Найбільший спільний дільникта найменше загальне кратне - ключові арифметичні поняття, які дозволяють без зусиль оперувати звичайними дробами. НОК і найчастіше використовують для пошуку спільного знаменника кількох дробів.

Основні поняття

Дільник цілого числа X - це інше ціле число Y, яке X поділяється без залишку. Наприклад, дільник 4 - це 2, а 36 - 4, 6, 9. Кратне цілого X - це число Y, яке ділиться на X без залишку. Наприклад, 3 кратно 15, а 6 - 12.

Для будь-якої пари чисел ми можемо знайти їхні спільні дільники та кратні. Наприклад, для 6 і 9 загальним кратним є 18, а загальним дільником - 3. Очевидно, що дільників і кратних пар може бути кілька, тому при розрахунках використовується найбільший дільник НОД і найменше кратне НОК.

Найменший дільник немає сенсу, оскільки будь-якого числа це завжди одиниця. Найбільше кратне також безглуздо, оскільки послідовність кратних спрямовується у нескінченність.

Знаходження НІД

Для пошуку найбільшого спільного дільника існує безліч методів, найвідоміші з яких:

• послідовний перебір дільників, вибір спільних для пари та пошук найбільшого з них;
• розкладання чисел на неподільні множники;
• алгоритм Евкліда;
• бінарний алгоритм.

Сьогодні в навчальних закладахнайбільш популярними є методи розкладання прості множникита алгоритм Евкліда. Останній у свою чергу використовується при розв'язанні діофантових рівнянь: пошук НОД потрібний для перевірки рівняння на можливість розв'язання в цілих числах.

Знаходження НОК

Найменше загальне кратне також визначається послідовним перебором або розкладанням на неподільні множники. Крім того, легко знайти НОК, якщо вже визначено найбільшого дільника. Для чисел X і Y НОК і НОД пов'язані наступним співвідношенням:

НОК (X, Y) = X × Y / НОД (X, Y).

Наприклад, якщо НОД(15,18) = 3, то НОК(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Найбільш очевидний приклад використання НОК - пошук спільного знаменника, який є найменшим загальним кратним для заданих дробів.

Взаємно прості числа

Якщо в пари чисел немає спільних дільників, то така пара називається взаємно простою. НОД для таких пар завжди дорівнює одиниці, а виходячи із зв'язку дільників та кратних, НОК для взаємно простих дорівнює їхньому твору. Наприклад, числа 25 і 28 взаємно прості, адже вони немає спільних дільників, а НОК(25, 28) = 700, що їх твору. Два будь-які неподільні числа завжди будуть взаємно простими.

Калькулятор загального дільника та кратного

За допомогою нашого калькулятора ви можете визначити НОД і НОК для довільної кількості чисел на вибір. Завдання на обчислення загальних дільників та кратних зустрічаються в арифметиці 5, 6 класу, проте НОД та НОК – ключові поняття математики та використовуються в теорії чисел, планіметрії та комунікативної алгебри.

Приклади із реального життя

Загальний знаменник дробів

Найменше загальне кратне використовується для пошуку спільного знаменника кількох дробів. Нехай в арифметичній задачі потрібно підсумувати 5 дробів:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Для складання дробів вираз необхідно привести до спільного знаменника, що зводиться до завдання знаходження НОК. Для цього виберіть у калькуляторі 5 чисел та введіть значення знаменників у відповідні комірки. Програма обчислить НОК (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Тепер необхідно обчислити додаткові множники кожного дробу, які визначаються як співвідношення НОК до знаменника. Таким чином, додаткові множники будуть виглядати як:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Після цього множимо всі дроби на відповідний додатковий множник і отримуємо:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Такі дроби ми можемо легко підсумовувати та отримати результат у вигляді 159/360. Скорочуємо дріб на 3 і бачимо остаточну відповідь – 53/120.

