Введення декартових координат у просторі. Відстань між точками. Координати середини відрізка.

Цілі уроку:

Освітні: Розглянути поняття системи координат та координати точки у просторі; вивести формулу відстані у координатах; вивести формулу координат середини відрізка.

Розвиваючі: Сприяти розвитку просторової уяви учнів; сприяти виробленню вирішення завдань та розвитку логічного мислення учнів.

Виховні: Виховання пізнавальної активності, почуття відповідальності, культури спілкування, культури діалогу

Обладнання: Креслення, презентація, ЦОР

Тип уроку: Урок вивчення нового матеріалу

Структура уроку:

Організаційний момент.

Актуалізація опорних знань.

Вивчення нового матеріалу.

Актуалізація нових знань

Підсумок уроку.

Хід уроку

Повідомлення з історії « Декартова система координат»(Навчається)

Вирішуючи геометричну, фізичну, хімічне завданняможна використовувати різні координатні системи: прямокутну, полярну, циліндричну, сферичну.

У загальноосвітньому курсі вивчається прямокутна система координат на площині та просторі. Інакше її називають Декартовою системою координат на ім'я французького вченого філософа Рене Декарта (1596 - 1650), що вперше ввів координати в геометрію.

(Оповідання учня про Рена Декарта.)

Рене Декарт народився 1596 р. у місті Лае на півдні Франції, у дворянській родині. Батько хотів зробити з Рене офіцера. Для цього в 1613 він відправив Рене до Парижа. Багато років довелося Декарту пробути в армії, брати участь у військових походах у Голландії, Німеччині, Угорщині, Чехії, Італії, в облозі фортеці гугенотів Ла-Рошалі. Але Рене цікавила філософія, фізика та математика. Незабаром після приїзду до Парижа він познайомився з учнем Вієта, видатним математиком на той час - Мерсеном, та був і з іншими математиками Франції. Будучи в армії, Декарт все своє вільний часвіддавав заняттям математикою. Він вивчив алгебру німецьких, математику французьких та грецьких вчених.

Після взяття Ла-Рошалі 1628 р. Декарт йде з армії. Він веде відокремлений спосіб життя для того, щоб реалізувати намічені великі плани наукових праць.

Декарт був найбільшим філософом та математиком свого часу. Найвідомішою працею Декарта є його "Геометрія". Декарт ввів систему координат, якою користуються все й у час. Він встановив відповідність між числами та відрізками прямою і таким чином ввів метод алгебри в геометрію. Ці відкриття Декарта дали величезний поштовх розвитку як геометрії, і іншим розділам математики, оптики. З'явилася можливість зображати залежність величин графічно координатної площини, числа - відрізками та виконувати арифметичні дії над відрізками та іншими геометричними величинами, а також різними функціями Це був зовсім новий метод, що вирізнявся красою, витонченістю та простотою.

Повторення. Прямокутна система координат на площині.

Запитання:

Що називають системою координат на площині?

Як визначаються координати точки на площині?

Назвіть координати початку координат?

Назвіть формулу координат середини відрізка та відстані між точками на площині?

Вивчення нового матеріалу:

Прямокутною системою координат у просторі називається трійка взаємно перпендикулярних координатних прямих із загальним початком координат. Загальний початок координат позначається буквоюO.

Ох - вісь абсцис,

Оу - вісь ординат,

Проz- вісь аплікат

Три площини, що проходять через осі координат Ох та Оу, Оу та Оz, Проzта Ох, називаються координатними площинами: Оху, Оуz, Проzх.

У прямокутної системикоординат кожної точки М простору зіставляється трійка чисел – її координати.

М (х,у,z), де х – абсциса, у – ордината,z- Аплікату.

Система координат у просторі

Коордіати точки

Відстань між точками

1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ) та A 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 )

Тоді відстань між точками A 1 та A 2 обчислюється так:

Координати середини відрізка у просторі

Є дві довільні точки A 1 (x 1 ;y 1 ;z 1 ) та A 2 (x 2 ;y 2 ;z 2 ). Тоді серединою відрізка A 1 A 2 буде точка З координатами x, y, z, де

Здобуття навичок рішення:

1) Знайдіть координати ортогональних проекційточокA (1, 3, 4) та

B (5, -6, 2) на:

а) площинуOxy ; б) площинуOyz ; в) вісьOx ; г) вісьOz .

