В основния курс по геометрия се доказва, че сборът от ъглите на изпъкнал n-ъгълник е 180° (n-2). Оказва се, че това твърдение е вярно и за неизпъкнали многоъгълници.

Теорема 3. Сумата от ъглите на произволен n-ъгълник е 180° (n - 2).

Доказателство. Нека разделим многоъгълника на триъгълници, като начертаем диагонали (фиг. 11). Броят на тези триъгълници е n-2, а във всеки триъгълник сборът от ъглите е 180°. Тъй като ъглите на триъгълниците са ъглите на многоъгълника, сумата от ъглите на многоъгълника е 180° (n - 2).

Нека сега разгледаме произволни затворени начупени линии, евентуално със самопресичане A1A2…AnA1 (фиг. 12, а). Такива самопресичащи се прекъснати линии ще се наричат ​​звездообразни многоъгълници (фиг. 12, b-d).

Нека фиксираме посоката на броене на ъглите обратно на часовниковата стрелка. Обърнете внимание, че ъглите, образувани от затворена полилиния, зависят от посоката, в която тя се пресича. Ако посоката на преминаване на полилинията е обърната, тогава ъглите на многоъгълника ще бъдат ъглите, които допълват ъглите на оригиналния многоъгълник до 360°.

Ако M е многоъгълник, образуван от проста затворена счупена линия, минаваща по посока на часовниковата стрелка (фиг. 13, а), тогава сумата от ъглите на този многоъгълник ще бъде равна на 180 ° (n - 2). Ако прекъснатата линия се премине в посока, обратна на часовниковата стрелка (фиг. 13, b), тогава сумата от ъглите ще бъде равна на 180 ° (n + 2).

По този начин, обща формуласумата от ъглите на многоъгълник, образуван от проста затворена полилиния, има формата \u003d 180 ° (n 2), където е сумата от ъглите, n е броят на ъглите на многоъгълника, "+" или "- " се взема в зависимост от посоката на заобикаляне на полилинията.

Нашата задача е да изведем формула за сумата от ъгли на произволен многоъгълник, образуван от затворена (евентуално самопресичаща се) полилиния. За да направим това, въвеждаме понятието степен на многоъгълник.

Степента на многоъгълник е броят на завъртанията, направени от точка по време на пълно последователно заобикаляне на нейните страни. Освен това завоите, направени в посока, обратна на часовниковата стрелка, се считат със знака "+", а завоите по посока на часовниковата стрелка - със знака "-".

Ясно е, че степента на многоъгълник, образуван от обикновена затворена прекъсната линия, е +1 или -1, в зависимост от посоката на преминаване. Степента на начупената линия на фигура 12, a е равна на две. Степента на звездните седмоъгълници (фиг. 12, c, d) е равна съответно на две и три.

Понятието степен се дефинира по подобен начин за затворени криви в равнината. Например степента на кривата, показана на фигура 14, е две.

За да намерите степента на многоъгълник или крива, можете да продължите по следния начин. Да предположим, че, движейки се по кривата (фиг. 15, а), ние, започвайки от някое място A1, направихме пълен завой и завършихме в същата точка A1. Нека премахнем съответния участък от кривата и продължим да се движим по останалата крива (фиг. 15b). Ако, започвайки от някое място A2, отново направихме пълен завой и стигнахме до същата точка, тогава изтриваме съответния участък от кривата и продължаваме да се движим (фиг. 15, c). Преброявайки броя на отдалечените секции със знаци "+" или "-", в зависимост от посоката им на байпас, получаваме желаната степен на кривата.

Теорема 4. За произволен многоъгълник формулата

180° (n+2m),

където е сумата от ъглите, n е броят на ъглите, m е степента на многоъгълника.

