KINETIKA BIOLOŠKIH PROCESA

Kako se može opisati dinamika bioloških sustava? U svakom trenutku, biološki sustav ima skup određenih karakteristika. Na primjer, promatrajući populaciju neke vrste, možete zabilježiti njezinu veličinu, površinu koju zauzima teritorij, količinu dostupne hrane, temperaturu okoliš itd. Propuštanje kemijska reakcija može se karakterizirati koncentracijama sudjelujućih tvari, tlakom, temperaturom i razinom kiselosti medija. Skup vrijednosti svih karakteristika koje je istraživač odabrao za opisivanje sustava je stanje sustava u svakom trenutku vremena. Prilikom izrade modela odabiru se varijable i parametri u navedenom skupu. Varijable su one veličine čije su promjene prvenstveno od interesa za istraživača, parametri su uvjeti "vanjske okoline". Za odabrane varijable sastavljaju se jednadžbe koje odražavaju obrasce promjena u sustavu tijekom vremena. Na primjer, kada se stvara model za rast kulture mikroorganizama, njezin broj obično djeluje kao varijabla, a stopa razmnožavanja kao parametar. Moguće je da će se temperatura na kojoj dolazi do rasta pokazati značajnom, tada je ovaj pokazatelj također uključen u model kao parametar. A ako je, primjerice, razina prozračivanja uvijek dovoljna i nema nikakvog utjecaja na procese rasta, tada uopće nije uključena u model. U pravilu, parametri ostaju nepromijenjeni tijekom eksperimenta, međutim, treba napomenuti da to nije uvijek slučaj.

Moguće je opisati dinamiku biološkog sustava (tj. promjenu njegovog stanja tijekom vremena) koristeći i diskretne i kontinuirane modele. Diskretni modeli pretpostavljaju da je vrijeme diskretna količina. To odgovara bilježenju vrijednosti varijabli u određenim fiksnim intervalima (na primjer, jednom na sat ili jednom godišnje). U kontinuiranim modelima, biološka varijabla je kontinuirana funkcija vremena, označena, na primjer, x(t).

Često veliki značaj imati početni uvjeti modeli - stanje karakteristike koja se proučava u početnom trenutku vremena, tj. na t = 0.

Pri proučavanju kontinuirane promjene neke karakteristike x(t) možemo znati informacije o brzini njegove promjene. Ova se informacija općenito može napisati kao diferencijalna jednadžba:

Takva formalna notacija znači da je stopa promjene neke karakteristike koja se proučava funkcija vremena i veličine te karakteristike.

Ako desna strana diferencijalne jednadžbe oblika ne ovisi eksplicitno o vremenu, tj. pravedan:

onda se ova jednadžba zove autonomna(sustav opisan takvom jednadžbom naziva se autonomna). Stanje autonomnih sustava u svakom trenutku karakterizira jedna jedina vrijednost - vrijednost varijable x Trenutno t.

Postavimo si pitanje: neka je dana diferencijalna jednadžba za x(t), je li moguće pronaći sve funkcije x(t) zadovoljava ovu jednadžbu? Ili: ako je poznata početna vrijednost određene varijable (primjerice, početna veličina populacije, koncentracija tvari, električna vodljivost medija itd.) i postoje podaci o prirodi promjene u ove varijable, je li moguće predvidjeti koja će biti njezina vrijednost u svim sljedećim točkama u vremenu? Odgovor na postavljeno pitanje je sljedeći: ako su zadani početni uvjeti i za jednadžbu su zadovoljeni uvjeti Cauchyjevog teorema (funkcija dana u određenom području i njezina parcijalna derivacija su kontinuirani u tom području), tada postoji je jedinstveno rješenje jednadžbe koje zadovoljava zadane početne uvjete. (Podsjetimo se da se svaka kontinuirana funkcija koja zadovoljava diferencijalnu jednadžbu naziva rješenjem te jednadžbe.) To znači da možemo jedinstveno predvidjeti ponašanje biološkog sustava ako su karakteristike njegovog početnog stanja poznate i jednadžba modela zadovoljava uvjete Cauchyjev teorem.

Stacionarno stanje. Održivost

Razmotrit ćemo autonomnu diferencijalnu jednadžbu

U stacionarnom stanju vrijednosti varijabli u sustavu se ne mijenjaju s vremenom, odnosno brzina promjene vrijednosti varijabli je 0: . Ako je lijeva strana jednadžbe (1.2) jednaka nuli, onda je i desna također jednaka nuli: . Korijeni ove algebarske jednadžbe su stacionarna stanja diferencijalna jednadžba (1.2).

Primjer 1.1: Odredite stacionarna stanja jednadžbe.

Riješenje: Premjestimo član koji ne sadrži izvod na desnu stranu jednakosti: . Po definiciji u stacionarnom stanju vrijedi jednakost: . Dakle, jednakost mora postojati . Rješavamo jednadžbu:

,

Dakle, jednadžba ima 3 stacionarna stanja: , .

Biološki sustavi neprestano doživljavaju različite vanjske utjecaje i brojne fluktuacije. Istovremeno, oni (biološki sustavi) imaju homeostazu, tj. otporan. Matematičkim jezikom to znači da se varijable uz mala odstupanja vraćaju na svoje stacionarne vrijednosti. Hoće li se ovakvo ponašanje biološkog sustava odraziti na njegov matematički model? Jesu li stacionarna stanja modela stabilna?

Stacionarno stanje je održivi, ako za dovoljno malo odstupanje od položaja ravnoteže sustav nikada neće otići daleko od singularne točke. Stabilno stanje odgovara stabilnom načinu rada sustava.

Stanje ravnoteže jednadžbe je Lyapunovljevo stabilno ako se za bilo koji uvijek može pronaći takav da ako , onda za sve .

Postoji analitička metoda za proučavanje stabilnosti stabilno stanje– Ljapunovljeva metoda. Da bismo to potkrijepili, podsjećamo Taylorova formula.

Govoreći slobodno, Taylorova formula pokazuje ponašanje funkcije u blizini određene točke. Neka funkcija ima derivacije u točki svih redova do n- th uključivo. Tada Taylorova formula vrijedi za:

Odbacivanjem člana ostatka, koji predstavlja infinitezimal višeg reda od , dobivamo približnu Taylorovu formulu:

Desna strana približne formule naziva se Taylorov polinom funkcije, označava se kao .

Primjer 1.2: Proširi funkciju u Taylorov niz u okolini točke do 4. reda.

Riješenje: Taylorov red do 4. reda pišemo u općem obliku:

Pronađimo izvedenice dana funkcija u točki:

,

Zamijenite dobivene vrijednosti u izvornu formulu:

Analitička metoda za proučavanje stabilnosti stacionarnog stanja ( Metoda Lyapunova) je kako slijedi. Neka je stacionarno stanje jednadžbe . Postavimo malo odstupanje varijable x od njegove stacionarne vrijednosti: , gdje je . Zamijenite izraz točkom x u izvornu jednadžbu: . Lijeva strana jednadžbe će imati oblik: , budući da je u stacionarnom stanju brzina promjene vrijednosti varijable jednaka nuli: . Proširujemo desnu stranu u Taylorov niz u blizini stacionarnog stanja, uzimajući u obzir da , ostavljamo samo linearni član na desnoj strani jednadžbe:

dobio linearizirana jednadžba ili jednadžba prve aproksimacije. Ima neke vrijednosti konstantno, označimo to a: . Opće rješenje linearizirane jednadžbe ima oblik: . Ovaj izraz opisuje zakon prema kojem će se odstupanje od stacionarnog stanja koje smo dali mijenjati s vremenom. Odstupanje će s vremenom nestati, tj. pri , ako je eksponent u eksponentu negativan, tj. . Po definiciji, stabilno stanje će biti održivi. Ako je , tada će se s povećanjem vremena odstupanje samo povećavati, stacionarno stanje je nestabilan. U slučaju kada jednadžba prve aproksimacije ne može dati odgovor na pitanje stabilnosti stacionarnog stanja. Potrebno je uzeti u obzir članove višeg reda u proširenju Taylorovog niza.

Uz analitičku metodu proučavanja stabilnosti stacionarnog stanja postoji i grafička.

Primjer 1.3. Neka . Pronađite stacionarna stanja jednadžbe i pomoću grafa funkcije odredite njihovu vrstu stabilnosti .

Riješenje: Pronađimo posebne točke:

,

,

Gradimo graf funkcije (slika 1.1).

Riža. 1.1. Graf funkcije (primjer 1.3).

Utvrdimo iz grafa je li svako od pronađenih stacionarnih stanja stabilno. Postavimo mali otklon reprezentativne točke od singularne točke ulijevo: . U točki s koordinatom funkcija poprima pozitivnu vrijednost: ili . Zadnja nejednakost znači da bi se s vremenom koordinata trebala povećavati, odnosno da bi se reprezentativna točka trebala vratiti u točku . Sada postavimo malo odstupanje reprezentativne točke od singularne točke udesno: . U ovom području funkcija zadržava pozitivnu vrijednost, dakle, tijekom vremena, koordinata x također raste, odnosno reprezentativna točka će se udaljiti od točke. Dakle, mala devijacija izvodi sustav iz stacionarnog stanja, stoga je po definiciji singularna točka nestabilna. Slično razmišljanje dovodi do činjenice da svako odstupanje od singularne točke opada s vremenom, stacionarno stanje je stabilno. Odstupanje reprezentativne točke u bilo kojem smjeru od stacionarnog stanja dovodi do njenog uklanjanja iz točke , to je nestabilno stacionarno stanje.

Rješavanje sustava linearnih diferencijalne jednadžbe

Okrenimo se proučavanju sustava jednadžbi, prvo linearnih. Općenito, sustav linearnih diferencijalnih jednadžbi može se predstaviti kao:

Analiza sustava jednadžbi počinje pronalaženjem stacionarnih stanja. Za sustave oblika (1.3) singularna točka je jedinstvena, njezine koordinate su (0,0). Iznimka je degenerirani slučaj, kada se jednadžbe mogu prikazati kao:

(1.3*)

U ovom slučaju, svi parovi koji zadovoljavaju relaciju su stacionarne točke sustava (1.3*). Konkretno, točka (0,0) također je stacionarna za sustav (1.3*). Na faznoj ravnini, u ovom slučaju, imamo ravnu liniju s koeficijentom nagiba koja prolazi kroz ishodište, a svaka točka je singularna točka sustava (1.3 *) (vidi tablicu 1.1, točka 6).

Glavno pitanje na koje bi trebao odgovoriti rezultat proučavanja sustava jednadžbi je je li stacionarno stanje sustava stabilno i kakvog je karaktera to rješenje (monotono ili nemonotono).

Zajednička odluka sustav dviju linearnih jednadžbi ima oblik:

karakteristični brojevi može se izraziti u smislu koeficijenata linearnih jednadžbi na sljedeći način:

Karakteristični brojevi mogu biti 1) realni različitih predznaka, 2) realni istog predznaka, 3) složeni konjugirani, a također, u degeneriranim slučajevima, 4) čisto imaginarni, 5) realni podudarni, 6) realni, od kojih je jedan (ili oba) nula. Ovi slučajevi određuju vrstu ponašanja rješenja sustava običnih diferencijalnih jednadžbi. Odgovarajući fazni portreti prikazani su u tablici 1.1.

Tablica 1.1. Vrste stacionarnih stanja sustava dviju linearnih diferencijalnih jednadžbi i odgovarajući fazni portreti. Strelice pokazuju smjer kretanja reprezentativne točke

Konstrukcija faznog i kinetičkog portreta sustava dviju linearnih diferencijalnih jednadžbi

fazna ravnina naziva se ravnina s koordinatnim osima na kojima su ucrtane vrijednosti varijabli x i g, svaka točka ravnine odgovara određenom stanju sustava. Skup točaka na faznoj ravnini, čiji položaj odgovara stanjima sustava u procesu promjene varijabli u vremenu, prema zadanim jednadžbama proučavanog sustava, naziva se fazna putanja. Skup faznih putanja za različite početne vrijednosti varijabli daje portret sustava. zgrada fazni portret omogućuje izvođenje zaključaka o prirodi promjena u varijablama x i g bez poznavanja analitičkih rješenja izvornog sustava jednadžbi.

Razmotrimo sustav linearnih diferencijalnih jednadžbi:

Konstrukcija faznog portreta počinje konstrukcijom glavne izokline(izoklina je linija kroz koju nagib fazne krivulje (putanja), određene jednadžbom, ostaje konstantan). Za sustav dviju linearnih diferencijalnih jednadžbi, to su uvijek ravne linije koje prolaze kroz ishodište. Jednadžba izokline horizontalnih tangenti: . Jednadžba izokline vertikalnih tangenti: . Za daljnju konstrukciju faznog portreta korisno je konstruirati izoklinu tangenti koje prolaze pod kutom . Za pronalaženje odgovarajuće jednadžbe izokline potrebno je riješiti jednadžbu . Također možete pronaći izokline tangenti drugih kutova, koristeći približne vrijednosti tangenti kutova. U konstruiranju faznog portreta može pomoći i odgovor na pitanje pod kojim kutom fazne putanje trebaju sijeći koordinatne osi. Da biste to učinili, u jednadžbi izokline zamijenimo odgovarajuće jednakosti (za određivanje kuta presjeka s osi OY) i (za određivanje kuta presjeka s osi OX).

Primjer 1.4. Odredite vrstu singularne točke sustava linearnih jednadžbi:

Konstruirajte fazni i kinetički portret sustava.

Riješenje: Koordinate singularne točke su (0,0). Koeficijenti linearnih jednadžbi su: , , , . Definirajmo tip stacionarnog stanja (vidi odjeljak o karakterističnim brojevima):

Dakle, karakteristični korijeni su imaginarni: stoga singularna točka razmatranog linearnog sustava ima tip središta (slika 1.2a).

Jednadžba izokline horizontalnih tangenti: , Jednadžba izokline vertikalnih tangenti: . Pod kutom od 45° putanje sustava sijeku ravnu liniju .

Nakon konstruiranja faznog portreta potrebno je odrediti smjer kretanja duž pronađenih putanja. To se može učiniti na sljedeći način. Uzmite proizvoljnu točku na bilo kojoj putanji. Na primjer, na izoklini horizontalnih tangenti (1,1). Zamijenimo koordinate te točke u sustav jednadžbi. Dobivamo izraze za brzine promjene varijabli x,g u ovom trenutku:

Dobivene vrijednosti pokazuju da je brzina promjene varijable x- negativan, odnosno njegova bi se vrijednost trebala smanjiti, a varijabla g ne mijenja. Strelicom označavamo primljeni smjer. Dakle, u primjeru koji se razmatra, kretanje duž faznih putanja usmjereno je suprotno od kazaljke na satu. Zamjenom koordinata različitih točaka u sustav, možete dobiti "kartu" smjerova brzina, tzv. vektorsko polje.

Slika 1.2. Fazni (a) i kinetički (b) portret sustava, primjer 1.4

Primijetimo da na izoklini horizontalnih tangenti varijabla g doseže svoju maksimalnu ili minimalnu vrijednost na zadanoj putanji. Naprotiv, na izoklini vertikalnih tangenti, varijabla x.

Izgraditi kinetički portret sustava znači nacrtati ovisnost vrijednosti varijabli x,g s vremena. Fazni portret se može koristiti za izgradnju kinetičkog i obrnuto. Jedna fazna putanja odgovara jednom paru kinetičkih krivulja. Izaberimo proizvoljnu točku na faznom portretu na proizvoljnoj faznoj putanji. Ovo je početna točka koja odgovara vremenu. Ovisno o smjeru kretanja u sustavu koji se razmatra, vrijednosti varijabli x,g ili smanjiti ili povećati. Neka su koordinate početne točke (1,1). Prema izgrađenom faznom portretu, počevši od ove točke, moramo pomaknuti koordinate suprotno od kazaljke na satu x i g dok će se one smanjivati. Tijekom vremena, koordinat x prolazi kroz 0, vrijednost g dok ostaje pozitivan. Daljnje koordinate x i g nastaviti smanjivati, koordinata g prolazi kroz 0 (vrijednost x dok je negativan). Vrijednost x doseže svoju minimalnu vrijednost na izoklini vertikalnih tangenti, zatim počinje rasti. Vrijednost g dostiže svoju minimalnu vrijednost na izoklini horizontalnih tangenti (vrijednost x u ovom trenutku negativan). Zatim, i vrijednost x, i vrijednost g povećati, vraćajući se na početne vrijednosti (Sl. 1.2b).