Відповідь: а) (1, 3, 0), (5, -6, 0); б) (0, 3, 4), (0, -6, 2); в) (1, 0, 0), (5, 0, 0);

г) (0, 0, 4), (0, 0, 2).

2) На якій відстані знаходиться точкаA (1, -2, 3) від координатної площини:

а)Oxy ; б)Oxz ; в)Oyz ?

Відповідь: а) 3; б) 2; в 1

3) Знайдіть координати середини відрізка:

а)AB , якщоA (1, 2, 3) таB (-1, 0, 1); б)CD , якщоC (3, 3, 0) таD (3, -1, 2).

Відповідь: а) (1, 1, 2); б) (3, 1, 1).

5. Домашнє завдання: підручник А.В.Погорелова "Геометрія 10-11" п. 23 - 25, стор.53 відповісти на питання № 1 - 3; №7, №10(1)

6.Підсумок уроку.

Таблиця

На площині

В просторі

Визначення. Системою координат називається сукупність двох координатних осей, що перетинаються, точки, в якій ці осі перетинаються, - початку координат - і одиничних відрізків на кожній з осей

Визначення. Системою координат називається сукупність трьох координатних осей, точки, в якій ці осі перетинаються - початку координат - і одиничних відрізків на кожній осі

2 осі,

ОУ- вісь ординат,

ОХ-вісь абсцис

3 осі,

ОХ - вісь абсцис,

ОУ - вісь ординат,

ОZ – вісь аплікат.

ОХ перпендикулярна до ОУ

ОХ перпендикулярна до ОУ,

ОХ перпендикулярна ОZ ,

ОУ перпендикулярна ОZ

(О;О)

(О;О;О)

Напрямок, одиничний відрізок

Відстань між точками.

Відстань між точками

Координати середини відрізка.

Координати середини відрізка

Запитання:

Як запроваджується, декартова система координат? Із чого вона складається?

Як визначаються координати точки у просторі?

Чому дорівнює координата точки перетину координатних осей?

Чому дорівнює відстань від початку координат до заданої точки?

Назвіть формулу координат середини відрізка та відстані між точками у просторі?

Оцінювання учнів

7.Рефлексія

На уроці

Я впізнав …

Я навчився…

Мені сподобалося…

Я вагався…

Мій настрій…

Література

А.В. Погорєлов. Підручник 10-11. М. "Просвіта", 2010р.

І.С. Петраків. Математичні гуртки у 8-10 класах. М, "Освіта", 1987 р.

У статті нижче будуть висвітлені питання знаходження координат середини відрізка за наявності як вихідні дані координат його крайніх точок. Але, перш ніж приступити до вивчення питання, запровадимо низку визначень.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Визначення 1

Відрізок- Пряма лінія, що з'єднує дві довільні точки, звані кінцями відрізка. Як приклад нехай це будуть точки A та B і відповідно відрізок A B .

Якщо відрізок A B продовжити в обидві сторони від точок A і B ми отримаємо пряму A B . Тоді відрізок A B – частина отриманої прямої, обмежена точками A і B . Відрізок A B поєднує точки A і B, що є його кінцями, а також безліч точок, що лежать між. Якщо, наприклад, взяти будь-яку довільну точку K , що лежить між точками A і B можна сказати, що точка K лежить на відрізку A B .

Визначення 2

Довжина відрізка- Відстань між кінцями відрізка при заданому масштабі (відрізку одиничної довжини). Довжину відрізка A B позначимо так: A B .

Визначення 3

Середина відрізка- Крапка, що лежить на відрізку і рівновіддалена від його кінців. Якщо середину відрізка A B позначити точкою C , то вірною буде рівність: A C = C B

Вихідні дані: координатна пряма O x і точки, що не збігаються на ній: A і B . Цим точкам відповідають дійсні числа x A та x B . Точка C – середина відрізка A B: необхідно визначити координату x C .

Оскільки точка C є серединою відрізка АВ, вірним буде рівність: | А З | = | З У | . Відстань між точками визначається модулем різниці їх координат, тобто.

| А З | = | З У | ⇔ x C - x A = x B - x C

Тоді можливі дві рівності: x C - x A = x B - x C і x C - x A = - (x B - x C)

З першої рівності виведемо формулу для координати точки C: x C = x A + x B 2 (напівсума координат кінців відрізка).