Доказателство. Нека многоъгълникът M има степен m и е условно показан на фигура 16. M1, …, Mk са прости затворени начупени линии, преминавайки през които точката прави пълни завои. A1, …, Ak са съответните самопресечни точки на полилинията, които не са нейни върхове. Нека означим броя на върховете на многоъгълника M, които са включени в многоъгълниците M1, …, Mk съответно с n1, …, nk. Тъй като в допълнение към върховете на многоъгълника M към тези многоъгълници се добавят върхове A1, …, Ak, броят на върховете на многоъгълниците M1, …, Mk ще бъде равен на n1+1, …, nk+1, съответно. Тогава сумата от техните ъгли ще бъде равна на 180° (n1+12), …, 180° (nk+12). Плюс или минус се взема в зависимост от посоката на заобикаляне на прекъснати линии. Сумата от ъглите на многоъгълника M0, останали от многоъгълника M след премахването на многоъгълниците M1, ..., Mk, е равна на 180° (n-n1- ...-nk+k2). Сумите от ъглите на многоъгълниците M0, M1, …, Mk дават сумата от ъглите на многоъгълника M, а във всеки връх A1, …, Ak допълнително получаваме 360°. Следователно имаме равенство

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1-…-nk+k2)=+360°k.

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

където m е степента на многоъгълника M.

Като пример, помислете за изчисляването на сумата от ъглите на звездичка с пет точки (фиг. 17, а). Степента на съответната затворена полилиния е -2. Следователно желаната сума от ъглите е 180.

Геометрична фигура, съставена от отсечки AB,BC,CD, .., EF, FA по такъв начин, че съседните отсечки не лежат на една права линия, а несъседните отсечки нямат общи точки, се нарича многоъгълник. Краищата на тези сегменти точки A,B,C, D, …, E, F се наричат върховемногоъгълник, а самите сегменти AB, BC, CD, .., EF, FA - партиимногоъгълник.

Многоъгълникът се нарича изпъкнал, ако е от едната страна на всяка права, която минава през два от съседните му върхове. Фигурата по-долу показва изпъкнал многоъгълник:

А следната фигура илюстрира неизпъкнал многоъгълник:

Ъгълът на изпъкнал многоъгълник при даден връх е ъгълът, образуван от страните на този многоъгълник, събиращи се в даден връх. Външният ъгъл на изпъкнал многоъгълник при даден връх е ъгълът, съседен на вътрешния ъгъл на многоъгълника при дадения връх.

Теорема: Сборът от ъглите на изпъкнал n-ъгълник е 180˚ *(n-2)

Доказателство: разгледайте изпъкнал n-ъгълник. За да намерим сумата от всички вътрешни ъгли, свързваме един от върховете на многоъгълника с други върхове.

В резултат на това получаваме (n-2) триъгълника. Знаем, че сборът от ъглите на триъгълник е 180 градуса. И тъй като броят им в многоъгълника е (n-2), сумата от ъглите на многоъгълника е 180˚ *(n-2). Това трябваше да се докаже.

Задача:

Намерете сумата от ъглите на изпъкнал а) петоъгълник б) шестоъгълник в) десетоъгълник.

Нека използваме формулата, за да изчислим сумата от ъглите на изпъкнал n-ъгълник.

а) S5 = 180˚*(5-2) = 180˚ *3 = 540˚.

b) S6 180˚*(6-2) = 180˚*4=720˚.

в) S10 = 180˚*(10-2) = 180˚*8 = 1440˚.

Отговор: а) 540˚. б) 720˚. в) 1440˚.

Вътрешен ъгъл на многоъгълнике ъгълът, образуван от две съседни страни на многоъгълник. Например, ∠ ABCе вътрешен ъгъл.

Външен ъгъл на многоъгълнике ъгълът, образуван от едната страна на многоъгълника и продължението на другата страна. Например, ∠ LBCе външният ъгъл.

Броят на ъглите на многоъгълника винаги е равен на броя на неговите страни. Това важи както за вътрешни, така и за външни ъгли. Въпреки че е възможно да се конструират два равни външни ъгъла за всеки връх на многоъгълника, винаги се взема предвид само един от тях. Следователно, за да намерите броя на ъглите на всеки многоъгълник, трябва да преброите броя на неговите страни.

сбор от вътрешни ъгли

Сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълник е равна на произведението от 180° и броя на страните без две.

с = 2д(н - 2)

където се сумата от ъглите, 2 д- два прави ъгъла (т.е. 2 90 = 180°), и н- броят на страните.

