Формули коріння квадратного рівняння. Розглянуто випадки дійсних, кратних та комплексних коренів. Розкладання на множники квадратного тричлена. Геометрична інтерпретація. Приклади визначення коренів та розкладання на множники.
Основні формули
Розглянемо квадратне рівняння:
(1)
.
Коріння квадратного рівняння(1) визначаються за формулами:
;
.
Ці формули можна поєднати так:
.
Коли коріння квадратного рівняння відоме, то багаточлен другого ступеня можна подати у вигляді добутку співмножників (розкласти на множники):
.
Далі вважаємо, що дійсні числа.
Розглянемо дискримінант квадратного рівняння:
.
Якщо дискримінант позитивний, то квадратне рівняння (1) має два різні дійсні корені:
;
.
Тоді розкладання квадратного тричлена на множники має вигляд:
.
Якщо дискримінант дорівнює нулю, , то квадратне рівняння (1) має два кратні (рівні) дійсні корені:
.
Розкладання на множники:
.
Якщо дискримінант негативний, то квадратне рівняння (1) має два комплексно пов'язані корені:
;
.
Тут - уявна одиниця, ;
і - дійсна та уявна частини коренів:
;
.
Тоді
.
Графічна інтерпретація
Якщо збудувати графік функції
,
який є параболою, то точки перетину графіка з віссю будуть корінням рівняння
.
При , графік перетинає вісь абсцис (вісь ) у двох точках.
При , графік стосується осі абсцис в одній точці.
При , графік не перетинає вісь абсцис.
Нижче наведено приклади таких графіків.
Корисні формули, пов'язані з квадратним рівнянням
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Висновок формули для коріння квадратного рівняння
Виконуємо перетворення та застосовуємо формули (f.1) та (f.3):
,
де
;
.
Отже, ми отримали формулу для багаточлена другого ступеня у вигляді:
.
Звідси видно, що рівняння
виконується при
та .
Тобто і є корінням квадратного рівняння
.
Приклади визначення коренів квадратного рівняння
Приклад 1
(1.1)
.
Рішення
.
Порівнюючи з нашим рівнянням (1.1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Оскільки дискримінант позитивний, то рівняння має два дійсні корені:
;
;
.
Звідси отримуємо розкладання квадратного тричлена на множники:
.
Графік функції y = 2 x 2 + 7 x + 3перетинає вісь абсцис у двох точках.
Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції параболою. Вона пересіває вісь абсцис (вісь) у двох точках:
та .
Ці точки є корінням вихідного рівняння (1.1).
Відповідь
;
;
.
Приклад 2
Знайти коріння квадратного рівняння:
(2.1)
.
Рішення
Запишемо квадратне рівняння в загальному вигляді:
.
Порівнюючи з вихідним рівнянням (2.1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Оскільки дискримінант дорівнює нулю, то рівняння має два кратні (рівні) корені:
;
.
Тоді розкладання тричлена на множники має вигляд:
.
Графік функції y = x 2 - 4 x + 4стосується осі абсцис в одній точці.
Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції параболою. Вона стосується осі абсцис (вісь ) в одній точці:
.
Ця точка є коренем вихідного рівняння (2.1). Оскільки цей корінь входить у розкладання на множники двічі:
,
то такий корінь прийнято називати кратним. Тобто вважають, що є два рівні корені:
.
Відповідь
;
.
Приклад 3
Знайти коріння квадратного рівняння:
(3.1)
.
Рішення
Запишемо квадратне рівняння у загальному вигляді:
(1)
.
Перепишемо вихідне рівняння (3.1):
.
Порівнюючи з (1), знаходимо значення коефіцієнтів:
.
Знаходимо дискримінант:
.
Дискримінант негативний, . Тому дійсних коренів немає.
Можна знайти комплексне коріння:
;
;
.
Тоді
.
Графік функції не перетинає вісь абсцис. Справжнього коріння немає.
Побудуємо графік функції
.
Графік цієї функції параболою. Вона не перетинає вісь абсцис (вісь). Тому дійсних коренів немає.
Відповідь
Справжнього коріння немає. Коріння комплексне:
;
;
.
Копіївська сільська середня загальноосвітня школа
10 способів розв'язання квадратних рівнянь
Керівник: Патрікеєва Галина Анатоліївна,
учитель математики
с.Коп'єво, 2007
1. Історія розвитку квадратних рівнянь
1.1 Квадратні рівняння у Стародавньому Вавилоні
1.2 Як становив та вирішував Діофант квадратні рівняння
1.3 Квадратні рівняння в Індії
1.4 Квадратні рівняння у ал- Хорезмі
1.5 Квадратні рівняння у Європі XIII - XVII ст.
1.6 Про теорему Вієта
2. Способи розв'язання квадратних рівнянь
Висновок
Література
1. Історія розвитку квадратних рівнянь
1.1 Квадратні рівняння у Стародавньому Вавилоні
Необхідність вирішувати рівняння як першої, а й другого ступеня ще давнини була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані зі знаходженням площ земельних ділянок і з земляними роботами військового характеру, і навіть з недостатнім розвитком астрономії і самої математики. Квадратні рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до зв. е. вавилоняни.
Застосовуючи сучасний запис алгебри, можна сказати, що в їх клинописних текстах зустрічаються, крім неповних, і такі, наприклад, повні квадратні рівняння:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Правило розв'язання цих рівнянь, викладене у вавилонських текстах, збігається по суті із сучасним, проте невідомо, яким чином дійшли вавилоняни до цього правила. Майже всі знайдені до цих пір клинописні тексти наводять лише завдання з рішеннями, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, як вони були знайдені.
Незважаючи на високий рівеньрозвитку алгебри у Вавилоні, у клинописних текстах відсутні поняття негативного числа та загальні методи розв'язання квадратних рівнянь.
1.2 Як становив та вирішував Діофант квадратні рівняння.
