točke koje ne leže na istom pravcu? a) sijeku se; b) ništa se ne može reći; c) ne sijeku se; d) utakmica; e) imaju tri dodirne točke.
2. Koja je od sljedećih tvrdnji točna? a) Ako dvije točke kružnice leže u ravnini, onda cijela kružnica leži u ovoj ravnini; b) pravac koji leži u ravnini trokuta siječe dvije njegove stranice; c) bilo koje dvije ravnine imaju samo jednu zajedničku točku; d) ravnina prolazi kroz dvije točke, i štoviše, samo kroz jednu; e) pravac leži u ravnini zadanog trokuta ako siječe dva pravca koji sadrže stranice trokuta.
3. Mogu li dvije različite ravnine imati samo dvije zajedničke točke? a) Nikada; b) mogu, ali uz dodatne uvjete; c) uvijek imati; d) na pitanje se ne može odgovoriti; d) drugi odgovor.
4. Točke K, L, M leže na jednoj pravci, točka N ne leži na njoj. Kroz svake tri točke povučena je jedna ravnina. Koliko je različitih aviona ovo rezultiralo? a) 1; b) 2; na 3; d) 4; e) beskonačno mnogo.
5. Odaberite točnu tvrdnju. a) Ravnina prolazi kroz bilo koje tri točke, štoviše, samo kroz jednu; b) ako dvije točke pravca leže u ravnini, tada sve točke pravca leže u toj ravnini; c) ako dvije ravnine imaju zajedničku točku, onda se ne sijeku; d) kroz pravac i točku koja na njemu leži prolazi ravnina, i to samo jedna; e) Kroz dva pravca koji se sijeku ne može se povući ravnina.
6. Imenujte zajednički pravac ravnina PBM i MAB. a) PM b) AB; c) PB; d) BM; d) ne može se odrediti.
7. Pravci a i b sijeku se u točki M. Pravac c koji ne prolazi točkom M siječe pravce a i b. Što se može reći o međusobnom položaju pravaca a, b i c? a) Svi pravci leže u različitim ravninama; b) pravci a i b leže u istoj ravnini; c) svi pravci leže u istoj ravnini; d) ništa se ne može reći e) pravac c poklapa se s jednim od pravaca: s a ili s b.
8. Pravci a i b sijeku se u točki O. A € a, B € b, Y € AB. Odaberite točnu tvrdnju. a) Točke O i Y ne leže u istoj ravnini; b) pravci OY i a su paralelni; c) pravci a, b i točka Y leže u istoj ravnini; d) točke O i Y se podudaraju; e) točke Y i A se poklapaju.
opcija 2.1. Što se može reći o međusobnom položaju dviju ravnina koje imaju tri zajedničke točke koje ne leže na istoj ravni?
a) sijeku se; b) ništa se ne može reći; c) ne sijeku se; d) utakmica; e) imaju tri dodirne točke.
2. Koja je od sljedećih tvrdnji točna?
a) Ako dvije točke kružnice leže u ravnini, onda cijela kružnica leži u ovoj ravnini; b) pravac koji leži u ravnini trokuta siječe dvije njegove stranice; c) bilo koje dvije ravnine imaju samo jednu zajedničku točku; d) ravnina prolazi kroz dvije točke, i štoviše, samo kroz jednu; e) pravac leži u ravnini zadanog trokuta ako siječe dva pravca koji sadrže stranice trokuta.
3. Mogu li dvije različite ravnine imati samo dvije zajedničke točke?
a) Nikada; b) mogu, ali uz dodatne uvjete; c) uvijek imati; d) na pitanje se ne može odgovoriti; d) drugi odgovor.
4. Točke K, L, M leže na jednoj pravci, točka N ne leži na njoj. Kroz svake tri točke povučena je jedna ravnina. Koliko je različitih aviona ovo rezultiralo?
a) 1; b) 2; na 3; d) 4; e) beskonačno mnogo.
