U geometriji se često javljaju problemi vezani uz stranice trokuta. Na primjer, često je potrebno pronaći stranicu trokuta ako su poznate druge dvije.

Trokuti su jednakokračni, jednakostranični i jednakostranični. Od sve raznolikosti, za prvi primjer odabrat ćemo pravokutni (u takvom trokutu jedan od kutova je 90 °, strane uz njega nazivaju se nogama, a treći je hipotenuza).

Brza navigacija članaka

Duljine stranica pravokutnog trokuta

Rješenje problema proizlazi iz teorema velikog matematičara Pitagore. Kaže da je zbroj kvadrata kateta pravokutnog trokuta jednak kvadratu njegove hipotenuze: a²+b²=c²

• Nađi kvadrat duljine kraka a;
• Nađi kvadrat kraka b;
• Sastavljamo ih;
• Iz dobivenog rezultata izdvajamo korijen drugog stupnja.

Primjer: a=4, b=3, c=?

• a²=4²=16;
• b²=3²=9;
• 16+9=25;
• √25=5. Odnosno, duljina hipotenuze ovog trokuta je 5.

Ako trokut nema pravi kut, tada duljine dviju stranica nisu dovoljne. To zahtijeva treći parametar: to može biti kut, visina, površina trokuta, polumjer kruga upisanog u njega itd.

Ako je poznat opseg

U ovom slučaju zadatak je još lakši. Opseg (P) je zbroj svih stranica trokuta: P=a+b+c. Dakle, rješavanjem jednostavne matematičke jednadžbe dobivamo rezultat.

Primjer: P=18, a=7, b=6, c=?

1) Rješavamo jednadžbu, prebacujući sve poznate parametre na jednu stranu znaka jednakosti:

2) Zamijenite vrijednosti umjesto njih i izračunajte treću stranu:

c=18-7-6=5, ukupno: treća stranica trokuta je 5.

Ako je kut poznat

Da bi se izračunala treća stranica trokuta s obzirom na kut i druge dvije stranice, rješenje se svodi na izračunavanje trigonometrijske jednadžbe. Poznavajući odnos strana trokuta i sinusa kuta, lako je izračunati treću stranu. Da biste to učinili, trebate kvadrirati obje strane i zbrojiti njihove rezultate. Zatim od dobivenog umnoška stranica oduzmite kosinus kuta: C=√(a²+b²-a*b*cosα)

Ako je područje poznato

U ovom slučaju jedna formula nije dovoljna.

1) Prvo izračunavamo sin γ izražavajući ga iz formule za površinu trokuta:

sin γ= 2S/(a*b)

2) Pomoću sljedeće formule izračunavamo kosinus istog kuta:

sin² α + cos² α=1

cos α=√(1 - sin² α)=√(1- (2S/(a*b))²)

3) I opet koristimo sinusni teorem:

C=√((a²+b²)-a*b*cosα)

C=√((a²+b²)-a*b*√(1- (S/(a*b))²))

Zamjenom vrijednosti varijabli u ovu jednadžbu dobivamo odgovor na problem.

Prvi su segmenti koji su uz pravi kut, a hipotenuza je najduži dio figure i nalazi se nasuprot kutu od 90 stupnjeva. Pitagorin trokut je onaj čije su stranice jednake prirodni brojevi; njihove se duljine u ovom slučaju nazivaju "Pitagorina trojka".

egipatski trokut

Kako bi sadašnja generacija naučila geometriju u obliku u kojem se sada uči u školi, ona se razvijala nekoliko stoljeća. Temeljna točka je Pitagorin teorem. Stranice pravokutnika poznate su cijelom svijetu) su 3, 4, 5.

Malo ljudi nije upoznato s izrazom " Pitagorine hlače jednaka u svim smjerovima." Međutim, u stvari, teorem zvuči ovako: c 2 (kvadrat hipotenuze) \u003d a 2 + b 2 (zbroj kvadrata nogu).

Među matematičarima se trokut sa stranicama 3, 4, 5 (cm, m itd.) naziva "egipatskim". Zanimljivo je da je ono što je upisano u sliku jednako jedan. Ime je nastalo oko 5. stoljeća prije Krista, kada su grčki filozofi putovali u Egipat.

Pri gradnji piramida arhitekti i geodeti koristili su omjer 3:4:5. Pokazalo se da su takve strukture proporcionalne, ugodne za gledanje i prostrane, a također su se rijetko srušile.

