В едно можете да сте сигурни на сто процента, че когато го попитат колко е квадратът на хипотенузата, всеки възрастен смело ще отговори: „Сборът от квадратите на катетите“. Тази теория е здраво насадена в съзнанието на всички. образован човек, но е достатъчно просто да помолите някой да го докаже и тогава може да възникнат трудности. Затова нека си спомним и разгледаме различни начини за доказване на Питагоровата теорема.

Кратък преглед на биографията

Теоремата на Питагор е позната на почти всички, но по някаква причина биографията на човека, който я е създал, не е толкова популярна. Ще го оправим. Ето защо, преди да изучавате различните начини за доказване на Питагоровата теорема, трябва накратко да се запознаете с неговата личност.

Питагор - философ, математик, мислител от днес е много трудно да се разграничи биографията му от легендите, развили се в памет на този велик човек. Но както следва от писанията на неговите последователи, Питагор от Самос е роден на остров Самос. Баща му бил обикновен каменодел, но майка му произхождала от знатно семейство.

Според легендата раждането на Питагор е предсказано от жена на име Пития, в чиято чест е кръстено момчето. Според нейното предсказание роденото момче трябвало да донесе много ползи и добро на човечеството. Което всъщност и направи.

Раждането на една теорема

В младостта си Питагор се премества в Египет, за да се срещне с известните египетски мъдреци там. След среща с тях той е приет да учи, където научава всички велики постижения на египетската философия, математика и медицина.

Вероятно именно в Египет Питагор е бил вдъхновен от величието и красотата на пирамидите и е създал свои собствени страхотна теория. Това може да шокира читателите, но съвременните историци смятат, че Питагор не е доказал своята теория. Но той само предава знанията си на своите последователи, които по-късно извършват всички необходими математически изчисления.

Както и да е, днес не е известна една техника за доказване на тази теорема, а няколко наведнъж. Днес можем само да гадаем как точно са правили своите изчисления древните гърци, затова тук ще разгледаме различни начини за доказване на Питагоровата теорема.

Питагорова теорема

Преди да започнете изчисления, трябва да разберете коя теория да докажете. Питагоровата теорема звучи така: "В триъгълник, в който един от ъглите е 90 o, сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата."

Има общо 15 различни начина за доказване на Питагоровата теорема. Това е доста голям брой, така че нека обърнем внимание на най-популярните от тях.

Метод първи

Нека първо да определим какво имаме. Тези данни ще се отнасят и за други начини за доказване на Питагоровата теорема, така че трябва незабавно да запомните всички налични нотации.

Да предположим, че е даден правоъгълен триъгълник с катети a, b и хипотенуза, равна на c. Първият начин за доказване се основава на факта, че правоъгълен триъгълниктрябва да нарисувате квадрат.

За да направите това, трябва да начертаете отсечка, равна на крака, към дължината на крака a и обратно. Така че трябва да се окажат две равни страни на квадрата. Остава само да начертаете две успоредни линии и квадратът е готов.

Вътре в получената фигура трябва да нарисувате друг квадрат със страна, равна на хипотенузата на оригиналния триъгълник. За да направите това, от върховете ac и s, трябва да начертаете два успореден сегментравен с. Така получаваме три страни на квадрата, едната от които е хипотенузата на оригиналния правоъгълен триъгълник. Остава само да начертаете четвъртия сегмент.

Въз основа на получената фигура можем да заключим, че площта на външния квадрат е (a + b) 2. Ако погледнете вътре във фигурата, можете да видите, че освен вътрешния квадрат, тя има четири правоъгълни триъгълника. Площта на всеки е 0,5 av.

Следователно площта е: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2

Следователно (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

И следователно с 2 \u003d 2 + в 2

Теоремата е доказана.

Втори метод: подобни триъгълници

Тази формула за доказателство на Питагоровата теорема е получена въз основа на твърдение от раздела на геометрията за подобни триъгълници. Той казва, че катетът на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална на неговата хипотенуза и сегмента на хипотенузата, излизащ от върха на ъгъл от 90o.

Първоначалните данни остават същите, така че нека започнем веднага с доказателството. Нека начертаем отсечка CD, перпендикулярна на страната AB. Въз основа на горното твърдение катетите на триъгълниците са равни:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

За да се отговори на въпроса как да се докаже Питагоровата теорема, доказателството трябва да се постави чрез повдигане на квадрат на двете неравенства.

AC 2 \u003d AB * HELL и SV 2 \u003d AB * DV

Сега трябва да съберем получените неравенства.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), където AD + DV \u003d AB

Оказва се, че:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

И следователно:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Доказателството на Питагоровата теорема и различните начини за нейното решаване изискват многостранен подход към този проблем. Тази опция обаче е една от най-простите.

Друг метод за изчисление

Описанието на различни начини за доказване на Питагоровата теорема може да не каже нищо, докато не започнете да практикувате сами. Много методи включват не само математически изчисления, но и изграждането на нови фигури от оригиналния триъгълник.

AT този случайнеобходимо е да завършите още един правоъгълен триъгълник VSD от крака на самолета. Така сега има два триъгълника с общ катет BC.

Знаейки, че площите на подобни фигури имат съотношение като квадратите на техните подобни линейни размери, тогава:

S avs * s 2 - S avd * in 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (от 2 до 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

от 2 до 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + в 2

Тъй като тази опция едва ли е подходяща от различни методи за доказване на Питагоровата теорема за 8 клас, можете да използвате следната техника.

Най-лесният начин да докажете Питагоровата теорема. Отзиви

Историците смятат, че този метод е използван за първи път за доказване на теорема в древна Гърция. Това е най-простият, тъй като не изисква абсолютно никакви изчисления. Ако нарисувате правилно картина, тогава доказателството за твърдението, че a 2 + b 2 \u003d c 2 ще бъде ясно видимо.