5. Odaberite točnu tvrdnju.
a) Ravnina prolazi kroz bilo koje tri točke, štoviše, samo kroz jednu; b) ako dvije točke pravca leže u ravnini, tada sve točke pravca leže u toj ravnini; c) ako dvije ravnine imaju zajedničku točku, onda se ne sijeku; d) kroz pravac i točku koja na njemu leži prolazi ravnina, i to samo jedna; e) Kroz dva pravca koji se sijeku ne može se povući ravnina.
6. Imenujte zajednički pravac ravnina PBM i MAB.
a) PM b) AB; c) PB; d) BM; d) ne može se odrediti.
7. Koju od navedenih ravnina siječe pravac RM (sl. 1)?
a) DD1C; b) D1PM; c) B1PM; d) ABC; e) CDA.
B1 C1
8. Dvije se ravnine sijeku pravocrtno c. Točka M leži samo u jednoj od ravnina. Što se može reći o međusobnom položaju točke M i pravca c?
a) Ne može se izvući zaključak; b) pravac c prolazi točkom M; c) točka M leži na pravcu c; d) pravac c ne prolazi točkom M; d) drugi odgovor.
9. Pravci a i b sijeku se u točki M. Pravac c koji ne prolazi točkom M siječe pravce a i b. Što se može reći o međusobnom položaju pravaca a, b i c?
a) Svi pravci leže u različitim ravninama; b) pravci a i b leže u istoj ravnini; c) svi pravci leže u istoj ravnini; d) ništa se ne može reći e) pravac c poklapa se s jednim od pravaca: s a ili s b.
10. Pravci a i b sijeku se u točki O. A € a, B € b, Y € AB. Odaberite točnu tvrdnju.
a) Točke O i Y ne leže u istoj ravnini; b) pravci OY i a su paralelni; c) pravci a, b i točka Y leže u istoj ravnini; d) točke O i Y se podudaraju; e) točke Y i A se poklapaju.
su zrake AB i AC okomite na njegov rub? 2. Je li točno da je linearni kut BAC diedralni kut ako zrake AB i AC leže na plohama diedralnog kuta? 3. Je li točno da je kut BAC linearni kut dvostranog kuta ako su zrake AB i AC okomite na njegov rub, a točke E i C leže na plohama kuta? 4. Linearni kut diedralnog kuta je 80 stupnjeva. Postoji li crta na jednoj od stranica kuta okomita na drugu stranu? 5. Kut ABC - linearni kut diedralnog kuta s alfa bridom. Je li pravac alpha okomit na ravninu ABC? Je li točno da svi pravci okomiti na danu ravninu i koji sijeku dani pravac leže u istoj ravnini?
Aksiomi stereometrije.
A1. Kroz bilo koje tri točke koje ne leže na danoj liniji prolazi ravnina, štoviše, samo jedna;
Sl.1. Kroz pravac i točku koja na njemu ne leži prolazi ravnina, i štoviše, samo jedna;
Sl.2. Kroz dvije crte koje se sijeku prolazi ravnina, i štoviše, samo jedna;
Sl.3. Ravnina prolazi kroz dva paralelna pravca, i štoviše, kroz samo jedan.
A2. Ako dvije točke pravca leže u ravnini, tada sve točke pravca leže u toj ravnini;
A3. Ako dvije ravnine imaju zajedničku točku, onda imaju i zajedničku ravninu na kojoj leže sve zajedničke točke tih ravnina.
Glavne figure stereometrije- bodova (A, B, C...), ravno (a, b, c…), avion ( …) , poliedri i rotacijska tijela.
Pod, ispod rezna ravnina volumetrijska figura razumjet ćemo ravninu, s obje strane koje se nalaze točke ove figure.
Po mjera udaljenosti između točke, pravca i ravnine uzet ćemo duljinu njihove zajedničke okomice.
