Ако диагоналите в равнобедрен трапец са перпендикулярни, следният теоретичен материал ще бъде полезен при решаването на задачата.

1. Ако диагоналите са перпендикулярни в равнобедрен трапец, височината на трапеца е половината от сбора на основите.

Нека начертаем права CF през точка C успоредна на BD и продължим правата AD докато пресече CF.

Четириъгълник BCFD е успоредник (BC∥ DF като основа на трапец, BD∥ CF по конструкция). Така че CF=BD, DF=BC и AF=AD+BC.

Триъгълникът ACF е правоъгълен (ако правата е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, то тя е перпендикулярна и на другата права). Тъй като диагоналите в равнобедрен трапец са равни и CF=BD, то CF=AC, тоест триъгълникът ACF е равнобедрен с основа AF. Следователно неговата височина CN също е медианата. И тъй като медианата на правоъгълен триъгълник, начертана към хипотенузата, е равна на половината от нея, тогава

какво в общ изгледможе да се напише като

където h е височината на трапеца, a и b са неговите основи.

2. Ако в равнобедрен трапец диагоналите са перпендикулярни, тогава височината му е равна на средна линия.

Тъй като средната линия на трапеца m е равна на половината от сбора на основите, тогава

3. Ако диагоналите са перпендикулярни в равнобедрен трапец, тогава площта на трапеца е равна на квадрата на височината на трапеца (или квадрата на полусумата на основите, или квадрата на средната линия ).

Тъй като площта на трапец се намира по формулата

и височината, половината от сбора на основите и средната линия на равнобедрен трапец с перпендикулярни диагонали са равни една на друга:

4. Ако диагоналите в равнобедрен трапец са перпендикулярни, тогава квадратът на неговия диагонал е равен на половината от квадрата на сбора от основите, както и на два пъти квадрата на височината и два пъти квадрата на средната линия.

Тъй като площта на изпъкнал четириъгълник може да се намери чрез неговите диагонали и ъгъла между тях, като се използва формулата

1. Отсечката, свързваща средите на диагоналите на трапец, е равна на половината от разликата на основите
2. Триъгълниците, образувани от основите на трапеца и отсечките на диагоналите до точката на тяхното пресичане, са подобни
3. Триъгълниците, образувани от сегменти на диагоналите на трапец, чиито страни лежат на страните на трапеца - са равни (имат еднаква площ)
4. Ако разширим страните на трапеца към по-малката основа, тогава те ще се пресичат в една точка с правата линия, свързваща средните точки на основите
5. Сегментът, свързващ основите на трапеца и минаващ през точката на пресичане на диагоналите на трапеца, се разделя от тази точка в пропорция, равна на съотношението на дължините на основите на трапеца
6. Сегмент, успореден на основите на трапеца и прекаран през пресечната точка на диагоналите, се разделя наполовина от тази точка и дължината му е 2ab / (a ​​​​+ b), където a и b са основите на трапеца

Свойства на отсечка, свързваща средината на диагоналите на трапец

Свържете средите на диагоналите на трапеца ABCD, в резултат на което ще имаме сегмент LM.
Отсечка, която свързва средните точки на диагоналите на трапец лежи на средната линия на трапеца.

Този сегмент успоредни на основите на трапеца.

Дължината на отсечката, свързваща средите на диагоналите на трапец, е равна на полуразликата на неговите основи.

LM = (AD - BC)/2
или
LM = (a-b)/2

Свойства на триъгълниците, образувани от диагоналите на трапец

Триъгълниците, образувани от основите на трапеца и пресечната точка на диагоналите на трапеца - са подобни.
Триъгълниците BOC и AOD са подобни. Тъй като ъглите BOC и AOD са вертикални, те са равни.
Ъглите OCB и OAD са вътрешни напречно разположени на успоредни прави AD и BC (основите на трапеца са успоредни една на друга) и секущата AC, следователно са равни.
Ъглите OBC и ODA са равни по същата причина (вътрешно напречно лежане).

Тъй като и трите ъгъла на един триъгълник са равни на съответните ъгли на друг триъгълник, тези триъгълници са подобни.

Какво следва от това?

