Ако в пресечната точка на две линии. Признаци за успоредност на две прави. Свойства на успоредните прави. напречните ъгли са равни

ГЛАВА III.
ПАРАЛЕЛНИ ЛИНИИ

§ 35. ЗНАЦИ ЗА УСПОРЕДНОСТ НА ДВЕ ПРАВИ.

Теоремата, че два перпендикуляра на една права са успоредни (§ 33) дава знак, че две прави са успоредни. Можете да теглите повече общи признациуспоредност на две прави.

1. Първият признак на паралелизъм.

Ако при пресичането на две прави с трета вътрешните ъгли, разположени напречно, са равни, то тези прави са успоредни.

Нека правите AB и CD пресичат правата EF и / 1 = / 2. Вземете точката O - средата на отсечката KL на секущата EF (фиг. 189).

Нека пуснем перпендикуляра OM от точка O към правата AB и да го продължим, докато се пресече с правата CD, AB_|_MN. Нека докажем, че CD_|_MN.
За да направите това, помислете за два триъгълника: MOE и NOK. Тези триъгълници са равни един на друг. Наистина: / 1 = / 2 по условието на теоремата; OK = OL - по конструкция;
/ MOL = / NOK като вертикални ъгли. Така страната и двата прилежащи към нея ъгъла на един триъгълник са съответно равни на страната и двата прилежащи към нея ъгъла на друг триъгълник; Следователно, /\ MOL = /\ NOK, и оттам
/ LMO = / знам но / LMO е директно, следователно, и / KNO също е директен. Така правите AB и CD са перпендикулярни на една и съща права MN, следователно са успоредни (§ 33), което трябваше да се докаже.

Забележка. Пресечната точка на правите MO и CD може да се установи чрез завъртане на триъгълника MOL около точка O на 180°.

2. Вторият знак за паралелизъм.

Да видим дали правите AB и CD са успоредни, ако при пресичането на третата им права EF съответните ъгли са равни.

Нека някои съответни ъгли са равни, например / 3 = / 2 (отклонение 190);
/ 3 = / 1, като ъглите са вертикални; означава, / 2 ще бъде равно / 1. Но ъглите 2 и 1 са вътрешни напречно лежащи ъгли и вече знаем, че ако при пресичането на две прави с трета вътрешните напречно лежащи ъгли са равни, то тези прави са успоредни. Следователно AB || CD.

Ако при пресичането на две прави от третата съответните ъгли са равни, то тези две прави са успоредни.

На това свойство се основава изграждането на успоредни прави с помощта на линийка и чертожен триъгълник. Това става по следния начин.

Нека прикрепим триъгълника към линийката, както е показано на чертеж 191. Ще преместим триъгълника така, че едната му страна да се плъзга по линийката, и ще начертаем няколко прави линии по всяка друга страна на триъгълника. Тези линии ще бъдат успоредни.

3. Третият знак за паралелизъм.

Да знаем, че при пресичането на две прави AB и CD с третата права сумата от всички вътрешни едностранни ъгли е равна на 2 д(или 180°). Дали в този случай правите AB и CD ще бъдат успоредни (фиг. 192).

Позволявам / 1 и / 2 вътрешни едностранни ъгъла и добавете до 2 д.
Но / 3 + / 2 = 2дкато съседни ъгли. Следователно, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Оттук / 1 = / 3, и тези ъгли са вътрешно разположени на кръст. Следователно AB || CD.

Ако при пресичането на две прави с трета сумата от вътрешните едностранни ъгли е равна на 2 d, тогава двете прави са успоредни.

Упражнение.

Докажете, че правите са успоредни:
а) ако външните напречни ъгли са равни (фиг. 193);
б) ако сборът на външните едностранни ъгли е 2 д(дявол 194).

Два ъгъла се наричат вертикални, ако страните на единия ъгъл са продължение на страните на другия.

Фигурата показва ъглите 1 и 3 , както и ъгли 2 и 4 - вертикален. Ъгъл 2 е съседен на двата ъгъла 1 , и с ъгъла 3. По собственост съседни ъгли 1 +2 =180 0 и 3 +2 =1800. От тук получаваме: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. По този начин степента измерва ъглите 1 и 3 са равни. От това следва, че самите ъгли са равни. Така че вертикалните ъгли са равни.

2. Признаци за равенство на триъгълници.

