Pravila za zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima vrlo su jednostavna.
Razmotrite pravila za zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima u koracima:
1. Pronađite LCM (najmanji zajednički višekratnik) nazivnika. Rezultirajući LCM bit će zajednički nazivnik razlomaka;
2. Dovesti razlomke na zajednički nazivnik;
3. Zbrajanje razlomaka svedenih na zajednički nazivnik.
Na jednostavan primjer Naučite kako zbrajati razlomke s različitim nazivnicima.
Primjer
Primjer zbrajanja razlomaka s različitim nazivnicima.
Zbrojite razlomke s različitim nazivnicima:
| 1 | + | 5 |
|---|---|---|
| 6 | 12 |
Odlučimo korak po korak.
1. Pronađite LCM (najmanji zajednički višekratnik) nazivnika.
Broj 12 je djeljiv sa 6.
Iz ovoga zaključujemo da je 12 najmanji zajednički višekratnik brojeva 6 i 12.
Odgovor: nok brojeva 6 i 12 je 12:
LCM(6, 12) = 12
Dobiveni NOC bit će zajednički nazivnik dvaju razlomaka 1/6 i 5/12.
2. Dovedite razlomke na zajednički nazivnik.
U našem primjeru, samo prvi razlomak treba svesti na zajednički nazivnik 12, jer drugi razlomak već ima nazivnik 12.
Podijelite zajednički nazivnik broja 12 s nazivnikom prvog razlomka:
2 ima dodatni množitelj.
Pomnožite brojnik i nazivnik prvog razlomka (1/6) s dodatnim faktorom 2.
Razmotrimo razlomak $\frac63$. Njegova vrijednost je 2, budući da je $\frac63 =6:3 = 2$. Što se događa ako se brojnik i nazivnik pomnože s 2? $\frac63 \times 2=\frac(12)(6)$. Očito, vrijednost razlomka se nije promijenila, pa je $\frac(12)(6)$ također jednako 2 kao y. pomnožite brojnik i nazivnik za 3 i dobiti $\frac(18)(9)$, ili za 27 i dobiti $\frac(162)(81)$ ili za 101 i dobiti $\frac(606)(303)$. U svakom od ovih slučajeva vrijednost razlomka koju dobijemo dijeljenjem brojnika s nazivnikom je 2. To znači da se nije promijenio.
Isti se obrazac opaža u slučaju drugih frakcija. Ako se brojnik i nazivnik razlomka $\frac(120)(60)$ (jednak 2) podijeli s 2 (rezultat od $\frac(60)(30)$) ili s 3 (rezultat od $\ frac(40)(20) $), ili za 4 (rezultat $\frac(30)(15)$) i tako dalje, tada u svakom slučaju vrijednost razlomka ostaje nepromijenjena i jednaka 2.
Ovo pravilo vrijedi i za razlomke koji nisu jednaki. cijeli broj.
Ako se brojnik i nazivnik razlomka $\frac(1)(3)$ pomnože s 2, dobiva se $\frac(2)(6)$, odnosno vrijednost razlomka se nije promijenila. I zapravo, ako kolač podijelite na 3 dijela i uzmete jedan od njih, ili ga podijelite na 6 dijelova i uzmete 2 dijela, dobit ćete u oba slučaja istu količinu pite. Dakle, brojevi $\frac(1)(3)$ i $\frac(2)(6)$ su identični. Formulirajmo opće pravilo.
Brojnik i nazivnik bilo kojeg razlomka mogu se pomnožiti ili podijeliti istim brojem, a vrijednost razlomka se ne mijenja.
Ovo je pravilo vrlo korisno. Na primjer, u nekim slučajevima, ali ne uvijek, omogućuje izbjegavanje operacija s velikim brojevima.
Na primjer, možemo podijeliti brojnik i nazivnik razlomka $\frac(126)(189)$ sa 63 i dobiti razlomak $\frac(2)(3)$ koji je puno lakše izračunati. Još jedan primjer. Brojnik i nazivnik razlomka $\frac(155)(31)$ možemo podijeliti s 31 i dobiti razlomak $\frac(5)(1)$ ili 5, budući da je 5:1=5.
U ovom primjeru prvi put smo se susreli razlomak čiji je nazivnik 1. Takvi razlomci igraju važnu ulogu u izračunima. Treba imati na umu da se bilo koji broj može podijeliti s 1 i da se njegova vrijednost neće promijeniti. Odnosno, $\frac(273)(1)$ je jednako 273; $\frac(509993)(1)$ jednako je 509993 i tako dalje. Dakle, brojeve ne moramo dijeliti s jer se svaki cijeli broj može prikazati kao razlomak s nazivnikom 1.
S takvim razlomcima, čiji je nazivnik jednak 1, možete izvoditi iste aritmetičke operacije kao sa svim ostalim razlomcima: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30) (1) $, $\frac(4)(1) \times \frac(3)(1)=\frac(12)(1)$.
Možete pitati koja je korist od predstavljanja cijelog broja kao razlomka, koji će imati jedinicu ispod crte, jer je prikladnije raditi s cijelim brojem. Ali činjenica je da nam predstavljanje cijelog broja kao razlomka daje priliku da učinkovitije izvodimo različite radnje kada se istovremeno bavimo i cijelim i razlomačkim brojevima. Na primjer, učiti zbrajati razlomke s različitim nazivnicima. Pretpostavimo da trebamo zbrojiti $\frac(1)(3)$ i $\frac(1)(5)$.
Znamo da možete zbrajati samo razlomke čiji su nazivnici jednaki. Dakle, moramo naučiti kako razlomke dovesti do takvog oblika kada su im nazivnici jednaki. U ovom slučaju, opet nam je potrebna činjenica da možete pomnožiti brojnik i nazivnik razlomka s istim brojem bez promjene njegove vrijednosti.
Prvo pomnožimo brojnik i nazivnik razlomka $\frac(1)(3)$ s 5. Dobivamo $\frac(5)(15)$, vrijednost razlomka se nije promijenila. Zatim pomnožimo brojnik i nazivnik razlomka $\frac(1)(5)$ s 3. Dobivamo $\frac(3)(15)$, opet se vrijednost razlomka nije promijenila. Prema tome, $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.
Pokušajmo sada primijeniti ovaj sustav na zbrajanje brojeva koji sadrže i cijele i razlomke.
Trebamo dodati $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$. Prvo pretvaramo sve članove u razlomke i dobivamo: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Sada moramo sve razlomke dovesti na zajednički nazivnik, za to množimo brojnik i nazivnik prvog razlomka s 12, drugog s 4, a trećeg s 3. Kao rezultat toga, dobivamo $\frac(36 )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$, što je jednako $\frac(55)(12)$. Ako se želite riješiti nepravi razlomak, može se pretvoriti u broj koji se sastoji od cijelog i razlomka: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ ili $4\frac( 7)( 12)$.
Sva pravila koja dopuštaju operacije s razlomcima, koje smo upravo proučavali, vrijede i u slučaju negativnih brojeva. Dakle, -1: 3 može se napisati kao $\frac(-1)(3)$, a 1: (-3) kao $\frac(1)(-3)$.
Budući da i dijeljenje negativnog broja s pozitivnim brojem i dijeljenje pozitivnog broja s negativnim rezultiraju negativnim brojevima, u oba ćemo slučaja dobiti odgovor u obliku negativnog broja. To je
$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ ili $1 : (-3) = \frac(1)(-3)$. Znak minus kada se piše na ovaj način odnosi se na cijeli razlomak kao cjelinu, a ne zasebno na brojnik ili nazivnik.
