, isprekidana linija itd.:

Ako pomno pogledate sve ove figure, možete odabrati dvije od njih, koje tvore zatvorene linije (krug i trokut). Ove figure imaju neku vrstu granice koja odvaja ono što je unutra od onoga što je izvana. Odnosno, granica dijeli ravninu na dva dijela: unutarnji i vanjsko područje u vezi sa figurom na koju se odnosi:

Perimetar

Perimetar je zatvorena granica ravnine geometrijski lik odvajajući svoju unutarnju regiju od vanjske.

Svaka zatvorena geometrijska figura ima opseg:

Na slici su perimetri označeni crvenom linijom. Imajte na umu da se opseg kruga često naziva duljinom.

Opseg se mjeri u jedinicama za duljinu: mm, cm, dm, m, km.

Za sve poligone nalaženje opsega svodi se na zbrajanje duljina svih stranica, odnosno opseg mnogokuta je uvijek jednak je zbroju duljina njegovih stranica. Pri izračunavanju opsega često se označava velikim latiničnim slovom P:

Kvadrat

Površina je dio ravnine koji zauzima zatvorena ravna geometrijska figura.

Svaka ravna zatvorena geometrijska figura ima određeno područje. Na crtežima, područje geometrijskih oblika je unutarnje područje, odnosno onaj dio ravnine koji je unutar perimetra.

mjeriti površinu figure - znači pronaći koliko je puta druga figura smještena u danu figuru, uzetu kao mjernu jedinicu. Obično se kao jedinica za mjerenje površine uzima kvadrat, u kojem je stranica jednaka jedinici za mjerenje duljine: milimetar, centimetar, metar itd.

Slika prikazuje kvadratni centimetar. - kvadrat čija je svaka stranica duga 1 cm:

Površina se mjeri u kvadratnih jedinica ah mjerenje duljine. Površinske jedinice uključuju: mm 2, cm 2, m 2, km 2 itd.

Tablica pretvorbe kvadratnih jedinica

	mm 2	cm 2	dm 2	m 2	ar (tkati)	hektar (ha)	km 2
mm 2	1 mm 2	0,01 cm2	10 -4 dm 2	10 -6 m 2	10 -8 ar	10 -10 ha	10 -12 km 2
cm 2	100 mm 2	1 cm 2	0,01 dm 2	10 -4 m 2	10 -6 su	10 -8 ha	10 -10 km 2
dm 2	10 4 mm 2	100 cm 2	1 dm 2	0,01 m2	10 -4 ar	10 -6 ha	10 -8 km 2
m 2	10 6 mm 2	10 4 cm 2	100 dm 2	1 m 2	0,01 ar	10 -4 ha	10 -6 km 2
ar	10 8 mm 2	10 6 cm 2	10 4 dm 2	100 m2	1 su	0,01 ha	10 -4 km 2
Ha	10 10 mm 2	10 8 cm 2	10 6 dm 2	10 4 m 2	100 su	1 ha	0,01 km2
km 2	10 12 mm 2	10 10 cm 2	10 8 dm 2	10 6 m 2	10 4 ar	100 ha	1 km 2

10 4 = 10 000	10 -4 = 0,000 1
10 6 = 1 000 000	10 -6 = 0,000 001
10 8 = 100 000 000	10 -8 = 0,000 000 01
10 10 = 10 000 000 000	10 -10 = 0,000 000 000 1
10 12 = 1 000 000 000 000	10 -12 = 0,000 000 000 001

Znanje o pronalaženju opsega učenici dobivaju osnovna škola. Zatim se te informacije stalno koriste tijekom tečaja matematike i geometrije.

Teorija zajednička svim figurama

Stranke se obično označavaju latiničnim slovima. Štoviše, mogu se označiti kao segmenti. Tada će vam trebati dva slova za svaku stranu i napisana velikim slovima. Ili unesite oznaku s jednim slovom, koje će nužno biti malo.
Slova se uvijek biraju abecednim redom. Za trokut, to će biti prva tri. Šesterokut će ih imati 6 - od a do f. Ovo je korisno za unos formula.

Sada o tome kako pronaći perimetar. To je zbroj duljina svih stranica figure. Broj pojmova ovisi o njegovoj vrsti. Opseg je označen latiničnim slovom P. Mjerne jedinice su iste kao i za stranice.

