Formule za korijene kvadratne jednadžbe. Razmatraju se slučajevi pravih, višestrukih i kompleksnih korijena. Faktorizacija kvadratni trinom. Geometrijska interpretacija. Primjeri određivanja korijena i faktorizacije.

Osnovne formule

Razmotrimo kvadratnu jednadžbu:
(1) .
Korijeni kvadratne jednadžbe(1) određuju se formulama:
; .
Ove formule mogu se kombinirati ovako:
.
Kada su korijeni kvadratne jednadžbe poznati, tada se polinom drugog stupnja može prikazati kao umnožak faktora (faktoriziran):
.

Nadalje, pretpostavljamo da su to realni brojevi.
Smatrati diskriminanta kvadratne jednadžbe:
.
Ako je diskriminant pozitivan, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva različita realna korijena:
; .
Tada faktorizacija kvadratnog trinoma ima oblik:
.
Ako diskriminant nula, , tada kvadratna jednadžba (1) ima dva višestruka (jednaka) realna korijena:
.
Faktorizacija:
.
Ako je diskriminant negativan, tada kvadratna jednadžba (1) ima dva kompleksna konjugirana korijena:
;
.
Ovdje je zamišljena jedinica, ;
i su stvarni i imaginarni dijelovi korijena:
; .
Zatim

.

Grafička interpretacija

Ako se gradi graf funkcije
,
koja je parabola, tada će točke presjeka grafa s osi biti korijeni jednadžbe
.
Kada je , graf siječe apscisnu os (os) u dvije točke.
Kada je , graf dodiruje x-os u jednoj točki.
Kada je , graf ne prelazi x-os.

Ispod su primjeri takvih grafikona.

Korisne formule povezane s kvadratnom jednadžbom

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Izvođenje formule za korijene kvadratne jednadžbe

Izvodimo transformacije i primjenjujemo formule (f.1) i (f.3):




,
gdje
; .

Dakle, dobili smo formulu za polinom drugog stupnja u obliku:
.
Iz ovoga se vidi da jednadžba

izvedeno na
i .
To jest, i su korijeni kvadratne jednadžbe
.

Primjeri određivanja korijena kvadratne jednadžbe

Primjer 1

(1.1) .

Riješenje

.
Uspoređujući s našom jednadžbom (1.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminante:
.
Budući da je diskriminant pozitivan, jednadžba ima dva realna korijena:
;
;
.

Odavde dobivamo rastavljanje kvadratnog trinoma na faktore:

.

Graf funkcije y = 2 x 2 + 7 x + 3 siječe x-os u dvije točke.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Presijeca x-os (os) u dvije točke:
i .
Ove točke su korijeni izvorne jednadžbe (1.1).

Odgovor

;
;
.

Primjer 2

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(2.1) .

Riješenje

Zapisujemo kvadratnu jednadžbu u opći pogled:
.
Uspoređujući s izvornom jednadžbom (2.1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminante:
.
Budući da je diskriminant nula, jednadžba ima dva višestruka (jednaka) korijena:
;
.

Tada faktorizacija trinoma ima oblik:
.

Graf funkcije y = x 2 - 4 x + 4 dodiruje x-os u jednoj točki.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Dotiče x-osu (os) u jednoj točki:
.
Ova točka je korijen izvorne jednadžbe (2.1). Budući da je ovaj korijen faktoriziran dva puta:
,
onda se takav korijen naziva višekratnik. Odnosno, oni smatraju da postoje dva jednaka korijena:
.

Odgovor

;
.

Primjer 3

Pronađite korijene kvadratne jednadžbe:
(3.1) .

Riješenje

Zapisujemo kvadratnu jednadžbu u općem obliku:
(1) .
Prepišimo izvornu jednadžbu (3.1):
.
Uspoređujući s (1), nalazimo vrijednosti koeficijenata:
.
Pronalaženje diskriminante:
.
Diskriminanta je negativna, . Dakle, nema pravih korijena.

Možete pronaći složene korijene:
;
;
.

Zatim


.

Graf funkcije ne siječe x-os. Nema pravih korijena.

Nacrtajmo funkciju
.
Graf ove funkcije je parabola. Ne siječe apscisu (os). Dakle, nema pravih korijena.

Odgovor

Nema pravih korijena. Složeni korijeni:
;
;
.

Seoska srednja škola Kopyevskaya

10 načina za rješavanje kvadratnih jednadžbi

Voditelj: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

profesorica matematike

s.Kopyevo, 2007

1. Povijest razvoja kvadratnih jednadžbi

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

1.2 Kako je Diofant sastavljao i rješavao kvadratne jednadžbe

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

1.4 Kvadratne jednadžbe u al-Khwarizmi

1.5 Kvadratne jednadžbe u Europi XIII - XVII stoljeća

1.6 O Vietinom teoremu

2. Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi

Zaključak

Književnost

1. Povijest razvoja kvadratnih jednadžbi

1.1 Kvadratne jednadžbe u starom Babilonu

Potreba za rješavanjem jednadžbi ne samo prvog, već i drugog stupnja u antičko doba bila je uzrokovana potrebom rješavanja problema vezanih uz pronalaženje područja kopna i zemljanih radova vojne prirode, kao i razvojem astronomije i sama matematika. Kvadratne jednadžbe uspjeli su riješiti oko 2000 godina pr. e. Babilonci.

Koristeći suvremeni algebarski zapis, možemo reći da u njihovim klinastim tekstovima, osim nepotpunih, postoje takve, na primjer, potpune kvadratne jednadžbe:

x 2 + x = ¾; x 2 - x = 14,5

Pravilo za rješavanje ovih jednadžbi, navedeno u babilonskim tekstovima, u biti se podudara sa suvremenim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do tog pravila. Gotovo svi do sada pronađeni klinasti tekstovi daju samo probleme s rješenjima navedenim u obliku recepata, bez naznake kako su pronađeni.

Usprkos visoka razina razvoj algebre u Babilonu, koncept negativnog broja i opće metode za rješavanje kvadratnih jednadžbi nedostaju u klinastim tekstovima.