Условия за този методще бъде малко по-различен от предишния. За да докажем теоремата, да предположим, че правоъгълният триъгълник ABC е равнобедрен.

Вземаме хипотенузата AC за страна на квадрата и начертаваме трите му страни. Освен това е необходимо да нарисувате две диагонални линии в получения квадрат. Така че вътре в него получавате четири равнобедрени триъгълника.

Към краката AB и CB също трябва да начертаете квадрат и да начертаете по една диагонална линия във всеки от тях. Начертаваме първата линия от върха A, втората - от C.

Сега трябва внимателно да разгледате получената снимка. Тъй като на хипотенузата AC има четири триъгълника, равни на първоначалния, и два на краката, това показва верността на тази теорема.

Между другото, благодарение на този метод за доказване на Питагоровата теорема се роди известната фраза: „Питагоровите панталони са равни във всички посоки“.

Доказателство от J. Garfield

Джеймс Гарфийлд е 20-ият президент на Съединените американски щати. Освен че остави своя отпечатък в историята като владетел на Съединените щати, той беше и надарен самоук.

В началото на кариерата си той е обикновен учител в народно училище, но скоро става директор на едно от висшите образователни институции. Желанието за саморазвитие и му позволи да предложи нова теориядоказателство на Питагоровата теорема. Теоремата и пример за нейното решение са както следва.

Първо трябва да начертаете два правоъгълни триъгълника върху лист хартия, така че кракът на единия да е продължение на втория. Върховете на тези триъгълници трябва да бъдат свързани, за да се получи трапец.

Както знаете, площта на трапеца е равна на произведението на половината от сбора на неговите основи и височината.

S=a+b/2 * (a+b)

Ако разгледаме получения трапец като фигура, състояща се от три триъгълника, тогава неговата площ може да се намери, както следва:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Сега трябва да изравним двата оригинални израза

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + в 2

За Питагоровата теорема и как да я докажем може да се напише повече от един том учебно ръководство. Но има ли смисъл, когато това знание не може да се приложи на практика?

Практическо приложение на Питагоровата теорема

За съжаление в съвременното училищни програмиТази теорема е предназначена да се използва само в геометрични задачи. Завършилите скоро ще напуснат стените на училището, без да знаят как могат да приложат знанията и уменията си на практика.

Всъщност всеки може да използва Питагоровата теорема в ежедневието си. И не само в професионална дейностно и в нормалните домакински задължения. Нека разгледаме няколко случая, когато теоремата на Питагор и методите за нейното доказателство могат да бъдат изключително необходими.

Връзка на теоремата и астрономията

Изглежда как звездите и триъгълниците могат да бъдат свързани на хартия. Всъщност астрономията е научна област, в която Питагоровата теорема се използва широко.

Например, разгледайте движението на светлинен лъч в пространството. Знаем, че светлината се движи в двете посоки с еднаква скорост. Наричаме траекторията AB, по която се движи светлинният лъч л. И половината от времето, необходимо на светлината да стигне от точка А до точка Б, нека наречем T. И скоростта на лъча - ° С. Оказва се, че: c*t=l

Ако погледнете този лъч от друга равнина, например от космически лайнер, който се движи със скорост v, тогава при такова наблюдение на телата тяхната скорост ще се промени. В този случай дори неподвижните елементи ще се движат със скорост v в обратна посока.

Да кажем, че комичният лайнер плава надясно. Тогава точките A и B, между които се втурва лъчът, ще се преместят наляво. Освен това, когато лъчът се премести от точка А до точка Б, точка А има време да се премести и съответно светлината вече ще достигне до нова точка С. За да намерите половината от разстоянието, което точка А е изместила, трябва да умножите скорост на лайнера с половината от времето за пътуване на лъча (t ").

И за да намерите колко далеч може да измине един светлинен лъч през това време, трябва да посочите половината от пътя на новите букове и да получите следния израз:

Ако си представим, че светлинните точки C и B, както и пространствената обвивка, са върховете на равнобедрен триъгълник, тогава сегментът от точка А до обвивката ще го раздели на два правоъгълни триъгълника. Следователно, благодарение на Питагоровата теорема, можете да намерите разстоянието, което може да измине един светлинен лъч.

Този пример, разбира се, не е най-успешният, тъй като само малцина могат да имат късмета да го изпробват на практика. Затова разглеждаме по-обикновени приложения на тази теорема.

Обхват на предаване на мобилен сигнал

Съвременният живот вече не може да се представи без съществуването на смартфони. Но колко биха били полезни, ако не можеха да свързват абонати чрез мобилни комуникации?!

Качеството на мобилните комуникации зависи пряко от височината, на която се намира антената на мобилния оператор. За да изчислите колко далеч от мобилна кула може да приеме сигнал телефон, можете да приложите Питагоровата теорема.

Да кажем, че трябва да намерите приблизителната височина на неподвижна кула, така че да може да разпространи сигнал в радиус от 200 километра.

AB (височина на кулата) = x;

BC (радиус на предаване на сигнала) = 200 km;

OS (радиус Глобусът) = 6380 км;

OB=OA+ABOB=r+x

Прилагайки теоремата на Питагор, откриваме, че минималната височина на кулата трябва да бъде 2,3 километра.

Питагоровата теорема в ежедневието

Колкото и да е странно, Питагоровата теорема може да бъде полезна дори в ежедневни въпроси, като определяне на височината на килера, например. На пръв поглед няма нужда да използвате такива сложни изчисления, защото можете просто да направите измервания с рулетка. Но мнозина са изненадани защо възникват определени проблеми по време на процеса на сглобяване, ако всички измервания са направени повече от точно.

