Sažetak lekcije "Fizičko i geometrijsko značenje derivacije. Tangenta na graf funkcije." Sažetak lekcije "jednadžba tangente na graf funkcije" Predstavljanje tangente na graf funkcije jednadžba tangente

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.

Nastavne metode: vizualni, dijelom istraživački.

Svrha lekcije:

  1. Uvesti pojam tangente na graf funkcije u točki, saznati što geometrijski smisao izvod, izvesti jednadžbu tangente i naučiti kako je pronaći za određene funkcije.
  2. Razvoj logičkog mišljenja, istraživačkih vještina, funkcionalnog mišljenja, matematičkog govora.
  3. Razvijati komunikacijske vještine na poslu, promicati razvoj samostalna djelatnost učenicima.

Oprema: računalo, multimedijski projektor, brošure.

Preuzimanje datoteka:


Pregled:

Lekcija na temu "Tangenta. Jednadžba tangente"

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.

Nastavne metode:vizualni, dijelom istraživački.

Svrha lekcije:

  1. Uvesti pojam tangente na graf funkcije u točki, saznati geometrijsko značenje derivacije, izvesti jednadžbu tangente i naučiti je pronaći za određene funkcije.
  2. Razvoj logičkog mišljenja, istraživačkih vještina, funkcionalnog mišljenja, matematičkog govora.
  3. Razvijanje komunikacijskih vještina u radu, poticanje razvoja samostalne aktivnosti učenika.

Oprema: računalo, multimedijski projektor, brošure.

Plan učenja

I organizacijski trenutak.
Provjera spremnosti učenika za nastavni sat. Poruka teme i moto lekcije.

II Aktualizacija gradiva.
(Aktivirajte pozornost, pokažite nedostatak znanja o tangenti, formulirajte ciljeve i ciljeve lekcije.)

Raspravimo što je tangenta na graf funkcije? Slažete li se s tvrdnjom da je "tangenta pravac koji ima jednu zajedničku točku s danom krivuljom"?
Postoji rasprava. Izjave djece (da i zašto, ne i zašto). Tijekom rasprave dolazimo do zaključka da ova tvrdnja nije točna.

Primjeri.
1) Pravac x = 1 ima jednu zajedničku točku M(1; 1) s parabolom y = x2, ali ne dodiruje parabolu. Pravac y = 2x – 1 koji prolazi istom točkom tangenta je na zadanu parabolu.
2) Slično, pravac x = π nije tangenta na graf y = cos x , iako s njim ima jedinu zajedničku točku K(π; 1). S druge strane, pravac y = - 1 koji prolazi kroz istu točku tangenta je na graf, iako ima beskonačno mnogo zajedničke točke tip;(π+2 πk; 1), gdje je k cijeli broj od kojih svaki dodiruje graf.


Slika 1


Slika 2

Postavljanje ciljeva i zadataka za djecu u lekciji:saznati što je tangenta na graf funkcije u točki, kako napisati jednadžbu za tangentu?
Što nam treba za ovo?
Podsjetiti opći oblik jednadžbe pravca, uvjeti za paralelne pravce, definicija derivacije, pravila diferenciranja.

III Pripremni rad za proučavanje novog gradiva.
Materijal za ispitivanje na karticama: (zadaci se ispunjavaju na ploči)
1 učenik: popunjava tablicu izvedenica elementarne funkcije

2 učenik: prisjetiti se pravila razlikovanja

3 učenik: napiši jednadžbu pravca y = kx + 4 koja prolazi točkom A(3; -2).
(y=-2x+4)

4 učenik: Napravi jednadžbu ravnih linija y=3x+b koja prolazi točkom S(4; 2).
(y = 3x - 2).

S ostatkom frontalni rad.

  1. Formulirajte definiciju derivata.
  2. Koji su od sljedećih pravaca paralelni? y = 0,5x; y \u003d - 0,5x; y \u003d - 0,5x + 2. Zašto?

Pogodite ime znanstvenika:

Ključ do odgovora

Tko je bio ovaj znanstvenik, s čime je povezan njegov rad, naučit ćemo u sljedećoj lekciji.
Provjerite odgovore učenika na karticama.
IV Proučavanje novog gradiva.
Za postavljanje jednadžbe pravca na ravninu dovoljno nam je znati njegov kut
koeficijent i koordinate jedne točke.

  • Počnimo s nagibom



Slika 3

Razmotrite graf funkcije y = f(x) diferencijabilan u točki A(x 0 , f(x 0 )) .
Odaberite točku na njemu M (x 0 + Δh, f(x 0 + Δh)) i nacrtaj sekantu AM .
Pitanje: koliki je nagib sekante? (∆f/∆x=tgβ)

Točku ćemo aproksimirati duž luka M do točke A . U ovom slučaju ravno AM će se okretati oko točke A , približavajući se (za glatke linije) nekom graničnom položaju - ravnoj liniji NA . Drugim riječima, AT , koji ima ovo svojstvo, zove se tangens na graf funkcije y \u003d f (x) u točki A (x 0, f (x 0)).

Nagib sekante ujutro u ujutro → 0 teži nagibu tangente AT Δf/Δx → f "(x 0 ) . Vrijednost derivacije u točki x 0 uzeti za nagib tangente. To kažutangenta je granični položaj sekante na ∆h → 0.

Postojanje derivacije funkcije u točki x 0 je ekvivalentno postojanju (ne-vertikalne) tangente na (x 0 , f(x 0 )) graf, dok je nagib tangente jednak f "(x 0) . Ovo je geometrijsko značenje izvedenice.

Definicija tangente: Tangenta na graf diferencijabilan u točki x 0 funkcija f je pravac koji prolazi točkom(x 0 , f(x 0 )) i imajući nagib f "(x 0) .
Nacrtajmo funkcije tangente na graf y \u003d f (x) u točkama x 1, x 2, x 3 , i zabilježite kutove koje tvore s osi x. (Ovo je kut mjeren u pozitivnom smjeru od pozitivnog smjera osi do ravne crte.)