1.2 Kako je Diofant sastavljao i rješavao kvadratne jednadžbe.

Diofantova Aritmetika ne sadrži sustavno izlaganje algebre, ali sadrži sustavan niz problema, popraćenih objašnjenjima i riješenih formuliranjem jednadžbi različitih stupnjeva.

Pri sastavljanju jednadžbi Diofant vješto bira nepoznanice kako bi pojednostavio rješenje.

Evo, na primjer, jednog od njegovih zadataka.

Zadatak 11."Pronađi dva broja znajući da je njihov zbroj 20, a umnožak 96"

Diofant tvrdi kako slijedi: iz uvjeta problema proizlazi da željeni brojevi nisu jednaki, jer da su jednaki, tada bi njihov umnožak bio jednak ne 96, već 100. Dakle, jedan od njih bit će veći od pola njihovog zbroja, tj. 10+x, drugi je manji, tj. 10-ice. Razlika među njima 2x .

Otuda jednadžba:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Odavde x = 2. Jedan od željenih brojeva je 12 , ostalo 8 . Riješenje x = -2 jer Diofant ne postoji, budući da je grčka matematika poznavala samo pozitivne brojeve.

Ako ovaj zadatak riješimo odabirom jednog od željenih brojeva kao nepoznanice, tada ćemo doći do rješenja jednadžbe

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Jasno je da Diofant pojednostavljuje rješenje birajući polurazliku željenih brojeva kao nepoznanicu; on uspijeva svesti problem na rješavanje nepotpune kvadratne jednadžbe (1).

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

Problemi za kvadratne jednadžbe nalaze se već u astronomskom traktatu "Aryabhattam", koji je 499. godine sastavio indijski matematičar i astronom Aryabhatta. Drugi indijski znanstvenik, Brahmagupta (7. stoljeće), skicirao je opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedenih na jedan kanonski oblik:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

U jednadžbi (1), koeficijenti, osim za a, također može biti negativan. Brahmaguptina vladavina u biti se podudara s našom.

NA drevna Indija javna natjecanja u rješavanju teških problema bila su uobičajena. U jednoj od starih indijskih knjiga o takvim natjecanjima kaže se sljedeće: “Kao što sunce svojim sjajem nadmašuje zvijezde, tako znanstvenik čovjek zasjeniti slavu drugoga na javnim sastancima, predlažući i rješavajući algebarske probleme. Zadaci su često bili odjeveni u pjesnički oblik.

Ovdje je jedan od problema slavnog indijskog matematičara XII stoljeća. Bhaskara.

Zadatak 13.

„Žesto jato majmuna i dvanaest u trsovima...

Nakon što je jeo moć, zabavio se. Počeli su skakati, viseći ...

Osmi dio njih na kvadratu Koliko je bilo majmuna,

Zabava na livadi. Reci mi, u ovom jatu?

Bhaskarino rješenje pokazuje da je znao za dvovrijednost korijena kvadratnih jednadžbi (slika 3).

Jednadžba koja odgovara problemu 13 je:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara piše pod krinkom:

x 2 - 64x = -768

i, kako bi lijevu stranu ove jednadžbe dovršio do kvadrata, on zbraja obje strane 32 2 , dobivajući tada:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Kvadratne jednadžbe u al-Khorezmi

Al-Khorezmijeva algebarska rasprava daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor navodi 6 vrsta jednadžbi izražavajući ih na sljedeći način:

1) "Kvadrati su jednaki korijenima", tj. sjekira 2 + c = b X.

2) "Kvadrati su jednaki broju", tj. sjekira 2 = s.

3) "Korijeni su jednaki broju", tj. ah = s.

4) "Kvadrati i brojevi jednaki su korijenima", tj. sjekira 2 + c = b X.

5) "Kvadrati i korijeni su jednaki broju", tj. ah 2+ bx = s.

6) "Korijeni i brojevi jednaki su kvadratima", tj. bx + c \u003d sjekira 2.

Za al-Khwarizmija, koji je izbjegavao korištenje negativnih brojeva, članovi svake od ovih jednadžbi su pribrojnici, a ne oduzimanja. U ovom slučaju očito se ne uzimaju u obzir jednadžbe koje nemaju pozitivna rješenja. Autor iznosi metode za rješavanje ovih jednadžbi, koristeći metode al-jabra i al-muqabele. Njegove se odluke, naravno, ne poklapaju u potpunosti s našima. Da ne spominjemo činjenicu da je čisto retoričko, treba napomenuti, na primjer, da kada se rješava nepotpuna kvadratna jednadžba prvog tipa

al-Khorezmi, kao i svi matematičari prije 17. stoljeća, ne uzima u obzir nulto rješenje, vjerojatno zato što ono nije važno u specifičnim praktičnim problemima. Prilikom rješavanja kompletnih kvadratnih jednadžbi, al-Khorezmi postavlja pravila za rješavanje, a zatim geometrijske dokaze, koristeći posebne numeričke primjere.

Zadatak 14.“Kvadrat i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen" (pod pretpostavkom da je korijen jednadžbe x 2 + 21 = 10x).

Autorovo rješenje ide otprilike ovako: podijelite broj korijena na pola, dobit ćete 5, pomnožite 5 samim sobom, od produkta oduzmite 21, ostaje 4. Izvadite korijen iz 4, dobit ćete 2. Oduzmete 2 od 5, dobit ćete dobiti 3, to će biti željeni korijen. Ili dodajte 2 na 5, što će dati 7, ovo je također korijen.

Traktat al-Khorezmi je prva knjiga koja je došla do nas, u kojoj je sustavno navedena klasifikacija kvadratnih jednadžbi i date formule za njihovo rješavanje.