З другої рівності отримаємо: x A = x B що неможливо, т.к. у вихідних даних - незбігаючі точки. Таким чином, формула визначення координат середини відрізка A B з кінцями A (x A) і B (x B):

Отримана формула буде основою визначення координат середини відрізка на площині чи просторі.

Вихідні дані: прямокутна система координат на площині О x y , дві довільні точки, що не збігаються, з заданими координатами A x A , y A і B x B , y B . Крапка C – середина відрізка A B . Необхідно визначити координати x C та y C для точки C .

Візьмемо для аналізу випадок, коли точки A і B не збігаються і не лежать на одній координатній прямій чи прямій, перпендикулярній до однієї з осей. A x, A y; B x , B y і C x , C y - проекції точок A , B і C на осі координат (прямі О х та О y).

Відповідно до побудови прямі A A x , B B x , C C x паралельні; прямі також паралельні між собою. Сукупно з цим за теоремою Фалеса з рівності АС = С слідують рівності: А x С x = С x В x і А y С y = С y В y , і вони у свою чергу свідчать про те, що точка С x - середина відрізка А x x , а С y - середина відрізка А y В y . І тоді, спираючись на отриману раніше формулу, отримаємо:

x C = x A + x B 2 і y C = y A + y B 2

Цими формулами можна скористатися у випадку, коли точки A і B лежать на одній координатній прямій або прямій, перпендикулярній одній з осей. Проводити детальний аналіз цього випадку не будемо, розглянемо його лише графічно:

Резюмуючи все вище сказане, координати середини відрізка A B на площині з координатами кінців A (x A , y A) і B (x B , y B) визначаються як:

(x A + x B 2 , y A + y B 2)

Вихідні дані: система координат x y z і дві довільні точки із заданими координатами A (x A , y A , z A) і B (x B , y B , z B) . Необхідно визначити координати точки C , що є серединою відрізка A B .

A x , A y , A z ; B x , B y , B z та C x , C y , C z - проекції всіх заданих точокна осі системи координат.

Відповідно до теореми Фалеса вірні рівності: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z

Отже, точки C x , C y , C z є серединами відрізків A x B x , A y B y , A z B z відповідно. Тоді, для визначення координат середини відрізка у просторі вірні формули:

x C = x A + x B 2 , y c = y A + y B 2 , z c = z A + Z B 2

Отримані формули можна застосовувати також у випадках, коли точки A і B лежать на одній з координатних прямих; на прямій, перпендикулярній до однієї з осей; в одній координатній площині або площині перпендикулярної однієї з координатних площин.

Визначення координат середини відрізка через координати радіус-векторів його кінців.

Формулу для знаходження координат середини відрізка також можна вивести відповідно до тлумачення алгебри векторів.

Вихідні дані: прямокутна декартова система координат O x y, точки із заданими координатами A (x A, y A) і B (x B, x B). Крапка C – середина відрізка A B .

Відповідно до геометричного визначення дій над векторами вірною буде рівність: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Крапка C в даному випадку- Точка перетину діагоналей паралелограма, побудованого на основі векторів O A → і O B → , тобто. точка середини діагоналей. Координати радіус-вектора точки дорівнюють координатам точки, тоді вірні рівності: O A → = (x A , y A) , O B → = (x B , y B) . Виконаємо деякі операції над векторами в координатах та отримаємо:

O C → = 1 2 · O A → + O B → = x A + x B 2 , y A + y B 2

Отже, точка C має координати:

x A + x B 2 , y A + y B 2

За аналогією визначається формула для знаходження координат середини відрізка у просторі:

C (x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2)

Приклади розв'язання задач на знаходження координат середини відрізка

Серед завдань, що передбачають використання отриманих вище формул, зустрічаються, як і ті, в яких безпосередньо стоїть питання розрахувати координати середини відрізка, так і такі, що передбачають приведення заданих умов до цього питання: найчастіше використовується термін «медіана», що має на меті знаходження координат одного з кінців відрізка, і навіть поширені завдання на симетрію, вирішення яких загалом також має викликати труднощів після вивчення цієї теми. Розглянемо характерні приклади.

Приклад 1

Початкові дані:на площині - точки із заданими координатами А (- 7, 3) і В (2, 4). Необхідно знайти координати середини відрізка АВ.