Slika 4

Vidimo da je kut α 1 je šiljast, kut α 3 je tup, a kut α 2 nula, budući da je ravna linija l je paralelan s osi Ox. Tangens oštar kut pozitivno, glupo - negativno. Zato f "(x 1)> 0, f" (x 2) \u003d 0, f "(x 3)

  • Sada izvodimo jednadžbu tangentena graf funkcije f u točki A(x 0 , f(x 0 ) ).

Opći pogled na jednadžbu ravne linije y = kx + b.

  1. Nađimo kutni koeficijent k \u003d f "(x 0), dobivamo y \u003d f "(x0) ∙ x + b, f (x) \u003d f "(x 0 )∙x + b
  2. Pronađimo b. b \u003d f (x 0) - f "(x 0) ∙ x 0.
  3. Zamijenite dobivene vrijednosti k i b u jednadžbu ravne linije: y \u003d f "(x 0) ∙x + f (x 0) - f "(x 0) ∙x 0 ili y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)
  • Generalizacija gradiva predavanja.



- formulirati algoritam za pronalaženje jednadžbe tangente u točki?

1. Vrijednost funkcije u točki dodira
2. Zajednička derivacija funkcije
3. Vrijednost derivacije u točki dodira
4. Zamijenite pronađene vrijednosti u opća jednadžba tangens.

V Učvršćivanje proučenog gradiva.

1. Usmeni rad:
1) B koje točke grafa se na njega dodiruju
a) vodoravna;
b) s x-osi tvori oštar kut;
c) s osi x tvori tupi kut?
2) Za koje vrijednosti argumenta je izvod funkcije dane grafom
a) jednak 0;
b) više od 0;
c) manje od 0?


Slika 5



Slika 6

3) Na slici je prikazan graf funkcije f(x) a tangenta na nju u točki s apscisom x0 . Odredi vrijednost derivacije funkcije f "(x) u točki x 0 .


Slika 7

2. Pisani rad.
br. 253 (a, b), br. 254 (a, b). (terenska nastava, uz komentar)

3. Rješenje referentnih zadataka.
Razmotrimo četiri vrste zadataka. Djeca čitaju uvjet zadatka, nude algoritam rješenja, jedan od učenika ga crta na ploči, ostali ga zapisuju u bilježnicu.
1. Ako je dana dodirna točka
Napišite jednadžbu za tangentu na graf funkcije f(x) = x 3 - 3x - 1 u točki M s apscisom -2.
Riješenje:

  1. Izračunajmo vrijednost funkcije: f(-2) =(-2) 3 - 3(-2) - 1 = -3;
  2. nađi izvod funkcije: f "(x) \u003d 3x 2 - 3;
  3. izračunajte vrijednost derivacije: f "(-2) \u003d - 9 .;
  4. zamijenimo ove vrijednosti u jednadžbu tangente: y = 9(x + 2) - 3 = 9x + 15.

Odgovor: y = 9x + 15.

2. Po ordinati dodirne točke.
Napišite jednadžbu za tangentu u točki na grafikonu s ordinatom y 0 = 1.
Riješenje:

Odgovor: y \u003d -x + 2.

3. Unaprijed postavljeni smjer.
Napišite jednadžbe tangente na graf y \u003d x 3 - 2x + 7 , paralelno s linijom y = x .
Riješenje.
Tražena tangenta je paralelna s pravcem y=x . Dakle, imaju isti nagib k \u003d 1, y "(x) \u003d 3x2 - 2. Apscisa x 0 dodirnih točaka zadovoljava jednadžbu 3x 2 - 2 \u003d 1, odakle je x 0 = ±1.
Sada možemo napisati jednadžbe tangente: y = x + 5 i y = x + 9 .
Odgovor: y = x + 5 , y = x + 9 .

4. Uvjeti dodira grafa i pravca.
Zadatak. Na što b ravno y = 0,5x + b je tangenta na graf funkcije f(x) = ?
Riješenje.
Podsjetimo se da je nagib tangente vrijednost derivacije u tangentnoj točki. Nagib ove ravne linije je k = 0,5. Odavde dobivamo jednadžbu za određivanje apscise x dodirne točke: f "(x) \u003d = 0,5. Očito, njen jedini korijen je x = 1. Vrijednost ove funkcije u ovoj točki je y(1) = 1. Dakle, koordinate točke dodira su (1; 1). Sada ostaje odabrati takvu vrijednost parametra b, pri kojoj pravac prolazi kroz ovu točku, odnosno da koordinate točke zadovoljavaju jednadžbu pravca: 1 = 0,5 1 + b, odakle je b = 0,5.

5. Samostalni rad obrazovnog karaktera.

Raditi u parovima.


Provjera: rezultati rješenja upisuju se u tablicu na ploči (jedan odgovor iz svakog para), razgovor o odgovorima.

6. Određivanje kuta presjeka grafa funkcije i pravca.
Kut presjeka grafa funkcije y = f(x) i pravac l zove se kut pod kojim tangenta na graf funkcije siječe pravac u istoj točki.
Br. 259 (a, b), br. 260 (a) - rastaviti na ploču.

7. Samostalni rad kontrolnog karaktera.(diferencirani rad, nastavnik provjerava za sljedeći sat)
1 opcija.

opcija 2.

  1. U kojim je točkama tangenta na graf funkcije f(x) = 3x 2 - 12x + 7 paralelno s x osi?
  2. Izjednačite tangentu s grafom funkcije f(x)= x 2 - 4 u točki s apscisom x 0 = - 2. Nacrtaj uzorak.
  3. Saznajte je li linija y \u003d 12x - 10 tangenta na graf funkcije y = 4x3.

3 opcija.

VI Sažetak lekcije.
1. Odgovori na pitanja
- kako se zove tangenta na graf funkcije u točki?
Koje je geometrijsko značenje derivacije?
- formulirati algoritam za pronalaženje jednadžbe tangente u točki?
2. Sjetite se ciljeva i zadataka lekcije, jesmo li postigli ovaj cilj?
3. Koje su bile poteškoće na satu, koji trenuci sata su vam se najviše svidjeli?
4. Ocjenjivanje za lekciju.
VII Komentar domaće zadaće: str 19 (1, 2), broj 253 (c), broj 255 (d), broj 256 (d), broj 257 (d), broj 259 (d). Pripremite izvješće o Leibnizu.