2. Međusobni raspored linija u prostoru.
U prostoru dvije ravne mogu biti paralelni, presijecati se ili presijecati.
| 1A | Def. Paralelno pravci u prostoru su pravci koji leže u istoj ravnini i ne sijeku se. Prema 3. Ravnina prolazi kroz dva paralelna pravca, i to samo kroz jedan. | |
| 1B | T 1 (o tranzitivnosti). Dvije linije paralelne s trećom su međusobno paralelne. | |
| 2A | Prema riječi 2. Nakon dva sijekući se ravne linije prolaze kroz ravninu, i štoviše, samo jedna | |
| 3A | Def. Dvije linije se nazivaju križanje ako ne leže u istoj ravnini. | |
| T 2 (Znak linija koje se sijeku). Ako jedan od dva pravca leži u određenoj ravnini, a drugi pravac siječe tu ravninu u točki koja ne pripada prvom pravcu, onda su takvi pravci kosi. | ||
| 3B | Def. Kut između kosih linija je kut između pravaca koji se sijeku paralelnih s njima. | |
| 3B | Def. Zajednička okomica dviju pravaca koje se sijeku je isječak koji ima krajeve na tim pravcima i okomit je na njih (razmak između nagnutih linija). |
- Međusobni raspored pravaca i ravnina u prostoru.
U prostoru pravac i ravnina mogu biti paralelno, sijeku se ili ravno može u potpunosti ležati u ravnini.
| 1A | Def. Ravno nazvao paralelna ravnina, ako je paralelan s bilo kojim pravcem koji leži u ovoj ravnini. | |
| 1B | T 3 (Znak paralelnosti pravca i ravnine). Pravac koji ne leži u ravnini je paralelan s ravninom ako je paralelan s nekim pravcem koji leži u toj ravnini. | |
| 2A | Def. Izravni poziv okomito na ravninu , ako je okomit na bilo koji presječni pravac koji leži u ovoj ravnini. | |
| 2B | T 4 (znak okomitosti pravca i ravnine) Ako je pravac koji se siječe s ravninom okomit na bilo koja dva pravca koji se sijeku u toj ravnini, onda je okomit i na bilo koji treći pravac koji leži u toj ravnini. | |
| 2B | T 5 (oko dvije paralelne crte okomite na treću). Ako je jedan od dva paralelna pravca okomit na ravninu, onda je i drugi pravac okomit na tu ravninu. | |
| 2G | Def. Kut između pravca i ravnine je kut između zadanog pravca i njegove projekcije na ravninu. | |
| 2D | Def. Bilo koja druga ravna crta, različita od okomice i koja siječe ravninu, naziva se kosi na ovu ravninu (sl. vidi dolje). Def. Projekcija kosa na ravninu zove se isječak koji povezuje osnovicu okomice i kose. T 6 (o duljini okomice i kose). 1) Okomica povučena na ravninu kraća je od nagnute na tu ravninu; 2) Jednake kose odgovaraju jednakim projekcijama; 3) Od dva nagnuta veći je onaj čija je projekcija veća. | |
| 2E | T 7 (oko tri okomice). Ravnica povučena ravninom kroz podnožje nagnute projekcije okomito na nju okomita je i na najnagnutiju. T 8 (obrnuto). Ravnica povučena ravninom kroz podnožje nagnute ravnine i okomita na nju okomita je i na projekciju nagnute ravnine na tu ravninu. | |
| 3A | Prema aksiomu 2. Ako dvije točke pravca leže u ravnini, tada sve točke pravca leže u toj ravnini |
- Međusobni raspored ravnina u prostoru.