За решаване на проблеми в геометрията сходството на триъгълниците се използва, както следва. Ако знаем дължините на двата съответстващи елемента на подобни триъгълници, тогава намираме коефициента на подобие (делим единия на другия). Откъдето дължините на всички други елементи са свързани помежду си с точно същата стойност.

Свойства на триъгълници, лежащи на странична страна и диагонали на трапец

Да разгледаме два триъгълника, лежащи отстрани на трапеца AB и CD. Това са триъгълници AOB и COD. Въпреки факта, че размерите на отделните страни на тези триъгълници могат да бъдат напълно различни, но площите на триъгълниците, образувани от страните и пресечната точка на диагоналите на трапеца, са, тоест триъгълниците са равни.

Ако страните на трапеца се удължат към по-малката основа, тогава точката на пресичане на страните ще бъде съвпадат с права линия, която минава през средните точки на основите.

Така всеки трапец може да се разшири до триъгълник. при което:

• Триъгълниците, образувани от основите на трапец с общ връх в точката на пресичане на разширените страни, са подобни
• Правата линия, свързваща средните точки на основите на трапеца, в същото време е медианата на построения триъгълник

Свойства на отсечка, свързваща основите на трапец

Ако начертаете сегмент, чиито краища лежат върху основите на трапеца, който лежи в пресечната точка на диагоналите на трапеца (KN), тогава съотношението на неговите съставни сегменти от страната на основата до пресечната точка на диагонали (KO / ON) ще бъде равно на отношението на основите на трапеца(пр. н. е./сл. н. е.).

KO/ON=BC/AD

Този имотследва от сходството на съответните триъгълници (виж по-горе).

Свойства на отсечка, успоредна на основите на трапец

Ако начертаем сегмент, успореден на основите на трапеца и минаващ през точката на пресичане на диагоналите на трапеца, тогава той ще има следните свойства:

• Предварително зададено разстояние (KM) разполовява точката на пресичане на диагоналите на трапеца
• Дължина на рязане, минаваща през точката на пресичане на диагоналите на трапеца и успоредна на основите, е равно на KM = 2ab/(a + b)

Формули за намиране на диагонали на трапец

а, б- основи на трапец

c, d- страни на трапеца

d1 d2- диагонали на трапец

α β - ъгли с по-голяма основа на трапеца

Формули за намиране на диагоналите на трапец през основите, страните и ъглите в основата

Първата група формули (1-3) отразява едно от основните свойства на диагоналите на трапеца:

1. Сборът от квадратите на диагоналите на трапец е равен на сбора от квадратите на страните плюс два пъти произведението на неговите основи. Това свойство на диагоналите на трапец може да се докаже като отделна теорема

2 . Тази формула се получава чрез трансформиране на предишната формула. Квадратът на втория диагонал се хвърля върху знака за равенство, след което квадратният корен се извлича от лявата и дясната страна на израза.

3 . Тази формула за намиране на дължината на диагонала на трапец е подобна на предишната, с тази разлика, че друг диагонал е оставен от лявата страна на израза

Следващата група формули (4-5) е сходна по смисъл и изразява подобна връзка.

Групата формули (6-7) ви позволява да намерите диагонала на трапец, ако знаете по-голямата основа на трапеца, едната страна и ъгъла при основата.

Формули за намиране на диагонали на трапец по височина

Забележка. В този урок се дава решение на задачи по геометрия за трапеци. Ако не сте намерили решение на геометричната задача от вида, който ви интересува - задайте въпрос във форума.

Задача.
Диагоналите на трапеца ABCD (AD | | BC) се пресичат в точка O. Намерете дължината на основата BC на трапеца, ако основата AD = 24 cm, дължина AO = 9 cm, дължина OS = 6 cm.

Решение.
Решението на тази задача е идеологически абсолютно идентично с предишните задачи.

Триъгълниците AOD и BOC са подобни в три ъгъла - AOD и BOC са вертикални, а останалите ъгли са равни по двойки, тъй като се образуват от пресичането на една права и две успоредни прави.

Тъй като триъгълниците са подобни, всичките им геометрични размери са свързани помежду си, както са известните ни геометрични размери на отсечките AO и OC според условието на задачата. Това е

AO/OC=AD/BC
9 / 6 = 24 / пр.н.е.
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Отговор: 16 см

Задача .
В трапеца ABCD е известно, че AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Намерете площта на трапеца.