1.5 Kvadratne jednadžbe u Europi XIII - XVII stoljeća

Formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi po modelu al-Khorezmija u Europi su prvi put navedene u "Knjizi o abakusu", koju je 1202. godine napisao talijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovo obimno djelo, koje odražava utjecaj matematike, kako zemalja islama tako i Drevna grčka, razlikuje se i cjelovitošću i jasnoćom prezentacije. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja zadataka i prvi u Europi pristupio uvođenju negativnih brojeva. Njegova knjiga pridonijela je širenju algebarskog znanja ne samo u Italiji, već iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim europskim zemljama. Mnogi zadaci iz "Knjige o abakusu" prešli su u gotovo sve europske udžbenike 16. - 17. stoljeća. i dijelom XVIII.

Opće pravilo za rješavanje kvadratnih jednadžbi svedeno na jedan kanonski oblik:

x 2+ bx = sa,

za sve moguće kombinacije predznaka koeficijenata b , S formulirao je u Europi tek 1544. M. Stiefel.

Vieta ima opći izvod formule za rješavanje kvadratne jednadžbe, ali Vieta je priznavao samo pozitivne korijene. Talijanski matematičari Tartaglia, Cardano, Bombelli među prvima su u 16. stoljeću. Uzmite u obzir, osim pozitivnih, i negativni korijeni. Tek u XVII stoljeću. Zahvaljujući radu Girarda, Descartesa, Newtona i drugih znanstvenika, način rješavanja kvadratnih jednadžbi poprima moderan izgled.

1.6 O Vietinom teoremu

Teorem koji izražava odnos između koeficijenata kvadratne jednadžbe i njezinih korijena, koji nosi ime Vieta, formulirao je prvi put 1591. godine na sljedeći način: “Ako B + D pomnoženo s A - A 2 , jednako BD, onda A jednaki NA i jednaki D ».

Da bismo razumjeli Vietu, moramo to zapamtiti ALI, kao i svaki samoglasnik, za njega je značio ono nepoznato (naš x), samoglasnici NA, D- koeficijenti za nepoznate. U jeziku moderne algebre, gornja Vietina formulacija znači: ako

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Izražavanje odnosa između korijena i koeficijenata jednadžbi opće formule, napisan pomoću simbola, Viet je uspostavio jednoobraznost u metodama rješavanja jednadžbi. Međutim, simbolizam Viete još je daleko od svog modernog oblika. Nije prepoznavao negativne brojeve, pa je pri rješavanju jednadžbi razmatrao samo slučajeve u kojima su svi korijeni pozitivni.

2. Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi

Kvadratne jednadžbe su temelj na kojem počiva veličanstvena građevina algebre. Kvadratne jednadžbe naširoko se koriste u rješavanju trigonometrijskih, eksponencijalnih, logaritamskih, iracionalnih i transcendentalnih jednadžbi i nejednadžbi. Svi znamo rješavati kvadratne jednadžbe od škole (8. razred) do mature.

Kvadratna jednadžba- lako riješiti! *Dalje u tekstu „KU“. Prijatelji, čini se da u matematici to može biti lakše od rješavanja takve jednadžbe. Ali nešto mi je govorilo da mnogi ljudi imaju problema s njim. Odlučio sam vidjeti koliko pojavljivanja Yandex daje po zahtjevu mjesečno. Evo što se dogodilo, pogledajte:

Što to znači? To znači da mjesečno traži oko 70.000 ljudi ova informacija, što ovo ljeto ima s tim, i što će se dogoditi među Školska godina- zahtjevi će biti dvostruko veći. To ne čudi, jer te informacije traže oni momci i djevojke koji su odavno završili školu i spremaju se za ispit, a i školarci pokušavaju osvježiti pamćenje.

Unatoč činjenici da postoji mnogo stranica koje govore kako riješiti ovu jednadžbu, odlučio sam također dati doprinos i objaviti materijal. Prvo, želim da posjetitelji dođu na moju stranicu na ovaj zahtjev; drugo, u drugim člancima, kada se pojavi govor "KU", dat ću poveznicu na ovaj članak; treće, reći ću vam nešto više o njegovom rješenju nego što se obično navodi na drugim stranicama. Započnimo! Sadržaj članka:

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika:

gdje su koeficijenti a,ba s proizvoljnim brojevima, s a≠0.

U školskom tečaju gradivo se daje u sljedećem obliku - podjela jednadžbi na tri razreda uvjetno se vrši:

1. Imati dva korijena.

2. * Imati samo jedan korijen.

3. Nemaju korijenje. Ovdje je vrijedno napomenuti da oni nemaju prave korijene

Kako se izračunavaju korijeni? Samo!

Izračunavamo diskriminantu. Ispod ove "strašne" riječi krije se vrlo jednostavna formula:

Formule korijena su sljedeće:

*Ove formule morate znati napamet.

Možete odmah zapisati i riješiti:

Primjer:

1. Ako je D > 0, onda jednadžba ima dva korijena.

2. Ako je D = 0, onda jednadžba ima jedan korijen.

3. Ako je D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pogledajmo jednadžbu:

Po ovom prilikom, kada je diskriminant nula, školski tečaj kaže da se dobije jedan korijen, ovdje je jednak devet. Tako je, ali...

Ovaj prikaz je donekle netočan. Zapravo, postoje dva korijena. Da, da, nemojte se iznenaditi, ispadaju dva jednaka korijena, a da bismo bili matematički točni, tada u odgovoru treba napisati dva korijena:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ali to je tako - mala digresija. U školi možete napisati i reći da postoji samo jedan korijen.

Sada sljedeći primjer:

Kao što znamo, korijen negativnog broja se ne izdvaja, pa rješenja u ovaj slučaj Ne.

To je cijeli proces odlučivanja.

Kvadratna funkcija.

Evo kako rješenje izgleda geometrijski. Ovo je iznimno važno razumjeti (u budućnosti ćemo u jednom od članaka detaljno analizirati rješenje kvadratne nejednadžbe).

Ovo je funkcija obrasca:

gdje su x i y varijable

a, b, c - zadani brojevi, gdje je a ≠ 0

Graf je parabola:

Odnosno, ispada da rješavanjem kvadratne jednadžbe s "y" jednakim nuli, nalazimo točke sjecišta parabole s x-osi. Ove točke mogu biti dvije (diskriminanta je pozitivna), jedna (diskriminanta je nula) ili nijedna (diskriminacija je negativna). Više o kvadratnoj funkciji Možete pogledatičlanak Inne Feldman.

