Теоретична механіка лекції 1 курс. Курс лекцій – технічна механіка. е) Момент сили щодо осі

державна автономна установа

Калінінградської області

професійна освітня організація

Коледж сервісу та туризму

Курс лекцій із прикладами практичних завдань

«Основи теоретичної механіки»

з дисципліниТехнічна механіка

для студентів3 курсу

спеціальності20.02.04 Пожежна безпека

Калінінград

СТВЕРДЖУЮ

Заступник директора з УР ГАУ КО ПОО КСТН.Н. М'ясникова

СХВАЛЕНО

Методичною порадою ДАУ ДО ПОО КСТ

РОЗГЛЯДНО

На засіданні ПЦК

Редакційна колегія:

Колганова А.А., методист

Фалалєєва А.Б., викладач російської мови та літератури

Цвєтаєва Л.В.., голова ПЦКзагальноматематичних та природничих дисциплін

Упорядник:

Незванова І.В. викладач ГАУ ДО ПОО КСТ

Зміст

    1. Теоретичні відомості

    1. Теоретичні відомості

    1. Приклади вирішення практичних завдань

    Динаміка: основні поняття та аксіоми

    1. Теоретичні відомості

    1. Приклади вирішення практичних завдань

Список літератури

    Статика: основні поняття та аксіоми.

    1. Теоретичні відомості

Статика - Розділ теоретичної механіки, в якому розглядають властивості сил, прикладених до точок твердого тіла, та умови їх рівноваги. Основні завдання:

1. Перетворення систем сил на еквівалентні системи сил.

2. Визначення умов рівноваги систем сил, що діють на тверде тіло.

Матеріальною точкою називають найпростішу модель матеріального тіла

будь-якої форми, розміри якого досить малі і яку можна прийняти за геометричну точку, що має певну масу. Механічною системою називається будь-яка сукупність матеріальних точок. Абсолютно твердим тілом називають механічну систему, відстані, між точками якої не змінюються за будь-яких взаємодій.

Сила – це міра механічної взаємодії матеріальних тіл між собою. Сила – величина векторна, оскільки вона визначається трьома елементами:

    чисельним значенням;

    напрямом;

    точкою програми (А).

Одиниця виміру сили – Ньютон(Н).

Малюнок 1.1

Система сил – це сукупність сил, які діють якесь тіло.

Врівноваженою (рівною нулю) системою сил називається така система, яка будучи, прикладеною до тіла, не змінює його стану.

Систему сил, що діють на тіло, можна замінити на одну рівнодіючу, що діє так, як система сил.

Аксіоми статики.

Аксіома 1: Якщо до тіла прикладена врівноважена система сил, воно рухається рівномірно і прямолінійно чи перебуває у стані спокою (закон інерції).

Аксіома 2: Абсолютно тверде тіло знаходиться в рівновазі під дією двох сил тоді і тільки тоді, коли ці сили дорівнюють модулю, діють по одній прямій і направлені в протилежні сторони. Малюнок 1.2

Аксіома 3: Механічне стан тіла не порушиться, якщо до діючої на нього системи сил додати або від неї відібрати врівноважену систему сил.

Аксіома 4: Рівнодія двох прикладених до тіла сил дорівнює їх геометричній сумі, тобто виражається за модулем і напрямом діагоналлю паралелограма, побудованого на цих силах як на сторонах.

Малюнок 1.3.

Аксіома 5: Сили, з якими діють один на одного два тіла, завжди рівні за модулем і спрямовані вздовж однієї прямої в протилежні сторони.

Малюнок 1.4.

Види зв'язків та їх реакції

Зв'язками називаються будь-які обмеження, що перешкоджають переміщенню тіла у просторі. Тіло, прагнучи під дією прикладених сил здійснити переміщення, якому перешкоджає зв'язок, діятиме на неї з деякою силою, яка називається силою тиску на зв'язок . За законом про рівність дії та протидії, зв'язок діятиме на тіло з такою самою за модулем, але протилежно спрямованою силою.
Сила, з якою цей зв'язок діє на тіло, перешкоджаючи тим чи іншим переміщенням, називається силою реакції (реакцією) зв'язку .
Одним із основних положень механіки є принцип звільнення від зв'язків : всяке невільне тіло можна як вільне, якщо відкинути зв'язку і замінити їх дію реакціями зв'язків.

Реакція зв'язку спрямована у бік, протилежний до тієї, куди зв'язок не дає переміщатися тілу. Основні види зв'язків та його реакції наведені у таблиці 1.1.

Таблиця 1.1

Види зв'язків та їх реакції

Найменування зв'язку

Умовне позначення

1

Гладка поверхня (опора) - Поверхня (опора), тертям про яку даного тіла можна знехтувати.
При вільному опиранні реакціянаправляється перпендикулярно дотичній, проведеній через точкуА контакту тіла1 з опорною поверхнею2 .

2

Нитка (гнучка, нерозтяжна). Зв'язок, здійснений у вигляді нерозтяжної нитки, не дозволяє тілу віддалятися від точки підвісу. Тому реакція нитки спрямована вздовж нитки до її підвісу.

3

Невагомий стрижень - стрижень, вагою якого в порівнянні з навантаженням, що сприймається, можна знехтувати.
Реакція невагомого шарнірно прикріпленого прямолінійного стрижня спрямована вздовж осі стрижня.

4

Рухомий шарнір, шарнірно-рухлива опора. Реакція спрямована нормалі до опорної поверхні.

7

Жорстка закладка. У площині жорсткого закладення будуть дві складові реакції, і момент пари сил, який перешкоджає повороту балки1 щодо точкиА .
Жорстка загортання у просторі забирає у тіла 1 усі шість ступенів свободи – три переміщення вздовж осей координат і три повороти щодо цих осей.
У просторовому жорсткому закладенні будуть три складові, , і три моменти пар сил.

Система схожих сил

Системою схожих сил називається система сил, лінії дії яких перетинаються лише у точці. Дві сили, що сходяться в одній точці, згідно з третьою аксіомою статики можна замінити однією силою –рівнодіючої .
Головний вектор системи сил – величина, що дорівнює геометричній сумі сил системи.

Рівнодійну плоску систему схожих сил можна визначитиграфічно і аналітично.

Складання системи сил . Складання плоскої системи сил, що сходяться здійснюється або шляхом послідовного складання сил з побудовою проміжної рівнодіючої (рис. 1.5), або шляхом побудови силового багатокутника (рис. 1.6).


Малюнок 1.5 Малюнок 1.6

Проекція сили на вісь – алгебраїчна величина, що дорівнює добутку модуля сили на косинус кута між силою та позитивним напрямом осі.
ПроекціяFx(рис.1.7) сили на вісь хпозитивна, якщо кут гострий, негативна - якщо кут тупий. Якщо силаперпендикулярна до осі, то її проекція на вісь дорівнює нулю.


Малюнок 1.7

Проекція сили на площину Оху- Вектор , укладений між проекціями початку та кінця силина цю площину. Тобто. проекція сили на площину величина векторна, характеризується не лише числовим значенням, а й напрямком у площиніОху (Рис.1.8).


Малюнок 1.8

Тоді модуль проекціїна площину Оху дорівнюватиме:

Fxy = F cosα,

де α - кут між напрямком силита її проекцією.
Аналітичний спосібзавдання сил . Для аналітичного способу завдання силинеобхідно вибрати систему координатних осейОхуз, по відношенню до якої визначатиметься напрям сили у просторі.
Вектор зображує силуможна побудувати, якщо відомі модуль цієї сили і кути α, β, γ, які сила утворює з координатними осями. КрапкаАдокладання сили задається окремо своїми координатамих, у, z. Можна задавати чинність її проекціямиFx, Fy, Fzна координатні осі. Модуль сили в цьому випадку визначиться за такою формулою:

а напрямні косинуси:

, .

Аналітичний спосіб складання сил : проекція вектора суми на якусь вісь дорівнює алгебраїчній сумі проекцій доданків векторів на ту ж вісь, тобто, якщо:

то , , .
Знаючи Rx, Ry, Rz, можемо визначити модуль

та напрямні косинуси:

, , .

Малюнок 1.9

Для рівноваги системи схожих сил необхідно і достатньо, щоб рівнодіюча цих сил дорівнювала нулю.
1) Геометрична умова рівноваги системи сил, що сходить : для рівноваги системи сил, що сходяться необхідно і достатньо, щоб силовий багатокутник, побудований з цих сил,

був замкнутий (кінець вектора останньої доданки

сили повинен поєднатися з початком вектора першої складової сили). Тоді головний вектор системи сил дорівнюватиме нулю ()
2) Аналітичні умови рівноваги . Модуль головного вектора системи сил визначається за формулою. =0. Оскільки , то підкорене вираз може дорівнювати нулю тільки в тому випадку, якщо кожне доданок одночасно перетворюється на нуль, тобто.

Rx= 0, Ry= 0, R z = 0.

Отже, для рівноваги просторової системи сил, що сходяться необхідно і достатньо, щоб суми проекцій цих сил на кожну з трьох координат осей дорівнювали нулю:

Для рівноваги плоскої системи сил, що сходяться необхідно і достатньо, щоб суми проекцій сил на кожну з двох координатних осей дорівнювали нулю:

Додавання двох паралельних сил, спрямованих в один бік.

Малюнок 1.9

Дві паралельні сили, спрямовані в один бік, наводяться до одної чинній силі, їм паралельною та спрямованою в той самий бік. Величина рівнодіючої дорівнює сумі величин даних сил, а точка її застосування С поділяє відстань між лініями дії сил внутрішнім чином на частини, обернено пропорційні величинам цих сил, тобто

B A C

R=F 1 +F 2

Додавання двох не рівних за величиною паралельних сил, спрямованих у протилежні сторони.

Дві не рівні за величиною антипаралельні сили наводяться до однієї рівнодіючої сили їм паралельної та спрямованої у бік більшої сили. Величина рівнодіючої дорівнює різниці величин цих сил, а точка її застосування С, ділить відстань між лініями дії сил зовнішнім чином на частини, обернено пропорційні величинам цих сил, тобто

Пара сил та момент сили щодо точки.

Моментом сили щодо точки О називається, взяте з відповідним знаком, добуток величини сили на відстань h від точки Про до лінії дії сили . Цей твір береться зі знаком плюс, якщо сила прагне обертати тіло проти ходу годинникової стрілки, і зі знаком - якщо сила прагне обертати тіло під час годинникової стрілки, тобто . Довжина перпендикуляра h називаєтьсяплечем сили точки О. Ефект дії сили, тобто. кутове прискорення тіла більше, ніж більша величина моменту сили.

Малюнок 1.11

Парою сил називається система, що складається з двох рівних за величиною паралельних сил, спрямованих у протилежні сторони. Відстань h між лініями дії сил називаєтьсяплечем пари . Моментом пари сил m(F,F") називається взяте з відповідним знаком добуток величини однієї з сил, що становлять пару на плече пари.

Записується це так: m(F, F")= ± F × h , де добуток береться зі знаком плюс, якщо пара сил прагне обертати тіло проти ходу годинникової стрілки і зі знаком мінус, якщо пара сил прагне обертати тіло протягом годинної стрілки.

Теорема про суму моментів сил пари.

Сума моментів сил пари (F,F") щодо будь-якої точки 0, взятої в площині дії пари, не залежить від вибору цієї точки і дорівнює моменту пари.

Теорема про еквівалентні пари. Наслідки.

Теорема. Дві пари, моменти яких між собою, еквівалентні, тобто. (F, F") ~ (P,P")

Наслідок 1 . Пару сил можна переносити у будь-яке місце площині її дії, а також повертати на будь-який кут і змінювати плече та величину сил пари, зберігаючи при цьому момент пари.

Наслідок 2. Пара сил не має рівнодіючої і не може бути врівноважена однією силою, що лежить у площині пари.

Малюнок 1.12

Додавання та умова рівноваги системи пар на площині.

1. Теорема про складання пар, що лежать в одній площині. Систему пар, як завгодно розташовані в одній площині, можна замінити однією парою, момент якої дорівнює сумімоментів цих пар.

2. Теорема про рівновагу системи пар на площині.

Для того, щоб абсолютно тверде тіло знаходилося в стані спокою під дією системи пар, як завгодно розташованих в одній площині, необхідно і достатньо, щоб сума моментів усіх пар дорівнювала нулю, тобто

Центр ваги

Сила тяжіння – рівнодіюча сил тяжіння до Землі, розподілених по всьому об'єму тіла.

Центр тяжкості тіла - Це така незмінно пов'язана з цим тілом точка, через яку проходить лінія дії сили тяжіння даного тіла за будь-якого положення тіла в просторі.

Методи знаходження центру важкості

1. Метод симетрії:

1.1. Якщо однорідне тіло має площину симетрії, то центр ваги лежить у цій площині.

