Konstrukcija grafova funkcija koji sadrže module obično uzrokuje znatne poteškoće za školsku djecu. Ipak, nije sve tako loše. Dovoljno je zapamtiti nekoliko algoritama za rješavanje takvih problema i lako možete iscrtati čak i naizgled najsloženiju funkciju. Pogledajmo koji su to algoritmi.
1. Crtanje funkcije y = |f(x)|
Imajte na umu da je skup vrijednosti funkcije y = |f(x)| : y ≥ 0. Dakle, grafovi takvih funkcija uvijek se nalaze potpuno u gornjoj poluravnini.
Crtanje funkcije y = |f(x)| sastoji se od sljedeća jednostavna četiri koraka.
1) Pažljivo i pažljivo konstruirajte graf funkcije y = f(x).
2) Ostavite nepromijenjene sve točke grafa koje su iznad ili na 0x osi.
3) Dio grafikona koji se nalazi ispod 0x osi, prikazati simetrično oko 0x osi.
Primjer 1. Nacrtajte graf funkcije y = |x 2 - 4x + 3|
1) Gradimo graf funkcije y \u003d x 2 - 4x + 3. Očito je da je graf ove funkcije parabola. Nađimo koordinate svih točaka sjecišta parabole s koordinatnim osima i koordinate vrha parabole.
x 2 - 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Dakle, parabola siječe os 0x u točkama (3, 0) i (1, 0).
y \u003d 0 2 - 4 0 + 3 \u003d 3.
Dakle, parabola siječe os 0y u točki (0, 3).
Koordinate vrha parabole:
x u \u003d - (-4/2) \u003d 2, y u = 2 2 - 4 2 + 3 = -1.
Dakle, točka (2, -1) je vrh ove parabole.
Nacrtajte parabolu pomoću dobivenih podataka (Sl. 1)
2) Dio grafikona koji leži ispod 0x osi prikazuje se simetrično u odnosu na 0x os.
3) Dobivamo graf izvorne funkcije ( riža. 2, prikazano isprekidanom linijom).
2. Crtanje funkcije y = f(|x|)
Imajte na umu da su funkcije oblika y = f(|x|) parne:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). To znači da su grafovi takvih funkcija simetrični oko osi 0y.
Crtanje funkcije y = f(|x|) sastoji se od sljedećeg jednostavnog lanca radnji.
1) Nacrtajte funkciju y = f(x).
2) Ostaviti onaj dio grafa za koji je x ≥ 0, odnosno dio grafa koji se nalazi u desnoj poluravnini.
3) Prikažite dio grafikona naveden u paragrafu (2) simetrično na 0y os.
4) Kao konačni graf odaberite uniju krivulja dobivenih u stavcima (2) i (3).
Primjer 2. Nacrtajte graf funkcije y = x 2 – 4 · |x| + 3
Kako je x 2 = |x| 2, onda se izvorna funkcija može prepisati na sljedeći način: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Sada možemo primijeniti gore predloženi algoritam.
1) Pažljivo i pažljivo gradimo graf funkcije y \u003d x 2 - 4 x + 3 (vidi također riža. jedan).
2) Ostavljamo onaj dio grafa za koji je x ≥ 0, odnosno dio grafa koji se nalazi u desnoj poluravnini.
3) Prikaz desna strana grafika simetrična na os 0y.
(slika 3).
Primjer 3. Nacrtajte graf funkcije y = log 2 |x|
Primjenjujemo gore navedenu shemu.
1) Nacrtamo funkciju y = log 2 x (Sl. 4).
3. Crtanje funkcije y = |f(|x|)|
Primijetimo da funkcije oblika y = |f(|x|)| su također parni. Doista, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), pa su stoga njihovi grafovi simetrični oko osi 0y. Skup vrijednosti takvih funkcija: y ≥ 0. Dakle, grafovi takvih funkcija nalaze se potpuno u gornjoj poluravnini.
Da biste nacrtali funkciju y = |f(|x|)|, trebate:
1) Konstruirajte uredan graf funkcije y = f(|x|).
2) Ostavite nepromijenjen dio grafa koji je iznad ili na 0x osi.
3) Dio grafikona koji se nalazi ispod 0x osi trebao bi biti prikazan simetrično u odnosu na 0x os.
4) Kao konačni graf odaberite uniju krivulja dobivenih u stavcima (2) i (3).
