точки, що не лежать на одній прямій? а) перетинаються; б) нічого сказати не можна; в) не перетинаються; г) збігаються; д) мають три спільні точки.
2. Яке з наступних тверджень є вірним? а) Якщо дві точки кола лежать у площині, то все коло лежить у цій площині; б) пряма, що лежить у площині трикутника, перетинає дві сторони; в) будь-які дві площини мають лише одну загальну точку; г) через дві точки проходить площину і до того ж лише одна; д) пряма лежить у площині даного трикутника, якщо вона перетинає дві прямі сторони трикутника, що містять.
3. Чи можуть дві різні площини мати лише дві загальні точки? а) Ніколи; б) можу, але за додаткових умов; в) завжди мають; г) не можна відповісти на запитання; д) іншу відповідь.
4. Крапки K, L, M лежать на одній прямій, точка N не лежить на ній. Через кожні три точки проведено одну площину. Скільки різних площин при цьому вийшло? а) 1; б) 2; у 3; г) 4; д) нескінченно багато.
5. Виберіть правильне затвердження. а) Через будь-які три точки проходить площину, і до того ж лише одна; б) якщо дві точки прямої лежать у площині, то всі точки прямої лежать у цій площині; в) якщо дві площини мають загальну точку, вони не перетинаються; г) через пряму і точку, що лежить на ній, проходить площину, і до того ж лише одна; д) через дві прямі площину, що перетинаються, провести не можна.
6. Назвіть спільну пряму площин PBM та MAB. а) PM; б) AB; в) PB; г) BM; д) визначити не можна.
7. Прямі а та b перетинаються в точці М. Пряма с, яка не проходить через точку М, перетинає прямі а та b. Що можна сказати про взаємне становище прямих а, b і c? а) Усі прямі лежать у різних площинах; б) прямі а та b лежать в одній площині; в) усі прямі лежать у одній площині; г) нічого сказати не можна; д) пряма з збігається з однією з прямих: або с а, або b.
8. Прямі а та b перетинаються в точці О. A € a, B € b, Y € AB. Виберіть правильне затвердження. а) Точки O та Y не лежать в одній площині; б) прямі OY та a паралельні; в) прямі a, b та точка Y лежать в одній площині; г) точки O та Y збігаються; д) точки Y та A збігаються.
Варіант 2.1.Что можна сказати про взаємне розташування двох площин, які мають три загальні точки, що не лежать на одній прямій?
а) перетинаються; б) нічого сказати не можна; в) не перетинаються; г) збігаються; д) мають три спільні точки.
2. Яке з наступних тверджень є вірним?
а) Якщо дві точки кола лежать у площині, то все коло лежить у цій площині; б) пряма, що лежить у площині трикутника, перетинає дві сторони; в) будь-які дві площини мають лише одну загальну точку; г) через дві точки проходить площину і до того ж лише одна; д) пряма лежить у площині цього трикутника, якщо вона перетинає дві прямі сторони трикутника, що містять.
3. Чи можуть дві різні площини мати лише дві загальні точки?
а) Ніколи; б) можу, але за додаткових умов; в) завжди мають; г) не можна відповісти на запитання; д) іншу відповідь.
4. Крапки K, L, M лежать на одній прямій, точка N не лежить на ній. Через кожні три точки проведено одну площину. Скільки різних площин при цьому вийшло?
а) 1; б) 2; у 3; г) 4; д) нескінченно багато.
5. Виберіть правильне затвердження.
а) Через будь-які три точки проходить площину, і до того ж лише одна; б) якщо дві точки прямої лежать у площині, то всі точки прямої лежать у цій площині; в) якщо дві площини мають загальну точку, вони не перетинаються; г) через пряму і точку, що лежить на ній, проходить площину, і до того ж лише одна; д) через дві прямі площину, що перетинаються, провести не можна.
6. Назвіть спільну пряму площин PBM та MAB.
а) PM; б) AB; в) PB; г) BM; д) визначити не можна.
7. Яку з перелічених площин перетинає пряма РМ (рис.1)?
а) DD1C; б) D1PM; в) B1PM; г) ABC; д) CDA.
В1 С1
8.Дві площини перетинаються прямою с. Точка М лежить лише у одній із площин. Що можна сказати про взаємне положення точки М і пряму с?