1.2. Якщо однорідне тіло має вісь симетрії, центр тяжіння лежить на цій осі. Центр тяжкості однорідного тіла обертання лежить осі обертання.

1.3 Якщо однорідне тіло має дві осі симетрії, то центр ваги перебуває у точці їх перетину.

2. Метод розбиття: Тіло розбивається на найменше числочастин, сили тяжіння та положення центрів тяжкості яких відомі.

3. Метод негативних мас: При визначенні центру тяжкості тіла, що має вільні порожнини, слід застосовувати метод розбиття, але масу вільних порожнин вважати негативною.

Координати центру важкості плоскої фігури:

Положення центрів тяжкості простих геометричних фігур можуть бути розраховані за відомими формулами. (Малюнок 1.13)

Примітка: Центр тяжкості симетрії фігури знаходиться на осі симетрії.

Центр тяжкості стрижня перебуває в середині висоти.

1.2. Приклади вирішення практичних завдань

Приклад 1: Вантаж підвішений на стрижні і знаходиться в рівновазі. Визначити зусилля у стрижні. (Рисунок 1.2.1)

Рішення:

    Зусилля, що виникають у стрижнях кріплення, за величиною дорівнюють силам, з якими стрижні підтримують вантаж. (5-а аксіома)

Визначаємо можливі напрями реакцій зв'язків «жорсткі стрижні».

Зусилля спрямовані вздовж стрижнів.

Малюнок 1.2.1.

Звільнимо точку А від зв'язків, замінивши дію зв'язків їх реакціями. (Малюнок 1.2.2)

Побудову почнемо з відомої сили, викресливши векторFу певному масштабі.

З кінця вектораFпроводимо лінії, паралельні реакціямR 1 іR 2 .

Малюнок 1.2.2

Перетинаючи лінії створюють трикутник. (Малюнок 1.2.3.). Знаючи масштаб побудов та вимірявши довжину сторін трикутника, можна визначити величину реакцій у стрижнях.

    Для більш точних розрахунків можна скористатися геометричними співвідношеннями, зокрема теоремою синусів: відношення сторони трикутника до синуса протилежного кута – постійна величина

Для цього випадку:

Малюнок 1.2.3

Примітка: Якщо напрям вектора (реакції зв'язку) на заданій схемі та у трикутнику сил не збіглося, значить, реакція на схемі має бути спрямована у протилежний бік.

Приклад 2: Визначити величину і напрямок рівнодіючої плоскої системи сил, що сходяться аналітичним способом.

Рішення:

Малюнок 1.2.4

1. Визначаємо проекції всіх сил системи Ох (рисунок 1.2.4)

Склавши алгебраїчні проекції, отримаємо проекцію рівнодіючої на вісь Ох.


Знак говорить про те, що рівнодіюча спрямована вліво.

2. Визначаємо проекції всіх сил на вісь Оу:

Склавши проекції алгебри, отримаємо проекцію рівнодіючої на вісь Оу.

Знак свідчить, що рівнодіюча спрямована вниз.

3. Визначаємо модуль рівнодіючої за величинами проекцій:

4. Визначимо значення кута рівнодіючої з віссю Ох:

і значення кута з віссю Оу:

Приклад 3: Розрахувати суму моментів сил щодо точки О (рисунок 1.2.6).

ОА= АВ= УD=DE=CB=2м

Малюнок 1.2.6

Рішення:

1. Момент сили щодо точки чисельно дорівнює творумодуля на плече сили.

2. Момент сили дорівнює нулю, якщо лінія дії сили проходить через точку.

Приклад 4: Визначити положення центру ваги фігури, представленої малюнку 1.2.7

Рішення:

Розбиваємо фігуру на три:

1-прямокутник

А 1 = 10 * 20 = 200см 2

2-трикутник

А 2 = 1/2 * 10 * 15 = 75см 2

3-коло

А 3 =3,14*3 2 = 28,3см 2

ЦТ фігури 1: х 1 =10см, у 1 =5см

ЦТ фігури 2: х 2 =20+1/3*15=25см, у 2 = 1/3 * 10 = 3,3см

ЦТ фігури 3: х 3 =10см, у 3 =5см

Аналогічно визначається у з =4,5см

    Кінематика: основні поняття.

Основні кінематичні параметри

Траєкторія - Лінія, яку окреслює матеріальна точка при русі в просторі. Траєкторія може бути прямою та кривою, плоскою та просторовою лінією.

Рівняння траєкторії при плоскому русі: у =f ( x)

Пройдений шлях. Шлях вимірюється вздовж траєкторії у бік руху. Позначення -S, одиниці виміру - метри.

Рівняння руху точки -Це рівняння, що визначає положення точки, що рухається в залежності від часу.

Малюнок 2.1

Положення точки в кожний момент часу можна визначити на відстані, пройденій уздовж траєкторії від деякої нерухомої точки, що розглядається як початок відліку (рисунок 2.1). Такий спосіб завдання руху називаєтьсяприродним . Таким чином, рівняння руху можна подати у вигляді S = f(t).

Малюнок 2.2

Положення точки можна визначити, якщо відомі її координати залежно від часу (рисунок 2.2). Тоді у разі руху на площині мають бути задані два рівняння:

У разі просторового руху додається і третя координатаz= f 3 ( t)

Такий спосіб завдання руху називаютькоординатним .

Швидкість руху - Це векторна величина, що характеризує в даний момент швидкість і напрямок руху по траєкторії.

Швидкість - вектор, у будь-який момент спрямований по траєкторії до напрямку руху (рисунок 2.3).

Малюнок 2.3

Якщо точка за рівні проміжки часу проходить рівні відстані, то рух називаютьрівномірним .

Середня швидкість на шляху ΔSвизначається:

деΔS- пройдений шлях за час Δt; Δ t- проміжок часу.

Якщо точка за рівні проміжки часу проходить нерівні шляхи, то рух називаютьнерівномірним . В цьому випадку швидкість - величина змінна і залежить від часуv= f( t)

Швидкість в даний момент визначають як

Прискорення точки - Векторна величина, що характеризує швидкість зміни швидкості за величиною і напрямом.

Швидкість точки при переміщенні з точки М1 в точку Мг змінюється за величиною та напрямом. Середнє значення прискорення за цей час

Прискорення на даний момент:

Зазвичай для зручності розглядають дві взаємно перпендикулярні складові прискорення: нормальне та дотичне (рисунок 2.4)

Нормальне прискорення а n , характеризує зміну швидкості по

напрямку та визначається як

Нормальне прискорення завжди спрямоване перпендикулярно швидкості центру дуги.

Малюнок 2.4

Щодо прискорення а t , характеризує зміну швидкості за величиною і завжди спрямовано по дотичній до траєкторії; при прискоренні його напрямок збігається з напрямом швидкості, а при уповільненні воно направлене протилежно до напрямку вектора швидкості.

Значення повного прискорення визначається, як:

Аналіз видів та кінематичних параметрів рухів

Рівномірний рух – це рух із постійною швидкістю:

Для прямолінійного рівномірного руху:

Для криволінійного рівномірного руху:

Закон рівномірного руху :

Рівноперемінний рух – це рух із постійним дотичним прискоренням:

Для прямолінійного рівнозмінного руху

Для криволінійного рівнозмінного руху:

Закон рівнозмінного руху:

Кінематичні графіки

Кінематичні графіки – це графіки зміни шляху, швидкості та прискорень залежно від часу.

Рівномірний рух (рисунок 2.5)

Малюнок 2.5

Рівноперемінний рух (рисунок 2.6)

Малюнок 2.6

Найпростіші рухи твердого тіла

Поступальним рухом називають рух твердого тіла, при якому будь-яка пряма лінія на тілі під час руху залишається паралельною своєму початковому положенню (рис. 2.7)

Малюнок 2.7

При поступальному русі всі точки тіла рухаються однаково: швидкості та прискорення у кожний момент однакові.

Приобертальний рух всі точки тіла описують кола навколо загальної нерухомої осі.

Нерухома вісь, навколо якої обертаються всі точки тіла, називаютьвіссю обертання.

Для опису обертального руху тіла навколо нерухомої осі можна використовувати лишекутові параметри (Рисунок 2.8)

φ - Кут повороту тіла;

ω – кутова швидкість визначає зміну кута повороту в одиницю часу;

Зміна кутової швидкості в часі визначається кутовим прискоренням:

2.2. Приклади вирішення практичних завдань

Приклад 1: Дано рівняння руху точки. Визначити швидкість точки в кінці третьої секунди руху та середню швидкість за перші три секунди.

Рішення:

1. Рівняння швидкості

2. Швидкість наприкінці третьої секунди (t=3 c)

3. Середня швидкість

Приклад 2: За заданим законом руху визначити вид руху, початкову швидкість і прискорення точки, час до зупинки.

Рішення:

1. Вид руху: рівнозмінний ()
2. При порівнянні рівнянь очевидно, що

- Початковий шлях, пройдений до початку відліку 10м;

- Початкова швидкість 20м/с

- постійне дотичне прискорення

- прискорення негативне, отже, рух уповільнений, прискорення спрямоване у бік протилежної швидкості руху.

3. Можна визначити час, при якому швидкість точки дорівнюватиме нулю.

3.Динаміка: основні поняття та аксіоми

Динаміка - Розділ теоретичної механіки, в якому встановлюється зв'язок між рух тіл і діючими на них силами.

У динаміці вирішують два типи завдань:

    визначають параметри руху за заданими силами;

    визначають сили, що діють на тіло, за заданими кінематичними параметрами руху.

Підматеріальною точкою мають на увазі якесь тіло, що має певну масу (тобто містить деяку кількість матерії), але не має лінійних розмірів (нескінченно малий обсяг простору).
Ізольована вважається матеріальна точка, яку не надають дію інші матеріальні точки. У реальному світі ізольованих матеріальних точок, як і ізольованих тіл, немає, це поняття є умовним.

При поступальному русі всі точки тіла рухаються однаково, тому тіло можна прийняти як матеріальну точку.

Якщо розміри тіла малі порівняно з траєкторією, його також можна розглядати як матеріальну точку, при цьому точка збігається з центром ваги тіла.

При обертальному русі тіла точки можуть рухатися однаково, у разі деякі положення динаміки можна застосовувати лише до окремих точок, а матеріальний об'єкт розглядати як сукупність матеріальних точок.

Тому динаміку ділять на динаміку точки та динаміку матеріальної системи.

Аксіоми динаміки

Перша аксіома ( принцип інерції): сяка ізольована матеріальна точка знаходиться в стані спокою або рівномірного і прямолінійного руху, Доки прикладені сили не виведуть її з цього стану.

Цей стан називають станомінерції. Вивести точку із цього стану, тобто. повідомити їй деяке прискорення може зовнішня сила.

Будь-яке тіло (точка) маєінертністю. Мірою інертності є маса тіла.

Масою називаютькількість речовини в обсязі тіла, у класичній механіці її вважають величиною постійною. Одиниця виміру маси - кілограм (кг).

Друга аксіома (Другий закон Ньютона – основний закон динаміки)

F=ma

дет - Маса точки, кг;а - прискорення крапки, м/с 2 .

Прискорення, повідомлене матеріальної точці силою, пропорційне величині сили і збігається із напрямом сили.

На всі тіла Землі діє сила тяжкості, вона повідомляє тілу прискорення вільного падіння, спрямоване до центру Землі:

G = mg,

деg - 9,81 м/с², прискорення вільного падіння.

Третя аксіома (третій закон Ньютона): змули взаємодії двох тіл рівні за величиною і спрямовані по одній прямій в різні боки.

При взаємодії прискорення обернено пропорційні масам.

Четверта аксіома (Закон незалежності дії сил): докожна сила системи сил діє так, як вона діяла б одна.

Прискорення, що повідомляється точці системою сил, дорівнює геометричній сумі прискорень, повідомлених точці кожною силою окремо (рисунок 3.1):

Малюнок 3.1

Концепція тертя. Види тертя.

Тертя- опір, що виникає при русі одного шорсткого тіла по поверхні іншого. При ковзанні тіл виникає тертя ковзання, при коченні – тертя хитання.

Тертя ковзання

Малюнок 3.2.

Причина – механічне зчеплення виступів. Сила опору руху при ковзанні називається силою тертя ковзання (рисунок 3.2)

Закони тертя ковзання:

1. Сила тертя ковзання прямо пропорційна силі нормального тиску:

деR-сила нормального тиску, спрямована перпендикулярно до опорної поверхні;f- Коефіцієнт тертя ковзання.

Малюнок 3.3.

У разі руху тіла по похилій площині (рис. 3.3)

Тертя кочення

Опір при коченні пов'язаний із взаємною деформацією ґрунту та колеса та значно менше тертя ковзання.

