Правилните полиедри привличат вниманието на философи, строители, архитекти, художници и математици от древни времена. Те бяха поразени от красотата, съвършенството, хармонията на тези фигури.

Правилният многостен е обемна изпъкнала геометрична фигура, всички лица на която са еднакви правилни многоъгълници и всички многостенни ъгли при върховете са равни един на друг. Има много правилни многоъгълници, но има само пет правилни полиедра. Имената на тези полиедри идват от Древна Гърция, и те показват броя ("тетра" - 4, "хекса" - 6, "окта" - 8, "додека" - 12, "икоса" - 20) лица ("хедра").

Тези правилни полиедри са наречени платонови тела на името на древногръцкия философ Платон, който им придава мистично значение, но те са били известни още преди Платон. Тетраедърът олицетворява огъня, тъй като върхът му е насочен нагоре, като пламтящ пламък; икосаедър - като най-обтекаем - вода; кубът - най-стабилната от фигурите - земята, и октаедърът - въздухът. Додекаедърът беше идентифициран с цялата вселена и се смяташе за най-важният.

В природата се срещат правилни полиедри. Например, скелетът на едноклетъчния организъм на феодариите прилича на форма на икосаедър. Кристалът на пирит (серен пирит, FeS2) има формата на додекаедър.

Тетраедър - правилно триъгълна пирамида, и хексаедър - куб - фигури, с които постоянно се срещаме в истинския живот. За да усетите по-добре формата на други платонови тела, трябва да ги създадете сами от дебела хартия или картон. Не е трудно да се направи плоско сканиране на фигурите. Създаването на правилни полиедри е изключително забавно от самия процес на оформяне.

Завършените и причудливи форми на правилните многостени намират широко приложение в декоративното изкуство. Обемните фигури могат да бъдат направени по-забавни, ако плоските правилни многоъгълници са представени от други форми, които се вписват в многоъгълника. Например: правилният петоъгълник може да бъде заменен със звезда. Такава триизмерна фигура няма да има ръбове. Можете да го съберете, като завържете краищата на лъчите на звездите. И 10 звезди ще бъдат едно плоско сканиране. След фиксиране на останалите 2 звезди се получава триизмерна фигура.

Ако детето ви обича да прави занаяти със сръчните си ръце, поканете го да сглоби триизмерна многостенна додекаедърна фигура от плоски пластмасови звезди. Резултатът от работата ще зарадва вашето дете: той ще направи оригинален декоративен дизайн със собствените си ръце, който може да се използва за декориране на детска стая. Но най-забележителното е, че ажурната топка свети в тъмното. Пластмасовите звезди са направени с добавка на модерно безвредно вещество - фосфор.

ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛАТОНОВИТЕ ТЕЛА

рев. от 24.06.2013 г. - (актуализирана)

Основните пет платонови тела са: октаедър, звезден тетраедър, куб, додекаедър, икосаедър.

Всеки от геометричните модели, дали атомно ядро, микроклъстери, глобална мрежа или разстояния между планети, звезди, галактики, е едно от петте основни „Платонови тела“.

Защо тези модели се срещат толкова често в природата? Един от първите съвети: математиците знаеха, че тези форми имат повече "симетрия" от всяка триизмерна геометрия, която можем да създадем.

От Робърт Лоулър "Свещена геометрия"можем да научим, че индусите са намалили геометрията на Платоновите тела до октавната структура, която виждаме за звук и светлина (нота и цвят). Гръцкият математик и философ Питагор, чрез процеса на последователно разделяне на честотата на пет, първи разработи осемте "чисти" тона на октавата, известни като диатонична гама. Той взе еднострунен "монокорд" и измери точните дължини на вълните, докато свиреше различни ноти. Питагор показа, че честотата (или скоростта на вибрация) на всяка нота може да бъде представена като съотношение между две части на струна или две числа, оттук и терминът "диатонично съотношение".

Таблицата по-долу изброява геометрията в определен ред, свързвайки я с номера на спиралата фи(). Това дава пълна и цялостна картина за това как различните вибрации работят заедно. Базира се на приписване на дължини на ръбовете на куб, равни на „ 1 ". След това сравняваме ръбовете на всички други форми с тази стойност, независимо дали са по-големи или по-малки. Знаем, че в Платоновото тяло всеки фасет е с еднаква форма, всеки ъгъл е идентичен, всеки възел е на същото разстояние от всички други възли и всяка линия е с еднаква дължина.

1 Сфера (без лица) 2 Централен икосаедър 1/фи 2 3 Октаедър 1/ √2 4 звезден тетраедър √2 5 Куб 1 6 Додекаедър 1/фи 7 Икосаедър фи 8 Сфера (без лица)

Това ще помогне да се разбере как с помощта на вибрациите на фи спиралата Платоновите тела постепенно преливат едно в друго.

МНОГОИЗМЕРНОСТ НА ВСЕЛЕНАТА

Самата концепция за свързване на платонови геометрии с по-високи равнини възниква, защото учените знаят: трябва да има геометрия; намериха го в уравненията. Необходими са платонови геометрии, за да осигурят „повече място“ за невидими допълнителни оси, които да се появяват в „скрити“ завои на 90°. При метода за анализ на данни всяко лице на геометричната форма представлява различна ос или план, в който може да се върти. Когато започнем да разглеждаме работата на Фулър и Джени, виждаме, че идеята за съществуването на други равнини в "скрити" завои на 90° е просто неправилно обяснение, основано на липсата на познания за "свещените" връзки между геометрията и вибрации.

Много е вероятно конвенционалните учени никога да не разберат, че древните култури може да са имали „загубена връзка“, която значително опростява и обединява всичко. съвременни теориикосмическа физика. Въпреки че може да изглежда невероятно, че "примитивна" култура е имала достъп до този вид информация, доказателствата са налице. Прочетете класическата книга на Прасада, засега можете да видите, че ведическата космология има присъщо научно умение.

Какво мислиш, че виждаш? е експлодираща звезда с изхвърлен прах от нея... Но тук очевидно има някакъв вид енергийно поле, структуриращо праха, докато се разширява в много точен геометричен модел:

Проблемът е, че типичните магнитни полета в конвенционалните физични модели просто не позволяват такава геометрична точност. Учените наистина не знаят как да разбират такива неща!

Изображението по-долу е НОВАТА мъглявина, която е перфектен "квадрат". Това обаче все още е двуизмерно мислене. Какво е квадрат в три измерения?
Разбира се, кубът!

Гледана в инфрачервени лъчи, мъглявината прилича на гигантска светеща кутия в небето с ярко бяло вътрешно ядро. Умиращата звезда MWC 922 лежи в центъра на системата и изхвърля вътрешността си от противоположните полюси в космоса. След като MWC 922 излъчи по-голямата част от материала си в космоса, той ще се свие в плътно звездно тяло, известно като бяло джудже, скрито в неговите остатъчни облаци.

Въпреки че е малко възможно експлозията на звездата да се разпространява само в една посока, създавайки по-пирамидална форма, това, което виждате, е перфектен куб в космоса. Тъй като и четирите страни на куба са с еднаква дължина и перфектни ъгли от 90° една спрямо друга и отново, кубът има структурираните „стъпки“, които видяхме в предишното изображение, учените са напълно объркани. Кубът има дори ПО-ГОЛЯМА СИМЕТРИЯ от "правоъгълната" мъглявина!

Такива модели се появяват не само в необятността на космоса. Те се срещат и на най-малкото ниво на атоми и молекули, например в кубичната структура на обикновената трапезна сол или натриевия хлорид. Ан Панг Цая (Япония) снима квазикристали от сплав алуминий-мед-желязо под формата на додекаедър и сплав алуминий-никел-кобалт под формата на десетоъгълна (десетстранна) призма (вижте снимката). Проблемът е в това не можете да създадете такива кристали, като използвате отделни атоми, свързани заедно.

Друг пример е кондензатът на Бозе-Айнщайн. Накратко, кондензатът на Бозе-Айнщайн е голяма група от атоми, които се държат като една „частица“, в която всеки атом, който го съставя, едновременно заема цялото пространство и цялото време в цялата структура. Измерва се, че всички атоми вибрират с еднаква честота, движат се с еднаква скорост и се намират в една и съща област на пространството. Парадоксално, но различните части на системата действат като едно цяло, губейки всички признаци на индивидуалност. Именно това свойство се изисква за „свръхпроводник“. Обикновено кондензатите на Бозе-Айнщайн могат да се образуват при изключително ниски температури. Но точно такива процеси наблюдаваме в микрокластери и квазикристали, лишени от индивидуална атомна идентичност.

