Въведете функцията, за която искате да намерите интеграла

Калкулаторът предоставя ПОДРОБНО решение на определени интеграли.

Този калкулатор решава определен интеграл на функцията f(x) с дадените горна и долна граница.

Примери

С използването на степен
(квадрат и куб) и дроби

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Корен квадратен

Sqrt(x)/(x + 1)

кубичен корен

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Използване на синус и косинус

2*sin(x)*cos(x)

Арксинус

X*arcsin(x)

Аркосинус

x*arccos(x)

Приложение на логаритъма

X*log(x, 10)

натурален логаритъм

Изложител

Tg(x)*sin(x)

Котангенс

Ctg(x)*cos(x)

Ирационални дроби

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Арктангенс

X*arctg(x)

Арктангенс

X*arсctg(x)

Хиберболичен синус и косинус

2*sh(x)*ch(x)

Хиберболичен тангенс и котангенс

ctgh(x)/tgh(x)

Хиберболичен арксинус и аркосинус

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Хиберболичен арктангенс и арккотангенс

X^2*arctgh(x)*arctgh(x)

Правила за въвеждане на изрази и функции

Изразите могат да се състоят от функции (означенията са дадени по азбучен ред): абсолютен(x)Абсолютна стойност х
(модул хили |x|) arccos(x)Функция - аркосинус от х arccosh(x)Арк косинус хиперболичен от х arcsin(x)Арксинус от х arcsinh(x)Арксинус хиперболичен от х arctg(x)Функция - аркутангенса от х arctgh(x)Арктангенсът е хиперболичен от х д дчисло, което е приблизително равно на 2,7 exp(x)Функция - показател от х(кое е д^х) log(x)или log(x)Натурален логаритъм от х
(Придобивам log7(x), трябва да въведете log(x)/log(7) (или, например, for log10(x)=log(x)/log(10)) пиЧислото е "Пи", което е приблизително равно на 3,14 грях(х)Функция - Синус от х cos(x)Функция – косинус от х sinh(x)Функция - Хиперболичен синус от х пари в брой(x)Функция - Хиперболичен косинус от х sqrt(x)Функцията е корен квадратен от х sqr(x)или x^2Функция - Квадрат х tg(x)Функция - Допирателна от х tgh(x)Функция - Хиперболичен тангенс на х cbrt(x)Функцията е кубичен корен от х

Можете да използвате следните операции в изрази: Реални числавъведете във формата 7.5 , не 7,5 2*x- умножение 3/x- разделение x^3- степенуване х + 7- допълнение х - 6- изваждане
Други функции: етаж(x)Функция - закръгляване хнадолу (примерен етаж(4.5)==4.0) таван(x)Функция - закръгляване хнагоре (примерен таван(4.5)==5.0) знак (x)Функция - Знак х erf(x)Функция на грешката (или вероятностен интеграл) Лаплас (x)Функция на Лаплас

Изчислете площта на фигура, ограничена от линии.

Решение.

Намираме пресечните точки на дадените прави. За целта решаваме системата от уравнения:

За да намерим абсцисите на пресечните точки на дадените прави, решаваме уравнението:

Намираме: х 1 = -2, х 2 = 4.

И така, тези прави, които са парабола и права линия, се пресичат в точки А(-2; 0), б(4; 6).

Тези линии образуват затворена фигура, чиято площ се изчислява по горната формула:

Според формулата на Нютон-Лайбниц намираме:

Намерете площта на област, ограничена от елипса.

Решение.

От уравнението на елипсата за I квадрант имаме . От тук, според формулата, получаваме

Нека приложим замяната х = агрях T, dx = а cos T дт. Нови граници на интеграция T = α и T = β се определят от уравненията 0 = агрях T, а = агрях T. Може да се постави α = 0 и β = π /2.

Намираме една четвърт от необходимата площ

Оттук С = паб.

Намерете площта на фигура, ограничена от линииг = - х 2 + х + 4 иг = - х + 1.

Решение.

Намерете пресечните точки на линиите г = -х 2 + х + 4, г = -х+ 1, приравнявайки ординатите на линиите: - х 2 + х + 4 = -х+ 1 или х 2 - 2х- 3 = 0. Намерете корените х 1 = -1, х 2 = 3 и съответните им ординати г 1 = 2, г 2 = -2.