Факт е, че гардеробът се сглобява в хоризонтално положение и едва след това се издига и се монтира към стената. Следователно, страничната стена на шкафа в процеса на повдигане на конструкцията трябва свободно да преминава както по височината, така и по диагонала на помещението.

Да предположим, че има гардероб с дълбочина 800 мм. Разстояние от пода до тавана - 2600 мм. Опитен производител на мебели ще каже, че височината на шкафа трябва да бъде 126 мм по-малка от височината на стаята. Но защо точно 126 мм? Нека разгледаме един пример.

С идеални размери на шкафа, нека проверим действието на Питагоровата теорема:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - всичко се събира.

Да кажем, че височината на шкафа не е 2474 мм, а 2505 мм. Тогава:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Поради това този шкаф не е подходящ за монтаж в тази стая. Тъй като при повдигането му във вертикално положение може да се причини повреда на тялото му.

Може би, след като разгледахме различни начини за доказване на Питагоровата теорема от различни учени, можем да заключим, че тя е повече от вярна. Сега можете да използвате получената информация в ежедневието си и да сте напълно сигурни, че всички изчисления ще бъдат не само полезни, но и правилни.

» Почетен професор по математика в Университета на Уоруик, известен популяризатор на науката Иън Стюарт, посветен на ролята на числата в историята на човечеството и значението на тяхното изучаване в наше време.

Питагорова хипотенуза

Питагоровите триъгълници имат прав ъгъл и цели страни. В най-простия от тях най-дългата страна е с дължина 5, останалите са 3 и 4. Има 5 правилни полиедри. Уравнение от пета степен не може да бъде решено с корени от пета степен - или други корени. Решетките в равнината и в триизмерното пространство нямат ротационна симетрия с пет листа, следователно такива симетрии липсват и в кристалите. Те обаче могат да бъдат при решетките четириизмерно пространствои в любопитни структури, известни като квазикристали.

Хипотенуза на най-малката питагорова тройка

Теоремата на Питагор гласи, че най-дългата страна на правоъгълен триъгълник (пословичната хипотенуза) е свързана с другите две страни на този триъгълник по много прост и красив начин: квадратът на хипотенузата е равно на суматаквадрати на другите две страни.

Традиционно наричаме тази теорема на името на Питагор, но всъщност нейната история е доста неясна. Глинени плочки предполагат, че древните вавилонци са знаели Питагоровата теорема много преди самия Питагор; славата на откривателя му е донесена от математическия култ на питагорейците, чиито поддръжници вярват, че Вселената се основава на числови модели. Древните автори приписват на питагорейците - и следователно на Питагор - различни математически теореми, но всъщност ние нямаме представа с каква математика се е занимавал самият Питагор. Дори не знаем дали питагорейците са успели да докажат Питагоровата теорема или просто са вярвали, че е вярна. Или по-вероятно те са разполагали с убедителни данни за неговата истинност, които обаче не биха били достатъчни за това, което днес смятаме за доказателство.

Доказателство за Питагор

Първото известно доказателство на Питагоровата теорема се намира в Елементи на Евклид. Това е доста сложно доказателство с помощта на рисунка, която викторианските ученици веднага биха разпознали като „Питагорови панталони“; рисунката наистина наподобява съхнещи на въже гащи. Известни са буквално стотици други доказателства, повечето от които правят твърдението по-очевидно.

// Ориз. 33. Питагорови панталони

Едно от най-простите доказателства е вид математически пъзел. Вземете произволен правоъгълен триъгълник, направете му четири копия и ги съберете вътре в квадрата. С едно полагане виждаме квадрат върху хипотенузата; с другата - квадрати от другите две страни на триъгълника. Ясно е, че площите и в двата случая са равни.

// Ориз. 34. Ляво: квадрат върху хипотенузата (плюс четири триъгълника). Вдясно: сумата от квадратите на другите две страни (плюс същите четири триъгълника). Сега елиминирайте триъгълниците

Дисекцията на Перигал е друго загадъчно доказателство.

// Ориз. 35. Дисекция на Перигал

Има и доказателство на теоремата с помощта на наслагване на квадрати върху равнината. Може би това е начинът, по който питагорейците или техните неизвестни предшественици са открили тази теорема. Ако погледнете как наклоненият квадрат се припокрива с другите два квадрата, можете да видите как да нарежете големия квадрат на парчета и след това да ги съберете в два по-малки квадрата. Можете също така да видите правоъгълни триъгълници, чиито страни дават размерите на трите включени квадрата.

// Ориз. 36. Доказателство чрез настилка

Има интересни доказателства, използващи подобни триъгълници в тригонометрията. Известни са поне петдесет различни доказателства.

Питагорови тройки

В теорията на числата Питагоровата теорема стана източник на плодотворна идея: да се намерят решения на алгебрични уравнения с цели числа. Питагоровата тройка е набор от цели числа a, b и c, така че

Геометрично такава тройка определя правоъгълен триъгълник с цели страни.

Най-малката хипотенуза на питагорова тройка е 5.

Другите две страни на този триъгълник са 3 и 4. Ето

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Следващата най-голяма хипотенуза е 10, защото

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Това обаче по същество е същият триъгълник с удвоени страни. Следващата по големина и наистина различна хипотенуза е 13, за което

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Евклид знаеше, че има безкраен брой различни вариации на питагоровите тройки, и той даде това, което може да се нарече формула за намирането на всички тях. По-късно Диофант от Александрия предлага проста рецепта, в основата си същата като Евклидова.

Вземете произволни две естествени числа и изчислете:

двойното им произведение;

разлика на техните квадрати;

сумата от техните квадрати.

Трите получени числа ще бъдат страните на Питагоровия триъгълник.