а) Жодного висновку зробити не можна; б) пряма з проходить через точку М; в) точка М лежить на прямій; г) пряма з не проходить через точку М; д) іншу відповідь.
9. Прямі а та b перетинаються в точці М. Пряма с, яка не проходить через точку М, перетинає прямі а та b. Що можна сказати про взаємне становище прямих а, b і c?
а) Усі прямі лежать у різних площинах; б) прямі а та b лежать в одній площині; в) усі прямі лежать у одній площині; г) нічого сказати не можна; д) пряма з збігається з однією з прямих: або с а, або b.
10. Прямі а та b перетинаються в точці О. A € a, B € b, Y € AB. Виберіть правильне затвердження.
а) Точки O та Y не лежать в одній площині; б) прямі OY та a паралельні; в) прямі a, b та точка Y лежать в одній площині; г) точки O та Y збігаються; д) точки Y та A збігаються.
промені АВ та АС перпендикулярні його ребру? 2.Чи правильно, що лінійний кут ВАС двогранного кутаякщо промені АВ і АС лежать у гранях двогранного кута? 3. Чи правильно, що кут ВАС - лінійний кут двогранного кута, якщо промені АВ та АС перпендекулярні до його ребра, а точки Е і С лежать на гранях кута? 4. Лінійний кут двогранного кута дорівнює 80 градусів. Чи знайдеться в одній із граней кута пряма, перпендикулярна до іншої грані? 5. Кут АВС – лінійний кут двогранного кута з ребром альфа. Чи перпендекулярна пряма альфа площині АВС? Чи правильно, що це прямі, перпендекулярні даної площині і перетинають цю пряму, лежать у одній площині.
Аксіоми стереометрії.
А1.Через будь-які три точки, що не лежать на даній прямій, проходить площину, і до того ж тільки одна;
Сл.1.Через пряму і не лежачу на ній точку проходить площину і до того ж тільки одна;
Сл.2.Через дві прямі, що перетинаються, проходить площину, і притому тільки одна;
Сл.3.Через дві паралельні прямі проходить площину, і до того ж лише одна.
А2.Якщо дві точки прямої лежать у площині, то і всі точки прямої лежать у цій площині;
А3.Если дві площини мають загальну точку, всі вони мають спільну пряму, де лежать все загальні точки цих площин.
Основні фігури стереометрії- Точки (А, В, С…)прямі (А, b, c ...), площині ( …) , багатогранники та тіла обертання.
Під січучою площиноюоб'ємної фігури розумітимемо площину, по обидва боки якої є точки даної фігури.
За міру відстаніміж точкою, прямою і площиною будемо приймати довжину їхнього загального перпендикуляра.
2. Взаємне розташування прямих у просторі.
У просторі дві прямі можуть бути паралельними, перетинатися чи схрещуватися.
| 1А | Опр. ПаралельнимиПрямими в просторі називаються прямі, які лежать в одній площині і не перетинаються. За сл. 3.Через дві паралельні прямі проходить площину, і до того ж лише одна. | |
| 1Б | Т 1 (Про транзитивність).Дві прямі, паралельні третій, паралельні між собою. | |
| 2А | По сл.2.Через дві перетинаютьсяпрямі проходить площину, і до того ж лише одна | |
| 3А | Опр. Дві прямі називаються схрещуютьсяякщо вони не лежать в одній площині. | |
| Т 2 (Ознака схрещуються прямих).Якщо одна з двох прямих лежить у деякій площині, а інша пряма перетинає цю площину в точці, що не належить першій прямій, такі прямі є схрещуються. | ||
| 3Б | Опр. Кутом між схрещуються прямиминазивається кут між паралельними ним прямими, що перетинаються. | |
| 3В | Опр. Загальним перпендикуляром двох прямих, що схрещуються, називається відрізок, що має кінці на даних прямих і перпендикулярний до них (відстань між схрещуються прямими). |
- Взаємне розташування прямих та площин у просторі.