Розв'язання лінійних діофантових рівнянь

Лінійні діофантові рівняння – це вирази виду ax + by = d. Якщо відношення d / НОД (a, b) є ціле число, то рівняння можна розв'язати в цілих числах. Давайте перевіримо пару рівнянь на можливість цілого рішення. Спочатку перевіримо рівняння 150x + 8y = 37. За допомогою калькулятора знаходимо НОД (150,8) = 2. Ділимо 37/2 = 18,5. Число не ціле, отже, рівняння не має цілих коренів.

Перевіримо рівняння 1320x + 1760y = 10120. Використовуємо калькулятор для знаходження НОД(1320, 1760) = 440. Розділимо 10120/440 = 23. У результаті одержуємо ціле число, отже, діофантове рівня.

Висновок

НОД і НОК відіграють велику роль у теорії чисел, а самі поняття широко використовуються в різних областях математики. Використовуйте наш калькулятор для розрахунку найбільших дільників та найменших кратних будь-якої кількості чисел.

Поданий нижче матеріал є логічним продовженням теорії із статті під заголовком НОК – найменше загальне кратне, визначення, приклади, зв'язок між НОК та НОД. Тут ми поговоримо про знаходження найменшого загального кратного (НОК), та особливу увагу приділимо рішенню прикладів. Спочатку покажемо, як обчислюється НОК двох чисел через НОД цих чисел. Далі розглянемо знаходження найменшого загального кратного за допомогою розкладання чисел на звичайні множники. Після цього зупинимося на знаходженні НОК трьох та більшої кількості чисел, а також приділимо увагу обчисленню НОК негативних чисел.

Навігація на сторінці.

Обчислення найменшого загального кратного (НОК) через НОД

Один із способів знаходження найменшого загального кратного заснований на зв'язку між НОК та НОД. Існуючий зв'язок між НОК та НОД дозволяє обчислювати найменше загальне кратне двох цілих позитивних чисел через відомий найбільший спільний дільник. Відповідна формула має вигляд НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b) . Розглянемо приклади знаходження НОК за наведеною формулою.

приклад.

Знайдіть найменше загальне кратне двох чисел 126 та 70 .

Рішення.

У цьому прикладі a = 126, b = 70. Скористаємося зв'язком НОК з НОД, що виражається формулою НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Тобто спочатку нам належить знайти найбільший спільний дільник чисел 70 і 126 , після чого ми зможемо обчислити НОК цих чисел за записаною формулою.

Знайдемо НОД (126, 70), використовуючи алгоритм Евкліда: 126 = 70 · 1 +56, 70 = 56 · 1 +14, 56 = 14 · 4, отже, НОД (126, 70) = 14 .

Тепер знаходимо необхідне найменше загальне кратне: НОК(126, 70) = 126 · 70: НОД (126, 70) = 126 · 70: 14 = 630 .

Відповідь:

НОК (126, 70) = 630 .

приклад.

Чому дорівнює НОК(68, 34)?

Рішення.

Так як 68 ділиться націло на 34 , то НОД (68, 34) = 34 . Тепер обчислюємо найменше загальне кратне: НОК (68, 34) = 68 · 34: НОД (68, 34) = 68 · 34:34 = 68 .

Відповідь:

НОК(68, 34) = 68 .

Зауважимо, що попередній приклад підходить під наступне правило знаходження НОК для цілих позитивних чисел a і b: якщо число a ділиться на b, то найменше кратне цих чисел дорівнює a.

Знаходження НОК за допомогою розкладання чисел на прості множники

Інший спосіб знаходження найменшого загального кратного базується на розкладанні чисел на прості множники. Якщо скласти добуток з усіх простих множників даних чисел, після чого з цього твору виключити всі загальні прості множники, присутні в розкладах даних чисел, то отриманий добуток дорівнює найменшому загальному кратному даних чисел .

Озвучене правило знаходження НОК випливає з рівності НОК (a, b) = a · b: НОД (a, b). Справді, добуток чисел a та b дорівнює добутку всіх множників, що беруть участь у розкладах чисел a та b . У свою чергу НОД(a, b) дорівнює творувсіх простих множників, які одночасно присутні в розкладах чисел a і b (про що написано в розділі знаходження НОД за допомогою розкладання чисел на прості множники).

