POGLAVLJE III.
PARALELNE LINIJE

§ 35. ZNAKOVI USPOREDNOSTI DVIJE IZRAVNE CRTE.

Teorem da su dvije okomice na jedan pravac paralelne (§ 33) daje znak da su dva pravca paralelna. Možete povući više uobičajeni znakovi paralelnost dviju linija.

1. Prvi znak paralelizma.

Ako su u sjecištu dvaju pravaca s trećim unutarnji kutovi koji leže poprijeko jednaki, tada su ti pravci paralelni.

Neka pravci AB i CD sijeku pravac EF i / 1 = / 2. Uzmite točku O - sredinu segmenta KL sekante EF (slika 189).

Spustimo okomicu OM iz točke O na pravac AB i nastavimo je dok ne presječe pravac CD, AB_|_MN. Dokažimo da je CD_|_MN.
Da biste to učinili, razmotrite dva trokuta: MOE i NOK. Ovi su trokuti međusobno jednaki. Doista: / 1 = / 2 prema uvjetu teorema; OK = OL - po konstrukciji;
/ MOL = / NOK kao okomiti kutovi. Dakle, stranica i dva kuta uz nju jednog trokuta jednaki su stranici i dva kuta uz nju drugog trokuta; Posljedično, /\ MOL = /\ NOK, i stoga
/ LMO = / no ali / LMO je izravan, dakle, i / KNO je također izravan. Dakle, pravci AB i CD okomiti su na isti pravac MN, dakle paralelni su (§ 33), što je trebalo dokazati.

Bilješka. Sjecište pravaca MO i CD može se ustanoviti zakretanjem trokuta MOL oko točke O za 180°.

2. Drugi znak paralelizma.

Pogledajmo jesu li pravci AB i CD paralelni ako su im u sjecištu trećeg pravca EF pripadni kutovi jednaki.

Neka su, na primjer, neki odgovarajući kutovi jednaki / 3 = / 2 (dev. 190);
/ 3 = / 1, jer su kutovi okomiti; sredstva, / 2 će biti jednako / 1. Ali kutovi 2 i 1 su unutarnji poprečni kutovi, a već znamo da ako su u sjecištu dviju ravnih crta s trećom unutarnji poprečno ležeći kutovi jednaki, onda su ti pravci paralelni. Prema tome, AB || CD.

Ako su u sjecištu dvaju pravaca trećeg odgovarajući kutovi jednaki, tada su ta dva pravca paralelna.

Na tom se svojstvu temelji konstrukcija paralelnih pravaca uz pomoć ravnala i crtaćeg trokuta. To se radi na sljedeći način.

Pričvrstimo trokut na ravnalo kao što je prikazano na crtežu 191. Pomaknut ćemo trokut tako da mu jedna stranica klizi po ravnalu i povući nekoliko ravnih linija duž bilo koje druge stranice trokuta. Ove će linije biti paralelne.

3. Treći znak paralelizma.

Znajmo da je u sjecištu dvaju pravaca AB i CD s trećim pravcem zbroj svih unutarnjih jednostraničkih kutova jednak 2. d(ili 180°). Hoće li u tom slučaju pravci AB i CD biti paralelni (slika 192).

Neka / 1 i / 2 unutarnja jednostrana kuta i zbrojite do 2 d.
Ali / 3 + / 2 = 2d kao susjedni uglovi. Posljedično, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Odavde / 1 = / 3, a ovi uglovi iznutra leže poprečno. Prema tome, AB || CD.

Ako je u sjecištu dvaju pravaca s trećim zbroj unutarnjih jednostraničkih kutova jednak 2 d, tada su dvije crte paralelne.

Vježba.

Dokaži da su pravci paralelni:
a) ako su vanjski poprečni kutovi jednaki (slika 193);
b) ako je zbroj vanjskih jednostranih kutova 2 d(vrag 194).

Dva se kuta nazivaju okomitima ako su stranice jednog kuta produžetak stranica drugog kuta.

