U ovoj lekciji ćemo naučiti definicije trigonometrijske funkcije i njihova glavna svojstva, naučite kako raditi s trigonometrijski krug, saznajte što je razdoblje funkcije i zapamtite razne načini mjerenja kutova. Osim toga, pogledajmo korištenje redukcijske formule.

Ova lekcija pomoći će vam da se pripremite za jednu od vrsta zadataka. U 7.

Pripreme za ispit iz matematike

Eksperiment

Lekcija 7Uvod u trigonometriju.

Teorija

Sažetak lekcije

Danas pokrećemo dio koji za mnoge ima zastrašujući naziv “Trigonometrija”. Odmah saznajmo da ovo nije zaseban objekt, sličan po imenu geometriji, kako neki misle. Iako prevedeno sa grčka riječ"trigonometrija" znači "mjerenje trokuta" i izravno je povezana s geometrijom. Osim toga, trigonometrijski izračuni naširoko se koriste u fizici i tehnologiji. Ali započet ćemo s vama upravo razmatranjem kako se osnovne trigonometrijske funkcije uvode u geometriju pomoću pravokutnog trokuta.

Upravo smo upotrijebili izraz "trigonometrijska funkcija" - to znači da ćemo uvesti cijeli razred određeni zakoni korespondencije jednom varijabla od drugoga.

Za ovo, razmislite pravokutni trokut, koji radi praktičnosti koristi standardne oznake strana i uglova, koje možete vidjeti na slici:

Razmotrimo, na primjer, kuti unesite sljedeće radnje za njega:

Omjer suprotne katete i hipotenuze naziva se sinus, tj.

Omjer susjedne katete i hipotenuze naziva se kosinus, tj. ;

Odnos suprotnog kraka prema susjednom kraku naziva se tangenta, tj. ;

Odnos susjednog kraka prema suprotnom kraku nazvat ćemo kotangens, tj. .

Sve te radnje s kutom nazivaju se trigonometrijske funkcije. Sam kut, u isto vrijeme, obično se naziva argument trigonometrijske funkcije i može se označiti, na primjer, s x, kao što je uobičajeno u algebri.

Važno je odmah shvatiti da trigonometrijske funkcije ovise o kutu u pravokutnom trokutu, a ne o njegovim stranicama. To je lako dokazati ako razmotrimo trokut sličan ovome, u kojem će duljine stranica biti različite, a svi kutovi i omjeri stranica neće se mijenjati, tj. trigonometrijske funkcije kutova također će ostati nepromijenjene.

Nakon takve definicije trigonometrijskih funkcija može se postaviti pitanje: “Postoji li npr.? Uostalom, kutakne može biti u pravokutnom trokutu» . Začudo, odgovor na ovo pitanje je potvrdan, a vrijednost ovog izraza je , što je još više iznenađujuće, budući da su sve trigonometrijske funkcije omjeri stranica pravokutnog trokuta, a duljine stranica su pozitivni brojevi.

Ali u tome nema paradoksa. Činjenica je da je, na primjer, u fizici, kada se opisuju neki procesi, potrebno koristiti trigonometrijske funkcije kutova ne samo velikih, već i velikih i čak. Za to je potrebno uvesti općenitije pravilo za izračunavanje trigonometrijskih funkcija pomoću tzv. "jedinična trigonometrijska kružnica".

To je krug s jediničnim radijusom nacrtanim tako da mu je središte u ishodištu Kartezijeve ravnine.

Da biste prikazali kutove u ovom krugu, potrebno je dogovoriti gdje ih staviti. Prihvaćeno je da kutna referentna zraka ima pozitivan smjer apscisne osi, tj. x-os. Smjer taloženja uglova smatra se smjerom suprotnom od kazaljke na satu. Na temelju tih dogovora prvo izdvajamo oštar kut. Upravo za takve oštre kutove već znamo kako izračunati vrijednosti trigonometrijskih funkcija u pravokutnom trokutu. Ispada da je uz pomoć prikazanog kruga također moguće izračunati trigonometrijske funkcije, samo praktičnije.

Vrijednosti sinusa i kosinusa oštar kut su koordinate točke presjeka stranice ovog kuta s jediničnom kružnicom:

Ovo se može napisati u ovom obliku:

:

Na temelju činjenice da koordinate na apscisi pokazuju vrijednost kosinusa, a koordinate na ordinati pokazuju vrijednost sinusa kuta, zgodno je nazive osi u koordinatnom sustavu preimenovati jediničnim krugom kao što vidite na slici:

Apscisna os preimenovana je u kosinusnu os, a ordinatna os sinusna os.

Navedeno pravilo za određivanje sinusa i kosinusa poopćava se i na tupe kutove i na kutove koji se kreću od do. U tom slučaju sinus i kosinus mogu imati i pozitivne i negativne vrijednosti. Razni predznake vrijednosti ovih trigonometrijskih funkcija ovisno o tome u koju četvrtinu pada kut koji se razmatra, uobičajeno ga je prikazati na sljedeći način:

Kao što vidite, predznaci trigonometrijskih funkcija određeni su pozitivnim i negativnim smjerovima njihovih odgovarajućih osi.

Osim toga, vrijedi obratiti pozornost na činjenicu da je najveća koordinata točke na jediničnoj kružnici i duž apscise i duž osi ordinata jednaka jedan, a najmanja minus jedan, tada vrijednosti sinusa i kosinusa ograničeno na ove brojeve:

Ti se zapisi obično pišu u ovom obliku:

Za uvođenje funkcija tangensa i kotangensa na trigonometrijskoj kružnici potrebno je prikazati dodatne elemente: tangentu na kružnicu u točki A - iz nje se određuje vrijednost tangensa kuta, te tangentu na kružnicu u točki A. točka B - iz nje se određuje vrijednost kotangensa kuta.

Međutim, nećemo ulaziti u definiciju tangensa i kotangenata duž trigonometrijske kružnice, jer mogu se lako izračunati, znajući vrijednosti sinusa i kosinusa zadanog kuta, što već znamo učiniti. Ako vas zanima kako izračunati tangens i kotangens u trigonometrijskoj kružnici, ponovite program kolegija algebre za 10. razred.

Navedite samo sliku na krugu predznaci tangensa i kotangensa ovisno o kutu:

Imajte na umu da, slično rasponima vrijednosti sinusa i kosinusa, možete odrediti raspone vrijednosti tangensa i kotangensa. Na temelju njihove definicije na trigonometrijskom krugu, vrijednosti ovih funkcija nisu ograničene:

Što se još može napisati ovako:

Osim kutova u rasponu od do, trigonometrijska kružnica omogućuje rad s kutovima koji su veći, pa čak i s negativnim kutovima. Takve vrijednosti kutova, iako se čine besmislenim za geometriju, koriste se za opisivanje nekih fizikalnih procesa. Na primjer, kako biste odgovorili na pitanje: Za koji će se kut okrenuti kazaljka sata za jedan dan? Za to vrijeme izvršit će dva potpuna okretaja, au jednom će proći, t.j. za koji dan će se pretvoriti u . Kao što vidite, takve vrijednosti imaju prilično praktično značenje. Za označavanje smjera rotacije koriste se znakovi kuta - jedan od smjerova je dogovoren da se mjeri pozitivnim kutovima, a drugi negativnim. Kako se to može uzeti u obzir u trigonometrijskom krugu?