Formule perimetra za različite oblike

Za trokut: P \u003d a + b + c. Ako je jednakokračan, tada se formula pretvara: P \u003d 2a + c. Kako pronaći opseg trokuta ako je jednakostraničan? Ovo će pomoći: P \u003d 3a.

Za proizvoljni četverokut: P=a+b+c+d. Njegov poseban slučaj je kvadrat, formula perimetra: P=4a. Tu je i pravokutnik, tada je potrebna sljedeća jednakost: P \u003d 2 (a + b).

Što ako ne znate duljinu jedne ili više stranica trokuta?

Upotrijebite teorem o kosinusu ako među podacima postoje dvije strane i kut između njih, koji je označen slovom A. Tada ćete prije pronalaska opsega morati izračunati treću stranu. Za to je korisna sljedeća formula: c² \u003d a² + b² - 2 av cos (A).

Poseban slučaj ovog teorema je onaj koji je formulirao Pitagora za pravokutni trokut. Sadrži vrijednost kosinusa pravi kut postaje nula, što znači da posljednji član jednostavno nestaje.

Postoje situacije kada možete saznati kako pronaći opseg trokuta na jednoj strani. Ali u isto vrijeme poznati su i kutovi figure. Ovdje u pomoć dolazi sinusni teorem, kada su omjeri duljina stranica i sinusa odgovarajućih suprotnih kutova jednaki.

U situaciji kada opseg figure treba pronaći po površini, dobro će doći druge formule. Na primjer, ako je poznat polumjer upisanog kruga, tada je u pitanju kako pronaći opseg trokuta korisna sljedeća formula: S \u003d p * r, ovdje je p poluperimetar. Mora se izvesti iz ove formule i pomnožiti s dva.

Primjeri zadataka

Prvi uvjet. Odredi opseg trokuta čije su stranice 3, 4 i 5 cm.
Riješenje. Morate upotrijebiti gore navedenu jednakost i jednostavno zamijeniti podatke u vrijednosnom zadatku u nju. Računice su jednostavne, dovode do broja 12 cm.
Odgovor. Opseg trokuta je 12 cm.

Drugi uvjet. Jedna stranica trokuta je 10 cm.Poznato je da je druga 2 cm veća od prve, a treća 1,5 puta veća od prve. Potrebno je izračunati njegov opseg.
Riješenje. Da biste saznali, morate izbrojati dvije strane. Drugi je definiran kao zbroj 10 i 2, treći je jednak umnošku 10 i 1,5. Zatim ostaje samo brojati zbroj triju vrijednosti: 10, 12 i 15. Rezultat će biti 37 cm.
Odgovor. Opseg je 37 cm.

Treći uvjet. Postoji pravokutnik i kvadrat. Jedna stranica pravokutnika je 4 cm, a druga je 3 cm duža. Potrebno je izračunati vrijednost stranice kvadrata ako je njegov opseg 6 cm manji od pravokutnika.
Riješenje. Druga stranica pravokutnika je 7. Znajući to, lako je izračunati njegov opseg. Izračun daje 22 cm.
Da biste saznali stranu kvadrata, prvo morate oduzeti 6 od perimetra pravokutnika, a zatim podijeliti dobiveni broj s 4. Kao rezultat, imamo broj 4.
Odgovor. Stranica kvadrata je 4 cm.

Sigurno je svatko od nas naučio u školi tako važnu komponentu geometrije kao perimetar. Pronalaženje perimetra jednostavno je potrebno za rješavanje mnogih problema. Naš članak će vam reći kako pronaći perimetar.

Vrijedno je zapamtiti da je opseg svake figure gotovo uvijek zbroj njezinih stranica. Pogledajmo nekoliko različitih geometrijskih oblika.

1. Pravokutnik je četverokut čije su paralelne stranice u parovima jednake. Ako je jedna strana X, a druga Y, tada dobivamo sljedeću formulu za pronalaženje opsega ove figure:

   P = 2(X+Y) = X+Y+X+Y = 2X+2Y.

   Primjer rješenja problema:

   Recimo da je strana X = 5 cm, strana Y = 10 cm. Dakle, zamjenom ovih vrijednosti u našu formulu, dobivamo - P = 2 * 5 cm + 2 * 10 cm = 30 cm.