У просторі пряма та площина можуть бути паралельними, перетинатисяабо пряма цілком може лежати у площині.
| 1А | Опр. Пряманазивається паралельної площиніякщо вона паралельна будь-якій прямій, що лежить у цій площині. | |
| 1Б | Т 3 (Ознака паралельності прямої та площини). Пряма, не лежача в площині, паралельна площині, якщо вона паралельна будь-якій прямій, що лежить у цій площині. | |
| 2А | Опр. Пряма називається перпендикулярній площині , якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що перетинається, що лежить в цій площині. | |
| 2Б | Т 4 (Ознака перпендикулярності прямої та площини)Якщо пряма, що перетинає з площину, перпендикулярна до яких-небудь двох прямих, що перетинаються в цій площині, то вона перпендикулярна і до будь-якої третьої прямої лежить в цій площині. | |
| 2В | Т 5 (про дві паралельні прямі, перпендикулярні до третьої).Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до площини, то й інша пряма перпендикулярна до цієї площини. | |
| 2Г | Опр. Кутом між прямою та площиною називається кут, між даною прямою та її проекцією на площину. | |
| 2Д | Будь-яка інша пряма, відмінна від перпендикуляра і перетинає площину, називається похилійдо цієї площини (див. нижче). Опр. Проекцією похилою на площинуназивається відрізок, що з'єднує основу перпендикуляра та похилої. Т 6 (Про довжину перпендикуляра та похилої). 1) Перпендикуляр, проведений до площини коротше похилої до цієї площини; 2) Рівним похилим відповідають рівні проекції; 3) З двох похилих більше та, проекція якої більша. | |
| 2Е | Т 7 (Про три перпендикуляри).Пряма, проведена на площині через основу похилої перпендикулярно її проекції, перпендикулярна і похилій. Т 8 (Зворотній).Пряма, проведена на площині через основу похилої та перпендикулярної, перпендикулярна і проекції похилої на данню площину. | |
| 3А | По аксіомі 2.Якщо дві точки прямої лежать у площині, то і всі точки прямої лежать у цій площині |
- Взаємне розташування площин у просторі.
У просторі площини можуть бути паралельнимиабо перетинатися.
| 1А | Опр. Дві площиніназиваються паралельнимиякщо вони не перетинаються. | |
| Т 9 (Ознака паралельності площин).Якщо дві прямі однієї площини, що перетинаються, відповідно паралельні двом прямим інший площині, то ці площини паралельні. | ||
| 1Б | Т 10 Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою площиною, то прямі перетину паралельні (Властивість паралельних площин 1). | |
| 1В | Т 11 Відрізки паралельних прямих, укладених між паралельними площинами, рівні (Властивість паралельних площин 2). | |
| 2А | По аксіомі 3 . Якщо дві площини мають спільну точку, всі вони мають спільну пряму, де лежать всі загальні точки цих площин ( площини перетинаються прямою). | |
| 2Б | Т 12 (Ознака перпендикулярності площин).Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до іншої площини, то ці площини перпендикулярні. | |
| 2В | Опр. Двогранним кутомназивається фігура, утворена двома напівплощинами, що виходять з однієї прямої. Площина, перпендикулярна до ребра двогранного кута, перетинає його грані по двох променях. Кут, утворений цими променями називається лінійним кутом двогранного кута.За міру двогранного кутавживається міра відповідного лінійного кута. |
I5 Якими б не були три точки, що не лежать на одній прямій, існує не більше однієї площини, що проходить через ці точки.
I6 Якщо дві точки А і В прямої лежать у площині a, то кожна точка прямої лежить у площині a. (У цьому випадку говоритимемо, пряма а лежить у площині a або що площина проходить через пряму а.
I7 Якщо дві площини a та b мають загальну точку А, то вони мають принаймні ще одну загальну точку В.
I8 Існує принаймні чотири точки, що не лежать в одній площині.
Вже з цих 8 аксіом можна вивести кілька теорем елементарної геометрії, які наочно очевидні і, тому, у шкільному курсі геометрії не доводяться і навіть іноді з логічних міркувань включаються до аксіоми того чи іншого шкільного курсу
Наприклад:
1. Дві прямі мають трохи більше однієї загальної точки.
2. Якщо дві площини мають спільну точку, вони мають спільну пряму, де лежать усі загальні точки цих двох площин
Доказ: (для понту):
По I 7 $, яка теж належить a і b,т.к. А, В "a, то по I 6 АВ" b. Значить пряма АВ є загальною для двох площин.