Решение .
За да намерим височината на трапец от върховете на по-малката основа B и C, спускаме две височини върху по-голямата основа. Тъй като трапецът е неравен, означаваме дължината AM = a, дължината KD = b ( да не се бърка със символите във формулатанамиране на площта на трапец). Тъй като основите на трапеца са успоредни и сме пропуснали две височини, перпендикулярни на по-голямата основа, тогава MBCK е правоъгълник.

Средства
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b

Триъгълниците DBM и ACK са правоъгълни, така че техните прави ъгли се образуват от височините на трапеца. Нека означим височината на трапеца като h. Тогава по Питагоровата теорема

H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
и
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2

Помислете, че a \u003d 16 - b, тогава в първото уравнение
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2

Заместете стойността на квадрата на височината във второто уравнение, получено от Питагоровата теорема. Получаваме:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Така KD = 12
Където
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5

Намерете площта на трапец, като използвате неговата височина и половината от сбора на основите
, където a b - основите на трапеца, h - височината на трапеца
S \u003d (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80 cm 2

Отговор: площта на трапец е 80 cm2.

Отново триъгълник на Питагор :))) Ако част от големия диагонал от голямата основа до пресечната точка се означи с x, то от очевидното сходство на правоъгълни триъгълници с еднакви ъгли следва. x / 64 = 36 / x, следователно x = 48; 48/64 = 3 / 4, така че ВСИЧКИ правоъгълни триъгълници, образувани от основи, диагонали и страна, перпендикулярна на основата, са подобни на триъгълник със страни 3,4,5. Единственото изключение е триъгълник, образуван от парчета диагонали и наклонена страна, но той не ни интересува :). (За да бъде ясно, въпросната прилика е просто НАЗОВАНА ОТ ДРУГ тригонометрични функцииъгли :) вече знаем тангенса на ъгъла между големия диагонал и голямата основа, той е 3/4, което означава, че синусът е 3/5, а косинусът е 4/5 :)) Веднага можете да напишете

Отговори. Долната основа е 80, височината на трапеца ще бъде 60, а горната ще бъде 45. (36*5/4 = 45, 64*5/4 = 80, 100*3/5 = 60)

Свързани задачи:

1. Основата на призмата е триъгълник, в който едната страна е 2 см, а другите две са по 3 см. Страничният ръб е 4 см и сключва с основната равнина ъгъл 45. Намерете ръба на равен куб.

2. Основата на наклонената призма е равностранен триъгълник със страна а; една от страничните стени е перпендикулярна на равнината на основата и е ромб, чийто по-малък диагонал е c. Намерете обема на призмата.

3. В наклонена призма основата е правоъгълен триъгълник, чиято хипотенуза е c, едно остър ъгъл 30, страничният ръб е равен и сключва с основната равнина ъгъл 60. Намерете обема на призмата.

1. Намерете страната на квадрат, ако диагоналът му е 10 cm

2. В равнобедрен трапец тъпият ъгъл е 135 градуса по-малък от основата е 4 см, а височината е 2 см. Намерете площта на трапеца?

3. Височината на трапеца е 3 пъти по-голяма от една от основите, но половината от другата. Намерете основите на трапеца и височината, ако лицето на трапеца е 168 см на квадрат?

4. В триъгълник ABC ъгъл A = В ъгъл = 75 градуса. Намерете BC, ако лицето на триъгълник е 36 cm на квадрат.

1. В трапец ABCD със страни AB и CD диагоналите се пресичат в точка O

а) Сравнете повърхнините на триъгълниците ABD и ACD

б) Сравнете повърхнините на триъгълниците ABO и CDO

в) Докажете, че OA*OB=OC*OD

2. Основата на равнобедрен триъгълник се отнася към страната като 4:3, а прекараната към основата височина е 30 см. Намерете отсечките, на които е разделена тази височина от ъглополовящата на ъгъла при основата.

3. Права AM - допирателна към окръжността, AB - хорда на тази окръжност. Докажете, че ъгъл MAB се измерва с половината от дъга AB, разположена вътре в ъгъл MAB.