Na krugu s takvim kutovima rade na sljedeći način:

1) Kutovi veći od , ucrtavaju se u smjeru suprotnom od kazaljke na satu uz prolazak referentne točke onoliko puta koliko je potrebno. Na primjer, da biste izgradili kut, morate proći kroz dva puna okreta i više. Za konačni položaj i sve trigonometrijske funkcije se izračunavaju. Lako je vidjeti da će vrijednost svih trigonometrijskih funkcija za i za biti ista.

2) Negativni kutovi iscrtavaju se točno po istom principu kao i pozitivni, samo u smjeru kazaljke na satu.

Već metodom konstruiranja velikih kutova može se zaključiti da su vrijednosti sinusa i kosinusa kutova koji se razlikuju po isti. Ako analiziramo vrijednosti tangensa i kotangenata, tada će oni biti isti za kutove koji se razlikuju za .

Takvi minimalni brojevi različiti od nule, kada se dodaju argumentu, vrijednost funkcije se ne mijenja, pozivaju se razdoblje ovu funkciju.

Na ovaj način, razdobljesinus i kosinus je, te tangens i kotangens. A to znači da koliko god dodali ili oduzeli te periode kutovima koji se razmatraju, vrijednosti trigonometrijskih funkcija se neće promijeniti.

Na primjer, , i tako dalje.

Kasnije ćemo se vratiti detaljnijem objašnjenju i primjeni ovog svojstva trigonometrijskih funkcija.

Između trigonometrijskih funkcija istog argumenta postoje određeni odnosi koji se vrlo često koriste i tzv osnovni trigonometrijski identiteti.

Izgledaju ovako:

1) , takozvana "trigonometrijska jedinica"

3)

4)

5)

Imajte na umu da, na primjer, zapis znači da je cijela trigonometrijska funkcija na kvadrat. Oni. može se predstaviti u ovom obliku: . Važno je razumjeti da to nije jednako zapisu kao što je , u ovom slučaju samo je argument na kvadrat, a ne cijela funkcija, štoviše, izrazi ove vrste su izuzetno rijetki.

Postoje dvije vrlo korisne posljedice prvog identiteta koje mogu biti korisne u rješavanju mnogih vrsta problema. Nakon jednostavnih transformacija, možete izraziti sinus kroz kosinus istog kuta i obrnuto:

Dva moguća znaka izraza pojavljuju se jer izdvajanje aritmetike korijen daje samo nenegativne vrijednosti, a sinus i kosinus, kao što smo već vidjeli, mogu imati negativne vrijednosti. Štoviše, znakove ovih funkcija najprikladnije je odrediti upravo uz pomoć trigonometrijskog kruga, ovisno o tome koji su kutovi prisutni u njima.

Sjetimo se sada da se mjerenje kutova može obaviti na dva načina: u stupnjevima i u radijanima. Naznačimo definicije jednog stupnja i jednog radijana.

jedan stupanj- ovo je kut koji čine dva radijusa koji spajaju luk jednak kružnici.

Jedan radijan- ovo je kut koji čine dva radijusa, koji su skupljeni lukom jednake duljine polumjerima.

Oni. to su samo dva različita načina za mjerenje kutova koji su apsolutno jednaki. U opisu fizikalnih procesa koji su karakterizirani trigonometrijskim funkcijama, uobičajeno je koristiti radijansku mjeru kutova, pa ćemo se i na nju morati naviknuti.

Uobičajeno je mjeriti kutove u radijanima u razlomcima broja "pi", na primjer, ili. U ovom slučaju može se zamijeniti vrijednost broja "pi", koja iznosi 3,14, ali to se rijetko čini.

Za pretvaranje stupnjeve mjere kutova u radijane iskoristiti činjenicu da je kut iz kojeg je lako dobiti opća formula prijevod:

Na primjer, pretvorimo u radijane: .

Postoji i suprotnost formulapretvorba iz radijana u stupnjeve:

Na primjer, pretvorimo u stupnjeve: .

U ovoj temi često ćemo koristiti radijansku mjeru kuta.

Sada je vrijeme da se prisjetimo koje specifične vrijednosti mogu dati trigonometrijske funkcije različitih kutova. Za neke kutove koji su višekratnici , postoji tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija. Radi praktičnosti, kutovi su dati u stupnjevima i radijanima.

Ovi se kutovi često susreću u mnogim problemima, a poželjno je da se možete pouzdano kretati u ovoj tablici. Vrijednosti tangensa i kotangensa nekih kutova nemaju smisla, što je u tablici označeno crticama. Razmislite sami zašto je to tako ili pročitajte detaljnije u prilogu lekcije.

Posljednja stvar s kojom se moramo upoznati u našoj prvoj lekciji trigonometrije je transformacija trigonometrijskih funkcija prema tzv. redukcijskim formulama.

Ispostavilo se da postoji određena vrsta izraza za trigonometrijske funkcije, koji je prilično uobičajen i prikladno pojednostavljen. Na primjer, ovo su takvi izrazi: itd.

Oni. govorit ćemo o funkcijama koje kao argument imaju proizvoljan kut, promijenjen u cjelinu ili polovicu dijela. Takve funkcije su pojednostavljene na argument koji je jednak proizvoljnom kutu zbrajanja ili oduzimanja dijelova. Na primjer, , a . Kao što vidimo, suprotna funkcija može postati rezultat, a funkcija može promijeniti predznak.

Stoga se pravila za transformaciju takvih funkcija mogu podijeliti u dvije faze. Prvo je potrebno odrediti koja će se funkcija dobiti nakon transformacije:

1) Ako se proizvoljni argument promijeni u cijeli broj, funkcija se ne mijenja. Ovo vrijedi za funkcije tipa gdje bilo koji cijeli broj;

Natrag naprijed

Pažnja! Pregled slajdova je samo u informativne svrhe i možda ne predstavlja puni opseg prezentacije. Ako si zainteresiran ovaj posao preuzmite punu verziju.

1. Uvod.

Približavajući se školi, čujem glasove momaka iz dvorane, idem dalje - oni pjevaju, crtaju... emocije, osjećaji su posvuda. Moj ured, sat algebre, učenici desetog razreda. Evo našeg udžbenika, u kojem tečaj trigonometrije zauzima polovicu volumena, au njemu su dvije oznake - to su mjesta gdje sam pronašao riječi koje nisu vezane uz teoriju trigonometrije.

Među rijetkima su učenici koji vole matematiku, osjećaju njenu ljepotu i ne pitaju se zašto je potrebno učiti trigonometriju, gdje se naučeno gradivo primjenjuje? Najviše je onih koji samo izvršavaju zadatke kako ne bi dobili lošu ocjenu. A čvrsto smo uvjereni da je primijenjena vrijednost matematike stjecanje znanja dovoljnog za uspjeh položivši ispit i prijem na sveučilište (ući i zaboraviti).