2. Trapez je četverokut čije su dvije suprotne stranice paralelne, ali nisu jednake. Opseg trapeza je zbroj sve četiri njegove stranice:

   P = X+Y+Z+W, gdje su X, Y, Z, W stranice figure.

   Primjer rješenja problema:

   Recimo da je strana X = 5 cm, strana Y = 10 cm, strana Z = 8 cm, strana W = 20 cm. Dakle, zamjenom ovih vrijednosti u našu formulu, dobivamo - P = 5 cm + 10 cm + 8 cm + 20 cm = 43 cm.

3. Opseg kruga (obim) može se izračunati pomoću formule:

   P = 2rπ = dπ, gdje je r polumjer kruga, d je promjer kruga.

   Primjer rješenja problema:

   Recimo da je polumjer r naše kružnice 5 cm, tada će promjer d biti 2 * 5 cm = 10 cm. Poznato je da je π = 3,14. Dakle, zamjenom ovih vrijednosti u našu formulu, dobivamo - P = 2 * 5 cm * 3,14 = 31,4 cm.

4. Ako trebate pronaći opseg trokuta, tada možete naići na niz problema dok to radite, jer trokuti mogu imati vrlo različite oblike. Na primjer, postoje oštri, tupi, jednakokračni, pravi ili jednakostrani trokuti. Iako je formula za sve vrste trokuta:

   P = X+Y+Z, gdje su X, Y, Z stranice figure.

   Problem je u tome što pri rješavanju mnogih problema traženja opsega ove figure nećete uvijek znati duljine svih stranica. Na primjer, umjesto podatka o duljini jedne od stranica, možete imati stupanj kuta ili duljinu visine pojedinog trokuta. To će značajno zakomplicirati zadatak, ali neće učiniti njegovo rješenje nerealnim. Kako pronaći perimetar trokuta, bez obzira kakav je oblik, možete pročitati "".

5. Opseg takve figure kao što je romb nalazi se na isti način kao i opseg kvadrata, jer je romb paralelogram koji ima jednake strane. Možete saznati kako pronaći opseg kvadrata čitajući članak na našoj web stranici "".

   Sada znate kako pronaći stranu perimetra geometrijske figure koja vam je potrebna!

U sljedećem ispitni zadaci Odredi opseg lika prikazanog na slici.

Postoji mnogo načina za pronalaženje opsega oblika. Izvorni oblik možete transformirati na takav način da se opseg novog oblika može lako izračunati (na primjer, promijeniti u pravokutnik).

Drugo rješenje je tražiti opseg figure izravno (kao zbroj duljina svih njezinih stranica). Ali u ovom slučaju ne može se osloniti samo na crtež, već pronaći duljine segmenata na temelju podataka problema.

Želim vas upozoriti: u jednom od zadataka, među predloženim odgovorima, nisam pronašao onaj koji mi se pokazao.

c) .

Pomaknimo stranice malih pravokutnika iz unutarnjeg područja u vanjsko. Kao rezultat, veliki pravokutnik je zatvoren. Formula za određivanje opsega pravokutnika

U ovom slučaju, a=9a, b=3a+a=4a. Dakle, P=2(9a+4a)=26a. Opseg velikog pravokutnika dodamo zbroj duljina četiri segmenta od kojih je svaki jednak 3a. Kao rezultat, P=26a+4∙3a= 38a .

c) .

Nakon prijenosa unutarnjih stranica malih pravokutnika u vanjsku površinu, dobivamo veliki pravokutnik, čiji je opseg P=2(10x+6x)=32x, i četiri segmenta, dva duljine x, dva duljine 2x.

Ukupno, P=32x+2∙2x+2∙x= 38x .

?) .

Pomaknimo se 6 horizontalnih "koraka" iznutra prema van. Opseg dobivenog velikog pravokutnika je P=2(6y+8y)=28y. Preostaje pronaći zbroj duljina odsječaka unutar pravokutnika 4y+6∙y=10y. Dakle, opseg figure je P=28y+10y= 38g .

D) .

Pomaknimo okomite segmente iz unutarnjeg područja figure ulijevo, u vanjsko područje. Da biste dobili veliki pravokutnik, pomaknite jednu od 4x duljine u donji lijevi kut.