Ако две страни и ъгълът между тях на един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгълът между тях на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са еднакви.

Ако страна и два съседни ъгъла на един триъгълник са съответно равни на страна и два съседни ъгъла на друг триъгълник, тогава тези триъгълници са еднакви.

3. Ако три страни на един триъгълник са съответно равни на три страни на друг триъгълник, то тези триъгълници са равни.

1 знак за равенство на триъгълници:

Помислете за триъгълници ABC и A 1 B 1 C 1, в които AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, ъглите A и A 1 са равни. Нека докажем, че ABC=A 1 B 1 C 1 .
Тъй като (y) A \u003d (y) A 1, тогава триъгълникът ABC може да бъде насложен върху триъгълника A 1 B 1 C 1, така че върхът A да е подравнен с върха A1, а страните AB и AC са насложени, съответно на лъчите A 1 B 1 и A 1 C 1 . Тъй като AB \u003d A 1 B 1, AC \u003d A 1 C 1, тогава страната AB ще бъде комбинирана със страната A 1 B 1, а страната AC - със страната A 1 C 1; по-специално точките B и B 1 , C и C 1 ще съвпадат. Следователно страните BC и B 1 C 1 ще бъдат подравнени. И така, триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 са напълно съвместими, което означава, че са равни. CTD

3. Теоремата за ъглополовящата на равнобедрен триъгълник.

В равнобедрен триъгълник ъглополовящата, начертана към основата, е медианата и височината.

Нека се обърнем към фигурата, на която ABC е равнобедрен триъгълник с основа BC, AD е неговата ъглополовяща.

От равенството на триъгълници ABD и ACD (според 2-ри критерий за равенство на триъгълници: AD е общ; ъгли 1 и 2 са равни, защото AD-ъглополовяща; AB=AC, тъй като триъгълникът е равнобедрен) следва, че BD = DC и 3 = 4. Равенството BD = DC означава, че точката D е средата на страната BC и следователно AD е медианата на триъгълника ABC. Тъй като ъгли 3 и 4 са съседни и равни един на друг, те са прави ъгли. Следователно отсечката AO е и височината на триъгълник ABC. CHTD.

4. Ако правите са успоредни -> ъгъл.... (по избор)

5. Ако ъгълът ... ..-> линиите са успоредни (по избор)

Ако при пресичането на две прави от секуща съответните ъгли са равни, то правите са успоредни.

Нека в пресечната точка на прави a и b секущата със съответните ъгли са равни, например 1=2.

Тъй като ъгли 2 и 3 са вертикални, тогава 2=3. От тези две равенства следва, че 1=3. Но ъгли 1 и 3 са напречни, така че правите a и b са успоредни. CHTD.

6. Теорема за сбора от ъглите на триъгълник.

Сборът от ъглите на триъгълник е 180 0.

Да разгледаме произволен триъгълник ABC и да докажем, че A+B+C=180 0 .

Нека начертаем права a през върха B, успоредна на страната AC. Ъгли 1 и 4 са напречно лежащи ъгли при пресичането на успоредните прави a и AC със секущата AB, а ъгли 3 и 5 са напречно лежащи ъгли при пресичането на същите успоредни прави със секущата BC. Следователно (1)4=1; 5=3.

Очевидно сумата от ъгли 4, 2 и 5 е равна на правия ъгъл с върха B, т.е. 4+2+5=1800 . Оттук, като вземем предвид равенства (1), получаваме: 1+2+3=180 0 или A+B+C=180 0 .

7. Признак за равенство на правоъгълни триъгълници.

1. Първият признак на паралелизъм.

Нека правите AB и CD се пресичат от права EF и ∠1 = ∠2. Да вземем точката O - средата на сегмента KL на секущата EF (фиг.).

Нека пуснем перпендикуляра OM от точката O на правата AB и го продължим, докато се пресече с правата CD, AB ⊥ MN. Нека докажем, че CD ⊥ MN също.

За да направите това, помислете за два триъгълника: MOE и NOK. Тези триъгълници са равни един на друг. Действително: ∠1 = ∠2 по хипотезата на теоремата; OK = OL - по конструкция;

∠MOL = ∠NOK като вертикални ъгли. Така страната и двата прилежащи към нея ъгъла на един триъгълник са съответно равни на страната и двата прилежащи към нея ъгъла на друг триъгълник; следователно ΔMOL = ΔNOK и следователно ∠LMO = ∠KNO,
но ∠LMO е директно, следователно ∠KNO също е директно. Така правите AB и CD са перпендикулярни на една и съща права MN, следователно са успоредни, което трябваше да се докаже.