Glavna svrha predstavljene lekcije je pokazati primijenjenu vrijednost trigonometrije u razna polja ljudske aktivnosti. Navedeni primjeri pomoći će učenicima da uvide povezanost ovog dijela matematike s drugim predmetima koji se uče u školi. Sadržaj ove lekcije je element obuke učenika.

Recite nešto novo o naizgled odavno poznatoj činjenici. Pokažite logičnu vezu između onoga što već znamo i onoga što tek treba proučiti. Otvorite malo vrata i pogledajte dalje školski plan i program. Neobični zadaci, povezanost sa zbivanjima današnjice - to su tehnike koje koristim za postizanje svojih ciljeva. Uostalom, školska matematika kao predmet ne doprinosi toliko učenju koliko razvoju pojedinca, njegova mišljenja, kulture.

2. Sažetak lekcije o algebri i počecima analize (10. razred).

Vrijeme organiziranja:Šest stolova rasporediti u polukrug (model kutomjera), na stolovima nastavne listiće za učenike (Prilog 1).

Najava teme lekcije: "Trigonometrija je jednostavna i jasna."

U tečaju algebre i početku analize počinjemo proučavati trigonometriju, želio bih govoriti o primijenjenom značaju ove grane matematike.

Teza lekcije:

“sjajna knjiga prirodu mogu čitati samo oni koji znaju jezik na kojem je napisana, a taj jezik je matematika.”
(G. Galileo).

Na kraju sata ćemo zajedno razmisliti jesmo li uspjeli zaviriti u ovu knjigu i razumjeti jezik na kojem je napisana.

Trigonometrija oštrog kuta.

Trigonometrija je grčka riječ i znači "mjerenje trokuta". Pojava trigonometrije povezana je s mjerenjima na zemlji, građevinarstvom i astronomijom. A prvo upoznavanje s njom dogodilo se kad ste uzeli u ruke kutomjer. Jeste li obratili pozornost na to kako stoje stolovi? Procijenite u svom umu: ako uzmete jednu tablicu za tetivu, koja je onda mjera stupnja luka koji ona spaja?

Podsjetimo se mjere kutova: 1 ° = 1/360 dio kruga ("stupanj" - od latinskog grada - korak). Znate li zašto je kružnica podijeljena na 360 dijelova, zašto nije podijeljena na 10, 100 ili 1000 dijelova, kao što se događa, na primjer, pri mjerenju duljina? Ispričat ću vam jednu od verzija.

Ranije se vjerovalo da je Zemlja središte Svemira i da je nepomična, a Sunce dnevno napravi jednu revoluciju oko Zemlje, geocentrični sustav svijeta, "geo" - Zemlja ( Crtež br. 1). Babilonski svećenici, koji su vršili astronomska promatranja, otkrili su da na dan ekvinocija, od izlaska do zalaska Sunca, Sunce opisuje polukrug na nebeskom svodu, u koji se prividni dijametar (promjer) Sunca uklapa točno 180 puta, 1 ° - trag sunca. ( Slika br. 2).

Dugo je vremena trigonometrija bila čisto geometrijske prirode. U nastavku nastavljate upoznavanje s trigonometrijom rješavanjem pravokutnih trokuta. Naučili ste da je sinus oštrog kuta pravokutnog trokuta omjer suprotnog kraka i hipotenuze, kosinus je omjer susjednog kraka i hipotenuze, tangens je omjer suprotnog kraka i susjednog kraka. , a kotangens je omjer susjednog kraka i suprotnog. I zapamtite da u pravokutnom trokutu sa zadanim kutom omjer stranica ne ovisi o veličini trokuta. Upoznati sinusni i kosinusni teorem za rješavanje proizvoljnih trokuta.

Godine 2010. moskovski metro proslavio je 75. godišnjicu postojanja. Svaki dan idemo u podzemnu željeznicu i ne primjećujemo da ...

Zadatak broj 1. Kut nagiba svih pokretnih stepenica u moskovskom metrou je 30 stupnjeva. Znajući ovo, broj svjetiljki na pokretnim stepenicama i približnu udaljenost između svjetiljki, možete izračunati približnu dubinu stanice. Na pokretnim stepenicama stanice Tsvetnoy Bulvar ima 15 lampi, a na stanici Prazhskaya 2 lampe. Izračunajte dubinu ovih stanica ako su udaljenosti između svjetiljki, od ulaza u pokretne stepenice do prve svjetiljke i od zadnje svjetiljke do izlaza iz pokretnih stepenica 6 m ( Crtež br. 3). Odgovor: 48 m i 9 m

Domaća zadaća. Najdublja stanica moskovskog metroa je Park Pobedy. Kolika je njegova dubina? Predlažem da samostalno pronađete podatke koji nedostaju za rješavanje domaće zadaće.

U rukama imam laserski pokazivač, on je ujedno i daljinomjer. Izmjerimo, na primjer, udaljenost do ploče.

Kineski dizajner Huan Qiaokong smislio je spojiti dva laserska daljinomjera, kutomjer u jedan uređaj i dobio alat koji vam omogućuje određivanje udaljenosti između dvije točke na ravnini ( Crtež br. 4). Što mislite, uz pomoć kojeg teorema je riješen ovaj problem? Prisjetite se formulacije kosinusnog teorema. Slažete li se sa mnom da je vaše znanje već dovoljno da napravite takav izum? Rješavajte zadatke iz geometrije i dolazite do malih otkrića svaki dan!

Sferna trigonometrija.

Osim Euklidove ravninske geometrije (planimetrije), mogu postojati i druge geometrije u kojima se svojstva figura ne razmatraju na ravnini, već na drugim površinama, na primjer, na površini lopte ( Crtež br. 5). Prvi matematičar koji je postavio temelje za razvoj neeuklidske geometrije bio je N.I. Lobačevski - "Kopernik geometrije". Od 1827. 19 godina bio je rektor Kazanskog sveučilišta.

Sferna trigonometrija, koja je dio sferne geometrije, razmatra odnose između stranica i kutova trokuta na sferi koju tvore lukovi velikih kružnica na sferi ( Crtež br. 6).

Povijesno gledano, sferna trigonometrija i geometrija nastale su iz potreba astronomije, geodezije, navigacije i kartografije. Razmotrite koji od ovih smjerova posljednjih godina dobio je tako brz razvoj da se njegov rezultat već koristi u modernim komunikatorima. ... Moderna primjena navigacije je satelitski navigacijski sustav koji vam omogućuje određivanje lokacije i brzine objekta na temelju signala njegovog prijemnika.

Globalni navigacijski sustav (GPS). Za određivanje geografske širine i dužine prijemnika potrebno je primati signale s najmanje tri satelita. Prijem signala s četvrtog satelita također omogućuje određivanje visine objekta iznad površine ( Crtež br. 7).

Prijemno računalo rješava četiri jednadžbe s četiri nepoznanice dok se ne pronađe rješenje koje povlači sve kružnice kroz jednu točku ( Crtež br. 8).

Pokazalo se da su znanja iz trigonometrije šiljastog kuta nedostatna za rješavanje složenijih praktičnih problema. Pri proučavanju rotacijskih i kružnih gibanja vrijednost kuta i kružnog luka nije ograničena. Postojala je potreba prijelaza na trigonometriju generaliziranog argumenta.