Razmotrite primjere:

Primjer 1: Odlučite 2x 2 +8 x–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Odgovor: x 1 = 8 x 2 = -12

* Možete odmah otići i desna strana jednadžbu podijeliti s 2, odnosno pojednostaviti. Izračuni će biti lakši.

Primjer 2: Odlučiti x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Dobili smo x 1 \u003d 11 i x 2 \u003d 11

U odgovoru je dozvoljeno napisati x = 11.

Odgovor: x = 11

Primjer 3: Odlučiti x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Diskriminanta je negativna, nema rješenja u realnim brojevima.

Odgovor: nema rješenja

Diskriminant je negativan. Postoji rješenje!

Ovdje ćemo govoriti o rješavanju jednadžbe u slučaju kada je dobivena negativna diskriminacija. Znate li nešto o kompleksnim brojevima? Ovdje neću ulaziti u detalje zašto su i gdje nastali te koja je njihova konkretna uloga i potreba u matematici, to je tema za veliki zaseban članak.

Pojam kompleksnog broja.

Malo teorije.

Kompleksni broj z je broj oblika

z = a + bi

gdje su a i b realni brojevi, i je takozvana imaginarna jedinica.

a+bi je JEDAN BROJ, a ne zbrajanje.

Imaginarna jedinica jednaka je korijenu iz minus jedan:

Sada razmotrite jednadžbu:

Dobijte dva konjugirana korijena.

Nepotpuna kvadratna jednadžba.

Razmotrimo posebne slučajeve, to je kada je koeficijent "b" ili "c" jednak nuli (ili su oba jednaka nuli). Rješavaju se jednostavno bez ikakvih diskriminacija.

Slučaj 1. Koeficijent b = 0.

Jednadžba ima oblik:

Preobrazimo se:

Primjer:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Slučaj 2. Koeficijent c = 0.

Jednadžba ima oblik:

Transformiraj, faktoriziraj:

*Umnožak je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli.

Primjer:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 ili x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Slučaj 3. Koeficijenti b = 0 i c = 0.

Ovdje je jasno da će rješenje jednadžbe uvijek biti x = 0.

Korisna svojstva i obrasci koeficijenata.

Postoje svojstva koja omogućuju rješavanje jednadžbi s velikim koeficijentima.

ax 2 + bx+ c=0 jednakost

a + b+ c = 0, zatim

— ako za koeficijente jednadžbe ax 2 + bx+ c=0 jednakost

a+ sa =b, zatim

Ova svojstva pomažu u rješavanju određene vrste jednadžbi.

Primjer 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Zbroj koeficijenata je 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, dakle

Primjer 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0

Jednakost a+ sa =b, sredstva

Pravilnosti koeficijenata.

1. Ako je u jednadžbi ax 2 + bx + c \u003d 0 koeficijent "b" (a 2 +1), a koeficijent "c" numerički jednak koeficijentu "a", tada su njegovi korijeni

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednadžbu 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Ako je u jednadžbi ax 2 - bx + c \u003d 0, koeficijent "b" (a 2 +1), a koeficijent "c" numerički jednak koeficijentu "a", tada su njegovi korijeni

sjekira 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednadžbu 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ako je u jednadžbi ax 2 + bx - c = 0 koeficijent "b" jednako (a 2 – 1), a koeficijent “c” brojčano jednak koeficijentu "a", tada su mu korijeni jednaki

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednadžbu 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Ako je u jednadžbi ax 2 - bx - c \u003d 0 koeficijent "b" jednak (a 2 - 1), a koeficijent c brojčano jednak koeficijentu "a", tada su njegovi korijeni

sjekira 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Primjer. Razmotrimo jednadžbu 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Vietin teorem.

Vietin teorem je dobio ime po poznatom francuskom matematičaru Francoisu Vieti. Koristeći Vietin teorem, može se izraziti zbroj i umnožak korijena proizvoljnog KU u smislu njegovih koeficijenata.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

U zbroju, broj 14 daje samo 5 i 9. To su korijeni. Uz određenu vještinu, koristeći prikazani teorem, možete odmah usmeno riješiti mnoge kvadratne jednadžbe.

Štoviše, Vietin teorem. prikladno jer se nakon rješavanja kvadratne jednadžbe na uobičajeni način (preko diskriminante) mogu provjeriti dobiveni korijeni. Preporučujem da to radite cijelo vrijeme.

NAČIN PRIJENOSA

Ovom metodom koeficijent "a" se množi sa slobodnim članom, kao da se "prebacuje" na njega, zbog čega se naziva način prijenosa. Ova se metoda koristi kada je lako pronaći korijene jednadžbe pomoću Vietinog teorema i, što je najvažnije, kada je diskriminant točan kvadrat.

Ako a a± b+c≠ 0, tada se koristi tehnika prijenosa, na primjer:

2x 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => x 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

Prema Vieta teoremu u jednadžbi (2), lako je odrediti da je x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Dobiveni korijeni jednadžbe moraju se podijeliti sa 2 (budući da su dva “bačena” iz x 2), dobivamo

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0,5.

Koje je obrazloženje? Vidi što se događa.

Diskriminanti jednadžbi (1) i (2) su:

Ako pogledate korijene jednadžbi, tada se dobivaju samo različiti nazivnici, a rezultat ovisi upravo o koeficijentu pri x 2:

Drugi (modificirani) korijeni su 2 puta veći.

Stoga rezultat dijelimo s 2.

*Ako bacimo tri iste vrste, tada rezultat dijelimo s 3, i tako dalje.

Odgovor: x 1 = 5 x 2 = 0,5

kvadrat ur-ie i ispit.

Reći ću ukratko o njegovoj važnosti - TREBATE MOĆI ODLUČIVATI brzo i bez razmišljanja, morate znati formule korijena i diskriminate napamet. Puno zadataka koji su dio USE zadataka svode se na rješavanje kvadratne jednadžbe (uključujući i geometrijske).

Ono što je vrijedno pažnje!