Вземете например числата 2 и 1. Изчислете:

двойно произведение: 2 × 2 × 1 = 4;

разлика на квадратите: 22 - 12 = 3;

сбор от квадрати: 22 + 12 = 5,

и получихме известния триъгълник 3-4-5. Ако вместо това вземем числата 3 и 2, получаваме:

двойно произведение: 2 × 3 × 2 = 12;

разлика на квадратите: 32 - 22 = 5;

сбор от квадрати: 32 + 22 = 13,

и получаваме следващия известен триъгълник 5 - 12 - 13. Нека се опитаме да вземем числата 42 и 23 и да получим:

двойно произведение: 2 × 42 × 23 = 1932;

разлика на квадратите: 422 - 232 = 1235;

сбор от квадрати: 422 + 232 = 2293,

никой никога не е чувал за триъгълника 1235–1932–2293.

Но тези числа също работят:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Има още една особеност в правилото на Диофант, която вече беше загатната: след като сме получили три числа, можем да вземем друго произволно число и да ги умножим всички по него. По този начин триъгълник 3-4-5 може да се превърне в триъгълник 6-8-10, като се умножат всички страни по 2, или в триъгълник 15-20-25, като се умножи всичко по 5.

Ако преминем към езика на алгебрата, правилото приема следния вид: нека u, v и k са естествени числа. След това правоъгълен триъгълник със страни

2kuv и k (u2 - v2) има хипотенуза

Има и други начини за представяне на основната идея, но всички те се свеждат до описания по-горе. Този метод ви позволява да получите всички питагорови тройки.

Правилни полиедри

Има точно пет правилни полиедра. Правилният многостен (или многостен) е триизмерна фигура с краен брой плоски лица. Фасетите се събират помежду си по линии, наречени ръбове; ръбовете се срещат в точки, наречени върхове.

Кулминацията на Евклидовото „Начало“ е доказателството, че може да има само пет правилни многостени, тоест многостени, в които всяко лице е правилен многоъгълник (равни страни, равни ъгли), всички лица са идентични и всички върхове са заобиколени от равен брой еднакво разположени лица. Ето пет правилни полиедра:

тетраедър с четири триъгълни лица, четири върха и шест ръба;

куб, или хексаедър, с 6 квадратни лица, 8 върха и 12 ръба;

октаедър с 8 триъгълни лица, 6 върха и 12 ръба;

додекаедър с 12 петоъгълни лица, 20 върха и 30 ръба;

икосаедър с 20 триъгълни лица, 12 върха и 30 ръба.

// Ориз. 37. Пет правилни полиедъра

В природата могат да се срещнат и правилни полиедри. През 1904 г. Ернст Хекел публикува рисунки на малки организми, известни като радиоларии; много от тях са оформени като същите пет правилни полиедъра. Може би обаче той леко коригира природата и рисунките не отразяват напълно формата на конкретни живи същества. Първите три структури се наблюдават и в кристалите. В кристалите няма да намерите додекаедър и икосаедър, въпреки че понякога там се срещат неправилни додекаедри и икосаедри. Истинските додекаедри могат да се появят като квазикристали, които са като кристали по всякакъв начин, с изключение на това, че техните атоми не образуват периодична решетка.

// Ориз. 38. Рисунки на Хекел: радиоларии под формата на правилни полиедри

// Ориз. 39. Развития на правилни многостени

Може да бъде интересно да се правят модели на правилни многостени от хартия, като първо се изреже набор от взаимосвързани лица - това се нарича размах на полиедър; сканирането се сгъва по ръбовете и съответните ръбове се залепват заедно. Полезно е да добавите допълнителна зона за лепило към един от ръбовете на всяка такава двойка, както е показано на фиг. 39. Ако няма такава платформа, можете да използвате тиксо.

Уравнение от пета степен

Няма алгебрична формула за решаване на уравнения от 5-та степен.

AT общ изгледПетото уравнение изглежда така:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Проблемът е да се намери формула за решаване на такова уравнение (то може да има до пет решения). Опитът при работа с квадратни и кубични уравнения, както и с уравнения от четвърта степен, предполага, че такава формула трябва да съществува и за уравнения от пета степен и на теория корените от пета, трета и втора степен трябва да се появяват в него. Отново можем спокойно да предположим, че такава формула, ако съществува, ще се окаже много, много сложна.

Това предположение в крайна сметка се оказа погрешно. Всъщност такава формула не съществува; най-малкото няма формула, състояща се от коефициентите a, b, c, d, e и f, съставени чрез събиране, изваждане, умножение и деление и вземане на корен. Следователно има нещо много специално в числото 5. Причините за това необичайно поведение на петимата са много дълбоки и отне много време, за да ги разберем.

Първият признак за проблем беше, че колкото и да се опитваха математиците да намерят такава формула, колкото и умни да бяха, неизменно се проваляха. Известно време всички вярваха, че причините се крият в невероятната сложност на формулата. Смяташе се, че никой просто не може да разбере правилно тази алгебра. С течение на времето обаче някои математици започнаха да се съмняват, че такава формула изобщо съществува и през 1823 г. Нилс Хендрик Абел успя да докаже обратното. Няма такава формула. Малко след това Еварист Галоа намери начин да определи дали уравнение от една или друга степен - 5-та, 6-та, 7-ма, обикновено всяко - е разрешимо с помощта на този вид формула.

Изводът от всичко това е прост: числото 5 е специално. Можете да решавате алгебрични уравнения (използвайки корени на n-таградуси за различни стойности на n) за степени 1, 2, 3 и 4, но не и за 5-та степен. Тук очевидният модел свършва.

Никой не се учудва, че уравненията със степени, по-големи от 5, се държат още по-лошо; по-специално, те имат същата трудност: не общи формулиза тяхното решение. Това не означава, че уравненията нямат решения; това не означава също, че е невъзможно да се намерят много точни числени стойности на тези решения. Всичко е свързано с ограниченията на традиционните алгебрични инструменти. Това напомня на невъзможността да се раздели на три части ъгъл с линийка и пергел. Отговор има, но изброените методи не са достатъчни и не позволяват да определите какъв е той.