Trigonometrija generaliziranog argumenta.

Krug ( Crtež br. 9). Pozitivni kutovi iscrtavaju se u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a negativni kutovi u smjeru kazaljke na satu. Jeste li upoznati s poviješću takvog sporazuma?

Kao što znate, mehanički i sunčani satovi su dizajnirani na način da im se kazaljke okreću “prema suncu”, tj. u istom smjeru u kojem vidimo prividno kretanje Sunca oko Zemlje. (Prisjetite se početka lekcije – geocentrični sustav svijeta). Ali Kopernikovim otkrićem pravog (pozitivnog) kretanja Zemlje oko Sunca, prividno (tj. prividno) kretanje Sunca oko Zemlje je fiktivno (negativno). Heliocentrični sustav svijeta (helio - Sunce) ( Crtež br. 10).

Zagrijati se.

1. Izvući desna ruka ispred sebe, paralelno s površinom stola i izvršite kružnu rotaciju od 720 stupnjeva.
2. Izvući lijeva ruka ispred sebe, paralelno s površinom stola i izvršite kružni okret za (-1080) stupnjeva.
3. Stavite ruke na ramena i napravite 4 kružna pokreta naprijed-natrag. Koliki je zbroj kutova zakreta?

Zima 2010 Olimpijske igre u Vancouveru ćemo rješavanjem problema saznati kriterije za ocjenjivanje vježbe klizača.

Zadatak broj 2. Ako klizač tijekom izvođenja vježbe na vijači napravi okret od 10.800 stupnjeva za 12 sekundi, tada dobiva ocjenu "odličan". Odredite koliko će okretaja klizač napraviti za to vrijeme i brzinu njegove rotacije (okretaja u sekundi). Odgovor: 2,5 okretaja / sek.

Domaća zadaća. Pod kojim kutom se okreće klizač koji je dobio ocjenu "ne zadovoljava" ako je uz isto vrijeme rotacije njegova brzina bila 2 okretaja u sekundi.

Pokazalo se da je najprikladnija mjera za lukove i kutove povezane s rotacijskim kretnjama mjera radijan (radijus), kao veća mjerna jedinica kuta ili luka ( Crtež br. 11). Ova mjera mjerenja kuta ušla je u znanost kroz izvanredna djela Leonharda Eulera. Rođen je Švicarac, živio je u Rusiji 30 godina, bio je član Peterburške akademije znanosti. Njemu dugujemo "analitičko" tumačenje cijele trigonometrije, on je izveo formule koje sada proučavate, uveo je jedinstvene znakove:. grijeh x, cos x, tg x.ctg x.

Ako se do 17. stoljeća razvoj učenja o trigonometrijskim funkcijama gradio na geometrijskoj osnovi, onda se od 17. stoljeća trigonometrijske funkcije počinju koristiti za rješavanje problema u mehanici, optici, elektricitetu, za opisivanje oscilatornih procesa, valova. razmnožavanje. Gdje god se radi o periodičkim procesima i oscilacijama, trigonometrijske funkcije našle su primjenu. Funkcije koje izražavaju zakone periodičnih procesa imaju posebno svojstvo svojstveno samo njima: ponavljaju svoje vrijednosti kroz isti interval promjene argumenta. Promjene bilo koje funkcije najjasnije se prenose na njezinom grafu ( Crtež br. 12).

Već smo se obratili našem tijelu za pomoć u rješavanju problema rotacije. Osluškujmo otkucaje svoga srca. Srce je samostalan organ. Mozak kontrolira svaki mišić u našem tijelu osim srca. Ona ima svoj kontrolni centar - sinusni čvor. Sa svakom kontrakcijom srca cijelim tijelom – počevši od sinusnog čvora (veličine zrna prosa) – širi se struja. Može se snimiti pomoću elektrokardiografa. Crta elektrokardiogram (sinusoidu) ( Crtež br.13).

Razgovarajmo sada o glazbi. Matematika je glazba, ona je spoj uma i ljepote.
Glazba je matematika po izračunu, algebra po apstrakciji, trigonometrija po ljepoti. harmonijsko titranje(harmonijski) je sinusni val. Grafikon pokazuje kako se mijenja tlak zraka na bubnjiću slušatelja: gore-dolje u luku, periodički. Zrak gura jače, a zatim slabije. Sila udarca je prilično mala, a oscilacije se događaju vrlo brzo: stotine i tisuće udaraca svake sekunde. Takve periodične vibracije opažamo kao zvuk. Dodavanjem dvaju različitih harmonika dobiva se složeniji valni oblik. Zbroj triju harmonika još je kompliciraniji, a prirodni zvukovi i zvukovi glazbenih instrumenata sastavljeni su od velikog broja harmonika. ( Crtež br. 14.)

Svaki harmonik karakteriziraju tri parametra: amplituda, frekvencija i faza. Frekvencija osciliranja pokazuje koliko se udara tlaka zraka dogodi u jednoj sekundi. Velike frekvencije percipiraju se kao "visoki", "tanki" zvukovi. Iznad 10 kHz - škripa, zvižduk. Male frekvencije percipiraju se kao "niski", "basovi" zvukovi, tutnjava. Amplituda je raspon osciliranja. Što je veći raspon, jači je udar na bubnjić, a glasniji zvuk koje čujemo Crtež br. 15). Faza je pomak oscilacija u vremenu. Faza se može mjeriti u stupnjevima ili radijanima. Ovisno o fazi, nulti broj se pomiče na grafikonu. Za određivanje harmonika dovoljno je odrediti fazu od -180 do +180 stupnjeva, budući da se oscilacija ponavlja pri velikim vrijednostima. Dva sinusoidalna signala s istom amplitudom i frekvencijom, ali različitim fazama dodaju se algebarski ( Crtež br. 16).

Sažetak lekcije. Mislite li da smo uspjeli pročitati nekoliko stranica iz Velike knjige prirode? Upoznavši primijenjeno značenje trigonometrije, jeste li jasnije shvatili njezinu ulogu u raznim područjima ljudske djelatnosti, jeste li razumjeli izloženo gradivo? Zatim se prisjetite i nabrojite područja primjene trigonometrije s kojima ste se danas susreli ili znali prije. Nadam se da je svatko od vas pronašao nešto novo i zanimljivo za sebe u današnjoj lekciji. Možda će vam ovaj novi pokazati put odabira buduća profesija, ali bez obzira tko postanete, vaše matematičko obrazovanje pomoći će vam da postanete profesionalac u svom području i intelektualno razvijena osoba.

Domaća zadaća. Pročitajte nacrt lekcije

- -
Obično, kada nekoga žele prestrašiti STRAŠNOM MATEMATIKOM, kao primjer se navode raznorazni sinusi i kosinusi, kao nešto jako složeno i gadno. Ali zapravo, ovo je lijepa i zanimljiva dionica koja se može razumjeti i riješiti.
Tema se počinje odvijati u 9. razredu i nije uvijek sve jasno prvi put, ima mnogo suptilnosti i trikova. Pokušao sam nešto reći na temu.