Друг подобен процес е действието на лазерна светлина, известна като "кохерентна" светлина. Всичко в пространството и времето лазерният лъч се държи като единичен "фотон", тоест е невъзможно да се отделят отделни фотони в лазерен лъч.

Освен това в края на 1960 г английски физикХерберт Фрьолих предложи това живите системи често се държат като кондензатите на Бозе-Айнщайн, само в голям мащаб.

Снимките на мъглявината предлагат зашеметяващи видими доказателства, че геометрията е в действие. относнопо-голяма роля в силите на Вселената, отколкото повечето хора биха повярвали. Нашите учени могат само да се борят да разберат този феномен в рамките на съществуващите традиционни модели.

Стахов А.П.

Шифърът на Да Винчи, Платонови и Архимедови тела, квазикристали, фулерени, решетки на Пенроуз и свят на изкуствотоМайка Тея Крашек

анотация

Творчеството на словенската художничка Матюшка Тея Крашек е малко познато на рускоезичния читател. В същото време на Запад го наричат ​​"източноевропейския Ешер" и "словенския подарък" за световната културна общественост. Художествените й композиции са вдъхновени от най-новите научни открития (фулерени, квазикристали на Дан Шехтман, плочки на Пенроуз), които от своя страна се основават на правилни и полуправилни многоъгълници (тела на Платон и Архимед), златното сечение и числата на Фибоначи.

Какво представлява Шифърът на Да Винчи?

Със сигурност всеки човек е мислил повече от веднъж за въпроса защо природата е в състояние да създаде толкова невероятни хармонични структури, които радват и радват окото. Защо художници, поети, композитори, архитекти създават невероятни произведения на изкуството от век на век. Каква е тайната на тяхната Хармония и какви закони стоят в основата на тези хармонични създания?

Търсенето на тези закони, "Законите на хармонията на Вселената", започва в древната наука. Именно през този период от човешката история учените стигат до поредица от удивителни открития, които проникват в цялата история на науката. Първият от тях се смята за прекрасна математическа пропорция, изразяваща Хармонията. Нарича се по различен начин: "златно сечение", "златно число", "златна среда", "златно сечение"и дори „божествена пропорция“.Златното сечение се нарича още PHI номерв чест на великия древногръцки скулптор Фидий (Phidius), който използва това число в своите скулптури.

Трилърът "Шифърът на Да Винчи", написан от популярния английски писател Дан Браун, се превърна в бестселър на 21 век. Но какво означава Шифърът на Да Винчи? Има различни отговори на този въпрос. Известно е, че прочутото "Златно сечение" е било обект на голямо внимание и ентусиазъм на Леонардо да Винчи. Още повече, че самото име „Златно сечение” е въведено в европейската култура от Леонардо да Винчи. По инициатива на Леонардо известният италиански математик и учен монах Лука Пачоли, приятел и научен съветник на Леонардо да Винчи, издава книгата „Божествена пропорция“, първият в световната литература математически труд за Златното сечение, който авторът нарича „Божествено Пропорция“. Известно е също, че самият Леонардо е илюстрирал тази известна книга, като е нарисувал 60 прекрасни рисунки за нея. Именно тези факти, които не са много известни на широката научна общност, дават право да се изложи хипотезата, че Шифърът на Да Винчи не е нищо друго освен Златното сечение. И потвърждение на тази хипотеза може да се намери в лекция за студенти Харвардски университеткоито той помни главен геройкнигата "Шифърът на да Винчи" от проф. Лангдън:

„Въпреки почти мистичния си произход, PHI номерът е изиграл уникална роля по свой начин. Ролята на тухлата в основата на изграждането на целия живот на земята. Всички растения, животни и дори хората са надарени с физически пропорции, приблизително равен на корена от отношението на броя на PHI към 1. Това вездесъщо присъствие на PHI в природата ... показва връзката на всички живи същества. Преди се смяташе, че PHI числото е предварително определено от Създателя на Вселената. Учените от древността наричат ​​една точка шестстотин и осемнадесет хилядни „божествена пропорция“.

Така известното ирационално число PHI = 1,618, което Леонардо да Винчи нарича Златната среда, е Шифърът на Да Винчи!

Друго математическо откритие на древната наука е правилни полиедри, които бяха наименувани "Платонови тела"и "полуправилни многостени", на име „Архимедови тела“.Именно тези удивително красиви пространствени геометрични фигури са в основата на двете най-големи научни открития 20-ти век - квазикристали(автор на откритието е израелският физик Дан Шехтман) и фулерени(Нобелова награда 1996). Тези две открития са най-значимото потвърждение на факта, че именно Златната пропорция е Универсалният код на природата („Шифърът на Да Винчи“), който е в основата на Вселената.

Откриването на квазикристали и фулерени е вдъхновило много съвременни художници да създадат произведения, които отразяват най-важните физически открития на 20-ти век в художествена форма. Един от тези художници е словенският художник Майка Тея Крашек.Тази статия представя артистичния свят на Матюшка Тея Крашек през призмата на най-новите научни открития.

Платонови тела

Човек проявява интерес към правилните многоъгълници и многостени през цялата си съзнателна дейност - от двегодишно дете, което играе с дървени кубчета, до зрял математик. Някои от правилните и полуправилните тела се срещат естествено като кристали, други като вируси, които могат да се видят с електронен микроскоп.

Какво е правилен многостен? Многостенът се нарича правилен, ако всички негови лица са равни (или съвпадащи) едно с друго и в същото време са правилни многоъгълници. Колко правилни многостени има? На пръв поглед отговорът на този въпрос е много прост – колкото са правилните многоъгълници. Обаче не е така. В Елементите на Евклид намираме строго доказателство, че има само пет изпъкнали правилни многостени и че само три вида правилни многоъгълници могат да бъдат техните лица: триъгълници, квадратии петоъгълници (правилни петоъгълници).

Много книги са посветени на теорията на полиедрите. Една от най-известните е книгата на английския математик М. Уенигер "Модели на полиедри". В руски превод тази книга е публикувана от издателство "Мир" през 1974 г. Епиграфът към книгата е изявлението на Бертран Ръсел: "Математиката притежава не само истина, но и висока красота - красота, изпипана и строга, възвишено чиста и стремяща се към истинско съвършенство, характерна само за най-великите образци на изкуството."

Книгата започва с описание на т.нар правилни полиедри, тоест полиедри, образувани от най-простите правилни многоъгълници от същия тип. Тези полиедри се наричат Платонови тела(Фиг. 1) , кръстен на древногръцкия философ Платон, който използва правилни полиедри в своите космология.

Снимка 1.Платонови тела: (а) октаедър ("Огън"), (б) хексаедър или куб ("Земя"),

(c) октаедър ("Въздух"), (d) икосаедър ("Вода"), (e) додекаедър ("Универсален разум")

Ще започнем нашето разглеждане с правилни полиедри, чиито лица са равностранни триъгълници.Първият от тях е тетраедър(фиг.1-а). В тетраедър три равностранни триъгълника се срещат в един връх; докато техните основи образуват нов равностранен триъгълник. Тетраедърът има най-малкото числолица сред Платоновите тела и е триизмерен аналог на плосък правоъгълен триъгълник, който има най-малък брой страни сред правилните многоъгълници.

Следващото тяло, което е образувано от равностранни триъгълници, се нарича октаедър(Фиг.1-б). В октаедър четири триъгълника се срещат в един връх; резултатът е пирамида с четириъгълна основа. Ако свържете две такива пирамиди с основи, ще получите симетрично тяло с осем триъгълни лица - октаедър.

Сега можете да опитате да свържете пет равностранни триъгълника в една точка. Резултатът е фигура с 20 триъгълни лица - икосаедър(фиг.1-г).

Следващата форма на правилен многоъгълник е − квадрат.Ако свържем три квадрата в една точка и след това добавим още три, получаваме перфектна формас шест страни, нар хексаедърили куб(фиг. 1-в).

И накрая, има друга възможност за конструиране на правилен многостен въз основа на използването на следния правилен многоъгълник − Пентагон. Ако съберем 12 петоъгълника по такъв начин, че три петоъгълника да се срещнат във всяка точка, получаваме друго Платоново тяло, т.нар. додекаедър(Фиг.1-д).