S druge strane, (-1) : (-3) se može zapisati kao $\frac(-1)(-3)$, a budući da se kod dijeljenja negativnog broja s negativnim brojem dobiva pozitivan broj, tada se $\frac(-1)(-3)$ može napisati kao $+\frac(1)(3)$.
Zbrajanje i oduzimanje negativnih razlomaka provodi se na isti način kao i zbrajanje i oduzimanje pozitivnih razlomaka. Na primjer, koliko je $1- 1\frac13$? Predstavimo oba broja kao razlomke i dobijemo $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$. Svedimo razlomke na zajednički nazivnik i dobijemo $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, tj. $\frac(3)(3)-\frac( 4) (3)$ ili $-\frac(1)(3)$.
Akcije s razlomcima.
Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u posebnom odjeljku 555.
Za one koji jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")
Dakle, što su frakcije, vrste frakcija, transformacije - sjetili smo se. Pozabavimo se glavnim pitanjem.
Što možete učiniti s razlomcima? Da, sve je isto kao i s običnim brojevima. Zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje.
Sve ove radnje sa decimal operacije s razlomcima se ne razlikuju od operacija s cijelim brojevima. Zapravo, to je ono za što su dobri, decimalni. Jedina stvar je da trebate pravilno staviti zarez.
mješoviti brojevi, kao što sam rekao, malo su korisni za većinu radnji. Još ih treba pretvoriti u obične razlomke.
A evo i radnji sa obični razlomci bit će pametniji. I puno važnije! Da vas podsjetim: sve radnje s razlomcima sa slovima, sinusima, nepoznanicama i tako dalje i tako dalje ne razlikuju se od radnji s običnim razlomcima! Operacije s običnim razlomcima temelj su cijele algebre. Upravo iz tog razloga ćemo ovdje vrlo detaljno analizirati svu ovu aritmetiku.
Zbrajanje i oduzimanje razlomaka.
Svatko može zbrajati (oduzimati) razlomke s istim nazivnicima (stvarno se nadam!). Pa da vas podsjetim da sam potpuno zaboravan: kod zbrajanja (oduzimanja) nazivnik se ne mijenja. Brojnici se zbrajaju (oduzimaju) da bi se dobio brojnik rezultata. Tip:
Ukratko, u opći pogled:
Što ako su nazivnici različiti? Zatim, koristeći glavno svojstvo razlomka (evo nam je opet dobro došlo!), nazivnike činimo istima! Na primjer:
Ovdje smo morali napraviti razlomak 4/10 od razlomka 2/5. Isključivo u svrhu da nazivnici budu isti. Napominjem, za svaki slučaj, da su 2/5 i 4/10 isti razlomak! Samo 2/5 nam je neugodno, a 4/10 čak ništa.
Inače, to je bit rješavanja bilo kojeg zadatka iz matematike. Kad smo vani neugodno izrazi učiniti isti, ali praktičniji za rješavanje.
Još jedan primjer:
Situacija je slična. Ovdje činimo 48 od 16. Jednostavnim množenjem na 3. Ovo je sve jasno. Ali ovdje nailazimo na nešto poput:
Kako biti?! Teško je od sedam napraviti devetku! Ali pametni smo, znamo pravila! Preobrazimo se svaki razlomak tako da nazivnici budu isti. Ovo se zove "svesti na zajednički nazivnik":
Kako! Kako sam znao za 63? Jako jednostavno! 63 je broj koji je jednakomjerno djeljiv sa 7 i 9 u isto vrijeme. Takav se broj uvijek može dobiti množenjem nazivnika. Ako neki broj pomnožimo npr. sa 7, tada će rezultat sigurno biti podijeljen sa 7!
Ako trebate zbrojiti (oduzeti) nekoliko razlomaka, nema potrebe da to radite u paru, korak po korak. Samo trebate pronaći nazivnik koji je zajednički svim razlomcima i dovesti svaki razlomak na isti nazivnik. Na primjer:
I koji će biti zajednički nazivnik? Možete, naravno, pomnožiti 2, 4, 8 i 16. Dobit ćemo 1024. Noćna mora. Lakše je procijeniti da je broj 16 savršeno djeljiv s 2, 4 i 8. Stoga je iz tih brojeva lako dobiti 16. Taj će broj biti zajednički nazivnik. Pretvorimo 1/2 u 8/16, 3/4 u 12/16, i tako dalje.
Usput, ako uzmemo 1024 kao zajednički nazivnik, također će sve uspjeti, na kraju će se sve smanjiti. Samo neće svi doći do ovog kraja, zbog kalkulacija ...
Riješi sam primjer. Nije logaritam... Trebao bi biti 29/16.
Dakle, sa zbrajanjem (oduzimanjem) razlomaka je jasno, nadam se? Naravno, lakše je raditi u skraćenoj verziji, s dodatnim množiteljima. Ali ovo zadovoljstvo je dostupno onima koji su pošteno radili u nižim razredima ... I nisu ništa zaboravili.
A sada ćemo učiniti iste radnje, ali ne s razlomcima, već s frakcijski izrazi. Ovdje će se naći nove grablje, da ...
Dakle, moramo zbrojiti dva razlomka:
Moramo učiniti nazivnike istima. I to samo uz pomoć množenje! Dakle, glavno svojstvo razlomka kaže. Stoga ne mogu x dodati jedan u prvom razlomku u nazivniku. (Ali to bi bilo lijepo!). Ali ako pomnožite nazivnike, vidite, sve će rasti zajedno! Dakle, zapišemo redak razlomka, ostavimo prazan prostor na vrhu, zatim ga zbrojimo, a ispod napišemo umnožak nazivnika, da ne zaboravimo:
I, naravno, ništa ne množimo s desne strane, ne otvaramo zagrade! I sada, gledajući zajednički nazivnik desne strane, mislimo: da bismo dobili nazivnik x (x + 1) u prvom razlomku, trebamo pomnožiti brojnik i nazivnik ovog razlomka s (x + 1) . A u drugom razlomku - x. Dobivate ovo:
Bilješka! Zagrade su ovdje! To su grablje na koje mnogi stanu. Ne zagrade, naravno, već njihov nedostatak. Zagrade se pojavljuju jer množimo cjelina brojnik i cjelina nazivnik! A ne njihovi pojedinačni komadi...
U brojniku desne strane upišemo zbroj brojnika, sve je kao kod brojčanih razlomaka, zatim otvorimo zagrade u brojniku desne strane, tj. umnoži sve i daj slično. Ne trebaš otvarati zagrade u nazivnicima, ne trebaš nešto množiti! Općenito, u nazivnicima (bilo koji) proizvod je uvijek ugodniji! Dobivamo:
Ovdje smo dobili odgovor. Proces se čini dug i težak, ali ovisi o praksi. Riješite primjere, naviknite se, sve će postati jednostavno. Oni koji su svladali razlomke u zadanom vremenu, sve te operacije rade jednom rukom, na stroju!
I još jedna napomena. Mnogi se slavno bave razlomcima, ali drže se primjera cijeli brojevima. Tip: 2 + 1/2 + 3/4= ? Gdje pričvrstiti dvojku? Ne treba nigdje pričvršćivati, treba od dvojke napraviti razlomak. Nije lako, vrlo je jednostavno! 2=2/1. Kao ovo. Bilo koji cijeli broj može se napisati kao razlomak. Brojnik je sam broj, nazivnik je jedan. 7 je 7/1, 3 je 3/1 i tako dalje. Isto je i sa slovima. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1, itd. I onda radimo s tim razlomcima prema svim pravilima.