Кристалографско ограничение

Кристалите в две и три измерения нямат 5-лъчева ротационна симетрия.

Атомите в кристала образуват решетка, тоест структура, която се повтаря периодично в няколко независими посоки. Например шарката на тапета се повтаря по дължината на ролката; освен това обикновено се повтаря в хоризонтална посока, понякога с изместване от едно парче тапет към следващо. По същество тапетът е двуизмерен кристал.

Има 17 разновидности на тапети в самолета (вижте глава 17). Те се различават по видовете симетрия, тоест по начините за твърдо изместване на модела, така че да лежи точно върху себе си в първоначалното си положение. Видовете симетрия включват по-специално различни варианти на ротационна симетрия, при които моделът трябва да се завърти под определен ъгъл около определена точка - център на симетрия.

Редът на симетрия на въртене е колко пъти можете да завъртите тялото до пълен кръг, така че всички детайли на картината да се върнат в първоначалните си позиции. Например завъртане на 90° е ротационна симетрия от 4-ти ред*. Списъкът с възможни типове ротационна симетрия в кристалната решетка отново сочи към необичайността на числото 5: то не е там. Има варианти с ротационна симетрия от 2-ри, 3-ти, 4-ти и 6-ти ред, но нито един тапет няма модел на ротационна симетрия от 5-ти ред. В кристалите също няма ротационна симетрия от порядък по-голям от 6, но първото нарушение на последователността все още се случва при номер 5.

Същото се случва и с кристалографските системи в триизмерното пространство. Тук решетката се повтаря в три независими посоки. Има 219 различни видовесиметрия, или 230, ако броите огледално отражениерисунка като отделна негова версия - освен това в този случай няма огледална симетрия. Отново се наблюдават ротационни симетрии от порядъци 2, 3, 4 и 6, но не и 5. Този факт се нарича кристалографско ограничение.

В четиримерното пространство съществуват решетки със симетрия от 5-ти ред; като цяло, за решетки с достатъчно голямо измерение е възможен всеки предварително определен ред на ротационна симетрия.

// Ориз. 40. Кристална клеткаготварска сол. Тъмните топки представляват натриеви атоми, светлите топки представляват хлорни атоми.

Квазикристали

Докато ротационната симетрия от 5-ти ред не е възможна в 2D и 3D решетки, тя може да съществува в малко по-малко правилни структури, известни като квазикристали. Използвайки скиците на Кеплер, Роджър Пенроуз открива плоски системи с повече общ типпеткратна симетрия. Те се наричат ​​квазикристали.

Квазикристалите съществуват в природата. През 1984 г. Даниел Шехтман открива, че сплав от алуминий и манган може да образува квазикристали; първоначално кристалографите посрещнаха съобщението му с известен скептицизъм, но по-късно откритието беше потвърдено и през 2011 г. Шехтман беше награден Нобелова наградапо химия. През 2009 г. екип от учени, ръководен от Лука Бинди, откри квазикристали в минерал от руските Корякски планини - съединение от алуминий, мед и желязо. Днес този минерал се нарича икосаедрит. Чрез измерване на съдържанието на различни кислородни изотопи в минерала с масспектрометър учените показаха, че този минерал не произхожда от Земята. Формира се преди около 4,5 милиарда години, по времето, когато слънчева системабеше в начален стадий и прекара по-голямата част от времето си в астероидния пояс, обикаляйки около Слънцето, докато някакво смущение не промени орбитата му и в крайна сметка го доведе до Земята.

// Ориз. 41. Вляво: една от две квазикристални решетки с точна петкратна симетрия. Вдясно: Атомен модел на икосаедричен алуминиево-паладий-манганов квазикристал

Теоремата на Питагор е известна на всички още от ученическите дни. Един изключителен математик доказа страхотна хипотеза, която в момента се използва от много хора. Правилото звучи така: квадратът на дължината на хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равен на сумата от квадратите на катетите. В продължение на много десетилетия нито един математик не е успял да оспори това правило. В края на краищата Питагор вървеше дълго време към целта си, така че в резултат на това рисунките се състояха в ежедневието.