У «Арифметиці» Діофанта немає систематичного викладу алгебри, проте міститься систематизований ряд завдань, супроводжуваних поясненнями і розв'язуваних з допомогою складання рівнянь різних ступенів.
При складанні рівнянь Діофант спрощення рішення вміло вибирає невідомі.
Ось, наприклад, одне з його завдань.
Завдання 11.«Знайти два числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20, а твір – 96»
Діофант міркує так: з умови завдання випливає, що шукані числа не рівні, оскільки якби вони були рівні, то їх добуток дорівнював би не 96, а 100. Таким чином, одне з них буде більше половини їх суми, тобто . 10 + х, Інше менше, тобто. 10 - х. Різниця між ними 2х .
Звідси рівняння:
(10 + х) (10 - х) = 96
100 - х 2 = 96
х 2 - 4 = 0 (1)
Звідси х = 2. Одне з шуканих чисел одно 12 , інше 8 . Рішення х = -2для Діофанта немає, оскільки грецька математика знала лише позитивні числа.
Якщо ми вирішимо це завдання, вибираючи як невідоме одне з шуканих чисел, то ми прийдемо до вирішення рівняння
у(20 - у) = 96,
у 2 - 20у + 96 = 0. (2)
Зрозуміло, що, обираючи як невідомий напіврізність шуканих чисел, Діофант спрощує рішення; йому вдається звести завдання розв'язання неповного квадратного рівняння (1).
1.3 Квадратні рівняння в Індії
Завдання на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному тракті «Аріабхаттіам», складеному 499 р. індійським математиком та астрономом Аріабхаттою. Інший індійський вчений, Брахмагупта (VII ст.), виклав загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиної канонічної форми:
ах 2+ b х = с, а > 0. (1)
У рівнянні (1) коефіцієнти, крім аможуть бути і негативними. Правило Брахмагупт по суті збігається з нашим.
У Стародавню Індіюбули поширені громадські змагання у вирішенні важких завдань. В одній із старовинних індійських книг говориться з приводу таких змагань таке: «Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так вчена людиназатьмарить славу іншого в народних зборах, пропонуючи і вирішуючи завдання алгебри». Завдання часто вдягалися у віршовану форму.
Ось одне із завдань знаменитого індійського математика XII ст. Бхаскар.
Завдання 13.
«Мавп швидких зграя А дванадцять по ліанах ...
Влада поївши, розважалася. Стали стрибати, повисаючи.
Їх у квадраті частина восьма Скільки ж було мавпочок,
На галявині бавилася. Ти скажи мені, у цій зграї?
Рішення Бхаскари свідчить про те, що він знав про двозначність коренів квадратних рівнянь (рис. 3).
Відповідне завдання 13 рівняння:
( x /8) 2 + 12 = x
Бхаскар пише під виглядом:
х 2 - 64х = -768
і, щоб доповнити ліву частину цього рівняння до квадрата, додає до обох частин 32 2 , отримуючи потім:
х 2 - 64х + 32 2 = -768 + 1024
(х - 32) 2 = 256,
х - 32 = ± 16,
х 1 = 16, х 2 = 48.
1.4 Квадратні рівняння у ал – Хорезмі
В алгебраїчному трактаті ал - Хорезмі дається класифікація лінійних та квадратних рівнянь. Автор налічує 6 видів рівнянь, висловлюючи їх так:
1) «Квадрати рівні корінням», тобто. ах 2 + с = b х.
2) «Квадрати дорівнюють числу», тобто. ах 2 = с.
3) «Коріння рівні числу», тобто. ах = с.
4) «Квадрати та числа рівні коріння», тобто. ах 2 + с = b х.
5) «Квадрати і коріння дорівнюють числу», тобто. ах 2+ bx = с.
6) «Коріння і числа дорівнюють квадратам», тобто. bx + с = ах 2 .
Для ал - Хорезмі, що уникав вживання негативних чисел, члени кожного з цих рівнянь доданки, а чи не віднімаються. При цьому свідомо не беруться до уваги рівняння, які не мають позитивних рішень. Автор викладає способи вирішення зазначених рівнянь, користуючись прийомами ал - джабр та ал - мукабала. Його рішення, звісно, не збігається повністю із нашим. Вже не кажучи про те, що воно чисто риторичне, слід зазначити, наприклад, що при розв'язанні неповного квадратного рівняння першого виду
ал - Хорезмі, як і всі математики до XVII ст., не враховує нульового рішення, ймовірно, тому, що в конкретних практичних завданнях воно не має значення. При розв'язанні повних квадратних рівнянь ал - Хорезмі на окремих числових прикладах викладає правила розв'язання, а потім і геометричні докази.
Завдання 14.«Квадрат і число 21 дорівнюють 10 корінням. Знайти корінь» (мається на увазі корінь рівняння х 2 + 21 = 10х).
Рішення автора говорить приблизно так: розділи навпіл число коренів, отримаєш 5, помножиш 5 саме на себе, від твору забери 21, залишиться 4. Витягни корінь з 4, отримаєш 2. Забери 2 від 5, отримаєш 3, це і буде шуканий корінь. Або додай 2 до 5, що дасть 7, це теж є корінь.
Трактат ал - Хорезмі є першою книгою, що дійшла до нас, в якій систематично викладено класифікацію квадратних рівнянь і дано формули їх вирішення.
1.5 Квадратні рівняння у Європі XIII - XVII вв
Формули розв'язання квадратних рівнянь за зразком ал - Хорезмі в Європі були вперше викладені в «Книзі абака», написаної в 1202 р. італійським математиком Леонардо Фібоначчі. Ця об'ємна праця, в якій відображено вплив математики як країн ісламу, так і Стародавню Грецію, Відзначається і повнотою, і ясністю викладу. Автор розробив самостійно деякі нові приклади алгебри вирішення завдань і перший в Європі підійшов до введення негативних чисел. Його книга сприяла поширенню знань алгебри не тільки в Італії, але і в Німеччині, Франції та інших країнах Європи. Багато завдань із «Книги абака» переходили майже у всі європейські підручники XVI – XVII ст. та частково XVIII.
Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, наведених до єдиного канонічного виду:
х 2 + bx = с,
при всіляких комбінаціях знаків коефіцієнтів b , збуло сформульовано у Європі лише 1544 р. М. Штифелем.
Висновок формули розв'язання квадратного рівняння у загальному вигляді є у Вієта, проте Вієт визнавав лише позитивне коріння. Італійські математики Тарталья, Кардано, Бомбеллі серед перших у XVI ст. Враховують, крім позитивних, та негативне коріння. Лише XVII в. Завдяки праці Жірара, Декарта, Ньютона та інших вчених спосіб розв'язання квадратних рівнянь набуває сучасного вигляду.
1.6 Про теорему Вієта
Теорема, що виражає зв'язок між коефіцієнтами квадратного рівняння та його корінням, що носить ім'я Вієта, була ним сформульована вперше в 1591 наступним чином: «Якщо B + D, помножене на A - A 2 , одно BD, то Aодно Уі одно D ».
Щоб зрозуміти Вієта, слід згадати, що А, як і будь-яка голосна буква, означало в нього невідоме (наше х), голосні ж В, D- Коефіцієнти при невідомому. На мові сучасної алгебри вищенаведене формулювання Вієта означає: якщо має місце
(а + b ) х - х 2 = ab ,
х 2 - (а + b )х + а b = 0,
х 1 = а, х 2 = b .
Виражаючи залежність між корінням та коефіцієнтами рівнянь загальними формулами, Записаними за допомогою символів, Вієт встановив однаковість у прийомах розв'язання рівнянь. Проте символіка Вієта ще далека від сучасного вигляду. Він не визнавав негативних чисел і тому при вирішенні рівнянь розглядав лише випадки, коли все коріння позитивне.
2. Способи розв'язання квадратних рівнянь
Квадратні рівняння - це фундамент, на якому лежить велична будівля алгебри. Квадратні рівняння знаходять широке застосування при розв'язанні тригонометричних, показових, логарифмічних, ірраціональних та трансцендентних рівнянь та нерівностей. Усі ми вміємо розв'язувати квадратні рівняння зі шкільної лави (8 клас), до закінчення вишу.
Квадратне рівняння- вирішується просто! *Далі у тексті «КУ».Друзі, здавалося б, може бути в математиці простіше, ніж рішення такого рівняння. Але щось мені підказувало, що з ним багато хто має проблеми. Вирішив подивитися скільки показів на запит на місяць видає Яндекс. Ось що вийшло, подивіться:
Що це означає? Це означає те, що близько 70 000 людей на місяць шукають цю інформацію, до чого це літо, а що буде серед навчального року— запитів буде вдвічі більше. Це й не дивно, адже ті хлопці та дівчата, які давно закінчили школу та готуються до ЄДІ, шукають цю інформацію, також і школярі прагнуть освіжити її в пам'яті.
Незважаючи на те, що є маса сайтів, де розповідається як вирішувати це рівняння, я вирішив також зробити свій внесок і опублікувати матеріал. По-перше, хочеться, щоб за цим запитом і на мій сайт приходили відвідувачі; по-друге, в інших статтях, коли зайде мова «КУ» даватиму посилання на цю статтю; по-третє, розповім вам про його рішення трохи більше, ніж зазвичай викладається на інших сайтах. Почнемо!Зміст статті:
Квадратне рівняння – це рівняння виду:
де коефіцієнти a,bі з довільними числами, причому a≠0.
У шкільному курсі матеріал дають у такому вигляді – умовно робиться поділ рівнянь на три класи:
1. Мають два корені.
2. *Мають лише один корінь.
3. Не мають коріння. Тут варто особливо відзначити, що не мають дійсних коренів
Як обчислюється коріння? Просто!
Обчислюємо дискримінант. Під цим «страшним» словом лежить цілком проста формула:
Формули коренів мають такий вигляд:
*Ці формули треба знати напам'ять.
Можна відразу записувати та вирішувати:
Приклад:
1. Якщо D > 0, то рівняння має два корені.
2. Якщо D = 0, то рівняння має один корінь.
3. Якщо D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Давайте розглянемо рівняння:
за з цього приводуКоли дискримінант дорівнює нулю, у шкільному курсі йдеться про те, що виходить один корінь, тут він дорівнює дев'яти. Все правильно, так і є, але…
Дане уявлення дещо некоректне. Насправді виходить два корені. Так-так, не дивуйтеся, виходить два рівні корені, і якщо бути математично точним, то у відповіді слід записувати два корені:
х 1 = 3 х 2 = 3
Але це так – невеликий відступ. У школі можете записувати та говорити, що корінь один.
Тепер такий приклад:
Як нам відомо – корінь із негативного числа не витягується, тому рішення у даному випадкуні.
Ось і весь процес розв'язання.
Квадратична функція.
Тут показано, як рішення виглядає геометрично. Це дуже важливо розуміти (надалі в одній із статей ми докладно розбиратимемо рішення квадратної нерівності).
Це функція виду:
де х і у - змінні
a, b, с – задані числа, причому a ≠ 0
Графіком є парабола:
Тобто виходить, що вирішуючи квадратне рівняння при «у» рівному нулю ми знаходимо точки перетину параболи з віссю ох. Цих точок може бути дві (дискримінант позитивний), одна (дискримінант дорівнює нулю) і жодної (дискримінант негативний). Детально про квадратичну функцію можете подивитисястаттю в Інни Фельдман.
Розглянемо приклади:
Приклад 1: Вирішити 2x 2 +8 x–192=0
а = 2 b = 8 c = -192
D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Відповідь: х 1 = 8 х 2 = -12
*Можна було відразу ж ліву і праву частинурівняння поділити на 2, тобто спростити його. Обчислення будуть простішими.