Primjer 4. Nacrtajte graf funkcije y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Primijetimo da je x 2 = |x| 2. Dakle, umjesto izvorne funkcije y = -x 2 + 2|x| - jedan
možete koristiti funkciju y = -|x| 2 + 2|x| – 1, jer su im grafovi isti.
Gradimo graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Za ovo koristimo algoritam 2.
a) Crtamo funkciju y \u003d -x 2 + 2x - 1 (Sl. 6).
b) Ostavljamo onaj dio grafa, koji se nalazi u desnoj poluravnini.
c) Rezultirajući dio grafa prikažite simetrično na os 0y.
d) Dobiveni graf prikazan je na slici isprekidanom linijom (Sl. 7).
2) Nema točaka iznad 0x osi, ostavljamo točke na 0x osi nepromijenjene.
3) Dio grafikona koji se nalazi ispod osi 0x prikazuje se simetrično u odnosu na 0x.
4) Dobiveni graf prikazan je na slici isprekidanom linijom (Sl. 8).
Primjer 5. Nacrtajte funkciju y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Prvo trebate nacrtati funkciju y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Da bismo to učinili, vraćamo se na algoritam 2.
a) Pažljivo iscrtajte funkciju y = (2x – 4) / (x + 3) (Sl. 9).
primijeti da dana funkcija je linearno-frakcijski i njegov graf je hiperbola. Da biste izgradili krivulju, prvo morate pronaći asimptote grafikona. Horizontalno - y \u003d 2/1 (omjer koeficijenata na x u brojniku i nazivniku razlomka), okomito - x \u003d -3.
2) Dio grafikona koji je iznad ili na osi 0x ostat će nepromijenjen.
3) Dio grafikona koji se nalazi ispod osi 0x bit će prikazan simetrično u odnosu na 0x.
4) Konačni grafikon je prikazan na slici (Sl. 11).
stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.
Lekcija na temu: "Graf i svojstva funkcije $y=x^3$. Primjeri crtanja"
Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.
Nastavna pomagala i simulatori u online trgovini "Integral" za 7. razred
Elektronički udžbenik za 7. razred "Algebra u 10 minuta"
Obrazovni kompleks 1C "Algebra, razredi 7-9"
Svojstva funkcije $y=x^3$
Opišimo svojstva ove funkcije:
1. x je nezavisna varijabla, y je zavisna varijabla.
2. Domena definicije: očito je da je za bilo koju vrijednost argumenta (x) moguće izračunati vrijednost funkcije (y). Prema tome, domena definiranja ove funkcije je cijeli brojevni pravac.
3. Raspon vrijednosti: y može biti bilo što. Prema tome, raspon je također cijeli brojevni pravac.
4. Ako je x= 0, tada je y= 0.
Graf funkcije $y=x^3$
1. Napravimo tablicu vrijednosti:
2. Za pozitivne vrijednosti x, graf funkcije $y=x^3$ vrlo je sličan paraboli, čije su grane više "pritisnute" na os OY.
3. Budući da funkcija $y=x^3$ ima suprotne vrijednosti za negativne vrijednosti x, graf funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.
Sada označimo točke na koordinatna ravnina i izgraditi grafikon (vidi sliku 1).
Ova krivulja se naziva kubna parabola.
Primjeri
I. Potpuno dovršen na malom brodu svježa voda. Potrebno je dovesti dovoljno vode iz grada. Voda se naručuje unaprijed i plaća za punu kocku, čak i ako je natočite malo manje. Koliko kocki treba naručiti kako ne biste preplatili dodatnu kocku i potpuno napunili spremnik? Poznato je da spremnik ima istu duljinu, širinu i visinu, koji su jednaki 1,5 m. Riješimo ovaj problem bez izvođenja izračuna.
Riješenje:
1. Nacrtajmo funkciju $y=x^3$.
2. Nađi točku A, koordinatu x koja je jednaka 1,5. Vidimo da je koordinata funkcije između vrijednosti 3 i 4 (vidi sliku 2). Dakle, trebate naručiti 4 kocke.
U zlatno doba informacijske tehnologije Rijetki će ljudi kupiti milimetarski papir i provoditi sate crtajući funkciju ili proizvoljan skup podataka, a čemu takav posao kada možete iscrtati graf funkcije online. Osim toga, gotovo je nemoguće i teško izračunati milijune vrijednosti izraza za ispravan prikaz, a unatoč svim naporima, dobit ćete izlomljenu liniju, a ne krivulju. Jer računalo u ovom slučaju - neophodan pomoćnik.
