, прекъсната линия и др.:

Ако разгледате внимателно всички тези фигури, можете да изберете две от тях, които са образувани от затворени линии (кръг и триъгълник). Тези фигури имат нещо като граница, разделяща това, което е вътре от това, което е отвън. Тоест границата разделя равнината на две части: вътрешна и външна зонапо отношение на фигурата, за която се отнася:

Периметър

Периметърът е затворената граница на равнината геометрична фигураотделяйки вътрешната му област от външната.

Всяка затворена геометрична фигура има периметър:

На фигурата периметрите са отбелязани с червена линия. Имайте предвид, че обиколката на кръг често се нарича дължина.

Периметърът се измерва в единици за дължина: mm, cm, dm, m, km.

За всички многоъгълници намирането на периметъра се свежда до добавяне на дължините на всички страни, тоест периметърът на многоъгълника винаги е е равно на суматадължината на страните му. При изчисляване на периметъра той често се обозначава с главна латинска буква P:

Квадрат

Площта е частта от равнината, заета от затворена плоска геометрична фигура.

Всяка плоска затворена геометрична фигура има определена площ. В чертежите зоната на геометричните фигури е вътрешната област, тоест тази част от равнината, която е вътре в периметъра.

измерване на площфигури - означава да се намери колко пъти друга фигура е поставена в дадена фигура, взета за мерна единица. Обикновено квадратът се приема като единица за измерване на площта, в която страната е равна на единицата за измерване на дължина: милиметър, сантиметър, метър и т.н.

Фигурата показва квадратен сантиметър. - квадрат със страна с дължина 1 см:

Площта се измерва в квадратни единициах измерване на дължина. Единиците за площ включват: mm 2, cm 2, m 2, km 2 и др.

Таблица за преобразуване на квадратни единици

	mm 2	cm 2	дм 2	м 2	ar (тъка)	хектар (ха)	км 2
mm 2	1 mm 2	0,01 cm2	10 -4 dm 2	10 -6 m 2	10 -8 ар	10 -10 ха	10 -12 км 2
cm 2	100 mm 2	1 см 2	0,01 dm 2	10 -4 m 2	10 -6 са	10 -8 ха	10 -10 км 2
дм 2	10 4 mm 2	100 см 2	1 dm 2	0,01 м2	10 -4 ар	10 -6 ха	10 -8 км 2
м 2	10 6 mm 2	10 4 см 2	100 dm 2	1 м 2	0,01 ар	10 -4 ха	10 -6 км 2
ар	10 8 mm 2	10 6 см 2	10 4 dm 2	100 м2	1 са	0,01 ха	10 -4 км 2
ха	10 10 mm 2	10 8 см 2	10 6 dm 2	10 4 m 2	100 са	1 ха	0,01 км2
км 2	10 12 mm 2	10 10 см 2	10 8 dm 2	10 6 m 2	10 4 ар	100 ха	1 км 2

10 4 = 10 000	10 -4 = 0,000 1
10 6 = 1 000 000	10 -6 = 0,000 001
10 8 = 100 000 000	10 -8 = 0,000 000 01
10 10 = 10 000 000 000	10 -10 = 0,000 000 000 1
10 12 = 1 000 000 000 000	10 -12 = 0,000 000 000 001

Знанията за намиране на периметъра учениците получават в начално училище. След това тази информация се използва постоянно в курса по математика и геометрия.

Теория, обща за всички фигури

Страните обикновено се обозначават с латински букви. Освен това те могат да бъдат обозначени като сегменти. След това ще ви трябват две букви за всяка страна и написани с големи букви. Или въведете обозначението с една буква, която задължително ще бъде малка.
Буквите винаги се избират по азбучен ред. За триъгълник те ще бъдат първите три. Шестоъгълникът ще има 6 от тях - от a до f. Това е полезно за въвеждане на формули.

Сега за това как да намерите периметъра. Това е сборът от дължините на всички страни на фигурата. Броят на термините зависи от вида му. Периметърът се обозначава с латинската буква P. Мерните единици са същите като тези, дадени за страните.