Ако плъзнем отгоре Амногоъгълник А Б В Г Д Евсички възможни диагонали, след което го разделяме на триъгълници, чийто брой ще бъде два по-малък от страните на многоъгълника:

Следователно сумата от ъглите на многоъгълника ще бъде равна на сумата от ъглите на всички получени триъгълници. Тъй като сборът от ъглите на всеки триъгълник е 180° (2 д), тогава сумата от ъглите на всички триъгълници ще бъде равна на произведението от 2 дза броя им:

с = 2д(н- 2) = 180 4 = 720°

От тази формула следва, че сумата от вътрешните ъгли е постоянна стойности зависи от броя на страните на многоъгълника.

Сума от външни ъгли

Сумата от външните ъгли на изпъкнал многоъгълник е 360° (или 4 д).

с = 4д

където се сумата от външните ъгли, 4 д- четири прави ъгъла (т.е. 4 90 = 360°).

Сумата от външните и вътрешните ъгли във всеки връх на многоъгълника е 180° (2 д), тъй като те са съседни ъгли. Например, ∠ 1 и ∠ 2 :

Следователно, ако многоъгълникът има нпартии (и нвърхове), след това сумата от външни и вътрешни ъгли за всички нвърховете ще бъдат равни на 2 дн. Така че от тази сума 2 днза да получите само сумата от външните ъгли, е необходимо да извадите сумата от вътрешните ъгли от нея, т.е. 2 д(н - 2):

с = 2дн - 2д(н - 2) = 2дн - 2дн + 4д = 4д

Доказателство

За случая на изпъкнал n-ъгълник

Позволявам A 1 A 2 . . . A n (\displaystyle A_(1)A_(2)...A_(n))е даден изпъкнал многоъгълник и н> 3 . След това нарисувайте от един връх към противоположни върхове ( н− 3) диагонали: A 1 A 3 , A 1 A 4 , A 1 A 5 . . . A 1 A n − 1 (\displaystyle A_(1)A_(3),A_(1)A_(4),A_(1)A_(5)...A_(1)A_(n-1)). Тъй като многоъгълникът е изпъкнал, тези диагонали го разделят на ( н− 2) триъгълници: Δ A 1 A 2 A 3 , Δ A 1 A 3 A 4 , . . . , Δ A 1 A n − 1 A n (\displaystyle \Delta A_(1)A_(2)A_(3),\Delta A_(1)A_(3)A_(4),...,\Delta A_ (1)A_(n-1)A_(n)). Сборът от ъглите на многоъгълника е същият като сбора от ъглите на всички тези триъгълници. Сборът от ъглите във всеки триъгълник е 180°, а броят на тези триъгълници е н− 2 . Следователно сумата от ъглите н-gon е 180°( н − 2) . Теоремата е доказана.

Коментирайте

За неизпъкнал n-ъгълник сумата от ъглите също е 180°( н− 2) . Доказателството може да бъде подобно, като се използва в допълнение лемата, че всеки многоъгълник може да бъде разрязан от диагонали на триъгълници и не се разчита на факта, че диагоналите непременно са изтеглени от един връх (разрязването на неизпъкнал многоъгълник, ограничен от такова условие, е не винаги е възможно в смисъл, че един неизпъкнал многоъгълник не е задължително да има поне един връх, всичките чиито диагонали лежат вътре в многоъгълника, както и триъгълниците, които образуват).

Тези геометрични фигури ни заобикалят навсякъде. Изпъкналите многоъгълници са естествени, като пчелни пити, или изкуствени (направени от човека). Тези фигури се използват в производството различни видовепокрития, в живописта, архитектурата, декорацията и др. Изпъкналите многоъгълници имат свойството, че всичките им точки са от една и съща страна на линия, която минава през двойка съседни върхове на тази линия. геометрична фигура. Има и други определения. Многоъгълник се нарича изпъкнал, ако е разположен в една полуравнина по отношение на права линия, съдържаща една от страните му.

В курса на елементарната геометрия винаги се разглеждат само прости многоъгълници. За да разберете всички свойства на такива, е необходимо да разберете тяхната природа. Като начало трябва да се разбере, че всяка линия се нарича затворена, чиито краища съвпадат. Освен това фигурата, образувана от него, може да има различни конфигурации. Полигонът е проста затворена начупена линия, в която съседните връзки не са разположени на една и съща права линия. Неговите връзки и върхове са съответно страните и върховете на тази геометрична фигура. Една проста полилиния не трябва да има самопресичания.

