Normalni vektori nisu vektori kojima je dobro ili se dobro osjećaju. Po definiciji, normalni vektor (normala) na ravninu je vektor okomit na zadanu ravninu.

Drugim riječima, normala je vektor okomit na bilo koji vektor u danoj ravnini. Sigurno ste naišli na takvu definiciju - međutim, umjesto vektora, radilo se o ravnim crtama. Međutim, upravo gore pokazano je da se u problemu C2 može raditi s bilo kojim pogodnim objektom - čak i ravnom linijom, čak i vektorom.

Podsjećam vas još jednom da je svaka ravnina definirana u prostoru jednadžbom Ax + By + Cz + D = 0, gdje su A, B, C i D neki koeficijenti. Ne umanjujući općenitost rješenja, možemo pretpostaviti D = 1 ako ravnina ne prolazi kroz ishodište ili D = 0 ako prolazi. U svakom slučaju, koordinate vektora normale na ovu ravninu su n = (A; B; C).

Dakle, ravnina se također može uspješno zamijeniti vektorom - istom normalom. Bilo koja ravnina određena je u prostoru s tri točke. Kako pronaći jednadžbu ravnine (a time i normalu), već smo raspravljali na samom početku članka. Međutim, ovaj proces mnogima stvara probleme, pa ću dati još nekoliko primjera:

· Zadatak . U kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nacrtan je presječak A 1 BC 1 . Nađite vektor normale za ravninu ovog presjeka, ako je ishodište u točki A, a osi x, y i z poklapaju se s bridovima AB, AD i AA 1.

Riješenje. Budući da ravnina ne prolazi kroz ishodište, njena jednadžba izgleda ovako: Ax + By + Cz + 1 = 0, tj. koeficijent D \u003d 1. Budući da ova ravnina prolazi kroz točke A 1, B i C 1, koordinate tih točaka pretvaraju jednadžbu ravnine u ispravnu numeričku jednakost.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Slično, za točke B = (1; 0; 0) i C 1 = (1; 1; 1) dobivamo jednadžbe:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Ali koeficijenti A = − 1 i C = − 1 su nam već poznati, pa ostaje pronaći koeficijent B:
B = − 1 − A − B = − 1 + 1 + 1 = 1.

Dobivamo jednadžbu ravnine: - A + B - C + 1 = 0, Dakle, koordinate vektora normale su n = (- 1; 1; - 1).

Odgovor: n = (− 1; 1; − 1)

· Zadatak . U kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nacrtan je presjek AA 1 C 1 C. Nađite vektor normale za ravninu tog presjeka ako je ishodište u točki A, a osi x, y i z poklapaju se s bridovi redom AB, AD i AA 1.

Riješenje. NA ovaj slučaj ravnina prolazi kroz ishodište, pa je koeficijent D \u003d 0, a jednadžba ravnine izgleda ovako: Ax + By + Cz \u003d 0. Budući da ravnina prolazi kroz točke A 1 i C, koordinate tih točaka pretvoriti jednadžbu ravnine u ispravnu numeričku jednakost.

Zamijenimo koordinate točke A 1 = (0; 0; 1) umjesto x, y i z. Imamo:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Slično, za točku C = (1; 1; 0) dobivamo jednadžbu:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Neka je B = 1. Tada je A = − B = − 1, a jednadžba cijele ravnine je: − A + B = 0. Dakle, koordinate vektora normale su n = (− 1; 1; 0).

Odgovor: n = (− 1; 1; 0)

Općenito govoreći, u navedenim zadacima potrebno je sastaviti sustav jednadžbi i riješiti ga. Postojat će tri jednadžbe i tri varijable, ali će u drugom slučaju jedna od njih biti slobodna, tj. uzeti proizvoljne vrijednosti. Zato imamo pravo staviti B = 1 - ne dovodeći u pitanje općenitost rješenja i točnost odgovora.

Tipično vektor avion(ili normalno avion) naziva se vektor okomit na zadano avion. Jedna od metoda za definiranje ravnine je određivanje koordinata njezine normale i točke koja leži na avion. Ako je ravnina dana jednadžbom Ax+By+Cz+D=0, tada je za nju tipičan vektor s koordinatama (A;B;C). U drugim slučajevima, trebat će malo rada na izračunavanju tipičnog vektora.

Uputa

1. Neka je ravnina zadana s tri točke K(xk;yk;zk), M(xm;ym;zm), P(xp;yp;zp) koje joj pripadaju. Kako bismo pronašli tipični vektor, formulirat ćemo jednadžbu za to avion. Označite proizvoljnu točku koja leži na avion, slovo L, neka ima koordinate (x; y; z). Sada razmotrite tri vektora PK, PM i PL, oni leže na istom avion(komplanarni), pa je njihov mješoviti produkt jednak nuli.

2. Otkrijte koordinate PK, PM i PL vektora: PK = (xk-xp;yk-yp;zk-zp)PM = (xm-xp;ym-yp;zm-zp)PL = (x-xp;y-yp) ; z-zp) Mješoviti umnožak ovih vektora bit će jednak determinanti prikazanoj na slici. Ovu determinantu treba izračunati kako bi se pronašla jednadžba za avion. Za izračun mješovitog proizvoda za određeni slučaj, pogledajte primjer.

3. Primjer Neka je ravnina određena s tri točke K(2;1;-2), M(0;0;-1) i P(1;8;1). Potrebno je pronaći tipični vektor avion.Uzmimo proizvoljnu točku L s koordinatama (x;y;z). Izračunajte PK, PM i PL vektore: PK = (2-1;1-8;-2-1) = (1;-7;-3)PM = (0-1;0-8;-1-1) = (-1;-8;-2)PL = (x-1;y-8;z-1) Odredite determinantu za mješoviti umnožak vektora (na slici je).

4. Sada raširite determinantu duž prvog retka, a nakon toga izračunajte vrijednosti determinanti veličine 2 puta 2. Dakle, jednadžba avion-10x + 5y - 15z - 15 \u003d 0 ili, što je isto, -2x + y - 3z - 3 \u003d 0. Odavde je lako odrediti normalni vektor na avion: n = (-2;1;-3).

Prije odgovora na postavljeno pitanje potrebno je odrediti koju vrstu normale tražiti. U ovom slučaju, okvirno, u problemu se razmatra određena površina.

Uputa

1. Pri započinjanju rješavanja problema treba imati na umu da je normala na plohu definirana kao normala na tangentnu ravninu. Na temelju toga će se odabrati metodologija rješenja.

2. Graf funkcije 2 varijable z=f(x, y)=z(x, y) je ploha u prostoru. Stoga ga svi često pitaju. Prije svega, potrebno je pronaći ravninu tangente na površinu u nekoj točki M0(x0, y0, z0), gdje je z0=z(x0, y0).