Istraživanje stabilnosti stacionarnih stanja nelinearnih sustava drugog reda

Neka je biološki sustav opisan sustavom dviju autonomnih diferencijalnih jednadžbi drugog reda opći pogled:

Stacionarne vrijednosti varijabli sustava određene su iz algebarskih jednadžbi:

U susjedstvu svakog stacionarnog stanja može se razmotriti sustav prve aproksimacije(linearizirani sustav), čije proučavanje može omogućiti odgovor na pitanje stabilnosti singularne točke i prirode faznih putanja u njenom malom susjedstvu.

vani

Imamo , , singularna točka je gruba. Karakteristični korijeni sustava prve aproksimacije jednaki su , oba su realna i negativna, stoga će u blizini nulte singularne točke ponašanje faznih putanja sustava odgovarati tipu stabilnog čvora.

Uvod

Budući da je koncept nelinearnog dinamičkog sustava dovoljno bogat da pokrije iznimno širok raspon procesa u kojima je buduće ponašanje sustava određeno prošlošću, metode analize razvijene u ovom području korisne su u velikom broju različitih konteksta.

Nelinearna dinamika ulazi u literaturu na najmanje tri načina. Prvo, postoje slučajevi u kojima se eksperimentalni podaci o promjeni jedne ili više veličina tijekom vremena prikupljaju i analiziraju pomoću tehnika temeljenih na nelinearnoj dinamičkoj teoriji, s minimalnim pretpostavkama o temeljnim jednadžbama koje upravljaju procesom koji proizvodi podatke. To jest, to je slučaj u kojem se nastoji pronaći korelacije u podacima koje mogu usmjeravati razvoj matematičkog modela, umjesto da se prvo nagađa model, a zatim ga uspoređuje s podacima.

Drugo, postoje slučajevi u kojima se nelinearna dinamička teorija može koristiti za tvrdnju da bi neki pojednostavljeni model trebao pokazati važne karakteristike ovog sustava, iz čega proizlazi da se model koji opisuje može graditi i proučavati u širokom rasponu parametara. To često rezultira modelima koji se kvalitativno različito ponašaju pod različitim parametrima i pokazuju da jedna regija pokazuje ponašanje koje je vrlo slično onom opaženom u stvarnom sustavu. U mnogim je slučajevima ponašanje modela prilično osjetljivo na promjene parametara, pa ako se parametri modela mogu mjeriti u stvarnom sustavu, model pokazuje realistično ponašanje pri tim vrijednostima i može se biti siguran da model obuhvaća bitne značajke sustava.

Treće, postoje slučajevi kada su jednadžbe modela izgrađene na temelju detaljni opisi poznata fizika. Numerički eksperimenti tada mogu pružiti informacije o varijablama koje nisu dostupne fizičkim eksperimentima.

Na temelju drugog puta, ovaj je rad proširenje mog prethodnog rada „Nelinearni dinamički model međuzavisnih industrija“, kao i drugog rada (Dmitriev, 2015.)

Sve potrebne definicije i ostale teorijske informacije potrebne u radu pojavit će se u prvom poglavlju, prema potrebi. Ovdje će biti navedene dvije definicije koje su neophodne za razotkrivanje same teme istraživanja.

Prvo, definirajmo dinamiku sustava. Prema jednoj definiciji, dinamika sustava je pristup simulacijskom modeliranju koji svojim metodama i alatima pomaže u procjeni strukture složeni sustavi i njihovu dinamiku (Shterman). Vrijedno je dodati da je dinamika sustava također tehnika modeliranja koja se koristi za ponovno stvaranje točnih (u smislu točnosti) računalnih modela za složene sustave za njihovu buduću upotrebu u cilju stvaranja učinkovitije tvrtke/organizacije, kao i poboljšanja metoda interakcija s ovim sustavom. Potreba za dinamikom sustava prvenstveno se javlja pri suočavanju s dugoročnim, strateškim modelima, a valja napomenuti i da je prilično apstraktna.

Govoreći o nelinearnoj diferencijalnoj dinamici, razmotrit ćemo nelinearni sustav, koji je, po definiciji, sustav u kojem promjena rezultata nije proporcionalna promjeni ulaznih parametara i u kojem funkcija opisuje ovisnost promjene vremena i položaja točke u prostoru (Boeing, 2016).

Na temelju navedenih definicija postaje jasno da ovaj posao razmatrat će različite nelinearne diferencijalne sustave koji opisuju interakciju poduzeća, kao i simulacijske modele izgrađene na njihovoj osnovi. Na temelju toga će se odrediti svrha rada.

Stoga je svrha ovog rada provesti kvalitativnu analizu dinamičkih sustava koji u prvoj aproksimaciji opisuju interakciju poduzeća i na temelju njih izgraditi simulacijski model.

Za postizanje ovog cilja identificirani su sljedeći zadaci:

Utvrđivanje stabilnosti sustava.

Izrada faznih portreta.

Pronalaženje integralnih putanja sustava.

Izrada simulacijskih modela.

Svaki od ovih zadataka bit će posvećen jednom od odjeljaka svakog od poglavlja rada.

Na temelju prakse, konstrukcija temeljnih matematičkih struktura koje učinkovito modeliraju dinamiku u različitim fizičkim sustavima i procesima, ukazuje na to da odgovarajući matematički model u određenoj mjeri odražava blizinu originala koji se proučava, kada njegov karakteristike može se izvesti iz svojstava i strukture vrste gibanja koja tvori dinamiku sustava. Do danas je ekonomska znanost u fazi svog razvoja, u kojoj se posebno učinkovito koriste nove, au mnogim slučajevima i nestandardne metode i metode fizičkog i matematičkog modeliranja. ekonomski procesi. Odatle slijedi zaključak o potrebi stvaranja, proučavanja i izgradnje modela koji na neki način mogu opisati gospodarsku situaciju.

Što se tiče razloga odabira kvalitativne umjesto kvantitativne analize, valja napomenuti da se u velikoj većini slučajeva rezultati i zaključci kvalitativne analize dinamičkih sustava pokazuju značajnijim od rezultata njihove kvantitativne analize. U takvoj situaciji primjereno je ukazati na izjave V.P. Milovanov, u kojem navodi kako tradicionalno smatraju da rezultate koji se očekuju primjenom matematičkih metoda u analizi realnih objekata treba svesti na numerički rezultat. U tom smislu kvalitativne metode imaju nešto drugačiju zadaću. Fokusira se na postizanje rezultata koji opisuje kvalitetu sustava, na traženje karakteristika svih pojava u cjelini, na predviđanje. Naravno, važno je razumjeti kako će se potražnja promijeniti kada se cijene za određenu vrstu robe promijene, ali ne zaboravite da je mnogo važnije razumjeti hoće li u takvim uvjetima biti manjka ili viška te robe (Dmitriev , 2016).

Predmet ovog istraživanja je nelinearni diferencijal i dinamika sustava.

U ovom slučaju, predmet istraživanja je opis procesa interakcije između poduzeća kroz nelinearni diferencijal i dinamiku sustava.

Govoreći o praktičnoj primjeni studije, vrijedi je odmah podijeliti na dva dijela. Naime, teorijska, odnosno kvalitativna analiza sustava, te praktična, u kojoj će se razmatrati konstrukcija simulacijskih modela.

Teorijski dio ovog rada daje osnovne pojmove i pojave. Razmatra jednostavne diferencijalne sustave, kao iu radovima mnogih drugih autora (Teschl, 2012; Nolte, 2015), ali u isto vrijeme omogućuje opisivanje interakcije između poduzeća. Na temelju toga, u budućnosti će biti moguće provoditi dublje studije ili pak započeti svoje upoznavanje s onim što čini kvalitativna analiza sustava.

Praktični dio rada može poslužiti za izradu sustava za podršku odlučivanju. Sustav za podršku odlučivanju - automatizirano Informacijski sistem, s ciljem podrške poslovanju ili donošenju odluka u organizaciji, omogućujući vam da birate između mnogo različitih alternativa (Keen, 1980.). Čak i ako modeli trenutno nisu baš precizni, ali mijenjajući ih za određenu tvrtku, možete postići preciznije rezultate. Dakle, mijenjajući u njima različite parametre i uvjete koji se mogu pojaviti na tržištu, možete dobiti prognozu za budućnost i donijeti isplativiju odluku unaprijed.

1. Interakcija poduzeća u uvjetima mutualizma

U radu će biti prikazani dvodimenzionalni sustavi koji su prilično jednostavni u usporedbi sa sustavima višeg reda, ali nam u isto vrijeme omogućuju demonstraciju odnosa između organizacija koji su nam potrebni.

Vrijedno je započeti rad s odabirom vrste interakcije, koja će biti opisana u budućnosti, budući da su za svaku od vrsta sustavi koji ih opisuju, iako malo, različiti. Na slici 1.1 prikazana je Eujima Odumova klasifikacija interakcije stanovništva modificirana za ekonomsku interakciju (Odum, 1968.), na temelju koje ćemo dalje razmatrati interakciju poduzeća.

Slika 1.1. Vrste interakcije između poduzeća

Na temelju slike 1.1 izdvajamo 4 vrste interakcija i za svaku od njih prikazujemo sustav jednadžbi koji ih opisuje na temelju Malthusovog modela (Malthus, 1798). Prema njemu, stopa rasta je proporcionalna trenutnoj brojnosti vrste, drugim riječima, može se opisati sljedećom diferencijalnom jednadžbom:

gdje je a parametar koji ovisi o prirodnom priraštaju stanovništva. Također je vrijedno dodati da u dolje razmatranim sustavima svi parametri, kao i varijable, imaju nenegativne vrijednosti.

Proizvodnja sirovina je proizvodnja proizvoda, što je slično modelu grabežljivac-plijen. Model grabežljivac-plijen, također poznat kao Lotka-Volterra model, par je nelinearnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda koje opisuju dinamiku biološkog sustava s dvije vrste, od kojih je jedna grabežljivac, a druga plijen (Llibre , 2007). Promjena brojnosti ovih vrsta opisuje se sljedećim sustavom jednadžbi:

(1.2)

gdje - karakterizira rast proizvodnje prvog poduzeća bez utjecaja drugog (u slučaju modela predator-plijen, rast populacije plijena bez predatora),

Karakterizira rast proizvodnje drugog poduzeća bez utjecaja prvog (rast populacije predatora bez plijena),

Karakterizira rast proizvodnje prvog poduzeća, uzimajući u obzir utjecaj drugog poduzeća na njega (povećanje broja plijena u interakciji s predatorima),

Karakterizira rast proizvodnje drugog poduzeća, uzimajući u obzir utjecaj prvog poduzeća na njega (povećanje broja predatora tijekom njihove interakcije sa žrtvama).

Za jednog, predatora, kao što se vidi iz sustava, kao i Odumove klasifikacije, njihova interakcija nameće povoljan učinak. S druge nepovoljne. Ako se promatra u ekonomskoj stvarnosti, tada, kao što se može vidjeti na slici, najjednostavniji analog je proizvođač i njegov dobavljač resursa, koji odgovaraju predatoru, odnosno plijenu. Stoga, u nedostatku sirovina, proizvodnja se eksponencijalno smanjuje.

Natjecanje je suparništvo između dvije ili više (u našem slučaju, razmatramo dvodimenzionalne sustave, pa uzimamo upravo natjecanje dviju vrsta) vrsta, ekonomskih grupa za teritorije, ograničene resurse ili druge vrijednosti (Elton, 1968). Promjene u broju vrsta, odnosno broju proizvoda u našem slučaju, opisane su sustavom u nastavku:

(1.3)

U ovom slučaju vrste ili tvrtke koje proizvode jedan proizvod negativno utječu jedna na drugu. To jest, u odsutnosti konkurenta, rast proizvoda će eksponencijalno rasti.

Sada prijeđimo na simbiotičku interakciju, u kojoj oba poduzeća pozitivno utječu jedno na drugo. Počnimo s uzajamnošću. Mutualizam je vrsta odnosa između različitih vrsta u kojem svaka od njih ima koristi od djelovanja druge, a valja napomenuti da je prisutnost partnera nužan uvjet za postojanje (Thompson, 2005). Ovu vrstu odnosa opisuje sustav:

(1.4)

Budući da je interakcija među tvrtkama nužna za njihovu egzistenciju, u nedostatku proizvoda jedne tvrtke, output robe druge opada eksponencijalno. To je moguće kada tvrtke jednostavno nemaju druge alternative za nabavu.

Razmotrimo drugu vrstu simbiotske interakcije, protokooperaciju. Proto-suradnja je slična uzajamnosti, s jedinom iznimkom da nema potrebe za postojanjem partnera, budući da npr. postoje druge alternative. Budući da su slični, njihovi sustavi izgledaju gotovo identično jedan drugome:

(1.5)

Stoga nepostojanje proizvoda jedne tvrtke ne sprječava rast proizvoda druge tvrtke.

Naravno, uz one navedene u paragrafima 3 i 4, mogu se uočiti i drugi tipovi simbiotskih odnosa: komenzalizam i amenzalizam (Hanski, 1999). Ali nećemo ih dalje spominjati, budući da je u komenzalizmu jedan od partnera ravnodušan prema svojoj interakciji s drugim, ali još uvijek razmatramo slučajeve u kojima postoji utjecaj. A amenzalizam se ne razmatra, jer s ekonomske točke gledišta, takvi odnosi, kada njihova interakcija šteti jednom, a drugi je ravnodušan, jednostavno ne mogu postojati.

Na temelju utjecaja poduzeća jednih na druge, odnosno činjenice da simbiotski odnosi dovode do stabilnog suživota poduzeća, u ovom radu razmatrat ćemo samo slučajeve uzajamnosti i proto-kooperacije, budući da je u oba slučaja interakcija korisna za sve.

Ovo poglavlje posvećeno je interakciji poduzeća u uvjetima uzajamnosti. Razmotrit će se dva sustava koji su daljnji razvoj sustava temeljenih na Malthusovom modelu, a to su sustavi s nametnutim ograničenjima povećanja proizvodnje.

Dinamika para povezanog međusobnim odnosima, kao što je gore navedeno, može se u prvoj aproksimaciji opisati sustavom:

(1.6)

Vidljivo je da kod velike početne količine proizvodnje sustav neograničeno raste, a kod male količine proizvodnja pada. Tu leži netočnost bilinearnog opisa učinka koji proizlazi iz uzajamnosti. Kako bismo pokušali ispraviti sliku, uvodimo čimbenik koji podsjeća na zasićenje predatora, odnosno čimbenik koji će smanjiti stopu rasta proizvodnje, ako je u suvišku. U ovom slučaju dolazimo do sljedećeg sustava:

(1.7)

gdje je rast proizvodnje proizvoda prve tvrtke u interakciji s drugom, uzimajući u obzir zasićenost,

Rast proizvodnje proizvoda druge tvrtke u interakciji s prvom, uzimajući u obzir zasićenje,

Koeficijenti zasićenja.

Tako smo dobili dva sustava: Malthusov model rasta sa i bez zasićenja.

1.1 Stabilnost sustava u prvoj aproksimaciji

Stabilnost sustava u prvoj aproksimaciji razmatra se u mnogim stranim (Hairer, 1993; Bhatia, 2002; Khalil, 2001; Strogatz, 2001 i drugi) i radovima na ruskom jeziku (Akhromeyeva, 1992; Bellman, 1954; Demidovich, 1967; Krasovsky, 1959. i drugi), a njegova definicija osnovni je korak za analizu procesa koji se odvijaju u sustavu. Da biste to učinili, izvršite sljedeće potrebne korake:

Nađimo točke ravnoteže.

Nađimo Jacobianovu matricu sustava.

Pronađite svojstvene vrijednosti Jakobijeve matrice.

Točke ravnoteže klasificiramo prema teoremu Ljapunova.

Nakon razmatranja koraka, vrijedi se detaljnije zadržati na njihovom objašnjenju, pa ću dati definicije i opisati metode koje ćemo koristiti u svakom od ovih koraka.

Prvi korak, potraga za točkama ravnoteže. Da bismo ih pronašli, svaku funkciju izjednačimo s nulom. Odnosno, rješavamo sustav:

gdje a i b znače sve parametre jednadžbe.