1. Oblik jednadžbe može biti "implicitan". Na primjer, moguć je sljedeći unos:

15+ 9x 2 - 45x = 0 ili 15x+42+9x 2 - 45x=0 ili 15 -5x+10x 2 = 0.

Morate ga dovesti u standardni oblik (kako se ne biste zbunili prilikom rješavanja).

2. Zapamtite da je x nepoznata vrijednost i da se može označiti bilo kojim drugim slovom - t, q, p, h i drugima.

Više na jednostavan način. Da biste to učinili, izvadite z iz zagrada. Dobivate: z(az + b) = 0. Faktori se mogu napisati: z=0 i az + b = 0, budući da oba mogu rezultirati nulom. U zapisu az + b = 0 drugu pomičemo udesno s drugim predznakom. Odavde dobivamo z1 = 0 i z2 = -b/a. Ovo su korijeni originala.

Ako ima nepotpuna jednadžba oblika az² + c = 0, u ovom slučaju nalaze se jednostavnim prijenosom slobodnog člana na desnu stranu jednadžbe. Također promijenite njegov predznak. Dobivate zapis az² \u003d -s. Izrazite z² = -c/a. Izvadite korijen i zapišite dva rješenja - pozitivnu i negativnu vrijednost kvadratnog korijena.

Bilješka

Ako u jednadžbi postoje frakcijski koeficijenti, pomnožite cijelu jednadžbu s odgovarajućim faktorom kako biste se riješili razlomaka.

Znati riješiti kvadratne jednadžbe potrebno je i školarcima i studentima, ponekad može pomoći odrasloj osobi u svakodnevnom životu. Postoji nekoliko specifičnih metoda odlučivanja.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi

Kvadratna jednadžba oblika a*x^2+b*x+c=0. Koeficijent x je željena varijabla, a, b, c - numerički koeficijenti. Zapamtite da se znak "+" može promijeniti u znak "-".

Kako biste riješili ovu jednadžbu, morate upotrijebiti Vietin teorem ili pronaći diskriminant. Najčešći način je pronaći diskriminant, jer za neke vrijednosti a, b, c nije moguće koristiti Vieta teorem.

Da biste pronašli diskriminant (D), morate napisati formulu D=b^2 - 4*a*c. Vrijednost D može biti veća, manja ili jednaka nuli. Ako je D veći ili manji od nule, tada će biti dva korijena, ako je D = 0, onda ostaje samo jedan korijen, točnije, možemo reći da D u ovom slučaju ima dva ekvivalentna korijena. Zamijenite poznate koeficijente a, b, c u formulu i izračunajte vrijednost.

Nakon što ste pronašli diskriminant, za pronalaženje x koristite formule: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a gdje je sqrt funkcija za vađenje kvadratnog korijena zadanog broja. Nakon izračuna ovih izraza, pronaći ćete dva korijena svoje jednadžbe, nakon čega se jednadžba smatra riješenom.

Ako je D manji od nule, tada još uvijek ima korijene. U školi se ovaj dio praktički ne proučava. Studenti bi trebali biti svjesni onoga što se pojavljuje negativan broj ispod korijena. Njega se rješavamo odvajanjem imaginarnog dijela, odnosno -1 ispod korijena uvijek je jednako imaginarnom elementu "i" koji se množi s korijenom s istim pozitivnim brojem. Na primjer, ako je D=sqrt(-20), nakon transformacije se dobiva D=sqrt(20)*i. Nakon ove transformacije, rješenje jednadžbe se svodi na isto pronalaženje korijena, kao što je gore opisano.

Vietin teorem sastoji se u izboru x(1) i x(2) vrijednosti. Koriste se dvije identične jednadžbe: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Štoviše, vrlo važna točka je predznak ispred koeficijenta b, zapamtite da je taj predznak suprotan od onoga u jednadžbi. Na prvi pogled se čini da je izračunavanje x(1) i x(2) vrlo jednostavno, no pri rješavanju ćete se susresti s činjenicom da će brojeve morati točno odabrati.

Elementi za rješavanje kvadratnih jednadžbi

Prema pravilima matematike, neki se mogu rastaviti na faktore: (a + x (1)) * (b-x (2)) = 0, ako ste uspjeli pretvoriti pomoću matematičkih formula Na sličan način ovu kvadratnu jednadžbu, onda slobodno zapišite odgovor. x(1) i x(2) bit će jednaki susjednim koeficijentima u zagradama, ali sa suprotnim predznakom.

Također, ne zaboravite na nepotpune kvadratne jednadžbe. Možda vam nedostaju neki od članova, ako je tako, onda su svi njegovi koeficijenti jednostavno jednaki nuli. Ako x^2 ili x ništa ne prethodi, tada su koeficijenti a i b jednaki 1.

Prva razina

Kvadratne jednadžbe. Sveobuhvatni vodič (2019)

U pojmu "kvadratna jednadžba" ključna je riječ "kvadratna". To znači da jednadžba mora nužno sadržavati varijablu (isti X) u kvadratu, au isto vrijeme ne bi trebalo biti X-ova u trećem (ili višem) stupnju.

Rješenje mnogih jednadžbi svodi se na rješavanje kvadratnih jednadžbi.

Naučimo odrediti da imamo kvadratnu jednadžbu, a ne neku drugu.

Primjer 1

Riješite se nazivnika i pomnožite svaki član jednadžbe s

Pomaknimo sve na lijevu stranu i posložimo članove u silazni red potencija od x

Sada možemo sa sigurnošću reći da je ova jednadžba kvadratna!

Primjer 2

Pomnožite lijevu i desnu stranu s:

Ova jednadžba, iako je izvorno u njoj, nije kvadrat!

Primjer 3

Pomnožimo sve sa:

Zastrašujuće? Četvrti i drugi stupanj ... Međutim, ako napravimo zamjenu, vidjet ćemo da imamo jednostavnu kvadratnu jednadžbu:

Primjer 4

Čini se da jest, ali pogledajmo pobliže. Premjestimo sve na lijevu stranu:

Vidite, smanjio se - i sada je to jednostavna linearna jednadžba!

