11 Osnovne funkcije kompleksne varijable
Prisjetimo se definicije kompleksnog eksponenta - . Zatim
Proširenje serije Maclaurin. Radijus konvergencije ovog niza je +∞, što znači da je kompleksni eksponent analitičan na cijeloj kompleksnoj ravnini i
(exp z)"=exp z; exp 0=1. (2)
Prva jednakost ovdje slijedi, na primjer, iz teorema o član-po-članom diferenciranju niza potencija.
11.1 Trigonometrijske i hiperboličke funkcije
Sinus kompleksne varijable naziva se funkcija
Kosinus kompleksne varijable postoji funkcija
Hiperbolički sinus kompleksne varijable definira se ovako:
Hiperbolički kosinus kompleksne varijable-- je funkcija
Napominjemo neka svojstva novouvedenih funkcija.
A. Ako x∈ ℝ, tada cos x, sin x, ch x, sh x∈ ℝ.
B. Između trigonometrijskih i hiperboličkih funkcija postoji sljedeća veza:
cos iz=ch z; sin iz=ish z, ch iz=cos z; shiz=isinz.
B. Osnovni trigonometrijski i hiperbolički identiteti:
cos 2 z+sin 2 z=1; ch 2 z-sh 2 z=1.
Dokaz osnovnog hiperboličkog identiteta.
Glavni trigonometrijski identitet slijedi iz ononovskog hiperboličkog identiteta kada se uzme u obzir veza između trigonometrijskih i hiperboličkih funkcija (vidi svojstvo B)
G Formule zbrajanja:
Posebno,
D. Za izračun derivacija trigonometrijskih i hiperboličkih funkcija treba primijeniti teorem o član-po-članom diferencijaciji niza potencija. Dobivamo:
(cos z)"=-sin z; (sin z)"=cos z; (ch z)"=sh z; (sh z)"=ch z.
E. Funkcije cos z, ch z su parne, dok su funkcije sin z, sh z neparne.
G. (Periodičnost) Funkcija e z je periodična s periodom 2π i. Funkcije cos z, sin z su periodične s periodom 2π , a funkcije ch z, sh z periodične su s periodom 2πi. Nadalje,
Primjenom formule zbroja dobivamo
Z. Rastave na stvarne i imaginarne dijelove:
Ako analitička funkcija s jednom vrijednošću f(z) bijektivno preslikava domenu D na domenu G, tada se D naziva domenom jednovalentnosti.
I. Domena D k =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .
Dokaz. Relacija (5) implicira da je preslikavanje exp:D k → ℂ injektivno. Neka je w bilo koji kompleksni broj različit od nule. Zatim, rješavanje jednadžbi e x =|w| i e iy =w/|w| s realnim varijablama x i y (y biramo iz poluintervala); ponekad uzeti u obzir ... ... Enciklopedijski rječnik F.A. Brockhaus i I.A. Efron
Funkcije inverzne hiperboličkim funkcijama (Vidi Hiperboličke funkcije) sh x, ch x, th x; izražavaju se formulama (čitaj: hiperbolički aresin, hiperbolički kosinus površine, aretangens ... ... Velika sovjetska enciklopedija
Funkcije inverzne hiperboličkim. funkcije; izraziti u formulama... Prirodna znanost. enciklopedijski rječnik
Inverzne hiperboličke funkcije definirane su kao inverzi hiperboličkih funkcija. Ove funkcije određuju površinu sektora jedinične hiperbole x2 − y2 = 1 na isti način na koji inverzne trigonometrijske funkcije određuju duljinu ... ... Wikipedia
knjige
- Hiperboličke funkcije , Yanpolsky A.R. Knjiga opisuje svojstva hiperboličkih i inverznih hiperboličkih funkcija i daje odnos između njih i drugih elementarnih funkcija. Primjene hiperboličkih funkcija na...
Može se napisati u parametarskom obliku pomoću hiperboličkih funkcija (ovo objašnjava njihov naziv).
Označimo y= b·sht , tada x2 / a2=1+sh2t =ch2t . Odakle x=± a·cht .
Tako dolazimo do sljedećih parametarskih jednadžbi hiperbole:
Y= u sht , –< t < . (6)
Riža. jedan.
Znak "+" u gornjoj formuli (6) odgovara desnoj grani hiperbole, a znak ""– "" odgovara lijevoj grani (vidi sliku 1). Vrhovi hiperbole A(– a; 0) i B(a; 0) odgovaraju vrijednosti parametra t=0.
Za usporedbu, možemo dati parametarske jednadžbe elipse koristeći trigonometrijske funkcije:
X=trošak,
Y=in sint , 0 t 2p . (7)
3. Očito je funkcija y=chx parna i prima samo pozitivne vrijednosti. Funkcija y=shx je neparna, jer :
Funkcije y=thx i y=cthx su neparne kao kvocijenti parne i neparne funkcije. Za razliku od trigonometrijskih funkcija, hiperboličke funkcije nisu periodične.
4.
Proučimo ponašanje funkcije y= cthx u blizini točke diskontinuiteta x=0: 
Stoga je y-os okomita asimptota grafa funkcije y=cthx . Definirajmo kose (horizontalne) asimptote:
Dakle, pravac y=1 je desna horizontalna asimptota grafa funkcije y=cthx . Zbog neparnosti ove funkcije njena lijeva horizontalna asimptota je pravac y= –1. Lako je pokazati da su ove linije istovremeno asimptote za funkciju y=thx. Funkcije shx i chx nemaju asimptote.