Književnost

1. Algebra i početak analize: udžbenik za 10. razred obrazovne ustanove. Sastavljači:. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin. - M.: Obrazovanje, 2008.

2. Didaktički materijali o algebri i načelima analize za 10. razred / B.M. Ivlev, S.M. Saakyan, S.I. Schwarzburd. - M.: Obrazovanje, 2008.
3. Multimedijski disk tvrtke "1C". 1C: Učitelj. Matematika (1. dio) + USE opcije. 2006.
4. otvorena banka zadaci iz matematike/ http://mathege.ru/


Lekcije 70-71. Jednadžba tangente na graf funkcije

09.07.2015 5132 0

Cilj: dobiti jednadžbu tangente na graf funkcije.

I. Priopćavanje teme i ciljeva nastave

II. Ponavljanje i učvršćivanje pređenog gradiva

1. Odgovori na pitanja iz domaće zadaće (analiza neriješenih zadataka).

2. Kontrola usvojenosti gradiva (test).

opcija 1

1. Pronađite derivaciju funkcije y \u003d 3x4 - 2 cos x .

Odgovor:

u točki x = π.

Odgovor:

3. Riješite jednadžbu y '(x) = 0 ako

Odgovor:

opcija 2

1. Pronađite derivaciju funkcije y \u003d 5xb + 3 grijeh x .

Odgovor:

2. Izračunajte vrijednost derivacije funkcije u točki x = π.

Odgovor:

3. Riješite jednadžbu y '(x) = 0 ako

Odgovor:

III. Učenje novog gradiva

Na kraju, prijeđimo na završnu fazu proučavanja izvedenice i razmotrimo upotrebu izvedenice u preostalim lekcijama. U ovoj lekciji raspravljat ćemo o tangenti na graf funkcije.

Pojam tangente već je ranije razmatran. Pokazalo se da je graf funkcije diferencijabilne u točki a f (x) u blizini a praktički se ne razlikuje od grafa tangente, što znači da je blizu sekante koja prolazi kroz točke (a; f (a)) i (a + Δx; f (a + Δx)). Bilo koja od ovih sekanti prolazi kroz točku M(a; f (a)). Da biste napisali jednadžbu tangente, morate odrediti njezin nagib. Nagib sekante Δ f /Δx na Δh → 0 teži broju f "(a), što je nagib tangente. Stoga kažu da je tangenta granični položaj sekante na Δx→ 0.

Sada dobivamo jednadžbu tangente na graf funkcije f (X). Budući da je tangenta pravac i njezin nagib f "(a), tada možemo napisati njegovu jednadžbu y \u003d f "(a) x + b . Nađimo koeficijent b iz uvjeta da tangenta prolazi točkom M(a; f (a)). Zamijenite koordinate ove točke u jednadžbi tangente i dobijete: f (a) \u003d f "(a) a + b, odakle b \u003d f (a) - f "(a) a. Sada zamjenjujemo pronađenu vrijednost b u jednadžbu tangente i dobijemo: ili Ovo je jednadžba tangente. Razmotrimo primjenu jednadžbe tangente.

Primjer 1

Pod kojim kutom je sinusoidasiječe x-os u ishodištu?

Kut pod kojim graf ove funkcije siječe x-os, jednaka kutu nagib a tangente povučene na graf funkcije f(x ) u ovom trenutku. Nađimo izvod:Uzimajući u obzir geometrijsko značenje izvoda, imamo: i a = 60°.

Primjer 2

Napišimo jednadžbu tangentnog grafa funkcije f (x) = -x2 + 4x u točki a = 1.

f "(x) i sama funkcija f (x) u točki a = 1 i dobijemo: f "(a) = f "(1) = -2 1 + 4 = 2 i f (a) = f (1) = -12 + 4 1 = 3. Zamijenite ove vrijednosti u jednadžbu tangente. Imamo: y \u003d 2 (x - 1) + 3 ili y \u003d 2x + 1.

Radi preglednosti, slika prikazuje graf funkcije f(x ) i tangenta na ovu funkciju. Dodir se događa u točki M(1; 3).

Na temelju primjera 1 i 2 možemo formulirati algoritam za dobivanje jednadžbe tangente na graf funkcije y = f(x):

1) označite apscisu točke kontakta slovom a;

2) izračunati f(a);

3) pronaći f "(x) i izračunati f "(a);

4) zamijenite pronađene brojeve a, f (a), f "(a) u formulu y \u003d f '(a) (x - a) + f (a).

Imajte na umu da u početku točka a može biti nepoznata i mora se pronaći iz uvjeta problema. Tada se u algoritmu u stavcima 2. i 3. riječ "izračunati" mora zamijeniti riječju "pisati" (što je ilustrirano primjerom 3).

U primjeru 2 apscisa a tangentne točke određena je izravno. U mnogim slučajevima dodirnu točku određuju različiti dodatni uvjeti.

Primjer 3

Napišimo jednadžbe tangenti povučenih iz točke A (0; 4) na graf funkcije f(x) \u003d - x 2 + 2x.

Lako je provjeriti da točka A ne leži na paraboli. Istodobno, kontaktne točke parabole i tangenti su nepoznate, stoga će se za pronalaženje tih točaka koristiti dodatni uvjet - prolaz tangenti kroz točku A.

Pretpostavimo da se kontakt dogodi u točki a. Nađimo izvod funkcije:Izračunajte vrijednosti derivacije f"(x ) i sama funkcija f (x) na točki dodira a i dobivamo: f '(a) \u003d -2a + 2 i f (a ) = -a2 + 2a. Zamijenite ove vrijednosti u jednadžbu tangente. Imamo: ili Ovo je jednadžba tangente.

Zapisujemo uvjet prolaska tangente kroz točku A, zamjenjujući koordinate te točke. Dobivamo: 4odnosno 4 = a2, odakle je a = ±2. Dakle, dodir se događa u dvije točke B(-2; -8) i C(2; 0). Stoga će postojati dvije takve tangente. Nađimo njihove jednadžbe. Zamijenimo vrijednosti a = ±2 u jednadžbu tangente. Dobivamo: na a = 2 ili yx \u003d -2x + 4; na a = -2 ili y2 = 6x + 4. Dakle, jednadžbe tangenti su y1 = -2x + 4 i y2 = 6x + 4.