U svemiru, avioni mogu biti paralelno ili križ.
| 1A | Def. Dva avion nazvao paralelno ako se ne sijeku. | |
| T 9 (znak paralelnih ravnina). Ako su dva pravca jedne ravnine koji se sijeku paralelna s dvama pravcima druge ravnine, tada su te ravnine paralelne. | ||
| 1B | T 10 Ako su dvije paralelne ravnine presječene trećom ravninom, tada su izravna sjecišta paralelna (svojstvo paralelnih ravnina 1). | |
| 1B | T 11 Isječci paralelnih pravaca zatvoreni između paralelnih ravnina su jednaki (svojstvo paralelnih ravnina 2). | |
| 2A | Po aksiomu 3 . Ako dvije ravnine imaju zajedničku točku, onda imaju i zajedničku liniju na kojoj leže sve zajedničke točke tih ravnina ( ravnine se sijeku pravocrtno). | |
| 2B | T 12 (znak okomitosti ravnina). Ako ravnina prolazi pravcem okomitim na drugu ravninu, tada su te ravnine okomite. | |
| 2B | Def. diedralni kut naziva se lik kojeg čine dvije poluravnine koje izlaze iz jedne ravne crte. Ravnina okomita na rub diedralnog kuta siječe njegova lica duž dvije zrake. Kut koji čine ove zrake naziva se linearni kut diedralnog kuta. Po dihedral mjera kuta uzima se mjera odgovarajućeg linearnog kuta. |
I5 Bez obzira na tri točke koje ne leže na istom pravcu, kroz te točke prolazi najviše jedna ravnina.
I6 Ako dvije točke A i B pravca leže u ravnini a, tada svaka točka pravca a leži u ravnini a. (U ovom slučaju ćemo reći da pravac a leži u ravnini a ili da ravnina a prolazi kroz pravac a.
I7 Ako dvije ravnine a i b imaju zajedničku točku A, tada imaju barem još jednu zajedničku točku B.
I8 Postoje najmanje četiri točke koje ne leže u istoj ravnini.
Već iz ovih 8 aksioma može se izvesti nekoliko teorema elementarne geometrije koji su jasno očiti i stoga se ne dokazuju u školskom tečaju geometrije, a čak su ponekad, iz logičnih razloga, uključeni u aksiome određenog školskog tečaja.
Na primjer:
1. Dva pravca imaju najviše jednu zajedničku točku.
2. Ako dvije ravnine imaju zajedničku točku, onda imaju i zajedničku liniju na kojoj leže sve zajedničke točke tih dviju ravnina
Dokaz: (za pokazivanje):
Po I 7 $ B, koji također pripada a i b, jer A, B "a, zatim prema I 6 AB "b. Dakle, pravac AB je zajednički dvjema ravninama.
3. Kroz pravac i točku koja na njemu ne leži, kao i kroz dva pravca koji se sijeku, prolazi jedna i samo jedna ravnina.
4. Na svakoj ravnini postoje tri točke koje ne leže na jednoj ravnoj liniji.
KOMENTAR: S ovim aksiomima možete dokazati nekoliko teorema, a većina ih je tako jednostavna. Posebno se iz ovih aksioma ne može dokazati da skup geometrijski elementi beskrajno.
II GRUPA Aksiomi reda.
Ako su tri točke dane na ravnoj liniji, tada se jedna od njih može postaviti prema druge dvije u odnosu "ležati između", što zadovoljava sljedeće aksiome:
II1 Ako se B nalazi između A i C, tada su A, B, C različite točke iste linije, a B se nalazi između C i A.
II2 Koje god dvije točke A i B bile, postoji barem jedna točka C na pravcu AB takva da B leži između A i C.
II3 Između bilo koje tri točke pravca najviše jedna točka leži između dvije druge.
Prema Hilbertu, par točaka A i B razumijeva se preko segmenta AB(BA). Točke A i B nazivaju se krajevima segmenta, a svaka točka koja leži između točaka A i B naziva se unutarnjom točkom segmenta. AB(BA).
KOMENTAR: Ali iz II 1-II 3 još ne slijedi da svaki segment ima unutarnje točke, nego iz II 2, z da segment ima vanjske točke.