Sada pokušajte sami odrediti koje su od sljedećih jednadžbi kvadratne, a koje nisu:

Primjeri:

odgovori:

1. kvadrat;
2. kvadrat;
3. nije kvadrat;
4. nije kvadrat;
5. nije kvadrat;
6. kvadrat;
7. nije kvadrat;
8. kvadrat.

Matematičari uvjetno dijele sve kvadratne jednadžbe na sljedeće vrste:

• Potpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima koeficijenti i, kao i slobodni član c, nisu jednaki nuli (kao u primjeru). Osim toga, među potpunim kvadratnim jednadžbama postoje dano su jednadžbe u kojima je koeficijent (jednadžba iz primjera jedan ne samo da je potpuna, već i smanjena!)

• Nepotpune kvadratne jednadžbe- jednadžbe u kojima su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

  One su nepotpune jer im nedostaje neki element. Ali jednadžba mora uvijek sadržavati x na kvadrat !!! U suprotnom, to više neće biti kvadratna, već neka druga jednadžba.

Zašto su došli do takve podjele? Čini se da postoji X na kvadrat, i u redu. Takva podjela je zbog metoda rješenja. Razmotrimo svaki od njih detaljnije.

Rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

Prvo, usredotočimo se na rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su puno jednostavnije!

Tipovi nepotpunih kvadratnih jednadžbi su:

1. , u ovoj jednadžbi koeficijent je jednak.
2. , u ovoj jednadžbi slobodni član je jednak.
3. , u ovoj jednadžbi koeficijent i slobodni član su jednaki.

1. i. Budući da znamo izvlačiti Korijen, onda izrazimo iz ove jednadžbe

Izraz može biti negativan ili pozitivan. Kvadrat broja ne može biti negativan, jer će pri množenju dva negativna ili dva pozitivna broja rezultat uvijek biti pozitivan broj, dakle: ako, onda jednadžba nema rješenja.

A ako, tada dobivamo dva korijena. Ove formule nije potrebno pamtiti. Glavna stvar je da uvijek trebate znati i zapamtiti da ne može biti manje.

Pokušajmo riješiti neke primjere.

Primjer 5:

Riješite jednadžbu

Sada ostaje izvući korijen iz lijevog i desnog dijela. Uostalom, sjećate li se kako se vadi korijenje?

Odgovor:

Nikad ne zaboravite korijene s negativnim predznakom!!!

Primjer 6:

Riješite jednadžbu

Odgovor:

Primjer 7:

Riješite jednadžbu

Joj! Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da jednadžba

bez korijena!

Za takve jednadžbe u kojima nema korijena matematičari su osmislili posebnu ikonu - (prazan skup). A odgovor se može napisati ovako:

Odgovor:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena. Ovdje nema ograničenja jer nismo izvadili root.
Primjer 8:

Riješite jednadžbu

Izbacimo zajednički faktor iz zagrada:

Na ovaj način,

Ova jednadžba ima dva korijena.

Odgovor:

Najjednostavniji tip nepotpunih kvadratnih jednadžbi (iako su sve jednostavne, zar ne?). Očito, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Ovdje ćemo bez primjera.

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi

Podsjećamo da je potpuna kvadratna jednadžba jednadžba oblika jednadžbe gdje je

Rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi malo je kompliciranije (samo malo) od ovih danih.

Zapamtiti, bilo koja kvadratna jednadžba može se riješiti pomoću diskriminante! Čak i nepotpuna.

Ostale metode će vam pomoći da to učinite brže, ali ako imate problema s kvadratnim jednadžbama, prvo savladajte rješenje pomoću diskriminante.

1. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću diskriminante.

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način je vrlo jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula.

Ako, onda jednadžba ima korijen.Posebnu pozornost treba obratiti na korak. Diskriminant () nam govori broj korijena jednadžbe.

• Ako, tada će se formula u koraku svesti na. Dakle, jednadžba će imati samo korijen.
• Ako, tada nećemo moći izvući korijen diskriminante na koraku. To znači da jednadžba nema korijena.

Vratimo se našim jednadžbama i pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 9:

Riješite jednadžbu

Korak 1 preskočiti.

Korak 2

Pronalaženje diskriminante:

Dakle, jednadžba ima dva korijena.

3. korak

Odgovor:

Primjer 10:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskočiti.

Korak 2

Pronalaženje diskriminante:

Dakle, jednadžba ima jedan korijen.

Odgovor:

Primjer 11:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je u standardnom obliku, dakle Korak 1 preskočiti.

Korak 2

Pronalaženje diskriminante:

To znači da nećemo moći izvući korijen iz diskriminante. Ne postoje korijeni jednadžbe.

Sada znamo kako takve odgovore ispravno zapisati.

Odgovor: bez korijena

2. Rješenje kvadratnih jednadžbi pomoću Vieta teorema.

Ako se sjećate, postoji takva vrsta jednadžbi koje se nazivaju smanjene (kada je koeficijent a jednak):

Takve je jednadžbe vrlo lako riješiti pomoću Vietinog teorema:

Zbroj korijena dano kvadratna jednadžba jednaka, a umnožak korijena jednak.

Primjer 12:

Riješite jednadžbu

Ova je jednadžba prikladna za rješavanje pomoću Vietinog teorema, jer .

Zbroj korijena jednadžbe je, tj. dobivamo prvu jednadžbu:

A proizvod je:

Kreirajmo i riješimo sustav:

• i. Zbroj je;
• i. Zbroj je;
• i. Iznos je jednak.

i rješenje su sustava:

Odgovor: ; .

Primjer 13:

Riješite jednadžbu

Odgovor:

Primjer 14:

Riješite jednadžbu

Jednadžba je reducirana, što znači:

Odgovor:

KVADRATNE JEDNADŽBE. PROSJEČNA RAZINA

Što je kvadratna jednadžba?

Drugim riječima, kvadratna jednadžba je jednadžba oblika, gdje je - nepoznato - neki brojevi, štoviše.

