Online kalkulator.
Rješenje trokuta.

Rješenje trokuta je pronalaženje svih njegovih šest elemenata (to jest, tri stranice i tri kuta) pomoću bilo koja tri dana elementa koji definiraju trokut.

Ovaj matematički program pronalazi stranicu $c $, kutove $\alpha $ i $\beta $ zadane od strane korisnika $a, b $ i kut između njih $\gamma $

Program ne samo da daje odgovor na problem, već također prikazuje proces pronalaženja rješenja.

Ovaj online kalkulator može biti koristan srednjoškolcima općeobrazovne škole u pripremi za kontrolni rad i ispite, prilikom provjere znanja prije ispita, roditeljima za kontrolu rješavanja mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti učitelja ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite to obaviti što je prije moguće? domaća zadaća matematika ili algebra? U tom slučaju također možete koristiti naše programe s detaljnim rješenjem.

Na taj način možete sami provoditi obuku i/ili obuku svoje mlađe braće ili sestara, a pritom se povećava razina obrazovanja u području zadataka koje treba rješavati.

Ukoliko niste upoznati s pravilima unosa brojeva, preporučamo da se s njima upoznate.

Pravila za unos brojeva

Brojevi se mogu postaviti ne samo cijeli, već i frakcijski.
Cijeli i razlomački dio u decimalnim razlomcima mogu biti odvojeni točkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimale dakle 2.5 ili tako 2.5

Unesite stranice $a, b $ i kut između njih $\gamma $ Riješite trokut

Utvrđeno je da se neke skripte potrebne za rješavanje ovog zadatka nisu učitale i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

U pregledniku vam je onemogućen JavaScript.
JavaScript mora biti omogućen da bi se rješenje pojavilo.
Ovdje su upute o tome kako omogućiti JavaScript u svom pregledniku.

Jer Puno je ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi, rješenje će se pojaviti ispod.
Molim pričekajte sekund...

Ako ti uočio grešku u rješenju, tada možete pisati o tome u obrascu za povratne informacije.
Ne zaboravi navesti koji zadatak ti odluči što unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Sinusni teorem

Teorema

Stranice trokuta proporcionalne su sinusima suprotnih kutova:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Kosinusni teorem

Teorema
Neka je u trokutu ABC AB = c, BC = a, CA = b. Zatim
Kvadratna stranica trokuta jednak je zbroju kvadrati druge dvije strane minus dvostruki umnožak tih stranica pomnožen s kosinusom kuta između njih.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Rješavanje trokuta

Rješenje trokuta je pronalaženje svih njegovih šest elemenata (tj. tri stranice i tri kuta) pomoću bilo koja tri dana elementa koji definiraju trokut.

Razmotrite tri problema za rješavanje trokuta. U ovom ćemo slučaju za stranice trokuta ABC koristiti sljedeće oznake: AB = c, BC = a, CA = b.

Rješenje trokuta s dvije stranice i kutom između njih

Dano je: $a, b, \kut C $. Pronađite $c, \kut A, \kut B $

Riješenje
1. Po zakonu kosinusa nalazimo $c$:

$$ c = \sqrt( a^2+b^2-2ab \cos C ) $$ 2. Koristeći teorem o kosinusu, imamo:
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$

3. $\kut B = 180^\krug -\kut A -\kut C $

Rješenje trokuta sa stranicom i pridruženim kutovima

Zadano: $a, \kut B, \kut C $. Pronađite $\kut A, b, c $

Riješenje
1. $\kut A = 180^\krug -\kut B -\kut C $

2. Koristeći sinusni teorem, izračunavamo b i c:
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Rješavanje trokuta s tri strane

Zadano: $a, b, c$. Pronađite $\kut A, \kut B, \kut C $

Riješenje
1. Prema teoremu kosinusa dobivamo:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

Pomoću $\cos A $ nalazimo $\kut A $ pomoću mikrokalkulatora ili iz tablice.

2. Slično nalazimo kut B.
3. $\kut C = 180^\krug -\kut A -\kut B $

Rješavanje trokuta s dvije stranice i kutom nasuprot poznate stranice

Dano je: $a, b, \kut A$. Pronađite $c, \kut B, \kut C $

Riješenje
1. Po sinusnom teoremu nalazimo $\sin B $ dobivamo:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Uvedimo oznaku: $D = \frac(b)(a) \cdot \sin A $. Ovisno o broju D mogući su sljedeći slučajevi:
Ako je D > 1, takav trokut ne postoji, jer $\sin B $ ne može biti veći od 1
Ako je D = 1, postoji jedinstveni $\kut B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \kut B = 90^\circ $
Ako D Ako je D 2. $\kut C = 180^\krug -\kut A -\kut B $