Da bi izgradili pravi kut, graditelji su koristili uže na kojem je bilo vezano 12 čvorova. U ovom slučaju, vjerojatnost konstruiranja pravokutnog trokuta povećala se na 95%.

Znakovi jednakosti figura

• oštri kut u pravokutni trokut a velika stranica, koje su jednake istim elementima u drugom trokutu, neosporan je znak jednakosti likova. Uzimajući u obzir zbroj kutova, lako je dokazati da su i drugi šiljasti kutovi jednaki. Dakle, trokuti su identični u drugom kriteriju.
• Kada se dva lika postave jedan na drugi, zakrenemo ih na takav način da, kada se spoje, postanu jedan jednakokračni trokut. Po svom svojstvu strane, odnosno hipotenuze su jednake, kao i kutovi na bazi, što znači da su ti likovi jednaki.

Po prvom znaku vrlo je lako dokazati da su trokuti doista jednaki, glavno je da su dvije manje stranice (tj. krakovi) međusobno jednake.

Trokuti će biti isti prema znaku II, čija je suština jednakost noge i oštrog kuta.

Svojstva pravokutnog trokuta

Visina, koja je spuštena pod pravim kutom, dijeli lik na dva jednaka dijela.

Stranice pravokutnog trokuta i njegov medijan lako je prepoznati po pravilu: medijan, koji je spušten na hipotenuzu, jednak je njegovoj polovici. može se pronaći i Heronovom formulom i tvrdnjom da je jednaka polovici umnoška krakova.

U pravokutnom trokutu vrijede svojstva kutova od 30 o, 45 o i 60 o.

• Pod kutom od 30 °, treba imati na umu da će suprotna noga biti jednaka 1/2 najveće strane.
• Ako je kut 45 o, onda drugi oštar kut također 45 o. To sugerira da je trokut jednakokračan, a noge su mu iste.
• Svojstvo kuta od 60 stupnjeva je da treći kut ima mjeru 30 stupnjeva.

Područje je lako pronaći pomoću jedne od tri formule:

1. kroz visinu i stranu na koju se spušta;
2. prema Heronovoj formuli;
3. duž stranica i kuta između njih.

Stranice pravokutnog trokuta, odnosno noge, konvergiraju s dvije visine. Da bismo pronašli treći, potrebno je uzeti u obzir dobiveni trokut, a zatim pomoću Pitagorinog teorema izračunati potrebnu duljinu. Uz ovu formulu postoji i omjer dvostruke površine i duljine hipotenuze. Najčešći izraz među studentima je prvi, jer zahtijeva manje izračuna.

Teoremi koji vrijede za pravokutni trokut

Geometrija pravokutnog trokuta uključuje korištenje teorema kao što su:

Unesite podatke o poznatom trokutu

Strana a

Strana b

strana c

Kut A u stupnjevima

Kut B u stupnjevima

Kut C u stupnjevima

Medijan po strani a

Medijan po strani b

Medijan po strani c

Visina po strani a

Visina po strani b

Visina po c strani

Koordinate vrha A

x Y

Koordinate vrha B

x Y

Koordinate vrha C

x Y

Površina trokuta S

Poluopseg stranica trokuta str

Predstavljamo vam kalkulator koji vam omogućuje da izračunate sve moguće.

Želio bih vam skrenuti pozornost na činjenicu da ovo je generički bot. Izračunava sve parametre proizvoljnog trokuta, s proizvoljno zadanim parametrima. Takvog bota nećete naći nigdje.

Znaš li stranu i dvije visine? Ili dvije strane i sredina? Ili je simetrala dva kuta i osnovica trokuta?

Za svaki zahtjev možemo dobiti točan izračun parametara trokuta.

Ne morate sami tražiti formule i izračunavati. Sve je već učinjeno za vas.

Napravite zahtjev i dobijte točan odgovor.

Prikazan je proizvoljni trokut. Odmah ćemo napraviti rezervaciju kako i što je naznačeno, tako da u budućnosti neće biti zabune i pogrešaka u izračunima.

Strane suprotne bilo kojem kutu također se nazivaju samo malim slovom. Odnosno, nasuprot kutu A leži stranica trokuta a, stranica c je nasuprot kutu C.

ma je medina koja pada na stranu a, tu su i medijane mb i mc koje padaju na odgovarajuće strane.

lb je simetrala koja pada na stranu b, odnosno postoje i simetrale la i lc koje padaju na odgovarajuće strane.

hb je visina koja pada na stranu b, odnosno, postoje i visine ha i hc koje padaju na odgovarajuće strane.