2. Вторият знак за паралелизъм.

Да видим дали правите AB и CD са успоредни, ако при пресичането на третата им права EF съответните ъгли са равни.

Нека някои съответни ъгли са равни, например ∠ 3 = ∠2 (фиг.);

∠3 = ∠1 като вертикални ъгли; така че ∠2 ще бъде равно на ∠1. Но ъгли 2 и 1 са вътрешни напречни ъгли и ние вече знаем, че ако при пресичането на две прави с трета вътрешните напречни ъгли са равни, тогава тези прави са успоредни. Следователно AB || CD.

Ако при пресичането на две прави от третата съответните ъгли са равни, то тези две прави са успоредни.

Нека прикрепим триъгълник към линийката, както е показано на фиг. Ще преместим триъгълника така, че едната му страна да се плъзга по линийката, и ще начертаем няколко прави линии по всяка друга страна на триъгълника. Тези линии ще бъдат успоредни.

3. Третият знак за паралелизъм.

Нека ∠1 и ∠2 са едностранни вътрешни ъгли и сборът им е 2 д.

Но ∠3 + ∠2 = 2 дкато съседни ъгли. Следователно ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Следователно ∠1 = ∠3 и тези вътрешни ъгли са напречни. Следователно AB || CD.

Ако при пресичането на две прави с трета сумата от вътрешните едностранни ъгли е равна на 2 d (или 180°), тогава двете прави са успоредни.

Признаци на успоредни прави:

1. Ако при пресичането на две прави линии с трета вътрешните кръстосани ъгли са равни, тогава тези линии са успоредни.
2. Ако при пресичането на две прави от третата, съответните ъгли са равни, то тези две прави са успоредни.
3. Ако в пресечната точка на две линии на третата сумата от вътрешните едностранни ъгли е 180 °, тогава тези две линии са успоредни.
4. Ако две прави са успоредни на третата права, то те са успоредни една на друга.
5. Ако две прави са перпендикулярни на третата права, то те са успоредни една на друга.

Аксиомата на Евклид за паралелизма

Задача. През точка M, взета извън правата AB, начертайте права, успоредна на правата AB.

Използвайки доказаните теореми за признаците на успоредност на прави, този проблем може да бъде решен по различни начини,

Решение. 1-ви s o s o b (фиг. 199).

Начертаваме MN⊥AB и през точката M прокарваме CD⊥MN;

получаваме CD⊥MN и AB⊥MN.

Въз основа на теоремата („Ако две прави са перпендикулярни на една и съща права, то те са успоредни.“) заключаваме, че СD || AB.

2-ри s p o s o b (фиг. 200).

Начертаваме MK, пресичаща AB под произволен ъгъл α, и през точката M начертаваме права линия EF, образуваща ъгъл EMK с права MK, равен на ъгълаа. Въз основа на теоремата () заключаваме, че EF || AB.

След като решихме тази задача, можем да считаме за доказано, че през всяка точка M, взета извън правата AB, е възможно да се начертае права, успоредна на нея. Възниква въпросът колко прави, успоредни на дадена права и минаващи през дадена точка, могат да съществуват?

Практиката на конструкциите ни позволява да приемем, че има само една такава линия, тъй като с внимателно изпълнен чертеж линиите, начертани по различни начини през една и съща точка, успоредна на една и съща линия, се сливат.

На теория отговорът на този въпрос се дава от така наречената аксиома на паралелизма на Евклид; тя е формулирана така:

През точка, взета извън дадена права, може да се начертае само една права, успоредна на тази права.

На чертеж 201 през точка O е прекарана права линия SK, успоредна на правата AB.

Всяка друга права, минаваща през точка O, вече няма да бъде успоредна на правата AB, а ще я пресича.

Аксиомата, възприета от Евклид в неговите Елементи, която гласи, че на равнина през точка, взета извън дадена права, може да се начертае само една права, успоредна на тази права, се нарича Аксиомата на Евклид за паралелизма.