1. Малък стих към тази теорема, който е измислен малко след доказателството, директно доказва свойствата на хипотезата: „Питагоровите панталони са равни във всички посоки“. Този двуред беше депозиран в паметта на много хора - до ден днешен стихотворението се помни в изчисленията.
2. Тази теорема беше наречена "Питагорови панталони" поради факта, че при рисуване в средата се получаваше правоъгълен триъгълник, по страните на който имаше квадрати. На външен вид тази рисунка приличаше на панталони - оттам и името на хипотезата.
3. Питагор се гордееше с разработената теорема, тъй като тази хипотеза се различава от подобните с максималното количество доказателства. Важно: уравнението е включено в Книгата на рекордите на Гинес поради 370 верни доказателства.
4. Хипотезата е доказана от огромен брой математици и професори от различни странипо много начини. Английският математик Джоунс скоро след обявяването на хипотезата я доказва с помощта на диференциално уравнение.
5. В момента никой не знае доказателството на теоремата от самия Питагор. Фактите за доказателствата на един математик днес не са известни на никого. Смята се, че доказателството на рисунките на Евклид е доказателството на Питагор. Някои учени обаче спорят с това твърдение: мнозина смятат, че Евклид е доказал теоремата независимо, без помощта на създателя на хипотезата.
6. Сегашните учени са открили, че великият математик не е първият, открил тази хипотеза.. Уравнението е известно много преди откритието на Питагор. Този математик успя само да обедини отново хипотезата.
7. Питагор не е дал името на уравнението "Питагорова теорема". Това име беше фиксирано след "силния двуред". Математикът искаше само целият свят да признае и използва неговите усилия и открития.
8. Мориц Кантор - най-великият математик намери и видя бележки с рисунки върху древен папирус. Малко след това Кантор разбира, че тази теорема е била известна на египтяните още през 2300 г. пр.н.е. Само че тогава никой не се възползва от това и не се опита да го докаже.
9. Съвременните учени смятат, че хипотезата е била известна още през 8 век пр.н.е. Индийските учени от онова време откриха приблизително изчисление на хипотенузата на триъгълник, надарен с прави ъгли. Вярно, по това време никой не можеше да докаже уравнението със сигурност чрез приблизителни изчисления.
10. Големият математик Бартел ван дер Ваерден, след доказване на хипотезата, стигна до важно заключение: „Заслугата на гръцкия математик се счита не за откриването на посоката и геометрията, а само за нейното обосноваване. В ръцете на Питагор имаше изчислителни формули, които се основаваха на предположения, неточни изчисления и неясни идеи. Изключителният учен обаче успява да я превърне в точна наука.”
11. Известен поет каза, че в деня на откриването на неговата рисунка той издигнал славно жертвоприношение на биковете.. След откриването на хипотезата се разпространяват слухове, че жертвата на сто бика "се скиташе из страниците на книги и публикации". Уитс се шегува и до днес, че оттогава всички бикове се страхуват от ново откритие.
12. Доказателство, че Питагор не е измислил стихотворение за панталоните, за да докаже чертежите, които е изложил: по време на живота на великия математик все още нямаше панталони. Те са изобретени няколко десетилетия по-късно.
13. Пека, Лайбниц и няколко други учени се опитаха да докажат известната по-рано теорема, но никой не успя.
14. Името на рисунките "Питагоровата теорема" означава "убеждаване чрез реч". Това е преводът на думата Pythagoras, която математикът е взел за псевдоним.
15. Размисли на Питагор върху собственото му правило: тайната на това, което съществува на земята, се крие в числата. В края на краищата един математик, разчитайки на собствената си хипотеза, изучава свойствата на числата, разкрива четността и нечетността и създава пропорции.

Надяваме се, че сте харесали селекцията от снимки - Интересни фактиза Питагоровата теорема: научете нови неща за известната теорема (15 снимки) онлайн добро качество. Моля, оставете вашето мнение в коментарите! Всяко мнение има значение за нас.

Питагорови панталони Комичното име на Питагоровата теорема, възникнало поради факта, че квадратите, изградени от страните на правоъгълник и разминаващи се в различни посоки, приличат на кройка на панталони. Обичах геометрията ... и нататък приемен изпиткъм университета дори получи похвала от Чумаков, професор по математика, за обяснението на свойствата на паралелни линиии питагорови панталони(Н. Пирогов. Дневник на стар лекар).

РазговорникРуски книжовен език. - М.: Астрел, АСТ. А. И. Федоров. 2008 г.

Вижте какво представляват "Питагоровите панталони" в други речници:

Панталони - вземете работещ купон за отстъпка SuperStep в Akademika или купете евтини панталони с безплатна доставка на разпродажба в SuperStep

Питагорови панталони- ... Уикипедия

Питагорови панталони- Жарг. училище Совалка. Питагоровата теорема, която установява връзката между площите на квадратите, построени върху хипотенузата и катетите на правоъгълен триъгълник. BTS, 835... Голям речникРуски поговорки

Питагорови панталони- Закачливо име за Питагоровата теорема, която установява съотношението между площите на квадратите, изградени върху хипотенузата и катетите на правоъгълен триъгълник, който прилича на кройката на панталоните на чертежите ... Речник на много изрази

Питагорови панталони (измисляне)- чужденец: за надарена личност Вж. Това е увереността на мъдреца. В древни времена той вероятно би измислил питагорейските панталони ... Салтиков. Пъстри букви. Питагорови панталони (геом.): в правоъгълник квадратът на хипотенузата е равен на квадратите на краката (преподаване ... ... Големият обяснителен фразеологичен речник на Майкелсън

Питагоровите панталони са еднакви от всички страни- Броят на бутоните е известен. Защо членът е свит? (грубо) за панталоните и мъжкия полов орган. Питагоровите панталони са еднакви от всички страни. За да се докаже това, е необходимо да се премахне и покаже 1) за Питагоровата теорема; 2) относно широките панталони ... Жива реч. Речник на разговорните изрази

Питагорови панталони измислят- Питагорови панталони (измислят) чужденец. за надарен човек. ср Това е безспорният мъдрец. В древни времена той вероятно би измислил питагорейските панталони ... Салтиков. Пъстри букви. Питагорови панталони (геом.): в правоъгълник, квадратът на хипотенузата ... ... Голям тълковен фразеологичен речник на Майкелсън (оригинален правопис)

Питагоровите панталони са равни във всички посоки- Шеговито доказателство на Питагоровата теорема; също на шега за широките панталони на приятеля... Речник на народната фразеология

Прил., грубо...