I drugo, zapamtite da je trokut lik u kojem postoji temeljni Pravilo:

Zbroj bilo koje (!) dvije strane mora biti veći odtreći.

Nemojte se iznenaditi ako dobijete pogrešku P Za tako zadane podatke trokut ne postoji. kada pokušavate izračunati parametre trokuta sa stranicama 3, 3 i 7.

Sintaksa

Za XMPP client enablere, zahtjev je kao ovaj treug<список параметров>

Za korisnike stranice, sve se radi na ovoj stranici.

Popis parametara - parametri koji su poznati, odvojeni točkom i zarezom

parametar je zapisan kao parametar=vrijednost

Na primjer, ako je poznata strana a s vrijednošću 10, tada pišemo a = 10

Štoviše, vrijednosti mogu biti ne samo u obliku realnog broja, već i, na primjer, kao rezultat neke vrste izraza

A ovdje je popis parametara koji se mogu pojaviti u izračunima.

strana a

Strana b

strana c

Poluperimetar str

Kut A

Kut B

Kut C

Površina trokuta S

Visina ha po strani a

Visina hb po strani b

Visina hc po strani c

Medijan ma po strani a

Medijan mb po strani b

Medijan mc po stranici c

Koordinate vrhova (xa,ya) (xb,yb) (xc,yc)

Primjeri

pisati treug a=8;C=70;ha=2

Parametri trokuta po zadanim parametrima

Strana a = 8

Strana b = 2,1283555449519

Strana c = 7,5420719851515

Poluperimetar p = 8,8352137650517

Kut A = 2,1882518638666 u stupnjevima 125,37759631119

Kut B = 2,873202966917 u stupnjevima 164,62240368881

Kut C = 1,221730476396 u 70 stupnjeva

Površina trokuta S = 8

Visina ha po strani a = 2

Visina hb po stranici b = 7,5175409662872

Visina hc po stranici c = 2,1214329472723

Medijan ma po stranici a = 3,8348889915443

Medijan mb po strani b = 7,7012304590352

Medijan mc po stranici c = 4,4770789813853

To je sve, svi parametri trokuta.

Pitanje je zašto smo stranku nazvali a, ali ne u ili S? To ne utječe na odluku. Glavna stvar je izdržati stanje o kojem sam već rekao " Strane nasuprot bilo kojem kutu nazivaju se istim, samo malim slovom." Zatim nacrtajte trokut u svom umu i primijenite ga na postavljeno pitanje.

moglo se uzeti umjesto toga a u, ali tada uključeni kut neće biti IZ a ALI dobro, visina će biti hb. Rezultat ako provjerite bit će isti.

Na primjer, ovako (xa,ya) =3,4 (xb,yb) =-6,14 (xc,yc)=-6,-3

pisanje zahtjeva treug xa=3;ya=4;xb=-6;yb=14;xc=-6;yc=-3

i dobivamo

Parametri trokuta po zadanim parametrima

Strana a = 17

Strana b = 11,401754250991

Strana c = 13,453624047073

Poluperimetar p = 20,927689149032

Kut A = 1,4990243938603 u stupnjevima 85,887771155351

Kut B = 0,73281510178655 u stupnjevima 41,987212495819

Kut C = 0,90975315794426 u stupnjevima 52,125016348905

Površina trokuta S = 76,5

Visina ha po strani a = 9

Visina hb po stranici b = 13,418987695398

Visina hc po stranici c = 11,372400437582

Medijan ma po stranici a = 9,1241437954466

Medijan mb po strani b = 14,230249470757

Medijan mc po stranici c = 12,816005617976

Sretno s izračunima!

Definicija trokuta

Trokut- ovo je geometrijski lik, koji nastaje kao rezultat sjecišta tri segmenta, čiji krajevi ne leže na jednoj ravnoj liniji. Svaki trokut ima tri stranice, tri vrha i tri kuta.

Online kalkulator

Trokuta ima raznih vrsta. Na primjer, postoji jednakostranični trokut (u kojem su sve stranice jednake), jednakokračan (u njemu su dvije stranice jednake) i pravokutni (u kojem je jedan od kutova prav, odnosno jednak 90 stupnjeva ).

Područje trokuta može se pronaći na različite načine, ovisno o tome koji su elementi figure poznati prema uvjetu problema, bilo da se radi o kutovima, duljinama ili, općenito, radijusima krugova povezanih s trokut. Razmotrite svaku metodu zasebno s primjerima.