Sljedeći korak je pronaći Jakobijevu matricu. U našem slučaju, to će biti matrica 2-po-2 s prvim derivatima u nekom trenutku, kao što je prikazano u nastavku:

Nakon dovršetka prva dva koraka, nastavljamo s pronalaženjem korijena sljedeće karakteristične jednadžbe:

Gdje točka odgovara točkama ravnoteže nađenim u prvom koraku.

Nakon što smo pronašli i , prelazimo na četvrti korak i koristimo sljedeće Lyapunovljeve teoreme (Parks, 1992.):

Teorem 1: Ako svi korijeni karakteristične jednadžbe imaju negativan realni dio, tada je točka ravnoteže koja odgovara izvornom i lineariziranom sustavu asimptotski stabilna.

Teorem 2: Ako barem jedan od korijena karakteristične jednadžbe ima pozitivan realni dio, tada je točka ravnoteže koja odgovara izvornom i lineariziranom sustavu asimptotski nestabilna.

Također, gledajući i moguće je preciznije odrediti vrstu stabilnosti, na temelju podjele prikazane na slikama 1.2 (Sveučilište Lamar).

Slika 1.2. Vrste stabilnosti točaka ravnoteže

Nakon što smo razmotrili potrebne teorijske informacije, prelazimo na analizu sustava.

Razmotrimo sustav bez zasićenja:

Vrlo je jednostavan i nije prikladan za praktičnu upotrebu jer nema ograničenja. Ali kao prvi primjer analize sustava prikladan je za razmatranje.

Najprije pronađimo točke ravnoteže izjednačavanjem desnih strana jednadžbi s nulom. Dakle, nalazimo dvije točke ravnoteže, nazovimo ih A i B: .

Spojimo korak s traženjem Jacobijeve matrice, korijena karakteristične jednadžbe i određivanjem tipa stabilnosti. Budući da su elementarni, odmah dobivamo odgovor:

1. U točki , , nalazi se stabilan čvor.

U trenutku: .. sedlo.

Kao što sam već napisao, ovaj sustav je previše trivijalan, pa nije bilo potrebno objašnjenje.

Sada analizirajmo sustav od zasićenja:

(1.9)

Pojava ograničenja međusobne zasićenosti proizvoda od strane poduzeća približava nas stvarnoj slici onoga što se događa, a također malo komplicira sustav.

Kao i prije, izjednačujemo desne dijelove sustava s nulom i rješavamo dobiveni sustav. Točka je ostala nepromijenjena, ali druga točka u ovom slučaju sadrži više parametara nego prije: .

U ovom slučaju Jacobijeva matrica ima sljedeći oblik:

Od njega oduzmite identičnu matricu pomnoženu s i izjednačite determinantu dobivene matrice u točkama A i B s nulom.

Na mjestu slične rane slike:

stabilan čvor.

Ali u točki sve je nešto kompliciranije, i iako je matematika još uvijek prilično jednostavna, složenost uzrokuje neugodnosti u radu s dugim doslovnim izrazima. Budući da su vrijednosti ispale prilično duge i nezgodno zapisane, nisu dane, dovoljno je reći da je u ovom slučaju, kao i kod prethodnog sustava, dobivena vrsta stabilnosti sedlo.

2 Fazni portreti sustava

Velika većina nelinearnih dinamičkih modela složene su diferencijalne jednadžbe koje se ili ne mogu riješiti ili je to neka vrsta složenosti. Primjer je sustav iz prethodnog odjeljka. Unatoč prividnoj jednostavnosti, pronalaženje vrste stabilnosti u drugoj točki ravnoteže nije bio lak zadatak (iako ne s matematičkog gledišta), a s povećanjem parametara, ograničenja i jednadžbi za povećanje broja međusobno povezanih poduzeća, složenost će se samo povećati. Naravno, ako su parametri numerički izrazi, onda će sve postati nevjerojatno jednostavno, ali tada će analiza nekako izgubiti svaki smisao, jer ćemo na kraju moći pronaći ravnotežne točke i saznati njihovu vrstu stabilnosti samo za određenu slučaj, a ne opći.

U takvim slučajevima vrijedi se sjetiti fazne ravnine i faznih portreta. U primijenjenoj matematici, posebno u kontekstu analize nelinearnih sustava, fazna ravnina vizualni je prikaz određenih karakteristika određenih vrsta diferencijalnih jednadžbi (Nolte, 2015.). Koordinatna ravnina s osi vrijednosti bilo kojeg para varijabli koje karakteriziraju stanje sustava - dvodimenzionalni slučaj zajedničkog n-dimenzionalnog faznog prostora.

Zahvaljujući faznoj ravnini moguće je grafički odrediti postojanje graničnih ciklusa u rješenjima diferencijalne jednadžbe.

Rješenja diferencijalne jednadžbe su skup funkcija. Grafički, to se može iscrtati u faznoj ravnini kao dvodimenzionalno vektorsko polje. Na ravnini su iscrtani vektori koji predstavljaju derivacije u karakterističnim točkama u odnosu na neki parametar, u našem slučaju u odnosu na vrijeme, to jest (). S dovoljno ovih strelica u jednom području, može se vizualizirati ponašanje sustava i lako identificirati granični ciklusi (Boeing, 2016.).

Vektorsko polje je fazni portret, određena staza duž linije toka (to jest, staza koja uvijek tangenta na vektore) je fazna staza. Tokovi u vektorskom polju pokazuju promjenu sustava tijekom vremena, opisanu diferencijalnom jednadžbom (Jordan, 2007.).

Vrijedno je napomenuti da se fazni portret može izgraditi i bez rješavanja diferencijalne jednadžbe, au isto vrijeme dobra vizualizacija može pružiti puno korisna informacija. Osim toga, trenutno postoji mnogo programa koji mogu pomoći u izradi faznih dijagrama.

Stoga su fazne ravnine korisne za vizualizaciju ponašanja fizičkih sustava. Konkretno, oscilatorni sustavi, kao što je već spomenuti model grabežljivac-plijen. U ovim modelima, fazne trajektorije mogu se "uvijati" prema nuli, "izaći iz spirale" u beskonačnost ili doseći neutralnu stabilnu situaciju koja se naziva centrima. Ovo je korisno u određivanju je li dinamika stabilna ili ne (Jordan, 2007.).

Fazni portreti predstavljeni u ovom odjeljku bit će izgrađeni pomoću alata WolframAlpha ili će biti dobiveni iz drugih izvora. Malthusov model rasta bez zasićenja.

Izgradimo fazni portret prvog sustava s tri skupa parametara kako bismo usporedili njihovo ponašanje. Skup A ((1,1), (1,1)), koji će se nazivati ​​jednim skupom, skup B ((10,0.1), (2,2)), kada se odabere, sustav doživljava oštar pad proizvodnje , te skup C ((1,10), (1,10)) za koji se, naprotiv, događa nagli i neograničeni rast. Treba napomenuti da će vrijednosti duž osi u svim slučajevima biti u istim intervalima od -10 do 10, radi praktičnosti međusobnog uspoređivanja faznih dijagrama. Naravno, to se ne odnosi na kvalitativni portret sustava, čije su osi bezdimenzionalne.

Slika 1.3 Fazni portret s parametrima A

mutualism diferencijalna granična jednadžba

Gornja slika 1.3 prikazuje fazne portrete sustava za tri navedena skupa parametara, kao i fazni portret koji opisuje kvalitativno ponašanje sustava. Ne zaboravite da je s praktičnog gledišta najvažnije prvo tromjesečje, budući da je količina proizvodnje, koja može biti samo nenegativna, naše osi.

Na svakoj od slika jasno je vidljiva stabilnost u točki ravnoteže (0,0). I na prvoj slici, "sjedna točka" također je uočljiva u točki (1,1), drugim riječima, ako zamijenimo vrijednosti skupa parametara u sustavu, tada u točki ravnoteže B. Kada se mijenjaju granice konstrukcije modela, sedlo se nalazi i na drugim faznim portretima.

Malthusov model rasta od zasićenja.

Konstruirajmo fazne dijagrame za drugi sustav, u kojem postoji zasićenje, s tri nova skupa vrijednosti parametara. Skup A, ((0,1,15,100), (0,1,15,100)), skup B ((1,1,0,5), (1, 1,0,5)) i skup C ((20,1,100), (20,1,100 )).

Slika 1.4. Fazni portret s parametrima A

Kao što vidite, za bilo koji skup parametara, točka (0,0) je ravnotežna, a također i stabilna. Također na nekim slikama možete vidjeti sedlo.

U ovom slučaju razmatrane su različite ljestvice kako bi se jasnije pokazalo da se čak i kada se sustavu doda faktor zasićenja kvalitativna slika ne mijenja, odnosno da samo zasićenje nije dovoljno. Treba uzeti u obzir da je u praksi poduzećima potrebna stabilnost, odnosno ako razmatramo nelinearne diferencijalne jednadžbe, tada su nas najviše zanimale stabilne ravnotežne točke, au tim sustavima samo su nulte točke takve točke, što znači da takvi matematički modeli očito nisu prikladni za poduzeća. Uostalom, to znači da su samo s nultom proizvodnjom poduzeća u stabilnosti, što se jasno razlikuje od realne slike svijeta.

U matematici, integralna krivulja je parametarska krivulja koja predstavlja specifično rješenje obične diferencijalne jednadžbe ili sustava jednadžbi (Lang, 1972). Ako je diferencijalna jednadžba predstavljena kao vektorsko polje, tada su odgovarajuće integralne krivulje tangentne na polje u svakoj točki.

Integralne krivulje također su poznate pod drugim nazivima, ovisno o prirodi i interpretaciji diferencijalne jednadžbe ili vektorskog polja. U fizici, integralne krivulje za električno polje odn magnetsko polje poznate su kao linije polja, a integralne krivulje za polje brzine fluida poznate su kao linije strujnice. U dinamičkim sustavima, integralne krivulje za diferencijalnu jednadžbu nazivaju se putanje.

Slika 1.5. Integralne krivulje

Rješenja bilo kojeg od sustava također se mogu smatrati jednadžbama integralnih krivulja. Očito je da je svaka fazna putanja projekcija neke integralne krivulje u prostor x,y,t na faznu ravninu.

Postoji nekoliko načina za konstruiranje integralnih krivulja.

Jedna od njih je metoda izokline. Izoklina je krivulja koja prolazi kroz točke u kojima će nagib razmatrane funkcije uvijek biti isti, bez obzira na početne uvjete (Hanski, 1999).

Često se koristi kao grafička metoda za rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi. Na primjer, u jednadžbi oblika y "= f (x, y), izokline su linije u (x, y) ravnini dobivene izjednačavanjem f (x, y) s konstantom. To daje niz linija ( za različite konstante) duž kojih rješenja krivulja imaju isti gradijent. Izračunavanjem ovog gradijenta za svaku izoklinu, polje nagiba može se vizualizirati, što olakšava crtanje približnih krivulja rješenja. Slika u nastavku prikazuje primjer korištenja metode izokline .

Slika 1.6. Izoklina metoda

Ova metoda ne zahtijeva računalne izračune, a bila je vrlo popularna u prošlosti. Sada postoje softverska rješenja koja će iznimno precizno i ​​brzo graditi integralne krivulje na računalima. No, unatoč tome, metoda izoklina se dobro pokazala kao alat za proučavanje ponašanja otopina, budući da omogućuje prikaz područja tipičnog ponašanja integralnih krivulja.

Malthusov model rasta bez zasićenja.

Počnimo s činjenicom da unatoč postojanju različitih metoda konstrukcije, nije tako jednostavno prikazati integralne krivulje sustava jednadžbi. Ranije spomenuta metoda izoklina nije prikladna jer radi za diferencijalne jednadžbe prvog reda. A softverski alati koji imaju mogućnost iscrtavanja takvih krivulja nisu u javnoj domeni. Na primjer, Wolfram Mathematica, koja je to sposobna, plaća se. Stoga ćemo pokušati što više iskoristiti mogućnosti Wolfram Alpha, čiji je rad opisan u raznim člancima i djelima (Orca, 2009). Čak i unatoč činjenici da slika očito neće biti posve pouzdana, ali barem će vam omogućiti da pokažete ovisnost u ravninama (x, t), (y, t). Najprije riješimo svaku od jednadžbi za t. To jest, izvodimo ovisnost svake od varijabli s obzirom na vrijeme. Za ovaj sustav dobivamo:

(1.10)

(1.11)

Jednadžbe su simetrične, pa razmatramo samo jednu od njih, a to je x(t). Neka konstanta bude jednaka 1. U ovom slučaju koristit ćemo se funkcijom crtanja.

Slika 1.7. Trodimenzionalni model za jednadžbu (1.10)

Malthusov model rasta od zasićenja.

Učinimo isto za drugi model. U konačnici dobivamo dvije jednadžbe koje pokazuju ovisnost varijabli o vremenu.

(1.12)

(1.13)

Izgradimo trodimenzionalni model i ponovo poravnajmo linije.

Slika 1.8. Trodimenzionalni model za jednadžbu (1.12)

Budući da su vrijednosti varijabli nenegativne, tada u razlomku s eksponentom dobivamo negativan broj. Dakle, integralna krivulja opada s vremenom.

Prethodno je dana definicija dinamike sustava kako bi se razumjela bit rada, ali sada se detaljnije zadržimo na tome.

Dinamika sustava - metodologija i metoda matematičko modeliranje za formiranje, razumijevanje i raspravu o složenim problemima, koje je 1950-ih izvorno razvio Jay Forrester i opisao u svom radu (Forrester, 1961).

Dinamika sustava jedan je aspekt teorije sustava kao metoda za razumijevanje dinamičkog ponašanja složenih sustava. Osnova metode je spoznaja da se struktura svakog sustava sastoji od brojnih odnosa između njegovih komponenti, koji su često jednako važni u određivanju njegovog ponašanja kao i same pojedinačne komponente. Primjeri su teorija kaosa i društvena dinamika, opisani u djelima raznih autora (Grebogi, 1987; Sontag, 1998; Kuznjecov, 2001; Tabor, 2001). Također se tvrdi da se, budući da se svojstva cjeline često ne mogu pronaći u svojstvima elementa, u nekim slučajevima ponašanje cjeline ne može objasniti u smislu ponašanja dijelova.

Simulacija stvarno može pokazati cjelinu praktični značaj dinamički sustav. Iako je to moguće u proračunskim tablicama, postoji mnogo softverskih paketa koji su optimizirani posebno za tu svrhu.

Samo modeliranje je proces stvaranja i analize prototipa fizičkog modela kako bi se predvidjela njegova izvedba u stvarnom svijetu. Simulacijsko modeliranje koristi se kako bi se dizajnerima i inženjerima pomoglo da razumiju pod kojim uvjetima iu kojim slučajevima proces može zakazati i koja opterećenja može izdržati (Khemdy, 2007.). Simulacija također može pomoći u predviđanju ponašanja protoka tekućine i drugo fizičke pojave. Model analizira približne radne uvjete zahvaljujući primijenjenom simulacijskom softveru (Strogalev, 2008).

Ograničenja mogućnosti simulacijskog modeliranja imaju zajednički uzrok. Konstrukcija i numerički proračun egzaktnog modela jamči uspjeh samo u onim područjima gdje postoji egzaktna kvantitativna teorija, tj. kada su poznate jednadžbe koje opisuju određene pojave, a zadatak je samo riješiti te jednadžbe sa potrebnom točnošću. U onim područjima gdje ne postoji kvantitativna teorija, konstrukcija egzaktnog modela je ograničene vrijednosti (Bazykin, 2003).

Međutim, mogućnosti modeliranja nisu neograničene. Prije svega, to je zbog činjenice da je teško procijeniti opseg primjenjivosti simulacijskog modela, posebice vremensko razdoblje za koje se predviđanje može izgraditi s potrebnom točnošću (Law, 2006). Osim toga, simulacijski je model po svojoj prirodi vezan uz određeni objekt, a pri pokušaju primjene na drugom, makar i sličnom objektu, zahtijeva radikalnu prilagodbu ili barem značajnu modifikaciju.

Postoji opći razlog za postojanje ograničenja simulacije. Konstrukcija i numerički proračun “egzaktnog” modela uspješni su samo ako postoji kvantitativna teorija, odnosno samo ako su poznate sve jednadžbe, a problem se svodi samo na rješavanje tih jednadžbi s određenom točnošću (Bazykin, 2003).