3. Da bismo to učinili, treba imati na umu da je geometrijski smisao derivacije funkcije jednog argumenta kutni eksponent tangente na graf funkcije u točki gdje je y0=f(x0). Parcijalne derivacije funkcije 2 argumenta nalaze se ispravnim fiksiranjem "nepotrebnog" argumenta na isti način kao i derivacije običnih funkcija. To znači da je geometrijsko značenje parcijalne derivacije u odnosu na x funkcije z=z(x, y) u točki (x0,y0) da je njen kutni eksponent jednak tangenti na koso koju čini presjek plohe i ravnine y=y0 (vidi sl. 1).

4. Podaci prikazani na sl. 1 omogućuju nam da zaključimo da jednadžba tangente na površinu z=z(x, y) koja sadrži točku M0(xo, y0, z0) u presjeku na y=y0: m(x-x0)=(z -z0), y = y0. U kanonskom obliku dopušteno je pisati: (x-x0)/(1/m)=(z-z0)/1, y=y0. Znači vođenje vektor ovaj tangent s1(1/m, 0, 1).

5. Sada, ako se kutni eksponent tangente za parcijalnu derivaciju u odnosu na y označi s n, tada je savršeno vidljivo da će, kao i prethodni izraz, to dovesti do (y-y0)/(1/n)= (z-z0), x=x0 i s2(0, 1/n, 1).

6. Nadalje, kretanje rješenja u obliku traženja jednadžbe tangentne ravnine se može zaustaviti i nesputano otići do željene normale n. Možete ga dobiti kao vektor novi proizvod n=. Njegovim izračunom utvrdit će se da je u dana točka površine (x0, y0, z0). n=(-1/n, -1/m, 1/mn).

7. Jer svaki proporcionalni vektor također će ostati vektor ohma normale, ugodnije je prikazati rezultat kao n=(-n, -m, 1) i konačno n(dz/dx, dz/dx, -1).

Slični Videi

Bilješka!
Otvorena površina ima dvije strane. U ovom slučaju, rezultat se daje za "gornju" stranu, gdje se formira normala oštar kut s osi 0Z.

Za vektori Dva su prikaza djela. Jedan od njih je skalarni raditi, drugi je vektor. Svaki od ovih prikaza ima svoj matematički i fizički smisao i izračunava se na potpuno drugačiji način.

Uputa

1. Razmotrimo dva vektora u trodimenzionalnom prostoru. Vektor a s koordinatama (xa; ya; za) i vektor b s koordinatama (xb; yb; zb). skalar raditi vektori a i b su označeni sa (a,b). Izračunava se po formuli: (a,b) = |a|*|b|*cosα, gdje je α kut između dva vektora. Dopušteno je izračunati skalar raditi u koordinatama: (a,b) = xa*xb + ya*yb + za*zb. Postoji i prikaz skalarnog kvadrata vektora, to je skalar raditi vektor na sebe: (a,a) = |a|² ili u koordinatama (a,a) = xa² + ya² + za². Skalar raditi vektori je broj koji karakterizira mjesto vektori u vezi jedno s drugim. Često se koristi za izračunavanje kuta između vektora.

2. vektor raditi vektori je naznačeno. Kao rezultat križnog umnoška dobiva se vektor koji je okomit na oba vektora faktora, a duljina ovog vektora jednaka je površini paralelograma izgrađenog na vektorima faktora. Štoviše, tri vektora a, b i tvore takozvanu desnu trojku vektori.Dužina vektora = |a|*|b|*sinα, gdje je α kut između vektora a i b.

Slični Videi

U linearnoj algebri iu geometriji reprezentacija vektor drugačije definirana. U algebri vektor ohm je naziv elementa vektor prostor za noge. U istoj geometriji vektor om je uređeni par točaka u euklidskom prostoru – usmjereni segment. Iznad vektor definirali smo linearne operacije – zbrajanje vektor ov i množenje vektor ali za neki broj.

Uputa

1. Pravilo trokuta. Zbroj 2 vektor ov a i o su imenovani vektor, čiji se predgovor podudara s početkom vektor a a, a kraj leži na kraju vektor a o, dok predgovor vektor a o odgovara kraju vektor a. Konstrukcija ovog zbroja prikazana je na slici.

2. Pravilo paralelograma Neka vektor s a i o imaju opći predgovor. Dovršimo ovo vektor s na paralelogram. Zatim zbroj vektor ovs a i o podudaraju se s dijagonalom paralelograma koja izlazi iz ishodišta vektor ov a i o.

3. Iznos više vektor ov mogu se otkriti postupnom primjenom pravila trokuta na njih. Slika prikazuje zbroj četiri vektor ov.

4. raditi vektor a za broj? naziva se broj?a takav da je |?a| = |?| *|a|. Dobiva se množenjem s brojem vektor paralelno s početnim vektor y ili leži s njim na istoj ravnoj liniji. Ako je? > 0, tada vektor s a i?a su jednosmjerni ako?<0, то vektor s a i?a usmjereni su u različitim smjerovima.

Slični Videi

Vektor, kao usmjeren segment, ne ovisi samo o apsolutnoj vrijednosti (modulu), koja je jednaka njegovoj duljini. Još jedno važno uspoređivanje je smjer vektora. Može se definirati i koordinatama i kutom između vektora i koordinatne osi. Izračunavanje vektora također se provodi pri pronalaženju zbroja i razlike vektora.

Trebat će vam

• – definicija vektora;
• – svojstva vektora;
• - kalkulator;
• - Bradis stol ili PC.

Uputa

1. Izračunajte vektor, moguće je znati njegove koordinate. Da biste to učinili, odredite koordinate početka i kraja vektora. Neka su jednaki (x1;y1) i (x2;y2). Da biste izračunali vektor, pronađite njegove koordinate. Da biste to učinili, oduzmite koordinate njegovog početka od koordinata kraja vektora. One će biti jednake (x2-x1;y2-y1). Uzmimo x= x2- x1; y= y2-y1, tada će koordinate vektora biti jednake (x;y).

2. Odredite duljinu vektora. To se lako može učiniti mjerenjem ravnalom. Ali ako znate koordinate vektora, izračunajte duljinu. Da biste to učinili, pronađite zbroj kvadrata koordinata vektora i iz dobivenog broja izvucite kvadratni korijen. Tada će duljina vektora biti jednaka d=?(x?+y?).

3. Kasnije otkrijte smjer vektora. Da biste to učinili, odredite kut? između njega i x-osi. Tangens ovog kuta jednak je omjeru y-koordinate vektora i x-koordinate (tg ?= y/x). Kako biste pronašli kut, koristite funkciju arktangensa u kalkulatoru, Bradisovu tablicu ili računalo. Poznavajući duljinu vektora i njegov smjer u odnosu na os, moguće je pronaći mjesto bilo kojeg vektora u prostoru.