2) (chx)"=shx (prikazuje se na sličan način).
4) 
Također postoji određena analogija s trigonometrijskim funkcijama. Potpuna tablica izvodnica svih hiperboličkih funkcija dana je u odjeljku IV.
Tangens, kotangens
Definicije hiperboličkih funkcija, njihova područja definicija i vrijednosti
sh x- hiperbolički sinus, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x- hiperbolički kosinus
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .
hvala- hiperbolička tangenta
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x- hiperbolički kotangens
, x ≠ 0; g< -1 или y > +1 .
Grafovi hiperboličkih funkcija
Prikaz hiperboličkog sinusa y = sh x
Prikaz hiperboličkog kosinusa y = ch x
Prikaz hiperboličke tangente y= hvala
Prikaz hiperboličkog kotangensa y = cth x
Formule s hiperboličkim funkcijama
Odnos s trigonometrijskim funkcijama
sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z ; ch iz = cos z
tgiz = i th z ; ctg iz = - i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = - i ctg z
Ovdje je i imaginarna jedinica, i 2 = - 1
.
Primjenom ovih formula na trigonometrijske funkcije dobivamo formule koje povezuju hiperboličke funkcije.
Paritet
sh(-x) = - sh x;
ch(-x) = ch x.
th(-x) = -th x;
cth(-x) = - cth x.
Funkcija ch(x)- čak. Funkcije sh(x), hvala), cth(x)- neparan.
Razlika kvadrata
ch 2 x - sh 2 x = 1.
Formule za zbroj i razliku argumenata
sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,
sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.
Formule za produkte hiperboličkih sinusa i kosinusa
,
,
,
,
,
.
Formule za zbroj i razliku hiperboličkih funkcija
,
,
,
,
.
Odnos hiperboličkog sinusa i kosinusa s tangensom i kotangensom
,
,
,
.
Derivati
,
Integrali od sh x, ch x, th x, cth x
,
,
.
Proširenja u serije
Inverzne funkcije
Areasine
Na - ∞< x < ∞
и - ∞ < y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Areakosinus
Na 1 ≤ x< ∞
i 0 ≤ y< ∞
postoje formule:
,
.
Druga grana areakosinusa nalazi se na 1 ≤ x< ∞
i - ∞< y ≤ 0
:
.
Površinska tangenta
u - 1
< x < 1
i - ∞< y < ∞
имеют место формулы:
,
Uz povezanost trigonometrijskih i eksponencijalnih funkcija koju smo otkrili u kompleksnoj domeni (Eulerove formule)
u kompleksnoj domeni postoji vrlo jednostavna veza između trigonometrijskih i hiperboličkih funkcija.
Podsjetimo, prema definiciji:
Ako u identitetu (3) zamijenimo s tada na desnoj strani dobivamo isti izraz koji je na desnoj strani identiteta, iz čega slijedi jednakost lijevih strana. Isto vrijedi i za identitete (4) i (2).
Dijeleći oba dijela identiteta (6) na odgovarajuće dijelove identiteta (5) i obrnuto (5) pomoću (6), dobivamo:
Slična zamjena u identitetima (1) i (2) i usporedba s identitetima (3) i (4) daje:
Konačno, iz identiteta (9) i (10) nalazimo:
Ako ubacimo identitete (5) - (12) gdje je x realan broj, tj. argument smatramo čisto imaginarnim, tada dobivamo još osam identiteta između trigonometrijskih funkcija čisto imaginarnog argumenta i odgovarajućih hiperboličkih funkcija realnog argumenta, kao i između hiperboličkih funkcija čisto imaginarnog imaginarnog Argumenta i odgovarajućih trigonometrijskih funkcija stvarnog argumenta:
Dobivene relacije omogućuju prijelaz s trigonometrijskih funkcija na hiperboličke i iz
hiperboličke funkcije u trigonometrijske uz zamjenu imaginarnog argumenta realnim. Mogu se formulirati kao sljedeće pravilo:
Za prelazak s trigonometrijskih funkcija imaginarnog argumenta na hiperboličke ili, obrnuto, s hiperboličkih funkcija imaginarnog argumenta na trigonometrijske, treba zamišljenu jedinicu izbaciti iz predznaka funkcije za sinus i tangens i posve je odbaciti. za kosinus.
Uspostavljena veza je izvanredna, posebice po tome što omogućuje dobivanje svih odnosa između hiperboličkih funkcija iz poznatih odnosa između trigonometrijskih funkcija zamjenom potonjih hiperboličkim funkcijama
Pokažimo kako je. se radi.
Uzmimo za primjer osnovni trigonometrijski identitet
i staviti u njega gdje je x realan broj; dobivamo:
Ako u toj identičnosti sinus i kosinus zamijenimo hiperboličkim sinusom i kosinusom prema formulama, tada dobivamo ili i to je osnovna identičnost između prethodno izvedenih na drugačiji način.
Slično, možete izvesti sve druge formule, uključujući formule za hiperboličke funkcije zbroja i razlike argumenata, dvostruke i poluargumente, itd., tako da iz obične trigonometrije dobijete "hiperboličku trigonometriju".