Следващият правилен многоъгълник е шестоъгълник. Ако обаче свържем три шестоъгълника в една точка, тогава получаваме повърхност, тоест е невъзможно да се изгради триизмерна фигура от шестоъгълници. Всички други правилни многоъгълници над шестоъгълник изобщо не могат да образуват твърди тела. От тези съображения следва, че има само пет правилни полиедъра, чиито лица могат да бъдат само равностранни триъгълници, квадрати и петоъгълници.

Има удивителни геометрични връзки между всички правилни полиедри. Например, куб(Фиг.1-б) и октаедър(фиг.1-в) са двойни, т.е. се получават един от друг, ако центроидите на лицата на единия се приемат за върхове на другия и обратно. По същия начин двоен икосаедър(фиг.1-d) и додекаедър(Фиг.1-д) . Тетраедър(Фиг.1-а) е дуален на себе си. Додекаедърът се получава от куба чрез конструиране на "покриви" върху лицата му (метод на Евклид), върховете на тетраедъра са всеки четири върха на куба, които не са съседни по двойки по ръба, тоест всички останали правилни полиедри могат да бъдат получени от куба. Самият факт за съществуването само на пет наистина правилни полиедъра е удивителен - все пак в равнината има безкрайно много правилни многоъгълници!

Числени характеристики на платонови тела

Основните числени характеристики Платонови телае броят на страните на лицето м,броя на лицата, събиращи се във всеки връх, м,брой лица Ж, брой върхове AT,брой ребра Ри броя на плоските ъгли Привърху повърхността на полиедър, Ойлер открива и доказва известната формула

V - P + G = 2,

свързване на броя на върховете, ръбовете и лицата на всеки изпъкнал многостен. Горните числени характеристики са дадени в табл. един.

маса 1

Числени характеристики на платонови тела

Многостен	Броят на страните на лицето, м	Броят на лицата, събиращи се във върха, н	Брой лица	Брой върхове	Брой ребра	Брой плоски ъгли на повърхност
Тетраедър
Хексаедър (куб)
икосаедър
додекаедър

Златно сечение в додекаедър и икосаедър

Додекаедърът и неговият двоен икосаедър (фиг. 1-d, e) заемат специално място сред Платонови тела. На първо място трябва да се подчертае, че геометрията додекаедъри икосаедърпряко свързани със златното сечение. Наистина ръбовете додекаедър(фиг.1-д) са петоъгълници, т.е. правилни петоъгълници, базирани на златното сечение. Ако се вгледате внимателно в икосаедър(фиг. 1-d), тогава можете да видите, че пет триъгълника се събират във всеки от върховете му, външните страни на които образуват петоъгълник. Вече тези факти са достатъчни, за да сме сигурни, че златното сечение играе съществена роля в изграждането на тези две Платонови тела.

Но има по-дълбоки математически доказателства за фундаменталната роля, която играе златното сечение в икосаедъри додекаедър. Известно е, че тези тела имат три специфични сфери. Първата (вътрешна) сфера е вписана в тялото и се допира до лицата му. Нека обозначим радиуса на тази вътрешна сфера като R i. Втората или средната сфера докосва нейните краища. Нека обозначим радиуса на тази сфера като R m .И накрая, третата (външна) сфера е описана около тялото и минава през неговите върхове. Нека обозначим неговия радиус с Rc. В геометрията е доказано, че стойностите на радиусите на посочените сфери за додекаедъри икосаедър, който има ръб с единица дължина, се изразява чрез златното сечение t (Таблица 2).

таблица 2

Златното сечение в сферите на додекаедъра и икосаедъра

икосаедър
додекаедър

Имайте предвид, че съотношението на радиусите = е същото като за икосаедър, и за додекаедър. По този начин, ако додекаедъри икосаедъримат еднакви вписани сфери, то описаните им сфери също са равни една на друга. Доказателството за този математически резултат е дадено в НаченкиЕвклид.

В геометрията са известни и други отношения додекаедъри икосаедърпотвърждавайки връзката им със златното сечение. Например, ако вземем икосаедъри додекаедърс дължина на ръба, равна на единица, и се изчислява тяхната външна площ и обем, след което те се изразяват чрез златното сечение (Таблица 3).

Таблица 3

Златно сечение във външната зона и обем на додекаедъра и икосаедъра

	икосаедър	додекаедър
външна зона

По този начин има огромен брой връзки, получени от древните математици, потвърждаващи забележителния факт, че е златното сечение е основната пропорция на додекаедъра и икосаедъра, като този факт е особено интересен от гледна точка на т.нар "додекаедрично-икосаедрична доктрина",които ще разгледаме по-долу.

Космологията на Платон

Правилните полиедри, разгледани по-горе, се наричат Платонови тела, тъй като те заемат важно място във философската концепция на Платон за структурата на Вселената.

Платон (427-347 пр.н.е.)

Четири полиедра олицетворяваха в него четири същности или „елементи“. Тетраедърсимволизиран огън, тъй като върхът му е насочен нагоре; икосаедър — вода, тъй като е най-"рационализираният" многостен; куб — земя, като най-"стабилен" полиедър; Октаедър — Въздух, като най-„въздушния“ полиедър. Пети полиедър, додекаедър, олицетворява „всичко съществуващо“, „Универсален разум“, символизира цялата вселена и се смята основната геометрична фигура на Вселената.

Древните гърци смятат хармоничните взаимоотношения за основа на Вселената, така че четирите елемента са свързани с такава пропорция: земя / вода = въздух / огън. Атомите на "елементите" са били настроени от Платон в съвършени съзвучия, като четирите струни на лира. Спомнете си, че съзвучието е приятно съзвучие. Във връзка с тези тела би било уместно да се каже, че такава система от елементи, включваща четири елемента - земя, вода, въздух и огън, е канонизирана от Аристотел. Тези елементи остават четирите крайъгълни камъка на Вселената в продължение на много векове. Напълно възможно е да ги идентифицираме с четирите познати ни състояния на материята – твърдо, течно, газообразно и плазмено.

По този начин древните гърци свързват идеята за "чрез" хармонията на битието с нейното въплъщение в платоновите тела. Влиянието на известния гръцки мислител Платон също се отразява НаченкиЕвклид. В тази книга, която векове наред е била единственият учебник по геометрия, е дадено описание на "идеалните" линии и "идеалните" фигури. Най-"идеалната" линия - прав, а най-"идеалният" многоъгълник - правилен многоъгълник,имайки равни странии равни ъгли. Може да се разгледа най-простият правилен многоъгълник равностранен триъгълник,тъй като има най-малък брой страни, които могат да ограничат част от равнината. Интересно е че НаченкиЕвклид започва с описание на конструкцията правоъгълен триъгълники завършва с пет Платонови тела.забележи това Платонови телапосветена на последната, тоест 13-та книга започнаЕвклид. Между другото, този факт, тоест поставянето на теорията за правилните полиедри в последната (тоест, така да се каже, най-важната) книга започнаЕвклид, даде повод на древногръцкия математик Прокъл, който беше коментатор на Евклид, да изложи интересна хипотеза за истинските цели, преследвани от Евклид, създавайки своя Наченки. Според Прокъл Евклид създава Наченкине с цел представяне на геометрията като такава, а за да даде пълна систематизирана теория за изграждането на "идеални" фигури, по-специално пет Платонови тела, като по пътя подчертава някои от най-новите постижения в математиката!

Неслучайно един от авторите на откритието на фулерените, нобеловият лауреат Харолд Крото, в своята нобелова лекция започва разказа си за симетрията като „основа на нашето възприемане на физическия свят“ и нейната „роля в опитите за обяснение на то всеобхватно” именно с Платонови телаи "елементите на всички неща": „Концепцията за структурна симетрия датира от древността...“ Най-известните примери могат, разбира се, да бъдат намерени в „Тимей“ на Платон, където в раздел 53, отнасяйки се до „Елементите“, той пише: „Първо, на всеки ( !) , разбира се, ясно е, че огънят и земята, водата и въздухът са тела и всяко тяло е твърдо ”(!!) Платон обсъжда проблемите на химията на езика на тези четири елемента и ги свързва с четири платонови тела (по това време само четири, докато Хипарх не е открил петия - додекаедъра). Въпреки че на пръв поглед подобна философия може да изглежда донякъде наивна, тя показва дълбоко разбиране на това как природата всъщност функционира.