Pa na zbrajanju - oduzimanju razlomaka, osvježilo se znanje. Transformacije razlomaka iz jedne vrste u drugu – ponavljaju se. Također možete provjeriti. Hoćemo li se malo dogovoriti?)
Izračunati:
Odgovori (u neredu):
71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6
Množenje/dijeljenje razlomaka – u sljedećoj lekciji. Tu su i zadaci za sve radnje s razlomcima.
Ako vam se sviđa ova stranica...
Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)
Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)
možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.
§ 87. Zbrajanje razlomaka.
Zbrajanje razlomaka ima mnogo sličnosti sa zbrajanjem cijelih brojeva. Zbrajanje razlomaka je radnja koja se sastoji u tome da se nekoliko zadanih brojeva (članova) kombinira u jedan broj (zbroj), koji sadrži sve jedinice i razlomke jedinica pojmova.
Razmotrit ćemo redom tri slučaja:
1. Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima.
2. Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima.
3. Zbrajanje mješovitih brojeva.
1. Zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima.
Razmotrimo primjer: 1/5 + 2/5.
Uzmite segment AB (slika 17), uzmite ga kao jedinicu i podijelite ga na 5 jednakih dijelova, tada će dio AC ovog segmenta biti jednak 1/5 segmenta AB, a dio istog segmenta CD bit će jednak 2/5 AB.
Iz crteža se može vidjeti da ako uzmemo segment AD, tada će on biti jednak 3/5 AB; ali segment AD je upravo zbroj segmenta AC i CD. Dakle, možemo napisati:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Promatrajući te članove i dobiveni iznos, vidimo da je brojnik zbroja dobiven zbrajanjem brojnika članova, a nazivnik je ostao nepromijenjen.
Iz ovoga dobivamo sljedeće pravilo: Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, morate zbrojiti njihove brojnike i ostaviti isti nazivnik.
Razmotrite primjer:
2. Zbrajanje razlomaka s različitim nazivnicima.
Zbrojimo razlomke: 3/4 + 3/8 Prvo ih treba svesti na najmanji zajednički nazivnik:
Međukarika 6/8 + 3/8 nije mogla biti napisana; napisali smo to ovdje radi veće jasnoće.
Dakle, da biste zbrojili razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate dovesti do najmanjeg zajedničkog nazivnika, zbrojiti njihove brojnike i potpisati zajednički nazivnik.
Razmotrimo primjer (zapisat ćemo dodatne faktore preko odgovarajućih razlomaka):
3. Zbrajanje mješovitih brojeva.
Zbrojimo brojeve: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
Dovedimo najprije razlomke naših brojeva na zajednički nazivnik i ponovno ih prepišimo:
Sada redom zbrojite cijeli i razlomački dio:
§ 88. Oduzimanje razlomaka.
Oduzimanje razlomaka definirano je na isti način kao i oduzimanje cijelih brojeva. Ovo je radnja kojom se, zadanim zbrojem dva člana i jednog od njih, pronalazi drugi član. Razmotrimo redom tri slučaja:
1. Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.
2. Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.
3. Oduzimanje mješovitih brojeva.
1. Oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima.
Razmotrite primjer:
13 / 15 - 4 / 15
Uzmimo segment AB (slika 18), uzmimo ga kao jedinicu i podijelimo na 15 jednakih dijelova; tada će AC dio ovog segmenta biti 1/15 AB, a AD dio istog segmenta će odgovarati 13/15 AB. Ostavimo još jedan segment ED, jednak 4/15 AB.
Trebamo oduzeti 4/15 od 13/15. Na crtežu to znači da se segment ED mora oduzeti od segmenta AD. Kao rezultat toga, segment AE će ostati, što je 9/15 segmenta AB. Dakle, možemo napisati:
Primjer koji smo napravili pokazuje da je brojnik razlike dobiven oduzimanjem brojnika, a nazivnik je ostao isti.
Dakle, da biste oduzeli razlomke s istim nazivnicima, trebate oduzeti brojnik umanjenika od brojnika umanjenika i ostaviti isti nazivnik.
2. Oduzimanje razlomaka s različitim nazivnicima.
Primjer. 3/4 - 5/8
Prvo, svedimo ove razlomke na najmanji zajednički nazivnik:
Međukarika 6 / 8 - 5 / 8 je ovdje napisana radi jasnoće, ali se ubuduće može preskočiti.
Dakle, da biste od razlomka oduzeli razlomak, prvo ih morate dovesti do najmanjeg zajedničkog nazivnika, zatim od brojnika umanjenika oduzeti brojnik umanjenika i potpisati zajednički nazivnik ispod njihove razlike.
Razmotrite primjer:
3. Oduzimanje mješovitih brojeva.
Primjer. 10 3/4 - 7 2/3.
Dovedimo razlomke manjeg i umanjenog na najmanji zajednički nazivnik:
Oduzeli smo cjelinu od cjeline i razlomak od razlomka. Ali postoje slučajevi kada je razlomački dio umanjenika veći od razlomačkog dijela umanjenika. U takvim slučajevima treba uzeti jednu jedinicu od cijelog dijela reduciranog, podijeliti ga na one dijelove u kojima je izražen razlomački dio i dodati razlomačkom dijelu reduciranog. I tada će se oduzimanje izvršiti na isti način kao u prethodnom primjeru:
§ 89. Množenje razlomaka.
Kada proučavamo množenje razlomaka, razmotrit ćemo sljedeća pitanja:
1. Množenje razlomka cijelim brojem.
2. Pronalaženje razlomka zadanog broja.
3. Množenje cijelog broja razlomkom.
4. Množenje razlomka razlomkom.
5. Množenje mješovitih brojeva.
6. Pojam kamate.
7. Određivanje postotaka zadanog broja. Razmotrimo ih redom.
1. Množenje razlomka cijelim brojem.
Množenje razlomka cijelim brojem ima isto značenje kao i množenje cijelog broja cijelim brojem. Množenje razlomka (množnika) cijelim brojem (množiteljem) znači sastavljanje zbroja istih članova, pri čemu je svaki član jednak množeniku, a broj članova jednak množitelju.
Dakle, ako trebate pomnožiti 1/9 sa 7, onda to možete učiniti ovako:
Lako smo dobili rezultat, jer se radnja svela na zbrajanje razlomaka s istim nazivnicima. Posljedično,
Razmatranje ove radnje pokazuje da je množenje razlomka s cijelim brojem jednako povećanju tog razlomka onoliko puta koliko ima jedinica u cijelom broju. A budući da se povećanje razlomka postiže ili povećanjem njegovog brojnika
ili smanjenjem njegovog nazivnika 
, onda možemo ili pomnožiti brojnik s cijelim brojem, ili podijeliti nazivnik s njim, ako je takvo dijeljenje moguće.
Odavde dobivamo pravilo:
Da biste pomnožili razlomak s cijelim brojem, morate pomnožiti brojnik s ovim cijelim brojem i ostaviti isti nazivnik ili, ako je moguće, podijeliti nazivnik s tim brojem, ostavljajući brojnik nepromijenjenim.
Prilikom množenja moguće su kratice, npr.
2. Pronalaženje razlomka zadanog broja. Postoje mnogi problemi u kojima morate pronaći, odnosno izračunati, dio zadanog broja. Razlika između ovih zadataka i ostalih je u tome što daju broj nekih predmeta ili mjernih jedinica i potrebno je pronaći dio tog broja, koji je i ovdje označen određenim razlomkom. Radi lakšeg razumijevanja, prvo ćemo dati primjere takvih problema, a zatim predstaviti način njihovog rješavanja.