Для рівномірного кочення колеса необхідно прикладати силуF дв (Рисунок 3.4)

Умова кочення колеса полягає в тому, що момент, що рухається, повинен бути не менше моменту опору:

Малюнок 3.4.

Приклад 1: Приклад 2: До двох матеріальних точок масоюm 1 = 2кг таm 2 = 5 кг прикладено однакові сили. Порівняйте величини прискоренішими.

Рішення:

Відповідно до третьої аксіоми динаміки прискорення обернено пропорційні масам:

Приклад 3: Визначте роботу сили тяжіння при переміщенні вантажу з точки А до точки С по похилій площині (рисунок 3. 7). Сила важкості тіла 1500Н. АВ = 6 м, НД = 4м.Приклад 3: Визначте роботу сили різання за 3 хв. Швидкість обертання деталі 120 об/хв, діаметр оброблюваної деталі 40мм, сила різання 1кН. (Рисунок 3.8)

Рішення:

1. Робота при обертальному русі:

2. Кутова частота обертання 120 об/хв

Малюнок 3.8.

3. Число оборотів за заданий час складаєz= 120 * 3 = 360 про.

Кут повороту за цей час φ=2πz= 2 * 3,14 * 360 = 2261 рад

4. Робота за 3 обороти:W= 1 * 0,02 * 2261 = 45,2 кДж

Список літератури

    Олофінська, В.П. "Технічна механіка", Москва "Форум" 2011р.

    Ердеді А.А. Ердеді Н.А. Теоретична механіка. Опір матеріалів. - Р-н-Д; Фенікс, 2010

Теоретична механіка– це розділ механіки, у якому викладаються основні закони механічного рухута механічної взаємодії матеріальних тіл.

Теоретична механіка є наукою, у якій вивчаються переміщення тіл із часом (механічні руху). Вона є базою інших розділів механіки (теорія пружності, опір матеріалів, теорія пластичності, теорія механізмів і машин, гідроаеродинаміка) та багатьох технічних дисциплін.

Механічне рух— це зміна з часом взаємного становища у просторі матеріальних тел.

Механічне взаємодія– це така взаємодія, внаслідок якої змінюється механічний рух чи змінюється взаємне становище частин тіла.

Статика твердого тіла

Статика— це розділ теоретичної механіки, в якому розглядаються завдання на рівновагу твердих тіл та перетворення однієї системи сил на іншу, їй еквівалентну.

    Основні поняття та закони статики
  • Абсолютно тверде тіло(тверде тіло, тіло) – це матеріальне тіло, відстань між будь-якими точками у якому змінюється.
  • Матеріальна точка- Це тіло, розмірами якого за умовами завдання можна знехтувати.
  • Вільне тіло- Це тіло, на переміщення якого не накладено жодних обмежень.
  • Невільне (пов'язане) тіло- Це тіло, на переміщення якого накладені обмеження.
  • Зв'язки– це тіла, що перешкоджають переміщенню об'єкта, що розглядається (тіла або системи тіл).
  • Реакція зв'язку- Це сила, що характеризує дію зв'язку на тверде тіло. Якщо вважати силу, з якою тверде тіло діє зв'язок, дією, то реакція зв'язку є протидією. При цьому сила - дія прикладена до зв'язку, а реакція зв'язку додається до твердого тіла.
  • Механічна система– це сукупність взаємозалежних між собою тіл чи матеріальних точок.
  • Тверде тіломожна розглядати як механічну систему, положення та відстань між точками якої не змінюються.
  • Сила- Це векторна величина, що характеризує механічну дію одного матеріального тіла на інше.
    Сила як вектор характеризується точкою застосування, напрямом дії та абсолютним значенням. Одиниця виміру модуля сили – Ньютон.
  • Лінія дії сили- Це пряма, вздовж якої спрямований вектор сили.
  • Зосереджена сила- Сила, прикладена в одній точці.
  • Розподілені сили (розподілене навантаження)- Це сили, що діють на всі точки об'єму, поверхні або довжини тіла.
    Розподілене навантаження задається силою, що діє на одиницю об'єму (поверхні, довжини).
    Розмірність розподіленого навантаження - Н/м3 (Н/м2, Н/м).
  • Зовнішня сила– це сила, що діє з боку тіла, що не належить механічній системі, що розглядається.
  • Внутрішня сила– це сила, що діє на матеріальну точку механічної системи з боку іншої матеріальної точки, Що належить аналізованої системі.
  • Система сил– це сукупність сил, які діють механічну систему.
  • Плоска система сил- Це система сил, лінії дії яких лежать в одній площині.
  • Просторова система сил- Це система сил, лінії дії яких не лежать в одній площині.
  • Система схожих сил- Це система сил, лінії дії яких перетинаються в одній точці.
  • Довільна система сил- Це система сил, лінії дії яких не перетинаються в одній точці.
  • Еквівалентні системи сил- Це такі системи сил, заміна яких одна на іншу не змінює механічного стану тіла.
    Прийняте позначення: .
  • Рівновага- Це стан, при якому тіло при дії сил залишається нерухомим або рухається рівномірно прямолінійно.
  • Врівноважена система сил- Це система сил, яка додана до вільного твердого тіла не змінює його механічного стану (не виводить з рівноваги).
    .
  • Рівночинна сила- Це сила, дія якої на тіло еквівалентна дії системи сил.
    .
  • Момент сили- Це величина, що характеризує обертову здатність сили.
  • Пара сил- Це система двох паралельних рівних по модулю протилежно спрямованих сил.
    Прийняте позначення: .
    Під дією пари сил тіло здійснюватиме обертальний рух.
  • Проекція сили на вісь– це відрізок, укладений між перпендикулярами, проведеними з початку та кінця вектора сили до цієї осі.
    Проекція позитивна, якщо напрямок відрізка збігається з позитивним напрямком осі.
  • Проекція сили на площину– це вектор на площині, укладений між перпендикулярами, проведеними з початку та кінця вектора сили до цієї площини.
  • Закон 1 (закон інерції).Ізольована матеріальна точка перебуває у спокої чи рухається поступово і прямолінійно.
    Рівномірний та прямолінійний рух матеріальної точки є рухом за інерцією. Під станом рівноваги матеріальної точки і твердого тіла розуміють як стан спокою, а й рух за інерцією. Для твердого тіла існують різні види руху за інерцією, наприклад, рівномірне обертання твердого тіла навколо нерухомої осі.
  • Закон 2.Тверде тіло знаходиться в рівновазі під дією двох сил тільки в тому випадку, якщо ці сили рівні по модулю і направлені в протилежні сторони загальної лініїдії.
    Ці дві сили називаються такими, що врівноважуються.
    Взагалі сили називаються такими, що врівноважуються, якщо тверде тіло, до якого прикладені ці сили, перебуває в спокої.
  • Закон 3Не порушуючи стану (слово «стан» тут означає стан руху або спокою) твердого тіла, можна додавати і відкидати сили, що врівноважуються.
    Слідство. Не порушуючи стану твердого тіла, силу можна переносити по лінії дії в будь-яку точку тіла.
    Дві системи сил називаються еквівалентними, якщо одну з них можна замінити іншою, не порушуючи стану твердого тіла.
  • Закон 4.Рівночинна двох сил, прикладених в одній точці, прикладена в тій же точці, що дорівнює по модулю діагоналі паралелограма, побудованого на цих силах, і спрямована вздовж цієї
    діагоналі.
    По модулю рівнодіюча дорівнює:
  • Закон 5 (закон рівності дії та протидії). Сили, з якими два тіла діють один на одного, рівні за модулем і направлені в протилежні сторони по одній прямій.
    Слід мати на увазі, що дія- сила, прикладена до тіла Б, і протидія- сила, прикладена до тіла А, не врівноважуються, тому що вони прикладені до різних тіл.
  • Закон 6 (закон затвердіння). Рівновага нетвердого тіла не порушується при його затвердінні.
    Не слід забувати, що умови рівноваги, які є необхідними і достатніми для твердого тіла, є необхідними, але недостатніми для відповідного нетвердого тіла.
  • Закон 7 (закон звільнення від зв'язків).Невільне тверде тіло можна як вільне, якщо його подумки звільнити від зв'язків, замінивши дію зв'язків відповідними реакціями зв'язків.
    Зв'язки та їх реакції
  • Гладка поверхняобмежує переміщення нормалі до поверхні опори. Реакція спрямована перпендикулярно поверхні.
  • Шарнірна рухлива опораобмежує рух тіла по нормалі до опорної площини. Реакція спрямована нормалі до поверхні опори.
  • Шарнірна нерухома опорапротидіє будь-якому переміщенню в площині перпендикулярної осі обертання.
  • Шарнірний невагомий стриженьпротидіє переміщенню тіла вздовж лінії стрижня. Реакція буде спрямована вздовж лінії стрижня.
  • Глуха закладкапротидіє будь-якому переміщенню та обертанню в площині. Її дію можна замінити силою, представленою у вигляді двох складових та парою сил з моментом.

Кінематика

Кінематика- Розділ теоретичної механіки, в якому розглядаються загальні геометричні властивості механічного руху, як процесу, що відбувається в просторі і в часі. Об'єкти, що рухаються, розглядають як геометричні точки або геометричні тіла.

    Основні поняття кінематики
  • Закон руху точки (тіла)- Це залежність положення точки (тіла) у просторі від часу.
  • Траєкторія точки– це геометричне місце положень точки у просторі під час її руху.
  • Швидкість точки (тіла)– це характеристика зміни у часі положення точки (тіла) у просторі.
  • Прискорення точки (тіла)– це характеристика зміни часу швидкості точки (тіла).
    Визначення кінематичних характеристик точки
  • Траєкторія точки
    У системі відліку траєкторія описується выражением: .
    У координатній системі відліку траєкторія визначається за законом руху точки та описується виразами z = f(x, y)- у просторі, або y = f(x)– у площині.
    У природній системі відліку траєкторія задається заздалегідь.
  • Визначення швидкості точки у векторній системі координат
    При заданні руху точки у векторної системі координат відношення переміщення до інтервалу часу називають середнім значенням швидкості цьому інтервалі часу: .
    Приймаючи інтервал часу нескінченно малою величиною, набувають значення швидкості в даний момент часу ( миттєве значенняшвидкості): .
    Вектор середньої швидкостіспрямований уздовж вектора у бік руху точки, вектор миттєвої швидкості спрямований по дотичній траєкторії в бік руху точки.
    Висновок: швидкість точки - векторна величина, що дорівнює похідній від закону руху за часом.
    Властивість похідної: похідна від будь-якої величини за часом визначає швидкість зміни цієї величини.
  • Визначення швидкості точки в координатній системі відліку
    Швидкість зміни координат точки:
    .
    Модуль повної швидкості точки при прямокутної системикоординат дорівнюватиме:
    .
    Напрямок вектора швидкості визначається косинусами напрямних кутів:
    ,
    де - Кути між вектором швидкості і осями координат.
  • Визначення швидкості точки у природній системі відліку
    Швидкість точки у природній системі відліку окреслюється похідна від закону руху точки: .
    Згідно з попередніми висновками вектор швидкості спрямований по дотичній до траєкторії у бік руху точки і в осях визначається лише однією проекцією.
    Кінематика твердого тіла
  • У кінематиці твердих тіл вирішуються дві основні задачі:
    1) завдання руху та визначення кінематичних характеристик тіла в цілому;
    2) визначення кінематичних характеристик точок тіла.
  • Поступальний рух твердого тіла
    Поступальний рух - це рух, при якому пряма, проведена через дві точки тіла, залишається паралельною її початковому положенню.
    Теорема: при поступальному русі всі точки тіла рухаються однаковими траєкторіями і мають у кожний момент часу однакові за модулем і напрямом швидкості та прискорення.
    Висновок: поступальний рух твердого тіла визначається рухом будь-якої його точки, у зв'язку з чим завдання та вивчення його руху зводиться до кінематики точки.
  • Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі
    Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі - це рух твердого тіла, при якому дві точки, що належать тілу, залишаються нерухомими протягом усього часу руху.
    Положення тіла визначається кутом повороту. Одиниця виміру кута – радіан. (Радіан - центральний кут кола, довжина дуги якого дорівнює радіусу, повний кут кола містить 2πрадіана.)
    Закон обертального руху тіла навколо нерухомої осі.
    Кутову швидкість та кутове прискорення тіла визначимо методом диференціювання:
    - Кутова швидкість, рад / с;
    - Кутове прискорення, радий/с².
    Якщо розсікти тіло площиною перпендикулярної осі, вибрати на осі обертання крапку Зта довільну точку М, то крапка Мбуде описувати навколо точки Зколо радіусу R. За час dtвідбувається елементарний поворот на кут, при цьому точка Мздійснить переміщення вздовж траєкторії на відстань .
    Модуль лінійної швидкості:
    .
    Прискорення точки Мпри відомій траєкторії визначається за його складовими:
    ,
    де .
    У результаті отримуємо формули
    тангенціальне прискорення: ;
    нормальне прискорення: .