Формули за периметър за различни форми

За триъгълник: P \u003d a + b + c. Ако е равнобедрен, тогава формулата се преобразува: P \u003d 2a + c. Как да намерите периметъра на триъгълник, ако е равностранен? Това ще помогне: P \u003d 3a.

За произволен четириъгълник: P=a+b+c+d. Негов частен случай е квадратът, формулата на периметъра: P=4a. Има и правоъгълник, тогава се изисква следното равенство: P \u003d 2 (a + b).

Ами ако не знаете дължината на една или повече страни на триъгълник?

Използвайте косинусовата теорема, ако сред данните има две страни и ъгълът между тях, който се обозначава с буквата A. Тогава, преди да намерите периметъра, ще трябва да изчислите третата страна. За това е полезна следната формула: c² \u003d a² + b² - 2 av cos (A).

Специален случай на тази теорема е тази, формулирана от Питагор за правоъгълен триъгълник. Той съдържа стойността на косинуса прав ъгълстава нула, което означава, че последният член просто изчезва.

Има ситуации, когато можете да разберете как да намерите периметъра на триъгълник от едната страна. Но в същото време са известни и ъглите на фигурата. Тук на помощ идва синусовата теорема, когато съотношенията на дължините на страните към синусите на съответните противоположни ъгли са равни.

В ситуация, в която периметърът на фигура трябва да се намери по площ, други формули ще бъдат полезни. Например, ако радиусът на вписания кръг е известен, тогава във въпроса как да се намери периметърът на триъгълник е полезна следната формула: S \u003d p * r, тук p е полупериметърът. Тя трябва да бъде получена от тази формула и умножена по две.

Примерни задачи

Първо условие.Намерете обиколката на триъгълник със страни 3, 4 и 5 cm.
Решение.Трябва да използвате равенството, посочено по-горе, и просто да замените данните в задачата за стойност в него. Изчисленията са лесни, водят до числото 12 см.
Отговор.Периметърът на триъгълник е 12 см.

Второ условие.Едната страна на триъгълника е 10 см. Известно е, че втората е с 2 см по-голяма от първата, а третата е 1,5 пъти по-голяма от първата. Необходимо е да се изчисли неговият периметър.
Решение. За да разберете, трябва да преброите две страни. Второто се определя като сбор от 10 и 2, третото е равно на произведението от 10 и 1,5. След това остава само да се преброи сумата от три стойности: 10, 12 и 15. Резултатът ще бъде 37 см.
Отговор.Периметърът е 37 см.

Трето условие.Има правоъгълник и квадрат. Едната страна на правоъгълника е 4 cm, а другата е с 3 cm по-дълга. Необходимо е да се изчисли стойността на страната на квадрата, ако неговият периметър е с 6 cm по-малък от този на правоъгълника.
Решение.Втората страна на правоъгълника е 7. Знаейки това, е лесно да се изчисли неговият периметър. Изчислението дава 22 cm.
За да разберете страната на квадрата, първо трябва да извадите 6 от периметъра на правоъгълника и след това да разделите полученото число на 4. В резултат на това имаме числото 4.
Отговор.Страната на квадрата е 4 см.

Със сигурност всеки от нас е научил в училище такъв важен компонент на геометрията като периметъра. Намирането на периметъра е просто необходимо за решаване на много проблеми. Нашата статия ще ви каже как да намерите периметъра.

Струва си да запомните, че периметърът на всяка фигура почти винаги е сумата от нейните страни. Нека да разгледаме няколко различни геометрични фигури.

1. Правоъгълникът е четириъгълник, чиито успоредни страни са равни по две. Ако едната страна е X, а другата е Y, тогава получаваме следната формула за намиране на периметъра на тази фигура:

   P = 2(X+Y) = X+Y+X+Y = 2X+2Y.

   Пример за решаване на проблема:

   Да кажем, че страната X = 5 см, страната Y = 10 см. Така че, замествайки тези стойности в нашата формула, получаваме - P = 2*5 см + 2* 10 см = 30 см.