Zadatak 1. Imao sam 60 rubalja; 1/3 ovog novca sam potrošio na kupovinu knjiga. Koliko su koštale knjige?
Zadatak 2. Vlak mora prijeći udaljenost između gradova A i B, jednaku 300 km. Već je prevalio 2/3 te udaljenosti. Koliko je ovo kilometara?
Zadatak 3. U selu ima 400 kuća, od kojih su 3/4 zidane, ostale su drvene. Koliko ima kuća od cigle?
Evo nekih od mnogih problema s kojima se moramo suočiti da bismo pronašli razlomak zadanog broja. Obično se nazivaju zadacima traženja razlomka zadanog broja.
Rješenje problema 1. Od 60 rubalja. Potrošio sam 1/3 na knjige; Dakle, da biste pronašli cijenu knjiga, trebate podijeliti broj 60 s 3:
Problem 2 rješenje. Smisao problema je da trebate pronaći 2/3 od 300 km. Izračunajte prvu 1/3 od 300; to se postiže dijeljenjem 300 km s 3:
300: 3 = 100 (to je 1/3 od 300).
Da biste pronašli dvije trećine od 300, trebate udvostručiti dobiveni kvocijent, odnosno pomnožiti s 2:
100 x 2 = 200 (to je 2/3 od 300).
Rješenje problema 3. Ovdje trebate odrediti broj kuća od cigle, koje su 3/4 od 400. Hajde prvo pronaći 1/4 od 400,
400: 4 = 100 (to je 1/4 od 400).
Da bismo izračunali tri četvrtine od 400, dobiveni kvocijent treba utrostručiti, odnosno pomnožiti s 3:
100 x 3 = 300 (to je 3/4 od 400).
Na temelju rješenja ovih problema možemo izvesti sljedeće pravilo:
Da biste pronašli vrijednost razlomka iz zadanog broja, morate taj broj podijeliti s nazivnikom razlomka i pomnožiti dobiveni kvocijent s njegovim brojnikom.
3. Množenje cijelog broja razlomkom.
Ranije (§ 26) je utvrđeno da množenje cijelih brojeva treba shvatiti kao zbrajanje identičnih članova (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). U ovom stavku (stavak 1) utvrđeno je da množenje razlomka cijelim brojem znači pronalaženje zbroja identičnih članova koji su jednaki tom razlomku.
U oba slučaja množenje se sastojalo u pronalaženju zbroja identičnih članova.
Sada prelazimo na množenje cijelog broja razlomkom. Ovdje ćemo se susresti s takvim, na primjer, množenjem: 9 2 / 3. Sasvim je očito da prethodna definicija množenja ne vrijedi za ovaj slučaj. To je vidljivo iz činjenice da takvo množenje ne možemo zamijeniti zbrajanjem jednakih brojeva.
Zbog toga ćemo morati dati novu definiciju množenja, odnosno, drugim riječima, odgovoriti na pitanje što treba podrazumijevati pod množenjem razlomkom, kako tu radnju treba razumjeti.
Značenje množenja cijelog broja razlomkom jasno je iz sljedeće definicije: pomnožiti cijeli broj (množitelj) s razlomkom (množiteljem) znači pronaći ovaj razlomak množitelja.
Naime, množenje 9 sa 2/3 znači pronalazak 2/3 od devet jedinica. U prethodnom odlomku takvi su problemi riješeni; tako da je lako shvatiti da na kraju imamo 6.
Ali sada se postavlja zanimljivo i važno pitanje: zašto se takve naizgled različite radnje kao što su pronalaženje zbroja jednakih brojeva i pronalaženje ulomka broja u aritmetici nazivaju istom riječju "množenje"?
To se događa jer prethodna radnja (više puta ponavljanje broja s članovima) i nova radnja (traženje razlomka broja) daju odgovor na homogena pitanja. To znači da ovdje polazimo od toga da se homogena pitanja ili zadaci rješavaju jednom te istom radnjom.
Da biste to razumjeli, razmislite o sljedećem problemu: „1 metar tkanine košta 50 rubalja. Koliko će koštati 4 m takve tkanine?
Ovaj problem se rješava množenjem broja rubalja (50) s brojem metara (4), tj. 50 x 4 = 200 (rubalja).
Uzmimo isti problem, ali u njemu će količina tkanine biti izražena kao razlomak: „1 m tkanine košta 50 rubalja. Koliko će koštati 3/4 m takve tkanine?
Ovaj problem također treba riješiti množenjem broja rubalja (50) s brojem metara (3/4).
Također možete promijeniti brojeve u njemu nekoliko puta bez promjene značenja problema, na primjer, uzeti 9/10 m ili 2 3/10 m, itd.
Kako su ovi zadaci istog sadržaja i razlikuju se samo u brojevima, radnje kojima se rješavaju nazivamo istom riječju – množenje.
Kako se cijeli broj množi razlomkom?
Uzmimo brojeve na koje smo naišli u posljednjem problemu:
Prema definiciji, moramo pronaći 3/4 od 50. Prvo nađemo 1/4 od 50, a zatim 3/4.
1/4 od 50 je 50/4;
3/4 od 50 je .
Slijedom toga.
Razmotrite još jedan primjer: 12 5 / 8 = ?
1/8 od 12 je 12/8,
5/8 od broja 12 je .
Posljedično,
Odavde dobivamo pravilo:
Da biste pomnožili cijeli broj s razlomkom, morate cijeli broj pomnožiti s brojnikom razlomka i taj umnožak učiniti brojnikom, a nazivnik zadanog razlomka potpisati kao nazivnik.
Ovo pravilo pišemo slovima:
Kako bi ovo pravilo bilo savršeno jasno, treba imati na umu da se razlomak može smatrati kvocijentom. Stoga je korisno pronađeno pravilo usporediti s pravilom množenja broja kvocijentom koje je navedeno u § 38.
Morate imati na umu da prije izvođenja množenja trebate učiniti (ako je moguće) posjekotine, na primjer:
4. Množenje razlomka razlomkom. Množenje razlomka razlomkom ima isto značenje kao i množenje cijelog broja razlomkom, odnosno kod množenja razlomka razlomkom treba pronaći razlomak u množitelju iz prvog razlomka (množeča).
Naime, množenje 3/4 sa 1/2 (pola) znači pronaći polovicu od 3/4.
Kako se množi razlomak s razlomkom?
Uzmimo primjer: 3/4 puta 5/7. To znači da trebate pronaći 5/7 od 3/4. Pronađite prvo 1/7 od 3/4, a zatim 5/7
1/7 od 3/4 bi se izrazilo ovako:
5/7 brojevi 3/4 bit će izraženi na sljedeći način:
Na ovaj način,
Drugi primjer: 5/8 puta 4/9.
1/9 od 5/8 je,
4/9 brojevi 5/8 su .
Na ovaj način, 
Iz ovih primjera može se zaključiti sljedeće pravilo:
Da biste pomnožili razlomak s razlomkom, morate brojnik pomnožiti s brojnikom, a nazivnik s nazivnikom i tako da prvi umnožak bude brojnik, a drugi umnožak nazivnik umnoška.