ПАНТАЛОНИТЕ НА ПИТАГОР СА ЕДНАКВИ ОТ ВСИЧКИ СТРАНИ (БРОЯ НА КОПЧЕТАТА СЕ ЗНАЕ. ЗАЩО Е БЛИЗКО? / ЗА ДА СЕ ДОКАЖЕ ТОВА Е НЕОБХОДИМО ДА СЕ МАХНЕ И ПОКАЖЕ)- прил., груб ... Речниксъвременен разговорни фразеологични единиции поговорки

панталони- съществително име, мн.ч., употреба комп. често Морфология: мн. Какво? панталони, (не) какво? панталони за какво? панталони, (виж) какво? панталони какво? панталони, какво? относно панталоните 1. Панталоните са облекло, което има два къси или дълги крачоли и покрива долната част ... ... Речник на Дмитриев

Книги

• Питагорови панталони,. В тази книга ще намерите фентъзи и приключения, чудеса и фантастика. Смешни и тъжни, обикновени и мистериозни... И какво друго е необходимо за занимателното четиво? Основното е да си…

Римският архитект Витрувий изтъкна Питагоровата теорема "от многобройните открития, които са оказали услуги за развитието на човешкия живот" и призова към нея да се отнасяме с най-голямо уважение. Беше през 1 век пр.н.е. д. В началото на 16-17 век известният немски астроном Йоханес Кеплер го нарича едно от съкровищата на геометрията, сравнимо с мярка злато. Малко вероятно е в цялата математика да има по-тежко и значимо твърдение, защото по отношение на броя на научните и практически приложения Питагоровата теорема няма равна.

Питагоровата теорема за случай на равнобедрен правоъгълен триъгълник.

Наука и живот // Илюстрации

Илюстрация на Питагоровата теорема от Трактата за измервателния стълб (Китай, 3 век пр. н. е.) и доказателство, възстановено въз основа на нея.

Наука и живот // Илюстрации

С. Пъркинс. Питагор.

Чертеж за възможно доказателство на Питагор.

"Мозайка на Питагор" и деление на ан-Наиризи на три квадрата в доказателството на Питагоровата теорема.

П. де Хоч. Господарка и прислужница в двора. Около 1660г.

И. Охтервелт. Скитащи музиканти пред вратата на богата къща. 1665 г.

Питагорови панталони

Теоремата на Питагор е може би най-разпознаваемата и несъмнено най-известната в историята на математиката. В геометрията се използва буквално на всяка стъпка. Въпреки простотата на формулировката, тази теорема в никакъв случай не е очевидна: разглеждайки правоъгълен триъгълник със страни a< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, - и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Его рассуждения, по сути, сводились к доказательству теоремы Пифагора, пусть и для конкретного треугольника.

Фигурите, изобразени на фиг. 1 и 2, наподобяват най-простия орнамент от квадрати и техните равни части - геометричен модел, известен от незапомнени времена. Те могат напълно да покрият самолета. Един математик би нарекъл такова покритие на равнина с многоъгълници паркет или плочка. Защо Питагор е тук? Оказва се, че той е първият, който решава проблема с обикновените паркети, с което започва изследването на облицовките на различни повърхности. И така, Питагор показа, че равнината около точка може да бъде покрита без пропуски само от равни правилни многоъгълници три вида: шест триъгълника, четири квадрата и три шестоъгълника.

4000 години по-късно

Историята на Питагоровата теорема датира от древни времена. Споменаванията за него се съдържат във вавилонските клинописни текстове от времето на цар Хамурапи (XVIII век пр.н.е.), тоест 1200 години преди раждането на Питагор. Теоремата е прилагана като готово правило в много задачи, най-простата от които е намирането на диагонал на квадрат по неговата страна. Възможно е връзката a 2 + b 2 = c 2 за произволен правоъгълен триъгълник да е получена от вавилонците просто чрез „обобщаване“ на равенството a 2 + a 2 = c 2 . Но това е извинително за тях - за практическата геометрия на древните, която се свеждаше до измервания и изчисления, не се изискваха строги обосновки.

Сега, почти 4000 години по-късно, имаме работа с теорема, чупеща рекорди по отношение на броя на възможните доказателства. Между другото, събирането им е дълга традиция. Пикът на интерес към Питагоровата теорема падна на втория половината на XIX- началото на ХХ век. И ако първите сборници съдържаха не повече от две или три дузини доказателства, тогава до края на XIXвек техният брой се доближава до 100, а след още половин век надхвърля 360, като това са само тези, които са събрани от различни източници. Кой само не се зае с решението на тази вечна задача - от изтъкнати учени и популяризатори на науката до конгресмени и ученици. И което е забележително, в оригиналността и простотата на решението другите аматьори не бяха по-ниски от професионалистите!

Най-старото доказателство за Питагоровата теорема, достигнало до нас, е на около 2300 години. Един от тях - строго аксиоматичен - принадлежи на древногръцкия математик Евклид, живял през 4-3 век пр.н.е. д. В книга I на Елементите Питагоровата теорема е посочена като предложение 47. Най-нагледните и красиви доказателства са изградени върху преначертаването на "Питагоровите панталони". Приличат на гениален пъзел с квадратчета. Но накарайте фигурите да се движат правилно - и те ще ви разкрият тайната на известната теорема.

Ето едно елегантно доказателство, получено въз основа на рисунка от един древен китайски трактат (фиг. 3), и връзката му с проблема за удвояване на площта на квадрат веднага става ясна.

Именно това доказателство се опита да обясни на по-младия си приятел седемгодишният Гуидо, светлоокият герой от разказа „Малкият Архимед“ на английския писател Олдъс Хъксли. Любопитно е, че разказвачът, който наблюдава тази картина, отбелязва простотата и убедителността на доказателствата и следователно ги приписва на ... самия Питагор. Но главен геройфантастичен разказ на Евгений Велтистов "Електроника - момче от куфар" знаеше 25 доказателства на Питагоровата теорема, включително тези, дадени от Евклид; Вярно, той погрешно го нарече най-простият, въпреки че всъщност в съвременното издание на Началата той заема страница и половина!