2. Трапецът е четириъгълник, чиито две противоположни страни са успоредни, но не са равни. Периметърът на трапец е сумата от четирите му страни:

   P = X+Y+Z+W, където X, Y, Z, W са страните на фигурата.

   Пример за решаване на проблема:

   Да кажем, че страната X = 5 см, страната Y = 10 см, страната Z = 8 см, страната W = 20 см. Така че, замествайки тези стойности в нашата формула, получаваме - P = 5 см + 10 см + 8 см + 20 см = 43 см.

3. Периметърът на кръг (обиколка) може да се изчисли по формулата:

   P = 2rπ = dπ, където r е радиусът на окръжността, d е диаметърът на окръжността.

   Пример за решаване на проблема:

   Да кажем, че радиусът r на нашия кръг е 5 см, тогава диаметърът d ще бъде 2 * 5 см = 10 см. Известно е, че π = 3,14. Така че, замествайки тези стойности в нашата формула, получаваме - P = 2 * 5 cm * 3,14 = 31,4 cm.

4. Ако трябва да намерите периметъра на триъгълник, тогава може да се натъкнете на редица проблеми, докато правите това, тъй като триъгълниците могат да имат много различни форми. Например има остри, тъпи, равнобедрени, прави или равностранни триъгълници. Въпреки че формулата за всички видове триъгълници е:

   P = X+Y+Z, където X, Y, Z са страните на фигурата.

   Проблемът е, че когато решавате много задачи за намиране на периметъра на тази фигура, не винаги ще знаете дължините на всички страни. Например, вместо информация за дължината на една от страните, можете да имате градуса на ъгъла или дължината на височината на даден триъгълник. Това значително ще усложни задачата, но няма да направи нейното решение нереалистично. Как да намерите периметъра на триъгълник, без значение каква форма е, можете да прочетете "".

5. Периметърът на такава фигура като ромб се намира по същия начин като периметъра на квадрат, тъй като ромбът е успоредник, който има равни страни. Можете да разберете как да намерите периметъра на квадрат, като прочетете статията на нашия уебсайт "".

   Сега знаете как да намерите страната на периметъра на геометричната фигура, от която се нуждаете!

В следващите тестови задачиНамерете периметъра на фигурата, показана на фигурата.

Има много начини да намерите периметъра на фигура. Можете да трансформирате оригиналната форма по такъв начин, че периметърът на новата форма да може лесно да се изчисли (например промяна на правоъгълник).

Друго решение е да търсите периметъра на фигурата директно (като сбор от дължините на всичките й страни). Но в този случай не може да се разчита само на чертежа, а да се намерят дължините на сегментите въз основа на данните от задачата.

Искам да ви предупредя: в една от задачите, сред предложените отговори, не намерих този, който се оказа за мен.

° С) .

Нека преместим страните на малките правоъгълници от вътрешната област към външната. В резултат на това големият правоъгълник е затворен. Формула за намиране на периметъра на правоъгълник

В този случай a=9a, b=3a+a=4a. Така P=2(9a+4a)=26a. Към периметъра на големия правоъгълник добавяме сумата от дължините на четири отсечки, всяка от които е равна на 3а. В резултат на това P=26a+4∙3a= 38а .

° С) .

След като пренесем вътрешните страни на малките правоъгълници във външната област, получаваме голям правоъгълник, чийто периметър е P=2(10x+6x)=32x, и четири сегмента, два с дължина x, два с дължина 2x.

Общо, P=32x+2∙2x+2∙x= 38x .

?) .

Да преместим 6 хоризонтални "стъпки" отвътре навън. Периметърът на получения голям правоъгълник е P=2(6y+8y)=28y. Остава да намерим сумата от дължините на отсечките вътре в правоъгълника 4y+6∙y=10y. Така периметърът на фигурата е P=28y+10y= 38г .

Д) .

Нека преместим вертикалните сегменти от вътрешната област на фигурата наляво, към външната област. За да получите голям правоъгълник, преместете една от 4x дължините в долния ляв ъгъл.