Рішення

Позначимо середину відрізка A B точкою C . Координати її визначатимуться як напівсума координат кінців відрізка, тобто. точок A та B .

x C = x A + x B 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y C = y A + y B 2 = 3 + 4 2 = 7 2

Відповідь: координати середини відрізка АВ - 5 2 , 7 2 .

Приклад 2

Початкові дані:відомі координати трикутника АВС: А (- 1 , 0) , В (3 , 2) , С (9 , - 8) . Необхідно знайти довжину медіани АМ.

Рішення

1. За умовою завдання A M – медіана, отже M є точкою середини відрізка B C . Насамперед знайдемо координати середини відрізка B C , тобто. точки M:

x M = x B + x C 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y B + y C 2 = 2 + (-8) 2 = - 3

1. Оскільки тепер нам відомі координати обох кінців медіани (точки A та М), можемо скористатися формулою для визначення відстані між точками та порахувати довжину медіани А М:

A M = (6 - (-1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58

Відповідь: 58

Приклад 3

Початкові дані:у прямокутній системі координат тривимірного простору заданий паралелепіпед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 . Задано координати точки C 1 (1 , 1 , 0) , а також визначено точку M , що є серединою діагоналі B D 1 і має координати M (4 , 2 , - 4) . Потрібно розрахувати координати точки А.

Рішення

Діагоналі паралелепіпеда мають перетин в одній точці, яка при цьому є серединою всіх діагоналей. Виходячи з цього твердження, можна мати на увазі, що відома за умовами завдання точка М є серединою відрізка АС 1 . Спираючись на формулу для знаходження координат середини відрізка у просторі, знайдемо координати точки А: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 · x M - x C 1 = 2 · 4 - 1 + 7 y M = y A + y C 1 2 ⇒ y A = 2 · y M - y C 1 = 2 · 2 - 1 = 3 z M = z A + z C 1 2 ⇒ z A = 2 · z M - z C 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8

Відповідь:координати точки А (7, 3, - 8).

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Дуже часто завдання C2 потрібно працювати з точками, які ділять відрізок навпіл. Координати таких точок легко вважаються, якщо відомі координати кінців відрізка.

Отже, нехай відрізок заданий своїми кінцями - точками A = (x a; y a; z a) і B = (x b; y b; z b). Тоді координати середини відрізка – позначимо її точкою H – можна знайти за формулою:

Інакше кажучи, координати середини відрізка - це середнє арифметичне координат його кінців.

· Завдання . Одиничний куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 поміщений в систему координат так, що осі x, y і z спрямовані вздовж ребер AB, AD і AA 1 відповідно, а початок координат збігається з точкою A. Точка K - середина ребра A 1 B 1 . Знайдіть координати цієї точки.

Рішення. Оскільки точка K - середина відрізка A 1 B 1 її координати рівних середньому арифметичному координат кінців. Запишемо координати кінців: A 1 = (0; 0; 1) та B 1 = (1; 0; 1). Тепер знайдемо координати точки K:

Відповідь: K = (0,5; 0; 1)

· Завдання . Одиничний куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 поміщений у систему координат так, що осі x, y та z направлені вздовж ребер AB, AD та AA 1 відповідно, а початок координат збігається з точкою A. Знайдіть координати точки L, в якій перетинаються діагоналі квадрата A 1 B 1 C 1 D 1 .

Рішення. З курсу планіметрії відомо, що точка перетину діагоналей квадрата рівновіддалена від усіх його вершин. Зокрема, A 1 L = C 1 L, тобто. точка L – це середина відрізка A 1 C 1 . Але A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), тому маємо:

Відповідь: L = (0,5; 0,5; 1)

Найпростіші завдання аналітичної геометрії.
Дії з векторами в координатах

Завдання, які будуть розглянуті, дуже бажано навчитися вирішувати на повному автоматі, а формули запам'ятати напам'ять, навіть спеціально не запам'ятовувати, самі запам'ятаються =) Це дуже важливо, оскільки на найпростіших елементарні прикладибазуються інші завдання аналітичної геометрії, і буде прикро витрачати додатковий час на поїдання пішаків. Не потрібно застібати верхні гудзики на сорочці, багато речей знайомі вам зі школи.

Виклад матеріалу піде паралельним курсом – і площині, і простору. З тієї причини, що всі формули самі побачите.