Върховете на многоъгълник се наричат ​​съседни, ако представляват краищата на една от страните му. Геометрична фигура, която има n-то числовърхове, а оттам n-то количествострани се нарича n-ъгълник. Самата начупена линия се нарича граница или контур на тази геометрична фигура. Многоъгълна равнина или плосък многоъгълник се нарича крайната част на всяка равнина, ограничена от нея. Съседните страни на тази геометрична фигура се наричат ​​сегменти на начупена линия, излизаща от един връх. Те няма да са съседни, ако идват от различни върхове на многоъгълника.

Други дефиниции на изпъкнали многоъгълници

В елементарната геометрия има още няколко еквивалентни дефиниции, показващи кой многоъгълник се нарича изпъкнал. Всички тези твърдения са еднакво верни. Изпъкнал многоъгълник е този, който има:

Всеки сегмент от линия, който свързва произволни две точки в него, лежи изцяло в него;

Всичките му диагонали лежат вътре в него;

Всеки вътрешен ъгъл не надвишава 180°.

Многоъгълникът винаги разделя равнината на 2 части. Единият от тях е ограничен (може да бъде ограден в кръг), а другият е неограничен. Първият се нарича вътрешен регион, а вторият - външна зонатази геометрична фигура. Този многоъгълник е пресечна точка (с други думи, общ компонент) на няколко полуравнини. Освен това всеки сегмент, който има краища в точки, принадлежащи на многоъгълника, изцяло му принадлежи.

Разновидности на изпъкнали многоъгълници

Дефиницията на изпъкнал многоъгълник не означава, че има много видове от тях. И всеки от тях има определени критерии. И така, изпъкнали многоъгълници, които имат вътрешен ъгъл от 180 °, се наричат ​​слабо изпъкнали. Изпъкнала геометрична фигура, която има три върха, се нарича триъгълник, четири - четириъгълник, пет - петоъгълник и т.н. Всеки от изпъкналите n-ъгълници отговаря на следното основно изискване: n трябва да е равно или по-голямо от 3. Всеки от триъгълниците са изпъкнали. Геометрична фигура от този тип, в която всички върхове са разположени на една и съща окръжност, се нарича вписана в окръжност. Изпъкнал многоъгълник се нарича описан, ако всичките му страни в близост до кръга го докосват. Два многоъгълника се наричат ​​равни само ако могат да бъдат насложени чрез суперпозиция. Плосък многоъгълник е многоъгълна равнина (част от равнина), която е ограничена от тази геометрична фигура.

Правилни изпъкнали многоъгълници

Правилните многоъгълници са геометрични фигури с равни ъглии партита. Вътре в тях има точка 0, която е на еднакво разстояние от всеки от върховете му. Нарича се център на тази геометрична фигура. Отсечките, свързващи центъра с върховете на тази геометрична фигура, се наричат ​​апотеми, а тези, които свързват точката 0 със страните, се наричат ​​радиуси.

Правилен четириъгълник е квадрат. правоъгълен триъгълникнаречена равностранна. За такива фигури има следното правило: всеки ъгъл на изпъкнал многоъгълник е 180° * (n-2)/ n,

където n е броят на върховете на тази изпъкнала геометрична фигура.

Площта на всеки правилен многоъгълник се определя по формулата:

където p е равно на половината от сбора на всички страни на дадения многоъгълник, а h е равно на дължината на апотемата.

Свойства на изпъкнали многоъгълници

Изпъкналите многоъгълници имат определени свойства. Така че в него задължително се намира сегмент, който свързва произволни 2 точки от такава геометрична фигура. Доказателство:

Да предположим, че P е даден изпъкнал многоъгълник. Вземаме 2 произволни точки, например A, B, които принадлежат на P. Съгласно съществуващата дефиниция на изпъкнал многоъгълник тези точки са разположени от една и съща страна на правата, която съдържа всяка страна на P. Следователно AB също има това свойство и се съдържа в P. Изпъкналият многоъгълник винаги е възможно да се разбие на няколко триъгълника по абсолютно всички диагонали, които са изтеглени от един от неговите върхове.