Formula za površinu trokuta s obzirom na njegovu bazu i visinu

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ​ ⋅ a ⋅h,

A a a- osnovica trokuta;
h h h- visina trokuta povučena na zadanu osnovicu a.

Primjer

Nađite površinu trokuta ako je poznata duljina njegove baze jednaka 10 (cm) i visina povučena na tu bazu jednaka 5 (cm).

Riješenje

A=10 a=10 a =1 0
h=5 h=5 h =5

Zamijenite formulu za površinu i dobijete:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (vidi kv.)

Odgovor: 25 (vidi kv.)

Formula za površinu trokuta s obzirom na duljine svih stranica

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p − a ) ⋅ (p − b ) ⋅ (p − c )​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- duljina stranica trokuta;
str str- polovica zbroja svih stranica trokuta (odnosno polovica opsega trokuta):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p=2 1 ​ (a +b+c)

Ova formula se zove Heronova formula.

Primjer

Nađite površinu trokuta ako su poznate duljine njegove tri strane, jednake 3 (vidi), 4 (vidi), 5 (vidi).

Riješenje

A=3 a=3 a =3
b=4 b=4 b=4
c=5 c=5 c=5

Pronađite polovicu opsega str str:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p=2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Tada je, prema Heronovoj formuli, površina trokuta:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\sqrt(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (vidi kv.)

Odgovor: 6 (vidi kv.)

Formula za površinu trokuta s jednom stranom i dva kuta

S = a 2 2 ⋅ sin ⁡ β sin ⁡ γ sin ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gama))S=2 a 2 ​ ⋅ sin(β+γ)grijeh β grijeh γ ​ ,

A a a- duljina stranice trokuta;
β , γ \beta, \gama β , γ - kutovi uz bočnu stranu a a a.

Primjer

Dana je stranica trokuta jednaka 10 (vidi) i dva susjedna kuta od 30 stupnjeva. Pronađite površinu trokuta.

Riješenje

A=10 a=10 a =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

Prema formuli:

S = 1 0 2 2 ⋅ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ 3 0 ∘ sin ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14,4 S=\frac(10^2)(2)\cdot \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\sqrt(3))\približno 14,4S=2 1 0 2 ​ ⋅ grijeh (3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) grijeh 3 0 ∘ grijeh 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (vidi kv.)

Odgovor: 14,4 (vidi kv.)

Formula za površinu trokuta s tri strane i polumjerom opisane kružnice

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4 Ra ⋅ b ⋅ c​ ,

A, b, c a, b, c a, b, c- stranice trokuta
R R R polumjer je kruga opisanog oko trokuta.

Primjer

Uzimamo brojeve iz našeg drugog problema i dodajemo im radijus R R R krugovi. Neka bude jednako 10 (vidi).

Riješenje

A=3 a=3 a =3
b=4 b=4 b=4
c=5 c=5 c=5
R=10 R=10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1,5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1,5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (vidi kv.)

Odgovor: 1,5 (cm.q)

Formula za površinu trokuta s tri strane i polumjerom upisane kružnice

S = p ⋅ r S=p\cdot rS= str⋅ r,

strstr- polovica opsega trokuta:

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)str= 2 a+ b+ c​ ,

a, b, c a, b, ca, b, c- stranice trokuta
r rr je polumjer kružnice upisane u trokut.

Primjer

Neka polumjer upisane kružnice bude jednak 2 (vidi). Uzimamo duljine stranica iz prethodnog zadatka.

Riješenje

$a=3b=4\; b=4b=4c=5\; c=5c=5r=2\; r=2r=2$

$str=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12S= 6 ⋅ 2 = 1 2 (vidi kv.)

Odgovor: 12 (vidi kv.)

Formula za površinu trokuta s dvije strane i kutom između njih

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)S= 2 1 ​ ⋅ b⋅ c⋅ grijeh(α ) ,

b, c b, cb, c- stranice trokuta

α\alfaα - kut između stranica bbb i c cc.

Primjer

Strane trokuta su 5 (vidi) i 6 (vidi), kut između njih je 30 stupnjeva. Pronađite površinu trokuta.

Riješenje

$b=5c=6\; c=6c=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alpha=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7,5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7,5S= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ grijeh(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (vidi kv.)

Odgovor: 7,5 (vidi kv.)