Broj se naziva najvećim ili prvi koeficijent kvadratna jednadžba, - drugi koeficijent, a - slobodan član.

Zašto? Jer ako, jednadžba će odmah postati linearna, jer nestat će.

U ovom slučaju, i može biti jednak nuli. U ovoj se stolici jednadžba naziva nepotpunom. Ako su svi članovi na mjestu, to jest, jednadžba je potpuna.

Rješenja raznih vrsta kvadratnih jednadžbi

Metode rješavanja nepotpunih kvadratnih jednadžbi:

Za početak ćemo analizirati metode za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi - one su jednostavnije.

Mogu se razlikovati sljedeće vrste jednadžbi:

I. , u ovoj jednadžbi koeficijent i slobodni član su jednaki.

II. , u ovoj jednadžbi koeficijent je jednak.

III. , u ovoj jednadžbi slobodni član je jednak.

Sada razmotrite rješenje svake od ovih podvrsta.

Očito, ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen:

Broj na kvadrat ne može biti negativan, jer će pri množenju dva negativna ili dva pozitivna broja rezultat uvijek biti pozitivan broj. Zato:

ako, onda jednadžba nema rješenja;

ako imamo dva korijena

Ove formule nije potrebno pamtiti. Glavna stvar koju treba zapamtiti je da ne može biti manje.

Primjeri:

rješenja:

Odgovor:

Nikad ne zaboravite korijene s negativnim predznakom!

Kvadrat broja ne može biti negativan, što znači da jednadžba

bez korijena.

Da bismo ukratko napisali da problem nema rješenja, koristimo ikonu praznog skupa.

Odgovor:

Dakle, ova jednadžba ima dva korijena: i.

Odgovor:

Izbacimo zajednički faktor iz zagrada:

Umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. To znači da jednadžba ima rješenje kada:

Dakle, ova kvadratna jednadžba ima dva korijena: i.

Primjer:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Faktoriziramo lijevu stranu jednadžbe i nalazimo korijene:

Odgovor:

Metode rješavanja potpunih kvadratnih jednadžbi:

1. Diskriminator

Rješavanje kvadratnih jednadžbi na ovaj način je jednostavno, glavna stvar je zapamtiti slijed radnji i nekoliko formula. Zapamtite, bilo koja kvadratna jednadžba može se riješiti pomoću diskriminante! Čak i nepotpuna.

Jeste li primijetili korijen diskriminanta u formuli korijena? Ali diskriminant može biti negativan. Što učiniti? Moramo obratiti posebnu pozornost na korak 2. Diskriminant nam govori broj korijena jednadžbe.

• Ako, onda jednadžba ima korijen:
• Ako, onda jednadžba ima isti korijen, ali zapravo jedan korijen:

  Takvi se korijeni nazivaju dvostruki korijeni.

• Ako, tada se korijen diskriminante ne izdvaja. To znači da jednadžba nema korijena.

Zašto je moguće drugačiji iznos korijenje? Obratimo se geometrijski smisao kvadratna jednadžba. Graf funkcije je parabola:

U posebnom slučaju, koji je kvadratna jednadžba, . A to znači da su korijeni kvadratne jednadžbe točke presjeka s x-osi (osi). Parabola ne smije uopće sijeći os ili je može sijeći u jednoj (kada vrh parabole leži na osi) ili u dvije točke.

Osim toga, koeficijent je odgovoran za smjer grana parabole. Ako, tada su grane parabole usmjerene prema gore, a ako - onda prema dolje.

Primjeri:

rješenja:

Odgovor:

Odgovor: .

Odgovor:

To znači da nema rješenja.

Odgovor: .

2. Vietaov teorem

Korištenje Vieta teorema je vrlo jednostavno: trebate samo odabrati par brojeva čiji je produkt jednak slobodnom članu jednadžbe, a zbroj je jednak drugom koeficijentu, uzetom sa suprotnim predznakom.

Važno je zapamtiti da se Vietin teorem može primijeniti samo na zadane kvadratne jednadžbe ().

Pogledajmo nekoliko primjera:

Primjer #1:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Ova je jednadžba prikladna za rješavanje pomoću Vietinog teorema, jer . Ostali koeficijenti: ; .

Zbroj korijena jednadžbe je:

A proizvod je:

Izaberimo takve parove brojeva čiji je umnožak jednak i provjerimo je li im zbroj jednak:

• i. Zbroj je;
• i. Zbroj je;
• i. Iznos je jednak.

i rješenje su sustava:

Dakle, i su korijeni naše jednadžbe.

Odgovor: ; .

Primjer #2:

Riješenje:

Odaberemo takve parove brojeva koji daju umnožak, a zatim provjerimo je li im zbroj jednak:

i: dati ukupno.

i: dati ukupno. Da biste ga dobili, samo trebate promijeniti znakove navodnih korijena: i, nakon svega, posao.

Odgovor:

Primjer #3:

Riješenje:

Slobodni član jednadžbe je negativan, pa je stoga umnožak korijena negativan broj. To je moguće samo ako je jedan od korijena negativan, a drugi pozitivan. Dakle, zbroj korijena je razlike njihovih modula.

Biramo takve parove brojeva koji daju umnožak, a čija je razlika jednaka:

i: njihova je razlika - neprikladna;

i: - nije prikladno;

i: - nije prikladno;

i: - prikladan. Ostaje samo zapamtiti da je jedan od korijena negativan. Kako njihov zbroj mora biti jednak, tada korijen, koji je manji po apsolutnoj vrijednosti, mora biti negativan: . Provjeravamo:

Odgovor:

Primjer #4:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Jednadžba je reducirana, što znači:

Slobodni član je negativan, pa je stoga umnožak korijena negativan. A to je moguće samo kada je jedan korijen jednadžbe negativan, a drugi pozitivan.

Odaberemo takve parove brojeva čiji je umnožak jednak, a zatim odredimo koji korijeni trebaju imati negativan predznak:

Očito, samo korijenje i prikladni su za prvi uvjet:

Odgovor:

Primjer #5:

Riješite jednadžbu.