Приклад 2: Вирішити x 2–22 x+121 = 0
а=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Отримали, що х 1 = 11 та х 2 = 11
У відповіді можна записати х = 11.
Відповідь: х = 11
Приклад 3: Вирішити x 2 -8x + 72 = 0
а = 1 b = -8 c = 72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Дискримінант негативний, рішення у дійсних числах немає.
Відповідь: рішення немає
Дискримінант негативний. Рішення є!
Тут мова піде про рішення рівняння у разі, коли виходить негативний дискримінант. Ви щось знаєте про комплексні числа? Не буду тут докладно розповідати про те, чому і звідки вони виникли і в чому їхня конкретна роль та необхідність у математиці, це тема для великої окремої статті.
Концепція комплексного числа.
Трохи теорії.
Комплексним числом z називається число виду
z = a + bi
де a і b – дійсні числа, i – так звана уявна одиниця.
a+bi - це ЄДИНЕ ЧИСЛО, а не додавання.
Уявна одиниця дорівнює кореню з мінус одиниці:
Тепер розглянемо рівняння:
Отримали два сполучені корені.
Неповне квадратне рівняння.
Розглянемо окремі випадки, коли коефіцієнт «b» або «с» дорівнює нулю (або обидва рівні нулю). Вони легко вирішуються без будь-яких дискримінантів.
Випадок 1. Коефіцієнт b=0.
Рівняння набуває вигляду:
Перетворюємо:
Приклад:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
Випадок 2. Коефіцієнт = 0.
Рівняння набуває вигляду:
Перетворюємо, розкладаємо на множники:
*Твір дорівнює нулю тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю.
Приклад:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 або x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Випадок 3. Коефіцієнти b = 0 та c = 0.
Тут зрозуміло, що розв'язуванням рівняння завжди буде х = 0.
Корисні властивості та закономірності коефіцієнтів.
Існують властивості, які дозволяють вирішити рівняння з більшими коефіцієнтами.
аx 2 + bx+ c=0 виконується рівність
a + b+ с = 0,то
- якщо для коефіцієнтів рівняння аx 2 + bx+ c=0 виконується рівність
a+ с =b, то
Ці властивості допомагають вирішити певного виду рівняння.
Приклад 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0
Сума коефіцієнтів дорівнює 5001 + ( – 4995)+(– 6) = 0, отже
Приклад 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0
Виконується рівність a+ с =b, значить
Закономірність коефіцієнтів.
1. Якщо в рівнянні ax 2 + bx + c = 0 коефіцієнт "b" дорівнює (а 2 +1), а коефіцієнт "с" чисельно дорівнює коефіцієнту "а", то його коріння дорівнює
аx 2 + (а 2 +1) х + а = 0 = > х 1 = -а х 2 = -1/a.
приклад. Розглянемо рівняння 6х2+37х+6=0.
х 1 = -6 х 2 = -1/6.
2. Якщо в рівнянні ax 2 – bx + c = 0 коефіцієнт «b» дорівнює (а 2 +1), а коефіцієнт «с» чисельно дорівнює коефіцієнту «а», то його коріння дорівнює
аx 2 - (а 2 +1) х + а = 0 = > х 1 = а х 2 = 1/a.
приклад. Розглянемо рівняння 15х2 -226х +15 = 0.
х 1 = 15 х 2 = 1/15.
3. Якщо у рівнянні ax 2 + bx - c = 0 коефіцієнт "b" дорівнює (a 2 - 1), а коефіцієнт "c" чисельно дорівнює коефіцієнту «a», то його коріння дорівнює
аx 2 + (а 2 -1) х - а = 0 = > х 1 = - а х 2 = 1 / a.
приклад. Розглянемо рівняння 17х2 +288х - 17 = 0.
х 1 = - 17 х 2 = 1/17.
4. Якщо в рівнянні ax 2 – bx – c = 0 коефіцієнт «b» дорівнює (а 2 – 1), а коефіцієнт чисельно дорівнює коефіцієнту «а», то його коріння дорівнює
аx 2 – (а 2 –1) х – а = 0 = > х 1 = а х 2 = – 1/a.
приклад. Розглянемо рівняння 10х2 – 99х –10 = 0.
х 1 = 10 х 2 = - 1/10
Теорема Вієта.
Теорема Вієта називається на ім'я знаменитого французького математика Франсуа Вієта. Використовуючи теорему Вієта, можна виразити суму та добуток коренів довільного КУ через його коефіцієнти.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
У сумі число 14 дають лише 5 та 9. Це коріння. При певному навичці, використовуючи представлену теорему, багато квадратних рівнянь ви можете вирішувати відразу усно.
Теорема Вієта, крім того. зручна тим, що після вирішення квадратного рівняння звичайним способом (через дискримінант) отримане коріння можна перевіряти. Рекомендую робити це завжди.
СПОСІБ ПЕРЕБРОСКИ
При цьому способі коефіцієнт «а» множиться на вільний член, як би «перекидається» до нього, тому його називають способом «перекидання».Цей спосіб застосовують, коли можна легко знайти коріння рівняння, використовуючи теорему Вієта і що найважливіше, коли дискримінант є точний квадрат.
Якщо а± b+c≠ 0, то використовується прийом перекидання, наприклад:
2х 2 – 11х+ 5 = 0 (1) => х 2 – 11х+ 10 = 0 (2)
За теоремою Вієта в рівнянні (2) легко визначити, що х 1 = 10 х 2 = 1
Отримані коріння рівняння необхідно розділити на 2 (оскільки від х 2 «перекидали» двійку), отримаємо
х 1 = 5 х 2 = 0,5.
Яке обґрунтування? Подивіться, що відбувається.
Дискримінанти рівнянь (1) та (2) рівні:
Якщо подивитися на корені рівнянь, то виходять лише різні знаменники, і результат залежить саме від коефіцієнта при х 2:
У другого (зміненого) коріння виходить у 2 рази більше.