Primjer 4

Nađimo kut između tangenti koristeći uvjete prethodnog zadatka.

Povučene tangente y1 = -2x + 4 i y2 = 6x + 4 čine kutove a1 i a2 s pozitivnim smjerom osi apscisa (i tg a 1 = -2 i tg a 2 = 6) a između sebe kut φ = a 1 - a2. Nalazimo, koristeći dobro poznatu formulu,odakle je φ = arctan 8/11.

Primjer 5

Napišimo jednadžbu tangente na graf funkcijeparalelna linija y \u003d -x + 2.

Dvije su crte međusobno paralelne ako imaju isti nagib. Nagib ravne linije y \u003d -x + 2 je -1, nagib željene tangente je f '(a ), gdje je a - apscisa točke dodira. Stoga, za određivanje a, imamo dodatni uvjet f '(a) \u003d -1.

Koristeći formulu za izvod privatnih funkcija, nalazimo izvod:Pronađite vrijednost derivacije u točki a i dobiti:

Dobili smo jednadžbuili (a - 2)2 = 4, ili a - 2 = ±2, odakle je a = 4 i a = 0. Dakle, postoje dvije tangente koje zadovoljavaju uvjet zadatka. Zamijenimo vrijednosti a = 4 i a = 0 u jednadžbu tangente y = f '(a)(x - a) + f (a). Za a = 4 imamo:i tangens y1 \u003d - (x - 4) + 3 ili y1 \u003d -x + 7. S \u003d 0 dobivamo:i tangente y2 \u003d - (x - 0) - 1 ili y2 \u003d -x - 1. Dakle, jednadžbe tangenti y1 = -x + 7 i y2 \u003d -x - 1.

Imajte na umu da ako f "(a ) ne postoji, tada tangenta ili ne postoji (kao u funkciji f (x) = |x| u točki (0; 0) - sl. a, ili okomito (poput funkcijeu točki (0; 0) - sl. b.


Dakle, postojanje izvoda funkcije f (x) u točki a je ekvivalentno postojanju neokomite tangente u točki (a; f (a)) grafika. U ovom slučaju, nagib tangente je jednak f "(a). Ovo je geometrijsko značenje izvedenice.

Koncept derivata omogućuje izvođenje približnih izračuna. Opetovano je primijećeno da je na Δh→ 0 vrijednosti funkcije f(x ) i njegova tangenta y(x) praktički se podudaraju. Prema tome, kod Δx→ 0 ponašanje funkcije f (x) u okolini točke x0 može se približno opisati formulom(zapravo jednadžba tangente). Ova se formula uspješno koristi za približne izračune.

Primjer 6

Izračunajte vrijednost funkcije u točki x = 2.03.

Pronađite izvod ove funkcije: f "(x) \u003d 12x2 - 4x + 3. Pretpostavit ćemo da je x \u003d a + Δx, gdje je a \u003d 2 i Δx \u003d 0,03. Izračunavamo vrijednosti funkcije i njezine derivacije u točki a i dobiti: i Sada definirajmo vrijednost funkcije u dana točka x = 2,03. Imamo:

Naravno, gornja formula je prikladna za korištenje ako su vrijednosti f (a) i f "(a ) lako je izračunati.

Primjer 7

Izračunaj

Razmotrite funkcijuNađimo izvod:Pretpostavit ćemo da je x = a + Δx, gdje je a = 8 i Δx = 0,03. Izračunajmo vrijednosti funkcije i njenu derivaciju u točki a i dobijemo:Sada odredimo vrijednost funkcije u zadanoj točki x = 8,03. Imamo:

Primjer 8

Generalizirajmo dobiveni rezultat. Razmotrimo funkciju snage f (x) = x n te ćemo pretpostaviti da je x = a + Δx i Δx→ 0. Nađi f "(x) = n x n -1 i izračunati vrijednosti funkcije i njezine derivacije u točki a, dobivamo: f (a) \u003d an i f ’(a) \u003d nan -1 . Sada imamo formulu f (x) = a n + nan -1 Δx. Iskoristimo ga za izračun broja 0,98-20. Pretpostavit ćemo da a = 1, Δh = -0,02 i n = -20. Tada dobivamo:

Naravno, gornja formula se može koristiti za bilo koje druge funkcije, posebice trigonometrijske.

Primjer 9

Izračunajmo tg 48°.

Razmotrite funkciju f(x) = tg x i nađi izvod:Pretpostavit ćemo da je x = a + Δ x, gdje je a = 45° = π/4 i (Još jednom, imajte na umu da se u trigonometriji kutovi obično mjere u radijanima). Pronađimo vrijednosti funkcije i njenu derivaciju u točki a i dobijemo:Sada izračunajmo(uzimajući u obzir da je π = 3,14).

IV. ispitna pitanja

1. Jednadžba tangente na graf funkcije.

2. Algoritam za izvođenje jednadžbe tangente.

3. Geometrijsko značenje izvoda.

4. Primjena jednadžbe tangente za aproksimativne proračune.

V. Zadatak u nastavi

§ 29, br. 1 (a); 2 (b); 5 (a, b); 6 (c, d); 9(a); 10 (b); 12 (d); 14(a); 17; 21(a); 22 (a, c); 24 (a, b); 25(a); 26.

VI. Domaća zadaća

§ 29, br. 1 (b); 2 (c); 5 (c, d); 6 (a, b); 9 (b); 10(a); 12(b); 14 (b); osamnaest; 21(c); 22 (b, d); 24 (c, d); 25 (b); 27.

VII. Kreativni zadaci

1. U kojim točkama x dodiruju grafove funkcija paralelno?

Odgovor: x \u003d -1, x \u003d 3.

2. Za koliko x su tangente na grafove funkcija y \u003d 3 cos 5 x - 7 i y = 5 cos 3 x + 4 su paralelni?

Odgovor:

3. Pod kojim kutovima se sijeku krivulje y = x2 i

Odgovor: π/2 i arctg 3/5.