Ovo se pravilo općenito može napisati na sljedeći način:
Prilikom množenja potrebno je (ako je moguće) smanjiti. Razmotrite primjere:
5. Množenje mješovitih brojeva. Jer mješoviti brojevi može lako zamijeniti nepravilnim razlomcima, ta se okolnost obično koristi pri množenju mješovitih brojeva. To znači da u onim slučajevima gdje su množenik, ili množitelj, ili oba faktora izraženi kao mješoviti brojevi, tada se zamjenjuju nepravilnim razlomcima. Pomnožite, na primjer, mješovite brojeve: 2 1/2 i 3 1/5. Svaki od njih pretvorimo u nepravi razlomak, a zatim ćemo dobivene razlomke pomnožiti prema pravilu množenja razlomka razlomkom:
Pravilo. Da biste množili mješovite brojeve, prvo ih morate pretvoriti u neprave razlomke, a zatim množiti prema pravilu množenja razlomka razlomkom.
Bilješka. Ako je jedan od faktora cijeli broj, tada se množenje može izvršiti na temelju zakona distribucije na sljedeći način:
6. Pojam kamate. Prilikom rješavanja zadataka i izvođenja raznih praktičnih izračuna koristimo sve vrste razlomaka. Ali treba imati na umu da mnoge količine za sebe ne dopuštaju bilo kakve, već prirodne potpodjele. Na primjer, možete uzeti stoti dio (1/100) rublje, to će biti peni, dvije stotine su 2 kopejke, tri stotinke su 3 kopejke. Možete uzeti 1/10 rublje, to će biti "10 kopejki, ili novčić. Možete uzeti četvrtinu rublje, tj. 25 kopejki, pola rublje, tj. 50 kopejki (pedeset kopejki). Ali oni praktički ne Ne uzimajte, na primjer, 2/7 rublje jer se rublja ne dijeli na sedmine.
Mjerna jedinica za težinu, tj. kilogram, dopušta prije svega decimalne podjele, na primjer, 1/10 kg ili 100 g. I takve dijelove kilograma kao što su 1/6, 1/11, 1/ 13 je neuobičajeno.
Općenito, naše (metričke) mjere su decimalne i dopuštaju decimalno dijeljenje.
Međutim, treba napomenuti da je izuzetno korisno i prikladno u velikom broju slučajeva koristiti istu (ujednačenu) metodu podjele količina. Dugogodišnje iskustvo pokazalo je da je takva opravdana podjela podjela na "stotinke". Razmotrimo nekoliko primjera koji se odnose na najrazličitija područja ljudske prakse.
1. Cijena knjiga smanjena je za 12/100 prethodne cijene.
Primjer. Prethodna cijena knjige je 10 rubalja. Pala je za 1 rublju. 20 kop.
2. Štedionice isplaćuju tijekom godine štedišama 2/100 iznosa položenog na štednju.
Primjer. U blagajnu se stavlja 500 rubalja, prihod od ovog iznosa za godinu je 10 rubalja.
3. Broj maturanata jedne škole bio je 5/100 od ukupnog broja učenika.
PRIMJER U školi je studiralo samo 1200 učenika, a 60 ih je završilo školu.
Stoti dio broja naziva se postotak..
Riječ "postotak" posuđena je iz latinski a njegov korijen "cent" znači sto. Zajedno s prijedlogom (pro centum), ova riječ znači "za sto". Značenje ovog izraza proizlazi iz činjenice da je u početku u stari rim kamata je bila novac koji je dužnik plaćao zajmodavcu "za svaku stotku". Riječ "cent" čuje se u tako poznatim riječima: centner (sto kilograma), centimetar (kažu centimetar).
Na primjer, umjesto da kažemo da je tvornica proizvela 1/100 svih proizvoda koje je proizvela tijekom prošlog mjeseca, reći ćemo ovo: tvornica je proizvela jedan posto otpada tijekom prošlog mjeseca. Umjesto da kažemo: tvornica je proizvela 4/100 proizvoda više od utvrđenog plana, reći ćemo: tvornica je premašila plan za 4 posto.
Gornji primjeri mogu se izraziti drugačije:
1. Cijena knjiga snižena je za 12 posto u odnosu na prethodnu cijenu.
2. Štedionice isplaćuju štedišama 2 posto godišnje od iznosa položenog na štednju.
3. Broj maturanata jedne škole bio je 5 posto od broja svih učenika škole.
Da bi se slovo skratilo, uobičajeno je da se umjesto riječi "postotak" piše znak %.
Međutim, treba imati na umu da se znak % obično ne piše u izračunima, može se napisati u izjavi problema iu konačnom rezultatu. Kada izvodite izračune, trebate napisati razlomak s nazivnikom 100 umjesto cijelog broja s ovom ikonom.
Morate biti u mogućnosti zamijeniti cijeli broj s navedenom ikonom razlomkom s nazivnikom 100:
Nasuprot tome, morate se naviknuti pisati cijeli broj s označenom ikonom umjesto razlomka s nazivnikom 100:
7. Određivanje postotaka zadanog broja.
Zadatak 1.Škola je dobila 200 kubika. m drva za ogrjev, od čega ogrjevno drvo breze čini 30%. Koliko je bilo brezovih drva?
Značenje ovog problema je da je ogrjevno drvo od breze bilo samo dio drva za ogrjev koji je isporučen školi, a taj dio je izražen razlomkom od 30/100. Dakle, suočeni smo sa zadatkom da pronađemo razlomak broja. Da bismo ga riješili, moramo pomnožiti 200 sa 30 / 100 (zadaci za pronalaženje razlomka broja rješavaju se množenjem broja razlomkom.).
Dakle, 30% od 200 je jednako 60.
Razlomak 30 / 100 koji se susreće u ovom problemu može se smanjiti za 10. Bilo bi moguće izvršiti ovu redukciju od samog početka; rješenje problema ne bi se promijenilo.
Zadatak 2. U kampu je bilo 300 djece različite dobi. Djece od 11 godina bilo je 21%, djece od 12 godina bilo je 61% i konačno 13-godišnjaka bilo je 18%. Koliko je djece svake dobi bilo u kampu?
U ovom zadatku potrebno je izvršiti tri izračuna, odnosno sukcesivno pronaći broj djece od 11 godina, zatim od 12 godina i na kraju od 13 godina.
Dakle, ovdje će biti potrebno tri puta pronaći razlomak broja. Učinimo to:
1) Koliko je djece imalo 11 godina?
2) Koliko je djece imalo 12 godina?
3) Koliko je djece imalo 13 godina?
Nakon rješavanja zadatka korisno je zbrojiti pronađene brojeve; njihov zbroj bi trebao biti 300:
63 + 183 + 54 = 300
Također treba obratiti pozornost na činjenicu da je zbroj postotaka danih u uvjetu zadatka 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Ovo sugerira da ukupni broj djece koja su bila u logoru uzeto je kao 100%.
3 a da cha 3. Radnik je dobivao 1200 rubalja mjesečno. Od toga je 65% trošio na hranu, 6% na stan i grijanje, 4% na plin, struju i radio, 10% na kulturne potrebe i 15% je uštedio. Koliko je novca potrošeno za potrebe navedene u zadatku?
Da biste riješili ovaj problem, morate 5 puta pronaći razlomak broja 1200. Učinimo to.
1) Koliko se novca troši na hranu? U zadatku stoji da je taj trošak 65% svih zarada, odnosno 65/100 od broja 1200. Izračunajmo:
2) Koliko je novca plaćen stan s grijanjem? Raspravljajući kao i prethodni, dolazimo do sljedećeg izračuna:
3) Koliko ste novca platili za plin, struju i radio?
4) Koliko se novca troši na kulturne potrebe?
5) Koliko je novca radnik uštedio?