Na slici su prikazani uglovi 1 i 3 , kao i kutovi 2 i 4 - vertikalno. Kutak 2 je susjedan oba kuta 1 , i s kutom 3. Po svojstvu susjedni uglovi 1 +2 =180 0 i 3 +2 =1800. Odavde dobivamo: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. Dakle, stupnjevi mjere kutova 1 i 3 su jednaki. Slijedi da su sami kutovi jednaki. Dakle, vertikalni kutovi su jednaki.

2. Znakovi jednakosti trokuta.

Ako su dvije stranice i kut između njih jednog trokuta jednaki dvjema stranicama i kutu između njih drugog trokuta, tada su takvi trokuti sukladni.

Ako su stranica i dva susjedna kuta jednog trokuta jednaki stranici i dvama susjednim kutovima drugog trokuta, tada su ti trokuti sukladni.

3. Ako su tri stranice jednog trokuta redom jednake trima stranicama drugog trokuta, onda su ti trokuti jednaki.

1 znak jednakosti trokuta:

Razmotrite trokute ABC i A 1 B 1 C 1, u kojima su AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, kutovi A i A 1 jednaki. Dokažimo da je ABC=A 1 B 1 C 1 .
Budući da je (y) A \u003d (y) A 1, tada se trokut ABC može superponirati na trokut A 1 B 1 C 1 tako da je vrh A poravnat s vrhom A1, a stranice AB i AC su superponirane, odnosno na zrakama A 1 B 1 i A 1 C 1 . Budući da je AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, tada će se strana AB kombinirati sa stranom A 1 B 1, a strana AC - sa stranom A 1 C 1; posebno će se točke B i B 1 , C i C 1 podudarati. Stoga će stranice BC i B 1 C 1 biti poravnate. Dakle, trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 potpuno su kompatibilni, što znači da su jednaki. CTD

3. Teorem o simetrali jednakokračnog trokuta.

U jednakokračnom trokutu simetrala povučena na osnovicu je središnja i visina.

Pogledajmo sliku na kojoj je ABC jednakokračni trokut s bazom BC, AD je njegova simetrala.

Iz jednakosti trokuta ABD i ACD (prema 2. kriteriju jednakosti trokuta: AD je zajednički; kutovi 1 i 2 su jednaki jer je simetrala AD; AB=AC, jer je trokut jednakokračan) slijedi da je BD = DC i 3 = 4. Jednakost BD = DC znači da je točka D polovište stranice BC pa je stoga AD središnja stranica trokuta ABC. Budući da su kutovi 3 i 4 međusobno susjedni i jednaki, oni su pravi kutovi. Stoga je segment AO ujedno i visina trokuta ABC. CHTD.

4. Ako su pravci paralelni -> kut…. (neobavezno)

5. Ako je kut ... ..-> pravac paralelan (neobavezno)

Ako su u sjecištu dviju pravaca sekante odgovarajući kutovi jednaki, tada su pravci paralelni.

Neka su u sjecištu pravaca a i b sekante s pripadajućim kutovima jednake, na primjer 1=2.

Kako su kutovi 2 i 3 okomiti, onda je 2=3. Iz ove dvije jednakosti slijedi da je 1=3. Ali kutovi 1 i 3 su poprečni, pa su pravci a i b paralelni. CHTD.

6. Teorem o zbroju kutova trokuta.

Zbroj kutova trokuta je 180 0.

Promotrimo proizvoljni trokut ABC i dokažimo da je A+B+C=180 0 .

Povucimo ravnu liniju a kroz vrh B, paralelnu sa stranicom AC. Kutovi 1 i 4 su unakrsno ležeći kutovi u sjecištu paralelnih pravaca a i AC sa sekantom AB, a kutovi 3 i 5 su unakrsno ležeći kutovi u sjecištu istih paralelnih pravaca sa sekantom BC. Prema tome (1)4=1; 5=3.