ANDREJ PROKIP: “MOJA LJUBAV JE RUSKA EKOLOGIJA. U TO TREBA ULOŽATI!”
Od 4. do 5. rujna održana je ekološka tribina "Klimatski oblik gradova". Inicijator organizacije događaja je organizacija C40 koju je 2005. godine utemeljio UN. Glavna zadaća forme i gradova je kontrola klimatske promjene gradovima.
Kao što je praksa pokazala, za razliku od društvenih događanja i "sastanaka u noćnim klubovima", bilo je malo zastupnika i javnih osoba. Među onima koji su otkrili zabrinutost ekološka situacija bio je Prokip Adrey Zinovievich. Aktivno je sudjelovao na svim plenarnim sjednicama, zajedno s posebnim izaslanikom predsjednika Ruska Federacija o klimatskim pitanjima Ruslan Edelgeriev, zamjenik gradonačelnika Moskve za stambene i komunalne usluge Petr Biryukov, kao i strani predstavnici - gradonačelnik talijanski grad Savona - Hilario Caprioglio. Sudionici su predstavili svoje projekte te raspravljali o strategijama za zadržavanje porasta globalnih temperatura, te također predlagali praktična rješenja održivi urbani razvoj.
ANDREJ PROKIP O ŠAŠLIKU, DEPUTU I ZELENOJ GRADNJI
Poseban interes za rusku stranu bio je govor govornika, među kojima su bili europski arhitekti, znanstvenici i gradonačelnik Savone. Tema govora bila je TOP smjer - "zelena gradnja". Kao što je sam Andrei Prokip izjavio, "važno je pravilno preraspodijeliti resurse, kao i uzeti u obzir standarde europske gradnje za takvu metropolu kao što je Moskva. Neophodno je da Rusija na federalnoj razini zauzme kurs prema “zelenom financiranju”, pogotovo jer je to ekonomski izvedivo i, kako pokazuje praksa, isplativo.” Također je izrazio zabrinutost zbog pogoršanja zdravlja Rusa u vezi s ekološkim katastrofama i nepoštivanjem ekoloških standarda za odlaganje otpada od strane velikih i malih industrijska poduzeća". Također je potvrdio svoje strahove zahvaljujući govoru Francesca Zambona, profesora WHO-a u Europskom uredu za ulaganja u zdravstvo.
Sa svojstvenim humorom Andrey se obratio poznatim osobama koje su bile pozvane na forum, ali se nikada nisu pojavile, s pozivom “da se sjete prirode, ne samo kad žele roštiljati ili ići u ribolov. Uostalom, upravo o dobrohotnosti prirode ovisi zdravlje cijeloga naroda, što nažalost uključuje i njih same.
Osim strastvenih govora o novoj "ljubavnici-prirodi" Andreja Zinovijeviča i važnosti preuzimanja odgovornosti za okoliš Značajan događaj tribine bila je plenarna sjednica na temu „Kako odgojiti novu generaciju“. Sudionici foruma bili su jednoglasni u mišljenju da je potrebno educirati ne samo djecu, već i odrasle generacije. Vrlo je važno odgajati odgovornost prema prirodi u svakodnevnom ponašanju, kao iu poslovanju.
Za Moskvu će biti pokrenut poseban projekt “Učiti živjeti civilizirano”. Ovo je edukativni projekt za sve segmente stanovništva i dobne kategorije. No koliko god teorija i dobre namjere bile divne, za Rusiju je još uvijek aktualna izreka “dok pečeni pijetao ne kljucne, budala se neće prekrstiti”.
Prema Timothyju Netteru, poznatom kazališnom redatelju, umjetnost može promijeniti sve. U jednom od svojih govora govorio je o tome kako ideju očuvanja prirode treba prezentirati u kazalištu i filmu te koliko je važno kroz umjetnost educirati ljude da budu odgovorni za ono što će se s nama i prirodom dogoditi sutra.
Pozornost rentv operatera i Andreja Prokirpa privukli su studenti Ruska sveučilišta, predstavljajući projekt ekološki prihvatljive tehnologije proizvodnje spremnika otpornih na vlagu i temperaturu. Ovo je vrlo stvarni problem, budući da se u svijetu donose zakoni protiv plastičnih posuda, koje se, inače, razgrađuju više od 30 godina, zagađuju tlo i uzrokuju uginuće životinja.
Inspirativno je da je Moskva jedan od 94 grada koji sudjeluju u organizaciji C40 i da se već treći put održava forum koji svake godine privlači pozornost sve više poznatih ličnosti i građana.