3. Pomoću sinusnog teorema izračunavamo stranu c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Knjige (udžbenici) Sažeci Jedinstvenog državnog ispita i OGE testova online Igre, zagonetke Grafikovanje funkcija Pravopisni rječnik ruskog jezika Rječnik žargona mladih Katalog ruskih škola Katalog srednjih škola u Rusiji Katalog ruskih sveučilišta Popis zadataka

Pravokutni trokut nalazi se u stvarnosti na gotovo svakom uglu. Poznavanje svojstava ove figure, kao i sposobnost izračunavanja njezine površine, nesumnjivo će vam biti od koristi ne samo za rješavanje problema u geometriji, već iu životnim situacijama.

geometrija trokuta

U elementarnoj geometriji, pravokutni trokut je lik koji se sastoji od tri spojena segmenta koji tvore tri kuta (dva šiljasta i jedan ravni). Pravokutni trokut je izvorna figura, karakterizirana nizom važnih svojstava koja čine temelj trigonometrije. Za razliku od običnog trokuta, stranice pravokutne figure imaju svoja imena:

Hipotenuza je najduža stranica trokuta koja je nasuprotna pravi kut.
Noge - segmenti koji tvore pravi kut. Ovisno o kutu koji se razmatra, kateta može biti uz njega (tvoreći ovaj kut s hipotenuzom) ili nasuprot (ležeći nasuprot kutu). Ne postoje noge za trokute koji nisu pravokutni.

Osnovu trigonometrije čini omjer kateta i hipotenuze: sinusi, tangenti i sekanti definirani su kao omjer stranica pravokutni trokut.

Pravokutni trokut u stvarnosti

Ova brojka se često koristi u stvarnosti. Trokuti se koriste u dizajnu i tehnologiji, tako da izračunavanje površine figure moraju napraviti inženjeri, arhitekti i dizajneri. Osnove tetraedra ili prizmi imaju oblik trokuta - trodimenzionalne figure koje je lako susresti u svakodnevnom životu. Osim toga, kvadrat je najjednostavniji prikaz "ravnog" pravokutnog trokuta u stvarnosti. Kvadrat je bravarski, crtački, konstruktorski i stolarski alat kojim zidaju kutove i školarci i inženjeri.

Površina trokuta

Kvadrat geometrijski lik- ovo je kvantifikacija koliki je dio ravnine omeđen stranicama trokuta. Područje običnog trokuta može se pronaći na pet načina, koristeći Heronovu formulu ili radeći u izračunima s takvim varijablama kao što su baza, strana, kut i polumjer upisane ili opisane kružnice. Najviše jednostavna formula površina se izražava kao:

gdje je a stranica trokuta, h njegova visina.

Formula za izračunavanje površine pravokutnog trokuta je još jednostavnija:

gdje su a i b noge.

Radeći s našim online kalkulatorom, možete izračunati površinu trokuta pomoću tri para parametara:

dvije noge;
krak i susjedni kut;
krak i suprotni kut.

U zadacima ili svakodnevnim situacijama dobit ćete različite kombinacije varijabli, tako da ovaj oblik kalkulatora omogućuje izračunavanje površine trokuta na nekoliko načina. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjeri iz stvarnog života

Keramička pločica

Recimo da zidove kuhinje želite obložiti keramičkim pločicama koje imaju oblik pravokutnog trokuta. Da biste odredili potrošnju pločica, morate saznati površinu pojedinog elementa obloge i ukupnu površinu površine koja se obrađuje. Neka trebate obraditi 7 četvornih metara. Duljina nogu jednog elementa je 19 cm svaka, tada će površina pločice biti jednaka:

To znači da je površina jednog elementa 24,5 četvornih centimetara ili 0,01805 četvornih metara. Znajući ove parametre, možete izračunati da će vam za završetak 7 četvornih metara zida trebati 7 / 0,01805 = 387 obloženih pločica.

školski zadatak

Pustiti unutra školski zadatak u geometriji je potrebno pronaći područje pravokutnog trokuta, znajući samo da je stranica jedne noge 5 cm, a vrijednost suprotnog kuta 30 stupnjeva. Naš online kalkulator prati ilustracija koja prikazuje stranice i kutove pravokutnog trokuta. Ako je stranica a = 5 cm, tada je njezin suprotni kut kut alfa, jednak 30 stupnjeva. Unesite ove podatke u obrazac kalkulatora i dobijte rezultat:

Dakle, kalkulator ne samo da izračunava površinu zadanog trokuta, već također određuje duljinu susjedne noge i hipotenuze, kao i vrijednost drugog kuta.

Zaključak

Pravokutni trokuti nalaze se u našim životima doslovno na svakom uglu. Određivanje područja takvih figura bit će vam korisno ne samo pri rješavanju školskih zadataka iz geometrije, već iu svakodnevnim i profesionalnim aktivnostima.

Trokut se naziva pravokutnim ako mu je jedan od kutova 90º. Stranica nasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza, a druge dvije katete.