4. Pod kojim kutovima se krivulje sijeku y = cos x i y = sin x?

Odgovor:

5. Na parabolu y \u003d 4 - x2 povučena je tangenta u točki s apscisom x \u003d 1. Pronađite točku presjeka ove tangente s osi y.

Odgovor: (0; 5).

6. Na parabolu y \u003d 4x - x2 u točki s apscisom x \u003d 3 povučena je tangenta. Pronađite točku presjeka ove tangente s osi x.

Odgovor: (9/2; 0).

7. Pronađite kut između dvije tangente povučene iz točke (0; -2) na parabolu y \u003d x2.

Odgovor:

8. Na graf funkcije y \u003d 3x2 + 3x + 2, tangente su nacrtane s koeficijentima nagiba k 1 = 0 i k 2 = 15. Napišite jednadžbu pravca koji prolazi kroz dodirne točke.

Odgovor: y \u003d 12x - 4.

9. Nađite jednadžbe pravaca koji istovremeno dodiruju parabole y = x2 + x - 2 i y = -x2 + 7x - 11.

Odgovor: y \u003d 7x - 11 i y \u003d x - 2.

10. Napišite jednadžbu zajedničke tangente na parabole y \u003d -3x2 + 4x + 4 i y \u003d -3x2 + 16x - 20.

Odgovor: y = -2x + 7.

11. Tangenta na graf funkcije y \u003d x2 - 4x - 3 nacrtana je u točki x \u003d 0. Odredite površinu trokuta kojeg čine tangenta i koordinatne osi.

Odgovor: 9/8.

12. Pronađite površinu trokuta omeđenog koordinatnim osima i tangentom na graf funkcijeu točki x = 2.

Odgovor: 1.

VIII. Sažimanje lekcija

Odjeljci: Matematika

Ciljevi.

  • Generalizirati i sistematizirati pravila razlikovanja;
  • Ponoviti algoritam za konstrukciju tangente na graf funkcije, shemu za proučavanje funkcije;
  • Rješavanje problema za korištenje najvećeg i najmanja vrijednost funkcije.

Oprema. Plakat “Izvedenica. Pravila za izračunavanje izvedenica. Primjene derivata”.

Tijekom nastave

Učenici prema karticama ponavljaju teorijsko gradivo.

1. Definirajte derivaciju funkcije u točki. Što se zove diferencijacija? Koja se funkcija naziva diferencijabilnom u točki?

(Derivacija funkcije f u točki x je broj kojem omjer teži

Funkcija koja ima derivaciju u točki x 0 naziva se diferencijabilnom u toj točki. Pronalaženje derivacije od f naziva se diferenciranje.)

2. Formulirajte pravila za pronalaženje derivacije.

(1. Derivacija zbroja (u + v)"=u"+v";
2. O konstantnom faktoru (Cu)"=Cu";
3. Izvod proizvoda (uv)"=u"v+uv";
4. Derivacija razlomka (u / v) "= (u" v-uv ") / v 2;
5. Izvedenica funkcija snage(xn)"=nxn+1 .)

3. Koje su derivacije sljedećih funkcija:

4. Kako pronaći derivaciju složene funkcije?

(Moramo ga dosljedno prikazati u obliku elementarnih funkcija i izvoditi prema poznatim pravilima).

5. Koje su derivacije sljedećih funkcija:

6. Koje je geometrijsko značenje derivacije?

(Postojanje derivacije u točki je ekvivalentno postojanju ne-vertikalne tangente u točki (x 0, f (x 0)) grafa funkcije, a nagib ove tangente je f "( x 0)).

7. Kako glasi jednadžba tangente na graf funkcije u točki (x 0, f (x 0))?

(Jednadžba tangente ima oblik y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x-x 0))

8. Formulirajte algoritam za konstruiranje grafa funkcije pomoću derivacije.

(1. Pronađite OOF.
2. Istražite paritet.
3. Istražite periodičnost.
4. Odredite sjecišne točke grafa s koordinatnim osima.
5. Odredi derivaciju funkcije i njene kritične točke.
6. Naći intervale monotonosti i ekstreme funkcije.
7. Izradite tablicu na temelju rezultata studije.
8. Grafički nacrtajte funkciju.)

9. Formulirajte teoreme uz pomoć kojih je moderno crtati graf funkcije.

(1. Predznak povećanja (smanjenja).
2. Nužni znak ekstrema.
3. Predznak maksimuma (minimuma).)

10. Koje formule postoje za približan izračun funkcija?

Individualni rad.

Razina A (tri opcije), razina B (jedna opcija).

Razina A

Opcija 1.

1. Zapišite jednadžbu tangente na graf funkcije

f (x) \u003d (x -1) 2 (x -3) 3 paralelne crte y \u003d 5-24x.

2. Zapiši broj 18 kao zbroj tri pozitivna člana tako da je jedan član dva puta veći od drugog, a umnožak sva tri člana bude najveći.

4. Odredite intervale porasta i opadanja funkcije f(x)=(x-1) e x+1.

opcija 2.

1. Pod kojim kutom u odnosu na apscisu je tangenta na graf funkcije f (x) \u003d 0,x 2 + x-1,5 u točki s apscisom x 0 \u003d - 2? Napišite jednadžbu za ovu tangentu i dovršite crtež za ovaj problem.

2. Kao u B. 1.

3. Pronađite izvod funkcije:

Razina B

1. Pronađite izvod funkcije:

a) f (x) \u003d e -5x;
b) f(x) = log 3 (2x 2 -3x+1).

2. Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije u točki s apscisom x 0 ako je f (x) \u003d e -x, x 0 \u003d 1.

3. Odredite intervale porasta i opadanja funkcije f(x)=x·e 2h.

Sažetak lekcije.

Rad se provjerava, ocjenjuje se teorija i praksa.

Domaća zadaća dati pojedinačno:

a) ponoviti derivacije trigonometrijskih funkcija;
b) metoda intervala;
c) mehaničko značenje izvedenice.

2. A: br. 138, br. 142, B: br. 137 (a, b), br. 140 (a).

3. Uzmite derivaciju funkcija:

a) f(x)=x 4 -3x 2 -7;
b) f(x)=4x 3 -6x;
c) f(x)=-2sin(2x-4);
d) f(x)=cos(2x-4).