Първият математик

Питагор от Самос (570-495 г. пр. н. е.), чието име отдавна е неразривно свързано със забележителна теорема, в известен смисъл може да се нарече първият математик. Тук започва математиката. точна наука, където всяко ново знание не е резултат от визуални представяния и правила, научени от опита, а резултат от логически разсъждения и заключения. Това е единственият начин да се установи веднъж завинаги истинността на всяко математическо твърдение. Преди Питагор дедуктивният метод е използван само от древногръцкия философ и учен Талес от Милет, живял на границата на 7-6 век пр.н.е. д. Той изрази самата идея за доказателство, но я приложи несистематично, избирателно, като правило, към очевидни геометрични твърдения като "диаметърът разполовява кръга". Питагор отиде много по-далеч. Смята се, че той въвежда първите определения, аксиоми и методи за доказателство, а също така създава първия курс по геометрия, известен на древните гърци под името „Питагорейската традиция“. И той стоеше в началото на теорията на числата и стереометрията.

Друга важна заслуга на Питагор е основаването на славна школа от математици, която повече от век определя развитието на тази наука в Древна Гърция. Самият термин "математика" се свързва с името му (от гръцка думаμαθημa - учение, наука), която обединява четири свързани дисциплини, създадени от Питагор и неговите привърженици - питагорейците - система от знания: геометрия, аритметика, астрономия и хармоника.

Невъзможно е да се отделят постиженията на Питагор от постиженията на неговите ученици: следвайки обичая, те приписват собствените си идеи и открития на своя Учител. Ранните питагорейци не са оставили никакви писания; те са предавали цялата информация един на друг устно. Така че, 2500 години по-късно, историците нямат друг избор, освен да реконструират изгубеното знание според преписите на други, по-късни автори. Нека отдадем заслуженото на гърците: въпреки че те обграждат името на Питагор с много легенди, те не му приписват нищо, което той да не може да открие или развие в теория. И теоремата, носеща неговото име, не е изключение.

Толкова просто доказателство

Не е известно дали самият Питагор е открил съотношението между дължините на страните в правоъгълен триъгълник или е заимствал това знание. Древните автори твърдяха, че самият той и обичаше да преразказва легендата за това как в чест на откритието си Питагор принася в жертва бик. Съвременните историци са склонни да вярват, че той е научил за теоремата, като се е запознал с математиката на вавилонците. Ние също не знаем под каква форма Питагор е формулирал теоремата: аритметично, както е обичайно днес, квадратът на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на катетите или геометрично, в духа на древните, квадратът, построен върху хипотенузата на правоъгълен триъгълник е равна на сумата от квадратите, построени върху неговите кънки.

Смята се, че именно Питагор е дал първото доказателство на теоремата, която носи неговото име. Не оцеля, разбира се. Според една версия Питагор може да използва учението за пропорциите, разработено в неговата школа. На него се основава по-специално теорията за подобието, на която се основават разсъжденията. Нека начертаем височина към хипотенузата c в правоъгълен триъгълник с катети a и b. Получаваме три подобни триъгълника, включително оригиналния. Съответните им страни са пропорционални, a: c = m: a и b: c = n: b, откъдето a 2 = c · m и b 2 = c · n. Тогава a 2 + b 2 = = c (m + n) = c 2 (фиг. 4).

Това е просто реконструкция, предложена от един от историците на науката, но доказателството, разбирате ли, е съвсем просто: отнема само няколко реда, не е необходимо да завършвате изграждането, прекрояването, изчисляването на каквото и да било ... То е не е изненадващо, че е преоткриван повече от веднъж. Съдържа се например в „Практика по геометрия“ на Леонардо от Пиза (1220 г.) и все още се дава в учебниците.

Подобно доказателство не противоречи на идеите на питагорейците за съизмеримост: първоначално те вярваха, че съотношението на дължините на всеки два сегмента, а оттам и площите на праволинейни фигури, може да се изрази с естествени числа. Те не разглеждаха никакви други числа, дори не допускаха дроби, заменяйки ги със съотношения 1: 2, 2: 3 и т.н. Въпреки това, по ирония на съдбата, именно питагорейската теорема доведе питагорейците до откритието за несъизмеримостта на диагонала на квадрата и неговата страна. Всички опити да се представи числено дължината на този диагонал - за единичен квадрат той е равен на √2 - не доведоха до нищо. Оказа се по-лесно да се докаже, че проблемът е неразрешим. В такъв случай математиците имат изпитан метод – доказателство от противно. Между другото, тя също се приписва на Питагор.

Съществуването на връзка, която не може да бъде изразена естествени числа, сложи край на много идеи на питагорейците. Стана ясно, че числата, които знаеха, не бяха достатъчни за решаване дори на прости задачи, да не говорим за цялата геометрия! Това откритие беше повратна точка в развитието на гръцката математика, нейната централен проблем. Първо, това доведе до развитието на учението за несъизмеримите количества - ирационалности, а след това до разширяване на понятието за число. С други думи, с него започва вековната история на изучаването на множеството от реални числа.

Мозайка на Питагор

Ако покриете равнината с квадрати с два различни размера, заобикаляйки всеки малък квадрат с четири големи, ще получите мозаечен паркет от Питагор. Такъв модел отдавна е украсявал каменни подове, напомняйки за древните доказателства на Питагоровата теорема (оттук и името му). Чрез налагане на квадратна мрежа върху паркета по различни начини могат да се получат прегради от квадрати, изградени върху страните на правоъгълен триъгълник, предложени от различни математици. Например, ако подредите решетката така, че всички нейни възли да съвпадат с горните десни върхове на малки квадратчета, ще се появят фрагменти от чертежа за доказателството на средновековния персийски математик ан-Наиризи, което той е поставил в коментарите към " на Евклид " Принципи“. Лесно се вижда, че сумата от площите на големия и малкия квадрат, началните елементи на паркета, е равна на площта на един квадрат от насложената върху него мрежа. И това означава, че посочената преграда е наистина подходяща за полагане на паркет: чрез свързване на получените многоъгълници в квадрати, както е показано на фигурата, можете да запълните цялата равнина с тях без празнини и припокривания.