4. Primjer: koordinate početka vektora su (-3;5), a koordinate kraja (1;7). Pronađite vektorske koordinate (1-(-3);7-5)=(4;2). Tada će njegova duljina biti d=?(4?+2?)=?20?4.47 linearnih jedinica. Tangens kuta između vektora i osi OX bit će tg ?=2/4=0,5. Arkus tangens ovog kuta je zaokružen na 26,6?.

5. Pronađite vektor, onaj koji je zbroj 2 vektora čije su koordinate poznate. Da biste to učinili, dodajte odgovarajuće koordinate vektora koji se zbrajaju. Ako su koordinate vektora koji se dodaju redom (x1;y1) odnosno (x2;y2), tada će njihov zbroj biti jednak vektoru s koordinatama ((x1+x2;y1+y2)). Ako trebate pronaći razliku 2 vektora, tada pronađite zbroj množenjem koordinata vektora unaprijed, onog koji je oduzet za -1.

6. Zadane su duljine vektora d1 i d2 i kut između njih?, pomoću kosinusnog teorema pronađite njihov zbroj. Da biste to učinili, pronađite zbroj kvadrata duljina vektora i od dobivenog broja oduzmite dva puta produkt tih duljina, pomnožen kosinusom kuta između njih. Izvadite kvadratni korijen dobivenog broja. To će biti duljina vektora, koji je zbroj 2 dana vektora (d=?(d1?+d2?-d1?d2?Cos(?)).

Zadatak pretraživanja vektor normale pravac na ravnini i ravnina u prostoru je previše primitivno. U stvarnosti završava snimanjem općih jednadžbi pravca ili ravnine. Iz činjenice da je krivulja na ravnini svake od njih samo poseban slučaj površine u prostoru, onda će se raspravljati o normalama na površinu.

Uputa

1. 1. metoda Ova metoda je najprimitivnija, ali zahtijeva sposobnost predstavljanja skalarnog polja da bi ga se razumjelo. Međutim, čak i neiskusan čitatelj u ovom pitanju moći će primijeniti rezultirajuće formule ovog broja.

2. Dobro je poznato da je skalarno polje f definirano kao f=f(x, y, z), a svaka površina u ovom slučaju je slojna površina f(x, y, z)=C (C=const). Osim toga, normala površine sloja podudara se s gradijentom skalarnog polja u danoj točki.

3. Gradijent skalarnog polja (funkcija 3 varijable) je vektor g=gradf=idf/dx+jdf/dy+kdf/dz=(df/dx, df/dy, df/dz). Jer duljina normale nema veze, ostaje samo zabilježiti rezultat. Površinska normala f(x, y, z)-C=0 u točki M0(x0, y0, z0) n=gradf=idf/dx+jdf/dy+kdf/dz=(df/dx, df/dy, df / dz).

4. Metoda 2 Neka je površina dana jednadžbom F(x, y, z)=0. Da bismo u budućnosti mogli povlačiti analogije s prvom metodom, treba uzeti u obzir da je derivacija kontinuirane jednaka nuli, a F je zadan kao f(x, y, z)-C=0 (C =konst). Nacrtamo li presjek te površine proizvoljnom ravninom, tada se dobivena prostorna krivulja može smatrati hodografom neke vektorske funkcije r(t)= ix(t)x+jy(t)+kz(t). Zatim izvedenica vektor r'(t)= ix'(t)+jy'(t)+kz'(t) usmjerena je tangencijalno na neku točku M0(x0, y0, z0) površine (vidi sliku 1).

5. Da ne bi došlo do zabune, trenutne koordinate tangente treba navesti, recimo, kurzivom (x, y, z). Kanonska jednadžba tangente, s obzirom da je r'(t0) vektor smjera, piše se kao (x-x(t0))/(dx(t0)/dt)= (y-y(t0))/(dy(t0 )/dt )= (z-z(t0))/(dz(t0)/dt).

6. Zamjenom koordinata vektorske funkcije u jednadžbu površine f(x, y, z)-C=0 i diferenciranjem s obzirom na t dobivate (df/dx)(dx/dt)+(df/dy) (dy/ dt)+(df /dz)(dz/dt)=0. Jednakost je skalarni proizvod nekih vektor n(df/dx, df/dy, df/dz) i r’(x’(t), y’(t), z’(t)). Budući da je nula, tada je n(df/dx, df/dy, df/dz) željeni vektor normale. Čini se da su rezultati obje metode isti.

7. Primjer (ima teoretsku vrijednost). Otkrij vektor normale na površinu zadanu tipičnom jednadžbom funkcije 2 varijable z=z(x, y). Riješenje. Prepišite ovu jednadžbu u obliku z-z(x, y)=F(x, y, z)=0. Slijedeći bilo koju od prepozicijskih metoda, ispada da je n(-dz/dx, -dz/dy, 1) željeni vektor normale .

Bilo koje vektor mogu se rastaviti na zbroj nekoliko vektor Wow, ima puno takvih opcija. Rastaviti zadatak vektor može se dati iu geometrijskom obliku iu obliku formula, o tome će ovisiti rješenje problema.

Trebat će vam

• je početni vektor;
• su vektori na koje se treba rastaviti.

Uputa

1. Ako se trebate razdvojiti vektor na crtežu odaberite smjer izraza. Radi praktičnosti izračuna, proširenje u vektor a, paralelno s koordinatnim osima, ali svakako možete preferirati bilo koji udoban smjer.

2. Nacrtaj jedan od pojmova vektor ov; pritom mora dolaziti iz iste točke kao i početna (duljinu birate sami). Kombinirajte krajeve početnog i rezultirajućeg vektor i još jedan vektor ohm. Napomena: primljena su dva vektor i na kraju vas moraju dovesti do iste točke kao početna (ako se krećete uz strelice).

3. Transfer primljen vektor i na mjestu gdje će ih biti ugodno koristiti, a pritom sačuvati smjer i duljinu. Neovisno gdje vektor i bit će, u zbroju će biti jednaki početnom. Imajte na umu da ako stavite primljeni vektor i tako da dolaze iz iste točke kao i početna, a krajeve spojite isprekidanom linijom, dobit ćete paralelogram, a početni vektor poklapa s jednom od dijagonala.

4. Ako se trebate razdvojiti vektor(x1,x2,x3) prema temelju, odnosno prema zadanom vektor am (p1, p2, p3), (q1, q2, q3), (r1, r2, r3), postupite kako slijedi. Zamijenite vrijednosti koordinata u formulu x=?p+?q+?r.

5. Kao rezultat, dobit ćete sustav od 3 jednadžbe p1?+q1?+r1?=x1, p2?+q2?+r2?=x2, p3?+q3?+r3?=x3. Riješite ovaj sustav metodom sabiranja ili matrice, pronađite indikatore ?, ?, ?. Ako je problem zadan u ravnini, rješenje će biti jednostavnije, jer ćete umjesto 3 varijable i jednadžbi dobiti samo dvije (izgledat će p1?+q1?=x1, p2?+q2?=x2). Zapišite rezultat kao x=?p+?q+?r.