Намираме периметъра на оригиналната фигура като сбор от периметъра на този голям правоъгълник и дължините на останалите три сегмента P=2(10x+8x)+6x+4x+2x= 48x .

д) .

Премествайки вътрешните страни на малките правоъгълници към външната зона, получаваме голям квадрат. Периметърът му е P=4∙10x=40x. За да получите периметъра на оригиналната фигура, трябва да добавите сумата от дължините на осем сегмента, всеки с дължина 3x, към периметъра на квадрата. Общо, P=40x+8∙3x= 64x .

б) .

Нека преместим всички хоризонтални "стъпала" и вертикални горни сегменти към външната зона. Периметърът на получения правоъгълник е P=2(7y+4y)=22y. За да намерите периметъра на оригиналната фигура, трябва да добавите към периметъра на правоъгълника сумата от дължините на четири сегмента, всеки с дължина y: P=22y+4∙y= 26г .

Д) .

Преместете всички хоризонтални линии от вътрешната зона към външната област и преместете двете вертикални външни линии съответно в левия и десния ъгъл, z наляво и надясно. В резултат на това получаваме голям правоъгълник, чийто периметър е P=2(11z+3z)=28z.

Периметърът на оригиналната фигура е равен на сумата от периметъра на големия правоъгълник и дължините на шест сегмента в z: P=28z+6∙z= 34z .

б) .

Решението е напълно подобно на решението от предишния пример. След като трансформираме фигурата, намираме периметъра на големия правоъгълник:

P=2(5z+3z)=16z. Към периметъра на правоъгълника добавяме сумата от дължините на останалите шест сегмента, всеки от които е равен на z: P=16z+6∙z= 22z .

Геометрията, ако не се лъжа, по мое време се изучаваше от пети клас и периметърът беше и е едно от ключовите понятия. Така, периметърът е сумата от дължините на всички страни (обозначава се с латинската буква P). Като цяло този термин се тълкува по различни начини, напр.

• общата дължина на границата на фигурата,
• дължината на всичките му страни,
• сумата от дължините на неговите лица,
• дължината на ограничителната линия,
• сумата от всички дължини на страните на многоъгълник

Различните фигури имат свои собствени формули за определяне на периметъра. За да разберете самото значение, предлагам самостоятелно да изведа няколко прости формули:

1. за квадрат
2. за правоъгълник
3. за успоредник
4. за куб
5. за кутия

Периметър на квадрат

Например, нека вземем най-простия - периметъра на квадрат.

Всички страни на квадрат са равни. Нека едната страна се нарича "а" (както и другите три), тогава

P = a + a + a + a

или по-компактна нотация

Периметър на правоъгълник

Нека да усложним задачата и да вземем правоъгълник. В този случай вече не е възможно да се каже, че всички страни са равни, така че нека дължините на страните на правоъгълника са равни на a и b.

Тогава формулата ще изглежда така:

P = a + b + a + b

Периметър на паралелограма

Подобна ситуация ще бъде с успоредник (вижте периметъра на правоъгълника)

периметър на куб

Какво да правим, ако имаме работа с триизмерна фигура? Например вземете куб. Кубът има 12 страни и всичките са равни. Съответно периметърът на куб може да се изчисли, както следва:

Периметър на кутията

Е, за да фиксираме материала, изчисляваме периметъра на паралелепипеда. Тук е необходимо да се помисли малко. Да го направим заедно. Както знаем, кубоидът е фигура, чиито страни са правоъгълници. Всеки паралелепипед има две основи. Нека вземем една от основите и погледнем страните й – те имат дължини a и b. Съответно периметърът на основата е P = 2a + 2b. Тогава периметърът на двете основи е

(2a + 2b) * 2 = 4a + 4b

Но имаме и страна "в". Така че формулата за изчисляване на периметъра на паралелепипед ще изглежда така:

P = 4a + 4b + 4c

Както можете да видите от примерите по-горе, всичко, което трябва да се направи, за да се определи периметърът на фигура, е да се намери дължината на всяка от страните и след това да се съберат.

В заключение бих искал да отбележа, че не всяка фигура има периметър. Например, Сферата няма периметър.