Za provjeru je korisno zbrojiti brojeve iz ovih 5 pitanja. Iznos bi trebao biti 1200 rubalja. Sva zarada je uzeta kao 100%, što je lako provjeriti zbrajanjem postotaka navedenih u tvrdnji problema.
Riješili smo tri problema. Unatoč tome što su ti zadaci bili različiti (doprema drva za školu, broj djece različite dobi, troškovi radnika), rješavani su na isti način. To se dogodilo jer je u svim zadacima trebalo pronaći nekoliko postotaka od zadanih brojeva.
§ 90. Dijeljenje razlomaka.
Kada proučavamo dijeljenje razlomaka, razmotrit ćemo sljedeća pitanja:
1. Podijeli cijeli broj cijelim brojem.
2. Dijeljenje razlomka cijelim brojem
3. Dijeljenje cijelog broja razlomkom.
4. Dijeljenje razlomka razlomkom.
5. Dijeljenje mješovitih brojeva.
6. Pronalaženje broja zadani njegov razlomak.
7. Pronalaženje broja prema njegovom postotku.
Razmotrimo ih redom.
1. Podijeli cijeli broj cijelim brojem.
Kao što je naznačeno u odjeljku o cijelim brojevima, dijeljenje je radnja koja se sastoji u činjenici da se, zadani umnožak dva faktora (dividenda) i jedan od tih faktora (djelitelj), pronađe drugi faktor.
Dijeljenje cijelog broja s cijelim brojem razmatrali smo u odjelu cijelih brojeva. Tu smo susreli dva slučaja dijeljenja: dijeljenje bez ostatka, odnosno "u cijelosti" (150 : 10 = 15) i dijeljenje s ostatkom (100 : 9 = 11 i 1 u ostatku). Stoga možemo reći da u području cijelih brojeva nije uvijek moguće točno dijeljenje, jer dividenda nije uvijek umnožak djelitelja i cijelog broja. Nakon uvođenja množenja razlomkom svaki slučaj dijeljenja cijelih brojeva možemo smatrati mogućim (isključeno je samo dijeljenje nulom).
Na primjer, dijeljenje 7 s 12 znači pronalaženje broja čiji bi umnožak puta 12 bio 7. Ovaj broj je razlomak 7/12 jer je 7/12 12 = 7. Drugi primjer: 14: 25 = 14/25 jer je 14/25 25 = 14.
Dakle, da biste cijeli broj podijelili s cijelim brojem, morate napraviti razlomak, čiji je brojnik jednak djelitelju, a nazivnik je djelitelj.
2. Dijeljenje razlomka cijelim brojem.
Razlomak 6 / 7 podijelite s 3. Prema gore navedenoj definiciji dijeljenja, ovdje imamo umnožak (6 / 7) i jedan od faktora (3); potrebno je pronaći takav drugi faktor, koji bi iz množenja s 3 dao ovaj posao 6/7. Očito, trebao bi biti tri puta manji od ovog proizvoda. To znači da je zadatak koji smo postavili bio smanjiti razlomak 6/7 3 puta.
Već znamo da se razlomak može smanjiti smanjenjem brojnika ili povećanjem nazivnika. Stoga možete napisati:
NA ovaj slučaj brojnik 6 je djeljiv s 3, pa brojnik treba smanjiti 3 puta.
Uzmimo još jedan primjer: 5/8 podijeljeno s 2. Ovdje brojnik 5 nije djeljiv s 2, što znači da će se nazivnik morati pomnožiti s ovim brojem:
Na temelju toga možemo navesti pravilo: Da biste razlomak podijelili s cijelim brojem, morate brojnik razlomka podijeliti s tim cijelim brojem(ako je moguće), ostavljajući isti nazivnik, ili pomnožite nazivnik razlomka ovim brojem, ostavljajući isti brojnik.
3. Dijeljenje cijelog broja razlomkom.
Neka je potrebno podijeliti 5 s 1/2, tj. pronaći broj koji će nakon množenja s 1/2 dati umnožak 5. Očito, taj broj mora biti veći od 5, budući da je 1/2 pravilan razlomak, a kod množenja broja pravilnim razlomkom umnožak mora biti manji od množenika. Da bi bilo jasnije, zapišimo svoje radnje na sljedeći način: 5: 1 / 2 = x , dakle x 1/2 \u003d 5.
Moramo pronaći takav broj x , što bi, kada se pomnoži s 1/2, dalo 5. Budući da množenje određenog broja s 1/2 znači pronalaženje 1/2 tog broja, tada, dakle, 1/2 nepoznatog broja x je 5, a cijeli broj x dvostruko više, tj. 5 2 \u003d 10.
Dakle, 5: 1/2 = 5 2 = 10
Provjerimo: 
Razmotrimo još jedan primjer. Neka je potrebno podijeliti 6 s 2/3. Pokušajmo prvo pomoću crteža pronaći željeni rezultat (slika 19).
Sl.19
Nacrtaj odsječak AB, jednak 6 nekih jedinica, te svaku jedinicu podijeli na 3 jednaka dijela. U svakoj jedinici tri trećine (3/3) u cijelom segmentu AB je 6 puta veće, tj. e. 18/3. Povezujemo uz pomoć malih zagrada 18 dobivenih segmenata od 2; Bit će samo 9 segmenata. To znači da je razlomak 2/3 sadržan u b jedinica 9 puta, odnosno, drugim riječima, razlomak 2/3 je 9 puta manji od 6 cijelih jedinica. Posljedično,
Kako doći do ovog rezultata bez crteža koristeći samo izračune? Raspravljat ćemo na sljedeći način: potrebno je podijeliti 6 s 2/3, tj. potrebno je odgovoriti na pitanje koliko je puta 2/3 sadržano u 6. Utvrdimo prvo: koliko je puta 1/3 sadržano u 6? U cijeloj jedinici - 3 trećine, au 6 jedinica - 6 puta više, tj. 18 trećina; da bismo pronašli ovaj broj, moramo pomnožiti 6 s 3. Dakle, 1/3 je sadržano u b jedinicama 18 puta, a 2/3 je sadržano u b jedinicama ne 18 puta, već upola manje puta, tj. 18: 2 = 9 . Stoga smo pri dijeljenju 6 s 2/3 učinili sljedeće:
Odavde dobivamo pravilo za dijeljenje cijelog broja razlomkom. Da biste cijeli broj podijelili razlomkom, morate taj cijeli broj pomnožiti s nazivnikom zadanog razlomka i, čineći ovaj umnožak brojnikom, podijeliti ga s brojnikom zadanog razlomka.
Pravilo pišemo slovima:
Kako bi ovo pravilo bilo savršeno jasno, treba imati na umu da se razlomak može smatrati kvocijentom. Stoga je korisno pronađeno pravilo usporediti s pravilom dijeljenja broja kvocijentom koje je navedeno u § 38. Imajte na umu da je tamo dobivena ista formula.
Prilikom dijeljenja moguće su kratice, npr.
4. Dijeljenje razlomka razlomkom.
Neka je potrebno podijeliti 3/4 s 3/8. Što će označavati broj koji će se dobiti dijeljenjem? Odgovorit će na pitanje koliko je puta razlomak 3/8 sadržan u razlomku 3/4. Da bismo razumjeli ovo pitanje, napravimo crtež (slika 20).