6. Ako završite s beskonačnim brojem rješenja, sažmite to vektor s p, q, r leže u istoj ravnini s vektor om x i nedvosmisleno ga je nemoguće rastaviti na zadani način.

7. Ako sustav nema rješenja, hrabro napišite rezultat problema: vektor p, q, r leže u istoj ravnini i vektor x - u drugom, stoga se ne može rastaviti na zadani način.

Moguće je da postoji posebna reprezentacija avion piramide, ali autoru to nije poznato. Iz činjenice da se piramida odnosi na prostorne poliedre, avion može formirati samo rubove piramide. Ovo su oni koji će biti razmotreni.

Uputa

1. Najprimitivniji zadatak piramide je njegov prikaz koordinatama točaka vrha. Dopušteno je koristiti druge prikaze, koji se lako prevode kako jedan u drugi tako iu predloženi. Radi jednostavnosti, razmotrite trokutastu piramidu. Tada, u prostornom slučaju, predstavljanje "baze" postaje krajnje proizvoljno. Prema tome, ne treba ga razlikovati od bočnih strana. Kod proizvoljne piramide, njezine bočne strane su i dalje trokuti, a za napisati jednadžbu avion baza je još dovoljna za 3 boda.

2. Bilo koje lice trokuta piramide u potpunosti je određen trima točkama vrhova odgovarajućeg trokuta. Neka to bude M1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3). Da bismo pronašli jednadžbu avion koji sadrži ovo lice, koristite opću jednadžbu avion u obliku A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0. Ovdje je (x0,y0,z0) proizvoljna točka avion, za koje koristite jedno od 3 trenutno data, recimo M1(x1,y1,z1). Eksponenti A, B, C tvore koordinate vektora normale na avion n=(A, B, C). Da bi se našla normala, dopušteno je koristiti koordinate vektora jednake vektorskom umnošku [M1,M2] (vidi sliku 1). Uzmite ih jednakima A, B C, redom. Ostaje pronaći skalarni produkt vektora (n, M1M) u koordinatnom obliku i izjednačiti ga s nulom. Ovdje je M(x, y, z) proizvoljna (trenutna) točka avion .

3. Rezultirajući algoritam za konstruiranje jednadžbe avion na svoje tri točke moguće je učiniti ugodnijim za korištenje. Napominjemo da otkrivena metodologija pretpostavlja izračun križnog umnoška, ​​a nakon toga točkastog umnoška. To nije ništa više od miješanog proizvoda vektora. U superkompaktnom obliku jednaka je determinanti čije se linije sastoje od koordinata vektora M1M=(x-x1, y-y1, z-z1), M1M2=(x2-x1, y2-y1, z2-z1), M1M3=(x3-x1, y3-y1, z3-z1). Izjednačite ga s nulom i dobijete jednadžbu avion u obliku determinante (vidi sl. 2). Nakon njenog otkrivanja, doći ćete do opće jednadžbe avion .

Slični Videi

Što je normalno? Jednostavno rečeno, normala je okomica. Odnosno, vektor normale pravca je okomit na zadani pravac. Očito je da ih bilo koja ravna linija ima beskonačno mnogo (kao i vektora koji usmjeravaju), a svi normalni vektori prave bit će kolinearni (kodirekcijski ili ne - nije bitno).

Suočavanje s njima bit će još lakše nego s vektorima smjera:

Ako je pravac zadan općom jednadžbom u pravokutnom koordinatnom sustavu, tada je vektor normalni vektor tog pravca.

Ako se koordinate vektora pravca moraju pažljivo “izvući” iz jednadžbe, onda se koordinate vektora normale jednostavno “uklone”.

Vektor normale uvijek je okomit na vektor smjera pravca. Uvjerimo se da su ovi vektori ortogonalni pomoću skalarnog produkta:

Dat ću primjere s istim jednadžbama kao za vektor smjera:

Je li moguće napisati jednadžbu pravca, poznajući jednu točku i vektor normale? Ako je normalni vektor poznat, tada je smjer najravnije linije također jedinstveno određen - ovo je "kruta struktura" s kutom od 90 stupnjeva.

Kako napisati jednadžbu pravca zadane točke i normalnog vektora?

Ako je poznata neka točka koja pripada pravcu i vektor normale tog pravca, tada se jednadžba tog pravca izražava formulom:

Sastavite jednadžbu pravca zadane točke i normalnog vektora. Nađi vektor smjera pravca.

Rješenje: Koristite formulu:

Opća jednadžba ravne linije je dobivena, provjerimo:

1) "Uklonite" koordinate vektora normale iz jednadžbe: - da, doista, izvorni vektor se dobiva iz uvjeta (ili bi vektor trebao biti kolinearan izvornom vektoru).

2) Provjerite zadovoljava li točka jednadžbu:

Prava jednakost.

Nakon što se uvjerimo da je jednadžba točna, pristupit ćemo drugom, lakšem dijelu zadatka. Izvlačimo vektor smjera ravne linije:

Odgovor:

Na crtežu je situacija sljedeća:

Za potrebe obuke, sličan zadatak za samostalno rješavanje:

Sastavite jednadžbu pravca zadane točke i normalnog vektora. Nađi vektor smjera pravca.

Završni dio lekcije bit će posvećen manje uobičajenim, ali također važnim vrstama jednadžbi pravca u ravnini

Jednadžba pravca u segmentima.
Jednadžba pravca u parametarskom obliku

Jednadžba pravca u segmentima ima oblik , gdje su konstante različite od nule. Neke vrste jednadžbi ne mogu se prikazati u ovom obliku, na primjer, izravna proporcionalnost (budući da je slobodni član nula i ne postoji način da se jedan dobije na desnoj strani).

Ovo je, slikovito rečeno, "tehnički" tip jednadžbe. Uobičajen zadatak je prikazati opću jednadžbu pravca kao jednadžbu pravca u segmentima. Zašto je to zgodno? Jednadžba ravne linije u segmentima omogućuje vam brzo pronalaženje točaka sjecišta ravne linije s koordinatnim osima, što može biti vrlo važno u nekim problemima više matematike.

Pronađite točku sjecišta pravca s osi. Ponovno postavimo "y" i jednadžba poprima oblik . Željena točka se dobiva automatski: .

Isto s osi je točka u kojoj pravac siječe y-os.

Radnje koje sam upravo detaljno objasnio izvode se verbalno.

S obzirom na ravnu liniju. Sastavite jednadžbu pravca u segmentima i odredite točke presjeka grafa s koordinatnim osima.

Rješenje: Dovedimo jednadžbu do oblika . Prvo pomičemo slobodni termin na desnu stranu:

Da bismo dobili jedinicu s desne strane, svaki član jednadžbe podijelimo s -11:

Izrađujemo frakcije troetažne:

Točke sjecišta ravne linije s koordinatnim osima su površine:

Odgovor:

Ostaje pričvrstiti ravnalo i nacrtati ravnu liniju.