Za pronalaženje kuta u pravokutnom trokutu koriste se neka svojstva pravokutnog trokuta, a to su: činjenica da je zbroj oštrih kutova 90º, kao i činjenica da nasuprot katete čija je duljina polovica hipotenuze leži kut jednak 30º.

Brza navigacija članaka

Jednakokračan trokut

Jedno od svojstava jednakokračnog trokuta je da su mu dva kuta jednaka. Da biste izračunali vrijednosti kutova pravokutnog jednakokračnog trokuta, morate znati da:

Pravi kut je 90º.
Vrijednosti oštrih kutova određuju se formulom: (180º-90º)/2=45º, tj. kutovi α i β su 45º.

Ako je poznata vrijednost jednog od oštrih kutova, drugi se može pronaći po formuli: β=180º-90º-α, odnosno α=180º-90º-β. Najčešće se ovaj omjer koristi ako je jedan od kutova 60º ili 30º.

Ključni koncepti

Zbroj unutarnjih kutova trokuta je 180º. Budući da je jedan kut pravi, druga dva će biti oštra. Da biste ih pronašli, morate znati sljedeće:

druge metode

Vrijednosti oštrih kutova pravokutnog trokuta mogu se izračunati znajući vrijednost medijana - crte povučene od vrha do suprotne strane trokuta, i visine - ravne crte, koja je okomica koja je ispuštena od pravog kuta do hipotenuze. Neka je s medijan povučen iz pravog kuta na središte hipotenuze, h je visina. U ovom slučaju ispada da:

sinα=b/(2*s); sinβ=a/(2*s).
cosα=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
sinα=h/b; sinβ=h/a.

Dvije strane

Ako su u pravokutnom trokutu poznate duljine hipotenuze i jedne od kateta, odnosno dviju stranica, za pronalaženje vrijednosti oštrih kutova koriste se trigonometrijski identiteti:

α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
α=lukg(a/b), β=lukg(b/a).

Prvi su segmenti koji su uz pravi kut, a hipotenuza je najduži dio figure i nalazi se nasuprot kutu od 90 stupnjeva. Pitagorin trokut je onaj čije su stranice jednake prirodni brojevi; njihove se duljine u ovom slučaju nazivaju "Pitagorina trojka".

egipatski trokut

Kako bi sadašnja generacija naučila geometriju u obliku u kojem se sada uči u školi, ona se razvijala nekoliko stoljeća. Temeljna točka je Pitagorin teorem. Stranice pravokutnika poznate su cijelom svijetu) su 3, 4, 5.

Malo ljudi nije upoznato s izrazom " Pitagorine hlače jednaka u svim smjerovima." Međutim, u stvari, teorem zvuči ovako: c 2 (kvadrat hipotenuze) \u003d a 2 + b 2 (zbroj kvadrata nogu).

Među matematičarima se trokut sa stranicama 3, 4, 5 (cm, m itd.) naziva "egipatskim". Zanimljivo je da je ono što je upisano u sliku jednako jedan. Ime je nastalo oko 5. stoljeća prije Krista, kada su grčki filozofi putovali u Egipat.

Pri gradnji piramida arhitekti i geodeti koristili su omjer 3:4:5. Pokazalo se da su takve strukture proporcionalne, ugodne za gledanje i prostrane, a također su se rijetko srušile.

Da bi izgradili pravi kut, graditelji su koristili uže na kojem je bilo vezano 12 čvorova. U ovom slučaju, vjerojatnost konstruiranja pravokutnog trokuta povećala se na 95%.

Znakovi jednakosti figura

Oštri kut u pravokutnom trokutu i velika stranica, koji su jednaki istim elementima u drugom trokutu, neosporan su znak jednakosti figura. Uzimajući u obzir zbroj kutova, lako je dokazati da su i drugi šiljasti kutovi jednaki. Dakle, trokuti su identični u drugom kriteriju.
Kada se dva lika postave jedan na drugi, zakrenemo ih na takav način da, kada se spoje, postanu jedan jednakokračni trokut. Po svom svojstvu stranice, odnosno hipotenuze su jednake, kao i kutovi na bazi, što znači da su ti likovi jednaki.

Po prvom znaku vrlo je lako dokazati da su trokuti doista jednaki, glavno je da su dvije manje stranice (tj. krakovi) međusobno jednake.

Trokuti će biti isti prema znaku II, čija je suština jednakost noge i oštrog kuta.

Svojstva pravokutnog trokuta

Visina, koja je spuštena pod pravim kutom, dijeli lik na dva jednaka dijela.

Stranice pravokutnog trokuta i njegov medijan lako je prepoznati po pravilu: medijan, koji je spušten na hipotenuzu, jednak je njegovoj polovici. može se pronaći i Heronovom formulom i tvrdnjom da je jednaka polovici umnoška krakova.