Нехай А(Х 1 ; у 1) і В(х 2 ; у 2) - дві довільні точки і С (х; у) - середина відрізка АВ. Знайдемо координати х, біля точки С.

Розглянемо спочатку випадок, коли відрізок АВ не паралельний осі у, тобто Х1Х2. Проведемо через точки А, В, С прямі, паралельні осі (рис. 173). Вони перетнуть вісь х у точках A 1 (X 1 ; 0), B 1 (X 2 ; 0), C 1 (х; 0). По теоремі Фалеса точка С1 буде серединою відрізка A1B1.

Оскільки точка С 1 —середина відрізка AiBi, то A 1 C 1 =B 1 C 1 , отже, Ix — X 1 I = Iх — Х 2 I. Звідси випливає, що або x — x 1 = x — x 2 , або (x - x 1) = - (x-x 2).
Перша рівність неможлива, тому що x 1 x 2 . Тому вірне друге. А з нього виходить формула

Якщо x 1 =x 2 , тобто відрізок АВ паралельний осі у, всі три точки A 1 , B 1 , C 1 мають одну і ту ж абсцису. Отже, формула залишається вірною й у разі.
Ордината точки знаходиться аналогічно. Через точки А, У, З проводяться прямі, паралельні осі х. Виходить формула

Завдання (15). Дано три вершини паралелограма ABCD: А (1; 0), В (2; 3), С (3; 2). Знайдіть координати четвертої вершини D та точки перетину діагоналей.

Рішення. Точка перетину діагоналей є серединою кожної їх. Тому вона є серединою відрізка АС, а отже має координати

Тепер, знаючи координати точки перетину діагоналей, знаходимо координати х у четвертої вершини D. Користуючись тим, що точка перетину діагоналей є серединою відрізка BD, маємо:

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ

• Координати середини відрізка.

Цілі уроку

• Розширити кругозір понять.
• Познайомитися з новими визначеннями та згадати деякі вже вивчені.
• Навчитися застосовувати властивості фігур під час вирішення завдань.
• Розвиваючі – розвинути увагу учнів, посидючість, наполегливість, логічне мислення, математичне мовлення.
• Виховні – за допомогою уроку виховувати уважне ставлення один до одного, прищеплювати вміння слухати товаришів, взаємовиручку, самостійність.

Завдання уроку

• Перевірити вміння учнів вирішувати завдання.

План уроку

1. Вступне слово.
2. Повторення раніше вивченого матеріалу.
3. Координати середини відрізка.
4. Логічні задачі.

Вступне слово

Перед тим як перейти до самого матеріалу на тему хотілося б трохи поговорити про відрізок не тільки як про математичне визначення. Багато вчених намагалися подивитися на відрізок якось інакше, бачили у ньому щось незвичайне. Деякі талановиті художники змушували геометричні фігури передавати настрій та емоції.

Є безліч теорій, як колір впливає на наш настрій і чому.

Колір можна відчувати, він тісно пов'язаний із нашими емоціями. Колір природи, архітектури, рослин, одягу, що оточує нас, поволі впливає на наш настрій.

Як стверджують фахівці, колірна гамма може впливати людину.

• червонийколір може підняти настрій, надати сили.
• Рожевийколір символізують мир та спокій.
• Помаранчевий- це теплий, неспокійний колір, що дає енергію та піднімає настрій.
• В імператорському Китаї жовтийвважався настільки священним кольором, що носити жовтий одяг міг лише імператор. Єгиптяни та майя вважали жовтим кольором Сонця і шанували його силу, що підтримує життя. Жовті квітиможуть підбадьорити та порадувати, коли ви почуваєтеся неважливо.
• Зелений- Лікувальний колір. Викликає відчуття рівноваги та гармонії.
• Синійпосилює творчий початок.
• Фіолетовий- колір задумливості, духовності та спокою. Він пов'язаний з інтуїцією та турботою про інших.
• Білийзазвичай вважається кольором чистоти та невинності. Він також пов'язаний із натхненням, осяянням, духовністю та любов'ю.

Але скільки людей стільки й думок. У кожного своя правда.

Також є цікава теорія як пов'язана форма лінії чи відрізка з її характером.