Opseg izvorne figure nalazimo kao zbroj opsega ovog velikog pravokutnika i duljina preostala tri segmenta P=2(10x+8x)+6x+4x+2x= 48x .

e) .

Premještanjem unutarnjih strana malih pravokutnika na vanjsko područje, dobivamo veliki kvadrat. Njegov opseg je P=4∙10x=40x. Da biste dobili opseg izvorne figure, morate obodu kvadrata dodati zbroj duljina osam segmenata, svaki 3x dug. Ukupno, P=40x+8∙3x= 64x .

b) .

Premjestimo sve vodoravne "stepenice" i okomite gornje segmente u vanjsko područje. Opseg dobivenog pravokutnika je P=2(7y+4y)=22y. Da biste pronašli opseg izvorne figure, morate opsegu pravokutnika dodati zbroj duljina četiri segmenta, svaki s duljinom y: P=22y+4∙y= 26g .

D) .

Pomaknite sve vodoravne crte iz unutarnjeg područja u vanjsko područje i pomaknite dvije okomite vanjske crte u lijevom i desnom kutu, redom, z ulijevo i udesno. Kao rezultat, dobivamo veliki pravokutnik, čiji je opseg P=2(11z+3z)=28z.

Opseg izvorne figure jednak je zbroju opsega velikog pravokutnika i duljina šest segmenata u z: P=28z+6∙z= 34z .

b) .

Rješenje je potpuno slično rješenju prethodnog primjera. Nakon transformacije figure, nalazimo opseg velikog pravokutnika:

P=2(5z+3z)=16z. Obuhvatu pravokutnika dodamo zbroj duljina preostalih šest segmenata od kojih je svaki jednak z: P=16z+6∙z= 22z .

Geometrija se, ako se ne varam, u moje vrijeme učila od petog razreda i opseg je bio i ostao jedan od ključnih pojmova. Tako, opseg je zbroj duljina svih stranica (označava se latiničnim slovom P). Općenito, ovaj se pojam tumači na različite načine, npr.

• ukupna duljina obruba figure,
• duljina svih njegovih stranica,
• zbroj duljina njegovih lica,
• duljina granične linije,
• zbroj svih duljina stranica mnogokuta

Različiti oblici imaju svoje formule za određivanje opsega. Da bismo razumjeli samo značenje, predlažem da samostalno izvedem nekoliko jednostavnih formula:

1. za kvadrat
2. za pravokutnik
3. za paralelogram
4. za kocku
5. za kutiju

Opseg kvadrata

Na primjer, uzmimo najjednostavniji - opseg kvadrata.

Sve stranice kvadrata su jednake. Neka se jedna strana zove "a" (kao i ostale tri), dakle

P = a + a + a + a

ili kompaktniji zapis

Opseg pravokutnika

Zakomplicirajmo zadatak i uzmimo pravokutnik. U tom slučaju više se ne može reći da su sve stranice jednake, pa neka su duljine stranica pravokutnika jednake a i b.

Tada će formula izgledati ovako:

P = a + b + a + b

Opseg paralelograma

Slična situacija bit će s paralelogramom (vidi opseg pravokutnika)

opseg kocke

Što učiniti ako imamo posla s trodimenzionalnom figurom? Na primjer, uzmite kocku. Kocka ima 12 stranica i sve su jednake. Prema tome, opseg kocke može se izračunati na sljedeći način:

Perimetar kutije

Pa, da popravimo materijal, izračunavamo opseg paralelopipeda. Ovdje je potrebno malo razmisliti. Učinimo to zajedno. Kao što znamo, kvadar je figura čije su stranice pravokutnici. Svaki paralelopiped ima dvije baze. Uzmimo jednu od baza i pogledajmo njene stranice - imaju duljine a i b. Prema tome, opseg baze je P = 2a + 2b. Tada je opseg dviju baza

(2a + 2b) * 2 = 4a + 4b

Ali imamo i "c" stranu. Dakle, formula za izračunavanje opsega paralelopipeda izgledat će ovako:

P = 4a + 4b + 4c

Kao što možete vidjeti iz gornjih primjera, sve što treba učiniti za određivanje opsega oblika je pronaći duljinu svake od stranica, a zatim ih zbrojiti.

Zaključno, želio bih napomenuti da svaka figura nema opseg. Na primjer, Sfera nema opseg.