4. Imenujte shemu istraživanja funkcije.

Klasa: 10

Prezentacija za lekciju























Natrag naprijed

Pažnja! Pregled slajdova je samo u informativne svrhe i možda ne predstavlja puni opseg prezentacije. Ako si zainteresiran ovaj posao preuzmite punu verziju.

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.

Nastavne metode: vizualne, djelomično pretraživačke.

Svrha lekcije.

  1. Uvesti pojam tangente na graf funkcije u točki, saznati geometrijsko značenje derivacije, izvesti jednadžbu tangente i naučiti je pronaći za određene funkcije.
  2. Razviti logično mišljenje, matematički govor.
  3. Gajite volju i upornost za postizanje konačnih rezultata.

Oprema: interaktivna ploča, računalo.

Plan učenja

I. Organizacijski trenutak

Provjera spremnosti učenika za nastavni sat. Poruka o temi lekcije i ciljevima.

II. Ažuriranje znanja.

(Prisjetite se s učenicima geometrijske definicije tangente na graf funkcije. Navedite primjere koji pokazuju da ova izjava nije potpuna.)

Podsjetimo se što je tangenta?

"Tangenta je ravna linija koja ima jednu zajedničku točku s danom krivuljom." (Slajd #2)

Rasprava o ispravnosti ove definicije. (Učenici nakon rasprave dolaze do zaključka da je ova definicija netočna.) Da bismo ilustrirali svoj zaključak, navodimo sljedeći primjer.

Razmotrite primjer. (Slajd #3)

Neka su zadani parabola i dvije ravne linije , koja s tom parabolom ima jednu zajedničku točku M (1; 1). Postoji rasprava zašto prvi pravac nije tangenta na ovu parabolu (slika 1), ali drugi jest (slika 2).

U ovoj lekciji moramo saznati što je tangenta na graf funkcije u točki, kako napisati jednadžbu za tangentu?

Razmotrite glavne zadatke za sastavljanje tangentne jednadžbe.

Da biste to učinili, prisjetite se općeg oblika jednadžbe ravne linije, uvjeta za paralelne linije, definicije derivacije i pravila diferencijacije. (Slajd broj 4)

III. Pripremni rad za proučavanje novog gradiva.

  1. Formulirajte definiciju derivata. (Slajd broj 5)
  2. Ispunite tablicu proizvoljnih elementarnih funkcija. (Slajd broj 6)
  3. Zapamtite pravila razlikovanja. (Slajd broj 7)
  4. Koji su od sljedećih pravaca paralelni i zašto? (Uvjerite se vizualno) (Slajd broj 8)

IV Proučavanje novog gradiva.

Za postavljanje jednadžbe pravca na ravninu dovoljno nam je znati nagib i koordinate jedne točke.

Neka je dan graf funkcije. Na njoj je odabrana točka, na kojoj se povlači tangenta na graf funkcije (pretpostavljamo da postoji). Odredite nagib tangente.

Povećajmo argument i razmotrimo na grafu (sl. 3) točku P s apscisom . Nagib sekante MP, tj. tangens kuta između sekante i x-osi, izračunava se formulom .

Ako sada težimo nuli, tada će se točka P duž krivulje početi približavati točki M. U ovoj aproksimaciji tangentu smo okarakterizirali kao granični položaj sekante. Dakle, prirodno je pretpostaviti da će se nagib tangente izračunati po formuli .

Posljedično,.

Ako se grafu funkcije y = f (x) u točki x = a možete nacrtati tangentu koja nije paralelna s osi na, zatim izražava nagib tangente. (Slajd broj 10)

Ili na drugi način. Derivacija u točki x = a jednaka nagibu tangente na graf funkcije y = f(x) u ovom trenutku.

Ovo je geometrijsko značenje derivacije. (Slajd broj 11)

Štoviše, ako:

Otkrijmo opći oblik jednadžbe tangente.

Neka je pravac zadan jednadžbom . Mi to znamo . Za izračun m koristimo činjenicu da pravac prolazi točkom . Stavimo to u jednadžbu. Dobivamo, tj. . Zamijenite pronađene vrijednosti k i m u jednadžbu ravne linije:

je jednadžba tangente na graf funkcije. (Slajd broj 12)

Razmotrite primjere:

Napravimo jednadžbu tangente:

(Slajd broj 14)

Rješavajući ove primjere, koristili smo vrlo jednostavan algoritam, koji je sljedeći: (Slajd br. 15)

Razmotrite tipične zadatke i njihovo rješenje.

№1 Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije u točki.

(Slajd broj 16)

Riješenje. Upotrijebimo algoritam, s obzirom da je u ovom primjeru .

2)

3) ;

4) Zamijenite pronađene brojeve ,, u formulu.

№2 Nacrtajte tangentu na graf funkcije tako da bude paralelna s pravcem. (Slajd broj 17)

Riješenje. Pročistimo formulaciju problema. Zahtjev za "crtanje tangente" obično znači "napraviti jednadžbu za tangentu". Upotrijebimo algoritam crtanja tangente, s obzirom da je u ovom primjeru .

Željena tangenta mora biti paralelna s pravom. Dva pravca su paralelna ako i samo ako su im nagibi jednaki. Dakle nagib tangente mora biti jednak nagibu zadane prave: .Br. Posljedično: ; ., tj.

V. Rješavanje problema.

1. Rješavanje zadataka na gotovim crtežima (Slajd br. 18 i Slajd br. 19)

2. Rješavanje zadataka iz udžbenika: br. 29.3 (a, c), br. 29.12 (b, d), br. 29.18, br. 29.23 (a) (Slajd br. 20)

VI. Sažimajući.

1. Odgovorite na pitanja:

  • Što se zove tangenta na graf funkcije u točki?
  • Koje je geometrijsko značenje derivacije?
  • Formulirajte algoritam za pronalaženje jednadžbe tangente?