Повече от две хиляди години след Евклид много математици се опитваха да докажат това математическо твърдение, но опитите им винаги бяха неуспешни. Едва през 1826 г. големият руски учен, професорът от Казанския университет Николай Иванович Лобачевски доказва, че с помощта на всички други аксиоми на Евклид това математическо твърдение не може да бъде доказано, че наистина трябва да се приеме като аксиома. Н. И. Лобачевски създаде нова геометрия, която за разлика от геометрията на Евклид се нарича геометрия на Лобачевски.

ABи ОТдпресечено от третата линия MN, тогава образуваните в този случай ъгли получават следните имена по двойки:

съответните ъгли: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;

вътрешни кръстосани ъгли: 3 и 5, 4 и 6;

външни кръстосани ъгли: 1 и 7, 2 и 8;

вътрешни едностранни ъгли: 3 и 6, 4 и 5;

външни едностранни ъгли: 1 и 8, 2 и 7.

И така, ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 8 = ∠ 6, но по доказаното ∠ 4 = ∠ 6.

Следователно ∠ 2 = ∠ 8.

3. Съответни ъгли 2 и 6 са еднакви, тъй като ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 4 = ∠ 6. Уверяваме се също, че другите съответни ъгли са равни.

4. Сума вътрешни едностранни ъгли 3 и 6 ще бъдат 2d, защото сумата съседни ъгли 3 и 4 е равно на 2d = 180 0 и ∠ 4 може да бъде заменено с идентичното ∠ 6. Също така се уверете, че сбор от ъгли 4 и 5 е равно на 2d.

5. Сума външни едностранни ъглище бъде 2d, защото тези ъгли съответно са равни вътрешни едностранни ъгликато ъгли вертикален.

От обосновката, доказана по-горе, получаваме обратни теореми.

Когато в пресечната точка на две линии на произволна трета линия получаваме, че:

1. Вътрешните напречни ъгли са еднакви;

или 2.Външните напречни ъгли са еднакви;

или 3.Съответните ъгли са еднакви;

или 4.Сумата от вътрешните едностранни ъгли е равна на 2d = 180 0 ;

или 5.Сумата на външната едностранна е 2d = 180 0 ,

тогава първите две линии са успоредни.

Тази глава е посветена на изучаването на успоредни прави. Това е името, дадено на две прави линии в равнина, които не се пресичат. Виждаме сегменти от успоредни линии в околната среда - това са два ръба на правоъгълна маса, два ръба на корица на книга, две тролейбусни ленти и т.н. Паралелните линии играят много важна роля в геометрията. В тази глава ще научите какво представляват аксиомите на геометрията и от какво се състои аксиомата на успоредните прави - една от най-известните аксиоми на геометрията.

В раздел 1 отбелязахме, че две прави или имат една обща точка, т.е. пресичат се, или нямат нито една обща точка, т.е. не се пресичат.

Определение

Успоредността на правите a и b се означава по следния начин: a || b.

Фигура 98 показва прави a и b, перпендикулярни на права c. В раздел 12 установихме, че такива прави a и b не се пресичат, т.е. те са успоредни.

Ориз. 98

Заедно с успоредните прави, човек често разглежда успоредни сегменти. Двата сегмента се наричат паралеленако лежат на успоредни прави. На фигура 99 отсечките AB и CD са успоредни (AB || CD), а отсечките MN и CD не са успоредни. По същия начин се определя паралелността на сегмент и права линия (фиг. 99, b), лъч и права линия, сегмент и лъч, два лъча (фиг. 99, c).

Ориз. 99Признаци за успоредност на две прави

Директно с се нарича секущапо отношение на правите a и b, ако ги пресича в две точки (фиг. 100). При пресичането на прави a и b секансът c образува осем ъгъла, които са обозначени с числа на фигура 100. Някои двойки от тези ъгли имат специални имена:

кръстосани ъгли: 3 и 5, 4 и 6;
едностранни ъгли: 4 и 5, 3 и 6;
съответните ъгли: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Ориз. 100

Помислете за три признака за успоредност на две прави, свързани с тези двойки ъгли.

Теорема

Доказателство

Да предположим, че при пресичането на прави a и b със секуща AB ъглите на лежащите са равни: ∠1 = ∠2 (фиг. 101, а).

Нека докажем, че a || b. Ако ъглите 1 и 2 са прави (фиг. 101, b), тогава правите a и b са перпендикулярни на правата AB и следователно са успоредни.

Ориз. 101

Да разгледаме случая, когато ъгли 1 и 2 не са прави.