Očito je zbroj kutova 4, 2 i 5 jednak ravnom kutu s vrhom B, tj. 4+2+5=1800 . Dakle, uzimajući u obzir jednakosti (1), dobivamo: 1+2+3=180 0 ili A+B+C=180 0 .

7. Znak jednakosti pravokutnih trokuta.

1. Prvi znak paralelizma.

Ako su u sjecištu dvaju pravaca s trećim unutarnji kutovi koji leže poprijeko jednaki, tada su ti pravci paralelni.

Neka su pravci AB i CD presječeni pravcem EF i ∠1 = ∠2. Uzmimo točku O - sredinu segmenta KL sekante EF (Sl.).

Spustimo okomicu OM iz točke O na pravac AB i nastavimo je dok ne presječe pravac CD, AB ⊥ MN. Dokažimo da je i CD ⊥ MN.

Da biste to učinili, razmotrite dva trokuta: MOE i NOK. Ovi su trokuti međusobno jednaki. Doista: ∠1 = ∠2 po hipotezi teorema; OK = OL - po konstrukciji;

∠MOL = ∠NOK kao okomiti kutovi. Dakle, stranica i dva kuta uz nju jednog trokuta jednaki su stranici i dva kuta uz nju drugog trokuta; stoga je ΔMOL = ΔNOK, a time i ∠LMO = ∠KNO,
ali ∠LMO je izravan, stoga je ∠KNO također izravan. Dakle, pravci AB i CD okomiti su na isti pravac MN, dakle, paralelni su, što je i trebalo dokazati.

Bilješka. Sjecište pravaca MO i CD može se ustanoviti zakretanjem trokuta MOL oko točke O za 180°.

2. Drugi znak paralelizma.

Pogledajmo jesu li pravci AB i CD paralelni ako su im u sjecištu trećeg pravca EF pripadni kutovi jednaki.

Neka su neki odgovarajući kutovi jednaki, na primjer ∠ 3 = ∠2 (sl.);

∠3 = ∠1 kao okomiti kutovi; pa će ∠2 biti jednako ∠1. Ali kutovi 2 i 1 su unutarnji poprečni kutovi, a već znamo da ako su u sjecištu dvaju pravaca s trećim unutarnji poprečni kutovi jednaki, onda su ti pravci paralelni. Prema tome, AB || CD.

Ako su u sjecištu dvaju pravaca trećeg odgovarajući kutovi jednaki, tada su ta dva pravca paralelna.

Na tom se svojstvu temelji konstrukcija paralelnih pravaca uz pomoć ravnala i crtaćeg trokuta. To se radi na sljedeći način.

Pričvrstimo trokut na ravnalo kao što je prikazano na sl. Pomaknut ćemo trokut tako da jedna njegova stranica klizi po ravnalu i povući nekoliko ravnih linija duž bilo koje druge stranice trokuta. Ove će linije biti paralelne.

3. Treći znak paralelizma.

Znajmo da je u sjecištu dvaju pravaca AB i CD s trećim pravcem zbroj svih unutarnjih jednostraničkih kutova jednak 2. d(ili 180°). Hoće li u tom slučaju pravci AB i CD biti paralelni (sl.).

Neka su ∠1 i ∠2 jednostrani unutarnji kutovi i neka zbroj daje 2 d.

Ali ∠3 + ∠2 = 2 d kao susjedni uglovi. Prema tome, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Stoga je ∠1 = ∠3, a ovi unutarnji kutovi su poprečni. Prema tome, AB || CD.

Ako je u sjecištu dvaju pravaca s trećim zbroj unutarnjih jednostraničkih kutova jednak 2 d (ili 180°), tada su dvije linije paralelne.

Znakovi paralelnih pravaca:

1. Ako su na sjecištu dviju ravnih crta s trećom unutarnji križni kutovi jednaki, tada su te linije paralelne.

2. Ako su u sjecištu dvaju pravaca trećeg pripadni kutovi jednaki, ta su dva pravca paralelna.

3. Ako je na sjecištu dviju linija treće, zbroj unutarnjih jednostranih kutova 180 °, tada su ove dvije linije paralelne.