2. Koje su bile poteškoće na satu, koji trenuci sata su vam se najviše svidjeli?

3. Označavanje.

VII. Komentari na domaća zadaća

br. 29.3 (b, d), br. 29.12 (a, c), br. 29.19, br. 29.23 (b) (Slajd br. 22)

Književnost. (Slajd 23)

  1. Algebra i počeci matematičke analize: Zbornik. Za 10-11 stanica. za studente obrazovnih ustanova (osnovna razina) / Uredio A.G. Mordkovich. – M.: Mnemosyne, 2009.
  2. Algebra i počeci matematičke analize: Zadatnica, Za 10-11 ćelija. za studente obrazovnih ustanova (osnovna razina) / Uredio A.G. Mordkovich. – M.: Mnemosyne, 2009.
  3. Algebra i počeci analize. Samostalni i testni radovi za razrede 10-11. / Ershova A.P., Goloborodko V.V. – M.: ILEKSA, 2010.
  4. USE 2010. Matematika. Zadatak B8. Radna bilježnica/ Pod uredništvom A. L. Semenova i I. V. Yashchenka - M .: Izdavačka kuća MTsNMO, 2010.
Otvoreni sat algebre u 11. razredu 19.10. 2011

Učitelj: Gorbunova S.V.

Tema lekcije: Jednadžba tangente na graf funkcije.

Ciljevi lekcije


  1. Pojasnite pojam "tangente".

  2. Izvedite jednadžbu tangente.

  3. Napišite algoritam za "sastavljanje jednadžbe tangente na graf funkcije
y = f(x)".

  1. Počnite vježbati vještine i sposobnosti sastavljanja jednadžbe tangente u raznim matematičkim situacijama.

  2. Formirati sposobnost analize, generaliziranja, prikazivanja, korištenja elemenata studije, razvijanja matematičkog govora.

Oprema: računalo, prezentacija, projektor, interaktivna ploča, podsjetnici, kartice za refleksiju.

Struktura lekcije:


  1. ON. U.

  2. Poruka o temi lekcije

  3. Ponavljanje proučenog gradiva

  4. Formulacija problema.

  5. Objašnjenje novog gradiva.

  6. Izrada algoritma za "sastavljanje jednadžbe tangente".

  7. Referenca povijesti.

  8. Konsolidacija. Razvijanje vještina i sposobnosti sastavljanja jednadžbe tangente.

  9. Domaća zadaća.

  10. Samostalni rad uz samotestiranje

  11. Sažimanje lekcije.

  12. Odraz
Tijekom nastave

1. O.N.U.

2. Objavljivanje teme lekcije

Tema današnje lekcije je "Jednadžba tangente na graf funkcije." Otvorite svoje bilježnice, zapišite datum i temu lekcije. (slajd 1)

Neka riječi koje vidite na ekranu postanu moto današnje lekcije. (slajd 2)


  • Nema loših ideja

  • Razmišljajte kreativno

  • riskiraj

  • Nemojte kritizirati
Za pripremu za nastavu ponovit ćemo prethodno naučeno gradivo. Pozornost na ekran. Zapiši rješenje u svoju bilježnicu.

2. Ponavljanje proučavanog materijala (slajd 3).

Svrha: provjeriti poznavanje osnovnih pravila razlikovanja.

Pronađite izvod funkcije:

Tko ima više od jedne pogreške? Tko ga ima?

3. Ažuriranje

Svrha: Aktivirati pozornost, pokazati nedostatak znanja o tangenti, formulirati ciljeve i ciljeve lekcije. (Slajd 4)

Raspravimo što je tangenta na graf funkcije?

Slažete li se s tvrdnjom da je "tangenta pravac koji ima jednu zajedničku točku s danom krivuljom"?
Postoji rasprava. Izjave djece (da i zašto, ne i zašto). Tijekom rasprave dolazimo do zaključka da ova tvrdnja nije točna.

Pogledajmo konkretne primjere:

Primjeri.(slajd 5)
1) Pravac x = 1 ima jednu zajedničku točku M(1; 1) s parabolom y = x 2, ali ne dodiruje parabolu.

Pravac y = 2x – 1 koji prolazi istom točkom tangenta je na zadanu parabolu.

Pravac x = π nije tangenta na graf y = cos x, iako s njim ima jedinu zajedničku točku K(π; 1). S druge strane, pravac y = - 1 koji prolazi kroz istu točku tangenta je na graf, iako ima beskonačno mnogo zajedničkih točaka oblika (π+2 πk; 1), gdje je k cijeli broj, u svakoj od što se tiče grafikona.

^ 4. Postavljanje ciljeva i ciljeva za djecu u lekciji: (slajd 6)

Pokušajte sami formulirati svrhu lekcije.

Utvrditi što je tangenta na graf funkcije u točki, izvesti jednadžbu tangente. Primijenite formulu na rješavanje problema
^ 5. Učenje novog gradiva

Vidite kako se položaj pravca x=1 razlikuje od položaja y=2x-1? (slajd 7)

Zaključi što je tangenta?

Tangenta je granični položaj sekante.

Budući da je tangenta ravna crta i trebamo napisati jednadžbu za tangentu, što mislite da trebamo zapamtiti?

Prisjetite se općeg oblika jednadžbe ravne linije. (y \u003d kx + b)

Kako se još naziva broj k? (nagib ili tangens kuta između ove crte i pozitivnog smjera osi Ox) k \u003d tg α

Koje je geometrijsko značenje derivacije?

Tangens kuta nagiba između tangente i pozitivnog smjera x-osi

To jest, mogu napisati tg α = yˈ(x). (slajd 8)

Ilustrirajmo to crtežom. (slajd 9)

Neka je dana funkcija y = f (x) i točka M koja pripada grafu te funkcije. Definirajmo njegove koordinate na sljedeći način: x=a, y=f(a), tj. M (a, f (a)) i neka postoji derivacija f "(a), tj. u datoj točki je derivacija definirana. Povucite tangentu kroz točku M. Jednadžba tangente je jednadžba ravne linije , tako da izgleda: y \u003d kx + b. Dakle, zadatak je pronaći k i b. Obratite pažnju na ploču, iz onoga što je tamo napisano, je li moguće pronaći k? (da, k = f " (a).)