Lako je vidjeti da je ova ravna linija jedinstveno određena crvenim i zelenim segmentima, otuda i naziv - "jednadžba ravne linije u segmentima".

Naravno, točke iz jednadžbe nije tako teško pronaći, ali je problem ipak koristan. Razmatrani algoritam bit će potreban za pronalaženje točaka presjeka ravnine s koordinatnim osima, za dovođenje jednadžbe pravca drugog reda u kanonski oblik, te u nekim drugim problemima. Stoga, nekoliko ravnih linija za neovisno rješenje:

Sastavite jednadžbu pravca u segmentima i odredite točke njegova sjecišta s koordinatnim osima.

Rješenja i odgovori na kraju. Ne zaboravite da ako želite, možete nacrtati sve.

Kako napisati parametarske jednadžbe za ravnu liniju?

Parametarske jednadžbe ravne crte relevantnije su za ravne crte u prostoru, ali bez njih naš će sažetak biti siroče.

Ako je poznata neka točka koja pripada pravcu i vektor smjera tog pravca, onda su parametarske jednadžbe tog pravca dane sustavom:

Sastaviti parametarske jednadžbe pravca s točkom i vektorom smjera

Rješenje je završilo prije nego što je počelo:

Parametar "te" može imati bilo koju vrijednost od "minus beskonačno" do "plus beskonačno", a svaka vrijednost parametra odgovara određenoj točki ravnine. Na primjer, ako , tada dobivamo točku .

Inverzni problem: kako provjeriti pripada li uvjetna točka zadanoj liniji?

Zamijenimo koordinate točke u dobivenim parametarskim jednadžbama:

Iz obje jednadžbe slijedi da je , odnosno sustav je konzistentan i ima jedinstveno rješenje.

Razmotrimo smislenije zadatke:

Sastaviti parametarske jednadžbe pravca

Rješenje: Po uvjetu je pravac zadan u općem obliku. Da biste sastavili parametarske jednadžbe pravca, morate znati njegov usmjerivač i neku točku koja pripada tom pravcu.

Nađimo vektor smjera:

Sada morate pronaći neku točku koja pripada liniji (bilo koja će to učiniti), u tu svrhu je prikladno prepisati opću jednadžbu u obliku jednadžbe s nagibom:

Poenta je, naravno

Sastavljamo parametarske jednadžbe ravne linije:

I na kraju, mali kreativni zadatak za samostalno rješenje.

Sastavite parametarske jednadžbe pravca ako su poznati njegova točka i vektor normale

Zadatak se može obaviti na više načina. Jedna od verzija rješenja i odgovor na kraju.

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Rješenje: Pronađite nagib:

Jednadžbu pravca sastavljamo pomoću točke i nagiba:

Odgovor:

Primjer 4: Rješenje: Jednadžbu pravca sastaviti ćemo prema formuli:

Odgovor:

Primjer 6: Rješenje: Upotrijebite formulu:

Odgovor: (y-os)

Primjer 8: Riješenje: Napravimo jednadžbu ravne linije na dvije točke:

Pomnožite obje strane s -4:

I podijelite s 5:

Odgovor:

Primjer 10: Riješenje: Koristite formulu:

Smanjujemo za -2:

Vektor smjera izravan:
Odgovor:

Primjer 12:
a) Riješenje: Transformirajmo jednadžbu:

Na ovaj način:

Odgovor:

b) Riješenje: Transformirajmo jednadžbu:

Na ovaj način:

Odgovor:

Primjer 15: Riješenje: Prvo pišemo opću jednadžbu pravca zadanog točkom i normalni vektor :

Pomnožite s 12:

Množimo s još 2 tako da se nakon otvaranja druge zagrade riješimo razlomka:

Vektor smjera izravan:
Sastavljamo parametarske jednadžbe pravca po točki i vektor smjera :
Odgovor:

Najjednostavniji zadaci s pravcem u ravnini.
Međusobni raspored linija. Kut između pravaca

Nastavljamo razmatrati ove beskonačne-beskonačne linije.

Kako pronaći udaljenost od točke do pravca?
Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne crte?
Kako pronaći kut između dva pravca?

Međusobni raspored dviju ravnih linija

Razmotrimo dvije ravne linije dane jednadžbama u općem obliku:

Slučaj kada dvorana pjeva u zboru. Dvije linije mogu:

1) utakmica;

2) biti paralelan: ;

3) ili se sijeku u jednoj točki: .

Zapamtite matematički znak raskrižja, pojavit će se vrlo često. Zapis znači da se pravac siječe s pravcem u točki.

Kako odrediti međusobni položaj dviju linija?

Počnimo s prvim slučajem:

Dva se pravca podudaraju ako i samo ako su njihovi koeficijenti proporcionalni, to jest, postoji takav broj "lambda" da jednakosti vrijede

Promotrimo ravne linije i sastavimo tri jednadžbe od odgovarajućih koeficijenata: . Iz svake jednadžbe slijedi da se, dakle, ove linije podudaraju.

Doista, ako su svi koeficijenti jednadžbe pomnožite s -1 (promijenite predznak), i sve koeficijente jednadžbe smanjite za 2, dobit ćete istu jednadžbu: .

Drugi slučaj kada su pravci paralelni:

Dva pravca su paralelna ako i samo ako su im koeficijenti pri varijablama proporcionalni: , ali .

Kao primjer, razmotrite dvije ravne linije. Provjeravamo proporcionalnost odgovarajućih koeficijenata za varijable:

Međutim, jasno je da.

I treći slučaj, kada se linije sijeku:

Dvije se linije sijeku ako i samo ako njihovi koeficijenti pri varijablama NISU proporcionalni, odnosno, NE postoji takva vrijednost "lambda" da su jednakosti ispunjene

Dakle, za ravne linije ćemo sastaviti sustav:

Iz prve jednadžbe slijedi , a iz druge jednadžbe: , što znači da je sustav nekonzistentan (nema rješenja). Dakle, koeficijenti kod varijabli nisu proporcionalni.

Zaključak: linije se sijeku

U praktičnim problemima može se koristiti upravo razmatrana shema rješenja. Usput, vrlo je sličan algoritmu za provjeru kolinearnosti vektora. Ali postoji civiliziraniji paket:

Odredi relativni položaj linija:

Rješenje se temelji na proučavanju vektora usmjeravanja ravnih linija:

a) Iz jednadžbi nalazimo vektore smjera pravaca: .

, pa vektori nisu kolinearni i pravci se sijeku.

b) Odredite vektore smjera pravaca:

Pravci imaju isti vektor smjera, što znači da su ili paralelni ili isti. Ovdje odrednica nije potrebna.

Očito je da su koeficijenti nepoznanica proporcionalni, dok je .