Наведемо приклад. Нехай ми знаємо, що 75 = 3 · 5 · 5 і 210 = 2 · 3 · 5 · 7 . Складемо добуток із усіх множників даних розкладів: 2·3·3·5·5·5·7 . Тепер з цього твору виключимо всі множники, присутні і в розкладанні числа 75 і в розкладанні числа 210 (такими множниками є 3 і 5), тоді добуток набуде вигляду 2·3·5·5·7 . Значення цього твору дорівнює найменшому загальному кратному чисел 75 і 210, тобто, НОК (75, 210) = 2 · 3 · 5 · 5 · 7 = 1050.

приклад.

Розклавши числа 441 і 700 на прості множники, знайдіть найменше загальне кратне цих чисел.

Рішення.

Розкладемо числа 441 і 700 на прості множники:

Отримуємо 441 = 3 · 3 · 7 · 7 і 700 = 2 · 2 · 5 · 5 · 7 .

Тепер складемо твір з усіх множників, що беруть участь у розкладах даних чисел: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7 . Виключимо з цього твору всі множники, одночасно присутні в обох розкладаннях (такий множник тільки один – це число 7): 2·2·3·3·5·5·7·7 . Таким чином, НОК (441, 700) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 = 44 100.

Відповідь:

НОК(441, 700) = 44100 .

Правило знаходження НОК з використанням розкладання чисел на прості множники можна сформулювати трохи інакше. Якщо до множників з розкладання числа a додати множники з розкладання числа b , то значення отриманого твору дорівнюватиме найменшому загальному кратному чисел a і b.

Наприклад візьмемо ті самі числа 75 і 210 , їх розкладання на прості множники такі: 75=3·5·5 і 210=2·3·5·7 . До множників 3, 5 і 5 з розкладання числа 75 додаємо відсутні множники 2 і 7 з розкладання числа 210, отримуємо добуток 2 · 3 · 5 · 5 · 7 , значення якого дорівнює НОК (75, 210) .

приклад.

Знайдіть найменше загальне кратне чисел 84 та 648 .

Рішення.

Отримуємо спочатку розкладання чисел 84 та 648 на прості множники. Вони мають вигляд 84 = 2 · 2 · 3 · 7 і 648 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 3 . До множників 2 , 2 , 3 і 7 з розкладання числа 84 додаємо множники 2 , 3 , 3 і 3 з розкладання числа 648 , що відсутні , отримуємо добуток 2·2·2·3·3·3·3·7 , який дорівнює 4 536 . Таким чином, шукане найменше загальне кратне чисел 84 і 648 дорівнює 4536 .

Відповідь:

НОК(84, 648) = 4536 .

Знаходження НОК трьох та більшої кількості чисел

Найменше загальне кратне трьох чи більшої кількості чисел може бути знайдено через послідовне перебування НОК двох чисел. Нагадаємо відповідну теорему, що дає спосіб знаходження НОК трьох та більшої кількості чисел.

Теорема.

Нехай дані цілі позитивні числа a 1 , a 2 , …, a k , найменше загальне кратне m k цих чисел знаходиться при послідовному обчисленні m 2 =НОК(a 1 , a 2) , m 3 =НОК(m 2 , a 3) , … , m k =НОК(m k−1 , a k) .

Розглянемо застосування цієї теореми з прикладу знаходження найменшого загального кратного чотирьох чисел.

приклад.

Знайдіть НОК чотирьох чисел 140 , 9 , 54 та 250 .

Рішення.

У цьому прикладі a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Спочатку знаходимо m 2 =НОК(a 1 , a 2)=НОК(140, 9). Для цього за алгоритмом Евкліда визначаємо НОД(140, 9) , маємо 140=9·15+5 , 9=5·1+4 , 5=4·1+1 , 4=1·4 , отже, НОД(140, 9) = 1, звідки НОК (140, 9) = 140 · 9: НОД (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1 260 . Тобто, m 2 = 1260 .