Uvod u svijet trigonometrije:
Prije nego što se bezglavo bacite na formule, trebate razumjeti iz geometrije što su sinus, kosinus itd.
Sinus kuta- omjer suprotne (kutne) strane prema hipotenuzi.
Kosinus je omjer susjedne i hipotenuze.
Tangens- suprotna strana u susjednoj strani
Kotangens- susjedan nasuprot.

Sada razmotrite krug jediničnog radijusa na koordinatna ravnina i označite neki alfa kut na njemu: (slike se mogu kliknuti, barem neke od njih)
-
-
Tanke crvene linije su okomice iz točke presjeka kružnice i pravog kuta na x i y osi. Crveni x i y vrijednost su x i y koordinata na osi (sivi x i y samo označavaju da su to koordinatne osi, a ne samo linije).
Treba napomenuti da se kutovi broje od pozitivnog smjera osi x u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.
Za njega nalazimo sinus, kosinus i tako dalje.
sin a: suprotna strana je y, hipotenuza je 1.
sin a = y / 1 = y
Da bude potpuno jasno odakle sam dobio y i 1, radi jasnoće, posložimo slova i razmotrimo trokute.
- -
AF = AE = 1 - polumjer kružnice.
Prema tome, AB = 1, kao polumjer. AB je hipotenuza.
BD = CA = y - kao vrijednost za oh.
AD \u003d CB \u003d x - kao vrijednost za oh.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Daljnji kosinus:
cos a: susjedna strana - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x

Također zaključujemo tangens i kotangens.
tg a = y / x = sin a / cos a
ctg a = x / y = cos a / sin a
Već smo odjednom izveli formulu tangensa i kotangensa.

Pa, pogledajmo kako je to riješeno s određenim kutovima.
Na primjer, a = 45 stupnjeva.
Dobivamo pravokutni trokut s jednim kutom od 45 stupnjeva. Nekome je odmah jasno da se radi o trokutu s različitim stranicama, ali ja ću ga ipak potpisati.
Pronađite treći kut trokuta (prvi 90, drugi 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Ako su dva kuta jednaka, onda su i stranice jednake, kako je to zvučalo.
Dakle, ispada kao da, ako zbrojimo dva takva trokuta jedan na drugi, dobijemo kvadrat čija je dijagonala jednaka polumjeru \u003d 1. Po Pitagorinom poučku znamo da je dijagonala kvadrata sa stranicom a jednako je korijenima iz dva.
Sad mislimo. Ako je 1 (hipotenuza ili dijagonala) jednaka stranici kvadrata pomnoženoj s korijenom iz dva, tada stranica kvadrata mora biti jednaka 1/sqrt(2), a ako pomnožimo brojnik i nazivnik ovog razlomka prema korijenu iz dva, dobivamo sqrt(2)/2. A kako je trokut jednakokračan, tada je AD = AC => x = y
Pronalaženje naših trigonometrijskih funkcija:
sin 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
S ostalim kutovima morate raditi na isti način. Samo trokuti neće biti jednakokračni, ali stranice je jednako lako pronaći pomoću Pitagorinog teorema.
Na taj način dobivamo tablicu vrijednosti trigonometrijskih funkcija iz različitih kutova:
-
-
Štoviše, ova tablica je varalica i vrlo je zgodna.
Kako ga sami napraviti bez muke: nacrtate takvu tablicu i u ćelije upišete brojeve 1 2 3.
-
-
Sada iz ovih 1 2 3 izvadite korijen i podijelite sa 2. Ispada ovako:
-
-
Sada precrtavamo sinus i pišemo kosinus. Njegove vrijednosti su zrcalni sinus:
-
-
Jednako je jednostavno izvesti tangens - trebate podijeliti vrijednost sinusne linije s vrijednošću kosinusne crte:
-
-
Vrijednost kotangensa je obrnuta vrijednost tangensa. Kao rezultat, dobivamo nešto poput ovoga:
- -

Bilješka da tangenta ne postoji u P/2 npr. Razmisli zašto. (Ne možete dijeliti s nulom.)

Što ovdje treba zapamtiti: sinus je y vrijednost, kosinus je x vrijednost. Tangens je omjer y prema x, a kotangens je obrnuto. dakle, da bi se odredile vrijednosti sinusa / kosinusa, dovoljno je nacrtati ploču, koju sam opisao gore i krug s koordinatnim osima (prikladno je pogledati vrijednosti na kutovi 0, 90, 180, 360).
- -

Pa, nadam se da možete reći četvrtine:
- -
Predznak njegovog sinusa, kosinusa itd. ovisi o tome u kojoj se četvrtini kut nalazi. Iako će vas sasvim primitivno logičko razmišljanje dovesti do točnog odgovora, ako uzmete u obzir da je u drugoj i trećoj četvrtini x negativan, a y u trećoj i četvrtoj. Ništa strašno i zastrašujuće.

Mislim da ne bi bilo suvišno spomenuti redukcijske formule ala duhovi, kako svi čuju, u čemu ima zrnce istine. Ne postoje formule kao takve, za beskorisnost. Sam smisao cijele ove radnje: Lako pronalazimo vrijednosti kutova samo za prvu četvrtinu (30 stupnjeva, 45, 60). Trigonometrijske funkcije su periodične, tako da možemo povući bilo koji veliki kut u prvi kvadrant. Tada ćemo odmah pronaći njegov smisao. Ali samo povlačenje nije dovoljno - morate se sjetiti znaka. Za to služe kasting formule.
Dakle, imamo veliki kut, točnije više od 90 stupnjeva: a \u003d 120. I trebate pronaći njegov sinus i kosinus. Da bismo to učinili, rastavljamo 120 na takve kutove s kojima možemo raditi:
sin a = sin 120 = sin (90 + 30)
Vidimo da taj kut leži u drugoj četvrtini, tamo je sinus pozitivan, stoga je znak + ispred sinusa sačuvan.
Da bismo se riješili 90 stupnjeva, promijenimo sinus u kosinus. Pa, evo pravila koje treba zapamtiti:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
A možete to zamisliti i na drugi način:
grijeh 120 = grijeh (180 - 60)
Da se riješimo 180 stupnjeva, ne mijenjamo funkciju.
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
Dobili smo istu vrijednost, dakle sve je točno. Sada kosinus:
cos 120 = cos (90 + 30)
Kosinus u drugoj četvrtini je negativan, pa stavljamo znak minus. I mijenjamo funkciju u suprotnu, budući da moramo ukloniti 90 stupnjeva.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1 / 2
Ili:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1/2

Što trebate znati, biti u mogućnosti učiniti i učiniti kako biste preveli uglove u prvoj četvrtini:
-rastaviti kut na probavljive pojmove;
- voditi računa u kojoj se četvrtini kut nalazi, te staviti odgovarajući znak je li funkcija u toj četvrtini negativna ili pozitivna;
-riješiti se viška
*ako se trebate riješiti 90, 270, 450 i ostalih 90+180n, gdje je n bilo koji cijeli broj, tada je funkcija obrnuta (sinus u kosinus, tangens u kotangens i obrnuto);
*ako se trebate riješiti 180 i preostalih 180+180n, gdje je n bilo koji cijeli broj, tada se funkcija ne mijenja. (Ovdje postoji jedna karakteristika, ali ju je teško objasniti riječima, dobro, dobro).
To je sve. Ne smatram potrebnim pamtiti same formule, kada možete zapamtiti nekoliko pravila i lako ih koristiti. Usput, ove formule je vrlo lako dokazati:
-
-
I oni čine glomazne stolove, onda znamo:
-
-

Osnovne trigonometrijske jednadžbe: treba ih znati jako, jako dobro, napamet.
Osnovni trigonometrijski identitet(jednakost):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Ako mi ne vjerujete, provjerite sami i uvjerite se. Zamijenite vrijednosti različitih kutova.
Ova formula je vrlo, vrlo korisna, uvijek je zapamtite. pomoću njega sinus možete izraziti preko kosinusa i obrnuto, što je ponekad vrlo korisno. No, kao i sa svakom drugom formulom, s njom se morate znati nositi. Uvijek imajte na umu da predznak trigonometrijske funkcije ovisi o četvrtini u kojoj se nalazi kut. Zato kod vađenja korijena treba znati četvrtinu.

Tangens i kotangens: te smo formule već na samom početku izveli.
tg a = sin a / cos a
ctg a = cos a / sin a

Umnožak tangensa i kotangensa:
tg a * ctg a = 1
Jer:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - razlomci se poništavaju.

Kao što vidite, sve formule su igra i kombinacija.
Evo još dvije, dobivene dijeljenjem s kosinus kvadratom i sinus kvadratom prve formule:
-
-
Imajte na umu da se zadnje dvije formule mogu koristiti uz ograničenje vrijednosti kuta a, jer ne možete dijeliti s nulom.

Formule zbrajanja: dokazuju se pomoću vektorske algebre.
- -
Koriste se rijetko, ali prikladno. Na skenu postoje formule, ali može biti nečitljiv ili je digitalni oblik lakše percipiran:
- -

Formule dvostrukog kuta:
Dobivaju se na temelju formula sabiranja, npr.: kosinus dvostrukog kuta je cos 2a = cos (a + a) - podsjeća li vas na nešto? Upravo su zamijenili betu s alfom.
- -
Dvije sljedeće formule izvedene su iz prve supstitucije sin^2(a) = 1 - cos^2(a) i cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
Sa sinusom dvostrukog kuta, jednostavnije je i koristi se mnogo češće:
- -
A posebni izopačeni mogu izvesti tangens i kotangens dvostrukog kuta, s obzirom da je tg a \u003d sin a / cos a, i tako dalje.
-
-

Za gore navedene osobe Formule trostrukog kuta: izvode se zbrajanjem kutova 2a i a, budući da već znamo formule za dvostruki kut.
-
-

Formule polukuta:
- -
Ne znam kako su izvedene, odnosno kako to objasniti ... Ako napišete ove formule, zamjenjujući osnovni trigonometrijski identitet s / 2, tada će odgovor konvergirati.

Formule za zbrajanje i oduzimanje trigonometrijskih funkcija:
-
-
Dobivaju se iz adicijskih formula, ali nikoga nije briga. Ne srećemo se često.

Kao što razumijete, ima još puno formula čije je nabrajanje naprosto besmisleno, jer o njima neću moći napisati nešto adekvatno, a suhe formule se mogu naći bilo gdje i igraju se s prethodnim postojeće formule. Sve je užasno logično i točno. Reći ću ti samo zadnje o metodi pomoćnog kuta:
Pretvaranje izraza a cosx + b sinx u oblik Acos(x+) ili Asin(x+) naziva se metoda uvođenja pomoćnog kuta (ili dodatnog argumenta). Metoda se koristi u rješavanju trigonometrijskih jednadžbi, u procjeni vrijednosti funkcija, u problemima ekstrema, a što je bitno napomenuti, neke probleme nije moguće riješiti bez uvođenja pomoćnog kuta.
Kao i vi, nisam pokušao objasniti ovu metodu, ništa nije ispalo od toga, pa to morate učiniti sami:
-
-
Zastrašujuće je, ali korisno. Ako rješavate probleme, trebalo bi funkcionirati.
Odavde na primjer: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

Sljedeći na tečaju su grafovi trigonometrijskih funkcija. Ali jedna lekcija je dovoljna. S obzirom da se to u školi uči šest mjeseci.

Napišite svoja pitanja, riješite probleme, tražite skenove nekih zadataka, smislite, isprobajte.
Uvijek tvoj, Dan Faraday.

Prilikom izvođenja trigonometrijskih transformacija slijedite ove savjete:

1. Ne pokušavajte odmah smisliti shemu za rješavanje primjera od početka do kraja.
2. Ne pokušavajte pretvoriti cijeli primjer odjednom. Idite naprijed malim koracima.
3. Ne zaboravite da osim trigonometrijskih formula u trigonometriji još uvijek možete primijeniti sve poštene algebarske transformacije (stavljanje u zagrade, smanjivanje razlomaka, skraćene formule množenja i tako dalje).
4. Vjerujte da će sve biti u redu.

Osnovne trigonometrijske formule

Većina formula u trigonometriji često se primjenjuje i s desna na lijevo i slijeva na desno, tako da morate naučiti te formule toliko dobro da možete lako primijeniti neku formulu u oba smjera. Za početak zapisujemo definicije trigonometrijskih funkcija. Neka postoji pravokutni trokut:

Zatim, definicija sinusa je:

Definicija kosinusa:

Definicija tangente:

Definicija kotangensa:

Osnovni trigonometrijski identitet:

Najjednostavniji korolari iz osnovnog trigonometrijskog identiteta:

Formule dvostrukog kuta. Sinus dvostrukog kuta:

Kosinus dvostrukog kuta:

Tangens dvostrukog kuta:

Kotangens dvostrukog kuta:

Dodatne trigonometrijske formule

Trigonometrijske adicijske formule. Sinus zbroja:

Sinus razlike:

Kosinus zbroja:

Kosinus razlike:

Tangens zbroja:

Tangens razlike:

Kotangens zbroja:

Kotangens razlike:

Trigonometrijske formule za pretvaranje zbroja u umnožak. Zbroj sinusa:

Sinusna razlika:

Zbroj kosinusa:

Razlika kosinusa:

zbroj tangensi:

Tangentna razlika:

Zbroj kotangenata:

Razlika kotangensa:

Trigonometrijske formule za pretvaranje umnoška u zbroj. Proizvod sinusa:

Umnožak sinusa i kosinusa:

Umnožak kosinusa:

Formule za smanjenje stupnja.

Formule polukuta.

Trigonometrijske redukcijske formule

Funkcija kosinus se zove kofunkcija funkcija sinusa i obrnuto. Slično, funkcije tangens i kotangens su kofunkcije. Formule redukcije mogu se formulirati kao sljedeće pravilo:

• Ako se u formuli redukcije kut oduzme (doda) od 90 stupnjeva ili 270 stupnjeva, tada se reducirana funkcija mijenja u kofunkciju;
• Ako se u formuli redukcije kut oduzme (doda) od 180 stupnjeva ili 360 stupnjeva, tada se naziv reducirane funkcije čuva;
• U tom slučaju reduciranoj funkciji prethodi predznak koji reducirana (tj. izvorna) funkcija ima u odgovarajućoj četvrtini, ako oduzeti (dodani) kut smatramo šiljastim.

Cast formule dati su u obliku tabele:

Po trigonometrijski krug lako je odrediti tablične vrijednosti trigonometrijskih funkcija:

Trigonometrijske jednadžbe

Da bi se riješila određena trigonometrijska jednadžba, ona se mora svesti na jednu od najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi, o čemu će biti riječi u nastavku. Za ovo:

• Može se primijeniti trigonometrijske formule iznad. U ovom slučaju ne morate pokušavati pretvoriti cijeli primjer odjednom, već morate ići naprijed malim koracima.
• Ne smijemo zaboraviti na mogućnost transformacije nekog izraza uz pomoć algebarskih metoda, tj. na primjer, staviti nešto iz zagrade ili, obrnuto, otvoriti zagradu, smanjiti razlomak, primijeniti skraćenu formulu množenja, svesti razlomke na zajednički nazivnik i tako dalje.
• Pri rješavanju trigonometrijskih jednadžbi možete primijeniti metoda grupiranja. Treba imati na umu da je dovoljno da bilo koji od njih bude jednak nuli da bi proizvod nekoliko faktora bio jednak nuli, a ostalo je postojalo.
• Primjena metoda zamjene varijable, kao i obično, jednadžba bi nakon uvođenja zamjene trebala postati jednostavnija i ne bi sadržavala izvornu varijablu. Također morate zapamtiti da radite obrnutu zamjenu.
• Zapamtite da se homogene jednadžbe često pojavljuju iu trigonometriji.
• Prilikom otvaranja modula ili rješavanja iracionalnih jednadžbi s trigonometrijskim funkcijama, potrebno je zapamtiti i uzeti u obzir sve suptilnosti rješavanja odgovarajućih jednadžbi s običnim funkcijama.
• Ne zaboravite na ODZ (u trigonometrijskim jednadžbama, ograničenja na ODZ se u osnovi svode na činjenicu da ne možete dijeliti s nulom, ali ne zaboravite na druga ograničenja, posebno na pozitivnost izraza u racionalnim potencijama i ispod korijena parnih stupnjeva ). Također zapamtite da vrijednosti sinusa i kosinusa mogu ležati samo između minus jedan i plus jedan, uključivo.

Glavna stvar je, ako ne znate što učiniti, učinite barem nešto, dok je glavna stvar ispravno koristiti trigonometrijske formule. Ako ono što dobivate postaje sve bolje i bolje, nastavite s rješenjem, a ako se pogoršava, vratite se na početak i pokušajte primijeniti druge formule, tako dok ne naiđete na točno rješenje.

Formule za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi. Za sinus postoje dva ekvivalentna oblika pisanja rješenja:

Za ostale trigonometrijske funkcije zapis je jedinstven. Za kosinus:

Za tangentu:

Za kotangens:

Rješenje trigonometrijskih jednadžbi u nekim posebnim slučajevima:

Naučite sve formule i zakone u fizici, te formule i metode u matematici. Zapravo, to je također vrlo jednostavno učiniti, postoji samo oko 200 potrebnih formula u fizici, a još nešto manje u matematici. U svakom od ovih predmeta postoji desetak standardnih metoda za rješavanje problema osnovne razine složenosti, koje se također mogu naučiti, te tako potpuno automatski i bez poteškoća riješiti većinu digitalne transformacije u pravom trenutku. Nakon toga ćete morati razmišljati samo o najtežim zadacima.

Prisustvujte svim trima fazama probnog testiranja iz fizike i matematike. Svaki RT može se posjetiti dva puta kako bi se riješile obje opcije. Opet, na DT-u, osim sposobnosti brzog i učinkovitog rješavanja problema, te poznavanja formula i metoda, potrebno je i znati pravilno planirati vrijeme, rasporediti snage i što je najvažnije ispravno ispuniti obrazac za odgovore , ne brkajući ni brojeve odgovora i zadataka, ni vlastito prezime. Također, tijekom RT-a važno je naviknuti se na stil postavljanja pitanja u zadacima, koji se nespremnoj osobi na DT-u može učiniti vrlo neobičnim.

Uspješno, marljivo i odgovorno provođenje ove tri točke omogućit će vam da pokažete odličan rezultat na CT-u, maksimum onoga za što ste sposobni.

Pronašli ste grešku?

Ako mislite da ste pronašli grešku u materijali za obuku, onda pišite, molim vas, o tome poštom. Također možete prijaviti grešku u društvena mreža(). U pismu navedite predmet (fizika ili matematika), naziv ili broj teme ili testa, broj zadatka ili mjesto u tekstu (stranici) na kojem je po vašem mišljenju greška. Također opišite što je navodna pogreška. Vaše pismo neće proći nezapaženo, pogreška će biti ispravljena ili će vam biti objašnjeno zašto nije pogreška.

Još 1905. godine ruski su čitatelji mogli pročitati u Psihologiji Williama Jamesa njegovo razmišljanje o tome "zašto je natrpavanje tako loš način učenja?"

“Znanje stečeno pukim natrpavanjem gotovo se neizbježno potpuno zaboravlja bez traga. Naprotiv, mentalni materijal, akumuliran pamćenjem postupno, dan za danom, povezan s različitim kontekstima, asocijativno povezan s drugim vanjskim događajima i opetovano podvrgnut raspravi, tvori takav sustav, ulazi u takvu vezu s drugim aspektima našeg intelekta. , lako se obnavlja u sjećanju masom vanjskih razloga koji ostaju dugotrajna čvrsta stečevina.

Od tada je prošlo više od 100 godina, a ove riječi zapanjujuće ostaju aktualne. To vidite svaki dan kada radite sa školarcima. Masovni nedostaci u znanju su toliki da se može tvrditi da školski tečaj matematike u didaktičkom i psihološkom smislu nije sustav, već neka vrsta uređaja koji potiče kratkotrajno pamćenje i uopće ne mare za dugoročno pamćenje.

Poznavati školski tečaj matematike znači savladati gradivo svakog od područja matematike, biti u mogućnosti ažurirati bilo koje od njih u bilo kojem trenutku. Da biste to postigli, morate se sustavno baviti svakim od njih, što ponekad nije uvijek moguće zbog velikog opterećenja u lekciji.

Postoji još jedan način dugoročnog pamćenja činjenica i formula - to su referentni signali.

Trigonometrija je jedan od velikih dijelova školske matematike koji se proučava u predmetu geometrija u 8., 9. razredu i u predmetu algebra u 9. razredu, algebra i početak analize u 10. razredu.

Najveća količina gradiva koja se proučava u trigonometriji pada na 10. razred. Velik dio ovog trigonometrijskog materijala može se naučiti i zapamtiti trigonometrijski krug(krug jediničnog polumjera sa središtem u ishodištu pravokutni sustav koordinate). Aplikacija1.ppt

Ovo su sljedeći koncepti trigonometrije:

• definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa kuta;
• radijansko mjerenje kutova;
• domena definicije i raspon trigonometrijskih funkcija
• vrijednosti trigonometrijskih funkcija za neke vrijednosti numeričkog i kutnog argumenta;
• periodičnost trigonometrijskih funkcija;
• parne i neparne trigonometrijske funkcije;
• porast i pad trigonometrijskih funkcija;
• redukcijske formule;
• vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija;
• rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi;
• rješavanje najjednostavnijih nejednadžbi;
• osnovne formule trigonometrije.