От средата O на сегмента AB начертайте перпендикуляр OH към правата a (фиг. 101, c). На линията b от точка B отделяме сегмента VH 1, равен на сегмента AH, както е показано на фигура 101, c, и начертаваме сегмента OH 1. Триъгълниците ONA и OH 1 V са равни по две страни и ъгъл между тях (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2), следователно ∠3 = ∠4 и ∠5 = ∠6. От равенството ∠3 = ∠4 следва, че точката H 1 лежи на продължението на лъча OH, т.е. точките H, O и H 1 лежат на една и съща права линия, а от равенството ∠5 = ∠6 тя следва, че ъгъл 6 е права (тъй като ъгъл 5 е прав ъгъл). Правите a и b са перпендикулярни на правата HH 1, така че са успоредни. Теоремата е доказана.

Теорема

Доказателство

Нека в пресечната точка на правите a и b секансът със съответните ъгли е равен, например ∠1 = ∠2 (фиг. 102).

Ориз. 102

Тъй като ъгли 2 и 3 са вертикални, тогава ∠2 = ∠3. От тези две равенства следва, че ∠1 = ∠3. Но ъгли 1 и 3 са напречни, така че правите a и b са успоредни. Теоремата е доказана.

Теорема

Доказателство

Нека в пресечната точка на правите a и b секансът със сумата от едностранните ъгли е 180°, например ∠1 + ∠4 = 180° (виж фиг. 102).

Тъй като ъгли 3 и 4 са съседни, тогава ∠3 + ∠4 = 180°. От тези две равенства следва, че напречните ъгли 1 и 3 са равни, следователно правите a и b са успоредни. Теоремата е доказана.

Практически начини за рисуване на успоредни линии

Признаците на успоредни прави са в основата на начините за конструиране на успоредни прави с помощта на различни инструменти, използвани в практиката. Помислете например за метод за конструиране на успоредни линии с помощта на чертожен квадрат и линийка. За да изградим права линия, минаваща през точката M и успоредна на дадената права a, прилагаме чертожен квадрат към правата a и линийка към нея, както е показано на фигура 103. След това, премествайки квадрата по линийката, ние ще гарантира, че точката M е от страната на квадрата и ще начертае линия b. Правите a и b са успоредни, тъй като съответните ъгли, означени на фигура 103 с буквите α и β, са равни.

Ориз. 103Фигура 104 показва метод за конструиране на успоредни прави с помощта на Т-квадрат. Този метод се използва в практиката на рисуване.

Ориз. 104Подобен метод се използва при извършване на дърводелски работи, където се използва фаска за маркиране на успоредни линии (две дървени дъски, закрепени с панта, фиг. 105).

Ориз. 105

Задачи

186. На фигура 106 прави a и b се пресичат от права c. Докажете, че a || b ако:

а) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
б) ∠1 = ∠6;
в) ∠l = 45°, а ъгъл 7 е три пъти по-голям от ъгъл 3.

Ориз. 106

187. Според фигура 107 докажете, че AB || Д.Е.

Ориз. 107

188. Отсечките AB и CD се пресичат в общата им среда. Докажете, че правите AC и BD са успоредни.

189. Използвайки данните от фигура 108, докажете, че BC || AD.

Ориз. 108

190. На фигура 109 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Докажете, че DE || КАТО.

Ориз. 109

191. Отсечката VK е ъглополовяща на триъгълника ABC. През точката K е прекарана права, пресичаща страната BC в точка M, така че BM = MK. Докажете, че правите KM и AB са успоредни.

192. В триъгълник ABC ъгъл A е 40°, а ъгъл ALL, съседен на ъгъл ACB, е 80°. Докажете, че ъглополовящата на ъгъл ALL е успоредна на правата AB.

193. В триъгълник ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Правата BD е прекарана през върха B, така че лъч BC е ъглополовяща на ъгъл ABD. Докажете, че правите AC и BD са успоредни.

194. Начертайте триъгълник. През всеки връх на този триъгълник, с помощта на квадрат и линийка, начертайте права линия, успоредна на срещуположната страна.

195. Начертайте триъгълник ABC и отбележете точка D на страната AC. През точка D с помощта на квадрат и линийка начертайте прави линии, успоредни на другите две страни на триъгълника.

Аксиомата на Евклид за паралелизма

Практически начини за рисуване на успоредни линии

Задачи

Прочетете също