4. Ako su dva pravca paralelna s trećim, onda su i međusobno paralelni.

5. Ako su dva pravca okomita na treći pravac, tada su međusobno paralelna.

Euklidov aksiom paralelizma

Zadatak. Kroz točku M izvan pravca AB povuci pravac paralelan s pravcem AB.

Koristeći dokazane teoreme o predznacima paralelnosti pravaca, ovaj se problem može riješiti na različite načine,

Riješenje. 1. s o s o b (slika 199).

Nacrtamo MN⊥AB i kroz točku M povučemo CD⊥MN;

dobivamo CD⊥MN i AB⊥MN.

Na temelju teorema ("Ako su dva pravca okomita na isti pravac, onda su paralelna.") zaključujemo da je SD || AB.

2. s p o s o b (slika 200).

Nacrtamo MK koja siječe AB pod bilo kojim kutom α i kroz točku M povučemo ravnu liniju EF koja s pravom linijom MK tvori kut EMK, jednaka kutu a. Na temelju teorema () zaključujemo da je EF || AB.

Nakon što smo riješili ovaj problem, možemo smatrati dokazanim da je kroz bilo koju točku M, uzetu izvan pravca AB, moguće povući pravac s njom paralelan. Postavlja se pitanje koliko pravaca koji su paralelni s danim pravcem i prolaze kroz danu točku može postojati?

Praksa konstrukcije dopušta nam da pretpostavimo da postoji samo jedna takva linija, jer se pažljivo izvedenim crtežom spajaju linije povučene na različite načine kroz istu točku paralelno s istom linijom.

U teoriji, odgovor na ovo pitanje daje takozvani aksiom Euklidovog paralelizma; formulira se ovako:

Kroz točku izvan zadanog pravca može se povući samo jedan pravac paralelan s tim pravcem.

Na crtežu 201 kroz točku O povučena je pravac SK paralelna s pravcem AB.

Svaki drugi pravac koji prolazi kroz točku O neće više biti paralelan s pravcem AB, već će ga sijeći.

Aksiom koji je prihvatio Euklid u svojim Elementima, koji kaže da se na ravnini kroz točku uzetu izvan dane linije, može povući samo jedna linija paralelna s tom linijom, naziva se Euklidov aksiom paralelizma.

Više od dvije tisuće godina nakon Euklida mnogi su matematičari pokušavali dokazati ovu matematičku tvrdnju, ali su njihovi pokušaji uvijek bili neuspješni. Tek je 1826. godine veliki ruski znanstvenik, profesor Kazanskog sveučilišta Nikolaj Ivanovič Lobačevski dokazao da se korištenjem svih drugih Euklidovih aksioma ovaj matematički stav ne može dokazati, da ga doista treba uzeti kao aksiom. N. I. Lobačevski stvorio nova geometrija, koja se, za razliku od Euklidove geometrije, naziva geometrijom Lobačevskog.

AB i IZD prekrižena trećom crtom MN, tada formirani kutovi u ovom slučaju dobivaju sljedeće nazive u parovima:

odgovarajući kutovi: 1 i 5, 4 i 8, 2 i 6, 3 i 7;

unutarnji poprečni kutovi: 3 i 5, 4 i 6;

vanjski poprečni uglovi: 1 i 7, 2 i 8;

unutarnji jednostrani kutovi: 3 i 6, 4 i 5;

vanjski jednostrani kutovi: 1 i 8, 2 i 7.

Dakle, ∠ 2 = ∠ 4 i ∠ 8 = ∠ 6, ali po dokazanom ∠ 4 = ∠ 6.

Stoga je ∠ 2 = ∠ 8.

3. Odgovarajući kutovi 2 i 6 su isti, jer je ∠ 2 = ∠ 4, a ∠ 4 = ∠ 6. Pazimo i da su ostali odgovarajući kutovi jednaki.

4. Iznos unutarnji jednostrani kutovi 3 i 6 će biti 2d jer zbroj susjedni uglovi 3 i 4 jednako je 2d = 180 0 , a ∠ 4 se može zamijeniti identičnim ∠ 6. Također provjerite da zbroj uglova 4 i 5 jednako je 2d.