Ali čak i unatoč tome, simulacijsko modeliranje izvrstan je alat za vizualizaciju dinamičkih procesa, omogućujući, s više ili manje točnim modelom, donošenje odluka na temelju njegovih rezultata.

U ovom radu, modeli sustava će se graditi pomoću alata za dinamiku sustava koje nudi program AnyLogic.

Malthusov model rasta bez zasićenja/

Prije izgradnje modela potrebno je razmotriti elemente dinamike sustava koje ćemo koristiti i povezati ih s našim sustavom. Sljedeće definicije preuzete su iz informacija za pomoć programa AnyLogic.

Pogon je glavni element dijagrama dinamike sustava. Koriste se za predstavljanje objekata stvarnog svijeta, u kojem se akumuliraju određeni resursi: novac, tvari, broj skupina ljudi, neki materijalni objekti itd. Akumulatori odražavaju statičko stanje simuliranog sustava, a njihove se vrijednosti mijenjaju tijekom vremena u skladu s tokovima koji postoje u sustavu. Iz toga slijedi da je dinamika sustava određena tokovima. Protoci koji ulaze i izlaze iz akumulatora povećavaju ili smanjuju vrijednosti akumulatora.

Protok, kao i spomenuti pogon, glavni je element sustavno-dinamičkih dijagrama.

Dok binovi definiraju statički dio sustava, tokovi određuju brzinu promjene binova, odnosno kako se zalihe mijenjaju tijekom vremena, te tako određuju dinamiku sustava.

Agent može sadržavati varijable. Varijable se obično koriste za modeliranje promjenjivih karakteristika agenta ili za pohranjivanje rezultata modela. Tipično, dinamičke varijable sastoje se od funkcija akumulatora.

Agent može imati parametre. Parametri se često koriste za predstavljanje nekih karakteristika modeliranog objekta. Korisni su kada instance objekta imaju isto ponašanje kao što je opisano u klasi, ali se razlikuju u nekim vrijednostima parametara. Postoji jasna razlika između varijabli i parametara. Varijabla predstavlja stanje modela i može se mijenjati tijekom simulacije. Parametar se obično koristi za statički opis objekata. Tijekom jednog "izvođenja" modela, parametar je obično konstanta i mijenja se samo kada je potrebno rekonfigurirati ponašanje modela.

Veza je element dinamike sustava koji se koristi za određivanje odnosa između elemenata dijagrama toka i akumulatora. Ne stvara veze automatski, već prisiljava korisnika da ih eksplicitno nacrta u grafičkom uređivaču (međutim, vrijedi napomenuti da AnyLogic također podržava mehanizam za brzo postavljanje karika koje nedostaju). Na primjer, ako se bilo koji element od A spominje u jednadžbi ili početna vrijednost elementa B, tada prvo trebate povezati te elemente vezom koja ide od A do B, a tek onda unijeti izraz u svojstva B .

Postoje još neki elementi dinamike sustava, ali oni neće biti uključeni u rad, pa ćemo ih izostaviti.

Za početak razmotrimo od čega će se sastojati model sustava (1.4).

Prvo, odmah označavamo dva pogona, koji će sadržavati vrijednosti količine proizvodnje svakog od poduzeća.

Drugo, budući da imamo dva člana u svakoj jednadžbi, dobivamo dva toka za svaki od pogona, jedan dolazni, drugi odlazni.

Treće, prelazimo na varijable i parametre. Postoje samo dvije varijable. X i Y, odgovorni za rast proizvodnje. Također imamo četiri opcije.

Četvrto, s obzirom na veze, svaki od protoka mora biti povezan s varijablama i parametrima uključenim u jednadžbu protoka, a obje varijable moraju biti povezane s akumulatorima kako bi se promijenila vrijednost tijekom vremena.

Detaljan opis izrade modela, kao primjera rada u AnyLogic okruženju za modeliranje, ostavit ćemo za sljedeći sustav, budući da je nešto kompliciraniji i koristi više parametara, a odmah ćemo pristupiti razmatranju gotove verzije sustav.

Slika 1.9 u nastavku prikazuje konstruirani model:

Slika 1.9. Model dinamike sustava za sustav (1.4)

Svi elementi dinamike sustava odgovaraju gore opisanim, tj. dva pogona, četiri toka (dva dolazna, dva odlazna), četiri parametra, dvije dinamičke varijable i potrebne veze.

Slika pokazuje da što je više proizvoda, to je njegov rast jači, što dovodi do naglog povećanja broja robe, što odgovara našem sustavu. Ali kao što je ranije spomenuto, nepostojanje ograničenja za ovaj rast ne dopušta primjenu ovog modela u praksi.

Malthusov model rasta od zasićenja/

S obzirom na ovaj sustav, detaljnije se osvrnimo na konstrukciju modela.

Prvi korak je dodavanje dva pogona, nazovimo ih X_stock i Y_stock. Svakom od njih dodjeljujemo početnu vrijednost 1. Imajte na umu da u nedostatku tokova u klasičnom dana jednadžba nema ništa u skladištu.

Slika 1.10. Izgradnja modela sustava (1.9)

Sljedeći korak je dodavanje niti. Izgradimo dolazni i odlazni tok za svaki pogon pomoću grafičkog uređivača. Ne smijemo zaboraviti da jedan od rubova protoka mora biti u pogonu, inače neće biti povezani.

Vidite da je jednadžba za pogon postavljena automatski, naravno, korisnik je može sam napisati odabirom "proizvoljnog" načina jednadžbe, ali najlakše je tu radnju prepustiti programu.

Naš treći korak je dodavanje šest parametara i dvije dinamičke varijable. Dodijelimo svakom elementu ime u skladu s njegovim doslovnim izrazom u sustavu, a također postavimo početne vrijednosti parametara na sljedeći način: e1=e2=1, a12=a21=3, n1=n2=0,2.

Svi elementi jednadžbi su prisutni, ostaje još samo napisati jednadžbe tokova, ali za to prvo treba dodati veze između elemenata. Na primjer, odlazni tok odgovoran za izraz mora biti povezan s e1 i x. I svaka dinamička varijabla mora biti povezana s odgovarajućom zalihom (X_zaliha x, Y_zaliha y). Stvaranje veza slično je dodavanju niti.

Nakon stvaranja potrebnih veza, možete pristupiti pisanju jednadžbi za tokove, što je prikazano na desnoj slici. Naravno, možete ići obrnutim redoslijedom, ali ako postoje veze, prilikom pisanja jednadžbi pojavljuju se savjeti za zamjenu potrebnih parametara / varijabli, što olakšava zadatak u složenim modelima.

Nakon dovršetka svih koraka, možete pokrenuti simulacijski model i pogledati njegov rezultat.

Razmotrivši sustave nelinearnih diferencijalnih jednadžbi za interakciju poduzeća u uvjetima uzajamnosti, možemo izvući nekoliko zaključaka.

Postoje dva stanja sustava: nagli neograničeni rast ili tendencija količine proizvodnje ka nuli. Koje će od ta dva stanja sustav preuzeti ovisi o parametrima.

Nijedan od predloženih modela, uključujući model koji uzima u obzir zasićenje, nije prikladan za praktičnu upotrebu, zbog nedostatka stabilnog položaja različitog od nule, kao i razloga opisanih u stavku 1.

U slučaju pokušaja daljnjeg proučavanja ove vrste simbiotske interakcije u svrhu kreiranja modela primjenjivog u tvrtkama u praksi, potrebno je dodatno usložniti sustav i uvesti nove parametre. Na primjer, Bazykin u svojoj knjizi daje primjer dinamike dviju mutualističkih populacija uz uvođenje dodatnog faktora intraspecifične konkurencije. Zbog čega sustav ima oblik:

(1.15)

I u ovom slučaju pojavljuje se stabilna pozicija sustava različita od nule, odvojena od nule "sedlom", što ga približava stvarnoj slici onoga što se događa.

2. Interakcija poduzeća u uvjetima protokooperacije

Sve osnovne teorijske informacije iznesene su u prethodnom poglavlju, tako da će u analizi modela koji se razmatraju u ovom poglavlju, u najvećem dijelu, teorija biti izostavljena, uz izuzetak nekoliko točaka koje nismo susreli u prethodnom poglavlju. poglavlju, a može doći i do smanjenja izračuna. Model interakcije između organizacija razmatran u ovom poglavlju u uvjetima proto-kooperacije, koji se sastoji od sustava dviju jednadžbi temeljenih na Malthusovom modelu, izgleda kao sustav (1.5). Sustavi analizirani u prethodnom poglavlju pokazali su da je za njihovu maksimalnu aproksimaciju postojećim modelima potrebno komplicirati sustave. Na temelju ovih nalaza, modelu ćemo odmah dodati ograničenje rasta. Za razliku od prethodnog tipa interakcije, kada je rast koji ne ovisi o drugoj tvrtki negativan, u ovom slučaju svi predznaci su pozitivni, što znači da imamo stalni rast. Izbjegavajući ranije opisane nedostatke, pokušat ćemo je ograničiti na logističku jednadžbu, također poznatu kao Verhulstova jednadžba (Gershenfeld, 1999), koja ima sljedeći oblik:

, (2.1)

gdje je P veličina populacije, r je parametar koji pokazuje stopu rasta, K je parametar odgovoran za najveću moguću veličinu populacije. Odnosno, s vremenom će veličina populacije (u našem slučaju proizvodnja) težiti određenom parametru K.

Ova jednadžba pomoći će obuzdati neobuzdani rast proizvodnje koji smo do sada vidjeli. Dakle, sustav ima sljedeći oblik:

(2.2)

Ne zaboravite da je količina robe pohranjene u skladištu za svaku tvrtku različita, pa su i parametri koji ograničavaju rast različiti. Nazovimo ovaj sustav "", i ubuduće ćemo koristiti ovaj naziv kada ga budemo razmatrali.

Drugi sustav koji ćemo razmotriti je daljnji razvoj modeli s Verhulstovim ograničenjem. Kao iu prethodnom poglavlju, uvodimo ograničenje zasićenja, tada će sustav imati oblik:

(2.3)

Sada svaki od pojmova ima svoju granicu, pa se bez daljnje analize može vidjeti da neće biti neograničenog rasta, kao u modelima iz prethodnog poglavlja. A budući da svaki od uvjeta pokazuje pozitivan rast, tada količina proizvodnje neće pasti na nulu. Nazovimo ovaj model "model proto-operacije s dva ograničenja".

O ova dva modela raspravlja se u raznim izvorima o biološkim populacijama. Sada ćemo pokušati malo proširiti sustave. Da biste to učinili, razmotrite sljedeću sliku.

Na slici je prikazan primjer procesa dviju tvrtki: industrije čelika i industrije ugljena. U oba poduzeća postoji povećanje proizvodnje koje je neovisno jedno o drugom, a također postoji povećanje proizvodnje, koje se dobiva zahvaljujući njihovoj interakciji. To smo već uzeli u obzir u ranijim modelima. Sada je vrijedno obratiti pozornost na činjenicu da tvrtke ne samo da proizvode proizvode, već ih i prodaju, na primjer, tržištu ili tvrtki koja s njim komunicira. Oni. na temelju logičnih zaključaka postoji potreba za negativnim rastom poduzeća zbog prodaje proizvoda (na slici su za to odgovorni parametri β1 i β2), kao i zbog prijenosa dijela proizvodnje drugom poduzeću . Prije smo to uzimali u obzir samo s pozitivnim predznakom za drugu tvrtku, ali nismo uzimali u obzir činjenicu da se broj proizvoda smanjuje za prvu tvrtku prilikom prijenosa proizvoda. U ovom slučaju dobivamo sustav:

(2.4)

I ako se o pojmu može reći da ako je u prethodnim modelima naznačeno da , karakteriziraju prirodni prirast, a parametar može biti negativan, tada praktički nema razlike, onda o pojmu ovo se ne može reći. Osim toga, u budućnosti, kada se razmatra takav sustav s ograničenjem koje mu je nametnuto, ispravnije je koristiti pojmove pozitivnog i negativnog rasta, budući da se u ovom slučaju mogu nametnuti različita ograničenja, što je nemoguće za prirodne rast. Nazovimo to "model proširene proto-suradnje".

Konačno, četvrti model koji se razmatra je model proširene proto-suradnje s prethodno spomenutim ograničenjem logističkog rasta. A sustav za ovaj model je sljedeći:

, (2.5)

gdje je povećanje proizvodnje prvog poduzeća, neovisno o drugom, uzimajući u obzir logističko ograničenje, - povećanje proizvodnje prvog poduzeća, ovisno o drugom, uzimajući u obzir logističko ograničenje, - povećanje proizvodnje drugog poduzeća, neovisno o prvom, uzimajući u obzir logističko ograničenje, - povećanje proizvodnje druge tvrtke, ovisno o prvoj, uzimajući u obzir logističko ograničenje, - potrošnja robe prve tvrtke, koja nije povezana s drugom, - potrošnja robe druge tvrtke, koja nije povezana s drugom , - potrošnja dobara prve industrije od strane druge industrije, - potrošnja dobara druge industrije prva industrija.

U budućnosti će se ovaj model nazivati ​​"prošireni protooperacijski model s logističkim ograničenjem".

1 Stabilnost sustava u prvoj aproksimaciji

Protooperacijski model s Verhulstovim ograničenjem

Metode za analizu stabilnosti sustava navedene su u sličnom odjeljku prethodnog poglavlja. Prije svega, nalazimo točke ravnoteže. Jedan od njih je, kao i uvijek, nula. Druga je točka s koordinatama.

Za nultočku λ1 = , λ2 = , budući da su oba parametra nenegativna, dobivamo nestabilan čvor.

Budući da nije baš zgodno raditi s drugom točkom, zbog nedostatka mogućnosti skraćivanja izraza, prepustit ćemo definiciju vrste stabilnosti faznim dijagramima, jer oni jasno pokazuju je li ravnotežna točka stabilna ili ne.

Analiza ovog sustava je kompliciranija od prethodne zbog činjenice da se dodaje faktor zasićenja, pa se pojavljuju novi parametri, a pri pronalaženju točaka ravnoteže bit će potrebno riješiti ne linearnu, već bilinearnu jednadžbu zbog varijabla u nazivniku. Stoga, kao iu prethodnom slučaju, definiciju tipa stabilnosti prepuštamo faznim dijagramima.

Unatoč pojavi novih parametara, jakobijan u nultočki, kao i korijeni karakteristične jednadžbe, izgledaju slično prethodnom modelu. Dakle, na nultoj točki, nestabilan čvor.

Prijeđimo na napredne modele. Prvi od njih ne sadrži nikakva ograničenja i ima oblik sustava (2.4)

Napravimo promjenu varijabli, , i . Novi sustav:

(2.6)

U ovom slučaju dobivamo dvije ravnotežne točke, točku A(0,0), B(). Točka B nalazi se u prvoj četvrtini jer varijable imaju nenegativnu vrijednost.

Za točku ravnoteže A dobivamo:

. - nestabilan čvor

. - sedlo,

. - sedlo,

. - stabilan čvor

U točki B korijeni karakteristične jednadžbe su kompleksni brojevi: λ1 = , λ2 = . Ne možemo odrediti vrstu stabilnosti oslanjajući se na Ljapunovljeve teoreme, pa ćemo provesti numeričke simulacije koje neće pokazati sva moguća stanja, ali će nam omogućiti da saznamo barem neka od njih.

Slika 2.2. Numerička simulacija traženja vrste stabilnosti

Uzimajući u obzir ovaj model, morat će se suočiti s računalnim poteškoćama, budući da ima veliki broj različitih parametara, kao i dva ograničenja.

Ne ulazeći u detalje izračuna, dolazimo do sljedećih točaka ravnoteže. Točka A(0,0) i točka B sa sljedećim koordinatama:

(), gdje je a =

Za točku A, određivanje vrste stabilnosti je trivijalan zadatak. Korijeni karakteristične jednadžbe su λ1 = , λ2 = . Tako dobivamo četiri opcije:

1. λ1 > 0, λ2 > 0 - nestabilan čvor.

2.λ1< 0, λ2 >0 - sedlo.

3. λ1 ​​​​> 0, λ2< 0 - седло.