Тепер знаходимо m 3 =НОК(m 2 , a 3)=НОК(1 260, 54). Обчислимо його через НОД (1260, 54), який також визначимо за алгоритмом Евкліда: 1260 = 54 · 23 +18, 54 = 18 · 3 . Тоді НОД (1260, 54) = 18, звідки НОК (1260, 54) = 1260 · 54: НОД (1260, 54) = 1260 · 54:18 = 3780. Тобто, m3 = 3780 .

Залишилось знайти m 4 =НОК(m 3 , a 4)=НОК(3 780, 250). Для цього знаходимо НОД (3780, 250) за алгоритмом Евкліда: 3780 = 250 · 15 +30, 250 = 30 · 8 +10, 30 = 10 · 3. Отже, НОД (3780, 250) = 10, звідки НОК (3780, 250) = 3780 · 250: НОД (3780, 250) = 3 780 250:10 = 94 500 . Тобто, m 4 = 94500 .

Таким чином, найменше загальне кратне вихідних чотирьох чисел дорівнює 94500 .

Відповідь:

НОК(140, 9, 54, 250) = 94500.

У багатьох випадках найменша загальна кратність трьох і більшої кількості чисел зручно знаходити з використанням розкладів даних чисел на прості множники. При цьому слід дотримуватись наступного правила. Найменше загальне кратне кількох чисел дорівнює добутку, яке складається так: до всіх множників з розкладання першого числа додаються відсутні множники з розкладання другого числа, до отриманих множників додаються відсутні множники з розкладання третього числа і так далі.

Розглянемо приклад знаходження найменшого загального кратного із використанням розкладання чисел на прості множники.

приклад.

Знайдіть найменше загальне кратне п'ять чисел 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Рішення.

Спочатку отримуємо розкладання даних чисел на прості множники: 84 = 2 · 2 · 3 · 7 , 6 = 2 · 3 , 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 , 7 (7 - просте число , воно збігається зі своїм розкладанням на прості множники) і 143 = 11 · 13 .

Для знаходження НОК даних чисел до множників першого числа 84 (ними є 2, 2, 3 і 7) потрібно додати відсутні множники з розкладання другого числа 6. Розкладання числа 6 не містить множників, що відсутні, так як і 2 і 3 вже присутні в розкладанні першого числа 84 . Далі до множників 2 , 2 , 3 і 7 додаємо множники 2 і 2 , що відсутні , з розкладання третього числа 48 , отримуємо набір множників 2 , 2 , 2 , 2 , 3 і 7 . До цього набору на наступному кроці не доведеться додавати множників, тому що 7 міститься в ньому. Нарешті, до множників 2 , 2 , 2 , 2 , 3 і 7 додаємо множники 11 і 13 з розкладання числа 143 . Отримуємо добуток 2·2·2·2·3·7·11·13 , який дорівнює 48 048 .

Друге число: b=

Розділювач розрядівБез роздільника пробіл " ´

Результат:

Найбільший спільний дільник НОД( a,b)=6

Найменше загальне кратне НОК( a,b)=468

Найбільше натуральне число, на яке діляться без залишку числа a та b, називається найбільшим спільним дільником(НД) цих чисел. Позначається НОД(a,b), (a,b), gcd(a,b) або hcf(a,b).

Найменше загальне кратне(НОК) двох цілих чисел a та b є найменше натуральне число, яке ділиться на a та b без залишку. Позначається НОК(a,b), або lcm(a,b).

Цілі числа a та b називаються взаємно простимиякщо вони не мають жодних спільних дільників крім +1 і −1.

Найбільший спільний дільник

Нехай дані два позитивні числа a 1 та a 2 1). Потрібно знайти спільний дільник цих чисел, тобто. знайти таке число λ , яке ділить числа a 1 та a 2 одночасно. Опишемо алгоритм.

1) У цій статті під словом число будемо розуміти ціле число.

Нехай a 1 ≥ a 2 , і нехай

де m 1 , a 3 деякі цілі числа, a 3 <a 2 (залишок від розподілу a 1 на a 2 має бути менше a 2).