5. Iznos vanjski jednostrani kutovi bit će 2d jer su ti kutovi jednaki unutarnji jednostrani kutovi poput kutova vertikalna.

Iz gore dokazanog opravdanja dobivamo inverzni teoremi.

Kada u sjecištu dviju linija proizvoljne treće linije dobijemo da je:

1. Unutarnji križni kutovi su isti;

ili 2. Vanjski poprečni kutovi su isti;

ili 3. Odgovarajući kutovi su isti;

ili 4. Zbroj unutarnjih jednostraničkih kutova jednak je 2d = 180 0 ;

ili 5. Zbroj vanjske jednostranosti je 2d = 180 0 ,

onda su prve dvije linije paralelne.

Ovo poglavlje je posvećeno proučavanju paralelnih pravaca. Ovo je naziv za dvije ravne crte u ravnini koje se ne sijeku. U okruženju vidimo segmente paralelnih linija - to su dva ruba pravokutnog stola, dva ruba korica knjige, dvije trolejbuske trake itd. Paralelne linije imaju vrlo važnu ulogu u geometriji. U ovom poglavlju naučit ćete što su aksiomi geometrije i od čega se sastoji aksiom paralelnih pravaca - jedan od najpoznatijih aksioma geometrije.

U odjeljku 1 primijetili smo da dvije linije ili imaju jednu zajedničku točku, tj. sijeku se, ili nemaju nijednu zajednička točka, tj. ne sijeku se.

Definicija

Paralelnost pravaca a i b označava se ovako: a || b.

Slika 98 prikazuje pravce a i b okomite na pravac c. U 12. poglavlju smo utvrdili da se takvi pravci a i b ne sijeku, odnosno da su paralelni.

Riža. 98

Uz paralelne pravce često se razmatra paralelni segmenti. Dva se segmenta nazivaju paralelno ako leže na paralelnim pravcima. Na slici 99, a dužice AB i CD su paralelne (AB || CD), a dužice MN i CD nisu paralelne. Slično se određuje paralelnost segmenta i pravca (slika 99, b), zraka i pravca, segmenta i zraka, dvije zrake (sl. 99, c).

Riža. 99 Znakovi paralelnosti dvaju pravaca

Izravno sa se zove sječna u odnosu na pravce a i b, ako ih siječe u dvjema točkama (slika 100). U sjecištu pravaca a i b sekanta c tvori osam kutova koji su na slici 100 označeni brojevima. Neki parovi ovih kutova imaju posebna imena:

unakrsni uglovi: 3 i 5, 4 i 6;
jednostrani kutovi: 4 i 5, 3 i 6;
odgovarajući kutovi: 1 i 5, 4 i 8, 2 i 6, 3 i 7.

Riža. 100

Razmotrite tri znaka paralelnosti dviju linija povezanih s tim parovima kutova.

Teorema

Dokaz

Pretpostavimo da su u sjecištu pravaca a i b sa sekantom AB kutovi jednaki: ∠1 = ∠2 (slika 101, a).

Dokažimo da je a || b. Ako su kutovi 1 i 2 pravi (slika 101, b), tada su pravci a i b okomiti na pravac AB i, prema tome, paralelni.

Riža. 101

Razmotrimo slučaj kada kutovi 1 i 2 nisu pravi.

Iz sredine O segmenta AB povucite okomitu OH na ravnu liniju a (slika 101, c). Na liniji b od točke B odvajamo segment VH 1, jednak segmentu AH, kao što je prikazano na slici 101, c, i nacrtamo segment OH 1. Trokuti ONA i OH 1 V jednaki su po dvjema stranicama i kutu između njih (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2), stoga je ∠3 = ∠4 i ∠5 = ∠6. Iz jednakosti ∠3 = ∠4 proizlazi da točka H 1 leži na nastavku poluprave OH, tj. točke H, O i H 1 leže na istoj ravnici, a iz jednakosti ∠5 = ∠6 to je slijedi da je kut 6 pravac (jer je kut 5 pravi kut). Dakle, pravci a i b su okomiti na pravac HH 1, pa su paralelni. Teorem je dokazan.