Динаміка

Динаміка— це розділ теоретичної механіки, в якому вивчаються механічні рухи матеріальних тіл залежно від причин, що їх викликають.

    Основні поняття динаміки
  • Інерційність— це властивість матеріальних тіл зберігати стан спокою чи рівномірного прямолінійного руху, доки зовнішні сили змінять цього стану.
  • Маса— це кількісний захід інерційності тіла. Одиниця виміру маси — кілограм (кг).
  • Матеріальна точка- Це тіло, що володіє масою, розмірами якого при вирішенні цього завдання нехтують.
  • Центр мас механічної системи- геометрична точка, координати якої визначаються формулами:

    де m k , x k , y k , z k- Маса та координати k-тої точки механічної системи, m- Маса системи.
    У однорідному полі тяжкості становище центру мас збігається із становищем центру тяжкості.
  • Момент інерції матеріального тіла щодо осі– це кількісна міра інертності при обертальному русі.
    Момент інерції матеріальної точки щодо осі дорівнює добутку маси точки на квадрат відстані від осі:
    .
    Момент інерції системи (тіла) щодо осі дорівнює арифметичній сумі моментів інерції всіх точок:
  • Сила інерції матеріальної точки- це векторна величина, що дорівнює за модулем добутку маси точки на модуль прискорення і спрямована протилежно вектору прискорення:
  • Сила інерції матеріального тіла- це векторна величина, що дорівнює за модулем добутку маси тіла на модуль прискорення центру мас тіла і спрямована протилежно вектору прискорення центру мас:
    де - Прискорення центру мас тіла.
  • Елементарний імпульс сили— це векторна величина, що дорівнює добутку вектора сили на нескінченно малий проміжок часу dt:
    .
    Повний імпульс сили за Δt дорівнює інтегралу від елементарних імпульсів:
    .
  • Елементарна робота сили- це скалярна величина dA, рівна скалярному прої

Перегляд:ця стаття прочитана 32852 разів

Pdf Оберіть мову... Українська Українська Англійська

Короткий огляд

Повністю матеріал завантажується вище, попередньо вибравши мову


  • Статика
    • Основні поняття статики
    • Види сил
    • Аксіоми статики
    • Зв'язки та їх реакції
    • Система схожих сил
      • Методи визначення рівнодіючої системи схожих сил
      • Умови рівноваги системи схожих сил
    • Момент сили щодо центру як вектор
      • Алгебраїчна величина моменту сили
      • Властивості моменту сили щодо центру (точки)
    • Теорія пар сил
      • Додавання двох паралельних сил, спрямованих в один бік
      • Додавання двох паралельних сил, спрямованих у різні сторони
      • Пари сил
      • Теореми про пару сил
      • Умови рівноваги системи пар сил
    • Важіль
    • Довільна плоска система сил
      • Випадки приведення плоскої системи сил до більш простого вигляду
      • Аналітичні умови рівноваги
    • Центр паралельних сил. Центр ваги
      • Центр паралельних сил
      • Центр тяжкості твердого тіла та його координати
      • Центр тяжкості об'єму, площини та лінії
      • Способи визначення положення центру тяжіння
  • Основи рачсетів на міцність
    • Завдання та методи опору матеріалів
    • Класифікація навантажень
    • Класифікація елементів конструкцій
    • Деформації стрижня
    • Основні гіпотези та принципи
    • внутрішні сили. Метод перерізів
    • Напруги
    • Розтягування та стиск
    • Механічні характеристики матеріалу
    • Допустима напруга
    • Твердість матеріалів
    • Епюри поздовжніх сил та напруг
    • Зрушення
    • Геометричні характеристики перерізів
    • Кручення
    • Вигин
      • Диференціальні залежності при згинанні
      • Міцність при згинанні
      • Нормальна напруга. Розрахунок на міцність
      • Дотичні напруги при згинанні
      • Жорсткість при згинанні
    • Елементи загальної теоріїнапруженого стану
    • Теорії міцності
    • Вигин з крученням
  • Кінематика
    • Кінематика точки
      • Траєкторія руху точки
      • Способи завдання руху точки
      • Швидкість точки
      • Прискорення точки
    • Кінематика твердого тіла
      • Поступальний рух твердого тіла
      • Обертальний рух твердого тіла
      • Кінематика зубчастих механізмів
      • Плоскопаралельний рух твердого тіла
    • Складний рух точки
  • Динаміка
    • Основні закони динаміки
    • Динаміка точки
      • Диференціальні рівняння вільної матеріальної точки
      • Два завдання динаміки точки
    • Динаміка твердого тіла
      • Класифікація сил, що діють на механічну систему
      • Диференціальні рівняння руху механічної системи
    • Загальні теореми динаміки
      • Теорема про рух центру мас механічної системи
      • Теорема про зміну кількості руху
      • Теорема про зміну моменту кількості руху
      • Теорема про зміну кінетичної енергії
  • Сили, що діють у машинах
    • Сили в зачепленні прямозубої циліндричної передачі
    • Тертя в механізмах та машинах
      • Тертя ковзання
      • Тертя кочення
    • Коефіцієнт корисної дії
  • Деталі машин
    • Механічні передачі
      • Типи механічних передач
      • Основні та похідні параметри механічних передач
      • Зубчасті передачі
      • Передачі з гнучкими ланками
    • Вали
      • Призначення та класифікація
      • Проектний розрахунок
      • Перевірочний розрахунок валів
    • Підшипники
      • Підшипники ковзання
      • Підшипники кочення
    • З'єднання деталей машин
      • Види роз'ємних та нероз'ємних з'єднань
      • Шпонкові з'єднання
  • Стандартизація норм, взаємозамінність
    • Допуски та посадки
    • Єдина система допусків та посадок (ЕСДП)
    • Відхилення форми та розташування

Формат: PDF

Розмір: 4МВ

Мова російська

Приклад розрахунку прямозубої циліндричної передачі
Приклад розрахунку прямозубої циліндричної передачі. Виконаний вибір матеріалу, розрахунок напруг, що допускаються, розрахунок на контактну і згинальну міцність.


Приклад розв'язання задачі на вигин балки
У прикладі побудовані епюри поперечних сил і згинальних моментів, знайдено небезпечний переріз і підібрано двотавр. У задачі проаналізовано побудову епюр за допомогою диференціальних залежностей, проведено порівняльний аналіз різних поперечних перерізів балки.


Приклад розв'язання задачі на кручення валу
Завдання полягає в перевірці міцності сталевого валу при заданому діаметрі, матеріалі і напругах, що допускаються. У ході рішення будуються епюри моментів, що крутять, дотичних напруг і кутів закручування. Власна вага валу не враховується


Приклад розв'язання задачі на розтягування-стиснення стрижня
Завдання полягає в перевірці міцності сталевого стрижня при заданих напругах, що допускаються. У ході рішення будуються епюри поздовжніх сил, нормальних напружень та переміщень. Власна вага стрижня не враховується


Застосування теореми про збереження кінетичної енергії
Приклад вирішення завдання застосування теореми про збереження кінетичної енергії механічної системи



Визначення швидкості та прискорення точки за заданими рівняннями руху
Приклад розв'язання задачі на визначення швидкості та прискорення точки по заданим рівняннямруху


Визначення швидкостей та прискорень точок твердого тіла при плоскопаралельному русі
Приклад розв'язання задачі на визначення швидкостей та прискорень точок твердого тіла при плоскопаралельному русі


Визначення зусиль у стрижнях плоскої ферми
Приклад розв'язання задачі на визначення зусиль у стрижнях плоскої ферми методом Риттера та методом вирізування вузлів

1 слайд

Курс лекцій з теоретичної механіки Динаміка (І частина) Бондаренко О.М. Москва - 2007 Електронний навчальний курс написаний на основі лекцій, що читалися автором для студентів, які навчалися за спеціальностями СЗ, ПГС та СДМ у НДІЗТ та МІІТ (1974-2006 рр.). Навчальний матеріалвідповідає календарним планамобсягом трьох семестрів. Для повної реалізації анімаційних ефектів під час презентації необхідно використовувати засіб перегляду Power Point не нижче, ніж вбудований у Microsoft Office операційної системи Windows-ХР Professional. Зауваження та пропозиції можна надіслати на e-mail: [email protected]. Московський державний університетшляхів сполучення (МІІТ) Кафедра теоретичної механіки Науково-технічний центр транспортних технологій

2 слайд

Лекція 1. Введення в динаміку. Закони та аксіоми динаміки матеріальної точки. Основне рівняння динаміки. Диференціальні та природні рівняння руху. Два основні завдання динаміки. Приклади розв'язання прямої задачі динаміки Лекція 2. Розв'язання зворотної задачі динаміки. Загальні вказівки до вирішення зворотного завдання динаміки. Приклади вирішення зворотного завдання динаміки. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту, не враховуючи опору повітря. Лекція 3. Прямолінійні коливання матеріальної точки. Умова виникнення коливань. Класифікація коливань. Вільні коливання без урахування сил опору. Загасні коливання. Декремент коливань. Лекція 4. Вимушені коливання матеріальної точки. Резонанс. Вплив опору руху за вимушених коливань. Лекція 5. Відносний рух матеріальної точки. Сила інерції. Окремі випадки руху для різних видів переносного руху. Вплив обертання Землі на рівновагу та рух тел. 6. Динаміка механічної системи. механічна система. Зовнішні та внутрішні сили. Центр мас системи. Теорема про рух центру мас. Закони збереження. Приклад вирішення завдання використання теореми про рух центру мас. Лекція 7. Імпульс сил. Кількість руху. Теорема про зміну кількості руху. Закони збереження. Теорема Ейлер. Приклад вирішення завдання використання теореми про зміну кількості руху. Момент кількості руху. Теорема про зміну моменту кількості руху. Лекція 8. Закони збереження. Елементи теорії моментів інерції Кінетичний момент твердого тіла. Диференціальне рівняння обертання твердого тіла. Приклад вирішення завдання використання теореми про зміну моменту кількості руху системи. Елементарна теорія гіроскопа. Рекомендована литература 1. Яблонський А.А. Курс теоретичної механіки. Ч.2. М.: вища школа. 1977 368 с. 2. Мещерський І.В. Збірник задач з теоретичної механіки. М: Наука. 1986 416 с. 3. Збірник завдань для курсових робіт / Под ред. А.А. Яблонської. М.: Вища школа. 1985 366 с. 4. Бондаренко О.М. “Теоретична механіка у прикладах та завданнях. Динаміка” (електронний посібник www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004 р.

3 слайд

Лекція 1 Динаміка - розділ теоретичної механіки, що вивчає механічний рух із найзагальнішої точки зору. Рух розглядається у зв'язку з силами, що діють на об'єкт. Розділ складається з трьох відділів: Динаміка матеріальної точки Динаміка Динаміка механічної системи Аналітична механіка ■ Динаміка точки – вивчає рух матеріальної точки з урахуванням сил, що викликають цей рух. Основний об'єкт - матеріальна точка - матеріальне тіло, що має масу, розмірами якого можна знехтувати. Основні припущення: – існує абсолютний простір (має суто геометричні властивості, які не залежать від матерії та її руху. – існує абсолютний час (не залежить від матерії та її руху). Звідси випливає: – існує абсолютно нерухома система відліку. – час не залежить від матерії та її руху). рухи системи відліку – маси точок, що рухаються, не залежать від руху системи відліку Ці допущення використовуються в класичній механіці, створеній Галілеєм і Ньютоном, яка має досі досить широку сферу застосування, оскільки механічні системи, що розглядаються в прикладних науках, не мають таких великих мас і швидкості руху, для яких необхідний облік їх впливу на геометрію простору, час, рух, як це робиться в релятивістської механіки(Теорії відносності). ■ Основні закони динаміки – вперше відкриті Галілеєм і сформульовані Ньютоном становлять основу всіх методів опису та аналізу руху механічних систем та їх динамічної взаємодії під дією різних сил. ■ Закон інерції (закон Галілея-Ньютона) – Ізольована матеріальна точка тіло зберігає свій стан спокою або рівномірного прямолінійного руху доти, додані сили не змусять її змінити цей стан. Звідси випливає еквівалентність стану спокою та руху за інерцією (закон відносності Галілея). Система відліку, стосовно якої виконується закон інерції, називається інерційною. Властивість матеріальної точки прагнути зберегти незмінною швидкість свого руху (свій кінематичний стан) називається інертністю. ■ Закон пропорційності сили та прискорення (Основне рівняння динаміки - II закон Ньютона) – Прискорення, що повідомляється матеріальній точці силою, прямо пропорційно силі та обернено пропорційно масі цієї точки: або Тут m – маса точки (міра інертності), вимірюється в кг, чисельно дорівнює ваги, поділеній на прискорення вільного падіння: F – діюча сила, що вимірюється в Н (1 Н повідомляє точці масою 1 кг прискорення 1 м/c2, 1 Н = 1/9.81 кг-с). ■ Динаміка механічної системи – вивчає рух сукупності матеріальних точок та твердих тіл, що об'єднуються загальними законамивзаємодії з урахуванням сил, що викликають цей рух. ■ Аналітична механіка – вивчає рух невільних механічних систем із використанням загальних аналітичних методів. 1