Otkrijmo je li jednakost istinita:

Na ovaj način,

c) Odredite vektore smjera pravaca:

Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata ovih vektora:
, stoga su vektori smjera kolinearni. Pravci su ili paralelni ili se poklapaju.

Koeficijent proporcionalnosti "lambda" može se pronaći izravno iz omjera kolinearnih vektora smjera. Međutim, moguće je i preko koeficijenata samih jednadžbi: .

Sada saznajmo je li jednakost istinita. Oba besplatna termina su nula, pa:

Rezultirajuća vrijednost zadovoljava ovu jednadžbu (bilo koji broj je općenito zadovoljava).

Dakle, linije se podudaraju.

Kako nacrtati pravac paralelan sa zadanim?

Pravac je dan jednadžbom . Napiši jednadžbu za paralelni pravac koji prolazi točkom.

Rješenje: nepoznati pravac označimo slovom . Što stanje govori o tome? Pravac prolazi točkom. A ako su pravci paralelni, onda je očito da je i vektor usmjeravanja pravca "ce" prikladan za konstruiranje pravca "de".

Iz jednadžbe izdvajamo vektor smjera:

Geometrija primjera izgleda jednostavno:

Analitička verifikacija sastoji se od sljedećih koraka:

1) Provjeravamo imaju li pravci isti vektor smjera (ako jednadžba pravca nije ispravno pojednostavljena, vektori će biti kolinearni).

2) Provjerite zadovoljava li točka dobivenu jednadžbu.

Analitičku provjeru u većini slučajeva lako je izvesti usmeno. Pogledajte dvije jednadžbe i mnogi od vas će brzo shvatiti kako su linije paralelne bez ikakvog crteža.

Primjeri za samostalno rješavanje danas će biti kreativni.

Napišite jednadžbu za pravac koji prolazi kroz točku paralelnu s pravcem if

Najkraći put je na kraju.

Kako pronaći točku sjecišta dviju linija?

Ako je ravno sijeku u točki , tada su njegove koordinate rješenje sustava linearnih jednadžbi

Kako pronaći točku sjecišta linija? Riješite sustav.

Toliko o geometrijskom značenju sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice - to su dvije (najčešće) ravne crte na ravnini koje se sijeku.

Pronađite točku sjecišta linija

Rješenje: Postoje dva načina rješavanja - grafički i analitički.

Grafički način je jednostavno nacrtati zadane linije i pronaći točku sjecišta izravno iz crteža:

Evo naše tvrdnje: . Da biste provjerili, trebali biste zamijeniti njegove koordinate u svaku jednadžbu ravne linije, one bi trebale stati i tamo i tamo. Drugim riječima, koordinate točke su rješenje sustava . Zapravo, razmotrili smo grafičku metodu za rješavanje sustava linearnih jednadžbi s dvije jednadžbe, dvije nepoznanice.

Grafička metoda, naravno, nije loša, ali postoje vidljivi nedostaci. Ne, nije poanta da sedmaši tako odluče, poanta je da će trebati vremena da se napravi ispravan i TOČAN crtež. Osim toga, neke linije nije lako konstruirati, a sama točka sjecišta može biti negdje u tridesetom kraljevstvu izvan lista bilježnice.

Stoga je točku presjeka svrsishodnije tražiti analitičkom metodom. Riješimo sustav:

Za rješavanje sustava korištena je metoda počlanog zbrajanja jednadžbi.

Provjera je trivijalna - koordinate točke presjeka moraju zadovoljiti svaku jednadžbu sustava.

Pronađite točku sjecišta pravaca ako se sijeku.

Ovo je primjer "uradi sam". Pogodno je podijeliti problem u nekoliko faza. Analiza stanja sugerira da je potrebno:
1) Napišite jednadžbu pravca.
2) Napišite jednadžbu pravca.
3) Odredi relativni položaj pravaca.
4) Ako se pravci sijeku, pronađite točku sjecišta.

Razvoj algoritma akcija tipičan je za mnoge geometrijske probleme i ja ću se više puta usredotočiti na to.

Potpuno rješenje i odgovor na kraju:

Okomite linije. Udaljenost od točke do pravca.
Kut između pravaca

Kako nacrtati pravac okomit na zadani?

Pravac je dan jednadžbom . Napišite jednadžbu za okomiti pravac koji prolazi točkom.

Rješenje: Poznato je pod pretpostavkom da . Bilo bi lijepo pronaći vektor smjera ravne linije. Budući da su linije okomite, trik je jednostavan:

Iz jednadžbe “uklonimo” vektor normale: , koji će biti vektor usmjeravanja pravca.

Jednadžbu pravca sastavljamo pomoću točke i usmjeravajućeg vektora:

Odgovor:

Razmotrimo geometrijsku skicu:

Analitička provjera rješenja:

1) Izdvojite vektore smjera iz jednadžbi a pomoću skalarnog produkta vektora zaključujemo da su pravci doista okomiti: .

Usput, možete koristiti normalne vektore, čak je i lakše.

2) Provjerite zadovoljava li točka dobivenu jednadžbu .

Potvrdu je, opet, lako izvesti verbalno.

Odredite sjecište okomitih pravaca, ako je jednadžba poznata i točka.

Ovo je primjer "uradi sam". U zadatku postoji nekoliko radnji, pa je zgodno rješavati točku po točku.

Udaljenost od točke do linije

Udaljenost se u geometriji tradicionalno označava grčkim slovom "p", npr.: - udaljenost od točke "m" do pravca "d".

Udaljenost od točke do linije izražava se formulom

Nađi udaljenost od točke do pravca

Rješenje: sve što trebate učiniti je pažljivo umetnuti brojeve u formulu i izvršiti izračune:

Odgovor:

Izvršimo crtež:

Nađena udaljenost od točke do pravca jednaka je duljini crvenog segmenta. Ako nacrtate crtež na kariranom papiru u mjerilu 1 jedinice. \u003d 1 cm (2 ćelije), tada se udaljenost može izmjeriti običnim ravnalom.

Razmotrite još jedan zadatak prema istom crtežu:

Kako konstruirati točku simetričnu u odnosu na ravnu liniju?

Zadatak je pronaći koordinate točke koja je simetrična točki u odnosu na pravac . Predlažem da radnje izvršite sami, međutim, navest ću algoritam rješenja s međurezultatima:

1) Pronađite pravac koji je okomit na pravac.

2) Pronađite točku sjecišta pravaca: .

U geometriji se kut između dviju ravnih crta uzima kao MANI kut, iz čega automatski proizlazi da ne može biti tup. Na slici se kut označen crvenim lukom ne smatra kutom između linija koje se sijeku. I njegov "zeleni" susjed ili suprotno orijentirani kutak "malina" smatra se takvim.

Ako su pravci okomiti, tada se bilo koji od 4 kuta može uzeti kao kut između njih.