Teorema

Dokaz

Neka su u sjecištu pravaca a i b sekante s pripadajućim kutovima jednake, na primjer ∠1 = ∠2 (slika 102).

Riža. 102

Kako su kutovi 2 i 3 okomiti, onda je ∠2 = ∠3. Ove dvije jednakosti impliciraju da je ∠1 = ∠3. Ali kutovi 1 i 3 su poprečni, pa su pravci a i b paralelni. Teorem je dokazan.

Teorema

Dokaz

Neka u sjecištu pravaca a i b sekanta sa zbrojem jednostraničkih kutova bude 180°, na primjer ∠1 + ∠4 = 180° (vidi sliku 102).

Kako su kutovi 3 i 4 susjedni, tada je ∠3 + ∠4 = 180°. Iz ovih dviju jednakosti slijedi da su poprečni kutovi 1 i 3 jednaki, pa su pravci a i b paralelni. Teorem je dokazan.

Praktični načini crtanja paralelnih linija

Znakovi paralelnih pravaca temelj su načina konstruiranja paralelnih pravaca uz pomoć raznih alata koji se koriste u praksi. Razmotrimo, na primjer, metodu za konstruiranje paralelnih linija pomoću kvadrata za crtanje i ravnala. Da bismo izgradili pravac koji prolazi točkom M i paralelan je sa zadanim pravcem a, na pravac a nanesemo kvadrat za crtanje, a na njega ravnalo kao što je prikazano na slici 103. Zatim, pomičući kvadrat po ravnalu, osigurat će da je točka M na stranici kvadrata i nacrtati liniju b. Pravci a i b su paralelni jer su im pripadni kutovi, koji su na slici 103 označeni slovima α i β, jednaki.

Riža. 103 Slika 104 prikazuje metodu konstruiranja paralelnih pravaca pomoću T-kvadrata. Ova metoda se koristi u praksi crtanja.

Riža. 104 Sličan način se koristi i kod izvođenja tesarskih radova, gdje se kosinom označavaju paralelne linije (dvije drvene daske pričvršćene šarkom, sl. 105).

Riža. 105

Zadaci

186. Na slici 106 prave a i b siječe pravac c. Dokažite da je || b ako:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45°, a kut 7 je tri puta veći od kuta 3.

Riža. 106

187. Prema slici 107 dokažite da je AB || D.E.

Riža. 107

188. Dužci AB i CD sijeku se u zajedničkoj sredini. Dokažite da su pravci AC i BD paralelni.

189. Pomoću podataka sa slike 108 dokažite da je BC || OGLAS.

Riža. 108

190. Na slici 109 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Dokažite da je DE || KAO.

Riža. 109

191. Isječak VK je simetrala trokuta ABC. Kroz točku K povučena je pravac koja siječe stranicu BC u točki M tako da je BM = MK. Dokažite da su pravci KM i AB paralelni.

192. U trokutu ABC kut A iznosi 40°, a kut ALL uz kut ACB 80°. Dokažite da je simetrala kuta ALL paralelna s pravcem AB.

193. U trokutu ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Kroz vrh B povučen je pravac BD tako da je poluprava BC simetrala kuta ABD. Dokažite da su pravci AC i BD paralelni.

194. Nacrtaj trokut. Kroz svaki vrh tog trokuta, pomoću crtaćeg kvadrata i ravnala, povucite ravnu crtu paralelnu sa suprotnom stranicom.

195. Nacrtaj trokut ABC i na stranici AC označi točku D. Kroz točku D pomoću crtaćeg kutnika i ravnala povucite ravne crte paralelne s druge dvije stranice trokuta.