Форма, як і колір є властивістю предмета. Форма- Це зовнішні обриси видимого предмета, що відображають його просторові аспекти (forma, у перекладі з латинського, - зовнішній вигляд). Все, що оточує нас, має певну форму. Зрозуміти та зобразити її конструктивну будову та смислову наповненість – завдання художника. А нам, як глядачам, необхідно вміти читати зображення, розшифровувати характер та смисл різних форм. На аркуші паперу та екрані комп'ютера форма утворюється при замиканні лінії. Тому характер форми залежить від характеру лінії, якою вона утворена.

Який із цих ліній можна висловити спокій, злість, байдужість, хвилювання, радість?

Однозначної відповіді у разі бути неспроможна. Наприклад, колюча лінія може виражати злість, зловтіху або бурхливу радість, що межує з нерозсудливістю.

Який настрій чи емоція відповідає кожній із цих ліній?

Як форма залежить від характеру лінії, якою вона утворена?

Повторення раніше вивченого матеріалу

В просторі

Є дві довільні точки A1(x 1 ;y 1 ;z 1) і A2(x 2 ;y 2 ;z 2). Тоді серединою відрізка A1A2 буде точка Зз координатами x, y, z де

Розподіл відрізка у заданому відношенні

Якщо x 1 і y 1 - координати точки A, а x 2 і y 2 - координати точки B, то координати x і y точки C, що ділить відрізок AB щодо , визначаються за формулами

Площа трикутника за відомими координатами його вершин A(x 1 , y 1), B(x 2 , y 2), C(x 3 , y 3) обчислюється за формулою.

Отримане за допомогою цієї формули число слід взяти за абсолютною величиною.

Приклад №1

Знайдіть середину відрізка АВ.

Відповідь:Координати середини відрізка дорівнюють (1.5;2)

Приклад №2.

Знайдіть середину відрізка АВ.

Відповідь:Координати середини відрізка дорівнюють (21;0)

Приклад №3.

Знайдіть координати точки З, якщо АС=5,5 а СВ=19,5.

А(1;7), В(43;-4)

Відповідь:Координати точки С(10,24;4,58)

Завдання

Завдання №1

Знайдіть середину відрізка DB.

Завдання №2.

Знайдіть середину відрізка CD.

Як роблять статуї?

Про багатьох знаменитих скульпторів розповідають, що на питання, як вдається робити такі чудові статуї, була відповідь: “Я беру брилу мармуру і відсікаю від неї все зайве”. У різних книгах це можна прочитати про Мікеланджело, про Торвальдсена, про Родена.

Тим же способом можна отримати будь-яку обмежену плоску геометричну фігуру: треба взяти якийсь квадрат, в якому вона лежить, а потім відсікти все зайве. Однак відсікати треба не відразу, а поступово, щокроку відкидаючи шматочок, що має форму кола. При цьому саме коло викидається, а його межа – коло – залишається у фігурі.

На перший погляд здається, що так можна отримати лише постаті певного виду. Але вся справа в тому, що відкидають не один і не два кола, а нескінченну, точніше кажучи, лічильну кількість кіл. Таким шляхом можна отримати будь-яку фігуру. Щоб переконатися в цьому, достатньо взяти до уваги, що безліч кіл, у яких раціональні і радіус та обидві координати центру, лічильне.

А тепер щоб отримати будь-яку фігуру, достатньо взяти квадрат, що містить її (глибу мармуру) і обросити всі кола зазначеного вище виду, які не містять жодної точки потрібної нам фігури. Якщо ж викидати кола не з квадрата, а з усієї площини, описаним прийомом можна отримати і необмежені фігури.

Запитання

1. Що таке відрізок?
   
2. З чого складається відрізок?
3. Як можна знайти середину відрізку?

Список використаних джерел

1. Кузнєцов О. В., учитель математики (5-9 клас), м. Київ
2. «Єдиний державний іспит 2006. Математика. Навчально-тренувальні матеріали для підготовки учнів / Рособрнагляд, ІСОП - М.: Інтелект-Центр, 2006 »
3. Мазур К. І. «Рішення основних конкурсних завдань з математики збірника за редакцією М. І. Сканаві»
4. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Е. Г. Позняк, І. І. Юдіна «Геометрія, 7 - 9: підручник для загальноосвітніх установ»

Над уроком працювали

Кузнєцов А. В.

Потурнак С.А.

Тетяна Проснякова