Тому результат і ділимо на 2.
*Якщо перекидатимемо трійку, то результат розділимо на 3 і т.д.
Відповідь: х 1 = 5 х 2 = 0,5
Кв. ур-ие та ЄДІ.
Про його важливість скажу коротко - ВИ ПОВИННІ ВМІТИ ВИРІШУВАТИ швидко і не замислюючись, формули коренів і дискримінанта необхідно знати напам'ять. Дуже багато завдань, що входять до складу завдань ЄДІ, зводяться до розв'язання квадратного рівняння (геометричні в тому числі).
Що варто зазначити!
1. Форма запису рівняння може бути «неявною». Наприклад, можливий такий запис:
15+ 9x 2 - 45x = 0 або 15х+42+9x 2 - 45x=0 або 15 -5x+10x 2 = 0.
Вам необхідно привести його до стандартного вигляду (щоб не заплутатися під час вирішення).
2. Пам'ятайте, що x це невідома величина і вона може бути позначена будь-якою іншою літерою - t, q, p, h та іншими.
Більше простим способом. Для цього винесіть z за дужки. Ви отримаєте : z(аz + b) = 0. Множники можна розписати: z = 0 і аz + b = 0, тому що обидва можуть давати в результаті нуль. У записі аz + b = 0 перенесемо другий праворуч з іншим знаком. Звідси одержуємо z1 = 0 і z2 = -b/а. Це і є коріння вихідного.
Якщо ж є неповне рівняннявиду аz² + с = 0, в даному випадку перебувають простим перенесенням вільного члена в праву частину рівняння. Також поміняйте у своїй його знак. Вийде запис аz² = -с. Виразіть z² = -с/а. Візьміть корінь і запишіть два рішення – позитивне та негативне значення кореня квадратного.
Зверніть увагу
За наявності в рівнянні дробових коефіцієнтів помножте все рівняння на відповідний множник так, щоб позбавитися дробів.
Знання про те, як розв'язувати квадратні рівняння, потрібне і школярам, і студентам, іноді це може допомогти і дорослій людині у звичайному житті. Є кілька певних методів рішень.
Розв'язання квадратних рівнянь
Квадратне рівняння виду a*x^2+b*x+c=0. Коефіцієнт х є шуканою змінною, a, b, c - числові коефіцієнти. Пам'ятайте, що знак "+" може змінюватися на знак "-".Для того, щоб вирішити дане рівняння, необхідно скористатися теоремою Вієта або знайти дискримінант. Найпоширенішим способом є знаходження дискримінанта, тому що при деяких значеннях a, b, c скористатися теоремою Вієта неможливо.
Щоб знайти дискримінант (D) необхідно записати формулу D=b^2 - 4*a*c. Значення D може бути більшим, меншим або дорівнює нулю. Якщо D більше або менше нуля, то кореня буде два, якщо D = 0, то залишається лише один корінь, більш точно можна сказати, що D у цьому випадку має два рівнозначні корені. Підставте відомі коефіцієнти a, b, c формулу і обчисліть значення.
Після того, як ви знайшли дискримінант, для знаходження х скористайтеся формулами: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, де sqrt - це функція, що означає вилучення квадратного кореня з цього числа. Порахувавши ці вирази, ви знайдете два корені вашого рівняння, після чого рівняння вважається вирішеним.
Якщо D менше нуля, він все одно має коріння. У школі цей розділ практично не вивчається. Студенти вузів повинні знати, що з'являється від'ємне числопід коренем. Від нього позбавляються виділяючи уявну частину, тобто -1 під коренем завжди дорівнює уявному елементу «i», який множиться на корінь з таким самим позитивним числом. Наприклад, якщо D=sqrt(-20), після перетворення виходить D=sqrt(20)*i. Після цього перетворення рішення рівняння зводиться до такого ж знаходження коренів, як було описано вище.
Теорема Вієта полягає у підборі значень x(1) та x(2). Використовується два тотожні рівняння: x(1) + x(2)=-b; x(1)*x(2)=с. Причому дуже важливим моментом є знак перед коефіцієнтом b, пам'ятайте, що цей знак протилежний тому, що стоїть у рівнянні. З першого погляду здається, що порахувати x(1) і x(2) дуже просто, але при вирішенні ви зіткнетеся з тим, що числа доведеться саме підбирати.
Елементи розв'язання квадратних рівнянь
За правилами математики деякі можна розкласти на множники: (a+x(1))*(b-x(2))=0, якщо за допомогою формул математики вдалося перетворити подібним чиномце квадратне рівняння, то сміливо записуйте відповідь. x(1) і x(2) дорівнюватимуть поряд стоять коефіцієнтам у дужках, але з протилежним знаком.Також не варто забувати про неповні квадратні рівняння. У вас може бути якийсь із доданків, якщо це так, то всі його коефіцієнти просто дорівнюють нулю. Якщо перед x^2 або x нічого не варте, то коефіцієнти а і b дорівнюють 1.
Початковий рівень
Квадратні рівняння. Вичерпний гід (2019)
У терміні "квадратне рівняння" ключовим є слово "квадратне". Це означає, що в рівнянні обов'язково має бути присутня змінна (той самий ікс) у квадраті, і при цьому не повинно бути іксів у третій (і більшій) мірі.
Вирішення багатьох рівнянь зводиться до розв'язання саме квадратних рівнянь.
Давай навчимося визначати, що перед нами квадратне рівняння, а не якесь інше.
приклад 1.
Позбавимося знаменника і домножимо кожен член рівняння на
Перенесемо все в ліву частину і розташуємо члени в порядку спаду ступенів ікса
Тепер можна з упевненістю сказати, що це рівняння є квадратним!
приклад 2.
Домножимо ліву та праву частину на:
Це рівняння, хоч у ньому спочатку був, не є квадратним!
приклад 3.