4 слайд

Лекція 1 (продовження – 1.2) Диференціальні рівняння руху матеріальної точки: - Диференційне рівняння руху точки у векторному вигляді. - диференціальні рівняння руху точки координатному вигляді. Цей результат можна отримати формальним проектуванням векторного диференціального рівняння (1). Після угруповання векторне співвідношення розпадається на три скалярні рівняння: У координатному вигляді: Використовуємо зв'язок радіуса-вектора з координатами та вектора сили з проекціями: або: Підставимо прискорення точки при векторному завданні руху в основне рівняння динаміки: Природні рівняння руху матеріальної точки – виходять проектуванням диференціального рівняння руху на природні (рухливі) осі координат: або: - природні рівняння руху точки. ■ Основне рівняння динаміки: - відповідає векторному способу завдання руху точки. ■ Закон незалежності дії сил – Прискорення матеріальної точки під дією кількох сил дорівнює геометричній сумі прискорень точки від дії кожної із сил окремо: або Закон справедливий для будь-якого кінематичного стану тел. Сили взаємодії, будучи прикладені до різних точок (тіл), не врівноважуються. ■ Закон рівності дії та протидії (III закон Ньютона) – Будь-якій дії відповідає рівна за величиною та протилежно спрямована протидія: 2

5 слайд

Дві основні завдання динаміки: 1. Пряме завдання: Задано рух (рівняння руху, траєкторія). Потрібно визначити сили, під впливом яких відбувається заданий рух. 2. Зворотне завдання: Задано сили, під дією яких відбувається рух. Потрібно знайти параметри руху (рівняння руху, траєкторію руху). Обидві задачі вирішуються за допомогою основного рівняння динаміки та проекції його на координатні осі. Якщо розглядається рух невільної точки, то як і в статиці, використовується принцип звільнення від зв'язків. Внаслідок реакції зв'язків включаються до складу сил, що діють на матеріальну точку. Вирішення першої задачі пов'язане з операціями диференціювання. Вирішення зворотного завдання потребує інтегрування відповідних диференціальних рівнянь і це значно складніше, ніж диференціювання. Зворотне завдання складніше за пряме завдання. Розв'язання прямої задачі динаміки – розглянемо на прикладах: Приклад 1. Кабіна вагою G ліфта піднімається тросом із прискоренням a . Визначити натяг троса. 1. Вибираємо об'єкт (кабіна ліфта рухається поступально і його можна як матеріальну точку). 2. Відкидаємо зв'язок (трос) і замінюємо реакцією R. 3. Складаємо основне рівняння динаміки: Визначаємо реакцію троса: Визначаємо натяг троса: При рівномірному русі кабіни ay = 0 і натяг тросу дорівнює вазі: T = G. та прискорення кабіни дорівнює прискоренню вільного падіння: ay = -g. 3 4. Проектуємо основне рівняння динаміки на вісь y: y Приклад 2. Точка масою m рухається горизонтальною поверхнею (площини Oxy) відповідно до рівнянь: x = a coskt, y = b coskt. Визначити чинність, що діє на точку. 1. Вибираємо об'єкт (матеріальну точку). 2. Відкидаємо зв'язок (площину) і замінюємо реакцією N. 3. Додаємо до системи сил невідому силу F. 4. Складаємо основне рівняння динаміки: 5. осі x,y: Визначаємо проекції сили: Модуль сили: Напрямні косинуси: Таким чином, величина сили пропорційна відстані точки до центру координат і спрямована до центру лінії, що з'єднує точку з центром. Траєкторія руху точки є еліпс із центром на початку координат: O r Лекція 1 (продовження – 1.3)

6 слайд

Лекція 1 (продовження 1.4) Приклад 3: Вантаж вагою G підвішений на тросі довжиною l і рухається круговою траєкторією в горизонтальній площині з деякою швидкістю. Кут відхилення троса від вертикалі дорівнює. Визначити натяг троса та швидкість вантажу. 1. Вибираємо об'єкт (вантаж). 2. Відкидаємо зв'язок (трос) і замінюємо реакцією R. 3. Складаємо основне рівняння динаміки: З третього рівняння визначаємо реакцію троса: Визначаємо натяг троса: Підставляємо значення реакції троса, нормального прискорення у друге рівняння і визначаємо швидкість вантажу: динаміки на осі, n, b: Приклад 4: Автомашина вагою G рухається опуклим мосту (радіус кривизни дорівнює R) зі швидкістю V. Визначити тиск автомашини на міст. 1. Вибираємо об'єкт (автомашина, розмірами нехтуємо та розглядаємо як точку). 2. Відкидаємо зв'язок (шорстку поверхню) і замінюємо реакціями N і силою тертя Fтр. 3. Складаємо основне рівняння динаміки: 4. Проеціюємо основне рівняння динаміки на вісь n: Звідси визначаємо нормальну реакцію: Визначаємо тиск автомашини на міст: Звідси можна визначити швидкість, що відповідає нульовому тиску на міст (Q = 0): 4

7 слайд

Лекція 2 Після підстановки знайдених значень постійних отримуємо: Таким чином, під дією однієї і тієї ж системи сил матеріальна точка може здійснювати цілий класрухів, що визначаються початковими умовами. Початкові координати враховують вихідне положення точки. Початкова швидкість, що задається проекціями, враховує вплив на її рух по ділянці траєкторії сил, що діяли на точку до приходу на цю ділянку, тобто. початковий кінематичний стан. Розв'язання зворотного завдання динаміки – У випадку руху точки сили, що діють точку, є змінними, залежними від часу, координат і швидкості. Рух точки описується системою трьох диференціальних рівнянь другого порядку: Після інтегрування кожного з них буде шість постійних C1, C2,…., C6: Постійні значення C1, C2,…., C6 знаходяться з шести початкових умов при t = 0: Приклад 1 рішення зворотного завдання: Вільна матеріальна точка маси m рухається дією сили F, постійної за модулем і величиною. . У початковий момент швидкість точки становила v0 і збігалася у напрямку силою. Визначити рівняння руху точки. 1. Складаємо основне рівняння динаміки: 3. Знижуємо порядок похідної: 2. Виберемо декартову систему відліку, направляючи вісь x вздовж напрямку сили і спроектуємо основне рівняння динаміки на цю вісь: або x y z 4. Розділяємо змінні: 5. Обчислюємо інтегр : 6. Представимо проекцію швидкості як похідну координати за часом: 8. Обчислюємо інтеграли від обох частин рівняння: 7. Розділяємо змінні: 9. Для визначення значень постійних C1 та C2 використовуємо початкові умови t = 0, vx = v0 , x = x0: У результаті одержуємо рівняння рівнозмінного руху (по осі x): 5

8 слайд

Загальні вказівки до вирішення прямої та зворотної задачі. Порядок розв'язання: 1. Упорядкування диференціального рівняння руху: 1.1. Вибрати систему координат - прямокутну (нерухому) при невідомій траєкторії руху, природну (рухливу) при відомій траєкторії, наприклад, коло або пряма лінія. У разі можна використовувати одну прямолінійну координату. Початок відліку поєднати з початковим положенням точки (при t = 0) або з рівноважним положенням точки, якщо воно існує, наприклад, коливання точки. 6 1.2. Зобразити точку в положенні, що відповідає довільному моменту часу (при t>0) так, щоб координати були позитивними (s>0, x>0). При цьому вважаємо також, що проекція швидкості в цьому положенні також позитивна. У разі коливань, проекція швидкості змінює знак, наприклад, при поверненні до положення рівноваги. Тут слід прийняти, що в момент часу, що розглядається, точка віддаляється від положення рівноваги. Виконання цієї рекомендації є важливим у подальшому при роботі з силами опору, що залежать від швидкості. 1.3. Звільнити матеріальну точку від зв'язків, замінити їхню дію реакціями, додати активні сили. 1.4. Записати основний закон динаміки у векторному вигляді, спроектувати на вибрані осі, виразити сили, що задаються або реактивні через змінні час, координати або швидкості, якщо вони від них залежать. 2. Розв'язання диференціальних рівнянь: 2.1. Зменшити похідну, якщо рівняння не наводиться до канонічного (стандартного) виду. наприклад: або 2.2. Розділити змінні, наприклад: або 2.4. Обчислити не певні інтегралиу лівій та правій частинах рівняння, наприклад: 2.3. Якщо у рівнянні три змінних, зробити заміну змінних, наприклад: і потім розділити змінні. Зауваження. Замість обчислення невизначених інтегралівможна обчислити певні інтеграли зі змінною верхньою межею. Нижні межі представляють початкові значення змінних (початкові умови). Тоді не потрібно окремого знаходження постійної, яка автоматично включається до рішення, наприклад: Використовуючи початкові умови, наприклад, t = 0, vx = vx0, визначити постійну інтегрування: 2.5. Виразити швидкість через похідну координати часу, наприклад, і повторити пункти 2.2 -2.4 Зауваження. Якщо рівняння наводиться до канонічного виду, що має стандартне рішення, це готове рішення і використовується. Постійні інтегрування як і раніше з початкових умов. наприклад, коливання (лекція 4, стор.8). Лекція 2 (продовження 2.2)

9 слайд

Лекція 2 (продовження 2.3) Приклад 2 розв'язання зворотного завдання: Сила залежить від часу. Вантаж вагою P починає рухатися гладкою горизонтальною поверхні під дією сили F, величина якої пропорційна часу (F = kt). Визначити пройдену відстань вантажем за час t. 3. Складаємо основне рівняння динаміки: 5. Знижуємо порядок похідної: 4. Проектуємо основне рівняння динаміки на вісь x: або 7 6. Розділяємо змінні: 7. Обчислюємо інтеграли від обох частин рівняння: 9. Представимо проекцію швидкості 10. Обчислюємо інтеграли від обох частин рівняння: 9. Розділяємо змінні: 8. Визначимо значення постійної C1 з початкової умови t = 0, vx = v0 = 0: У результаті отримуємо рівняння руху (осі x), яке дає значення пройденого шляху за час t: 1. Вибираємо систему відліку ( декартові координати) так, щоб тіло мало позитивну координату: 2. Приймаємо об'єкт руху за матеріальну точку (тіло рухається поступально), звільняємо від зв'язку (опорної площини) та замінюємо реакцією (нормальною реакцією гладкої поверхні): 11. Визначимо значення постійної C2 з початкової умови t = 0, x = x0=0: Приклад 3 розв'язання оберненої задачі: Сила залежить від координати. Матеріальна точка масою m кинута вгору із Землі зі швидкістю v0. Сила тяжіння Землі обернено пропорційна квадрату відстані від точки до центру тяжіння (центру Землі). Визначити залежність швидкості від відстані до центру Землі. 1. Вибираємо систему відліку (декартові координати) так, щоб тіло мало позитивну координату: 2. Складаємо основне рівняння динаміки: 3. Проектуємо основне рівняння динаміки на вісь y: або Коефіцієнт пропорційності можна знайти, використовуючи вагу точки на поверхні Землі: R рівняння має вигляд: або 4. Знижуємо порядок похідної: 5. Робимо заміну змінної: 6. Розділяємо змінні: 7. Обчислюємо інтеграли від обох частин рівняння: 8. Підставляємо межі: У результаті отримуємо вираз для швидкості функції від координати y: Максимальну висоту польоту можна знайти прирівнюючи швидкість нулю: Максимальна висота польоту при обігу знаменника в нуль: Звідси при постановці радіуса Землі та прискорення вільного падіння виходить II космічна швидкість:

10 слайд

Лекція 2 (продовження 2.4) Приклад 2 розв'язання зворотного завдання: Сила залежить від швидкості. Судно маси m мало швидкість v0. Опір води руху судна пропорційно швидкості. Визначити час, за який швидкість судна впаде вдвічі після вимкнення двигуна, а також пройдена відстань судном до повної зупинки. 8 1. Вибираємо систему відліку (декартові координати) так, щоб тіло мало позитивну координату: 2. Приймаємо об'єкт руху за матеріальну точку (судно рухається поступально), звільняємо від зв'язків (води) та замінюємо реакцією (виштовхувальною силою – силою Архімеда). також силою опору руху. 3. Додаємо активну силу (силу тяжіння). 4. Складаємо основне рівняння динаміки: 5. Проектуємо основне рівняння динаміки на вісь x: або 6. Знижуємо порядок похідної: 7. Розділяємо змінні: 8. Обчислюємо інтеграли від обох частин рівняння: 9. Підставляємо межі: t, звідки можна визначити час руху: Час руху, протягом якого швидкість впаде вдвічі: Цікаво помітити, що з наближенні швидкості до нуля час руху прагне нескінченності, тобто. кінцева швидкість не може дорівнювати нулю. Чим не "вічне рух"? Однак при цьому пройдений шлях до зупинки є кінцевою величиною. Для визначення пройденого шляху звернемося до виразу, отриманого після зниження порядку похідної, і зробимо заміну змінної: Після інтегрування та підстановки меж отримуємо: Пройдений шлях до зупинки: ■ Рух точки, кинутої під кутом до горизонту, в однорідному полі сили тяжіння без урахування Виключивши час із рівнянь руху отримуємо рівняння траєкторії: Час польоту визначаємо прирівнюванням координати y нулю: Дальність польоту визначаємо підстановкою часу польоту:

11 слайд

Лекція 3 Прямолінійні коливання матеріальної точки – Коливальний рух матеріальної точки відбувається за умови: є сила, що відновлює, що прагне повернути крапку в положення рівноваги при будь-якому відхиленні її з цього положення. 9 Відновлююча сила є, положення рівноваги стійке Відновлювальної сили немає, положення рівноваги нестійке Відновлюючої сили немає, положення рівноваги байдуже Відновлююча сила є, положення рівноваги стійке Необхідний аналіз Сила пружності пружини - приклад лінійної відновлювальної сили. Спрямована завжди до положення рівноваги, величина прямо пропорційна лінійному подовженню (укороченню) пружини, рівному відхиленню тіла від положення рівноваги: ​​с – коефіцієнт жорсткості пружини, чисельно рівний силі, під дією якої пружина змінює свою довжину на одиницю, вимірюється в Н/м у системі СІ. x y O Види коливань матеріальної точки: 1. Вільні коливання (не враховуючи опору середовища). 2. Вільні коливання з урахуванням опору середовища (загасаючі коливання). 3. Вимушені коливання. 4. Вимушені коливання з урахуванням опору середовища. ■ Вільні коливання – відбуваються під дією лише сили, що відновлює. Запишемо основний закон динаміки: Виберемо систему координат з центром у положенні рівноваги (точці O) і спроектуємо рівняння на вісь x: Наведемо отримане рівняння до стандартного (канонічного) виду: Дане рівняння є однорідним лінійним диференціальним рівнянням II порядку, вид вирішення якого визначається рівняння, одержуване за допомогою універсальної підстановки: Коріння характеристичного рівняння уявні та рівні: Загальне рішення диференціального рівняння має вигляд: Швидкість точки: Початкові умови: Визначимо постійні: Отже, рівняння вільних коливань має вигляд: Рівняння можна уявити - Початкова фаза. Нові константи a - пов'язані з постійними C1 і C2 співвідношеннями: Визначимо a і: Причиною виникнення вільних коливань є початкове зміщення x0 і/або початкова швидкість v0.

12 слайд

10 Лекція 3 (продовження 3.2) Затухаючі коливання матеріальної точки – Коливальний рух матеріальної точки відбувається за наявності відновлювальної сили та сили опору руху. Залежність сили опору руху від усунення чи швидкості визначається фізичної природисередовища чи зв'язку, що перешкоджає руху. Найбільш простою залежністю є лінійна залежність від швидкості (в'язкий опір): - Коефіцієнт в'язкості x y O Основне рівняння динаміки: Проекція рівняння динаміки на вісь: Наведемо рівняння до стандартного вигляду: де Характеристичне рівняння має коріння: Загальне рішення даного диференціального рівняння від значень коріння: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота загасаючих коливань: Період: T* Декремент коливань: ai ai+1 Логарифмічний декремент коливань: Згасання коливань відбувається дуже швидко. Основний вплив сили в'язкого опору – зменшення амплітуди коливань із часом. 2. n > k – випадок великого в'язкого опору: - коріння дійсне, різні. або - ці функції аперіодичні: 3. n = k: - коріння дійсне, кратне. ці функції також аперіодичні:

13 слайд

Лекція 3 (Продовження 3.3) Класифікація рішень вільних коливань. Способи з'єднання пружин. Еквівалентна жорсткість. y y 11 Діфф. рівняння Характер. рівняння Коріння характ. рівняння Розв'язання диференціального рівняння Графік nk n=k

14 слайд

Лекція 4 Вимушені коливання матеріальної точки - Поряд з відновлюючою силою діє сила, що періодично змінюється, звана обурювальною силою. Обурювальна сила може мати різну природу. Наприклад, в окремому випадку інерційний вплив неврівноваженої маси m1 обертового ротора викликає гармонійно змінюються проекції сили: Основне рівняння динаміки: Проекція рівняння динаміки на вісь: Приведемо рівняння до стандартного вигляду: 12 Розв'язання цього неоднорідного диференціального x x1 – загальне рішення відповідного однорідного рівняння та x2 – приватне рішення неоднорідного рівняння: Приватне рішення підбираємо у формі правої частини: Отримана рівність повинна задовольнятися за будь-якого t . Тоді: або Таким чином, при одночасному дії відновлюючої та обурюючої сил матеріальна точка здійснює складний коливальний рух, що є результатом складання (накладання) вільних (x1) і вимушених (x2) коливань. Якщо p< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием повного рішення(!): Таким чином, приватне рішення: Якщо p > k (вимушені коливання великої частоти), то фаза коливань протилежна фазі сили, що обурює:

15 слайд

Лекція 4 (продовження 4.2) 13 Коефіцієнт динамічності – відношення амплітуди вимушених коливань до статичного відхилення точки під дією постійної сили H = const: Амплітуда вимушених коливань: Статичне відхилення можна знайти з рівняння рівноваги: ​​Тут: Звідси: Таким чином, p< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (велика частота вимушених коливань) коефіцієнт динамічності: Резонанс – виникає, коли частота вимушених коливань збігається із частотою власних коливань (p = k). Це найчастіше відбувається при запуску та зупинці обертання погано збалансованих роторів, закріплених на пружних підвісках. Диференціальне рівняння коливань за рівності частот: Приватне рішення у вигляді правої частини взяти не можна, т.к. вийде лінійно залежне рішення (див. загальне рішення). Загальне рішення: Підставимо в диференціальне рівняння: Візьмемо приватне рішення у вигляді та обчислимо похідні: Таким чином, отримано рішення: або Вимушені коливання при резонансі мають амплітуду, що необмежено зростає пропорційно часу. Вплив опору руху за вимушених коливань. Диференціальне рівняння за наявності в'язкого опору має вигляд: Загальне рішення вибирається з таблиці (Лекція 3, стор. 11) залежно від співвідношення n і до (подивитися). Приватне рішення візьмемо у вигляді та обчислимо похідні: Підставимо у диференціальне рівняння: Прирівнюючи коефіцієнти за однакових тригонометричних функціяхотримуємо систему рівнянь: Зведенням у ступінь обох рівнянь і складанням їх отримуємо амплітуду вимушених коливань: Поділом другого рівняння на перше отримуємо зсув фази вимушених коливань: Таким чином, рівняння руху при вимушених коливаннях з урахуванням опору руху, наприклад при n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 слайд

Лекція 5 Відносний рух матеріальної точки – Припустимо, що рухома (неінерційна) система координат Oxyz рухається за деяким законом щодо нерухомої (інерційної) системи координат O1x1y1z1. Рух матеріальної точки M (x, y, z) щодо рухомої системи Oxyz - відносний, відносно нерухомої системи O1x1y1z1 - абсолютний. Рух рухомої системи Oxyz щодо нерухомої системи O1x1y1z1 – переносний рух. Основне рівняння динаміки: Абсолютне прискорення точки: Підставимо абсолютне прискорення точки в основне рівняння динаміки: Перенесемо доданки з переносним та коріолісовим прискоренням у праву частину: Перенесені доданки мають розмірність сил і розглядаються як співвідношення рівні: Тоді відносний рух точки можна розглядати як абсолютний, якщо до діючих сил додати переносну і коріолісову сили інерції: У проекціях на осі рухомої системи координат маємо: Приватні випадки відносного руху точки для різного виду переносного руху: обертання рівномірне, то εe = 0: 2. Поступальний криволінійний рух: Якщо рух прямолінійний, то = : Якщо рух прямолінійний і рівномірний, то рухлива система є інерційною і відносний рух може розглядатися як абсолютний: Жодними механічними явищамине можна виявити прямолінійного рівномірного руху (принцип відносності класичної механіки). Вплив обертання Землі на рівновагу тіл – Припустимо, що тіло знаходиться в рівновазі на поверхні Землі на довільній широті (паралелі). Земля обертається навколо своєї осі із заходу на схід із кутовою швидкістю: Радіус Землі становить близько 6370 км. S R - повна реакціянегладкій поверхні. G – сила тяжіння Землі до центру. Ф – відцентрова сила інерції. Умова відносної рівноваги: ​​Рівночинна сила тяжіння та інерції – сила тяжіння (вага): Величина сили тяжіння (ваги) на поверхні Землі дорівнює P = mg . Відцентрова сила інерції становить малу частку від сили тяжіння: Відхилення сили тяжіння від напрямку сили тяжіння також мало: Таким чином, вплив обертання Землі на рівновагу тіл надзвичайно мало і в практичних розрахунках не береться до уваги. Максимальна величина сили інерції (при φ = 0 - на екваторі) становить 0.00343 від величини сили тяжіння

17 слайд

Лекція 5 (продовження 5.2) 15 Вплив обертання Землі на рух тіл у полі тяжіння Землі – Покладемо тіло, що падає на Землю з деякої висоти H над поверхнею Землі на широті φ . Виберемо рухливу систему відліку, жорстко пов'язану із Землею, спрямовуючи осі x, y по дотичній до паралелі та до меридіана: Рівняння відносного руху: Тут враховано трохи відцентрової сили інерції в порівнянні з силою тяжіння. Таким чином, сила тяжіння ототожнюється з силою тяжіння. Крім того, вважаємо, що сила тяжіння спрямована перпендикулярно поверхні Землі внаслідок малості її відхилення, як розглянуто вище. Прискорення Коріоліса рівне і спрямоване паралельно осі y на захід. Сила інерції Коріоліса дорівнює спрямована у протилежний бік. Спроектуємо рівняння відносного руху на осі: Розв'язання першого рівняння дає: Початкові умови: Рішення третього рівняння дає: Початкові умови: Третє рівняння набуває вигляду: Початкові умови: Його рішення дає: Отримане рішення показує, що тіло при падінні відхиляється на схід. Обчислимо величину цього відхилення, наприклад, при падінні з висоти 100 м. Час падіння знайдемо з другого рівняння: Таким чином, вплив обертання Землі на рух тіл надзвичайно мало для практичних висот і швидкостей і в технічних розрахунках не враховується. З розв'язання другого рівняння також випливає існування швидкості по осі y, яка також повинна викликати та викликає відповідне прискорення та силу інерції Коріоліса. Вплив цієї швидкості та сили інерції, пов'язаної з нею, на зміну руху буде ще меншим, ніж розглянута сила інерції Коріоліса, пов'язана з вертикальною швидкістю.

18 слайд

Лекція 6. Динаміка механічної системи. Система матеріальних точок або механічна система - Сукупність матеріальних точок або матеріальних тих, що об'єднуються загальними законами взаємодії (становище або рух кожної з точок або тіла залежить від положення та руху всіх інших) Система вільних точок - рух яких не обмежується жодними зв'язками (наприклад, планетна система , В якій планети розглядаються як матеріальні точки). Система невільних точок або невільна механічна система – рух матеріальних точок чи тіл обмежуються накладеними на систему зв'язками (наприклад, механізм, машина тощо). 16 Сили, що діють систему. На додаток до раніше існуючої класифікації сил (активні та реактивні сили) вводиться нова класифікація сил: 1. Зовнішні сили (e) – системи, що діють на точки і тіла, з боку точок або тіл, що не входять до складу даної системи. 2. Внутрішні сили (i) – сили взаємодії між матеріальними точками чи тілами, які входять у цю систему. Одна й та сила може бути як зовнішньої, і внутрішньої силою. Усе залежить від цього, яка механічна система розглядається. Наприклад: У системі Сонце, Земля та Місяць всі сили тяжіння між ними є внутрішніми. При розгляді системи Земля та Місяць сили тяжіння, прикладені з боку Сонця – зовнішні: C З Л На підставі закону дії та протидії кожній внутрішній силі Fk відповідає інша внутрішня сила Fk', рівна за модулем і протилежна за напрямом. З цього випливають дві чудові властивості внутрішніх сил: Головний вектор усіх внутрішніх сил системи дорівнює нулю: Головний момент усіх внутрішніх сил системи щодо будь-якого центру дорівнює нулю: Або в проекціях на координатні осі: Примітка. Хоча ці рівняння схожі на рівняння рівноваги, вони не є такими, оскільки внутрішні сили прикладені до різним точкамабо тіла системи і можуть викликати рух цих точок (тіл) відносно один одного. З цих рівнянь випливає, що внутрішні сили не впливають на рух системи, яку розглядають як одне ціле. Центр мас системи матеріальних точок. Для опису руху системи в цілому вводиться геометрична точка, яка називається центром мас, радіус-вектор якої визначається виразом, де M – маса всієї системи: Або в проекціях на координатні осі: Формули для центру мас аналогічні формулам для центру тяжіння. Однак, поняття центру мас більш загальне, оскільки воно не пов'язане із силами тяжіння чи силами тяжіння.