Uzmite dužinu AB, uzmite je kao jedinicu, podijelite je na 4 jednaka dijela i označite 3 takva dijela. Segment AC bit će jednak 3/4 segmenta AB. Podijelimo sada svaki od četiri početna segmenta na pola, tada će segment AB biti podijeljen na 8 jednakih dijelova i svaki takav dio će biti jednak 1/8 segmenta AB. Spojimo 3 takva segmenta lukovima, tada će svaki od segmenta AD i DC biti jednak 3/8 segmenta AB. Crtež pokazuje da se segment jednak 3/8 nalazi u segmentu jednakom 3/4 točno 2 puta; Dakle, rezultat dijeljenja može se napisati ovako:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Razmotrimo još jedan primjer. Neka je potrebno podijeliti 15/16 s 3/32:
Možemo razmišljati ovako: trebamo pronaći broj koji će, nakon što se pomnoži s 3/32, dati umnožak jednak 15/16. Zapišimo izračune ovako:
15 / 16: 3 / 32 = x
3 / 32 x = 15 / 16
3/32 nepoznati broj x čine 15/16
1/32 nepoznati broj x je,
32 / 32 broja x šminka .
Posljedično,
Dakle, da biste podijelili razlomak s razlomkom, trebate pomnožiti brojnik prvog razlomka s nazivnikom drugog, a nazivnik prvog razlomka pomnožiti s brojnikom drugog i prvi umnožak učiniti brojnikom, a drugo nazivnik.
Napišimo pravilo koristeći slova:
Prilikom dijeljenja moguće su kratice, npr.
5. Dijeljenje mješovitih brojeva.
Kada dijelite mješovite brojeve, prvo ih morate pretvoriti u nepravi razlomci, zatim dobivene razlomke podijelite prema pravilima dijeljenja razlomački brojevi. Razmotrite primjer:
Pretvorite mješovite brojeve u neprave razlomke:
Sada podijelimo:
Dakle, da biste podijelili mješovite brojeve, morate ih pretvoriti u neprave razlomke, a zatim podijeliti prema pravilu za dijeljenje razlomaka.
6. Pronalaženje broja zadani njegov razlomak.
Među razne zadatke o razlomcima, ponekad postoje oni u kojima je dana vrijednost nekog razlomka nepoznatog broja i potrebno je pronaći taj broj. Ova vrsta problema bit će inverzna problemu pronalaženja razlomka zadanog broja; tamo je dan broj i potrebno je pronaći neki razlomak ovog broja, ovdje je dan razlomak broja i potrebno je pronaći sam taj broj. Ova ideja će postati još jasnija ako se okrenemo rješenju ove vrste problema.
Zadatak 1. Prvog dana staklari su ostaklili 50 prozora, što je 1/3 svih prozora izgrađene kuće. Koliko prozora ima ova kuća?
Riješenje. Zadatak kaže da 50 ostakljenih prozora čini 1/3 svih prozora kuće, što znači da ukupno ima 3 puta više prozora, tj.
Kuća je imala 150 prozora.
Zadatak 2. Trgovina je prodala 1500 kg brašna, što je 3/8 ukupnih zaliha brašna u trgovini. Kolika je bila početna zaliha brašna u trgovini?
Riješenje. Iz uvjeta zadatka je vidljivo da prodanih 1.500 kg brašna čini 3/8 ukupne zalihe; to znači da će 1/8 ove zalihe biti 3 puta manje, tj. da biste je izračunali, trebate smanjiti 1500 3 puta:
1500: 3 = 500 (to je 1/8 dionica).
Očito će cjelokupna zaliha biti 8 puta veća. Posljedično,
500 8 \u003d 4000 (kg).
Početna zaliha brašna u trgovini bila je 4000 kg.
Iz razmatranja ovog problema može se izvesti sljedeće pravilo.
Da biste pronašli broj prema zadanoj vrijednosti njegovog razlomka, dovoljno je tu vrijednost podijeliti s brojnikom razlomka i rezultat pomnožiti s nazivnikom razlomka.
Riješili smo dva zadatka o pronalaženju broja zadanog njegovog razlomka. Takvi se zadaci, kao što se posebno dobro vidi iz posljednjeg, rješavaju dvije radnje: dijeljenjem (kada se nađe jedan dio) i množenjem (kada se nađe cijeli broj).
Međutim, nakon što smo proučili dijeljenje razlomaka, gore navedene probleme možemo riješiti jednom radnjom, naime: dijeljenjem razlomkom.
Na primjer, posljednji zadatak može se riješiti jednom akcijom ovako:
Ubuduće ćemo problem nalaženja broja njegovim razlomkom rješavati jednom radnjom – dijeljenjem.
7. Pronalaženje broja prema njegovom postotku.
U ovim zadacima morat ćete pronaći broj, znajući nekoliko postotaka tog broja.
Zadatak 1. Početkom ove godine dobio sam od štedionice 60 rubalja. prihod od iznosa koji sam stavio na štednju prije godinu dana. Koliko sam novca stavio na štedionicu? (Blagajne daju štedišama 2% prihoda godišnje.)
Značenje problema je u tome što sam određeni iznos novca položio u štedionicu i tamo ležao godinu dana. Nakon godinu dana dobio sam od nje 60 rubalja. prihoda, što je 2/100 novca koji sam uložio. Koliko sam novca položio?
Dakle, znajući dio ovog novca, izražen na dva načina (u rubljama i u razlomcima), moramo pronaći cijeli, još nepoznati, iznos. Ovo je običan problem pronalaženja broja s obzirom na njegov razlomak. Podjelom se rješavaju sljedeći zadaci:
Dakle, 3000 rubalja stavljeno je u štedionicu.
Zadatak 2. Ribiči su u dva tjedna ispunili mjesečni plan za 64 posto, ulovivši 512 tona ribe. Kakav je bio njihov plan?
Iz stanja problema poznato je da su ribari dio plana ispunili. Ovaj dio iznosi 512 tona, što je 64% od plana. Koliko tona ribe treba uloviti prema planu, ne znamo. Rješenje problema sastoji se u pronalaženju tog broja.
Takvi se zadaci rješavaju dijeljenjem:
Dakle, prema planu treba pripremiti 800 tona ribe.
Zadatak 3. Vlak je išao iz Rige za Moskvu. Kada je prošao 276. kilometar, jedan od putnika je pitao konduktera koji je prolazio koliki su dio puta već prešli. Na to je kondukter odgovorio: “Već smo prešli 30% cijelog puta.” Kolika je udaljenost od Rige do Moskve?
Iz uvjeta zadatka vidljivo je da 30% puta od Rige do Moskve iznosi 276 km. Moramo pronaći cijelu udaljenost između ovih gradova, tj. za ovaj dio pronaći cijeli:
§ 91. Recipročni brojevi. Zamjena dijeljenja množenjem.
Uzmite razlomak 2/3 i premjestite brojnik na mjesto nazivnika, dobit ćemo 3/2. Dobili smo razlomak, recipročnu vrijednost ovoga.
Da biste dobili razlomak koji je recipročan razlomku, potrebno je njegov brojnik staviti na mjesto nazivnika, a nazivnik na mjesto brojnika. Na taj način možemo dobiti razlomak koji je recipročan bilo kojem razlomku. Na primjer:
3/4, obrnuto 4/3; 5/6 , obrnuto 6/5
Dva razlomka koja imaju svojstvo da je brojnik prvoga nazivnik drugoga, a nazivnik prvoga brojnik drugoga nazivaju se međusobno inverzni.