Архимедови тела

Полуправилни многостени

Известни са още много съвършени тела, т.нар полуправилни многостениили Архимедови тела.Те също така имат всички многостенни ъгли равни и всички лица са правилни многоъгълници, но няколко различни видове. Има 13 полуправилни полиедра, чието откритие се приписва на Архимед.

Архимед (287 пр.н.е. - 212 пр.н.е.)

Много Архимедови теламогат да бъдат разделени на няколко групи. Първият от тях се състои от пет полиедра, които се получават от Платонови телав резултат на тяхното съкращаване.Скъсеното тяло е тяло с отрязан връх. За Платонови телаотрязването може да се извърши по такъв начин, че както получените нови лица, така и останалите части на старите да са правилни многоъгълници. Например, тетраедър(Фиг. 1-а) може да се отреже, така че четирите му триъгълни лица да се превърнат в четири шестоъгълни и към тях да се добавят четири правилни триъгълни лица. По този начин пет Архимедови тела: пресечен тетраедър, пресечен хексаедър (куб), пресечен октаедър, пресечен додекаедъри пресечен икосаедър(фиг. 2).

(а)	б)	(в)

(G)	д)

Фигура 2. Архимедови тела: (a) пресечен тетраедър, (b) пресечен куб, (c) пресечен октаедър, (d) пресечен додекаедър, (e) пресечен икосаедър

В своята Нобелова лекция американският учен Смоли, един от авторите на експерименталното откритие на фулерените, говори за Архимед (287-212 г. пр. н. е.) като първия изследовател на пресечени полиедри, по-специално, пресечен икосаедър, но с уговорката, че може би Архимед си присвоява тази заслуга и може би икосаедрите са били пресечени много преди него. Достатъчно е да споменем тези, намерени в Шотландия и датирани около 2000 г. пр.н.е. стотици каменни предмети (очевидно за ритуални цели) във формата на сфери и разн полиедри(тела, ограничени от всички страни с плоски лица), включително икосаедри и додекаедри. Оригиналната работа на Архимед, за съжаление, не е запазена и резултатите от нея са достигнали до нас, както се казва, „втора ръка“. През Ренесанса всички Архимедови телаедин след друг бяха "открити" наново. В крайна сметка Кеплер през 1619 г. в книгата си "Световна хармония" ("Harmonice Mundi") дава изчерпателно описание на целия набор от архимедови тела - полиедри, всяко лице на които е правилен многоъгълник, и всичко върховеса в еквивалентна позиция (като въглеродните атоми в молекулата C60). Архимедовите тела се състоят от поне две различни видовеполигони, за разлика от 5 Платонови тела, чиито лица са еднакви (както в молекулата C 20 например).

Фигура 3. Конструкция на архимедовия пресечен икосаедър
от платоновия икосаедър

И така, как се конструира Архимедов пресечен икосаедърот Платонов икосаедър? Отговорът е илюстриран с помощта на фиг. 3. Действително, както се вижда от табл. 1, 5 лица се събират във всеки от 12-те върха на икосаедъра. Ако във всеки връх 12 части на икосаедъра се отрязват (отрязват) от равнина, тогава се образуват 12 нови петоъгълни лица. Заедно с вече съществуващите 20 лица, които след такова изрязване са се превърнали от триъгълни в шестоъгълни, те ще съставляват 32 лица на пресечен икосаедър. В този случай ще има 90 ръба и 60 върха.

друга група Архимедови теласъставят две тела т.нар квази-правилнополиедри. Частицата „квази“ подчертава, че лицата на тези полиедри са правилни многоъгълници само от два вида, като всяко лице от един тип е заобиколено от многоъгълници от друг тип. Тези две тела се наричат ромбокубооктаедъри икозидодекаедър(фиг. 4).

Фигура 5. Архимедови тела: (a) ромбокубооктаедър, (b) ромбикозидодекаедър

И накрая, има две така наречени "снуб" модификации - едната за куба ( куб), другият е за додекаедъра ( изпъкнал додекаедър) (фиг. 6).

(а)	б)

Фигура 6Архимедови тела: (а) изпъкнал куб, (б) изпъкнал додекаедър

В споменатата книга на Wenniger "Models of Polyhedra" (1974) читателят може да намери 75 различни модела на правилни многостени. „Теорията на полиедрите, по-специално на изпъкналите полиедри, е една от най-очарователните глави на геометрията“- това е мнението на руския математик Л.А. Люстернак, който направи много в тази област на математиката. Развитието на тази теория е свързано с имената на видни учени. Голям принос за развитието на теорията на полиедрите има Йоханес Кеплер (1571-1630). По едно време той написа етюда „За една снежинка“, в който направи следната забележка: „Сред правилните тела най-първият, началото и прародителят на останалите е кубът, а неговият партньор, ако мога така да се изразя, е октаедърът, тъй като октаедърът има толкова ъгли, колкото лица има кубът.“Кеплер е първият, който публикува пълен списъктринадесет Архимедови телаи им дал имената, с които са известни и до днес.

Кеплер пръв изследва т.нар звездни полиедри,които за разлика от платоновото и архимедовото тела са правилни изпъкнали полиедри. В началото на миналия век френският математик и механик Л. Поансо (1777-1859), чиито геометрични работи се отнасят до звездообразни полиедри, развива работата на Кеплер и открива съществуването на още два вида правилни неизпъкнали полиедри. И така, благодарение на работата на Кеплер и Поансо, станаха известни четири вида такива фигури (фиг. 7). През 1812 г. О. Коши доказва, че няма други правилни многогранници с форма на звезда.

Фигура 7Правилни звездни полиедри (тела на Poinsot)

Много читатели може да имат въпрос: „Защо изобщо да изучаваме правилни полиедри? Каква е ползата от тях?" На този въпрос може да се отговори: „А каква е ползата от музика или поезия? Всичко красиво полезно ли е? Моделите на полиедри, показани на фиг. 1-7, на първо място, ни правят естетическо впечатление и могат да се използват като декоративни орнаменти. Но всъщност широкото проявление на правилните полиедри в природните структури предизвика голям интерес към този клон на геометрията в съвременна наука.

Мистерията на египетския календар

Какво е календар?

Една руска поговорка гласи: „Времето е окото на историята“. Всичко, което съществува във Вселената: Слънцето, Земята, звездите, планетите, познатите и непознатите светове и всичко, което съществува в природата, живо и неодушевено, всичко има пространствено-времево измерение. Времето се измерва чрез наблюдение на периодично повтарящи се процеси с определена продължителност.

Още в древността хората са забелязали, че денят винаги отстъпва място на нощта, а сезоните преминават в строга последователност: пролетта идва след зимата, лятото след пролетта, есента след лятото. В търсене на ключ към тези явления, човекът насочи вниманието към небесните тела - Слънцето, Луната, звездите - и към строгата периодичност на тяхното движение по небето. Това са първите наблюдения, предшестващи раждането на една от най-древните науки - астрономията.

Астрономията основава измерването на времето на движението на небесните тела, което отразява три фактора: въртенето на Земята около оста си, въртенето на Луната около Земята и движението на Земята около Слънцето. На кое от тези явления се основава измерването на времето, зависят и различните концепции за времето. Астрономията знае звезденвреме, слънчевовреме, местенвреме, талиявреме, отпуск по майчинствовреме, атоменвреме и др.

Слънцето, както всички други светила, участва в движението по небето. В допълнение към дневното движение, Слънцето има така нареченото годишно движение, а целият път на годишното движение на Слънцето по небето се нарича еклиптика.Ако например забележим разположението на съзвездията в определен вечерен час и след това повтаряме това наблюдение всеки месец, тогава пред нас ще се появи различна картина на небето. Изгледът на звездното небе се променя непрекъснато: всеки сезон има своя собствена картина на вечерните съзвездия и всяка такава картина се повтаря всяка година. Следователно, след изтичане на годината, Слънцето по отношение на звездите се връща на първоначалното си място.

За удобство на ориентацията в звездния свят астрономите разделиха цялото небе на 88 съзвездия. Всеки от тях има свое име. От 88-те съзвездия особено място в астрономията заемат тези, през които минава еклиптиката. Тези съзвездия, в допълнение към собствените си имена, имат и обобщено име - зодиакален(от гръцка дума"зооп" - животно), както и символи (знаци), широко известни в целия свят и различни алегорични изображения, включени в календарните системи.