Домножимо все на:
Страшно? Четвертий і другий ступені... Однак, якщо зробити заміну, то ми побачимо, що перед нами просте квадратне рівняння:
приклад 4.
Начебто є, але давай подивимося уважніше. Перенесемо все до лівої частини:
Бачиш, скоротився – і тепер це просте лінійне рівняння!
Тепер спробуй сам визначити, які з наступних рівнянь є квадратними, а які:
Приклади:
Відповіді:
- квадратне;
- квадратне;
- не квадратне;
- не квадратне;
- не квадратне;
- квадратне;
- не квадратне;
- квадратне.
Математики умовно ділять усі квадратні рівняння на вигляд:
- Повні квадратні рівняння- Рівняння, в яких коефіцієнти і, а також вільний член з не дорівнюють нулю (як у прикладі). Крім того, серед повних квадратних рівнянь виділяють наведені- це рівняння, у яких коефіцієнт (рівняння з прикладу один є не тільки повним, але ще й наведеним!)
- Неповні квадратні рівняння- Рівняння, в яких коефіцієнт або вільний член з рівні нулю:
Неповні вони, бо в них не вистачає якогось елемента. Але в рівнянні завжди повинен бути присутнім ікс у квадраті! Інакше це буде вже не квадратне, а якесь інше рівняння.
Навіщо вигадали такий поділ? Здавалося б, є ікс у квадраті, та гаразд. Такий поділ зумовлений методами рішення. Розглянемо кожен із них докладніше.
Розв'язання неповних квадратних рівнянь
Для початку зупинимося на розв'язанні неповних квадратних рівнянь – вони набагато простіші!
Неповні квадратні рівняння бувають типів:
- , у цьому рівнянні коефіцієнт дорівнює.
- , у цьому рівнянні вільний член дорівнює.
- , у цьому рівнянні коефіцієнт та вільний член рівні.
1. в. Оскільки ми знаємо, як отримувати квадратний корінь, то давайте висловимо з цього рівняння
Вираз може бути як негативним, і позитивним. Число, зведене у квадрат, може бути негативним, адже за перемноженні двох негативних чи двох позитивних чисел - результатом завжди буде позитивне число, отже: якщо, то рівняння немає рішень.
А якщо, то отримуємо два корені. Ці формули не слід запам'ятовувати. Головне, ти маєш знати і пам'ятати завжди, що не може бути менше.
Давайте спробуємо вирішити кілька прикладів.
Приклад 5:
Розв'яжіть рівняння
Тепер залишилося витягти корінь із лівої та правої частини. Адже ти пам'ятаєш, як добувати коріння?
Відповідь:
Ніколи не забувай про коріння з негативним знаком!
Приклад 6:
Розв'яжіть рівняння
Відповідь:
Приклад 7:
Розв'яжіть рівняння
Ой! Квадрат числа не може бути негативним, а значить у рівняння
немає коріння!
Для таких рівнянь, в яких немає коріння, математики вигадали спеціальний значок - (порожня безліч). І відповідь можна записати так:
Відповідь:
Таким чином, це квадратне рівняння має два корені. Тут немає жодних обмежень, оскільки коріння ми не витягували.
Приклад 8:
Розв'яжіть рівняння
Винесемо загальний множник за дужки:
Таким чином,
У цього рівняння два корені.
Відповідь:
Найпростіший тип неповних квадратних рівнянь (хоча вони всі прості, чи не так?). Очевидно, що дане рівняння завжди має лише один корінь:
Тут обійдемося без прикладів.
Розв'язання повних квадратних рівнянь
Нагадуємо, що повне квадратне рівняння, це рівняння виду рівняння де
Вирішення повних квадратних рівнянь трохи складніше (зовсім трохи), ніж наведених.
Запам'ятай, будь-яке квадратне рівняння можна вирішити за допомогою дискримінанту! Навіть неповне.
Інші способи допоможуть зробити це швидше, але якщо у тебе виникають проблеми з квадратними рівняннями, спершу освойте рішення за допомогою дискримінанта.
1. Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою дискримінанта.
Рішення квадратних рівнянь у цей спосіб дуже просте, головне запам'ятати послідовність дій і кілька формул.
Якщо, то рівняння має кореня Потрібно особливу увагу звернути на крок. Дискримінант () вказує на кількість коренів рівняння.
- Якщо, то формула на кроці скоротиться до. Таким чином, рівняння матиме всього корінь.
- Якщо, то ми не зможемо витягти коріння з дискримінанта на кроці. Це свідчить про те, що рівняння немає коренів.
Повернемося до наших рівнянь та розглянемо кілька прикладів.
Приклад 9:
Розв'яжіть рівняння
Крок 1пропускаємо.
Крок 2
Знаходимо дискримінант:
А отже рівняння має два корені.
Крок 3
Відповідь:
Приклад 10:
Розв'яжіть рівняння
Рівняння представлене у стандартному вигляді, тому Крок 1пропускаємо.
Крок 2
Знаходимо дискримінант:
Отже, рівняння має один корінь.
Відповідь:
Приклад 11:
Розв'яжіть рівняння
Рівняння представлене у стандартному вигляді, тому Крок 1пропускаємо.
Крок 2
Знаходимо дискримінант:
Отже ми не зможемо витягти коріння з дискримінанта. Коренів рівняння немає.
Тепер знаємо, як правильно записувати такі відповіді.
Відповідь:Коренів немає
2. Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою теореми Вієта.
Якщо ти пам'ятаєш, тобто такий тип рівнянь, які називаються наведеними (коли коефіцієнт дорівнює):
Такі рівняння дуже просто вирішувати, використовуючи теорему Вієта:
Сума коренів наведеногоквадратного рівняння дорівнює, а добуток коріння дорівнює.
Приклад 12:
Розв'яжіть рівняння
Це рівняння підходить рішення з використанням теореми Виета, т.к. .