Što je graf funkcije
Funkcija je pravilo prema kojem je svaki element jednog skupa pridružen nekom elementu drugog skupa, na primjer, izraz y = 2x + 1 uspostavlja vezu između skupova svih x vrijednosti i svih y vrijednosti, dakle , ovo je funkcija. Prema tome, graf funkcije nazvat ćemo skup točaka čije koordinate zadovoljavaju zadani izraz.
Na slici vidimo graf funkcije y=x. Ovo je ravna linija i svaka njena točka ima svoje koordinate na osi x i na osi Y. Na temelju definicije, ako zamijenimo koordinatu x neku točku u ovu jednadžbu, tada dobivamo koordinatu te točke na osi Y.
Usluge za crtanje grafikona funkcija na mreži
Razmotrite nekoliko popularnih i najboljih usluga koje vam omogućuju brzo crtanje grafikona funkcije.
Otvara popis najčešćih usluga koje vam omogućuju iscrtavanje grafa funkcije pomoću mrežne jednadžbe. Umath sadrži samo potrebne alate, kao što su zumiranje, pomicanje po koordinatnoj ravnini i pregled koordinate točke na koju je pokazan miš.
Uputa:
- Unesite svoju jednadžbu u okvir iza znaka "=".
- Pritisnite gumb "Izradi grafikon".
Kao što vidite, sve je vrlo jednostavno i dostupno, sintaksa za pisanje složenih matematičkih funkcija: s modulom, trigonometrijskim, eksponencijalnim - dana je odmah ispod grafikona. Također, ako je potrebno, možete postaviti jednadžbu parametarskom metodom ili izgraditi grafikone u polarnom koordinatnom sustavu.
Yotx ima sve funkcije prethodne usluge, ali istodobno sadrži tako zanimljive inovacije kao što je stvaranje intervala prikaza funkcija, mogućnost izrade grafikona pomoću tabelarnih podataka, kao i prikaz tablice s cijelim rješenjima.
Uputa:
- Odaberite željeni način rasporeda.
- Unesite jednadžbu.
- Postavite interval.
- Pritisnite gumb "Izgraditi".
Za one koji su previše lijeni smišljati kako zapisati određene funkcije, ova pozicija predstavlja uslugu s mogućnošću odabira one koja vam je potrebna s popisa jednim klikom miša.
Uputa:
- Na popisu pronađite funkciju koju trebate.
- Kliknite na njega lijevom tipkom miša
- Po potrebi unesite koeficijente u polje "Funkcija:".
- Pritisnite gumb "Izgraditi".
Što se tiče vizualizacije, moguće je promijeniti boju grafikona, kao i sakriti ga ili potpuno izbrisati.
Desmos je daleko najsofisticiranija usluga za izradu jednadžbi na internetu. Pomicanjem kursora pritisnutom lijevom tipkom miša na grafu možete detaljno vidjeti sva rješenja jednadžbe s točnošću od 0,001. Ugrađena tipkovnica omogućuje vam brzo pisanje stupnjeva i razlomaka. Najvažniji plus je mogućnost pisanja jednadžbe u bilo kojem stanju, bez dovođenja do oblika: y = f(x).
Uputa:
- U lijevom stupcu desnom tipkom miša kliknite slobodnu liniju.
- U donjem lijevom kutu kliknite na ikonu tipkovnice.
- Na ploči koja se pojavi upišite željenu jednadžbu (da biste napisali nazive funkcija, idite na odjeljak "A B C").
- Graf se gradi u stvarnom vremenu.
Vizualizacija je jednostavno savršena, prilagodljiva, jasno je da su dizajneri radili na aplikaciji. Od pluseva, može se primijetiti ogromno obilje mogućnosti, za čiji razvoj možete vidjeti primjere u izborniku u gornjem lijevom kutu.
Postoji mnogo stranica za iscrtavanje funkcija, ali svatko može izabrati za sebe na temelju željene funkcionalnosti i osobnih preferencija. Popis najboljih sastavljen je kako bi zadovoljio zahtjeve svakog matematičara, mladog i starog. Sretno vam u razumijevanju "kraljice znanosti"!