Известно е, че в процеса на движение по еклиптиката Слънцето пресича 13 съзвездия. Астрономите обаче намериха за необходимо да разделят пътя на Слънцето не на 13, а на 12 части, обединявайки съзвездията Скорпион и Змиеносец в едно - под общото име Скорпион (защо?).

С проблемите на измерването на времето се занимава специална наука, т.нар хронология.Той е в основата на всички календарни системи, създадени от човечеството. Създаването на календари в древността е една от най-важните задачи на астрономията.

Какво е "календар" и какви са календарни системи? Слово календаридва от латинската дума календариум, което буквално означава "дългова книга"; в такива книги бяха посочени първите дни на всеки месец - календи,в който в Древен Римдлъжниците плащат лихва.

От древни времена в страните от Източна и Югоизточна Азияпри изработка на календари голямо значениедаде периодичността на движението на Слънцето, Луната, както и Юпитери Сатурн, двете гигантски планети от Слънчевата система. Има основание да се смята, че идеята за създаване юпитериански календарс небесна символика на 12-годишния животински цикъл, свързан с въртенето Юпитероколо Слънцето, което прави пълна обиколка около Слънцето за около 12 години (11,862 години). От друга страна, втората гигантска планета на Слънчевата система - Сатурнправи пълна обиколка около Слънцето за около 30 години (29,458 години). В желанието си да координират циклите на движение на гигантските планети, древните китайци излязоха с идеята да въведат 60-годишен цикъл на Слънчевата система. По време на този цикъл Сатурн прави 2 пълни завъртания около Слънцето, а Юпитер - 5 завъртания.

При създаването на годишните календари се използват астрономически явления: смяната на деня и нощта, смяната на лунните фази и смяната на сезоните. Използването на различни астрономически явления доведе до създаването на три вида календари сред различните народи: лунен,въз основа на движението на луната, слънчева,въз основа на движението на слънцето и лунно-слънчева.

Структурата на египетския календар

Един от първите слънчеви календари беше египетски, създаден през 4-то хилядолетие пр.н.е. Оригиналната египетска календарна година се състоеше от 360 дни. Годината беше разделена на 12 месеца по точно 30 дни всеки. По-късно обаче се установи, че такава продължителност на календарната година не съответства на астрономическата. И тогава египтяните добавили още 5 дни към календарната година, които обаче не били дните на месеците. Беше 5 официални празницисвързване на съседни календарни години. По този начин египетската календарна година има следната структура: 365 = 12ґ 30 + 5. Имайте предвид, че египетският календар е прототипът на съвременния календар.

Възниква въпросът защо египтяните са разделили календарната година на 12 месеца? Все пак имаше календари с различен брой месеци в годината. Например в календара на маите годината се е състояла от 18 месеца по 20 дни на месец. Следващият въпрос относно египетския календар е защо всеки месец е имал точно 30 дни ( по-точно дни)? Някои въпроси могат да бъдат повдигнати относно египетската система за измерване на времето, по-специално относно избора на такива единици за време като час, минута, секунда.По-специално възниква въпросът: защо часовата единица е избрана така, че да пасва точно 24 пъти на ден, тоест защо 1 ден = 24 (2ґ 12) часа? Освен това: защо 1 час = 60 минути и 1 минута = 60 секунди? Същите въпроси важат и за избора на единици за ъглови величини, по-специално: защо кръгът е разделен на 360°, тоест защо 2p = 360° = 12ґ 30°? Към тези въпроси се добавят и други, по-специално: защо астрономите сметнаха за целесъобразно да считат, че има 12 зодиакаленпризнаци, въпреки че всъщност в процеса на движението си по еклиптиката Слънцето пресича 13 съзвездия? И още един "странен" въпрос: защо вавилонската бройна система има много необичайна основа - числото 60?

Връзка на египетския календар с числените характеристики на додекаедъра

Анализирайки египетския календар, както и египетските системи за измерване на време и ъглови стойности, откриваме, че четири числа се повтарят с удивително постоянство: 12, 30, 60 и произлизащото от тях число 360 \u003d 12ґ 30. Възниква въпросът: има ли някаква фундаментална научна идея, която би могла да даде просто и логично обяснение за използването на тези числа в египетските системи?

За да отговорим на този въпрос, се обръщаме отново към додекаедърпоказано на фиг. 1-г. Спомнете си, че всички геометрични съотношения на додекаедъра се основават на златното сечение.

Познавали ли са египтяните додекаедъра? Историците на математиката признават, че древните египтяни са имали познания за правилните полиедри. Но знаеха ли и петте правилни многостена, в частност додекаедъри икосаедъркак най-трудните? Древногръцкият математик Прокъл приписва изграждането на правилни полиедри на Питагор. Но много математически теореми и резултати (по-специално, Питагорова теорема) Питагор заимства от древните египтяни по време на много дългото си „командировъчно пътуване“ до Египет (според някои сведения Питагор е живял в Египет 22 години!). Следователно можем да предположим, че Питагор също е заимствал знания за правилните многостени от древните египтяни (и вероятно от древните вавилонци, тъй като според легендата Питагор е живял в древен Вавилон в продължение на 12 години). Но има други, по-солидни доказателства, че египтяните са имали информация за всичките пет правилни полиедра. По-специално, в Британския музей има зар от ерата на Птолемеите, който има формата икосаедър, тоест „платоновото тяло“, двойственото додекаедър. Всички тези факти ни дават право да изложим хипотезата, че Египтяните са познавали додекаедъра.И ако това е така, то от тази хипотеза следва много хармонична система, която позволява да се обясни произходът на египетския календар, а в същото време и произходът на египетската система за измерване на времеви интервали и геометрични ъгли.

По-рано установихме, че додекаедърът има 12 лица, 30 ръба и 60 плоски ъгли на повърхността си (Таблица 1). Въз основа на хипотезата, че египтяните са знаели додекаедъри числените му характеристики са 12, 30. 60, тогава каква беше тяхната изненада, когато откриха, че циклите на слънчевата система се изразяват с едни и същи числа, а именно 12-годишният цикъл на Юпитер, 30-годишният цикъл на Сатурн и накрая 60-летния цикъл на слънчевата система. По този начин, между такава перфектна пространствена фигура като додекаедър, и слънчева система, има дълбока математическа връзка! Това заключение е направено от древни учени. Това доведе до факта, че додекаедъре приет за „главна фигура”, която символизира Хармония на Вселената. И тогава египтяните решиха, че всичките им основни системи (календарна система, система за измерване на времето, система за измерване на ъгли) трябва да съответстват на числови параметри. додекаедър! Тъй като според идеите на древните движението на Слънцето по еклиптиката е имало строго кръгов характер, тогава, след като са избрали 12 знака на Зодиака, разстоянието на дъгата между които е точно 30 °, египтяните изненадващо красиво се съгласяват годишно движениеСлънца по еклиптиката със структурата на тяхната календарна година: един месец съответстваше на движението на Слънцето по еклиптиката между два съседни знака на Зодиака!Освен това движението на Слънцето с един градус съответства на един ден в Египет Календарна година! В този случай еклиптиката автоматично се разделя на 360°. Разделяйки всеки ден на две части, следвайки додекаедъра, египтяните разделят всяка половина от деня на 12 части (12 лица додекаедър) и така въведен часе най-важната единица време. Разделяне на един час на 60 минути (60 плоски ъгъла на повърхността додекаедър), въведени от египтяните по този начин минутае следващата важна единица време. По същия начин те влязоха дай ми секунда- най-малката единица време за този период.

По този начин, избирайки додекаедъркато основна "хармонична" фигура на Вселената и следвайки стриктно числените характеристики на додекаедъра 12, 30, 60, египтяните успяват да изградят изключително хармоничен календар, както и системи за измерване на време и ъглови стойности. Тези системи бяха в пълно съгласие с тяхната "Теория за хармонията", основана на златното сечение, тъй като именно тази пропорция е в основата додекаедър.

Тези изненадващи заключения следват от сравнението додекаедърсъс слънчевата система. И ако нашата хипотеза е вярна (нека някой се опита да я опровергае), тогава следва, че в продължение на много хилядолетия човечеството живее под знака на златното сечение! И всеки път, когато погледнем циферблата на часовника си, който също е изграден върху използването на числови характеристики додекаедър 12, 30 и 60 се докосваме до основната "Мистерия на Вселената" - златното сечение, без да го знаем!

