD և BOC եռանկյունները երեք անկյուններով նման են. AOD և BOC ուղղահայաց են, իսկ մնացած անկյունները զույգերով հավասար են, քանի որ դրանք ձևավորվում են մեկ ուղիղի և երկու զուգահեռ գծերի հատումից:
Քանի որ եռանկյունները նման են, նրանց բոլոր երկրաչափական չափերը կապված են միմյանց հետ, քանի որ մեզ հայտնի AO և OC հատվածների երկրաչափական չափերն ըստ խնդրի պայմանի։ Այն է
AO/OC=AD/BC
9 / 6 = 24 / մ.թ.ա.
BC = 24 * 6 / 9 = 16
Պատասխանել: 16 սմ
Առաջադրանք.
ABCD trapezoid-ում հայտնի է, որ AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17։ Գտեք տրապեզոիդի տարածքը: 
Լուծում.
Փոքր B և C հիմքի գագաթներից տրապեզոիդի բարձրությունը գտնելու համար մենք երկու բարձրություն իջեցնում ենք ավելի մեծ հիմքի վրա: Քանի որ trapezoid-ը անհավասար է, մենք նշում ենք երկարությունը AM = a, երկարությունը KD = b ( չպետք է շփոթել բանաձևի նշանների հետգտնելով տրապեզոիդի տարածքը): Քանի որ trapezoid-ի հիմքերը զուգահեռ են, և մենք բաց ենք թողել ավելի մեծ հիմքին ուղղահայաց երկու բարձրություն, ապա MBCK-ն ուղղանկյուն է:
Միջոցներ
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - բ
DBM և ACK եռանկյունները ուղղանկյուն են, ուստի նրանց ուղիղ անկյունները ձևավորվում են trapezoid-ի բարձրություններից: Տրապիզոնի բարձրությունը նշանակենք հ. Հետո Պյութագորասի թեորեմով
H 2 + (24 - ա) 2 \u003d (5√17) 2
և
h 2 + (24 - բ) 2 \u003d 13 2
Հաշվի առեք, որ a \u003d 16 - b, ապա առաջին հավասարման մեջ
h 2 + (24 - 16 + բ) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + բ) 2
Բարձրության քառակուսու արժեքը փոխարինի՛ր Պյութագորասի թեորեմով ստացված երկրորդ հավասարմամբ: Մենք ստանում ենք.
425 - (8 + բ) 2 + (24 - բ) 2 = 169
-(64 + 16b + բ) 2 + (24 - բ) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Այսպիսով, KD = 12
Որտեղ
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5
Գտե՛ք տրապեզոիդի մակերեսը՝ օգտագործելով նրա բարձրությունը և հիմքերի գումարի կեսը
, որտեղ a b - trapezoid-ի հիմքերը, h - trapezoid-ի բարձրությունը
S \u003d (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80 սմ 2
ՊատասխանելՏրապիզոնի մակերեսը 80 սմ2 է։
Կրկին Պյութագորասի եռանկյունին :))) Եթե մեծ հիմքից մինչև հատման կետը մեծ անկյունագծի մի հատվածը նշանակվում է x-ով, ապա նույն անկյուններով ուղղանկյուն եռանկյունների ակնհայտ նմանությունից հետևում է այն: x / 64 = 36 / x, հետևաբար x = 48; 48/64 = 3/4, հետևաբար հիմքերով, շեղանկյուններով և հիմքին ուղղահայաց կողմով կազմված ԲՈԼՈՐ ուղղանկյուն եռանկյունին նման են 3,4,5 կողմերով եռանկյունին: Միակ բացառությունը անկյունագծերի կտորներով և թեք կողմով ձևավորված եռանկյունն է, բայց դա մեզ չի հետաքրքրում :)։ (Հստակ լինելու համար, խնդրո առարկա նմանությունը պարզապես ԱՆՎԱՆՎԵԼ Է ՈՒՐԻՍԻ ԿՈՂՄԻՑ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներանկյունները :) մենք արդեն գիտենք մեծ շեղանկյունի և մեծ հիմքի միջև անկյան շոշափողը, այն 3/4 է, այսինքն՝ սինուսը 3/5 է, իսկ կոսինուսը՝ 4/5 :)) Կարող եք անմիջապես գրել.
Պատասխանները. Ներքևի հիմքը 80 է, տրապիզոնի բարձրությունը՝ 60, իսկ վերինը՝ 45։ (36*5/4 = 45, 64*5/4 = 80, 100*3/5 = 60)
Առնչվող առաջադրանքներ.
1. Պրիզմայի հիմքը եռանկյուն է, որի մի կողմը 2 սմ է, իսկ մյուս երկուսը՝ 3 սմ։Կողային եզրը 4 սմ է և հիմքի հարթության հետ կազմում է 45 անկյուն։Գտե՛ք եզրի եզրը։ հավասար խորանարդ:
2. Թեք պրիզմայի հիմքը a կողմով հավասարակողմ եռանկյուն է; կողային երեսներից մեկն ուղղահայաց է հիմքի հարթությանը և ռոմբ է, որի փոքր անկյունագիծը c է: Գտե՛ք պրիզմայի ծավալը:
3. Թեք պրիզմայում հիմքն է ուղղանկյուն եռանկյուն, որի հիպոթենուսը c, մեկ է սուր անկյուն 30, կողային եզրը հավասար է և հիմքի հարթության հետ կազմում է 60 անկյուն։Գտե՛ք պրիզմայի ծավալը։
1. Գտի՛ր քառակուսու կողմը, եթե նրա անկյունագիծը 10 սմ է
2. Հավասարաչափ տրապիզոիդում բութ անկյունը 135 աստիճանով փոքր է, քան հիմքը 4 սմ է, իսկ բարձրությունը 2 սմ է, գտե՛ք տրապեզի մակերեսը:
3. Տրապիզոնի բարձրությունը հիմքերից մեկից 3 անգամ ավելի է, բայց մյուսի կեսը։ Գտե՛ք տրապեզի հիմքերը և բարձրությունը, եթե տրապիզոնի մակերեսը 168 սմ քառակուսի է:
4. ABC եռանկյունում A անկյունը = Անկյունում = 75 աստիճան: Գտեք BC, եթե եռանկյան մակերեսը 36 սմ քառակուսի է:
1. AB և CD կողմերով ABCD տրապիզոիդում անկյունագծերը հատվում են O կետում.
ա) Համեմատե՛ք ABD և ACD եռանկյունների մակերեսները
բ) Համեմատե՛ք ABO և CDO եռանկյունների մակերեսները
գ) Ապացուցեք, որ OA*OB=OC*OD
2. Հավասարսուռ եռանկյան հիմքը կողքի հետ կապված է 4:3, իսկ դեպի հիմքը գծված բարձրությունը 30 սմ է:Գտե՛ք այն հատվածները, որոնց այս բարձրությունը բաժանվում է հիմքի անկյան կիսաչափով:
3. AM տող - շրջանագծին շոշափող, այս շրջանագծի AB-ակորդ: Ապացուցեք, որ MAB անկյունը չափվում է AB աղեղի կեսով, որը գտնվում է MAB անկյան ներսում:
