Uputa

Metoda 1. Korištenje Pitagorinog teorema. Teorem kaže: kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrati nogu. Iz toga slijedi da bilo koja strana pravokutni trokut može se izračunati poznavajući njegove druge dvije strane (Sl. 2)

Metoda 2. Slijedi iz činjenice da medijan povučen od hipotenuze međusobno tvori 3 slična trokuta (slika 3). Na ovoj slici trokuti ABC, BCD i ACD su slični.

Primjer 6: Korištenje jediničnih krugova za pronalaženje koordinata

Prvo nalazimo referentni kut koji odgovara zadanom kutu. Zatim uzimamo vrijednosti sinusa i kosinusa referentnog kuta i dajemo im predznake koji odgovaraju y- i x-vrijednostima kvadranta. Zatim ćemo pronaći kosinus i sinus zadanog kuta.

Kut sita, kutni trokut i kubni korijen

Poligoni koji se mogu izgraditi pomoću šestara i ravnala uključuju.

Napomena: kut sita ne može se iscrtati pomoću šestara i ravnala. Množenjem duljine stranice kocke s kubnim korijenom iz 2 dobivamo duljinu stranice kocke dvostrukog volumena. Koristeći pionirsku teoriju francuskog matematičara Évaristea Galoisa, može se pokazati da za sva tri klasični problemi konstrukcija s kružnicom i ravnalom je nemoguća.

Hipotenuza je stranica u pravokutnom trokutu koja je nasuprot kutu od 90 stupnjeva. Da bi se izračunala njegova duljina, dovoljno je znati duljinu jedne od krakova i vrijednost jednog od oštrih kutova trokuta.

Imajte na umu: trokomponentna konstrukcija kuta i kubnog korijena nije moguća sa šestarom i ravnalom.

S druge strane, rješenje jednadžbe trećeg stupnja prema Cardano formuli može se prikazati dijeljenjem kuta i kubnog korijena. U budućnosti gradimo neki kut s krugom i ravnalom. Međutim, nakon trokuta ovog kuta i određivanja kubnog korijena, dovršetak konstrukcije kvadrata sita može se izvršiti uz pomoć šestara i ravnala.

Izgradnja rešetkaste palube prema ovom proračunu

Algebarska formulacija problema konstrukcije dovodi do jednadžbe čija će strukturna analiza pružiti dodatne informacije o konstrukciji ternarne strukture. Ovdje se koristi omjer jedan prema jedan kuta i njegovog kosinusa: ako je veličina kuta poznata, duljina kosinusa kuta može se jedinstveno konstruirati na jediničnoj kružnici i obrnuto.

Uputa

Uz poznatu nogu i akutni kut pravokutnog trokuta, tada veličina hipotenuze može biti jednaka omjeru noge i kosinusa / sinusa ovog kuta, ako je ovaj kut suprotan / susjedan s njim:

h = C1(ili C2)/sinα;

h = S1(ili S2)/cosα.

Primjer: Dan je pravokutni trokut ABC s hipotenuzom AB i pravim kutom C. Neka je kut B 60 stupnjeva, a kut A 30 stupnjeva. Duljina kraka BC je 8 cm. Odredite duljinu hipotenuze AB. Da biste to učinili, možete koristiti bilo koju od gore predloženih metoda:

Ovaj zadatak jedan na jedan omogućuje vam prijelaz s definicije kuta na definiciju kosinusa kuta. U nastavku, 3 φ označava kut koji treba podijeliti. Dakle, φ je kut čija se vrijednost mora odrediti za zadane 3 φ. Počevši od spojeva poznatih iz trigonometrije.

Slijedi pod zadanim kutom 3 φ. Algebarsko razmatranje rješivosti trodimenzionalne jednadžbe izravno vodi do pitanja mogućnosti konstruiranja rješenja i, posljedično, do pitanja mogućnosti ili nemogućnosti konstruktivnog trostrukog kuta zadanog kuta.

AB=BC/cos60=8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

Hipotenuza je nasuprotna stranica pravokutnog trokuta pravi kut. To je najduža stranica pravokutnog trokuta. Može se izračunati pomoću Pitagorinog teorema ili pomoću formula trigonometrijske funkcije.

Vrijednost izlaznog kuta ima veliki utjecaj na mogućnost povezivanja trećeg kuta, jer on kao apsolutni član presudno određuje vrstu rješenja u trodimenzionalnoj jednadžbi. Ako jednadžba triangulacije ima barem jedno realno rješenje koje se može dobiti racionalnim operacijama ili crtanjem kvadratni korijeni za dati početni kut, ovo rješenje je konstruktivno.

Breidenbach je formulirao kao kriterij da se kut od tri sekunde može interpretirati samo u racionalnom rješenju trodijelne jednadžbe. Ako takvo rješenje nije dostupno, problem trodijelne konstrukcije nepomirljiv je sa šestarom i ravnalom. Klaster analiza je opća tehnika za sastavljanje malih grupa iz velikog skupa podataka. Slično diskriminantnoj analizi, klaster analiza također se koristi za klasificiranje opažanja u grupe. S druge strane, diskriminatorna analiza zahtijeva poznavanje pripadnosti grupi u slučajevima koji se koriste za izvođenje pravila klasifikacije.

Uputa

Noge se nazivaju stranice pravokutnog trokuta uz pravi kut. Na slici su noge označene kao AB i BC. Neka su zadane duljine oba kraka. Označimo ih kao |AB| i |BC|. Da bismo pronašli duljinu hipotenuze |AC|, koristimo Pitagorin poučak. Prema ovom teoremu, zbroj kvadrata kateta jednak je kvadratu hipotenuze, tj. u oznaci našeg crteža |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Iz formule dobivamo da se duljina hipotenuze AC nalazi kao |AC| = √(|AB|^2 + |BC|^2) .

Klaster analiza je primitivnija metoda jer ne donosi nikakve pretpostavke o broju grupa ili članstvu u grupama. Klasifikacija Klaster analiza pruža način za otkrivanje potencijalnih odnosa i stvaranje sustavne strukture preko velikog broja varijabli i opažanja. Glavna je hijerarhijska klaster analiza statistička metoda tražiti relativno homogene klastere slučajeva na temelju izmjerenih karakteristika. Počinje sa svakim slučajem kao zasebnim klasterom.

Klasteri se zatim spajaju sekvencijalno, a broj klastera se smanjuje sa svakim korakom dok ne ostane samo jedan klaster. Metoda klasteriranja koristi razlike između objekata za formiranje klastera. Hijerarhijska klaster analiza najbolja je za male uzorke.

Razmotrite primjer. Neka su duljine krakova |AB| = 13, |BC| = 21. Po Pitagorinom poučku dobivamo da je |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. od broja 610: |AC| = √610. Pomoću tablice kvadrata cijelih brojeva saznajemo da broj 610 nije potpuni kvadrat nijednog cijelog broja. Da bismo dobili konačnu vrijednost duljine hipotenuze, pokušajmo je izvaditi puni kvadrat ispod znaka korijena. Da bismo to učinili, rastavljamo broj 610 na faktore. 610 \u003d 2 * 5 * 61. Prema tablici prostih brojeva vidimo da je 61 prost broj. Stoga je daljnje smanjivanje broja √610 nemoguće. Dobivamo konačni odgovor |AC| = √610.
Ako je kvadrat hipotenuze, na primjer, 675, tada je √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. Ako je takav odljev moguć, izvršite obrnutu provjeru - kvadrirajte rezultat i usporedite s izvornom vrijednošću.

Hijerarhijska klaster analiza samo je jedan od načina promatranja formiranja homogenih varijabilnih grupa. Ne postoji poseban način za postavljanje broja klastera za vašu analizu. Možda ćete morati pogledati dendrogram kao i karakteristike klastera, a zatim prilagoditi broj u koracima kako biste dobili dobro rješenje klastera.

Kada se varijable mjere na različitim ljestvicama, imate tri načina za standardizaciju varijabli. Kao rezultat toga, sve varijable s približno jednakim omjerima doprinose mjerenju udaljenosti, čak i ako možete izgubiti informacije o varijanci varijabli.

Neka nam je poznata jedna od krakova i kut koji je uz njega. Radi određenosti neka to bude krak |AB| i kut α. Zatim možemo upotrijebiti formulu za kosinus trigonometrijske funkcije - kosinus kuta jednak je omjeru susjednog kraka i hipotenuze. Oni. u našem zapisu cos α = |AB| / |AC|. Odavde dobivamo duljinu hipotenuze |AC| = |AB| / cosα.
Ako znamo krak |BC| i kut α, tada koristimo formulu za izračunavanje sinusa kuta - sinus kuta jednak je omjeru suprotne katete i hipotenuze: sin α = |BC| / |AC|. Dobivamo da se duljina hipotenuze nalazi kao |AC| = |BC| / cosα.

Euklidska udaljenost: Euklidska udaljenost je najčešća metoda mjerenja. Euklidska udaljenost na kvadrat: Euklidska udaljenost na kvadrat usmjerava pozornost na objekte koji su udaljeniji. Udaljenost gradskih blokova: I gradski blokovi i euklidska udaljenost posebni su slučajevi metrike Minkowskog. Dok euklidska udaljenost odgovara duljini najkraćeg puta između dvije točke, udaljenost gradskih blokova zbroj je udaljenosti duž svake dimenzije. Pearsonova korelacijska udaljenost Razlika između 1 i koeficijenta kosinusa dvaju promatranja Koeficijent kosinusa je kosinus kuta između dva vektora. Jaccardova udaljenost Razlika između 1 i Jacquardovog koeficijenta za dva promatranja Za binarne podatke, Jaccardov koeficijent jednak je omjeru količine preklapanja i zbroja dvaju promatranja. Najbliži susjed Ova metoda pretpostavlja da udaljenost između dva klastera odgovara udaljenosti između značajki u njihovom najbližem susjedstvu. Najbolji susjed U ovoj metodi udaljenost između dva klastera odgovara maksimalnoj udaljenosti između dva objekta u različitim klasterima. Grupni prosjek: ovom metodom udaljenost između dva klastera odgovara prosječnoj udaljenosti između svih parova objekata u različitim klasterima. Ova se metoda općenito preporučuje jer sadrži veću količinu informacija. Medijan Ova metoda je identična metodi centroida, osim što nije ponderirana. Zatim se za svaki slučaj izračunava kvadratna euklidska udaljenost do srednje vrijednosti klastera. Klaster koji se spaja je onaj koji barem povećava zbroj. Odnosno, ova metoda minimizira povećanje ukupni iznos kvadrat udaljenosti unutar klastera. Ova metoda nastoji stvoriti manje klastere.

• Ovo je geometrijska udaljenost u višedimenzionalnom prostoru.
• Prikladan je samo za kontinuirane varijable.
• Kosinusna udaljenost Kosinus kuta između dva vektora vrijednosti.
• Ova metoda se preporučuje kod crtanja nacrtanih grozdova.
• Ako nacrtani klasteri tvore jedinstvene "grudice", metoda je prikladna.
• Težište klastera je središnja točka u višedimenzionalnom prostoru.
• Ne smije se koristiti ako su veličine klastera vrlo različite.
• Ward srednje vrijednosti za sve varijable izračunate su za svaki klaster.
• Ove se udaljenosti zbrajaju za sve slučajeve.

Ideja je minimizirati udaljenost između podataka i odgovarajućeg klastera klastera.

Radi jasnoće, razmotrite primjer. Neka je duljina kraka |AB| = 15. A kut α = 60°. Dobivamo |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Razmotrite kako možete provjeriti svoj rezultat koristeći Pitagorin teorem. Da bismo to učinili, moramo izračunati duljinu drugog kraka |BC|. Pomoću formule za tangens kuta tg α = |BC| / |AC|, dobivamo |BC| = |AB| * tg α = 15 * tg 60° = 15 * √3. Zatim primjenjujemo Pitagorin teorem, dobivamo 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Provjera je obavljena.

Funkcija sinusa definirana je iz koncepta sinusa, s obzirom da kut uvijek mora biti izražen u radijanima. Možemo uočiti nekoliko karakteristika sinusne funkcije.

• Vaša domena sadrži sve stvarne.
• U tom slučaju se kaže da je funkcija periodična, s periodom 2π.

Funkcija kosinusa definirana je iz koncepta kosinusa, s obzirom na to da kut uvijek mora biti izražen u radijanima.

Možemo uočiti nekoliko karakteristika kosinusne funkcije. Tako je periodično razdoblje 2π. . Ograničenje ne uklanja općenitost formule, jer uvijek možemo reducirati kutove drugog, trećeg i četvrtog kvadranta na prvi. Vježba. - Izračunajte sinus od 15º bez korištenja kalkulatora.

Nakon izračuna hipotenuze, provjerite zadovoljava li dobivena vrijednost Pitagorin teorem.

Izvori:

• Stol primarni brojevi od 1 do 10000

Noge navedite dvije kraće strane pravokutnog trokuta koje čine njegov vrh, čija je vrijednost 90 °. Treća stranica u takvom trokutu naziva se hipotenuza. Sve te strane i kutovi trokuta međusobno su povezani određenim odnosima koji vam omogućuju izračunavanje duljine noge ako je poznato nekoliko drugih parametara.

Kosinus zbroja dvaju kutova

Kosinus razlike dvaju kutova

Da bismo dobili formulu, možemo nastaviti na isti način kao u prethodnom odjeljku, ali ćemo vidjeti još jednu vrlo jednostavnu demonstraciju temeljenu na Pitagorinom teoremu. Pojednostavljenjem i promjenom predznaka, imamo Tangens zbroja i razlike dvaju kutova.

Vježba. U današnjem ćemo članku pogledati vrlo specifičan podskup: trigonometrijske funkcije. Da bismo uživali u svemu što matematika nudi, moramo je uvoziti. U sljedećem ćemo članku vidjeti druge stilove uvoza, svaki sa svojim prednostima i nedostacima. Ali uz ovu jednostavnu uputu, već imate pristup cijelom imenskom prostoru matematičkog modula ispunjenom desecima funkcija, uključujući i one s kojima ćemo se danas baviti.

Uputa

Upotrijebite Pitagorin poučak za izračun duljine kraka (A) ako znate duljinu druge dvije stranice (B i C) pravokutnog trokuta. Ovaj teorem tvrdi da je zbroj kvadrata duljina kateta jednak kvadratu hipotenuze. Iz ovoga slijedi da je duljina svake noge jednaka korijen iz razlike kvadrata duljina hipotenuze i druge katete: A=√(C²-B²).

U osnovi, morat ćemo izračunati sinus, kosinus i tangens kuta, kao i njegov inverzne funkcije. Osim toga, željeli bismo moći raditi i u radijanima i u stupnjevima kako bismo također mogli koristiti odgovarajuće funkcije pretvorbe.

Trebate imati na umu da ove funkcije očekuju da argument bude naveden u radijanima, a ne u stupnjevima. Zbog toga će vas zanimati da imate sljedeću konstantu. Stoga možemo koristiti ovaj izraz umjesto numeričke vrijednosti.

Ne postoji izravna funkcija za kosekans, sekans i kotangens jer to nije potrebno jer su oni jednostavno inverzni sinus, kosinus i tangens. Kao i prije, vraćeni kut također je u radijanima. Još jedna korisna funkcija matematike omogućuje nam da znamo vrijednost hipotenuze pravokutnog trokuta s obzirom na njegove katete, što nam omogućuje izračunavanje kvadratnog korijena zbroja njihovih kvadrata.

Upotrijebite definiciju izravne trigonometrijske funkcije "sinus" za šiljasti kut, ako znate vrijednost kuta (α) nasuprot izračunatom kraku i duljinu hipotenuze (C). Ova definicija kaže da je sinus ovog poznatog kuta jednak omjeru duljine željenog kraka i duljine hipotenuze. To znači da je duljina željenog kraka jednaka umnošku duljine hipotenuze i sinusa poznatog kuta: A=C∗sin(α). Za iste poznate vrijednosti možete upotrijebiti definiciju funkcije kosekansa i izračunati željenu duljinu dijeljenjem duljine hipotenuze s kosekantom poznatog kuta A=C/cosec(α).

Upotrijebite definiciju kosinusa izravne trigonometrijske funkcije ako je osim duljine hipotenuze (C) poznata i vrijednost šiljastog kuta (β) uz željeni krak. Kosinus tog kuta definiran je kao omjer duljina željene katete i hipotenuze, a iz toga možemo zaključiti da je duljina katete jednaka umnošku duljine hipotenuze i kosinusa poznatog kuta. kut: A=C∗cos(β). Možete upotrijebiti definiciju funkcije sekante i izračunati željenu vrijednost dijeljenjem duljine hipotenuze sa sekantom poznatog kuta A=C/sec(β).

Izvedite traženu formulu iz slične definicije za izvod trigonometrijske funkcije tangente, ako je, uz vrijednost oštrog kuta (α) koji leži nasuprot željenog kraka (A), duljina drugog kraka (B) jednaka znan. Tangens kuta nasuprot željenog kraka je omjer duljine ovog kraka i duljine drugog kraka. To znači da će željena vrijednost biti jednaka umnošku duljine poznatog kraka i tangensa poznatog kuta: A=B∗tg(α). Iz istih poznatih veličina može se izvesti druga formula korištenjem definicije kotangens funkcije. U ovom slučaju, za izračunavanje duljine kraka bit će potrebno pronaći omjer duljine poznatog kraka i kotangensa poznatog kuta: A=B/ctg(α).

Slični Videi

Riječ "katet" došla je na ruski iz grčkog. NA točan prijevod to znači okomito, to jest, okomito na površinu zemlje. U matematici se katetama nazivaju stranice koje tvore pravi kut pravokutnog trokuta. Stranica nasuprot ovom kutu naziva se hipotenuza. Pojam "noga" također se koristi u arhitekturi i tehnologiji zavarivanja.

Nacrtaj pravokutni trokut ACB. Označite njegove katete a i b, a hipotenuzu c. Sve stranice i kutovi pravokutnog trokuta povezani su određenim odnosima. Omjer katete nasuprot jednog od oštrih kutova prema hipotenuzi naziva se sinus tog kuta. U ovom trokutu sinCAB=a/c. Kosinus je omjer prema hipotenuzi susjednog kraka, tj. cosCAB=b/c. Inverzni odnosi nazivaju se sekans i kosakans.

Sekans ovog kuta dobije se dijeljenjem hipotenuze sa susjednim krakom, odnosno secCAB=c/b. Ispada recipročna vrijednost kosinusa, odnosno može se izraziti formulom secCAB=1/cosSAB.
Kosekant je jednak kvocijentu dijeljenja hipotenuze sa suprotnim krakom i recipročna je vrijednost sinusa. Može se izračunati pomoću formule cosecCAB=1/sinCAB

Oba kraka povezana su tangentom i kotangensom. NA ovaj slučaj tangenta će biti omjer stranice a i stranice b, odnosno suprotnog kraka u odnosu na susjedni. Ovaj omjer može se izraziti formulom tgCAB=a/b. Prema tome, inverzni omjer bit će kotangens: ctgCAB=b/a.

Omjer između veličina hipotenuze i obiju kateta odredio je starogrčki matematičar Pitagora. Teorem nazvan po njemu ljudi još uvijek koriste. Kaže da je kvadrat hipotenuze jednak zbroju kvadrata kateta, odnosno c2 \u003d a2 + b2. Prema tome, svaka će kateta biti jednaka kvadratnom korijenu razlike između kvadrata hipotenuze i druge katete. Ova se formula može napisati kao b=√(c2-a2).

Duljina kraka može se izraziti i kroz odnose koje poznajete. Prema sinusnom i kosinusnom teoremu, kateta jednak je proizvodu hipotenuzu na jednu od ovih funkcija. Također se može izraziti tangensom ili kotangensom. Noga a može se pronaći, na primjer, formulom a \u003d b * tan CAB. Na potpuno isti način, ovisno o zadanom tangensu ili kotangensu, određuje se i drugi krak.

U arhitekturi se također koristi izraz "noga". Primjenjuje se na jonski kapitel i označava visak kroz sredinu njegova leđa. To jest, u ovom slučaju, ovaj izraz označava okomicu na danu liniju.

U tehnologiji zavarivanja postoji koncept "krakog kutnog zavara". Kao iu drugim slučajevima, ovo je najkraća udaljenost. Ovdje govorimo o razmaku između jednog od dijelova koji se zavaruju do granice šava koji se nalazi na površini drugog dijela.

Slični Videi

Izvori:

• što je kateta i hipotenuza

Slični Videi

Bilješka

Prilikom izračunavanja stranica pravokutnog trokuta, poznavanje njegovih značajki može igrati:
1) Ako krak pravog kuta leži nasuprot kutu od 30 stupnjeva, tada je jednak polovici hipotenuze;
2) Hipotenuza je uvijek duža od bilo koje katete;
3) Ako je krug opisan oko pravokutnog trokuta, tada njegovo središte mora ležati u sredini hipotenuze.

Tamo gdje su razmatrani zadaci za rješavanje pravokutnog trokuta, obećao sam predstaviti tehniku ​​za pamćenje definicija sinusa i kosinusa. Koristeći ga, uvijek ćete se brzo sjetiti koja noga pripada hipotenuzi (susjedna ili suprotna). Odlučio sam ne odgađati na neodređeno vrijeme, potreban materijal je ispod, pročitajte ga 😉

Činjenica je da sam više puta primijetio kako učenici od 10. do 11. razreda imaju poteškoća s pamćenjem ovih definicija. Vrlo dobro pamte da se kateta odnosi na hipotenuzu, ali koju zaboravljaju i zbunjeno. Cijena greške, kao što znate na ispitu, je izgubljen rezultat.

Informacije koje ću iznijeti izravno s matematikom nemaju nikakve veze. Povezuje se s figurativnim mišljenjem, te s metodama verbalno-logičkog povezivanja. Tako je, i sam sam se jednom zauvijek sjetio podaci o definiciji. Ako ih još uvijek zaboravite, onda ih je uz pomoć predstavljenih tehnika uvijek lako zapamtiti.

Dopustite mi da vas podsjetim na definicije sinusa i kosinusa u pravokutnom trokutu:

Kosinus Oštri kut u pravokutnom trokutu je omjer susjedne katete i hipotenuze:

Sinus Oštri kut u pravokutnom trokutu je omjer suprotne katete i hipotenuze:

Dakle, kakve asocijacije kod vas izaziva riječ kosinus?

Vjerojatno svatko ima svoju Zapamtite link:

Tako ćete odmah imati izraz u sjećanju -

«… omjer SUSJEDNE katete i hipotenuze».

Problem s definicijom kosinusa je riješen.

Ako se trebate sjetiti definicije sinusa u pravokutnom trokutu, tada sjećajući se definicije kosinusa, lako možete utvrditi da je sinus oštrog kuta u pravokutnom trokutu omjer suprotne noge i hipotenuze. Uostalom, postoje samo dvije noge, ako je susjedna kateta "zauzeta" kosinusom, tada za sinus ostaje samo suprotna strana.

Što je s tangensom i kotangensom? Ista zabuna. Učenici znaju da je to omjer krakova, ali problem je zapamtiti koji se na koji odnosi - ili nasuprot susjednom, ili obrnuto.

Definicije:

Tangens Oštri kut u pravokutnom trokutu je omjer suprotnog kraka i susjednog:

Kotangens Oštri kut u pravokutnom trokutu je omjer susjednog kraka i suprotnog:

Kako zapamtiti? Postoje dva načina. Jedan također koristi verbalno-logičku vezu, drugi - matematičku.

MATEMATIČKA METODA

Postoji takva definicija - tangens oštrog kuta je omjer sinusa kuta i njegovog kosinusa:

* Sjećajući se formule, uvijek možete odrediti da je tangens oštrog kuta u pravokutnom trokutu omjer suprotne noge u odnosu na susjednu.

Također. Kotangens oštrog kuta je omjer kosinusa kuta i njegovog sinusa:

Tako! Zapamtite ove formule, uvijek možete utvrditi da:

Tangens oštrog kuta u pravokutnom trokutu je omjer suprotnog kraka i susjednog

Kotangens šiljastog kuta u pravokutnom trokutu je omjer susjednog i suprotnog kraka.

VERBALNO-LOGIČKA METODA

O tangenti. Zapamtite link:

To jest, ako se trebate sjetiti definicije tangente, koristeći ovu logičku vezu, lako se možete sjetiti što je to

"... omjer suprotne noge u odnosu na susjednu"

Ako je riječ o kotangensu, onda sjećajući se definicije tangensa, lako možete izgovoriti definiciju kotangensa -

"... omjer susjednog kraka i suprotnog"

Na web mjestu postoji zanimljiva tehnika za pamćenje tangensa i kotangensa " Matematički tandem " , pogledaj.

METODA UNIVERZALNA

Možete samo samljeti. Ali kako praksa pokazuje, zahvaljujući verbalno-logičkim vezama, osoba dugo pamti informacije, a ne samo matematičke.

Nadam se da vam je materijal bio koristan.

S poštovanjem, Alexander Krutitskikh

P.S: Bio bih vam zahvalan ako kažete o stranici na društvenim mrežama.

Trigonometrija je grana matematike koja proučava trigonometrijske funkcije i njihovu upotrebu u geometriji. Razvoj trigonometrije započeo je u doba stare Grčke. Tijekom srednjeg vijeka znanstvenici s Bliskog istoka i Indije dali su važan doprinos razvoju ove znanosti.

Ovaj članak je posvećen osnovnim pojmovima i definicijama trigonometrije. Raspravlja se o definicijama glavnih trigonometrijskih funkcija: sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa. Objašnjeno je i ilustrirano njihovo značenje u kontekstu geometrije.

U početku su se definicije trigonometrijskih funkcija, čiji je argument kut, izražavale kroz omjer stranica pravokutnog trokuta.

Definicije trigonometrijskih funkcija

Sinus kuta (sin α) je omjer katete nasuprot tog kuta i hipotenuze.

Kosinus kuta (cos α) je omjer susjednog kraka i hipotenuze.

Tangens kuta (t g α) je omjer suprotnog kraka prema susjednom.

Kotangens kuta (c t g α) je omjer susjednog i suprotnog kraka.

Ove definicije dane su za šiljasti kut pravokutnog trokuta!

Dajmo ilustraciju.

U trokutu ABC s pravim kutom C sinus kuta A jednak je omjeru kraka BC i hipotenuze AB.

Definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa omogućuju izračunavanje vrijednosti ovih funkcija iz poznatih duljina stranica trokuta.

Važno je zapamtiti!

Raspon vrijednosti sinusa i kosinusa: od -1 do 1. Drugim riječima, sinus i kosinus imaju vrijednosti od -1 do 1. Raspon vrijednosti tangensa i kotangensa je cijeli brojevni pravac, tj. funkcije mogu uzeti bilo koju vrijednost.

Gore navedene definicije odnose se na oštre kutove. U trigonometriji se uvodi pojam kuta rotacije čija vrijednost, za razliku od oštrog kuta, nije ograničena okvirima od 0 do 90 stupnjeva.Kut rotacije u stupnjevima ili radijanima izražava se bilo kojim realnim brojem iz - ∞ do + ∞.

U ovom kontekstu, može se definirati sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta proizvoljne veličine. Zamislite jediničnu kružnicu sa središtem u ishodištu Kartezijevog koordinatnog sustava.

Početna točka A s koordinatama (1 , 0) rotira oko središta jedinične kružnice za neki kut α i ide u točku A 1 . Definicija je dana preko koordinata točke A 1 (x, y).

Sinus (sin) kuta rotacije

Sinus kuta zakreta α je ordinata točke A 1 (x, y). sinα = y

Kosinus (cos) kuta rotacije

Kosinus kuta rotacije α je apscisa točke A 1 (x, y). cos α = x

Tangens (tg) kuta rotacije

Tangens kuta zakreta α je omjer ordinate točke A 1 (x, y) i njezine apscise. t g α = y x

Kotangens (ctg) kuta rotacije

Kotangens kuta rotacije α je omjer apscise točke A 1 (x, y) i njene ordinate. c t g α = x y

Sinus i kosinus definirani su za svaki kut rotacije. To je logično, jer se apscisa i ordinata točke nakon rotacije mogu odrediti pod bilo kojim kutom. Drugačija je situacija s tangensom i kotangensom. Tangenta nije definirana kada točka nakon rotacije ide u točku s nultom apscisom (0 , 1) i (0 , - 1). U takvim slučajevima izraz za tangentu t g α = y x jednostavno nema smisla jer sadrži dijeljenje s nulom. Slična je situacija i s kotangensom. Razlika je u tome što kotangens nije definiran u slučajevima kada ordinata točke ispada.

Važno je zapamtiti!

Sinus i kosinus definirani su za bilo koji kut α.

Tangenta je definirana za sve kutove osim za α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)

Kotangens je definiran za sve kutove osim za α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Prilikom odlučivanja praktični primjeri nemojte reći "sinus kuta rotacije α". Riječi "kut rotacije" jednostavno su izostavljene, implicirajući da je već iz konteksta jasno o čemu se radi.

Brojke

Što je s definicijom sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa broja, a ne kuta zakreta?

Sinus, kosinus, tangens, kotangens broja

Sinus, kosinus, tangens i kotangens broja t naziva se broj koji je redom jednak sinusu, kosinusu, tangensu i kotangensu t radijan.

Na primjer, sinus od 10 π jednak je sinusu kuta rotacije od 10 π rad.

Postoji još jedan pristup definiciji sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa broja. Razmotrimo to detaljnije.

Bilo koji realni broj t točka na jediničnoj kružnici stavlja se u korespondenciju sa središtem u ishodištu pravokutnog Kartezijevog koordinatnog sustava. Sinus, kosinus, tangens i kotangens definirani su u smislu koordinata ove točke.