Квазикристали от Дан Шехтман

На 12 ноември 1984 г. в кратка статия, публикувана в авторитетното списание Physical Review Letters от израелския физик Дан Шехтман, са представени експериментални доказателства за съществуването на метална сплав с изключителни свойства. При изследване чрез методи на електронна дифракция тази сплав показва всички признаци на кристал. Неговата дифракционна картина е съставена от ярки и равномерно разположени точки, точно като кристал. Тази картина обаче се характеризира с наличието на "икосаедрична" или "петоъгълна" симетрия, което е строго забранено в кристал поради геометрични съображения. Такива необичайни сплави бяха наречени квазикристали.За по-малко от година бяха открити много други сплави от този тип. Имаше толкова много от тях, че квазикристалното състояние се оказа много по-често срещано, отколкото може да се предположи.

Израелският физик Дан Шехтман

Концепцията за квазикристал е от фундаментален интерес, тъй като обобщава и допълва определението за кристал. Теория, базирана на тази концепция, заменя вековната идея за "структурна единица, повтаряща се в пространството по строго периодичен начин" с ключовата концепция далечен ред.Както се подчертава в статията "Квазикристали" известен физик D Gratia, „Тази концепция доведе до разширяването на кристалографията, чиито преоткрити богатства тепърва започваме да изследваме. Значението му в света на минералите може да се постави наравно с добавянето на концепцията за ирационални числа към рационалните в математиката.

Какво е квазикристал? Какви са неговите свойства и как може да се опише? Както бе споменато по-горе, според основен закон на кристалографиятасе налагат строги ограничения върху кристалната структура. Според класическите представи кристалът се състои ad infinitum от една клетка, която трябва плътно (лице в лице) да „покрие“ цялата равнина без никакви ограничения.

Както е известно, плътното запълване на равнината може да се извърши с помощта на триъгълници(фиг.7-а), квадрати(фиг.7-b) и шестоъгълници(фиг. 7-d). Като се използва петоъгълници (петоъгълници) такова запълване е невъзможно (фиг. 7-в).

а)	б)	в)	G)

Фигура 7Плътното запълване на равнината може да се извърши с помощта на триъгълници (a), квадрати (b) и шестоъгълници (d)

Това бяха каноните на традиционната кристалография, съществувала преди откриването на необичайна сплав от алуминий и манган, наречена квазикристал. Такава сплав се образува чрез ултрабързо охлаждане на стопилката със скорост 10 6 К в секунда. В същото време, по време на дифракционно изследване на такава сплав, на екрана се показва подреден модел, който е характерен за симетрията на икосаедъра, който има известните забранени оси на симетрия от 5-ти ред.

Няколко научни групи по света през следващите няколко години изследваха тази необичайна сплав чрез електронна микроскопия. с висока резолюция. Всички те потвърждават идеалната хомогенност на материята, при която симетрията от 5-ти ред се запазва в макроскопични области с размери, близки до тези на атомите (няколко десетки нанометра).

Според съвременните възгледи е разработен следният модел за получаване на кристалната структура на квазикристал. Този модел се основава на концепцията за "основен елемент". Според този модел вътрешният икосаедър от алуминиеви атоми е заобиколен от външния икосаедър от манганови атоми. Икосаедрите са свързани с октаедри от манганови атоми. „Основният елемент“ има 42 атома алуминий и 12 атома манган. В процеса на втвърдяване има бързо образуване на "основни елементи", които бързо се свързват помежду си чрез твърди октаедрични "мостове". Спомнете си, че лицата на икосаедъра са равностранни триъгълници. За да се образува октаедричен мост от манган, е необходимо два такива триъгълника (по един във всяка клетка) да се приближат достатъчно близо един до друг и да се подредят успоредно. В резултат на такъв физически процес се образува квазикристална структура с "икосаедрична" симетрия.

През последните десетилетия бяха открити много видове квазикристални сплави. Освен че имат "икосаедрична" симетрия (5-ти ред), има и сплави с декагонална симетрия (10-ти ред) и дванадесетоъгълна симетрия (12-ти ред). Физическите свойства на квазикристалите започнаха да се изследват едва наскоро.

Какво е практическото значение на откриването на квазикристалите? Както е отбелязано в статията на Gratia, цитирана по-горе, „механичната якост на квазикристалните сплави нараства драматично; липсата на периодичност води до забавяне на разпространението на дислокации в сравнение с конвенционалните метали ... Това свойство е от голямо практическо значение: използването на икосаедричната фаза ще направи възможно получаването на леки и много здрави сплави чрез въвеждане на малки частици от квазикристали в алуминиева матрица.

Какво е методологическото значение на откриването на квазикристалите? На първо място, откриването на квазикристалите е момент на голям триумф на „додекаедрично-икосаедричната доктрина“, която прониква в цялата история на естествените науки и е източник на дълбоки и полезни научни идеи. Второ, квазикристалите унищожиха традиционната представа за непреодолимото разделение между света на минералите, в който "петоъгълната" симетрия беше забранена, и света на дивата природа, където "петоъгълната" симетрия е една от най-често срещаните. И не трябва да забравяме, че основната пропорция на икосаедъра е "златното сечение". И откриването на квазикристали е още едно научно потвърждение, че може би именно „златната пропорция“, която се проявява както в света на дивата природа, така и в света на минералите, е основната пропорция на Вселената.

Плочки Пенроуз

Когато Дан Шехтман даде експериментално доказателство за съществуването на квазикристали с икосаедрична симетрия, физици в търсене на теоретично обяснение на феномена квазикристали, обърнаха внимание на математическо откритие, направено 10 години по-рано от английския математик Роджър Пенроуз. Като "плосък аналог" на квазикристалите избрахме плочки Пенроуз, които са апериодични правилни структури, образувани от "дебели" и "тънки" ромби, подчиняващи се на пропорциите на "златното сечение". Точно плочки Пенроузса приети от кристалографите, за да обяснят явлението квазикристали. В същото време ролята Диаманти Пенроузв пространството на трите измерения започна да играе икосаедри, с помощта на които се осъществява плътно запълване на триизмерното пространство.

Разгледайте отново внимателно петоъгълника на фиг. осем.

Фигура 8Пентагон

След начертаване на диагонали в него, оригиналният петоъгълник може да бъде представен като набор от три вида геометрични форми. В центъра има нов петоъгълник, образуван от пресечните точки на диагоналите. Освен това петоъгълникът на фиг. 8 включва пет равнобедрени триъгълника, оцветени в жълто, и пет равнобедрени триъгълника, оцветени в червено. Жълтите триъгълници са "златни", защото отношението на бедрото към основата е равно на златното сечение; имат остри ъгли от 36° на върха и остри ъгли от 72° в основата. Червените триъгълници също са "златни", тъй като съотношението на бедрата към основата е равно на златното сечение; те имат тъп ъгъл от 108° на върха и остри ъгли от 36° в основата.

А сега нека свържем два жълти триъгълника и два червени триъгълника с техните основи. В резултат на това получаваме две "златен" ромб. Първият (жълт) има остър ъгълпри 36° и тъп ъгъл при 144° (фиг. 9).

(а)	б)

Фигура 9."Златни" ромби: а) "тънък" ромб; (б) "дебел" ромб

Ромб на фиг. 9-а ще се обадим тънък ромб,и ромбът на фиг. 9-б - дебел ромб.

Английският математик и физик Роджърс Пенроуз използва "златни" ромби на фиг. 9 за изграждането на "златния" паркет, който беше наречен Плочки Пенроуз.Плочките Penrose са комбинация от дебели и тънки диаманти, показани на фиг. десет.

Фигура 10. Плочки Penrose

Важно е да се подчертае, че плочки Пенроузимат "петоъгълна" симетрия или симетрия от 5-ти ред, а съотношението на броя на дебелите ромби към тънките клони към златното сечение!

Фулерени

А сега нека поговорим за още едно изключително съвременно откритие в областта на химията. Това откритие е направено през 1985 г., тоест няколко години по-късно от квазикристалите. Говорим за така наречените „фулерени“. Терминът "фулерени" се отнася до затворени молекули като С 60, С 70, С 76, С 84, в които всички въглеродни атоми са разположени върху сферична или сфероидна повърхност. В тези молекули въглеродните атоми са разположени във върховете на правилни шестоъгълници или петоъгълници, които покриват повърхността на сфера или сфероид. Централното място сред фулерените се заема от молекулата С 60, която се характеризира с най-висока симетрия и в резултат на това най-висока стабилност. В тази молекула, наподобяваща гума за футболна топка и имаща структурата на правилен пресечен икосаедър (фиг. 2e и фиг. 3), въглеродните атоми са разположени върху сферична повърхност във върховете на 20 правилни шестоъгълника и 12 правилни петоъгълника, така че всеки шестоъгълник граничи с три шестоъгълника и три петоъгълника, а всеки петоъгълник е ограден с шестоъгълници.