Ъгли на изпъкнали геометрични фигури

Ъглите на изпъкнал многоъгълник са ъглите, образувани от неговите страни. Вътрешните ъгли са разположени във вътрешната област на дадена геометрична фигура. Ъгълът, образуван от неговите страни, които се събират в един връх, се нарича ъгъл на изпъкнал многоъгълник. с вътрешни ъгли на дадена геометрична фигура се наричат ​​външни. Всеки ъгъл на изпъкнал многоъгълник, разположен вътре в него, е равен на:

където x е стойността на външния ъгъл. Това проста формулаважи за всякакви геометрични фигури от този тип.

Като цяло за външните ъгли има следното правило: всеки ъгъл на изпъкнал многоъгълник е равен на разликата между 180° и стойността на вътрешния ъгъл. Може да има стойности в диапазона от -180° до 180°. Следователно, когато вътрешният ъгъл е 120°, външният ъгъл ще бъде 60°.

Сума от ъгли на изпъкнали многоъгълници

Сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълник се определя по формулата:

където n е броят на върховете на n-ъгълника.

Сумата от ъглите на изпъкнал многоъгълник е доста лесна за изчисляване. Помислете за всяка такава геометрична фигура. За да се определи сумата от ъгли вътре в изпъкнал многоъгълник, един от неговите върхове трябва да бъде свързан с други върхове. В резултат на това действие се получават (n-2) триъгълника. Знаем, че сборът от ъглите на всеки триъгълник винаги е 180°. Тъй като броят им във всеки многоъгълник е (n-2), сумата от вътрешните ъгли на такава фигура е 180° x (n-2).

Сумата от ъглите на изпъкнал многоъгълник, а именно всеки два вътрешни и съседни външни ъгъла, за дадена изпъкнала геометрична фигура винаги ще бъде 180°. Въз основа на това можете да определите сумата от всичките му ъгли:

Сумата от вътрешните ъгли е 180° * (n-2). Въз основа на това сумата от всички външни ъгли на дадена фигура се определя по формулата:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

Сумата от външните ъгли на всеки изпъкнал многоъгълник винаги ще бъде 360° (независимо от броя на страните).

Външният ъгъл на изпъкнал многоъгълник обикновено се представя от разликата между 180° и вътрешния ъгъл.

Други свойства на изпъкнал многоъгълник

В допълнение към основните свойства на тези геометрични форми, те имат и други, които възникват при манипулирането им. И така, всеки от многоъгълниците може да бъде разделен на няколко изпъкнали n-ъгълници. За да направите това, е необходимо да продължите всяка от страните му и да изрежете тази геометрична фигура по тези прави линии. Също така е възможно всеки многоъгълник да се раздели на няколко изпъкнали части по такъв начин, че върховете на всяка от частите да съвпадат с всичките му върхове. От такава геометрична фигура могат много лесно да се направят триъгълници, като се изчертаят всички диагонали от един връх. По този начин всеки многоъгълник в крайна сметка може да бъде разделен на определен брой триъгълници, което се оказва много полезно при решаването на различни проблеми, свързани с такива геометрични форми.

Периметър на изпъкнал многоъгълник

Отсечките от начупена линия, наречени страни на многоъгълник, най-често се обозначават със следните букви: ab, bc, cd, de, ea. Това са страните на геометрична фигура с върхове a, b, c, d, e. Сумата от дължините на всички страни на този изпъкнал многоъгълник се нарича негов периметър.

Многоъгълен кръг

Изпъкналите многоъгълници могат да бъдат вписани и описани. Окръжност, която докосва всички страни на тази геометрична фигура, се нарича вписана в нея. Такъв многоъгълник се нарича описан. Центърът на окръжност, вписана в многоъгълник, е пресечната точка на ъглополовящите на всички ъгли в дадена геометрична фигура. Площта на такъв многоъгълник е:

където r е радиусът на вписаната окръжност, а p е полупериметърът на дадения многоъгълник.

Окръжност, съдържаща върховете на многоъгълник, се нарича описана около него. Освен това тази изпъкнала геометрична фигура се нарича вписана. Центърът на окръжността, която е описана около такъв многоъгълник, е пресечната точка на така наречените ъглополовящи на всички страни.

Диагонали на изпъкнали геометрични фигури

Диагоналите на изпъкнал многоъгълник са отсечки, които свързват несъседни върхове. Всеки от тях се намира вътре в тази геометрична фигура. Броят на диагоналите на такъв n-gon се определя по формулата:

N = n (n - 3) / 2.

Броят на диагоналите на изпъкнал многоъгълник играе важна роля в елементарната геометрия. Броят на триъгълниците (K), на които всеки изпъкнал многоъгълник може да бъде разделен, се изчислява по следната формула:

Броят на диагоналите на изпъкнал многоъгълник винаги зависи от броя на неговите върхове.

Разделяне на изпъкнал многоъгълник

В някои случаи за решаване геометрични задачинеобходимо е да се раздели изпъкнал многоъгълник на няколко триъгълника с непресичащи се диагонали. Този проблем може да бъде решен чрез извеждане на определена формула.

Дефиниция на проблема: нека наречем правилно разделяне на изпъкнал n-ъгълник на няколко триъгълника с диагонали, които се пресичат само във върховете на тази геометрична фигура.

Решение: Да предположим, че Р1, Р2, Р3 …, Pn са върхове на този n-ъгълник. Числото Xn е броят на неговите дялове. Нека разгледаме внимателно получения диагонал на геометричната фигура Pi Pn. Във всеки от правилните дялове P1 Pn принадлежи на определен триъгълник P1 Pi Pn, който има 1

Нека i = 2 е една група правилни дялове, винаги съдържащи диагонала Р2 Pn. Броят на дяловете, включени в него, съвпада с броя на дяловете на (n-1)-ъгълника Р2 Р3 Р4… Pn. С други думи, това е равно на Xn-1.

Ако i = 3, тогава тази друга група дялове винаги ще съдържа диагоналите P3 P1 и P3 Pn. В този случай броят на правилните дялове, съдържащи се в тази група, ще съвпадне с броя на дяловете на (n-2)-гона Р3 Р4… Pn. С други думи, ще бъде равно на Xn-2.

Нека i = 4, тогава сред триъгълниците правилен дял със сигурност ще съдържа триъгълник P1 P4 Pn, към който ще граничи четириъгълникът P1 P2 P3 P4, (n-3)-ъгъл P4 P5 ... Pn. Броят на правилните дялове на такъв четириъгълник е X4, а броят на дяловете на (n-3)-ъгълник е Xn-3. Въз основа на гореизложеното можем да кажем, че общият брой правилни дялове, съдържащи се в тази група, е Xn-3 X4. Други групи, за които i = 4, 5, 6, 7… ще съдържат Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … обикновени дялове.

Нека i = n-2, тогава броят на правилните дялове в тази група ще бъде същият като броя на дяловете в групата, където i=2 (с други думи, равно на Xn-1).

Тъй като X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2…, тогава броят на всички дялове на изпъкнал многоъгълник е равен на:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Броят на правилните дялове, пресичащи един диагонал вътре

При проверка на специални случаи може да се стигне до предположението, че броят на диагоналите на изпъкнали n-ъгълници е равен на произведението на всички дялове на тази фигура с (n-3).

Доказателство за това предположение: представете си, че P1n = Xn * (n-3), тогава всеки n-гон може да бъде разделен на (n-2)-триъгълници. Освен това от тях може да бъде съставен (n-3)-четириъгълник. Заедно с това всеки четириъгълник ще има диагонал. Тъй като в тази изпъкнала геометрична фигура могат да бъдат начертани два диагонала, това означава, че във всеки (n-3)-четириъгълник е възможно да се начертаят допълнителни диагонали (n-3). Въз основа на това можем да заключим, че във всеки правилен дял е възможно да се начертаят (n-3)-диагонали, които отговарят на условията на тази задача.

Площ на изпъкнали многоъгълници

Често при решаването на различни проблеми на елементарната геометрия става необходимо да се определи площта на изпъкнал многоъгълник. Да приемем, че (Xi. Yi), i = 1,2,3… n е последователността от координати на всички съседни върхове на многоъгълник, който няма самопресичания. В този случай неговата площ се изчислява по следната формула:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

където (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1).