Използвайки формулата за площта на фигурата, получаваме

Намерете площта, оградена от параболатаг = х 2 + 1 и директнох + г = 3.

Решение.

Решаване на системата от уравнения

намерете абсцисите на пресечните точки х 1 = -2 и х 2 = 1.

Ако приемем г 2 = 3 - хи г 1 = х 2 + 1, въз основа на формулата, която получаваме

Изчислете площта, съдържаща се в лемниската на Бернулиr 2 = а 2 cos 2 φ .

Решение.

В полярната координатна система, площта на фигурата, ограничена от дъгата на кривата r = f(φ ) и два полярни радиуса φ 1 = ʅ и φ 2 = ʆ , се изразява с интеграла

Поради симетрията на кривата, първо определяме една четвърт от желаната площ

Следователно общата площ е С = а 2 .

Изчислете дължината на дъгата на астроидах 2/3 + г 2/3 = а 2/3 .

Решение.

Записваме уравнението на астроида във формата

(х 1/3) 2 + (г 1/3) 2 = (а 1/3) 2 .

Да сложим х 1/3 = а 1/3 cos T, г 1/3 = а 1/3 грях T.

От тук получаваме параметричните уравнения на астроида

х = азащото 3 T, г = агрях 3 T, (*)

където 0 ≤ T ≤ 2π .

С оглед на симетрията на кривата (*), достатъчно е да се намери една четвърт от дължината на дъгата Лсъответстващ на промяната на параметъра Tот 0 до π /2.

Получаваме

dx = -3азащото 2 Tгрях t dt, dy = 3агрях 2 T cos t dt.

От тук намираме

Интегриране на получения израз в диапазона от 0 до π /2, получаваме

Оттук Л = 6а.

Намерете площта, ограничена от спиралата на Архимедr = aφ и два радиус вектора, които съответстват на полярните ъглиφ 1 иφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Решение.

Област, ограничена от крива r = f(φ ) се изчислява по формулата , където α и β - граници на изменение на полярния ъгъл.

Така получаваме

(*)

От (*) следва, че зоната, ограничена от полярната ос и първия завой на спиралата на Архимед ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

По същия начин намираме областта, ограничена от полярната ос и втория завой на спиралата на Архимед ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Търсената площ е равна на разликата на тези площи

Изчислете обема на тяло, получено при въртене около освол фигура, ограничена от параболиг = х 2 их = г 2 .

Решение.

Нека решим системата от уравнения

и получи х 1 = 0, х 2 = 1, г 1 = 0, г 2 = 1, откъдето пресечните точки на кривите О(0; 0), б(единадесет). Както може да се види на фигурата, желаният обем на тялото на въртене е равен на разликата между двата обема, образувани от въртене около оста волкриволинейни трапеци OCBAи ОДБА:

Изчислете площта, ограничена от оставол и синусоидаг = гряхх на сегменти: а); б) .

Решение.

а) На отсечката функцията sin хзапазва знака и следователно по формулата , приемайки г= грях х, намираме

б) На отсечката функция sin хсменя знака. За правилното решение на задачата е необходимо отсечката да се раздели на две и [ π , 2π ], във всяка от които функцията запазва своя знак.

Според правилото на знаците, на сегмента [ π , 2π ] площта се взема със знак минус.

В резултат на това желаната площ е равна на

Определете обема на тялото, ограничено от повърхността, получена от въртенето на елипсатаоколо голямата оса .

Решение.

Като се има предвид, че елипсата е симетрична спрямо координатните оси, достатъчно е да се намери обемът, образуван от въртене около оста вол■ площ OAB, равно на една четвърт от площта на елипсата, и удвоете резултата.

Нека обозначим обема на тялото на революция чрез V х; тогава, въз основа на формулата, имаме , където 0 и а- абсцисите на точките би А. От уравнението на елипсата намираме . Оттук

Така необходимият обем е равен на . (Когато елипсата се върти около малката ос b, обемът на тялото е )

Намерете областта, ограничена от параболиг 2 = 2 px их 2 = 2 py .

Решение.

Първо намираме координатите на пресечните точки на параболите, за да определим интервала на интегриране. Преобразувайки оригиналните уравнения, получаваме и . Приравнявайки тези стойности, получаваме или х 4 - 8стр 3 х = 0.