Kako se razlikuju kutovi? Orijentacija. Prvo, smjer "klizanja" ugla je temeljno važan. Drugo, negativno orijentirani kut se piše sa znakom minus, na primjer, ako .

Zašto sam ovo rekao? Čini se da se možete snaći s uobičajenim konceptom kuta. Činjenica je da se u formulama po kojima ćemo nalaziti kutove lako može dobiti negativan rezultat, što vas ne bi trebalo iznenaditi. Kut s predznakom minus nije ništa gori i ima vrlo specifično geometrijsko značenje. Na crtežu za negativni kut potrebno je strelicom označiti njegovu orijentaciju (u smjeru kazaljke na satu).

Na temelju prethodno navedenog, rješenje je praktično formalizirano u dva koraka:

1) Izračunajte skalarni umnožak vektora usmjeravanja ravnih linija:
pa linije nisu okomite.

2) Kut između linija nalazimo formulom:

Koristeći inverznu funkciju, lako je pronaći sam kut. U ovom slučaju koristimo neparnost arc tangensa:

Odgovor:

U odgovoru navodimo točnu vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti iu stupnjevima iu radijanima), izračunatu pomoću kalkulatora.

Pa minus, pa minus, nema veze. Evo geometrijske ilustracije:

Nije iznenađujuće što je kut ispao negativne orijentacije, jer je u uvjetu zadatka prvi broj ravna crta i "uvijanje" kuta je počelo upravo od nje.

Postoji i treće rješenje. Ideja je izračunati kut između vektora smjera linija:

Ovdje ne govorimo o usmjerenom kutu, već "samo o kutu", odnosno rezultat će sigurno biti pozitivan. Kvaka je u tome što možete dobiti tup kut (ne onaj koji vam je potreban). U ovom slučaju, morat ćete uzeti u obzir da je kut između linija manji kut i oduzeti rezultirajući ark kosinus od "pi" radijana (180 stupnjeva).

Nađi kut između pravaca.

Ovo je primjer "uradi sam". Pokušajte ga riješiti na dva načina.

Rješenja i odgovori:

Primjer 3: Rješenje: Pronađite vektor smjera pravca:

Pomoću točke i vektora pravca sastavit ćemo jednadžbu željenog pravca

Napomena: ovdje se prva jednadžba sustava množi s 5, zatim se 2. oduzima član po član od 1. jednadžbe.
Odgovor:

Jednadžba ravnine. Kako napisati jednadžbu za ravninu?
Međusobni raspored ravnina. Zadaci

Prostorna geometrija nije mnogo kompliciranija od "ravne" geometrije, a naši letovi u svemiru počinju ovim člankom. Da bi se razumjela tema, potrebno je dobro razumjeti vektori, osim toga, poželjno je poznavati geometriju ravnine - bit će mnogo sličnosti, mnogo analogija, pa će se informacije puno bolje probaviti. U nizu mojih lekcija, 2D svijet otvara članak Jednadžba pravca na ravnini. Ali sada je Batman sišao s televizora ravnog ekrana i lansirao se s kozmodroma Baikonur.

Počnimo s crtežima i simbolima. Shematski se ravnina može nacrtati kao paralelogram, što daje dojam prostora:

Zrakoplov je beskonačan, ali mi imamo priliku prikazati samo njegov djelić. U praksi se osim paralelograma crta i oval ili čak oblak. Iz tehničkih razloga mi je prikladnije prikazati avion na ovaj način iu ovom položaju. Prave ravnine, koje ćemo razmotriti u praktičnim primjerima, mogu se rasporediti na bilo koji način - mentalno uzmite crtež u ruke i okrećite ga u prostoru, dajući ravnini bilo koji nagib, bilo koji kut.

Notacija: uobičajeno je označavati zrakoplove malim grčkim slovima, očito kako ih ne bi zamijenili s ravno u avionu ili sa ravno u prostoru. Navikao sam koristiti pismo. Na crtežu je to slovo "sigma", a ne nikakva rupa. Iako, rupičasti avion, svakako je vrlo smiješan.

U nekim je slučajevima prikladno koristiti ista grčka slova s ​​indeksima za označavanje ravnina, na primjer, .

Očito je da ravninu jednoznačno određuju tri različite točke koje ne leže na istoj ravnici. Stoga su troslovne oznake ravnina vrlo popularne - prema točkama koje im pripadaju, na primjer, itd. Često se slova nalaze u zagradama: kako se ravnina ne bi brkala s drugom geometrijskom figurom.

Za iskusne čitatelje dat ću izbornik prečaca:

• Kako napisati jednadžbu za ravninu koristeći točku i dva vektora?
• Kako napisati jednadžbu za ravninu koristeći točku i normalni vektor?

i nećemo čamiti u dugim čekanjima:

Opća jednadžba ravnine

Opća jednadžba ravnine ima oblik , gdje su koeficijenti istovremeno različiti od nule.

Brojni teorijski proračuni i praktični problemi vrijede i za uobičajenu ortonormiranu bazu i za afinu bazu prostora (ako je ulje ulje, vratite se na lekciju Linearna (ne)ovisnost vektora. Vektorska osnova). Radi jednostavnosti, pretpostavit ćemo da se svi događaji događaju u ortonormiranoj bazi i kartezijevom pravokutnom koordinatnom sustavu.

A sada trenirajmo malo prostorne mašte. U redu je ako vam je loše, sada ćemo to malo razviti. Čak i igranje na živce zahtijeva vježbu.

U najopćenitijem slučaju, kada brojevi nisu jednaki nuli, ravnina siječe sve tri koordinatne osi. Na primjer, ovako:

Ponavljam još jednom da se avion nastavlja unedogled u svim smjerovima, a mi imamo priliku prikazati samo njegov dio.

Razmotrimo najjednostavnije jednadžbe ravnina:

Kako razumjeti ovu jednadžbu? Razmislite o tome: “Z” UVIJEK, za sve vrijednosti “X” i “Y” jednako je nuli. Ovo je jednadžba "nativne" koordinatne ravnine. Doista, formalno se jednadžba može prepisati na sljedeći način: , odakle se jasno vidi da nas nije briga koje vrijednosti imaju “x” i “y”, bitno je da je “z” jednako nuli.

Slično:
je jednadžba koordinatne ravnine ;
je jednadžba koordinatne ravnine.

Zakomplicirajmo malo problem, razmotrimo ravninu (ovdje i dalje u paragrafu pretpostavljamo da numerički koeficijenti nisu jednaki nuli). Prepišimo jednadžbu u obliku: . Kako to razumjeti? "X" je UVIJEK, jer je svaka vrijednost "y" i "z" jednaka određenom broju. Ta je ravnina paralelna s koordinatnom ravninom. Na primjer, ravnina je paralelna s ravninom i prolazi kroz točku.

Slično:
- jednadžba ravnine, koja je paralelna s koordinatnom ravninom;
- jednadžba ravnine koja je paralelna s koordinatnom ravninom.