Sada razmislimo o tome koji će razlomak biti recipročna vrijednost 1/2. Očito će biti 2/1, ili samo 2. Tražeći recipročnu vrijednost ovoga, dobili smo cijeli broj. I ovaj slučaj nije usamljen; naprotiv, za sve razlomke s brojnikom 1 (jedan), recipročne vrijednosti će biti cijeli brojevi, na primjer:
1/3, obrnuto 3; 1/5, obrnuto 5
Budući da smo se pri pronalaženju recipročnih veličina susreli i s cijelim brojevima, ubuduće nećemo govoriti o recipročnim veličinama, već o recipročnim veličinama.
Smislimo kako napisati recipročnu vrijednost cijelog broja. Za razlomke se to rješava jednostavno: trebate staviti nazivnik na mjesto brojnika. Na isti način možete dobiti recipročnu vrijednost cijelog broja, budući da svaki cijeli broj može imati nazivnik 1. Dakle, recipročna vrijednost od 7 bit će 1/7, jer 7 = 7/1; za broj 10 obrnuto je 1/10 jer je 10 = 10/1
Ova ideja se može izraziti na drugi način: recipročna vrijednost zadanog broja dobiva se dijeljenjem jedan sa zadanim brojem. Ova izjava vrijedi ne samo za cijele brojeve, već i za razlomke. Doista, ako želite napisati broj koji je recipročan razlomku 5/9, tada možemo uzeti 1 i podijeliti ga s 5/9, tj.
Istaknimo sada jednu vlasništvo međusobno recipročne brojeve, koji će nam biti od koristi: umnožak međusobno recipročnih brojeva jednak je jedan. Doista:
Koristeći ovo svojstvo, recipročne vrijednosti možemo pronaći na sljedeći način. Nađimo recipročnu vrijednost od 8.
Označimo ga slovom x , zatim 8 x = 1, dakle x = 1/8. Nađimo još jedan broj, inverzan od 7/12, označimo ga slovom x , zatim 7/12 x = 1, dakle x = 1:7 / 12 ili x = 12 / 7 .
Ovdje smo uveli koncept međusobno recipročnih brojeva kako bismo malo dopunili informacije o dijeljenju razlomaka.
Kada podijelimo broj 6 sa 3 / 5, tada radimo sljedeće:
Obratite posebnu pozornost na izraz i usporedite ga sa zadanim: .
Ako izraz uzmemo zasebno, bez veze s prethodnim, tada je nemoguće riješiti pitanje odakle je došao: od dijeljenja 6 s 3/5 ili od množenja 6 s 5/3. U oba slučaja rezultat je isti. Tako možemo reći da se dijeljenje jednog broja drugim može zamijeniti množenjem dividende recipročnom vrijednošću djelitelja.
Primjeri koje navodimo u nastavku u potpunosti potvrđuju ovaj zaključak.
Brojnik, a ono čime se dijeli je nazivnik.
Da biste napisali razlomak, prvo napišite njegov brojnik, zatim povucite vodoravnu crtu ispod tog broja, a ispod crte napišite nazivnik. Vodoravna crta koja razdvaja brojnik i nazivnik naziva se razlomkom. Ponekad se prikazuje kao koso "/" ili "∕". U tom slučaju brojnik se piše s lijeve strane retka, a nazivnik s desne strane. Tako će, na primjer, razlomak "dvije trećine" biti napisan kao 2/3. Radi jasnoće, brojnik se obično piše na vrhu retka, a nazivnik na dnu, odnosno umjesto 2/3 možete pronaći: ⅔.
Da biste izračunali umnožak razlomaka, prvo pomnožite brojnik s jedan razlomci drugom brojniku. Rezultat upiši u brojnik novog razlomci. Zatim pomnožite i nazivnike. Navedite konačnu vrijednost u novom razlomci. Na primjer, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).
Da biste podijelili jedan razlomak drugim, prvo pomnožite brojnik prvog s nazivnikom drugog. Učinite isto s drugim razlomkom (djeliteljem). Ili, prije izvođenja svih koraka, prvo "okrenite" djelitelj, ako vam je prikladnije: nazivnik bi trebao biti umjesto brojnika. Zatim pomnožite nazivnik dividende s novim nazivnikom djelitelja i pomnožite brojnike. Na primjer, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).
Izvori:
- Osnovni zadaci za razlomke
Frakcijski brojevi omogućuju vam da izrazite točnu vrijednost količine na različite načine. S razlomcima možete izvoditi iste matematičke operacije kao i s cijelim brojevima: oduzimanje, zbrajanje, množenje i dijeljenje. Da naučite kako odlučiti razlomci, potrebno je zapamtiti neke od njihovih značajki. Ovise o vrsti razlomci, prisutnost cijelog dijela, zajedničkog nazivnika. Neke aritmetičke operacije nakon izvršenja zahtijevaju smanjenje razlomka rezultata.
Trebat će vam
- - kalkulator
Uputa
Pažljivo pogledajte brojeve. Ako među razlomcima postoje decimalni i nepravilni razlomci, ponekad je prikladnije prvo izvršiti radnje s decimalama, a zatim ih pretvoriti u pogrešan oblik. Možete li prevesti razlomci u ovom obliku na početku, pišući vrijednost iza decimalne točke u brojniku i stavljajući 10 u nazivnik. Ako je potrebno, smanjite razlomak tako da brojeve iznad i ispod podijelite s jednim djeliteljem. Razlomke u kojima se ističe cijeli dio, dovodimo do pogrešnog oblika tako da ga pomnožimo s nazivnikom i rezultatu dodamo brojnik. Ova vrijednost će postati novi brojnik razlomci. Izvući cijeli dio iz prvobitno netočnog razlomci, podijelite brojnik nazivnikom. Napiši cijeli rezultat iz razlomci. A ostatak dijeljenja postaje novi brojnik, nazivnik razlomci dok se ne mijenja. Za razlomke s cijelim dijelom moguće je posebno izvoditi radnje, prvo za cijeli, a zatim za razlomačke dijelove. Na primjer, zbroj 1 2/3 i 2 ¾ može se izračunati:
- Pretvaranje razlomaka u pogrešan oblik:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Zbrajanje odvojeno cijelih i razlomaka članova:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Prepišite ih kroz razdjelnik ":" i nastavite uobičajenim dijeljenjem.
Da biste dobili konačni rezultat, dobiveni razlomak smanjite tako da brojnik i nazivnik podijelite s jednim cijelim brojem, najvećim mogućim u ovom slučaju. U ovom slučaju iznad i ispod crte moraju biti cijeli brojevi.
Bilješka
Nemojte računati s razlomcima koji imaju različite nazivnike. Odaberite broj tako da kada se brojnik i nazivnik svakog razlomka pomnože s njim, kao rezultat, nazivnici obaju razlomaka budu jednaki.
Kod pisanja razlomačkih brojeva, dividenda se piše iznad crte. Ova se veličina naziva brojnikom razlomka. Ispod crte napisan je djelitelj, odnosno nazivnik razlomka. Na primjer, jedan i pol kilogram riže u obliku razlomka bit će napisan na sljedeći način: 1 ½ kg riže. Ako je nazivnik razlomka 10, naziva se decimalni razlomak. U ovom slučaju brojnik (dividenda) piše se desno od cijelog dijela odvojen zarezom: 1,5 kg riže. Radi praktičnosti izračuna, takav se ulomak uvijek može napisati u pogrešnom obliku: 1 2/10 kg krumpira. Radi pojednostavljenja, možete smanjiti vrijednosti brojnika i nazivnika tako da ih podijelite s jednim cijelim brojem. U ovom primjeru moguće je dijeljenje s 2. Rezultat je 1 1/5 kg krumpira. Provjerite jesu li brojevi s kojima ćete računati u istom obliku.