3. Через пряму і не лежачу на ній точку, так само як через дві прямі, що перетинаються, проходить одна і тільки одна площина.
4. На кожній площині існує три точки, що не лежать на одній прямій.
ЗАУВАЖЕННЯ: За допомогою цих аксіом можна довести трохи теорем і більшість з них такі прості. Зокрема з цих аксіом не можна довести, що безліч геометричних елементівнескінченно.
ГРУПА II Аксіоми порядку.
Якщо на прямій дано три точки, то одна з них може перебувати до двох інших щодо «лежати між», яке задовольняє наступним аксіомам:
II1 Якщо лежить між А і З, то А,В, С- різні точки однієї прямої і лежить між З і А.
II2 Якими б не були дві точки А і В, існує принаймні одна точка С на прямій АВ, така, що лежить між А і С.
II3 Серед будь-яких трьох точок прямої існує не більше однієї точки, що лежить між двома іншими
По Гільберту над відрізком АВ(ВА) розуміється пара точок А і В. Точки А і В називаються кінцями відрізка, а будь-яка точка, що лежить між точками А і В, називається внутрішньою точкою відрізка АВ(ВА).
ЗАУВАЖЕННЯ:Але з II 1- II 3 поки що не слід, що у всякого відрізка є внутрішні точки, але з II 2, що у відрізка є зовнішні точки.
II4 (аксіома Паша) Нехай А, В, С - три точки, що не лежать на одній прямій, а - пряма в площині АВС, що не проходить через одну з точок А,В,С. Тоді якщо пряма, а проходить через точку відрізка АВ, вона проходить також через точку відрізка АС або ВС.
Сл.1: Якими б не були точки А і С існує принаймні одна точка D на прямій АС, що лежить між А і С.
Док-во: I 3 Þ$ тобто не лежить на прямій АС
Сл.2.Якщо лежить на відрізку АТ і В між А і С, то лежить між А і Д, а С між В і Д.Тепер можна довести два твердження
Сл3Твердження II 4 має місце й у разі, якщо точки А, В та С лежать на одній прямій.
І найцікавіше.
Сл.4 . Між будь-якими двома точками прямої існує безліч інших її точок (самост.).
Однак не можна встановити, що безліч точок прямої незліченна .
Аксіоми І та ІІ груп дозволяють ввести такі важливі поняття як напівплощина, промінь, напівпростір і кут. Спочатку доведемо теорему.
Тh1. Пряма а, що лежить у площині a, поділяє безліч точок цієї площини, що не лежать на прямій а, на два непусті підмножини так, що якщо т. А і В належать одному підмножині, то відрізок АВ не має загальних точок із прямою а; якщо ці точки належать різним підмножинам, то відрізок АВ має загальну точку з прямою а.
Ідея: вводиться відношення, а саме, т. А та В Ï азнаходяться у відношенні Δ, якщо відрізок АВ не має спільних точок з прямою аабо ці точки збігаються. Потім розглядалися множини класів еквівалентності по відношенню Δ. Доводиться, що їх лише два за допомогою нескладних міркувань.
Опр1Кожне з підмножин точок, що визначаються попередньою теоремою, називається напівплощиною з межею а.
Аналогічно можна запровадити поняття променя та напівпростору.
Промінь- h, А пряма-.
Опр2Кут - це пара променів h і k, що виходять з однієї т. Про і не лежать на одній прямій. т.о. називається вершиною кута, а промені h і k сторонами кута. Позначаємо звичайним чином: Hk.
Точка M називається внутрішньою точкою кута hk, якщо точка М та промінь k лежать в одній напівплощині з кордоном і точка М та промінь k лежать в одній напівплощині з кордоном . Безліч усіх внутрішніх точок називається внутрішньою областю кута.
Зовнішня областькута - безліч, т.к. всі точки відрізка з кінцями на різних сторонах кута є внутрішніми. Наступну властивість методичних міркувань часто включають в аксіоми.
Властивість: Якщо промінь виходить з вершини кута і проходить хоча б через одну внутрішню точку цього кута, він перетинає будь-який відрізок з кінцями на різних сторонах кута. (Самост.)