Терминът "фулерен" произлиза от името на американския архитект Бъкминстър Фулър, който, оказва се, е използвал такива структури при изграждането на куполи на сгради (още една употреба на пресечен икосаедър!).

"Фулерените" са по същество "създадени от човека" структури, получени от фундаментални изследвания на физиката. За първи път те са синтезирани от учените Г. Крото и Р. Смолли (получили през 1996 г. Нобелова наградаза това откритие). Но те неочаквано бяха открити в скалите от докамбрийския период, тоест фулерените се оказаха не само „изкуствени“, но и естествени образувания. Сега фулерените се изследват интензивно в лаборатории. различни страни, опитвайки се да установи условията за тяхното образуване, структура, свойства и възможни области на приложение. Най-пълно изученият представител на семейството на фулерените е фулерен-60 (C 60) (понякога се нарича бъкминстер-фулерен. Известни са също фулерени C 70 и C 84. Фулерен C 60 се получава чрез изпаряване на графит в хелиева атмосфера. Това образува фин прах, подобен на сажди, съдържащ 10% въглерод, когато се разтвори в бензен, прахът дава червен разтвор, от който се отглеждат кристали С 60. физични свойства. И така, при високо налягане С 60 става твърд, като диамант. Неговите молекули образуват кристална структура, сякаш състояща се от идеално гладки топки, свободно въртящи се в гранецентрирана кубична решетка. Благодарение на това свойство C 60 може да се използва като твърда смазка. Фулерените също имат магнитни и свръхпроводящи свойства.

Руски учени А.В. Елецки и Б.М. Смирнов в статията си "Фулерени", публикувана в списание "Успехи физических наук" (1993 г., том 163, № 2), отбелязва, че „фулерени, чието съществуване е установено в средата на 80-те и ефективна технологиячието изолиране е разработено през 1990 г., сега се превърна в обект на интензивни изследвания от десетки научни групи. Резултатите от тези проучвания се следят отблизо от фирмите за приложения. Тъй като тази модификация на въглерода е представила учените пред редица изненади, би било неразумно да се обсъждат прогнози и възможни последствияпроучване на фулерени през следващото десетилетие, но трябва да сте подготвени за нови изненади.

Художественият свят на словенската художничка Матюшка Тея Крашек

Matjuska Teja Krasek получава бакалавърската си степен по живопис от колежа визуални изкуства(Любляна, Словения) и е художник на свободна практика. Живее и работи в Любляна. Нейните теоретични и практическа работасе фокусира върху симетрията като свързваща концепция между изкуството и науката. Нейни произведения са представяни на много международни изложби и са публикувани в международни списания (Leonardo Journal, Leonardo on-line).

М.Т. Крашек на изложбата си „Калейдоскопични аромати“, Любляна, 2005 г

Художественото творчество на Матюшка Тея Крашек е свързано с различни видове симетрия, плочки и ромби на Пенроуз, квазикристали, златното сечение като основен елемент на симетрията, числата на Фибоначи и др. С помощта на размисъл, въображение и интуиция тя се опитва да открийте нови взаимоотношения, нови нива на структура, нови и различни видове ред в тези елементи и структури. В своите творби тя широко използва компютърната графика като много полезна среда за създаване на произведения на изкуството, което е връзката между науката, математиката и изкуството.

На фиг. 11 е показан съставът на Т.М. Crashek, свързан с числата на Фибоначи. Ако изберем едно от числата на Фибоначи (например 21 см) за дължината на страната на диаманта на Пенроуз в тази осезаемо нестабилна композиция, можем да наблюдаваме как дължините на някои сегменти в композицията образуват редицата на Фибоначи.

Фигура 11.Матушка Тея Крашек "Числата на Фибоначи", платно, 1998 г.

Голям брой художествени композиции на художника са посветени на квазикристалите на Шехтман и решетките на Пенроуз (фиг. 12).

(а)	б)

(в)	(G)

Фигура 12.Светът на Тея Крашек: (а) Светът на квазикристалите. Компютърна графика, 1996.
(б) Звезди. Компютърна графика, 1998 (c) 10/5. Холст, 1998 (d) Квазикуб. Платно, 1999 г

В композицията на Matyushka Teija Kraszek и Clifford Piccover "Biogenesis", 2005 (фиг. 13) е представен десетоъгълник, състоящ се от ромби на Пенроуз. Може да се наблюдава връзката между диамантите Петрус; всеки два съседни диаманта на Пенроуз образуват петоъгълна звезда.

Фигура 13.Матушка Тея Крашек и Клифърд Пиковър. Биогенезис, 2005.

на снимката Двойна звезда GA(Фигура 14) виждаме как плочките на Пенроуз пасват заедно, за да образуват двуизмерно представяне на потенциално хиперизмерен обект с десетоъгълна основа. Когато изобразява картината, художникът използва метода на твърдите ръбове, предложен от Леонардо да Винчи. Именно този метод на изобразяване позволява да се види в проекцията на картината върху равнина голям брой петоъгълници и пентакли, които се образуват от проекциите на отделни ръбове на ромби на Пенроуз. Освен това при проекцията на картината върху равнина виждаме десетоъгълник, образуван от ръбовете на 10 съседни ромба на Пенроуз. По същество в тази снимка Матюшка Тея Крашек откри нов правилен многостен, който е възможно наистина да съществува в природата.

Фигура 14.Матушка Тея Крашек. Двойна звезда GA

В композицията на Крашек "Звезди за Доналд" (фиг. 15) можем да наблюдаваме безкрайното взаимодействие на ромби, пентаграми, петоъгълници на Пенроуз, намаляващи към централната точка на композицията. Съотношенията на златното сечение са представени по много различни начини в различни мащаби.

Фигура 15.Матюшка Тея Крашек "Звезди за Доналд", компютърна графика, 2005 г.

Художествените композиции на Матюшка Тея Крашек привлякоха голямо внимание от представители на науката и изкуството. Нейното изкуство се приравнява с изкуството на Мауриц Ешер, а словенската художничка е наричана "източноевропейският Ешер" и "словенският дар" за световното изкуство.

Стахов А.П. „Шифърът на Да Винчи“, Платонови и Архимедови тела, квазикристали, фулерени, решетки на Пенроуз и художественият свят на Матюшка Тея Крашек // „Академия на тринитаризма“, М., Ел. № 77-6567, публикация 12561, 07.11. 2005 г

Въведение

Тази курсова работа е предназначена да:

1) консолидиране, задълбочаване и разширяване на теоретичните знания в областта на методите за моделиране на повърхности и обекти, практически умения и умения за софтуерно внедряване на методи;

2) подобряване на уменията за самостоятелна работа;

3) да развие способността да формулира преценки и заключения, да ги излага логично и убедително.

Солиди на Платон

Телата на Платон са изпъкнали полиедри, чиито лица са правилни многоъгълници. Всички многостенни ъгли на правилния многостен са еднакви. Както вече следва от изчисляването на сумата от плоските ъгли във върха, има не повече от пет изпъкнали правилни многостени. По посочения по-долу начин може да се докаже, че има точно пет правилни полиедъра (това е доказано от Евклид). Те са правилният тетраедър, хексаедър (куб), октаедър, додекаедър и икозаедър. Имената на тези правилни полиедри идват от Гърция. AT буквален преводот гръцки "тетраедър", "октаедър", "хексахедър", "додекаедър", "икозаедър" означава: "тетраедър", "октаедър", "хексахедър". додекаедър, додекаедър.

Таблица №1

Таблица номер 2

Име:	Радиус на описаната сфера	Радиус на вписаната сфера
Тетраедър
Хексаедър
додекаедър
икосаедър

Тетраедър- тетраедър, всички лица на който са триъгълници, т.е. триъгълна пирамида; правилен тетраедър е ограничен от четири равностранни триъгълника. (Фиг. 1).

Куб или правилен хексаедър- правилно четириъгълна призмас равни ръбове, ограничени от шест квадрата. (Фиг. 1).