4.λ1< 0, λ2 < 0 - устойчивый узел.

Govoreći o točki B, vrijedi se složiti da će zamjena kratica u izraz za nju zakomplicirati rad s Jacobianom i pronalaženje korijena karakteristične jednadžbe. Na primjer, nakon pokušaja pronalaženja pomoću računalnih alata WolframAlpha, ispis korijena zauzeo je oko pet redaka, što ne dopušta rad s njima u doslovnom smislu. Naravno, ako već postoje parametri, čini se da je moguće brzo pronaći točku ravnoteže, ali ovo je poseban slučaj, jer ćemo stanje ravnoteže, ako postoji, pronaći samo za te parametre, što nije prikladno za odluku sustav podrške za koji se planira izrada modela.

Zbog složenosti rada s korijenima karakteristične jednadžbe, konstruiramo međusobni raspored nul-izoklina po analogiji sa sustavom analiziranim u Bazykinovom radu (Bazykin, 2003). To će nam omogućiti da razmotrimo moguća stanja sustava, au budućnosti, prilikom konstruiranja faznih portreta, pronađemo točke ravnoteže i vrste njihove stabilnosti.

Nakon nekih izračuna, jednadžbe nulte izoklinike poprimaju sljedeći oblik:

(2.7)

Dakle, izokline imaju oblik parabola.

Slika 2.3. Moguća nul-izoklinska lokacija

Ukupno su moguća četiri slučaja njihovog međusobnog rasporeda prema broju zajedničkih točaka između parabola. Svaki od njih ima svoje skupove parametara, a time i fazne portrete sustava.

2 Fazni portreti sustava

Konstruirajmo fazni portret sustava, pod uvjetom da a preostali parametri su jednaki 1. U ovom slučaju dovoljan je jedan skup varijabli jer se kvaliteta neće promijeniti.

Kao što se može vidjeti na slikama ispod, nulta točka je nestabilan čvor, a druga točka, ako zamijenimo numeričke vrijednosti parametara, dobivamo (-1,5, -1,5) - sedlo.

Slika 2.4. Fazni portret za sustav (2.2)

Dakle, budući da ne bi trebalo doći do promjena, onda za ovaj sustav postoje samo nestabilna stanja, što je najvjerojatnije zbog mogućnosti neograničenog rasta.

Model protooperacije s dva ograničenja.

U ovom sustavu postoji dodatni ograničavajući faktor, pa se fazni dijagrami moraju razlikovati od prethodnog slučaja, kao što se može vidjeti na slici. Nulta točka je također nestabilan čvor, ali se u ovom sustavu pojavljuje stabilan položaj, odnosno stabilan čvor. Sa ovim parametrima, svojim koordinatama (5.5,5.5), prikazan je na slici.

Slika 2.5. Fazni portret za sustav (2.3)

Dakle, ograničenje na svaki termin omogućilo je postizanje stabilnog položaja sustava.

Prošireni protooperacijski model.

Izgradimo fazne portrete za prošireni model, ali odmah koristeći njegov modificirani oblik:

Razmotrimo četiri skupa parametara, kao što je za razmatranje svih slučajeva s nultom točkom ravnoteže, te za demonstraciju faznih dijagrama numeričke simulacije koja se koristi za točku ravnoteže koja nije nula: skup A(1,0.5,0.5) odgovara državi , skup B(1,0.5,-0.5) odgovara postavite C(-1.0.5,0.5) i postavite D(-1.0.5,-0.5) , odnosno stabilan čvor na nultočki. Prva dva skupa će demonstrirati fazne portrete za parametre koje smo razmatrali u numeričkoj simulaciji.

Slika 2.6. Fazni portret za sustav (2.4) s parametrima A-D.

Na slikama je potrebno obratiti pozornost na točke (-1,2) i (1,-2), odnosno u njima se pojavljuje "sedlo". Za detaljniji prikaz, slika prikazuje drugačije mjerilo figure sa sedlom (1,-2). Na slici je u točkama (1,2) i (-1,-2) vidljiv stabilan centar. Što se tiče nulte točke, polazeći od slike do slike na faznim dijagramima jasno razlikujemo nestabilan čvor, sedlo, sedlo i stabilni čvor.

Prošireni model proto-suradnje s logističkim ograničenjem.

Kao iu prethodnom modelu, demonstrirat ćemo fazne portrete za četiri slučaja nulte točke, a također ćemo pokušati uočiti rješenja različita od nule u ovim dijagramima. Da biste to učinili, uzmite sljedeće skupove parametara s parametrima navedenim sljedećim redoslijedom (): A (2,1,2,1), B (2,1,1,2), C (1,2,2 ,1) i D (1,2,1,2). Preostali parametri za sve skupove bit će sljedeći: , .

Na dolje prikazanim slikama mogu se promatrati četiri ravnotežna stanja nulte točke opisana u prethodnom odjeljku za ovaj dinamički sustav. I također na slikama, stabilan položaj točke s jednom koordinatom različitom od nule.

Slika 2.7. Fazni portret za sustav (2.5) s parametrima A-B

3 Integralne putanje sustava

Protooperacijski model s Verhulstovim ograničenjem

Kao iu prethodnom poglavlju, svaku od diferencijalnih jednadžbi rješavamo zasebno i eksplicitno izražavamo ovisnost varijabli o vremenskom parametru.

(2.8)

(2.9)

Iz dobivenih jednadžbi vidljivo je da vrijednost svake od varijabli raste, što je prikazano u trodimenzionalnom modelu u nastavku.

Slika 2.8. Trodimenzionalni model za jednadžbu (2.8)

Ova vrsta dijagrama u početku nalikuje nezasićenom 3D Malthusovom modelu o kojem se raspravljalo u 1. poglavlju jer ima sličan brzi rast, ali kasnije možete vidjeti smanjenje stope rasta kako se dosegne izlazna granica. Stoga je konačni izgled integralnih krivulja sličan prikazu logističke jednadžbe koja je korištena za ograničavanje jednog od članova.

Model protooperacije s dva ograničenja.

Svaku od jednadžbi rješavamo pomoću Wolfram Alpha alata. Time se ovisnost funkcije x(t) svodi na sljedeći oblik:

(2.10)

Za drugu funkciju situacija je slična pa izostavljamo njezino rješenje. Numeričke vrijednosti su se pojavile zbog zamjene parametara određenim odgovarajućim vrijednostima, što ne utječe na kvalitativno ponašanje integralnih krivulja. Grafikoni u nastavku prikazuju korištenje ograničenja rasta jer eksponencijalni rast s vremenom postaje logaritamski.

Slika 2.9. Trodimenzionalni model za jednadžbu (2.10)

Prošireni protooperacijski model

Gotovo slično modelima s uzajamnošću. Jedina razlika je u bržem rastu u odnosu na te modele, što se vidi iz donjih jednadžbi (ako se gleda stupanj eksponenta) i grafikona. Integralna krivulja mora imati oblik eksponenta.

(2.11)

(2.12)

Prošireni model proto-suradnje s logističkim ograničenjem

Ovisnost x(t) izgleda ovako:

Bez grafa je teško procijeniti ponašanje funkcije, pa ćemo ga pomoću već poznatih alata izgraditi.

Slika 2.10 3D model za jednadžbu

Vrijednost funkcije opada za ne-male vrijednosti druge varijable, što je zbog nepostojanja ograničenja na negativni bilinearni član, i očit je rezultat

4. Dinamika sustava interakcijskih poduzeća

Protooperacijski model s Verhulstovim ograničenjem.

Konstruirajmo sustav (2.2). Koristeći nam već poznate alate gradimo simulacijski model. Ovaj put, za razliku od uzajamnih modela, model će imati logističko ograničenje.

Slika 2.11. Model dinamike sustava za sustav (2.2)

Pokrenimo model. U ovom modelu valja istaknuti činjenicu da rast iz odnosa nije ničim ograničen, a rast outputa bez utjecaja drugoga ima specifično ograničenje. Ako pogledate izraz same logističke funkcije, možete vidjeti da u slučaju kada varijabla (broj robe) premašuje maksimalni mogući skladišni volumen, izraz postaje negativan. U slučaju kada postoji samo logistička funkcija to je nemoguće, ali uz dodatni uvijek pozitivan faktor rasta to je moguće. A sada je važno razumjeti da će se logistička funkcija nositi sa situacijom ne prebrzog rasta broja proizvoda, na primjer, linearnih. Pogledajmo slike ispod.

Slika 2.12. Primjer rada modela dinamike sustava za sustav (2.2)

Lijeva slika prikazuje 5. korak programa koji odgovara predloženom modelu. Ali u ovom trenutku vrijedi obratiti pažnju na pravu figuru.

Prvo, za jedan od dolaznih tokova za Y_stock, veza na x, izražena u terminima, je uklonjena. Ovo je učinjeno kako bi se pokazala razlika u izvedbi modela s linearnim uvijek pozitivnim protokom i bilinearnim rastom, koji je predstavljen za X_stock. Kod linearnih neograničenih tokova, nakon prekoračenja parametra K, sustav u nekom trenutku dolazi u ravnotežu (u ovom modelu ravnotežno stanje je 200 tisuća jedinica robe). Ali mnogo ranije, bilinearni rast dovodi do naglog povećanja količine dobara, prelazeći u beskonačnost. Ako ostavimo i desni i lijevi stalno pozitivne tokove bilinearnima, tada već na oko 20-30 koraka vrijednost akumulatora dolazi do razlike od dvije beskonačnosti.

Na temelju navedenog slobodno se može reći da je u slučaju daljnjeg korištenja ovakvih modela potrebno ograničiti bilo kakav pozitivan rast.

Model protooperacije s dva ograničenja.

Utvrdivši nedostatke prethodnog modela i uvodeći ograničenje na drugi član faktorom zasićenja, izgradit ćemo i pokrenuti novi model.

Slika 2.13. Model dinamike sustava i primjer njegovog rada za sustav (2.3)

Ovaj model, na kraju, donosi dugo očekivane rezultate. Pokazalo se da ograničava rast vrijednosti akumulatora. Kao što se može vidjeti na desnoj slici, za oba poduzeća, ravnoteža se postiže s blagim viškom skladišnog volumena.

Prošireni protooperacijski model.

Pri razmatranju sistemske dinamike ovog modela demonstrirat će se mogućnosti softverskog okruženja AnyLogic za živopisnu vizualizaciju modela. Svi dosadašnji modeli izgrađeni su samo koristeći elemente dinamike sustava. Stoga su sami modeli izgledali nenametljivo, nisu dopuštali praćenje dinamike promjena u količini proizvodnje tijekom vremena i mijenjanje parametara tijekom rada programa. U radu s ovim i sljedećim modelima pokušat ćemo koristiti širi raspon programskih mogućnosti kako bismo promijenili tri gornja nedostatka.

Prvo, osim odjeljka „dinamika sustava“, program također sadrži odjeljak „slike“, „3D objekti“ koji omogućuju diverzifikaciju modela, što je korisno za njegovu daljnju prezentaciju, jer daje modelu izgled “ugodnije”.

Drugo, za praćenje dinamike promjena u vrijednostima modela, postoji odjeljak "statistika" koji vam omogućuje dodavanje grafikona i raznih alata za prikupljanje podataka njihovim povezivanjem s modelom.

Treće, za promjenu parametara i drugih objekata tijekom izvođenja modela, postoji odjeljak "kontrole". Objekti u ovom odjeljku omogućuju vam promjenu parametara dok je model pokrenut (na primjer, "klizač"), odabir različitih stanja objekta (na primjer, "switch") i izvođenje drugih radnji koje mijenjaju početno navedene podatke tijekom rada .

Model je prikladan za podučavanje upoznavanja s dinamikom promjena u proizvodnji poduzeća, ali nedostatak ograničenja rasta ne dopušta njegovu primjenu u praksi.

Prošireni model proto-suradnje s logističkim ograničenjem.

Koristeći već pripremljen prethodni model, dodajemo mu parametre iz logističke jednadžbe za ograničavanje rasta.

Izostavljamo konstrukciju modela, budući da su prethodnih pet modela prikazanih u radu već demonstrirali sve potrebne alate i principe rada s njima. Samo je vrijedno napomenuti da je njegovo ponašanje slično modelu proto-kooperacije s Verhulstovim ograničenjem. Oni. nedostatak zasićenja otežava njegovu praktičnu primjenu.

Nakon analize modela u smislu proto-suradnje, definiramo nekoliko glavnih točaka:

Modeli koji se razmatraju u ovom poglavlju u praksi su prikladniji od uzajamnih, budući da imaju različite stabilne ravnotežne položaje čak i uz dva člana. Podsjećam da smo to u modelima mutualizma uspjeli postići samo dodavanjem trećeg člana.

Odgovarajući modeli moraju imati ograničenja na svaki od članova, jer u suprotnom, naglo povećanje bilinearnih faktora "uništava" cijeli simulacijski model.

Polazeći od stavka 2., pri dodavanju protooperacije s Verhulstovim ograničenjem faktora zasićenja u prošireni model, kao i pri dodavanju niže kritične količine proizvodnje, model treba postati što je moguće bliži stvarnom stanju stvari. Ali ne zaboravite da će takve manipulacije sustava komplicirati njegovu analizu.

Zaključak

Kao rezultat istraživanja napravljena je analiza šest sustava koji opisuju dinamiku proizvodnje poduzeća koja međusobno utječu jedna na druga. Kao rezultat toga, ravnotežne točke i vrste njihove stabilnosti određene su na jedan od sljedećih načina: analitički, ili zahvaljujući izgrađenim faznim portretima u slučajevima kada analitičko rješenje iz nekog razloga nije moguće. Za svaki od sustava izgrađeni su fazni dijagrami, kao i izgrađeni trodimenzionalni modeli na koje je pri projektiranju moguće dobiti integralne krivulje u ravninama (x, t), (y, t). Nakon toga, korištenjem okruženja za modeliranje AnyLogic, izgrađeni su svi modeli i razmatrane su mogućnosti njihovog ponašanja pod određenim parametrima.

Nakon analize sustava i izgradnje njihovih simulacijskih modela, postaje očito da se ovi modeli mogu smatrati samo obukom, odnosno za opisivanje makroskopskih sustava, ali ne i sustavom podrške odlučivanju za pojedinačna poduzeća, zbog njihove niske točnosti i na nekim mjestima nije baš pouzdan prikaz tekućih procesa. Ali isto tako nemojte zaboraviti da koliko god dinamički sustav koji opisuje model bio istinit, svaka tvrtka / organizacija / industrija ima svoje vlastite procese i ograničenja, tako da nije moguće kreirati i opisati opći model. U svakom konkretnom slučaju, on će biti modificiran: da postane kompliciraniji ili, naprotiv, da se pojednostavi za daljnji rad.

Izvodeći zaključak iz zaključaka za svako poglavlje, vrijedi se usredotočiti na otkrivenu činjenicu da uvođenje ograničenja na svaki od članova jednadžbe, iako komplicira sustav, ali također omogućuje otkrivanje stabilnih položaja sustava, kao i približiti ono što se događa u stvarnosti. I vrijedno je napomenuti da su modeli proto-kooperacije prikladniji za proučavanje, budući da imaju različite stabilne pozicije, za razliku od dva uzajamna modela koja smo razmatrali.

Time je svrha ovog rada postignuta, a zadaci izvršeni. U budućnosti, kao nastavak ovog rada, razmatrat će se prošireni model interakcije tipa protooperacije s tri ograničenja koja su mu uvedena: logistika, faktor zasićenja, niži kritični broj, što bi trebalo omogućiti stvaranje preciznijeg model sustava za podršku odlučivanju, kao i model s tri poduzeća. Kao produžetak rada možemo razmotriti još dvije vrste interakcije osim simbioze, koje su spomenute u radu.

Književnost

1. Bhatia Nam Parshad; Szegh Giorgio P. (2002). Teorija stabilnosti dinamičkih sustava. Springer.

2. Blanchard P.; Devaney, R.L.; Hall, G. R. (2006). Diferencijalne jednadžbe. London: Thompson. str. 96-111 (prikaz, ostalo).

Boeing, G. (2016). Vizualna analiza nelinearnih dinamičkih sustava: kaos, fraktali, samosličnost i granice predviđanja. sustava. 4(4):37.

4. Campbell, David K. (2004). Nelinearna fizika: svježi dah. Priroda. 432 (7016): 455-456.

Elton C.S. (1968) pretisak. životinjska ekologija. Velika Britanija: William Clowes and Sons Ltd.

7. Forrester Jay W. (1961). Industrijska dinamika. MIT Press.

8. Gandolfo, Giancarlo (1996). Ekonomska dinamika (treće izdanje). Berlin: Springer. str. 407-428 (prikaz, ostalo).

9. Gershenfeld Neil A. (1999). Priroda matematičkog modeliranja. Cambridge, UK: Cambridge University Press.

10 Goodman M. (1989). Study Notes in System Dynamics. Pegaz.

Grebogi C, Ott E i Yorke J. (1987). Kaos, čudni atraktori i granice fraktalnog bazena u nelinearnoj dinamici. Science 238 (4827), str. 632-638.

12 Hairer Ernst; Nørsett Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Rješavanje običnih diferencijalnih jednadžbi I: Nekruti problemi, Berlin, New York

Hanski I. (1999) Metapopulacijska ekologija. Oxford University Press, Oxford, str. 43-46 (prikaz, ostalo).

Hughes-Hallett Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). Račun: jedna i više varijabli (6 izdanje). John Wiley.

15. Llibre J., Valls C. (2007). Globalni analitički prvi integrali za realni planarni Lotka-Volterra sustav, J. Math. Phys.

16. Jordan D.W.; Smith P. (2007). Nelinearne obične diferencijalne jednadžbe: Uvod za znanstvenike i inženjere (4. izdanje). Oxford University Press.

Khalil Hassan K. (2001). nelinearni sustavi. Prentice Hall.

Sveučilište Lamar, Online matematičke bilješke - fazna ravnina, P. Dawkins.

Sveučilište Lamar, Online matematičke bilješke - Sustavi diferencijalnih jednadžbi, P. Dawkins.

Lang Serge (1972). Diferencijalni razdjelnici. Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.

Pravo Averill M. (2006). Simulacijsko modeliranje i analiza pomoću softvera Expertfit. McGraw-Hill znanost.

Lazard D. (2009). Trideset godina rješavanja polinomskih sustava, a sada? Journal of Symbolic Computation. 44(3):222-231.

24 Lewis Mark D. (2000). Obećanje pristupa dinamičkih sustava za integrirani prikaz ljudskog razvoja. razvoj djeteta. 71 (1): 36-43.

25. Malthus T.R. (1798). Esej o principu populacije, u pretisku Oxford World's Classics, str. 61, kraj VII. poglavlja

26. Morecroft John (2007). Strateško modeliranje i poslovna dinamika: pristup sustavima povratnih informacija. John Wiley & sinovi.

27. Nolte D.D. (2015.), Uvod u modernu dinamiku: kaos, mreže, prostor i vrijeme, Oxford University Press.

Automatika i telemehanika, L-1, 2007

RAN B 02.70.-c, 47.ll.-j

© 2007 Yu.S. POPKOV, dr. tehn. Sci. (Institut za analizu sustava RAS, Moskva)

KVALITATIVNA ANALIZA DINAMIČKIH SUSTAVA S Vd-ENTROPIJSKIM OPERATOROM

Predložena je metoda za proučavanje postojanja, jedinstvenosti i lokalizacije singularnih točaka razmatrane klase DSEE. Stječu se uvjeti za stabilnost "u malom" i "u velikom". Dati su primjeri primjene dobivenih uvjeta.

1. Uvod

Mnogi problemi matematičkog modeliranja dinamičkih procesa mogu se riješiti na temelju koncepta dinamičkih sustava s entropijskim operatorom (DEOS). DSEE je dinamički sustav u kojem je nelinearnost opisana parametarskim problemom maksimizacije entropije. Feiomoiološki gledano, DSEO je model makrosustava sa „sporom“ samoreprodukcijom i „brzom“ alokacijom resursa. Neka svojstva DSEO proučavana su u. Ovaj rad nastavlja ciklus istraživanja kvalitativnih svojstava DSEO-a.

Razmatramo dinamički sustav s Vd-entropijskim operatorom:

^ = £(x, y(x)), x e En:

y(x) = a^max(Hv(y) | Ty = u(x), y e E^) > 0.

U ovim izrazima:

C(x, y), u(x) su kontinuirano diferencijabilne vektorske funkcije;

Entropija

(1.2) Hv (y) = uz 1n as > 0, s = T~m;

T - (r x w)-matrica s elementima ^ 0 ima ukupni rang jednak r;

Pretpostavlja se da je vektorska funkcija u(x) kontinuirano diferencijabilna, skup

(1.3) Q = (q: 0<оТ ^ ц ^ а+} С Е+,

gdje su a- i a + vektori iz E+, gdje je a- vektor s malim komponentama.

Korištenje dobro poznate reprezentacije entropijskog operatora u terminima Lagrangeovih množitelja. transformiramo sustav (1.1) u sljedeći oblik:

- = £(x, y(z)), x e Kn, y(z) e K?, r e Er+

Uz (r) \u003d az\\ ^, 3 \u003d 1, m-

O(x, z) = Ty(z) = q(x),

gdje su rk = exp(-Ak) > 0 eksponencijalni Lagrangeovi množitelji.

Uz DSEE općeg oblika (1.1), razmotrit ćemo, slijedeći klasifikaciju danu u .

DSEE s odvojenim protokom:

(1-5) ^ = I (x) + Vy (z),

gdje je B (n x m)-matrica;

DSEO s multiplikativnim protokom:

(1.6) ^ = x ® (a - x ® Xu(r)), ab

gdje je W (n x m)-matrica s nenegativnim elementima, a je vektor s pozitivnim komponentama, ® je znak koordinatnog množenja.

Cilj ovog rada je proučavanje postojanja, jedinstvenosti i lokalizacije singularnih točaka DSEE i njihove stabilnosti.

2. Singularne točke

2.1. Postojanje

Razmotrimo sustav (1.4). Singularne točke ovog dinamičkog sustava određene su sljedećim jednadžbama:

(2.1) C^(x, y(z))=0, r = TP;

(2.2) uz(r) = a^ r^, 3 = T^:

(2.3) bk(r) = ^as r^ = dk(x), k = 1,r.

Razmotrimo prvo pomoćni sustav jednadžbi:

(2.4) C(q, z) = r, q e R,

gdje je skup R definiran jednakošću (1.3), a C(q, r) vektorska funkcija s komponentama

(2.5) Sk(d, r) = - Ok(r), a-< дк < а+, к =1,г.

Jednadžba (2.4) ima jedinstveno rješenje r* za svaki fiksni vektor q, što slijedi iz svojstava Vg-entropijskog operatora (vidi ).

Iz definicije komponenti vektorske funkcije S(g, z) proizlazi očita procjena:

(2.6) C(a+, r)< С(д, г) < С(а-,г), г в Е+. Рассмотрим два уравнения:

Označimo rješenje prve jednadžbe s r+, a druge - s r-. Idemo definirati

(2.7) C (a+,z) = z, C(a

(2.8) zmaX = max z+, zmin = mm zk

i r-dimenzionalni vektori

(2.9) z(zmax, zmax), z(zmin , zmin).

Lema 2.1. Za sve q G Q (1 . 3) rješenja z*(q) jednadžbe (2.4) pripadaju vektoru 1 segmentu

zmin< z*(q) < zmax,

gdje su vektori zmin i zmax definirani izrazima (2.7)-(2.9).

Dokaz teorema dan je u Dodatku. Qq

qk(x) (1.3) za x G Rn, tada imamo

Korolar 2.1. Neka su zadovoljeni uvjeti leme 2.1 i funkcije qk(x) zadovoljavaju uvjete (1.3) za sve ex x G Rn. Tada za sve x G Rm rješenja z* jednadžbe (2.3) pripadaju segmentu vektora

zmin< z* < zmax

Vratimo se sada jednadžbama (2.2). koji određuju komponente vektorske funkcije y(z). Elementi njegovog jakobijana imaju oblik

(2.10) jb aj zk JJ & > 0

za sve z G R+ osim za 0 i g. Stoga je vektorska funkcija y(z) strogo monotono rastuća. Prema lemi 2.1, on je ograničen odozdo i odozgo, tj. za sve z G Rr (dakle za sve x G Rn) njegove vrijednosti pripadaju skupu

(2.11) Y = (y: y-< y < y+},

gdje su komponente vektora yk, y+ određene izrazima:

(2.12) yk = aj y+ = aj znlax, j = h™.

(2.13) bj = Y, tsj, 3 =1,

Razmotrite prvu jednadžbu u (2.1) i prepišite je kao:

(2.14) L(x, y) = 0 za sve y e Y ⊂ E^.

Ova jednadžba određuje ovisnost varijable x o varijabli y koja pripada Y

we (1.4) svodi na postojanje implicitne funkcije x(y) definirane jednadžbom (2.14).

Lema 2.2. Neka su zadovoljeni sljedeći uvjeti:

a) vektorska funkcija L(x, y) je kontinuirana u skupu varijabli;

b) lim L(x, y) = ±<ж для любого фиксированного у е Y;

c) det J (x, y) = 0 za sve ex x e En za bilo koji fiksni y e Y.

Tada postoji jedinstvena implicitna funkcija x*(y) definirana na Y. U ovoj lemi, J(x, y) je jakobijan s elementima

(2.15) Ji,i (x,y) = --i, i,l = l,n.

Dokaz je dat u Dodatku. Iz gornjih lema slijedi

Teorem 2.1. Neka su zadovoljeni uvjeti lema 2.1 i 2.2. Tada postoji jedinstvena singularna točka DSEE (1.4) i, prema tome, (1.1).

2.2. Lokalizacija

Proučavanje lokalizacije singularne točke shvaća se kao mogućnost utvrđivanja intervala u kojem se ona nalazi. Ovaj zadatak nije vrlo jednostavan, ali za neke klase DSEE takav interval se može uspostaviti.

Pogledajmo prvu skupinu jednadžbi u (2.1) i predstavimo ih u obliku

(2.16) L(x,y)=0, y- y y y+,

gdje su y- i y+ definirani jednakostima (2.12), (2.13).

Teorem 2.2. Neka je vektorska funkcija L(x,y) kontinuirano diferencijabilna i monotono rastuća u obje varijable, tj.

--> 0, --> 0; i,l = 1,n; j = 1,m. dxi dyj

Tada rješenje sustava (2.16) s obzirom na varijablu x pripada intervalu (2.17) xmin x x x xmax,

a) vektori xmin, xmax imaju oblik

Min \u003d i x 1 xmax \u003d r x t;

\xmin: . .., xminlxmax, . . ., xmax) :

xmin - ^Qin ^ ■ , xmax - ^QaX ^ ;

6) x- i x+ - komponente rješenja sljedećih jednadžbi

(2.19) L(x,y-)=0, L(x,y+) = 0

s oo m naravno.

Dokaz teorema dan je u Dodatku.

3. Održivost DSEA "u malom"

3.1. DSEE sa separabilnim protokom Pogledajmo jednadžbe DSEE sa separabilnim protokom, predstavljajući ih u obliku:

- \u003d / (x) + Bu (r (x)), x e Kp ab

Y- (r (X)) \u003d azP (X) Y33, 3 \u003d 1, "~ 8 \u003d 1

0(x, r(x)) = Ty(r(x)) = q(x), r e Hr.

Ovdje vrijednosti komponenti vektorske funkcije q(x) pripadaju skupu Q (1.3), (n × w)-matrica B ima ukupni rang jednak n (n< ш). Вектор-функция / (х) непрерывно дифференцируемая.

Neka razmatrani sustav ima singularnu točku x. Za proučavanje stabilnosti ove singularne točke "u malom" konstruiramo linearizirani sustav

gdje je A (n x n)-matrica, čiji su elementi izračunati u točki x, a vektor t = x - x. Prema prvoj jednadžbi u (3.1) matrica lineariziranog sustava ima

A \u003d 7 (x) + BUg (g) Xx (x), x \u003d g (x),

| 3 \u003d 1, w, k \u003d 1,

I k \u003d 1, g, I \u003d 1, str

Iz (3.1) određuju se elementi matrice Yr: dy.

"bkz P" 8=1

3, r8 x8, 5 1, r.

Da bismo odredili elemente matrice Zx, prelazimo na posljednju skupinu jednadžbi u (3.1). B pokazuje da ove jednadžbe definiraju implicitnu vektorsku funkciju r(x), koja je kontinuirano diferencijabilna ako je vektorska funkcija g(x) kontinuirano diferencijabilna. Jacobian Zx vektorske funkcije z(x) definiran je jednadžbom

<Эг (z)Zx(Х) = Qx(Х),

vg (X) \u003d T Ug (X),

ddk, -t-, - "- k \u003d 1, r, I \u003d 1, n dx \

Iz ove jednadžbe imamo (3.9) Zx(x) = s-1(z)Qx(x).

Zamjenom ovog rezultata u jednakost (3.3). dobivamo:

A \u003d 1 (x) + P (x), P (x) \u003d VUg (g) [Tg (g)] -1 Qx (x).

Tako jednadžba lineariziranog sustava poprima oblik

(c.i) | = (j+p)e

Ovdje su elementi matrica J, P izračunati u singularnoj točki. Dovoljni uvjeti stabilnosti "u malom" DSEE (3.1) određeni su sljedećim

Teorem 3.1. DSEE (3.1) ima singularnu točku x koja je stabilna "u malom" ako su zadovoljeni sljedeći uvjeti:

a) matrice J, P (3.10) lineariziranog sustava (3.11) imaju stvarne i različite svojstvene vrijednosti, a matrica J ima maksimalnu svojstvenu vrijednost

Pmax = max Pg > 0,

Wmax = maxUi< 0;

Umax + Ptah<

Iz ovog teoreme i jednakosti (3.10) slijedi da za singularne točke za koje je Qx(x) = 0 i (ili) za X, = 0 i tkj ^ 1 za sve ex k,j, dovoljni uvjeti teoreme nisu zadovoljan.

3.2. DSEE s multiplikativnim protokom Razmotrimo jednadžbe (1.6). predstavljajući ih u obliku:

X ® (a - x ® Wy(z(x))), x e Rn;

yj(z(x)) = aj PZs(x)]isi" j = 1,m;

(ZL2) yj (z(x)) = a^<~"ts

Q(x, z(x)) = Ty(z(x)) = q(x), z e R++.

sustava. Imat će:

(3.13)

U ovom izrazu, diag C] je dijagonalna matrica s pozitivnim elementima a1,..., an, Yr, Zx su matrice definirane jednakostima (3.4)-(3.7).

Matricu A predstavimo u obliku

(3.14) A = diag + P (x),

(3.15) P(x) = -2xWYz(z)Zx(x).

Označimo: maxi ai = nmax i wmax je maksimalna svojstvena vrijednost matrice P(x) (3.15). Tada teorem 3.1 vrijedi i za DSEE (1.6). (3.12).

4. Održivost DSEA "u velikom"

Okrenimo se DESO jednadžbama (1.4), u kojima vrijednosti komponenti vektorske funkcije q(x) pripadaju skupu Q (1.3). U sustavu koji razmatramo postoji singularna točka Z, kojoj su vektori z(x) = z ^ z-> 0 i

y(x) = y(z) = y > y- > 0.

Uvedimo vektore odstupanja £, C, P od singularne točke: (4.1) £ = x - x, (= y - y, n = z - z.

ZHEZHERUN A.A., POKROVSKY A.V. - 2009. (prikaz).

1

Cilj studija je razviti superračunalno orijentiranu logičku metodu (Boolean constraint method) i servisno orijentiranu tehnologiju za kreiranje i korištenje računalnog sustava za kvalitativno istraživanje dinamike ponašanja trajektorija autonomnih binarnih dinamičkih sustava tijekom konačni vremenski interval. Aktualnost teme potvrđuje sve veći raspon primjene binarnih modela u znanstvenim i primijenjenim istraživanjima, kao i potreba za kvalitativnom analizom takvih modela s velikom dimenzijom vektora stanja. Prikazan je matematički model autonomnog binarnog sustava na konačnom vremenskom intervalu i Booleova jednadžba koja je ekvivalentna ovom sustavu. Predlaže se da se specifikacija dinamičkog svojstva napiše jezikom logike predikata korištenjem ograničenih egzistencijalnih i univerzalnih kvantifikatora. Dobivene su Booleove jednadžbe za traženje ravnotežnih stanja i ciklusa binarnog sustava te uvjeti za njihovu izolaciju. Specificirana su glavna svojstva tipa dohvatljivosti (dohvatljivost, sigurnost, istodobna dohvatljivost, dohvatljivost pod faznim ograničenjima, privlačnost, povezanost, ukupna dohvatljivost). Za svako svojstvo, njegov model je izgrađen u obliku Booleovog ograničenja (Booleove jednadžbe ili kvantificirane Booleove formule) koji zadovoljava logičku specifikaciju svojstva i jednadžbe dinamike sustava. Stoga se provjera izvedivosti različitih svojstava ponašanja trajektorija autonomnih binarnih dinamičkih sustava u konačnom vremenskom intervalu svodi na problem izvedivosti Booleovih ograničenja korištenjem modernih SAT i TQBF solvera. Dan je demonstracijski primjer korištenja ove tehnologije za testiranje izvedivosti nekih od prethodno zadanih svojstava. U zaključku su navedene glavne prednosti Booleove metode ograničenja, značajke njezine programske implementacije u okviru servisno orijentiranog pristupa te su naznačeni pravci daljnjeg razvoja metode za druge klase binarnih dinamičkih sustava.

binarni dinamički sustav

dinamičko svojstvo

kvalitativna analiza

Booleova ograničenja

Boolean problem zadovoljavanja

1. Biere A., Ganesh V., Grohe M., Nordstrom J., Williams R. Teorija i praksa SAT rješavanja. Izvješća Dagstuhla. 2015.sv. 5. br. 4. R. 98–122.

2. Marin P., Pulina L., Giunchiglia E., Narizzano M., Tacchella A. Dvanaest godina QBF evaluacija: QSAT je težak za PSPACE i to se vidi. fundam. obavijestiti. 2016.sv. 149. R. 133–58.

3. Bohman D., Posthof H. Binarni dinamički sustavi. M.: Energoatomizdat, 1986. 400 str.

4. Maslov S.Yu. Teorija deduktivnih sustava i njezina primjena. Moskva: Radio i komunikacija, 1986. 133 str.

5. Jhala R., Majumdar R. Provjera softverskog modela. ACM Computing Surveys. 2009.vol. 41 br. 4 R. 21:1–21:54.

6. Vasiljev S.N. Metoda redukcije i kvalitativna analiza dinamičkih sustava. I–II // Izvestiya RAN. Teorija i sustavi upravljanja. 2006. br. 1. S. 21–29. broj 2, str. 5–17.

7. DIMACS format [Elektronički izvor]. Način pristupa: http://www.cs.utexas.edu/users/moore/acl2/manuals/current/manual/index-seo.php/SATLINK____DIMACS (pristup 24.07.2018.).

8. QDIMACS standard [Elektronički izvor]. Način pristupa: http://qbflib.org/qdimacs.html (pristup 24.07.2018.).

9. Delgado-Eckert E., Reger J., Schmidt K. Diskretni vremenski sustavi s dinamikom temeljenom na događajima: najnoviji razvoj u metodama analize i sinteze. Mario Alberto Jordan (prir.). Diskretni vremenski sustavi. intech. 2011. R. 447–476.

10. Vasiljev S.N. Dohvatljivost i povezanost u automatskoj mreži s općim pravilom prebacivanja // Diferencijalne jednadžbe. 2002. V. 38. broj 11. S. 1533–1539.

11. Bychkov I.V., Oparin G.A., Bogdanova V.G., Gorsky S.A., Pashinin A.A. Višeagentna tehnologija za automatizaciju paralelnog rješavanja Booleovih jednadžbi u distribuiranom računalnom okruženju // Računalne tehnologije. 2016. V. 21. br. 3. S. 5–17.

12. Lonsing F., Biere A. DepQBF. QBF rješavač s obzirom na ovisnosti. Journal on Satisfiability. Booleovo modeliranje i računarstvo. 2010. sv. 9. R. 71–76.

13. Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pashinin A.A., Gorsky S.A. Distribuirani rješavatelji primijenjenih problema temeljeni na mikroservisima i agentskim mrežama. Proc. Od 41. intern. Konvencija o informacijskoj i komunikacijskoj tehnologiji, elektronici i mikroelektronici (MIPRO-2018). R. 1643–1648.

14. Bogdanova V.G., Gorsky S.A. Skalabilni paralelni rješavač Booleovih problema zadovoljavanja. Proc. Od 41. intern. Konvencija o informacijskoj i komunikacijskoj tehnologiji. Elektronika i mikroelektronika (MIPRO-2018). R. 244–249.

15. Bychkov I.V., Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pashinin A.A. Tehnologija primijenjenog rješavanja problema temeljena na modelu distribuirane računalne predmetne domene: decentralizirani pristup // Parallel Computing Technologies XII međunarodna konferencija, PaVT’2018, Rostov na Donu, 2. – 6. travnja 2018. Kratki članci i opisi postera. Čeljabinsk: Izdavački centar SUSU, 2018. Str. 34–48.

Spektar primjene binarnih dinamičkih modela iznimno je širok, a svake godine samo se povećava broj objekata i zadataka gdje je njihova primjena potrebna. Klasičan primjer je binarni sinkroni automat, koji je model mnogih diskretnih uređaja u sustavima upravljanja, računalne tehnologije, telemehanike. Suvremene primjene binarnih dinamičkih modela uključuju probleme bioinformatike, ekonomije, sociologije i niza drugih područja koja se čine daleko od upotrebe dvovrijednih varijabli. U tom smislu značajno raste relevantnost razvoja novih i poboljšanja postojećih metoda za kvalitativnu analizu ponašanja trajektorija binarnih dinamičkih sustava (DDS).

Kao što je poznato, cilj kvalitativne analize dinamičkog sustava (ne samo binarnog) je dobiti pozitivan ili negativan odgovor na pitanje: Vrijedi li traženo dinamičko svojstvo u danom sustavu? Preformulirajmo ovo pitanje na sljedeći način: Zadovoljava li ponašanje putanja dinamičkog sustava određeni skup ograničenja koja karakteriziraju to svojstvo? Nadalje, koristit ćemo se ovom interpretacijom cilja kvalitativne analize dinamičkih svojstava sustava.

Za DDS, čiji se rad razmatra u konačnom vremenskom intervalu, takva su ograničenja Booleova i napisana su jezikom Booleovih jednadžbi ili Booleovih formula s kvantifikatorima. Prva vrsta ograničenja dovodi do potrebe rješavanja SAT problema (boolean satisfiability problem); druga vrsta ograničenja povezana je s rješenjem TQBF problema (provjera istinitosti kvantificiranih Booleovih formula). Prvi problem tipičan je predstavnik klase složenosti NP, a drugi problem klase složenosti PSPACE. Kao što je poznato, PSPACE-potpunost diskretnog problema daje jači dokaz njegove nerješivosti nego NP-potpunost. Zbog toga je redukcija problema kvalitativne analize DDS-a na SAT problem poželjnija od redukcije na TQBF problem. U općem slučaju, proučavanje svakog svojstva DDS-a ne može se prikazati jezikom Booleovih jednadžbi.

Teorijska mogućnost korištenja Booleovih ograničenja (odnosno Booleovih jednadžbi) u kvalitativnoj analizi DDS-a prvi je put prikazana u . Međutim, treba napomenuti da je primjena ovog pristupa u tadašnjoj praksi bila ograničena nedostatkom učinkovitih algoritama i programa za rješavanje Booleovih jednadžbi (osobito s velikim brojem nepoznatih varijabli), što bi značajno smanjilo prostor pretraživanja. U posljednjem desetljeću, kao rezultat intenzivnih istraživanja u ovom području, pojavio se dovoljan broj različitih učinkovitih rješavatelja Booleovih jednadžbi (SAT solvers) koji koriste suvremena dostignuća (nove heuristike, brze podatkovne strukture, paralelno računanje itd.) u rješavanju Booleov problem zadovoljavanja. Slični procesi (ali s određenim zakašnjenjem) uočavaju se iu području stvaranja sve učinkovitijih algoritama i programa za rješavanje problema TQBF. Dakle, do danas postoje svi potrebni preduvjeti za sustavni razvoj metode Booleovih ograničenja u kvalitativnoj analizi DDS-a, njezinu programsku implementaciju i primjenu u rješavanju znanstvenih i primijenjenih problema.

Uz Booleovu metodu ograničenja, druge metode kvalitativne analize također su primjenjive na DDS, što uključuje deduktivnu analizu, provjeru modela i metodu redukcije. Svaka od ovih metoda (uključujući metodu Booleovog ograničenja) ima svoja ograničenja, prednosti i nedostatke. Zajednički nedostatak je to što su sve metode popisivačke prirode i problem smanjenja brojanja temeljan je za te metode.

Važnost deduktivne analize, koja uključuje primjenu aksioma i pravila zaključivanja za dokazivanje ispravnog funkcioniranja sustava, prepoznata je od strane velikog broja stručnjaka, ali to je naporna i stoga rijetko korištena metoda. U metodi provjere modela, traženi jezik specifikacije svojstava koristi se jezikom temporalne logike, što je neuobičajeno za stručnjake u dinamici automata. Metoda redukcije povezana je s izgradnjom pojednostavljenog (u određenom smislu) modela izvornog sustava, proučavanjem njegovih svojstava i uvjeta za prijenos tih svojstava na izvorni složeni sustav. Uvjeti za prenosivost imovine dovoljni su samo u ovom slučaju. Jednostavnost ideje redukcijske metode u kvalitativnoj analizi DDS-a suočava se s problemom izbora pojednostavljenog sustava koji zadovoljava sve uvjete metode.

Praktična uporaba Booleove metode ograničenja uključuje algoritmizaciju i automatizaciju sljedećih procesa:

1) razvoj logičkog jezika za specifikaciju dinamičkih svojstava usmjerenih na stručnjaka za dinamiku sustava;

2) izgradnja modela dinamičkog svojstva u obliku Booleovog ograničenja jednog ili drugog tipa koji zadovoljava logičku specifikaciju svojstva i jednadžbe dinamike binarnog sustava;

3) prikaz dobivenog modela u međunarodnom formatu DIMACS ili QDIMACS;

4) izbor (razvoj) učinkovitog paralelnog (distribuiranog) rješavača problema zadovoljivosti Booleovih ograničenja (SAT ili TQBF rješavač);

5) razvoj alata za izradu programskih usluga;

6) razvoj usluga za kvalitativno istraživanje različitih dinamičkih svojstava DDS-a.

cilj ove studije je rješenje samo prva dva problema u vezi s algoritmizacijom kvalitativnih studija autonomnog (bez upravljačkih ulaza) sinkronog DDS-a. Takvi se sustavi u publikacijama na engleskom jeziku nazivaju sinkrone Booleove mreže (Boolean network). Ostali aspekti primjene Booleove metode ograničenja (uključujući DDS s kontrolnim ulazima) predmet su sljedećih publikacija.

Matematički model autonomnog DDS-a

Neka je X = Bn (B = (0, 1) skup binarnih vektora dimenzije n (DDS prostor stanja). Neka t∈T = (1,…,k) označava diskretno vrijeme (broj ciklusa).

Za svako stanje x0∈X, koje se naziva početno stanje, definiramo trajektoriju x(t, x0) kao konačni niz stanja x0, x1,…, xk iz skupa X. Nadalje, razmotrit ćemo DDS u kojem svaki par susjednih stanja xt, x(t - 1) (t∈T) putanje povezane su relacijom

xt = F(xt - 1). (jedan)

Ovdje je F:X>X vektorska funkcija logičke algebre, koja se naziva tranzicijska funkcija. Dakle, za bilo koji x0∈X sustav Booleovih jednadžbi (1) predstavlja model dinamike ponašanja DDS trajektorija u prostoru stanja X na konačnom vremenskom intervalu T = (1, 2,…,k). Ovdje i dolje, pretpostavlja se da je vrijednost k u definiciji skupa T unaprijed određena konstanta. Ovo je ograničenje sasvim prirodno. Stvar je u tome da je u kvalitativnoj analizi ponašanja DDS trajektorija od praktičnog interesa pitanje što se može reći o izvedivosti nekog dinamičkog svojstva za fiksno, ne preveliko k. Odabir vrijednosti k u svakom konkretnom slučaju temelji se na apriornim informacijama o trajanju procesa u simuliranom diskretnom sustavu.

Poznato je da je sustav Booleovih jednadžbi (1) s početnim stanjem x0∈X za T = (1, 2,…,k) ekvivalentan jednoj Booleovoj jednadžbi oblika

Za k = 1 (razmatraju se samo prijelazi u jednom koraku), jednadžba (2) ima oblik

(3)

Rješenja ove jednadžbe definiraju usmjereni graf koji se sastoji od 2n vrhova označenih jednim od 2n stanja skupa X. Vrhovi x0 i x1 grafa povezani su lukom usmjerenim od stanja x0 do stanja x1. Takav se graf u teoriji binarnih automata naziva prijelazni dijagram. Prikaz ponašanja DDS-a u obliku prijelaznog dijagrama vrlo je jasan kako pri konstruiranju trajektorija tako i pri proučavanju njihovih svojstava, ali je praktično ostvariv samo za male dimenzije n vektora stanja x∈X.

Jezična sredstva za specificiranje dinamičkih svojstava

Najprikladnije je specificirati specifikaciju dinamičkog svojstva u jeziku formalne logike. Prateći rad, s X0∈X, X1∈X, X*∈X označavamo skupove početnih, dopustivih i ciljnih stanja.

Glavni sintaktički elementi logičke formule dinamičkog svojstva su: 1) predmetne varijable (komponente vektora x0, x1,…, xk, vrijeme t); 2) ograničeni kvantifikatori postojanja i univerzalnosti; 3) logički veznici v, &; završne formule. Konačna formula predstavlja tvrdnju da neka stanja skupa trajektorija x(t, x0) (x0∈X0) pripadaju evaluacijskim skupovima X* i X1.

Treba napomenuti da uporaba ograničenih egzistencijalnih i univerzalnih kvantifikatora pruža način pisanja dinamičkog svojstva koji je poznat stručnjaku za dinamiku. U procesu konstruiranja Booleovog modela, svojstva za sustav (1) zamjenjuju se ograničenim kvantifikatorima običnim prema sljedećim definicijama:

gdje je A(y) predikat koji ograničava vrijednost varijable y.

Zbog konačnosti raspona varijable t, ograničeni kvantifikatori postojanja i univerzalnosti u odnosu na tu varijablu zamijenjeni su ekvivalentnim formulama koje ne sadrže kvantifikatore

U nastavku ćemo pretpostaviti da su elementi skupova X0, X1, X* određeni redom nulama sljedećih Booleovih jednadžbi

ili karakteristične funkcije tih skupova , .

Uzimajući u obzir ograničenje početnih stanja G0(x) = 0, zajedno s jednadžbama (2, 3), koristit ćemo sljedeće Booleove jednadžbe da skratimo zapis:

(4)

Preliminarna kvalitativna analiza autonomnog DDS-a

U fazi preliminarne analize može se identificirati grananje stanja (skup njegovih neposrednih prethodnika), prisutnost ravnotežnih stanja i zatvorenih putanja (ciklusa) (ako je potrebno).

Stanje x1 u (3) nazvat ćemo nasljednikom stanja x0, a x0 prethodnikom stanja x1. U autonomnom DDS-u, svako stanje ima samo jednog nasljednika, a broj prethodnika danog stanja može varirati od nula do 2n - 1. Svi neposredni prethodnici x0 stanja s∈X su nule Booleove jednadžbe

Ako jednadžba (6) nema rješenja, tada nema ni prethodnika stanja s.

Stanja ravnoteže (ako postoje) su rješenja Booleove jednadžbe

Putanja x0, x1,…, xk naziva se ciklusom duljine k ako su stanja x0, x1,…, xk-1 po parovima različita jedno od drugog i xk = x0. Ciklički niz duljine k (ako postoji) rješenje je Booleove jednadžbe

gdje je = 0 ( ) - uvjeti parne razlike za skup stanja C ciklusa duljine k. Ako niti jedno od stanja ciklusa nema prethodnike koji ne pripadaju skupu C, tada se takav ciklus naziva izoliranim. Neka su elementi s skupa C određeni rješenjem Booleove jednadžbe Gc(s) = 0. Tada je lako pokazati da je uvjet izolacije ciklusa ekvivalentan odsutnosti nula u sljedećoj Booleovoj jednadžbi:

Rješenja jednadžbe (7) (ako postoje) određuju stanja ciklusa koja imaju prethodnike koji ne pripadaju skupu C.

Kako je ravnotežno stanje ciklus duljine k = 1, njegov uvjet izolacije sličan je uvjetu izolacije s k ≥ 2, s tom razlikom što Gc(s) ima oblik potpune disjunkcije koja određuje ovo ravnotežno stanje.

U nastavku ćemo neizolirana ravnotežna stanja i cikluse nazivati ​​atraktorima.

Specifikacija dinamičkih svojstava tipa dosegljivosti

Glavno svojstvo DDS-a, čija se potreba za provjerom najčešće javlja u praksi, jest svojstvo dohvatljivosti koje se tradicionalno proučava u teoriji grafova (u našem slučaju takav je graf prijelazni dijagram) i njegove različite varijacije. Dostižnost se definira kao klasični problem analize ponašanja DDS trajektorija.

Definicija ovog svojstva povezana je s dodjeljivanjem prethodno uvedenih skupova X0, X*, X1 (koji odgovaraju ovim skupovima Booleovih jednadžbi). Pretpostavlja se da skupovi X0, X*, X1 zadovoljavaju ograničenje

Budući da je skup T konačan, svojstvo dohvatljivosti i njegove varijacije dalje ćemo razumjeti kao svojstvo praktične dohvatljivosti (dostižnost u konačnom broju ciklusa). Razmatraju se sljedeća svojstva tipa dostupnosti:

1. Glavno svojstvo dostupnosti skupa X* iz skupa X0 formulira se na sljedeći način: bilo koja putanja pokrenuta iz skupa početnih stanja X0 doseže ciljni skup X*. Koristeći ograničene egzistencijalne i univerzalne kvantifikatore, formula za ovo svojstvo je:

2. Svojstvo sigurnosti osigurava da je za bilo koju putanju lansiranu iz X0 skup X* nedostižan:

3. Svojstvo simultane dohvatljivosti. U nekim slučajevima može se postaviti "stroži zahtjev", koji se sastoji u tome da svaka trajektorija dostigne postavljeni cilj za točno k ciklusa (k∈T):

4. Svojstvo dohvatljivosti pod faznim ograničenjima:

Ovo svojstvo jamči da sve putanje emitirane iz skupa X0, sve dok ne pogode ciljni skup X*, budu u skupu X1.

5. Svojstvo privlačnosti. Neka je X* atraktor. Tada se logična formula svojstva privlačnosti podudara s formulom svojstva glavne dosegljivosti:

oni. za svaku putanju oslobođenu iz skupa X0 postoji vrijeme t∈T, počevši od kojeg trajektorija ne izlazi izvan skupa X*. Skup X0 u ovom slučaju pripada dijelu područja privlačenja skupa X*(X0∈Xa, gdje je Xa puno područje privlačenja (bazen) atraktora).

Imajte na umu da su sve varijable u gornjim formulama svojstava zapravo povezane, budući da je putanja x0, x1,…, xk u potpunosti određena početnim stanjem. Budući da su kvantifikatori u odnosu na varijablu t zamijenjeni operacijama višemjesne disjunkcije ili konjunkcije odgovarajućih predikata, u svakoj od formula ostaje jedan ograničeni univerzalni kvantifikator (), koji nam omogućuje da napišemo uvjete izvedivosti ovih svojstva u jeziku Booleovih jednadžbi (u obliku SAT problema).

Prikazana su dva svojstva čija provjera dovodi do nužnosti rješavanja problema TQBF.

6. Svojstvo povezivosti ciljnog skupa:

oni. postoji početno stanje x0∈X0 tako da je svako ciljno stanje x*⊆X* dostupno u nekom trenutku t∈T, što znači da postoji putanja koja odgovara ovom stanju, tako da sva ciljna stanja x*∈X* pripadaju na ovu putanju.

7. Svojstvo totalne dosegljivosti skupa X* iz X0:

oni. svako ciljno stanje je dostupno iz X0.

Provjera izvedivosti dinamičkih svojstava

Za svojstva (1-5) provjera njihove izvedivosti svodi se na traženje nula Booleove jednadžbe, čija je tehnologija oblikovanja standardizirane prirode i detaljno se razmatra samo za glavno svojstvo izvedivosti. Svojstva (6, 7) dovode do problema provjere istinitosti kvantificirane Booleove formule.

1. Glavno svojstvo dohvatljivosti. Njegova logična formula je

Uzimajući u obzir (4), formulu (8) pišemo kao

gdje je karakteristična funkcija skupa stanja trajektorije oslobođene iz početnog stanja x0∈X0. Oslobodimo se egzistencijalnog kvantifikatora u (9). Onda ćemo imati

gdje je karakteristična funkcija skupa X*. Ograničene univerzalne kvantifikatore zamjenjujemo običnim kvantifikatorima. Kao rezultat toga, dobivamo

Formula (10) je istinita ako i samo ako je izraz subkvantifikatora identično istinit, tj.

Identična istinitost implikacije znači da je Booleova funkcija logična posljedica funkcije , tj. bilo koja putanja s početnim stanjem x0∈X0 doseže ciljni skup X*.

Zadovoljenje identiteta (11) je ekvivalentno nepostojanju nula u Booleovoj jednadžbi

U izvođenju (12) riješili smo se implikacije i zamijenili ϕ*(x0, x1,..., xk) s . Ako jednadžba (12) ima barem jedno rješenje, tada svojstvo dosegljivosti ne vrijedi. Takvo rješenje predstavlja (u određenom smislu) protuprimjer za svojstvo koje se provjerava i može pomoći istraživaču da identificira uzrok pogreške.

Nadalje, radi sažetosti, za svako svojstvo (2-4) ispisujemo samo jednadžbu tipa (12), sugerirajući čitatelju da samostalno reproducira potrebne argumente slične onima danima za glavno svojstvo dosegljivosti.

2. Svojstvo sigurnosti

3. Svojstvo simultane dohvatljivosti

4. Svojstvo dosegljivosti pod faznim ograničenjima

5. Svojstvo privlačnosti. Izvedivost ove nekretnine provjerava se u dvije faze. U prvoj fazi se utvrđuje je li skup X* atraktor. Ako je odgovor potvrdan, glavno svojstvo dostupnosti provjerava se u drugoj fazi. Ako je X* dosegljiv iz X0, tada su svi uvjeti svojstva privlačnosti zadovoljeni.

6. Svojstvo povezanosti

7. Svojstvo totalne dohvatljivosti`

Za svojstva (6, 7) skalarni oblik jednakosti dvaju Booleovih vektora xt = x* ima oblik

Pokažimo gore navedenu tehnologiju za kvalitativnu analizu autonomnog DDS-a koristeći Booleovu metodu ograničenja prilikom provjere izvedivosti nekih od gore navedenih svojstava za model 3.2 iz rada:

Označimo s x0∈X = B3 početno stanje modela (13). Neka je T = (1, 2). Napišimo funkcije jednostupanjskih i dvostupanjskih prijelaza modela (13) potrebne za specifikaciju svojstava:

(14)

gdje je znak "." označava operaciju konjunkcije.

Za provjeru zadovoljavanja svakog svojstva specificirani su početni (X0) i ciljni (X*) skupovi koji su određeni nulama jednadžbi G0(x) = 0, G*(x) = 0 ili karakteristikom funkcije ovih skupova (vidi odjeljak 2). Kao SAT solver koristi se REBUS instrumental complex (IC) solver, a TQBF solver je DepQBF. Kodiranje varijabli u Booleovim modelima dolje razmatranih svojstava za ove rješavače dano je u tablici. 1, Booleovi modeli ovih svojstava u formatima DIMACS i QDIMACS nalaze se u tablici. 2.

stol 1

Varijabilno kodiranje

Varijabilni broj u Booleovom modelu

Svojstvo 1

Svojstvo 2

Svojstvo 3

Svojstvo 4

Svojstvo 5

tablica 2

Booleovi modeli svojstava

Svojstvo 1	Svojstvo 2	Svojstvo 3	Svojstvo 4 (A)	Svojstvo 4 (B)	Svojstvo 5
					e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 4 -5 -6 7 -8 -9 -10 11 12 0 4 5 6 -7 8 9 10 -11 -12 0

1. Glavno svojstvo dohvatljivosti (k = 2). Neka je X0 = (x∈X: x1 = 0), X*=(x∈X: x1 = 1). Početni i ciljni skupovi definirani su jednadžbom G0(x) = x1 = 0 i . Booleova jednadžba (12) u ovom slučaju ima oblik

gdje je funkcija ϕ(x0, x1, x2) definirana u (14). IR REBUS rješavač daje odgovor "neposjećen" (jednadžba nema nula), tako da je svojstvo dohvatljivosti X* iz X0 zadovoljeno, što se jasno vidi iz sljedećeg prijelaznog dijagrama prikazanog na slici.

2. Ciklusi duljine k = 2. Ciklički niz duljine 2 (ako postoji) rješenje je Booleove jednadžbe

Funkcija izgleda

Izraz R(x0, x1) nije uključen u jednadžbu prilikom nalaženja ciklusa, jer u modelu (13) nema ciklusa duljine k = 1 (ravnotežna stanja). Pomoću IR REBUS solvera dobivena su dva odgovora (u izlaznom formatu DIMACS): 1 2 3 4 5 -6 0 i 1 2 -3 4 5 6 0, koji odgovaraju cikličkim nizovima (slika): ((1 1 1) , (1 1 0)) i ((1 1 0), (1 1 1)). Skupovi stanja obaju ciklusa se podudaraju, što znači da model (13) ima jedan ciklus duljine k = 2.

Dijagram prijelaza sustava (13)

3. Svojstvo izolacije ciklusa. Ako su elementi s skupa stanja C ciklusa duljine k = 2 određeni rješenjem Booleove jednadžbe Gc(s) = 0, tada je uvjet izolacije ciklusa ekvivalentan nepostojanju nula u sljedećem Booleovu jednadžba:

Kako je C = ((1 1 1), (1 1 0)), imamo

Za ovu jednadžbu, IR REBUS rješavač pronalazi dva rješenja: -1 2 3 4 5 -6 0 i -1 2 -3 4 5 -6 0 (u binarnom prikazu, prema kodiranju varijabli u tablici 1, to su parovi stanja (0 1 1), (1 1 0) i ((0 1 0), (1 1 0)) Dakle, stanje ciklusa (1 1 0) ima dva prethodnika, (0 1 1) i (0 1 0), koji ne pripadaju ciklusu skupa stanja. To znači da svojstvo izolacije ciklusa nije zadovoljeno, tj. ovaj ciklus je atraktor.

4. Svojstvo privlačnosti. Neka je X* = C atraktor. Logička formula svojstva privlačnosti ista je kao formula svojstva glavne dosegljivosti

a odgovarajuća Booleova jednadžba za naš slučaj ima oblik

Ispišimo funkcije G0(x0), ϕ(x0, x1, x2) i . Funkcija ϕ(x0, x1, x2) dana je u (14). Za X* = C, izraz je . Razmotrimo dvije opcije za postavljanje skupa početnih stanja X0, za slučajeve ispunjenja (A) i neispunjenja (B) svojstva privlačnosti za k = 2 ciklusa.

A. Neka . Zatim

U ovom slučaju, za Booleovu jednadžbu (15), odgovor je "nesat". Svojstvo privlačnosti za dati skup X0 je zadovoljeno.

B. Neka . Zatim

U ovom slučaju, IR REBUS za jednadžbu (15) pronalazi rješenje: 1 -2 3 4 -5 -6 -7 8 9 0, što odgovara trajektoriji ((1 0 1),(1 0 0),(0 1 1)) . Ova trajektorija s početnim stanjem x0 = (1 0 1) ne doseže skup X* = C u dva ciklusa, što znači da svojstvo privlačnosti ne može biti zadovoljeno za zadani X0.

5. Svojstvo povezanosti. Logička formula svojstva povezanosti ima oblik sljedeće izjave:

Za k = 2 vrijedi ϕ*(x0, x1, x2) = G0(x0)∨ϕ(x0, x1, x2), gdje je funkcija ϕ(x0, x1, x2) dana u (14). Izaberimo stanje (1 0 1) kao početno stanje. Zatim . Neka ciljni skup X* = ((0 1 1), (1 0 0)). U ovom slučaju funkcija G*(x*) ima oblik

Zapišimo G*(x*) u CNF formatu:

Koristeći De-Morganov zakon nalazimo negaciju funkcije ϕ*(x0, x1, x2). Zamjenom svih dobivenih funkcija u (16) i uzimajući u obzir kodiranje Booleovih varijabli (tablica 1), dobivamo Booleov model u QDIMACS formatu (tablica 2). DepQBF rješavač daje odgovor "sat", što znači istinitost tvrdnje (16). Svojstvo povezanosti za dane X0, X*, T = (1, 2) je zadovoljeno.

Zaključak

Glavne prednosti Booleove metode ograničenja u kvalitativnoj studiji DDS-a uključuju:

1. Logički jezik specifikacije dinamičkog svojstva, poznat stručnjaku za dinamiku automata, zbog upotrebe ograničenih kvantifikatora postojanja i univerzalnosti.

2. Na temelju formule svojstava i dinamičkih jednadžbi automatski se izvodi konstrukcija odgovarajuće Booleove jednadžbe ili kvantificirane Booleove formule.

3. Prilično je jednostavno automatizirati proces pretvaranja rezultirajućih Booleovih izraza u konjunktivni normalni oblik uz daljnje generiranje datoteke u formatima DIMAX i QDIMAX, koji su ulazni za SAT solvere i QBF solvere.

4. Problem smanjivanja popisivanja u određenoj su mjeri riješili programeri ovih rješavača i zaštićen je od stručnjaka za kvalitativnu analizu DDS-a.

5. Omogućena je mogućnost rješavanja problema kvalitativne analize DDS-a za velike dimenzije vektora stanja n na dovoljno dugom vremenskom intervalu T. U pogledu broja stanja Booleova metoda ograničenja je kvantitativno razmjerna provjeri modela metoda. Zbog činjenice da je posljednjih godina došlo do značajnog povećanja performansi specijaliziranih algoritama za rješavanje SAT i TQBF problema, ukupan broj varijabli u modelu Boolean svojstava za moderne solvere može se mjeriti u tisućama.

Softver za kvalitativnu analizu DDS-a temeljen na Booleovoj metodi ograničenja implementiran je u okviru servisno orijentiranog pristupa korištenjem specijaliziranih rješavatelja Booleovih jednadžbi. U radu je prikazan primjer implementacije Booleove metode ograničenja temeljene na servisno orijentiranom pristupu traženja ciklusa i ravnotežnih stanja u genskim regulatornim mrežama.

Treba napomenuti da je Booleova metoda ograničenja prilično opća metoda za kvalitativnu analizu DDS-a u konačnom vremenskom intervalu. Primjenjiv je ne samo na autonomne sustave, već i na sustave s upravljačkim ulazima, na sustave s dubinom memorije većom od jedan, na opći DDS, kada je prijelazna funkcija nerješiva ​​u odnosu na stanje xt i ima oblik F(xt , xt-1) = 0. Za DDS s ulazima, svojstvo upravljivosti i njegove različite varijacije su od posebne važnosti. Osim na probleme DDS analize, Booleova metoda ograničenja primjenjiva je na probleme sinteze povratne sprege (statičke ili dinamičke, po stanju ili po ulazu), koja osigurava ispunjenje traženog dinamičkog svojstva u sintetiziranom sustavu.

Studiju je poduprla Ruska zaklada za temeljna istraživanja, projekt br. 18-07-00596/18.

Bibliografska poveznica

Oparin G.A., Bogdanova V.G., Pashinin A.A. BOOLEANOVA OGRANIČENJA U KVALITATIVNOJ ANALIZI BINARNIH DINAMIČKIH SUSTAVA // International Journal of Applied and Fundamental Research. - 2018. - Broj 9. - Str. 19-29;
URL: https://applied-research.ru/ru/article/view?id=12381 (datum pristupa: 18.03.2020.). Predstavljamo vam časopise koje izdaje izdavačka kuća "Academy of Natural History"