II4 (Paschov aksiom) Neka su A, B, C tri točke koje ne leže na istoj pravoj liniji i neka je A pravac u ravnini ABC koja ne prolazi niti jednom od točke A, B, C. Tada ako pravac a prolazi kroz točku dužine AB, onda prolazi i kroz točku dužine AC ili BC.
Sl.1: Koje god bile točke A i C, postoji barem jedna točka D na pravcu AC koja leži između A i C.
Dok-in: I 3 Þ$ tj. ne leži na pravcu AC
Sl.2. Ako C leži na segmentu AD i B između A i C, tada B leži između A i D, a C leži između B i D.Sada možemo dokazati dvije tvrdnje
DC3 Tvrdnja II 4 vrijedi i ako točke A, B i C leže na istoj ravnici.
I najzanimljivije.
Sl.4 . Između bilo koje dvije točke pravca nalazi se beskonačan broj drugih točaka na njemu (samodostatnih).
Međutim, ne može se utvrditi da je skup točaka pravca neprebrojiv. .
Aksiomi skupina I i II omogućuju nam uvođenje tako važnih pojmova kao što su poluravnina, zraka, poluprostor i kut. Dokažimo prvo teorem.
Th1. Pravac a koji leži u ravnini a dijeli skup točaka te ravnine koje ne leže na pravcu a na dva neprazna podskupa, tako da ako točke A i B pripadaju istom podskupu, tada dužina AB nema zajedničkih točke s pravcem a; ako te točke pripadaju različitim podskupovima, tada dužina AB ima zajedničku točku s pravcem a.
Ideja: uvodi se relacija, naime t. A i B Ï a su u odnosu na Δ ako dužica AB nema zajedničkih točaka s pravcem a ili se te točke poklapaju. Zatim su razmatrani skupovi klasa ekvivalencije s obzirom na Δ. Jednostavnim argumentima dokazuje se da ih ima samo dva.
ODA1 Svaki od podskupova točaka definiranih prethodnim teoremom naziva se poluravnina s granicom a.
Slično, možemo uvesti pojmove zrake i poluprostora.
Zraka- h, a pravac je .
ODA2 Kut je par zraka h i k koji izlaze iz iste točke O i ne leže na istoj ravnici. pa se O naziva vrhom kuta, a zrake h i k stranicama kuta. Označava se na uobičajeni način: Ðhk.
Točku M nazivamo unutarnjom točkom kuta hk ako točka M i zraka k leže u istoj poluravnini s rubom, a točka M i zraka k leže u istoj poluravnini s rubom. Skup svih unutarnjih točaka naziva se unutrašnjost kuta.
vanjsko područje kut - beskonačan skup, jer sve točke segmenta s krajevima na različitim stranama kuta su unutarnje. Iz metodoloških razloga, sljedeće se svojstvo često uključuje u aksiome.
Svojstvo: Ako zraka izlazi iz vrha kuta i prolazi kroz barem jednu unutarnju točku tog kuta, tada ona siječe bilo koji segment s krajevima na različitim stranama kuta. (Sebe.)
SKUPINA III. Aksiomi podudarnosti (jednakosti)
Na skupu odsječaka i kutova uvodi se relacija podudarnosti ili jednakosti (označena s “=”), koja zadovoljava aksiome:
III 1 Ako su dati dužina AB i zraka koja izlazi iz točke A / , tada $ t.B / pripada toj zraki, tako da je AB=A / B / .
III 2 Ako je A / B / =AB i A // B // =AB, onda je A / B / =A // B // .
III 3 Neka su A-V-S, A / -V / -S / , AV=A / V / i VS=V / S / , tada je AC=A / S /
ODA3 Ako je O / točka, h / je zraka koja izlazi iz te točke, a l / je poluravnina s granicom , tada se trojka objekata O / ,h / i l / naziva zastavom (O / ,h / ,l /).