Kako sada pronaći b? Željena linija prolazi kroz točku M (a; f (a)), te koordinate zamijenimo u jednadžbu linije: f (a) \u003d ka + b, dakle b \u003d f (a) - ka, jer k \u003d tg α \u003d yˈ(x), tada je b = f(a) – f "(a)a

Zamijenite vrijednost b i k u jednadžbu y = kx + b.

y \u003d f "(a) x + f (a) - f "(a) a, uzimajući zajednički faktor iz zagrade, dobivamo:

y \u003d f (a) + f "(a) (x-a).

Dobili smo jednadžbu tangente na graf funkcije y = f(x) u točki x = a.

Da biste s pouzdanjem riješili probleme na tangenti, morate jasno razumjeti značenje svakog elementa u ovoj jednadžbi. Zadržimo se na ovome još jednom: (slajd 10)


  1. (a, f (a)) - točka kontakta

  2. f "(a) \u003d tg α \u003d k kut nagiba ili nagib

  3. (x, y) - bilo koja točka tangente
I tako smo izveli jednadžbu tangente, analizirali značenje svakog elementa u ovoj jednadžbi, pokušajmo sada izvesti algoritam za sastavljanje jednadžbe tangente na graf funkcije y = f (x)

6. Izrada algoritma (slide 11).

Predlažem da se napravi algoritam za same studente:


  1. Apscisu dodirne točke označavamo slovom a.

  2. Izračunajmo f(a).

  3. Pronađite f "(x) i izračunajte f "(a).

  4. Zamijenimo pronađene vrijednosti broja a, f (a), f "(a) u jednadžbu tangente.

  5. y \u003d f (a) + f "(a) (x-a).
(Unaprijed isprintan algoritam dijelim učenicima kao podsjetnik za kasniji rad.)

  1. Povijesna pozadina (slide 12).
Pozornost na ekran. Raščistite riječ

1
4/3
9
-4
-1
-3
5

Odgovor: FLUX (slajd 13).

Koja je priča o podrijetlu ovog imena? (slajd 14.15)

Pojam derivata nastao je u vezi s potrebom rješavanja niza problema u fizici, mehanici i matematici. Čast da otkriju temeljne zakone matematičke analize pripada engleskom znanstveniku Newtonu i njemačkom matematičaru Leibnizu. Leibniz je razmatrao problem povlačenja tangente na proizvoljnu krivulju.

Poznati fizičar Isaac Newton, rođen u engleskom selu Woolstrop, dao je značajan doprinos matematici. Rješavajući probleme crtanja tangenti na krivulje, izračunavajući površine krivocrtnih likova, stvorio je opću metodu za rješavanje takvih problema - metoda fluksa (izvedenice), a naziva se i sama izvedenica tečno .

Izračunao je derivaciju i integral potencije. O diferencijalnom i integralnom računu piše u svom djelu "Metoda fluksija" (1665. - 1666.), koje je poslužilo kao jedan od početaka matematičke analize, diferencijalnog i integralnog računa, koji je znanstvenik razvio neovisno o Leibnizu.

Mnogi znanstvenici u različite godine zanimala tangenta. Povremeno se koncept tangente susreo u djelima talijanskog matematičara N. Tartaglie (oko 1500. - 1557.) - ovdje se tangenta pojavila tijekom proučavanja pitanja kuta nagiba pištolja, koji osigurava najveća zadanost leta projektila. I. Keppler razmatrao je tangentu u tijeku rješavanja problema najvećeg volumena paralelopipeda upisanog u loptu zadanog radijusa.

U 17. stoljeću, na temelju teorije gibanja G. Galilea, aktivno se razvijao kinematički koncept derivata. Različite mogućnosti prezentacije nalaze se kod R. Descartesa, francuskog matematičara Robervala, engleskog znanstvenika D. Gregoryja, u djelima I. Barrowa.

8. Konsolidacija (slajd 16-18).

1) Sastavite jednadžbu tangente na graf funkcije f (x) \u003d x² - 3x + 5 u točki s apscisom

Riješenje:

Napravimo jednadžbu tangente (prema algoritmu). Zovite jakog učenika.


  1. a = -1;

  2. f(a) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;

  3. f "(x) \u003d 2x - 3,
    f "(a) \u003d f "(-1) \u003d -2 - 3 \u003d -5;

  4. y \u003d 9 - 5 (x + 1),
y = 4 - 5x.

Odgovor: y = 4 - 5x.

USE zadaci 2011 B-8

1. Funkcija y \u003d f (x) definirana je na intervalu (-3; 4). Slika prikazuje njegov graf i tangentu na ovaj graf u točki s apscisom a \u003d 1. Izračunajte vrijednost derivacije f "(x) u točki a \u003d 1.

Rješenje: da biste ga riješili, potrebno je zapamtiti da ako su poznate koordinate bilo koje dvije točke A i B koje leže na danoj liniji, tada se njegov nagib može izračunati formulom: k \u003d, gdje (x 1; y 1), (x 2; y 2) su koordinate točaka A, redom B. Graf pokazuje da ova tangenta prolazi kroz točke s koordinatama (1; -2) i (3; -1), što znači k=(-1-(-2))/(3-1)= 0,5.

2. Funkcija y \u003d f (x) definirana je na intervalu (-3; 4). Na slici je prikazan njegov graf i tangenta na taj graf u točki s apscisom a = -2. Izračunajte vrijednost derivacije f "(x) u točki a \u003d -2.

Rješenje: graf prolazi kroz točke (-2;1) (0;-1) . fˈ(-2)= -2

8. Domaća zadaća (slide 19).

Pripreme za ispit B-8 br.3 - 10

^ 9. Samostalan rad

Napišite jednadžbu tangente na graf funkcije y \u003d f (x) u točki s apscisom a.
opcija 1 opcija 2

f(x) = x²+ x+1, a=1 f(x)= x-3x², a=2

odgovori: 1. mogućnost: y=3x; Opcija 2: y \u003d -11x + 12

10. Sažimanje.


  • Što se zove tangenta na graf funkcije u točki?

  • Koje je geometrijsko značenje derivacije?

  • Formulirajte algoritam za pronalaženje jednadžbe tangente u točki?
11. Odraz:

Odaberite emotikon koji odgovara vašem raspoloženju i stanju nakon lekcije. Hvala vam na lekciji.

Pročitajte također