Октаедър- октаедър; тяло, ограничено от осем триъгълника; правилен октаедър е ограничен от осем равностранни триъгълника; един от петте правилни полиедра. (Фиг. 1).

додекаедър- додекаедър, тяло, ограничено от дванадесет многоъгълника; Правилен петоъгълник. (Фиг. 1).

икосаедър- двадесетстранно тяло, тяло, ограничено от двадесет многоъгълника; правилният икосаедър е ограничен от двадесет равностранни триъгълника. (Фиг. 1).

Кубът и октаедърът са дуални, т.е. се получават един от друг, ако центроидите на лицата на единия се приемат за върхове на другия и обратно. Додекаедърът и икосаедърът са двойствени по подобен начин. Тетраедърът е двойствен на себе си. Правилен додекаедър се получава от куб чрез конструиране на „покриви“ върху лицата му (метод на Евклид), върховете на тетраедър са всеки четири върха на куба, които не са съседни по двойки по ръба. Така от куба се получават всички други правилни многостени. Самият факт за съществуването само на пет наистина правилни полиедъра е удивителен - все пак в равнината има безкрайно много правилни многоъгълници!

Всички правилни полиедри са били известни в Древна Гърция и на тях е посветена 13-та книга от „Началата” на Евклид. Наричат ​​ги още телата на Платон, т.к. те заемат важно място във философската концепция на Платон за структурата на Вселената. Четири полиедра олицетворяваха в него четири същности или „елементи“. Тетраедърът символизира огъня, т.к. върхът му е насочен нагоре; икосаедър? вода, защото той е най-"обтекаем"; куб - пръст, като най-"устойчив"; октаедър? въздух, като най-"въздушен". Петият полиедър, додекаедърът, въплъщава "всичко, което съществува", символизира цялата вселена и се смята за основен.

Древните гърци смятат хармоничните взаимоотношения за основа на Вселената, така че четирите елемента са свързани с такава пропорция: земя / вода = въздух / огън.

Във връзка с тези тела би било уместно да се каже, че първата система от елементи, включваща четири елемента? земя, вода, въздух и огън – е канонизиран от Аристотел. Тези елементи остават четирите крайъгълни камъка на Вселената в продължение на много векове. Напълно възможно е да ги идентифицираме с четирите познати ни състояния на материята – твърдо, течно, газообразно и плазмено.

Важно място заемат правилните полиедри в системата на хармоничната структура на света от И. Кеплер. Същата вяра в хармонията, красотата и математически правилната структура на Вселената доведе И. Кеплер до идеята, че тъй като има пет правилни полиедра, само шест планети им съответстват. Според него сферите на планетите са свързани помежду си с вписаните в тях платонови тела. Тъй като за всеки правилен полиедър центровете на вписаната и описаната сфера съвпадат, целият модел ще има един център, в който ще се намира Слънцето.

След като извърши огромна изчислителна работа, през 1596 г. И. Кеплер публикува резултатите от своето откритие в книгата "Тайната на Вселената". Той вписва куб в сферата на орбитата на Сатурн, в куб? сферата на Юпитер, сферата на Юпитер - тетраедър и така нататък последователно се вписват една в друга сферата на Марс? додекаедър, сферата на земята? икосаедър, сфера на Венера? октаедър, сферата на Меркурий. Тайната на Вселената изглежда открита.

Днес със сигурност може да се каже, че разстоянията между планетите не са свързани с никакви полиедри. Възможно е обаче без "Тайните на Вселената", "Хармонията на света" от И. Кеплер, правилните полиедри да не би имало три известни закона на И. Кеплер, които играят важна роля при описанието на движението на планетите.

Къде другаде можете да видите тези невероятни тела? В книгата на немския биолог от началото на миналия век Е. Хекел „Красотата на формите в природата” могат да се прочетат следните редове: „Природата храни в лоното си неизчерпаем брой удивителни същества, които далеч надминават всички форми, създадени от човешкото изкуство в красота и разнообразие." Творенията на природата в тази книга са красиви и симетрични. Това е неразделно свойство на природната хармония. Но тук можете да видите и едноклетъчни организми? feodarii, чиято форма точно предава икосаедъра. Какво е причинило такава естествена геометризация? Може би защото от всички полиедри с еднакъв брой лица, икосаедърът има най-голям обем и най-малка площповърхности. Това геометрично свойство помага на морския микроорганизъм да преодолее налягането на водния стълб.

Интересно е също, че именно икосаедърът се оказва във фокуса на вниманието на биолозите в споровете им относно формата на вирусите. Вирусът не може да бъде идеално кръгъл, както се смяташе досега. За да установят формата му, те взеха различни полиедри, насочиха светлина към тях под същите ъгли, под които протича потокът от атоми към вируса. Оказа се, че само един полиедър дава точно същата сянка? икосаедър. Неговата геометрични свойства, които бяха споменати по-горе, позволяват запазване на генетична информация. Правилни полиедри? най-печелившите фигури. И природата се възползва от това. Кристалите на някои познати ни вещества са под формата на правилни полиедри. И така, кубът предава формата на кристалите на натриев хлорид NaCl, монокристалът на алуминиево-калиев стипца (KAlSO4) 2 · 12H2O има формата на октаедър, кристалът на пирит сулфид FeS има формата на додекаедър, натриевият антимон сулфат е тетраедър, борът е икосаедър. Правилните полиедри определят формата кристални решеткинякои химикали.

И така, правилните полиедри ни разкриха опитите на учените да се доближат до тайната на световната хармония и показаха неустоимата привлекателност и красота на тези геометрични фигури.

Дори в древни времена хората са забелязали, че някои триизмерни фигури имат специални свойства. Това са т.нар правилни полиедри- всичките им лица са еднакви, всички ъгли при върховете са равни. Всяка от тези фигури е стабилна и може да бъде вписана в сфера. С цялото разнообразие от различни форми има само 5 вида правилни полиедри (фиг. 1).

Тетраедър- правилен тетраедър, лицата са равностранни триъгълници (фиг. 1а).

куб- правилен шестоъгълник, лицата са квадрати (фиг. 1b).

Октаедър- правилен октаедър, лицата са равностранни триъгълници (фиг. 1в).

додекаедър- правилен додекаедър, лицата са правилни петоъгълници (фиг. 1d).

икосаедър- правилен двадесетоъгълник, лицата са равностранни триъгълници (фиг. 1д).

Древногръцкият философ Платон вярва, че всеки от правилните полиедри съответства на един от 5-те основни елемента. Според Платон кубът съответства на земята, тетраедърът на огъня, октаедърът на въздуха, икосаедърът на водата и додекаедърът на етера. Освен това гръцките философи отделят още един основен елемент - празнотата. Съвпада геометрична формасфера, в която могат да бъдат вписани всички Платонови тела.

Всичките шест елемента са градивните елементи на Вселената. Някои от тях са общи – земя, вода, огън и въздух. Днес е известно със сигурност, че правилните полиедри или платонови тела формират основата на структурата на кристали, молекули на различни химикали.

Човешката енергийна обвивка също е пространствена конфигурация. Външната граница на енергийното поле на човека е сфера, най-близката до нея фигура е додекаедър. Тогава фигурите на енергийното поле се сменят една друга в определен ред, повтаряйки се в различни цикли. Например в молекулата на ДНК се редуват икосаедри и додекаедри.

Установено е, че платоновите тела са в състояние да имат благоприятен ефект върху човека. Тези форми имат способността да модифицират, организират енергията в чакрите на човешкото тяло. Освен това всяка кристална форма има благоприятен ефект върху чакрата, на чийто първичен елемент съответства.

Дисбалансът на енергиите в Муладхара изчезва при използване на куба (елемент земя), Свадхистана реагира на въздействието на икосаедъра (елемент вода), тетраедърът (елемент огън) има благоприятен ефект върху Манипура, функциите на Анахата се възстановяват с помощта на октаедърът (въздушен елемент). Същата фигура допринася за нормалното функциониране на Vishuddhi. И двете горни чакри - Аджна и Сахасрара - могат да бъдат коригирани с додекаедър.

За да се използват свойствата на Платоновите тела, е необходимо тези фигури да се изработят от медна тел (с размери от 10 до 30 cm в диаметър). Можете да ги нарисувате на хартия или да ги залепите от картон, но рамките от медна тел са по-ефективни. Моделите на Платоновите тела трябва да бъдат прикрепени към проекциите на съответните чакри и да легнат за малко в дълбока релаксация.