III 4 Neka su zadani Ðhk i zastavica (O / ,h / ,l /). Tada u poluravnini l / postoji jedinstvena zraka k / koja izlazi iz točke O / takva da je Ðhk = Ðh / k / .
III 5 Neka su A, B i C tri točke koje ne leže na istoj pravoj liniji. Ako je istovremeno AB=A / B / , AC=A / C / , ÐB / A / C / = ÐBAC, tada je RABC = ÐA / B / C / .
1. Točka B / B III 1 jedina je na ovoj gredi (samo.)
2. Relacija podudarnosti segmenata je relacija ekvivalencije na skupu segmenata.
3. U jednakokračnom trokutu kutovi na osnovicama su jednaki. (Prema III 5).
4. Znakovi jednakosti trokuta.
5. Relacija podudarnosti kutova je relacija ekvivalencije na skupu kutova. (Izvješće)
6. Vanjski kut trokuta veći je od svakog kuta trokuta koji mu nije susjedan.
7. U svakom trokutu nasuprot većoj stranici leži veći kut.
8. Svaki segment ima jedno i samo jedno središte
9. Svaki kut ima jednu i samo jednu simetralu
Možete uvesti sljedeće pojmove:
ODA4 Kut jednak svom susjednom kutu naziva se pravim kutom..
Može definirati okomite kutove, okomite i kose, itd.
Moguće je dokazati jedinstvenost ^. Možete uvesti pojmove > i< для отрезков и углов:
ODA5 Ako su dani segmenti AB i A / B / i $ t.C, tako da A / -C-B / i A / C \u003d AB, tada A / B / > AB.
ODA6 Ako su dana dva kuta Ðhk i Ðh / k / i ako se kroz unutrašnjost Ðhk i njegov vrh može povući zraka l tako da je Ðh / k / = Ðhl, tada je Ðhk > Ðh / k / .
A što je najzanimljivije, uz pomoć aksioma skupina I-III moguće je uvesti pojam kretanja (prekrivanje).
Radi se ovako:
Neka su dana dva skupa točaka p i p /. Pretpostavimo da je između točaka tih skupova uspostavljena korespondencija jedan na jedan. Svaki par točaka M i N skupa p određuje segment MN. Neka su M / i N / točke skupa p / koje odgovaraju točkama MN. Složit ćemo se da segment M / N / koji odgovara segmentu MN nazovemo.
ODA7 Ako je korespondencija između p i p / takva da se odgovarajući segmenti uvijek pokažu međusobno sukladnim, tada postavlja p i p / nazivamo sukladnim . Također se kaže da je svaki od skupova p i p / dobiven pokret iz drugoga ili da se jedan od tih skupova može nadograditi na drugi. Odgovarajuće točke skupa p i p / nazivaju se superponirane.
Aplikacija 1: Točke koje leže na pravoj pri gibanju prelaze u točke koje također leže na nekom pravcu.
Utv2 Kut između dva odsječka koji spaja bilo koju točku skupa s dvije druge točke sukladan je kutu između odgovarajućih odsječaka sukladnog skupa.
Možete uvesti koncept rotacije, pomaka, kompozicije pokreta itd.
SKUPINA IV. Aksiomi kontinuiteta i.
IV 1 (Aksiom Arhimeda). Neka su AB i CD neki segmenti. Tada na pravcu AB postoji konačan skup točaka A 1 , A 2 , …, A n tako da su ispunjeni sljedeći uvjeti:
1. A-A 1 -A 2, A 1 -A 2 -A 3, ..., A n -2 -A n -1 -A n
2. AA 1 = A 1 A 2 = … = A n-1 A n = CD
3. A-B-An
IV2 (Cantorov aksiom) Neka je na proizvoljnoj liniji a zadan beskonačan niz odsječaka A1V1, A2V2,… od kojih svaki sljedeći leži unutar prethodnog i, osim toga, za svaki odsječak CD postoji prirodni broj n takav da je AnBn< СD. Тогда на прямой а существует т.М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.