Početna točka na kružnici je točka A s koordinatama (1 , 0).

pozitivan broj t

Negativan broj t odgovara točki do koje će se početna točka pomaknuti ako se po kružnici kreće u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i prijeđe put t .

Sada kada je veza između broja i točke na kružnici uspostavljena, prelazimo na definiciju sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa.

Sinus (sinus) broja t

Sinus broja t- ordinata točke jedinične kružnice koja odgovara broju t. sin t = y

Kosinus (cos) od t

Kosinus broja t- apscisa točke jedinične kružnice koja odgovara broju t. cos t = x

Tangenta (tg) od t

Tangens broja t- omjer ordinate i apscise točke jedinične kružnice koja odgovara broju t. t g t = y x = sin t cos t

Potonje definicije dosljedne su i ne proturječe definiciji danoj na početku ovog odjeljka. Točka na kružnici koja odgovara broju t, poklapa se s točkom do koje prolazi početna točka nakon skretanja kroz kut t radijan.

Trigonometrijske funkcije kutnog i numeričkog argumenta

Svaka vrijednost kuta α odgovara određenoj vrijednosti sinusa i kosinusa ovog kuta. Baš kao i svi kutovi α osim α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) odgovara određenoj vrijednosti tangente. Kotangens je, kao što je gore spomenuto, definiran za sve α, osim za α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).

Možemo reći da su sin α , cos α , t g α , c t g α funkcije kuta alfa, odnosno funkcije kutnog argumenta.

Slično, može se govoriti o sinusu, kosinusu, tangensu i kotangensu kao funkcijama numeričkog argumenta. Svaki realni broj t odgovara određenoj vrijednosti sinusa ili kosinusa broja t. Svi brojevi osim π 2 + π · k , k ∈ Z, odgovaraju vrijednosti tangente. Kotangens je slično definiran za sve brojeve osim π · k , k ∈ Z.

Osnovne funkcije trigonometrije

Sinus, kosinus, tangens i kotangens su osnovne trigonometrijske funkcije.

Obično je iz konteksta jasno o kojem argumentu trigonometrijske funkcije (kutni argument ili numerički argument) imamo posla.

Vratimo se podacima na samom početku definicija i kutu alfa koji se nalazi u rasponu od 0 do 90 stupnjeva. Trigonometrijske definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa u potpunosti su u skladu s geometrijskim definicijama koje daju omjeri stranica pravokutnog trokuta. Pokažimo to.

Uzmite jediničnu kružnicu čiji je centar pravokutnik Kartezijanski sustav koordinate. Zarotirajmo početnu točku A (1, 0) za kut do 90 stupnjeva i povucimo iz dobivene točke A 1 (x, y) okomito na x-os. U dobivenom pravokutnom trokutu kut A 1 O H jednak je kutu rotacije α, duljina kraka O H jednaka je apscisi točke A 1 (x, y) . Duljina kraka nasuprot kutu jednaka je ordinati točke A 1 (x, y), a duljina hipotenuze jednaka je jedinici, jer je polumjer jedinične kružnice.

Sukladno definiciji iz geometrije, sinus kuta α jednak je omjeru suprotnog kraka i hipotenuze.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

To znači da je definicija sinusa oštrog kuta u pravokutnom trokutu kroz omjer širine i visine jednaka definiciji sinusa kuta rotacije α, pri čemu alfa leži u rasponu od 0 do 90 stupnjeva.

Slično, podudarnost definicija može se pokazati za kosinus, tangens i kotangens.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Znajući jednu od nogu u pravokutnom trokutu, možete pronaći drugu nogu i hipotenuzu pomoću trigonometrijskih odnosa - sinusa i tangensa poznatog kuta. Budući da je omjer noge nasuprot kutu prema hipotenuzi jednak sinusu ovog kuta, stoga, da bismo pronašli hipotenuzu, nogu moramo podijeliti sa sinusom kuta. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

Drugi krak se može pronaći iz tangente poznatog kuta, kao omjer poznatog kraka i tangente. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Da biste izračunali nepoznati kut u pravokutnom trokutu, trebate oduzeti kut α od 90 stupnjeva. β=90°-α

Opseg i površina pravokutnog trokuta kroz nogu i kut nasuprot njemu mogu se izraziti zamjenom prethodno dobivenih izraza za drugu nogu i hipotenuzu u formule. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 tan⁡α)

Visinu možete izračunati i kroz trigonometrijske relacije, ali već u unutarnjem pravokutnom trokutu sa stranicom a, koju čini. Da biste to učinili, trebate stranicu a, kao hipotenuzu takvog trokuta, pomnožiti sa sinusom kuta β ili kosinusom α, jer prema trigonometrijski identiteti oni su ekvivalentni. (sl. 79.2) h=a cos⁡α

Medijan hipotenuze jednak je polovici hipotenuze ili poznatog kraka a podijeljenog s dva sinusa α. Da bismo pronašli medijane nogu, dovodimo formule u odgovarajući oblik za poznata strana i kutovi. (sl.79.3) m_s=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