Riješenje:

Jednadžba je reducirana, što znači:

Zbroj korijena je negativan, što znači da je barem jedan od korijena negativan. Ali budući da je njihov umnožak pozitivan, to znači da su oba korijena minus.

Biramo takve parove brojeva, čiji je proizvod jednak:

Očito, korijeni su brojevi i.

Odgovor:

Slažem se, vrlo je zgodno - izmisliti korijene usmeno, umjesto da brojite ovu gadnu diskriminaciju. Pokušajte što češće koristiti Vietin teorem.

Ali Vieta teorem je potreban kako bi se olakšalo i ubrzalo pronalaženje korijena. Da bi vam bilo isplativo koristiti ga, radnje morate dovesti do automatizma. A za ovo riješite još pet primjera. Ali nemojte varati: ne možete koristiti diskriminant! Samo Vietin teorem:

Rješenja zadataka za samostalan rad:

Zadatak 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Prema Vietinom teoremu:

Kao i obično, odabir počinjemo s proizvodom:

Nije prikladno jer količina;

: iznos je ono što vam je potrebno.

Odgovor: ; .

Zadatak 2.

I opet, naš omiljeni Vieta teorem: zbroj bi trebao ispasti, ali umnožak je jednak.

Ali budući da bi trebalo biti ne, ali, mijenjamo znakove korijena: i (ukupno).

Odgovor: ; .

Zadatak 3.

Hmm... Gdje je?

Potrebno je sve uvjete prenijeti u jedan dio:

Zbroj korijena jednak je umnošku.

Da, prestani! Jednadžba nije dana. Ali Vietin teorem primjenjiv je samo u danim jednadžbama. Dakle, prvo morate donijeti jednadžbu. Ako to ne možete iznijeti, odbacite ovu ideju i riješite je na drugi način (na primjer, kroz diskriminant). Dopustite mi da vas podsjetim da donijeti kvadratnu jednadžbu znači učiniti vodeći koeficijent jednak:

Izvrsno. Tada je zbroj korijena jednak, a umnožak.

Ovdje je lakše pokupiti: ipak - prost broj (oprostite na tautologiji).

Odgovor: ; .

Zadatak 4.

Slobodni izraz je negativan. Što je tu tako posebno? I činjenica da će korijeni biti različitih predznaka. I sada, tijekom odabira, ne provjeravamo zbroj korijena, već razliku između njihovih modula: ova razlika je jednaka, ali proizvod.

Dakle, korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je s minusom. Vietin teorem nam govori da je zbroj korijena jednak drugom koeficijentu sa suprotnim predznakom, tj. To znači da će manji korijen imati minus: i, budući da.

Odgovor: ; .

Zadatak 5.

Što prvo treba učiniti? Tako je, navedite jednadžbu:

Opet: odabiremo faktore broja, a njihova razlika treba biti jednaka:

Korijeni su jednaki i, ali jedan od njih je minus. Koji? Njihov zbroj mora biti jednak, što znači da će s minusom biti veći korijen.

Odgovor: ; .

Dopustite mi da rezimiram:

1. Vietin teorem koristi se samo u zadanim kvadratnim jednadžbama.
2. Pomoću Vieta teorema možete pronaći korijene odabirom, usmeno.
3. Ako jednadžba nije dana ili nije pronađen odgovarajući par faktora slobodnog člana, tada nema cjelobrojnih korijena i trebate je riješiti na drugi način (na primjer, preko diskriminante).

3. Metoda odabira punog kvadrata

Ako se svi članovi koji sadrže nepoznanicu predstave kao članovi iz formula skraćenog množenja - kvadrata zbroja ili razlike - tada je jednadžbu nakon izmjene varijabli moguće prikazati u obliku nepotpune kvadratne jednadžbe tipa .

Na primjer:

Primjer 1:

Riješite jednadžbu: .

Riješenje:

Odgovor:

Primjer 2:

Riješite jednadžbu: .

Riješenje:

Odgovor:

Općenito, transformacija će izgledati ovako:

Iz čega slijedi: .

Ne podsjeća li vas ni na što? To je diskriminator! Upravo tako je dobivena diskriminantna formula.

KVADRATNE JEDNADŽBE. UKRATKO O GLAVNOM

Kvadratna jednadžba je jednadžba oblika, gdje je nepoznanica, su koeficijenti kvadratne jednadžbe, je slobodni član.

Potpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj koeficijenti nisu jednaki nuli.

Reducirana kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj je koeficijent, odnosno: .

Nepotpuna kvadratna jednadžba- jednadžba u kojoj su koeficijent i/ili slobodni član c jednaki nuli:

• ako je koeficijent, jednadžba ima oblik: ,
• ako je slobodan član, jednadžba ima oblik: ,
• ako je i, jednadžba ima oblik: .

1. Algoritam za rješavanje nepotpunih kvadratnih jednadžbi

1.1. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

1) Izrazi nepoznato: ,

2) Provjerite predznak izraza:

• ako, onda jednadžba nema rješenja,
• ako, onda jednadžba ima dva korijena.

1.2. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

1) Izbacimo zajednički faktor iz zagrada: ,

2) Umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Dakle, jednadžba ima dva korijena:

1.3. Nepotpuna kvadratna jednadžba oblika, gdje je:

Ova jednadžba uvijek ima samo jedan korijen: .

2. Algoritam za rješavanje potpunih kvadratnih jednadžbi oblika gdje

2.1. Rješenje pomoću diskriminante

1) Dovedimo jednadžbu u standardni oblik: ,

2) Izračunajte diskriminant koristeći formulu: , koja označava broj korijena jednadžbe:

3) Pronađite korijene jednadžbe:

• ako, onda jednadžba ima korijen koji se nalazi po formuli:
• ako, onda jednadžba ima korijen, koji se nalazi po formuli:
• ako, onda jednadžba nema korijena.

2.2. Rješenje pomoću Vietinog teorema

Zbroj korijena reducirane kvadratne jednadžbe (jednadžbe oblika, gdje) je jednak, a produkt korijena je jednak, tj. , a.

2.3. Potpuno kvadratno rješenje