Сума коренів рівняння дорівнює, тобто. отримуємо перше рівняння:
А твір одно:
Складемо і вирішимо систему:
- в. Сума дорівнює;
- в. Сума дорівнює;
- в. Сума дорівнює.
і є рішенням системи:
Відповідь: ; .
Приклад 13:
Розв'яжіть рівняння
Відповідь:
Приклад 14:
Розв'яжіть рівняння
Наведене рівняння, а значить:
Відповідь:
КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ
Що таке квадратне рівняння?
Іншими словами, квадратне рівняння – це рівняння виду, де – невідоме, – деякі числа, причому.
Число називають старшим або першим коефіцієнтомквадратного рівняння, - другим коефіцієнтом, а - вільним членом.
Чому? Тому що якщо рівняння відразу стане лінійним, т.к. пропаде.
При цьому і можуть дорівнювати нулю. У цьому стулче рівняння називають неповним. Якщо все складові дома, тобто, рівняння - повне.
Розв'язання різних типів квадратних рівнянь
Методи розв'язання неповних квадратних рівнянь:
Для початку розберемо методи розв'язків неповних квадратних рівнянь – вони простіші.
Можна виділити тип таких рівнянь:
I. , у цьому рівнянні коефіцієнт та вільний член рівні.
ІІ. , у цьому рівнянні коефіцієнт дорівнює.
ІІІ. , у цьому рівнянні вільний член дорівнює.
Тепер розглянемо рішення кожного із цих підтипів.
Очевидно, що дане рівняння завжди має лише один корінь:
Число, зведене у квадрат, може бути негативним, адже за перемноженні двох негативних чи двох позитивних чисел результатом завжди буде позитивне число. Тому:
якщо, то рівняння немає рішень;
якщо, маємо навчаємо два корені
Ці формули не слід запам'ятовувати. Головне пам'ятати, що не може бути менше.
Приклади:
Рішення:
Відповідь:
Ніколи не забувай про коріння із негативним знаком!
Квадрат числа не може бути негативним, а значить у рівняння
немає коріння.
Щоб коротко записати, що завдання немає рішень, використовуємо значок порожньої множини.
Відповідь:
Отже, це рівняння має два корені: і.
Відповідь:
Винесемо загальним множник за дужки:
Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. А це означає, що рівняння має рішення, коли:
Отже, це квадратне рівняння має два корені: і.
Приклад:
Розв'яжіть рівняння.
Рішення:
Розкладемо ліву частину рівняння на множники і знайдемо коріння:
Відповідь:
Методи розв'язання повних квадратних рівнянь:
1. Дискримінант
Вирішувати квадратні рівняння цим способом легко, головне запам'ятати послідовність дій та пару формул. Запам'ятай будь-яке квадратне рівняння можна вирішити за допомогою дискримінанта! Навіть неповне.
Ти помітив корінь із дискримінанта у формулі для коріння? Але дискримінант може бути негативним. Що робити? Потрібно особливу увагу звернути на крок 2. Дискримінант вказує на кількість коренів рівняння.
- Якщо, то рівняння має коріння:
- Якщо, то рівняння має однакові корені, а по суті, один корінь:
Таке коріння називається дворазовим.
- Якщо, то корінь із дискримінанта не витягується. Це свідчить про те, що рівняння немає коренів.
Чому можливо різна кількістькоріння? Звернемося до геометричному змістуквадратного рівняння. Графік функції є параболою:
У окремому випадку, яким є квадратне рівняння, . І це означає, що коріння квадратного рівняння, це точки перетину з віссю абсцис (вісь). Парабола може взагалі не перетинати вісь або перетинати її в одній (коли вершина параболи лежить на осі) або двох точках.
Крім того, за напрямок гілок параболи відповідає коефіцієнт. Якщо, то гілки параболи спрямовані вгору, а якщо – то вниз.
Приклади:
Рішення:
Відповідь:
Відповідь: .
Відповідь:
Отже, рішень немає.
Відповідь: .
2. Теорема Вієта
Використовувати теорему Вієта дуже легко: потрібно лише підібрати таку пару чисел, добуток яких дорівнює вільному члену рівняння, а сума - другому коефіцієнту, взятому зі зворотним знаком.
Важливо пам'ятати, що теорему Вієта можна застосовувати тільки в наведені квадратні рівняння ().
Розглянемо кілька прикладів:
Приклад №1:
Розв'яжіть рівняння.
Рішення:
Це рівняння підходить рішення з використанням теореми Виета, т.к. . Інші коефіцієнти: ; .
Сума коренів рівняння дорівнює:
А твір одно:
Підберемо такі пари чисел, добуток яких рівний, і перевіримо, чи дорівнює їх сума:
- в. Сума дорівнює;
- в. Сума дорівнює;
- в. Сума дорівнює.
і є рішенням системи:
Таким чином, і – коріння нашого рівняння.
Відповідь: ; .
Приклад №2:
Рішення:
Підберемо такі пари чисел, які у творі дають, а потім перевіримо, чи дорівнює їхня сума:
та: у сумі дають.
та: у сумі дають. Щоб отримати, досить просто поміняти знаки передбачуваного коріння: і твір.
Відповідь:
Приклад №3:
Рішення:
Вільний член рівняння негативний, отже, і твір коренів - негативне число. Це можливо тільки якщо один із коренів негативний, а інший - позитивний. Тому сума коренів дорівнює різниці їх модулів.
Підберемо такі пари чисел, які у творі дають, і різниця яких дорівнює:
і: їхня різниця дорівнює - не підходить;
та: - не підходить;
та: - не підходить;
та: - підходить. Залишається лише згадати, що одне з коренів негативне. Так як їх сума повинна дорівнювати, то негативним має бути менший за модулем корінь: . Перевіряємо:
Відповідь:
Приклад №4:
Розв'яжіть рівняння.
Рішення:
Наведене рівняння, а значить:
Вільний член негативний, отже, і твір коренів негативно. А це можливо тільки тоді, коли один корінь рівняння негативний, а інший позитивний.