Razmotrite proučavanje ovih koncepata na trigonometrijskom krugu.

1) Definicija sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa.

Nakon uvođenja pojma trigonometrijske kružnice (kružnice jediničnog polumjera sa središtem u ishodištu), početnog polumjera (polumjera kružnice u smjeru osi Ox), zakretnog kuta, učenici samostalno dobivaju definicije za sinus, kosinus. , tangens i kotangens na trigonometrijskoj kružnici, koristeći definicije iz geometrije tečaja, odnosno razmatrajući pravokutni trokut s hipotenuzom jednakom 1.

Kosinus kuta je apscisa točke na kružnici kada se početni radijus zakrene za zadani kut.

Sinus kuta je ordinata točke na kružnici kada se početni radijus zakrene za zadani kut.

2) Radijansko mjerenje kutova na trigonometrijskom krugu.

Nakon uvođenja radijanske mjere kuta (1 radijan je središnji kut koji odgovara duljini luka koja je jednaka polumjeru kružnice), učenici zaključuju da je radijanska mjera kuta brojčana vrijednost kuta zakretanja na kružnici. , jednaka duljini odgovarajućeg luka kada se početni radijus zakrene za zadani kut. .

Trigonometrijska kružnica podijeljena je promjerima kružnice na 12 jednakih dijelova. Znajući da je kut radijan, možemo odrediti mjerenje radijana za kutove koji su višekratnici .

Radijanska mjerenja kutova koji su višekratnici dobivaju se na sličan način:

3) Područje definiranja i područje vrijednosti trigonometrijskih funkcija.

Hoće li podudarnost kutova rotacije i vrijednosti koordinata točke na kružnici biti funkcija?

Svaki kut rotacije odgovara jednoj točki na kružnici, tako da je ta korespondencija funkcija.

Dobivanje funkcija

Na trigonometrijskom krugu se vidi da je domena definiranja funkcija skup svih realnih brojeva, a domena vrijednosti .

Uvedimo pojmove pravaca tangenti i kotangenata na trigonometrijskoj kružnici.

1) Neka Uvodimo pomoćnu ravnu liniju paralelnu s osi Oy, na kojoj se određuju tangente za bilo koji numerički argument.

2) Na sličan način dobivamo pravac kotangenata. Neka je y=1, tada . To znači da su vrijednosti kotangensa određene na ravnoj liniji paralelnoj s osi Ox.

Na trigonometrijskoj kružnici lako se može odrediti domena definicije i raspon vrijednosti trigonometrijskih funkcija:

za tangentu -

za kotangens -

4) Vrijednosti trigonometrijskih funkcija na trigonometrijskom krugu.

Krak nasuprot kutu na polovici hipotenuze, odnosno drugi krak prema Pitagorinom teoremu:

Prema definiciji sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa, možete odrediti vrijednosti za kutove koji su višekratnici ili radijani. Vrijednosti sinusa određuju se duž osi Oy, vrijednosti kosinusa duž osi Ox, a vrijednosti tangensa i kotangensa mogu se odrediti iz dodatnih osi paralelnih s osi Oy, odnosno Ox.

Tablične vrijednosti sinusa i kosinusa nalaze se na odgovarajućim osima kako slijedi:

Tablične vrijednosti tangensa i kotangensa -

5) Periodičnost trigonometrijskih funkcija.

Na trigonometrijskoj kružnici se vidi da se vrijednosti sinusa, kosinusa ponavljaju svaki radijan, a tangens i kotangens - svaki radijan.

6) Parne i neparne trigonometrijske funkcije.

Ovo se svojstvo može dobiti usporedbom vrijednosti pozitivnih i suprotnih kutova rotacije trigonometrijskih funkcija. Shvaćamo to

Dakle, kosinus je ravnomjerna funkcija, sve ostale funkcije su neparne.

7) Rastuće i padajuće trigonometrijske funkcije.

Trigonometrijska kružnica pokazuje da funkcija sinusa raste i smanjuje se

Raspravljajući na sličan način, dobivamo intervale porasta i opadanja funkcija kosinus, tangens i kotangens.

8) Formule redukcije.

Za kut uzimamo manju vrijednost kuta na trigonometrijskoj kružnici. Sve formule dobivene su usporedbom vrijednosti trigonometrijskih funkcija na katetama odabranih pravokutnih trokuta.

Algoritam za primjenu redukcijskih formula:

1) Odredite predznak funkcije pri rotaciji za zadani kut.

Prilikom skretanja za ugao funkcija je sačuvana, kod skretanja za kut - cijeli broj, neparan broj, dobiva se kofunkcija (

9) Vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija.

Inverzne funkcije za trigonometrijske funkcije uvodimo pomoću definicije funkcije.

Svaka vrijednost sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa na trigonometrijskoj kružnici odgovara samo jednoj vrijednosti kuta zakreta. Dakle, za funkciju, domena definicije je , domena vrijednosti je - Za funkciju, domena definicije je , domena vrijednosti je . Slično, dobivamo domenu definicije i raspon vrijednosti inverzne funkcije za kosinus i kotangens.

Algoritam za pronalaženje vrijednosti inverznih trigonometrijskih funkcija:

1) pronalaženje na odgovarajućoj osi vrijednosti argumenta inverzne trigonometrijske funkcije;

2) pronalaženje kuta rotacije početnog radijusa, uzimajući u obzir raspon vrijednosti inverzne trigonometrijske funkcije.

Na primjer:

10) Rješenje najjednostavnijih jednadžbi na trigonometrijskoj kružnici.

Za rješavanje jednadžbe oblika , nalazimo točke na kružnici čije su ordinate jednake i zapisujemo odgovarajuće kutove, uzimajući u obzir period funkcije.

Za jednadžbu pronađemo točke na kružnici čije su apscise jednake i zapišemo odgovarajuće kutove, vodeći računa o periodi funkcije.

Slično za jednadžbe oblika Vrijednosti se određuju na linijama tangensa i kotangenata i bilježe se odgovarajući kutovi rotacije.

Sve pojmove i formule trigonometrije učenici usvajaju sami pod jasnim vodstvom nastavnika uz pomoć trigonometrijske kružnice. U budućnosti, ovaj "krug" će im služiti kao referentni signal ili vanjski faktor za reprodukciju u memoriji koncepata i formula trigonometrije.

Proučavanje trigonometrije na trigonometrijskom krugu doprinosi:

• odabir stila komunikacije koji je optimalan za ovaj sat, organiziranje obrazovne suradnje;
• ciljevi lekcije postaju osobno značajni za svakog učenika;
• novi materijal na temelju osobno iskustvo postupci, mišljenje, osjećaji učenika;
• lekcija uključuje razne forme rad i metode stjecanja i usvajanja znanja; postoje elementi međusobnog i samoučenja; samokontrola i međusobna kontrola;
• javlja se brza reakcija o nesporazumu i pogrešci (zajednička diskusija, podrška-naputci, međusobne konzultacije).