19 слайд

Лекція 6 (продовження 6.2) 17 Теорема про рух центру мас системи – Розглянемо систему n матеріальних точок. Прикладені до кожної точки сили розділимо на зовнішні та внутрішні та замінимо їх на відповідні рівнодіючі Fke та Fki. Запишемо для кожної точки основне рівняння динаміки: або Підсумуємо ці рівняння по всіх точках: У лівій частині рівняння внесемо маси під знак похідної та замінимо суму похідних на похідну суми: З визначення центру мас: Підставимо в отримане рівняння: Після винесення маси системи за знак похідної отримуємо або: Добуток маси системи на прискорення її центру масі дорівнює головному вектору зовнішніх сил. У проекціях на координатні осі: Центр мас системи рухається як матеріальна точка масою, що дорівнює масі всієї системи, до якої прикладені всі зовнішні сили, що діють на систему. Наслідки з теореми про рух центру мас системи (закони збереження): 1. Якщо в інтервалі часу головний вектор зовнішніх сил системи дорівнює нулю, Re = 0, швидкість центру мас постійна, vC = const (центр мас рухається рівномірно прямолінійно – закон збереження руху центру мас). 2. Якщо в інтервалі часу проекція головного вектора зовнішніх сил системи на вісь x дорівнює нулю, Rxe = 0, швидкість центру мас по осі x постійна, vCx = const (центр мас рухається по осі рівномірно). Аналогічні твердження справедливі осі y і z. Приклад: Двоє людей масами m1 і m2 перебувають у човні масою m3. У початковий момент часу човен з людьми перебував у спокої. Визначити переміщення човна, якщо людина масою m2 пересіла до носа човна на відстань а. 3. Якщо в інтервалі часу головний вектор зовнішніх сил системи дорівнює нулю, Re = 0, і в початковий момент швидкість центру мас дорівнює нулю, vC = 0, то радіус-вектор центру мас залишається постійним, rC = const (центр мас перебуває в спокої - Закон збереження становища центру мас). 4. Якщо в інтервалі часу проекція головного вектора зовнішніх сил системи на вісь x дорівнює нулю, Rxe = 0, і в початковий момент швидкість центру мас цієї осі дорівнює нулю, vCx = 0, то координата центру мас по осі x залишається постійною, xC = const (центр мас не рухається по цій осі). Аналогічні твердження справедливі осі y і z. 1. Об'єкт руху (човен з людьми): 2. Відкидаємо зв'язку (воду): 3. Замінюємо зв'язок реакцією: 4. Додаємо активні сили: 5. Записуємо теорему про центр мас: Проеціруємо на вісь x: O Визначимо на яку відстань треба пересісти людині маси m1, щоб човен залишився на місці: Човен переміститься на відстань l у протилежний бік.

20 слайд

Лекція 7 Імпульс сили – міра механічної взаємодії, що характеризує передачу механічного руху з боку діючих на точку сил за даний проміжок часу: 18 У проекціях на координатні осі: У разі постійної сили: У проекціях на координатні осі: Імпульс рівнодіючої – дорівнює геометричній сумі до точки сил за той самий проміжок часу: Помножимо на dt: Проінтегруємо на даному проміжку часу: Кількість руху точки – міра механічного руху, яка визначається вектором, рівним добутку маси точки на вектор її швидкості: Теорема про зміну кількості руху системи – Розглянемо систему n матеріальних точок. Прикладені до кожної точки сили розділимо на зовнішні та внутрішні та замінимо їх на відповідні рівнодіючі Fke та Fki. Запишемо кожної точки основне рівняння динаміки: чи Кількість руху системи матеріальних точок – геометрична сума кількостей руху матеріальних точок: За визначенням центру мас: Вектор кількості руху системи дорівнює добутку маси всієї системи на вектор швидкості центру мас системи. Тоді: У проекціях на координатні осі: Похідна вектора кількості руху системи за часом дорівнює головному вектору зовнішніх сил системи. Підсумуємо ці рівняння по всіх точках: У лівій частині рівняння внесемо маси під знак похідної та замінимо суму похідних на похідну суми: З визначення кількості руху системи: У проекціях на координатні осі:

21 слайд

Теорема Ейлера – застосування теореми про зміну кількості руху системи до руху суцільного середовища (води) . 1.Вибираємо як об'єкт руху об'єм води, що знаходиться в криволінійному каналі турбіни: 2. Відкидаємо зв'язки і замінюємо їх дію реакціями (Rпов – рівнодіюча поверхневих сил) 3. Додаємо активні сили (Rоб – рівнодіюча об'ємних сил): 4. Записуємо теоре зміні кількості руху системи: Кількість руху води в моменти часу t0 і t1 подаємо як суми: Зміна кількості руху води в інтервалі часу : Зміна кількості руху води за нескінченно малий інтервал часу dt: , де F1 F2 Приймаючи добуток щільності, площі поперечного перерізу та швидкості за секундну масу отримуємо: Підставляючи диференціал кількості руху системи в теорему про зміну отримуємо: Наслідки з теореми про зміну кількості руху системи (закони збереження): 1. Якщо в інтервалі часу головний вектор зовнішніх сил системи дорівнює нулю, Re = 0, то вектор кількості руху постійний, Q = const – закон збереження кількості руху системи). 2. Якщо інтервалі часу проекція головного вектора зовнішніх сил системи на вісь x дорівнює нулю, Rxe = 0, то проекція кількості руху системи на вісь x постійна, Qx = const. Аналогічні твердження справедливі осі y і z. Лекція 7 (продовження 7.2) Приклад: Граната маси M, що летіла зі швидкістю v, розірвалася на дві частини. Швидкість одного з осколків маси m1 зросла у напрямку до величини v1. Визначити швидкість другого уламка. 1. Об'єкт руху (граната): 2. Об'єкт - вільна система, зв'язку та їх реакції відсутні. 3. Додаємо активні сили: 4. Записуємо теорему про зміну кількості руху: Проектуємо на вісь: Розділяємо змінні та інтегруємо: Правий інтеграл практично дорівнює нулю, т.к. час вибуху t

22 слайд

Лекція 7 (продовження 7.3) 20 Момент кількості руху точки або кінетичний момент руху щодо деякого центру – міра механічного руху, що визначається вектором, рівним векторному добутку радіуса-вектора матеріальної точки на вектор її кількості руху: Кінетичний момент системи матеріальних точок щодо деякого центру – геометрична сума моментів кількостей рухів усіх матеріальних точок щодо цього центру: У проекціях на осі: У проекціях на осі: Теорема про зміну моменту кількості руху системи – Розглянемо систему n матеріальних точок. Прикладені до кожної точки сили розділимо на зовнішні та внутрішні та замінимо їх на відповідні рівнодіючі Fke та Fki. Запишемо для кожної точки основне рівняння динаміки: або Підсумуємо ці рівняння по всіх точках: Замінимо суму похідних на похідну суми: Вираз у дужках є моментом кількості руху системи. Звідси: Помножимо векторно кожну з рівностей на радіус-вектор зліва: Подивимося, чи можна винести знак похідної за межі векторного твору: Таким чином, отримали: центру. У проекціях на координатні осі: Похідна моменту кількості руху системи щодо деякої осі за часом дорівнює головному моменту зовнішніх сил системи щодо цієї осі.

23 слайд

Лекція 8 21 ■ Наслідки з теореми про зміну моменту кількості руху системи (закони збереження): 1. Якщо в інтервалі часу вектор головного моменту зовнішніх сил системи щодо деякого центру дорівнює нулю, MOe = 0, то вектор моменту кількості руху системи щодо цього ж центру постійний, KO = const - Закон збереження моменту кількості руху системи). 2. Якщо інтервалі часу головний момент зовнішніх сил системи щодо осі x дорівнює нулю, Mxe = 0, то момент кількості руху системи щодо осі x постійний, Kx = const. Аналогічні твердження справедливі осі y і z. 2. Момент інерції твердого тіла щодо осі: Момент інерції матеріальної точки щодо осі дорівнює добутку маси точки на квадрат відстані точки до осі. Момент інерції твердого тіла щодо осі дорівнює сумі добутків маси кожної точки на квадрат відстані цієї точки до осі. ■ Елементи теорії моментів інерції – При обертальному русі твердого тіла мірою інерції (опір зміни руху) є момент інерції щодо осі обертання. Розглянемо основні поняття визначення та способи обчислення моментів інерції. 1. Момент інерції матеріальної точки щодо осі: При переході від дискретної малої маси до нескінченно малої маси точки межа такої суми визначається інтегралом: осьовий момент інерції твердого тіла. Крім осьового моменту інерції твердого тіла, існують інші види моментів інерції: відцентровий момент інерції твердого тіла. момент інерції твердого тіла. 3. Теорема про моменти інерції твердого тіла щодо паралельних осей – формула переходу до паралельних осей: Момент інерції щодо вихідної осі Статичні моменти інерції щодо вихідних осей Маса тіла Відстань між осями z1 та z2 Таким чином: Якщо вісь z1 проходить через центр мас, то статичні моменти дорівнюють нулю:

24 слайд

Лекція 8 (продовження 8.2) 22 Момент інерції однорідного стрижня постійного перерізу щодо осі: x z L Виділимо елементарний об'єм dV = Adx на відстані x: x dx Елементарна маса: Для обчислення моменту інерції щодо центральної осі(що проходить через центр тяжкості) достатньо змінити розташування осі та задати межі інтегрування (-L/2, L/2). Тут продемонструємо формулу переходу до паралельних осей: zС 5. Момент інерції однорідного суцільного циліндра щодо осі симетрії: H dr r Виділимо елементарний об'єм dV = 2πrdrH (тонкий циліндр радіуса r): Елементарна маса: Тут використана формула об'єму циліндра V=π Для обчислення моменту інерції пустотілого (товстого) циліндра достатньо задати межі інтегрування від R1 до R2 (R2> R1): 6. Момент інерції тонкого циліндра щодо осі симетрії (t

25 слайд

Лекція 8 (продовження 8.3) 23 ■ Диференційне рівняння обертання твердого тіла щодо осі: Запишемо теорему про зміну кінетичного моменту твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі: Кінетичний момент обертового твердого тіла дорівнює: Момент зовнішніх сил щодо осі обертання тяжкості моментів не створюють): Підставляємо кінетичний момент і момент, що обертає, в теорему Приклад: Дві людини однакової ваги G1 = G2 висять на канаті, перекинутому через суцільний блок вагою G3 = G1/4. У деякий момент один з них почав підніматися канатом з відносною швидкістю u. Визначити швидкість підйому кожного з людей. 1. Вибираємо об'єкт руху (блок з людьми): 2. Відкидаємо зв'язки (опорний пристрій блоку): 3. Замінюємо зв'язок реакціями (підшипника): 4. Додаємо активні сили (сили тяжіння): 5. Записуємо теорему про зміну кінетичного моменту системи щодо осі обертання блоку: R Оскільки момент зовнішніх сил дорівнює нулю, то кінетичний момент повинен залишатися постійним: У початковий момент часу t = 0 була рівновага і Kz0 = 0. Після початку руху однієї людини щодо каната вся система почала рухатися, але кінетичний момент системи повинен залишитися рівним нулю: Kz = 0. Кінетичний момент системи складається з кінетичних моментів обох людей і блоку: Тут v2 – швидкість другої людини, що дорівнює швидкості троса, Приклад: Визначити період малих вільних коливань однорідного стрижня маси M та довжиною l, підвішеного одним кінцем до нерухомої осі обертання. Або: У разі малих коливань sinφ φ: Період коливань: Момент інерції стрижня:

26 слайд

Лекція 8 (продовження 8.4 – додатковий матеріал) 24 ■ Елементарна теорія гіроскопа: Гіроскоп – тверде тіло, що обертається навколо осі матеріальної симетрії, одна з точок якої нерухома. Вільний гіроскоп – закріплений отже його центр мас залишається нерухомим, а вісь обертання проходить через центр мас і може приймати будь-яке становище у просторі, тобто. вісь обертання змінює своє положення подібно до осі власного обертання тіла при сферичному русі. Основне припущення наближеної (елементарної) теорії гіроскопа – вектор моменту кількості руху (кінетичний момент) ротора вважається спрямованим уздовж власної осі обертання. Таким чином, незважаючи на те, що в загальному випадку ротор бере участь у трьох обертаннях, береться до уваги лише кутова швидкість власного обертання ω = dφ/dt. Підставою для цього є те, що в сучасної технікиротор гіроскопа обертається з кутовою швидкістю порядку 5000-8000 рад/c (близько 50000-80000 об/хв), тоді як дві інші кутові швидкості, пов'язані з прецесією та нутацією власної осі обертання в десятки тисяч разів менше цієї швидкості. Основна властивість вільного гіроскопа - вісь ротора зберігає постійне напрямок у просторі по відношенню до інерційної (зоряної) системи відліку (демонструється маятником Фуко, що зберігає незмінною по відношенню до зірок площину гойдання, 1852). Це випливає із закону збереження кінетичного моменту щодо центру мас ротора за умови нехтування тертям у підшипниках осей підвіски ротора, зовнішньої та внутрішньої рами: Дія сили на вісь вільного гіроскопа. У разі дії сили, прикладеної до осі ротора, момент зовнішніх сил щодо центру мас не дорівнює нулю: ω ω С Похідна кінетичного моменту за часом дорівнює швидкості кінця цього вектора (теорема Резалю): Це означає, що вісь ротора відхилятиметься не у бік дії сили, а бік вектора моменту цієї сили, тобто. повертатиметься не щодо осі x (внутрішня підвіска), а щодо осі y (зовнішня підвіска). У разі припинення дії сили вісь ротора залишиться у постійному становищі, відповідному останньому моменту часу дії сили, т.к. з цього часу момент зовнішніх сил знову стає рівним нулю. У разі короткочасної дії сили (удару) вісь гіроскопа практично не змінює свого становища. Таким чином, швидке обертання ротора повідомляє гіроскоп здатність протидіяти випадковим впливам, що прагнуть змінити положення осі обертання ротора, а при постійній дії сили зберігає положення площини, перпендикулярної діючої силі, в якій лежить вісь ротора. Ці властивості використовують у роботі інерційних систем навігації.

Лекції з теоретичної механіки

Динаміка точки

Лекція 1

    Основні поняття динаміки

В розділі Динамікавивчається рух тіл під впливом прикладених до них сил. Тому, крім понять, які вводилися в розділі Кінематика,тут необхідно використовувати нові поняття, що відображають специфіку впливу сил на різні тіла та реакцію тіл на ці впливи. Розглянемо основні із цих понять.

а) сила

Сила є кількісним результатом впливу на дане тіло з боку інших тіл.Сила є векторною величиною (рис.1).



Точка А початку вектора сили Fназивається точкою докладання сили. Пряма MN, на якій знаходиться вектор сили називається лінією дії сили.Довжиновектор сили, виміряний у певному масштабі, називається чисельним значенням чи модулем вектора сили. Модуль сили позначається як або . Дія сили на тіло проявляється або в його деформації, якщо тіло нерухоме, або в повідомленні прискорення при русі тіла. На цих проявах сили ґрунтується пристрій різних приладів (силомірів або динамометрів) для вимірювання сил.

б) система сил

Розглянута сукупність сил утворює систему сил.Будь-яка система, що складається з n сил, може бути записана у такому вигляді:

в) вільне тіло

Тіло, яке може переміщатися в просторі в будь-якому напрямку, не відчуваючи безпосередньої (механічної) взаємодії з іншими тілами, називається вільнимабо ізольованим. Вплив тієї чи іншої системи сил на тіло може бути з'ясовано тільки в тому випадку, якщо це вільне тіло.

г) рівнодіюча сила

Якщо якась сила надає на вільне тіло такий самий вплив, як і деяка система сил, то ця сила називається рівнодіючої даної системи сил. Це записується так:

,

що означає еквівалентністьвпливу на те саме вільне тіло рівнодіючої і деякої системи n сил.

Перейдемо тепер до більш складних понять, пов'язаних з кількісним визначенням обертальних впливів сил.

д) момент сили щодо точки (центру)

Якщо тіло під дією сили може повертатися навколо деякої нерухомої точки (рис.2), то для кількісної оцінки цього обертального впливу вводиться фізична величина, яка називається моментом сили щодо точки (центру).

Площина, що проходить через цю нерухому точку та лінію дії сили, називається площиною дії сили. На рис.2 це площина ОАВ.

Моментом сили щодо точки (центру) називається векторна величина, що дорівнює векторному добутку радіус-вектора точки докладання сили на вектор сили:

( 1)

Згідно з правилом векторного множення двох векторів, їх векторний твір є вектор перпендикулярний площині розташування векторів співмножника (у даному випадку площині трикутника ОАВ), спрямований у той бік, звідки найкоротший поворот першого вектора співмножника до другого вектора співмножника. видно проти стрілки годинника (рис.2).При такому порядку векторів співмножників векторного твору (1), поворот тіла під дією сили буде видно проти стрілки годинника (рис.2) Так як вектор перпендикулярний площині дії сили, то його розташування в просторі визначає положення площини дії сили. щодо центру дорівнює подвоєній площі ОАВ і може бути визначено за формулою:

, (2)

де величинаh, Рівна найкоротшій відстані від даної точки О до лінії дії сили, називається плечем сили.

Якщо положення площини дії сили в просторі не суттєво для характеристики обертального впливу сили, то в цьому випадку для характеристики обертального впливу сили замість вектора моменту сили використовується алгебраїчний момент сили:

(3)

Алгебраїчний момент сили щодо даного центру дорівнює взятому зі знаком плюс або мінус добутку модуля сили на її плече. При цьому позитивний момент відповідає повороту тіла під дією даної сили проти стрілки годинника, а негативний момент - повороту тіла за стрілкою годинника. З формул (1), (2) та (3) випливає, що момент сили щодо точки дорівнює нулю тільки у тому випадку, коли плече цієї силиhодно нулю. Така сила не може обертати тіло навколо цієї точки.

е) Момент сили щодо осі

Якщо тіло під дією сили може повертатися навколо деякої нерухомої осі (наприклад, поворот дверей або віконної рами в петлях під час їх відкриття або закриття), то для кількісного визначення цього обертального впливу вводиться фізична величина, яка називається моментом сили щодо цієї осі.

z

b F xy

На рис.3 представлена ​​схема, відповідно до якої визначається момент сили щодо осі z:

Кут  утворений двома перпендикулярними напрямками z та до площин трикутників O abта ОАВ відповідно. Оскільки  O abє проекцією ОАВ на площину xy , то за теоремою стереометрії про проекцію плоскої фігури на цю площину маємо:

де знак плюс відповідає позитивному значенню cos, тобто гострим кутам , а знак мінус відповідає негативному значенню cos, тобто тупим кутам , що обумовлено напрямом вектора. У свою чергу SO ab=1/2abh, де h ab . Величина відрізка abдорівнює проекції сили на площину xy, тобто . ab = F xy .

На підставі вищевикладеного, а також рівностей (4) і (5), визначимо момент сили щодо осі z наступним чином:

Рівність (6) дозволяє сформулювати наступне визначення моменту сили щодо будь-якої осі: Момент сили щодо даної осі дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту цієї сили щодо будь-якої точки даної осі і визначається як взятий зі знаком плюс або мінус добуток проекції сили на площину перпендикулярну до цієї осі на плече цієї проекції щодо точки перетину осі з площиною проекції. При цьому знак моменту вважається позитивним, якщо, дивлячись із позитивного напрямку осі, поворот тіла навколо цієї осі видно проти стрілки годинника. Інакше момент сили щодо осі береться негативним. Оскільки це визначення моменту сили щодо осі досить складно для запам'ятовування, рекомендується запам'ятати формулу (6) і рис.3, який пояснює цю формулу.

З формули (6) випливає, що момент сили щодо осі дорівнює нулю, якщовона паралельна осі (у цьому випадку її проекція на площину перпендикулярну до осі дорівнює нулю), або лінія дії сили перетинає вісь (тоді плече проекції h=0). Це повністю відповідає фізичному змісту моменту сили щодо осі як кількісної характеристики обертального впливу сили на тіло, що має вісь обертання.

ж) маса тіла

Вже давно було помічено, що під дією сили тіло набирає швидкість поступово і продовжує рух, якщо прибрати силу. Ця властивість тіл, яка чинила опір зміні свого руху, була названа інерцією чи інертністю тел. Кількісним мірою інертності тіла є його маса.Крім того, маса тіла є кількісним заходом на дане тіло гравітаційних силщо більше маса тіла, то більша гравітаційна сила діє тіло.Як буде показано нижче, ети два визначення маси тіла пов'язані між собою.

Інші поняття та визначення динаміки будуть розглянуті пізніше у тих розділах, де вони вперше зустрінуться.

2. Зв'язки та реакції зв'язків

Раніше у розділі 1 пункт (в) було дано поняття вільного тіла як тіла, яке може переміщатися у просторі в будь-який бік, не перебуваючи у безпосередньому контакті з іншими тілами. Більшість реальних тіл, що оточують нас, знаходяться у безпосередньому контакті з іншими тілами і не можуть переміщатися у тих чи інших напрямках. Так, наприклад, тіла, що знаходяться на поверхні столу, можуть переміщатися в будь-який бік, крім напрямку перпендикулярного поверхні столу вниз. Двері, закріплені на петлях, можуть здійснювати обертальний рух, але не можуть рухатися поступально і т. д. Тіла, які не можуть рухатися в просторі в тих чи інших напрямках, називаються невільними.

Все, що обмежує переміщення даного тіла у просторі, називається зв'язками.Це можуть бути інші тіла, що перешкоджають переміщенню даного тіла в деяких напрямках ( фізичні зв'язки); у ширшому плані, це можуть бути деякі умови, що накладаються на рух тіла, що обмежують цей рух. Так, можна поставити умову, щоб рух матеріальної точки відбувався по заданій кривій. У цьому випадку зв'язок задається математично у вигляді рівняння ( рівняння зв'язку). Докладніше питання про типи зв'язків буде розглянуто нижче.

Більшість зв'язків, що накладаються на тіла, практично відносяться до фізичних зв'язків. Тому постає питання взаємодії даного тіла та зв'язку, накладеної цього тіло. На це питання відповідає аксіома про взаємодію тіл: Два тіла діють один на одного з силами, рівними по модулю, протилежними за напрямом і розташованими на одній прямій. Ці сили називаються силами взаємодії. Сили взаємодії прикладені до різних тіл, що взаємодіють. Так, наприклад, при взаємодії даного тіла та зв'язку одна із сил взаємодії прикладена з боку тіла до зв'язку, а інша сила взаємодії прикладена з боку зв'язку до цього тіла. Ця остання сила називається силою реакції зв'язкуабо просто, реакцією зв'язку.

При вирішенні практичних завдань динаміки необхідно вміти знаходити напрямок реакцій різних типівзв'язків. У цьому іноді може допомогти загальне правило визначення напрямку реакції зв'язку: Реакція зв'язку завжди спрямована протилежно до того напрямку, в якому цей зв'язок перешкоджає переміщенню даного тіла. Якщо цей напрямок можна вказати безперечно, то і реакція зв'язку буде визначена за напрямом. В іншому випадку напрям реакції зв'язку невизначений і може бути знайдений тільки з відповідних рівнянь руху або рівноваги тіла. Більш детально питання про типи зв'язків та напрямок їх реакцій слід вивчити за підручником: С.М. Тарг Короткий курс теоретичної механіки "Вища школа", М., 1986р. гл.1, §3.

У розділі 1 пункт (в) було сказано про те, що повністю визначити вплив будь-якої системи сил можна тільки в тому випадку, якщо ця система сил додається до вільного тіла. Оскільки більшість тіл, реально, є невільними, те, щоб вивчити рух цих тіл, постає питання, як ці тіла зробити вільними. На це запитання відповідає аксіома зв'язків лекцій пофілософії вдома. Лекціїбули... соціальної психологіїта етнопсихології. 3. Теоретичніпідсумки У соціальному дарвінізмі були...

  • Теоретична механіка

    Навчальний посібник >> Фізика

    Конспект лекцій попредмету ТЕОРЕТИЧНА МЕХАНІКАДля студентів спеціальності: 260501.65... - очна Конспект лекційскладено на основі: Буторін Л.В., Бусигіна Є.Б. Теоретична механіка. Навчально-практичний посібник...

    • Читайте також