U pravokutnom trokutu vrijede svojstva kutova od 30 o, 45 o i 60 o.

Pod kutom od 30 °, treba imati na umu da će suprotna noga biti jednaka 1/2 najveće strane.
Ako je kut 45 o, onda drugi oštar kut također 45 o. To sugerira da je trokut jednakokračan, a noge su mu iste.
Svojstvo kuta od 60 stupnjeva je da treći kut ima mjeru 30 stupnjeva.

Područje je lako pronaći pomoću jedne od tri formule:

kroz visinu i stranu na koju se spušta;
prema Heronovoj formuli;
duž stranica i kuta između njih.

Stranice pravokutnog trokuta, odnosno noge, konvergiraju s dvije visine. Da bismo pronašli treći, potrebno je uzeti u obzir dobiveni trokut, a zatim pomoću Pitagorinog teorema izračunati potrebnu duljinu. Uz ovu formulu postoji i omjer dvostruke površine i duljine hipotenuze. Najčešći izraz među studentima je prvi, jer zahtijeva manje izračuna.

Teoremi koji vrijede za pravokutni trokut

Geometrija pravokutnog trokuta uključuje korištenje teorema kao što su:

U matematici, kada se razmatra trokut, mnogo se pažnje nužno posvećuje njegovim stranama. Budući da ovi elementi tvore ovu geometrijsku figuru. Stranice trokuta koriste se za rješavanje mnogih geometrijskih problema.

Definicija pojma

Isječci koji spajaju tri točke koje ne leže na istoj pravoj crti nazivaju se stranicama trokuta. Elementi koji se razmatraju ograničavaju dio ravnine, koji se naziva unutrašnjost dane geometrijske figure.

Matematičari u svojim proračunima dopuštaju generalizacije u pogledu stranica geometrijskih figura. Dakle, u degeneriranom trokutu tri njegova segmenta leže na jednoj ravnoj liniji.

Karakteristike koncepta

Izračun stranica trokuta uključuje određivanje svih ostalih parametara figure. Znajući duljinu svakog od ovih segmenata, lako možete izračunati opseg, površinu, pa čak i kutove trokuta.

Riža. 1. Proizvoljni trokut.

Zbrajanjem strana ove figure možete odrediti opseg.

P=a+b+c, gdje su a, b, c stranice trokuta

A da biste pronašli područje trokuta, trebali biste upotrijebiti Heronovu formulu.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Gdje je p poluperimetar.

Kutovi zadane geometrijske figure izračunavaju se pomoću kosinusnog teorema.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\preko (2bc))$$

Značenje

Omjerom stranica trokuta izražavaju se neka svojstva ovog geometrijskog lika:

Nasuprot najmanje stranice trokuta nalazi se njegov najmanji kut.
Vanjski kut razmatranog geometrijskog lika dobiva se produženjem jedne od stranica.
Nasuprot jednakim kutovima trokuta su jednake stranice.
U svakom trokutu, jedna od stranica je uvijek veća od razlike druga dva segmenta. A zbroj bilo koje dvije strane ove brojke veći je od treće.

Jedan od znakova jednakosti dvaju trokuta je omjer zbroja svih stranica geometrijskog lika. Ako su ove vrijednosti iste, tada će trokuti biti jednaki.

Neka svojstva trokuta ovise o njegovoj vrsti. Stoga biste prvo trebali razmotriti veličinu strana ili kutova ove figure.

Formiranje trokuta

Ako su dvije strane razmatrane geometrijske figure iste, tada se ovaj trokut naziva jednakokračan.

Riža. 2. Jednakokračni trokut.

Kada su svi segmenti u trokutu jednaki, dobit ćete jednakostranični trokut.

Riža. 3. Jednakostranični trokut.

Svaki izračun je prikladniji za izvođenje u slučajevima kada se proizvoljni trokut može pripisati određenoj vrsti. Od tada će pronalaženje traženog parametra ove geometrijske figure biti znatno pojednostavljeno.

Iako ispravno odabrana trigonometrijska jednadžba omogućuje vam rješavanje mnogih problema u kojima se razmatra proizvoljni trokut.

Što smo naučili?

Tri odsječka koja su spojena točkama i ne pripadaju istoj pravoj crti čine trokut. Te stranice tvore geometrijsku ravninu, koja se koristi za određivanje površine. Uz pomoć ovih segmenata možete pronaći mnoge važne karakteristike figure, kao što su opseg i kutovi. Omjer širine i visine trokuta pomaže u pronalaženju njegove vrste. Neka svojstva danog geometrijskog lika mogu se koristiti samo ako su poznate dimenzije svake njegove stranice.

Tematski kviz

Ocjena članka

Prosječna ocjena: 4.3. Ukupno primljenih ocjena: 142.

Online kalkulator. Rješenje trokuta.