ГРУПА III. Аксіоми конгруентності (рівності)
На багатьох відрізках і кутах вводиться відношення конгруентності або рівності (позначається “=”), що задовольняє аксіомам:
III 1 Якщо дано відрізок АВ і промінь, що виходить з т. А / , то $ т.В / , Що належить даному променю, тобто АВ = А / В / .
III 2 Якщо А / В / = АВ і А // В // = АВ, то А / В / = А // В // .
III 3 Нехай А-В-С, А/-В/-С/, АВ=А/В/і ВС=В/С/, тоді АС=А/С/
Опр3Якщо О / - точка,.h / -промінь, що виходить з цієї точки, а l / -напівплощина з кордоном , то трійка об'єктів О / ,h / і l / називається прапором (О / ,h / ,l /).
III 4 Нехай дані Ðhk і прапор (О / ,h / ,l /). Тоді в напівплощині l / існує єдиний промінь k / , що виходить з точки О / , такий що Hk = H / k / .
III 5 Нехай А, В і С - три точки, що не лежать на одній прямій. Якщо при цьому АВ = А / В / , АС = А / С / , ÐВ / А / С / = ?ВАС, то ?АВС = ?А / В / С / .
1. Точка В/в III 1 єдина на даному промені (самостійно.)
2. Відношення конгруентності відрізків є ставленням еквівалентності на множині відрізків.
3. У рівнобедреному трикутнику кути при підстав рівні. (По III 5).
4. Ознаки рівності трикутників.
5. Відношення конгруентності кутів є ставленням еквівалентності на множині кутів. (Доповідь)
6. Зовнішній кут трикутника більший за кожен кут трикутника, не суміжного з ним.
7. У кожному трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут.
8. Будь-який відрізок має одну і лише одну середину
9. Будь-який кут має одну і тільки одну бісектрису
Можна ввести такі поняття:
Опр4Кут рівний своєму суміжному називається прямим.
Можна визначити вертикальні кути, перпендикуляр та похилі і т.д.
Можна довести єдиність. Можна ввести поняття > і< для отрезков и углов:
Опр5Якщо дано відрізки АВ і А / В / і $ т.С, тобто А / -С-В / і А / С = АВ, то А / В / > АВ.
Опр6Якщо дані два кути Ðhk і ?h / k / , і якщо через внутрішню область ?hk і його вершину можна провести промінь l такий, що ?h / k / = ?hl, то ?hk > ?h / k / .
І найцікавіше, що за допомогою аксіом груп I-III можна ввести поняття руху (накладання).
Робиться це приблизно так:
Нехай дані дві множини точок p і p /. Припустимо, що між точками цих множин встановлено взаємно однозначну відповідність. Кожна пара точок М та N множини p визначає відрізок МN. Нехай М/і N/точки множини p/, відповідні точкам МN. Відрізок М/N/умовимося називати відповідним відрізком МN.
Опр7Якщо $ відповідність між p і p / така, що відповідні відрізки завжди виявляються взаємно конгруентними, то й безлічі p і p / називається конгруентними . При цьому говорять також, що кожна з множин p і p/отримано рухомз іншого або, що одна з цих множин може бути накладена на іншу. Відповідні точки множини p і p / називається поєднується при накладенні.
Утв1: Точки, що лежать на прямій, при русі переходять у точки, що також лежать на деякій прямій.
Утв2 Кут, між двома відрізками, що з'єднують якусь точку множини з двома іншими його точками, конгруентен куті між відповідними відрізками конгруентної множини.
Можна запровадити поняття обертання, зсуву, композиції рухів тощо.
ГРУПА IV. Аксіоми безперервності в.
IV 1 (Аксіома Архімеда). Нехай АВ і СD якісь відрізки. Тоді на прямій АВ існує кінцева множина точок А 1 , А 2 , …, А n , таких що виконуються умови:
1. А-А 1 -А 2 , А 1 -А 2 -А 3, …, A n -2 -A n -1
2. AA 1 = A 1 A 2 = … = A n-1 A n = CD
3. A-B-A n
IV2 (Аксіома Кантора) Нехай на довільній прямій а дана нескінченна послідовність відрізків А1В1, А2В2, з яких кожен наступний лежить всередині попереднього і, крім того, для будь-якого відрізка СD знайдеться натуральне число n, таке, що АnВn< СD. Тогда на прямой а существует т.М, принадлежащая каждому из отрезков данной последовательности.