Budući da je simetrala pravog kuta u trokutu umnožak dviju stranica i korijena iz dva, podijeljen sa zbrojem tih stranica, zamjenjujući jedan od kraka omjerom poznatog kraka i tangente, dobivamo sljedeće izraz. Slično, zamjenom omjera u drugu i treću formulu, mogu se izračunati simetrale kutova α i β. (sl.79.4) l_s=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c) (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

Srednja crta ide paralelno s jednom od stranica trokuta, dok tvori drugi sličan pravokutni trokut s istim kutovima, u kojem su sve stranice upola manje od izvorne. Na temelju toga, srednje linije mogu se pronaći pomoću sljedećih formula, znajući samo nogu i kut nasuprot njoj. (sl.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

Polumjer upisane kružnice jednak je razlici između kateta i hipotenuze podijeljene s dva, a da biste pronašli polumjer opisane kružnice, morate hipotenuzu podijeliti s dva. Zamjenjujemo drugu katetu i hipotenuzu omjerima katete a prema sinusu i tangensu. (Sl. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

U životu se često moramo nositi s matematički problemi: u školi, na fakultetu, a zatim i pomaganje djetetu oko domaća zadaća. Ljudi određenih profesija susrest će se s matematikom svakodnevno. Stoga je korisno zapamtiti ili se prisjetiti matematičkih pravila. U ovom ćemo članku analizirati jedan od njih: pronalaženje kraka pravokutnog trokuta.

Što je pravokutni trokut

Prvo, sjetimo se što je pravokutni trokut. Pravokutni trokut je geometrijski lik od tri segmenta koji spajaju točke koje ne leže na istoj ravnoj liniji, a jedan od kutova ove figure je 90 stupnjeva. Stranice koje tvore pravi kut nazivaju se katete, a stranica koja leži nasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza.

Pronalaženje kraka pravokutnog trokuta

Postoji nekoliko načina da saznate duljinu noge. Htio bih ih detaljnije razmotriti.

Pitagorin poučak za pronalaženje kraka pravokutnog trokuta

Ako znamo hipotenuzu i katet, tada možemo pronaći duljinu nepoznatog kateta koristeći Pitagorin teorem. Zvuči ovako: "Kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta." Formula: c²=a²+b², gdje je c hipotenuza, a i b katete. Transformiramo formulu i dobijemo: a²=c²-b².

Primjer. Hipotenuza je 5 cm, a kateta 3 cm.Transformiramo formulu: c²=a²+b² → a²=c²-b². Zatim odlučujemo: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Trigonometrijske relacije za pronalaženje kraka pravokutnog trokuta

Također je moguće pronaći nepoznati krak ako je poznata bilo koja druga stranica i bilo koji šiljasti kut pravokutnog trokuta. Postoje četiri mogućnosti za pronalaženje kraka pomoću trigonometrijskih funkcija: pomoću sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa. U rješavanju problema pomoći će nam donja tablica. Razmotrimo ove opcije.

Odredite krak pravokutnog trokuta pomoću sinusa

Sinus kuta (sin) je omjer suprotnog kraka i hipotenuze. Formula: sin \u003d a / c, gdje je a noga nasuprot zadanom kutu, a c je hipotenuza. Zatim transformiramo formulu i dobijemo: a=sin*c.

Primjer. Hipotenuza je 10 cm, a kut A je 30 stupnjeva. Prema tablici izračunavamo sinus kuta A, jednak je 1/2. Zatim pomoću transformirane formule rješavamo: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Pronađite krak pravokutnog trokuta pomoću kosinusa

Kosinus kuta (cos) je omjer susjednog kraka i hipotenuze. Formula: cos \u003d b / c, gdje je b noga uz zadani kut, a c je hipotenuza. Transformirajmo formulu i dobijemo: b=cos*c.

Primjer. Kut A je 60 stupnjeva, hipotenuza je 10 cm Prema tablici izračunavamo kosinus kuta A, jednak je 1/2. Zatim rješavamo: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Pronađite krak pravokutnog trokuta pomoću tangente

Tangens kuta (tg) je omjer suprotnog kraka i susjednog. Formula: tg \u003d a / b, gdje je a noga nasuprot kutu, a b je susjedna. Transformirajmo formulu i dobijemo: a=tg*b.

Primjer. Kut A je 45 stupnjeva, hipotenuza je 10 cm Prema tablici izračunavamo tangens kuta A, jednak je Rješavamo: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Odredite krak pravokutnog trokuta pomoću kotangensa

Kotangens kuta (ctg) je omjer susjednog i suprotnog kraka. Formula: ctg \u003d b / a, gdje je b noga uz kut, a suprotna je. Drugim riječima, kotangens je "obrnuti tangens". Dobivamo: b=ctg*a.

Primjer. Kut A je 30 stupnjeva, suprotni krak je 5 cm Prema tablici tangens kuta A je √3. Izračunajte: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Dakle, sada znate kako pronaći krak u pravokutnom trokutu. Kao što vidite, nije tako teško, glavna stvar je zapamtiti formule.