х 4 - 8стр 3 х = х(х 3 - 8стр 3) = х(х - 2стр)(х 2 + 2px + 4стр 2) = 0.

Намираме корените на уравненията:

Имайки предвид факта, че точката Апресечната точка на параболите е в първата четвърт, след това границите на интегриране х= 0 и х = 2стр.

Желаната площ се намира по формулата

Пример1 . Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 и x = 2

Нека изградим фигура (вижте фиг.) Изграждаме права линия x + 2y - 4 \u003d 0 по две точки A (4; 0) и B (0; 2). Изразявайки y по отношение на x, получаваме y \u003d -0,5x + 2. Съгласно формула (1), където f (x) = -0,5x + 2, a \u003d -3, b = 2, ние намирам

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 кв. единици

Пример 2 Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 и y \u003d 0.

Решение. Нека изградим фигура.

Нека построим права линия x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Да построим права линия x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Намерете пресечната точка на правите, като решите системата от уравнения:

x = 2, y = 3; М(2; 3).

За да изчислим необходимата площ, разделяме триъгълника AMC на два триъгълника AMN и NMC, тъй като когато x се променя от A на N, площта е ограничена от права линия, а когато x се променя от N на C, това е права линия

За триъгълник AMN имаме: ; y \u003d 0,5x + 2, т.е. f (x) = 0,5x + 2, a = - 4, b \u003d 2.

За триъгълника NMC имаме: y = - x + 5, т.е. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Изчислявайки площта на всеки от триъгълниците и добавяйки резултатите, намираме:

кв. единици

кв. единици

9 + 4, 5 = 13,5 кв. единици Проверка: = 0.5AC = 0.5 кв. единици

Пример 3 Изчислете площта на фигура, ограничена от линии: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

В този случай е необходимо да се изчисли площта на криволинейния трапец, ограничен от парабола y = x 2 , прави x \u003d 2 и x \u003d 3 и оста Ox (виж фиг.) Съгласно формула (1) намираме площта на криволинейния трапец

= = 6kv. единици

Пример 4 Изчислете площта на фигура, ограничена от линии: y \u003d - x 2 + 4 и y = 0

Нека изградим фигура. Желаната област е затворена между параболата y \u003d - x 2 + 4 и ос Oh.

Намерете точките на пресичане на параболата с оста x. Ако приемем y \u003d 0, намираме x \u003d Тъй като тази фигура е симетрична спрямо оста Oy, ние изчисляваме площта на фигурата, разположена вдясно от оста Oy, и удвояваме резултата: \u003d + 4x] квадрат. единици 2 = 2 кв. единици

Пример 5 Изчислете площта на фигура, ограничена от линии: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Тук се изисква да се изчисли площта на криволинейния трапец, ограничен от горния клон на параболата y 2 \u003d x, оста Ox и прави линии x \u003d 1x \u003d 4 (виж фиг.)

Съгласно формула (1), където f(x) = a = 1 и b = 4, имаме = (= кв. единици

Пример 6 . Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Желаната област е ограничена от полувълнова синусоида и оста Ox (виж фиг.).

Имаме - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 квадратни метра. единици

Пример 7 Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии: y \u003d - 6x, y \u003d 0 и x \u003d 4.

Фигурата е разположена под оста Ox (виж фиг.).

Следователно неговата площ се намира по формулата (3)

= =

Пример 8 Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите: y \u003d и x \u003d 2. Ще изградим кривата y \u003d по точки (вижте фигурата). По този начин площта на фигурата се намира по формулата (4)

Пример 9 .

х 2 + y 2 = r 2 .

Тук трябва да изчислите площта, ограничена от кръга x 2 + y 2 = r 2 , т.е. площта на кръг с радиус r с център в началото. Нека намерим четвъртата част от тази област, като вземем границите на интеграция от 0

дор; ние имаме: 1 = = [

Следователно, 1 =

Пример 10 Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии: y \u003d x 2 и y = 2x

Тази цифра е ограничена от параболата y \u003d x 2 и права линия y \u003d 2x (виж фиг.) За да определим пресечните точки на дадените линии, решаваме системата от уравнения: x 2 – 2x = 0 x = 0 и x = 2

Използвайки формула (5), за да намерим площта, получаваме

= }