Підберемо такі пари чисел, добуток яких дорівнює, а потім визначимо, яке коріння має мати негативний знак:
Очевидно, що під першу умову підходять тільки коріння та:
Відповідь:
Приклад №5:
Розв'яжіть рівняння.
Рішення:
Наведене рівняння, а значить:
Сума коренів негативна, а це означає що, принаймні, один із коренів негативний. Але оскільки їхній твір позитивний, то значить обидва корені зі знаком мінус.
Підберемо такі пари чисел, добуток яких дорівнює:
Очевидно, що корінням є числа в.
Відповідь:
Погодься, це дуже зручно – вигадувати коріння усно, замість того, щоб вважати цей неприємний дискримінант. Намагайся використовувати теорему Вієта якнайчастіше.
Але теорема Вієта потрібна для того, щоб полегшити та прискорити знаходження коріння. Щоб тобі було вигідно її використати, ти маєш довести дії до автоматизму. А для цього вирішуй ще п'ять прикладів. Але не шахрай: дискримінант використовувати не можна! Тільки теорему Вієта:
Розв'язання завдань для самостійної роботи:
Завдання 1. ((x)^(2))-8x+12=0
За теоремою Вієта:
Як завжди, починаємо підбір з твору:
Не підходить, оскільки сума;
: сума - те що треба
Відповідь: ; .
Завдання 2.
І знову наша улюблена теорема Вієта: у сумі має вийти, а твір рівний.
Але оскільки має бути не, а, міняємо знаки коріння: і (у сумі).
Відповідь: ; .
Завдання 3.
Хм… А де тут що?
Потрібно перенести всі складові в одну частину:
Сума коренів дорівнює, твір.
Так стоп! Рівняння не наведене. Але теорема Вієта застосовна лише у наведених рівняннях. Тож спочатку потрібно рівняння навести. Якщо навести не виходить, кидай цю витівку і вирішуй іншим способом (наприклад, через дискримінант). Нагадаю, що навести квадратне рівняння - значить зробити старший коефіцієнт рівним:
Чудово. Тоді сума коренів дорівнює, а твір.
Тут підібрати простіше простого: адже - просте число (вибач за тавтологію).
Відповідь: ; .
Завдання 4.
Вільний член негативний. Що у цьому особливого? А те, що коріння буде різних знаків. І тепер під час підбору перевіряємо не суму коренів, а різницю їх модулів: ця різниця дорівнює, а твір.
Отже, коріння рівні і, але один із них з мінусом. Теорема Вієта говорить нам, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту зі зворотним знаком, тобто. Значить, мінус буде у меншого кореня: і оскільки.
Відповідь: ; .
Завдання 5.
Що потрібно зробити насамперед? Правильно, навести рівняння:
Знову: підбираємо множники числа, і їх різниця повинна дорівнювати:
Коріння рівні і, але одне з них з мінусом. Який? Їхня сума має дорівнювати, отже, з мінусом буде більший корінь.
Відповідь: ; .
Підіб'ю підсумок:
- Теорема Вієта використовується лише у наведених квадратних рівняннях.
- Використовуючи теорему Вієта, можна знайти коріння підбором, усно.
- Якщо рівняння не наводиться або не знайшлося жодної відповідної пари множників вільного члена, значить цілих коренів немає, і потрібно вирішувати іншим способом (наприклад, через дискримінант).
3. Метод виділення повного квадрата
Якщо всі доданки, що містять невідоме, подати у вигляді доданків із формул скороченого множення - квадрата суми або різниці - то після заміни змінних можна уявити рівняння у вигляді неповного квадратного рівняння типу.
Наприклад:
Приклад 1:
Розв'яжіть рівняння: .
Рішення:
Відповідь:
Приклад 2:
Розв'яжіть рівняння: .
Рішення:
Відповідь:
У загальному вигляді перетворення виглядатиме так:
Звідси випливає: .
Нічого не нагадує? Це ж дискримінант! Саме так, формулу дискримінанта так і отримали.
КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ
Квадратне рівняння- це рівняння виду, де невідоме, - коефіцієнти квадратного рівняння, - вільний член.
Повне квадратне рівняння- Рівняння, в якому коефіцієнти, не дорівнюють нулю.
Наведене квадратне рівняння- Рівняння, у якому коефіцієнт, тобто: .
Неповне квадратне рівняння- рівняння, в якому коефіцієнт або вільний член з рівні нулю:
- якщо коефіцієнт, рівняння має вигляд: ,
- якщо вільний член, рівняння має вигляд:
- якщо і, рівняння має вигляд: .
1. Алгоритм розв'язання неповних квадратних рівнянь
1.1. Неповне квадратне рівняння виду, де:
1) Виразимо невідоме: ,
2) Перевіряємо знак виразу:
- якщо, то рівняння немає рішень,
- якщо, то рівняння має два корені.
1.2. Неповне квадратне рівняння виду, де:
1) Винесемо загальним множник за дужки: ,
2) Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Отже, рівняння має два корені:
1.3. Неповне квадратне рівняння виду, де:
Дане рівняння має тільки один корінь: .
2. Алгоритм розв'язання повних квадратних рівнянь виду де
2.1. Рішення за допомогою дискримінанта
1) Наведемо рівняння до стандартного вигляду: ,
2) Обчислимо дискримінант за формулою: , який вказує на кількість коренів рівняння:
3) Знайдемо коріння рівняння:
- якщо, то рівняння має корені, що знаходяться за формулою:
- якщо, то рівняння має корінь, що знаходиться за формулою:
- якщо, то рівняння не має коріння.
2.2. Рішення за допомогою теореми Вієта
Сума коренів наведеного квадратного рівняння (рівняння виду, де) дорівнює, а добуток коренів дорівнює, тобто. , а.
2.3. Рішення методом виділення повного квадрата