Dodaj članove: . Jednadžba se može prepisati ovako: , to jest, "Z" može biti bilo što. Što to znači? "X" i "Y" povezani su omjerom koji povlači određenu ravnu liniju u ravnini (prepoznat ćete jednadžba pravca u ravnini?). Budući da Z može biti bilo što, ova linija se "replicira" na bilo kojoj visini. Dakle, jednadžba definira ravninu paralelnu s koordinatnom osi

Slično:
- jednadžba ravnine, koja je paralelna s koordinatnom osi;
- jednadžba ravnine, koja je paralelna s koordinatnom osi.

Ako su slobodni članovi nula, tada će ravnine izravno prolaziti kroz odgovarajuće osi. Na primjer, klasična "izravna proporcionalnost":. Nacrtajte ravnu liniju u ravnini i mentalno je pomnožite gore-dolje (jer je "z" bilo koji). Zaključak: ravnina zadana jednadžbom prolazi kroz koordinatnu os.

Zaključujemo pregled: jednadžba ravnine prolazi kroz ishodište. Pa, ovdje je sasvim očito da točka zadovoljava zadanu jednadžbu.

I, na kraju, slučaj koji je prikazan na crtežu: - ravnina je prijatelj sa svim koordinatnim osima, dok uvijek “odsijeca” trokut koji se može nalaziti u bilo kojem od osam oktanata.

Linearne nejednadžbe u prostoru

Za razumijevanje informacija potrebno je dobro proučiti linearne nejednakosti u ravnini jer će mnoge stvari biti slične. Odlomak će biti kratak pregled s nekoliko primjera, budući da je materijal prilično rijedak u praksi.

Ako jednadžba definira ravninu, onda su nejednadžbe
pitati poluprostori. Ako nejednadžba nije stroga (zadnje dvije u listi), tada rješenje nejednadžbe, osim poluprostora, uključuje i samu ravninu.

Primjer 5

Odredi jedinični vektor normale ravnine .

Riješenje: Jedinični vektor je vektor čija je duljina jednaka jedinici. Označimo ovaj vektor sa . Sasvim je jasno da su vektori kolinearni:

Najprije uklonimo vektor normale iz jednadžbe ravnine: .

Kako pronaći jedinični vektor? Da biste pronašli jedinični vektor, trebate svaki koordinata vektora podijeljena s duljinom vektora.

Prepišimo normalni vektor u obliku i pronađimo njegovu duljinu:

Prema gore navedenom:

Odgovor:

Provjerite: , što je bilo potrebno provjeriti.

Čitatelji koji su pažljivo proučili zadnji odlomak lekcije vjerojatno su to primijetili koordinate jediničnog vektora su upravo kosinusi smjera vektora:

Skrenimo s rastavljenog problema: kada vam je dan proizvoljan vektor različit od nule, a po uvjetu je potrebno pronaći njegove smjerne kosinuse (vidi zadnje zadatke lekcije Točkasti umnožak vektora), onda zapravo također nalazite jedinični vektor kolinearan zadanom. Zapravo, dva zadatka u jednoj boci.

Potreba za pronalaženjem jediničnog normalnog vektora javlja se u nekim problemima matematičke analize.

Shvatili smo pecanje normalnog vektora, sada ćemo odgovoriti na suprotno pitanje:

Kako napisati jednadžbu za ravninu koristeći točku i normalni vektor?

Ova kruta konstrukcija normalnog vektora i točke dobro je poznata kod mete za pikado. Ispružite ruku naprijed i mentalno odaberite proizvoljnu točku u prostoru, na primjer, malu mačku u kredencu. Očito, kroz ovu točku možete nacrtati jednu ravninu okomitu na svoju ruku.

Jednadžba ravnine koja prolazi kroz točku okomitu na vektor izražava se formulom:

Normalni vektor

Ravna površina s dvije normale

U diferencijalnoj geometriji, normalan- ovo je ravna linija, ortogonalna (okomita) na tangentu na neku krivulju ili tangentnu ravninu na neku površinu. Oni također govore o normalan smjer.

Normalni vektor na površinu u danoj točki je jedinični vektor primijenjen na danu točku i paralelan sa smjerom normale. Za svaku točku na glatkoj površini možete odrediti dva normalna vektora koji se razlikuju po smjeru. Ako se kontinuirano polje normalnih vektora može definirati na plohi, tada se kaže da to polje definira orijentacija površine (odnosno odabire jednu od strana). Ako se to ne može učiniti, poziva se površina neorijentiv.

Zaklada Wikimedia. 2010. godine.

Pogledajte što je "Normalni vektor" u drugim rječnicima:

normalni vektor- normalės vektorius statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. normalni vektor vok. Normalenvektor, m rus. normalni vektor, m pranc. vecteur de la normale, m; vecteur normal, m … Fizikos terminų žodynas

Ovaj članak ili odjeljak treba revidirati. Molimo poboljšajte članak u skladu s pravilima za pisanje članaka. Darbouxov vektor je usmjeravajući vektor trenutne osi rotacije oko koje prateći triedar krivulje L rotira na ... ... Wikipedia

Elektrodinamika kontinuuma Elektrodinamika kontinuuma ... Wikipedia

Darbouxov vektor je usmjeravajući vektor trenutne osi rotacije oko koje se vrti prateći triedar krivulje L dok se točka M jednoliko pomiče duž krivulje L. Darbouxov vektor leži u ravnini ispravljanja krivulje L i izražava se u uvjeti jedinice ... ... Wikipedia

Gradijent (od lat. gradiens, rod gradientis hodanje), vektor koji pokazuje smjer najbrže promjene određene veličine, čija se vrijednost mijenja od jedne do druge točke u prostoru (vidi Teorija polja). Ako je vrijednost izražena ... ...

Usmjeravajući vektor d trenutne osi rotacije oko koje se vrti roj koji prati triedar krivulje L dok se točka M jednoliko giba po krivulji L. D. c. leži u ispravljačkoj ravnini krivulje L i izražava se kroz jedinične vektore glavne normale ... Matematička enciklopedija

Ovaj članak ili odjeljak treba revidirati. Molimo poboljšajte članak u skladu s pravilima za pisanje članaka. Hiperpovršina ... Wikipedia

Grafički cjevovod hardversko-softverski kompleks za vizualizaciju trodimenzionalne grafike. Sadržaj 1 Elementi trodimenzionalne scene 1.1 Hardver 1.2 Softverska sučelja ... Wikipedia

Matematička disciplina koja proučava svojstva operacija na vektorima u euklidskom prostoru. Istodobno, koncept vektora je matematička apstrakcija veličina koje karakterizira ne samo numerička vrijednost, već i ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Ovaj izraz ima i druga značenja, vidi Plane. Zahtjev "Ravnosnost" preusmjerava se ovdje. O ovoj temi potreban je poseban članak ... Wikipedia