Припустимо, що λ ділить a 1 та a 2 , тоді λ ділить m 1 a 2 та λ ділить a 1 −m 1 a 2 =a 3 (Затвердження 2 статті "Дільність чисел. Ознака ділимості"). Звідси випливає, що кожен спільний дільник a 1 та a 2 є спільним дільником a 2 та a 3 . Справедливе і протилежне, якщо λ спільний дільник a 2 та a 3 , то m 1 a 2 та a 1 =m 1 a 2 +a 3 також поділяються на λ . Отже спільний дільник a 2 та a 3 є також спільний дільник a 1 та a 2 . Так як a 3 <a 2 ≤a 1 , то можна сказати, що розв'язання задачі знаходження загального дільника чисел a 1 та a 2 зведено до більш простого завдання знаходження загального дільника чисел a 2 та a 3 .

Якщо a 3 ≠0, то можна розділити a 2 на a 3 . Тоді

,

де m 1 та a 4 деякі цілі числа, ( a 4 залишок від розподілу a 2 на a 3 (a 4 <a 3)). Подібними міркуваннями ми приходимо до висновку, що спільні дільники чисел a 3 та a 4 збігаються із загальними дільниками чисел a 2 та a 3 , а також із спільними дільниками a 1 та a 2 . Так як a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... числа, що постійно убувають, і так як існує кінцева кількість цілих чисел між a 2 і 0, то на якомусь кроці n, остача від ділення a n на a n+1 дорівнюватиме нулю ( a n+2 = 0).

.

Кожен спільний дільник λ чисел a 1 та a 2 також дільник чисел a 2 та a 3 , a 3 та a 4 , .... a n та a n+1. Справедливо та зворотне, спільні дільники чисел a n та a n+1 є також дільниками чисел a n−1 та a n, ...., a 2 та a 3 , a 1 та a 2 . Але спільний дільник чисел a n та a n+1 є число a n+1, т.к. a n та a n+1 без залишку поділяються на a n+1 (згадаймо, що a n+2 = 0). Отже a n+1 є і дільником чисел a 1 та a 2 .

Зазначимо, що число a n+1 є найбільшим дільником чисел a n та a n+1 , оскільки найбільший дільник a n+1 є сам a n+1. Якщо a n+1 можна як твори цілих чисел, то ці числа також є загальними дільниками чисел a 1 та a 2 . Число a n+1 називають найбільшим спільним дільникомчисел a 1 та a 2 .

Числа a 1 та a 2 може бути як позитивними, і негативними числами. Якщо один із чисел дорівнює нулю, то найбільший загальний дільник цих чисел дорівнюватиме абсолютній величині іншого числа. Найбільшого загального дільника нульових чисел не визначено.

Вищевикладений алгоритм називається алгоритмом Евклідадля знаходження найбільшого спільного дільника двох цілих чисел.

Приклад знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел

Знайти найбільший спільний дільник двох чисел 630 та 434.

• Крок 1. Ділимо число 630 на 434. Залишок 196.
• Крок 2. Ділимо число 434 на 196. Залишок 42.
• Крок 3. Ділимо число 196 на 42. Залишок 28.
• Крок 4. Ділимо число 42 на 28. Залишок 14.
• Крок 5. Ділимо число 28 на 14. Залишок 0.

На кроці 5 залишок від розподілу дорівнює 0. Отже, найбільший загальний дільник чисел 630 і 434 дорівнює 14. Зауважимо, що числа 2 і 7 також є дільниками чисел 630 і 434.

Взаємно прості числа

Визначення 1. Нехай найбільший спільний дільник чисел a 1 та a 2 дорівнює одиниці. Тоді ці числа називаються взаємно простими числами, які не мають спільного дільника

Теорема 1. Якщо a 1 та a 2 взаємно прості числа, а λ якесь число, то будь-який спільний дільник чисел λa 1 та a 2 є також загальним дільником чисел λ і a 2 .

Доведення. Розглянемо алгоритм Евкліда знаходження найбільшого спільного дільника чисел a 1 та a 2 (див. вище).

.

З умови теореми випливає, що найбільшим спільним дільником чисел a 1 та a 2 , і отже a n та a n+1 є 1. Тобто. a n+1 =1.

Помножимо всі ці рівності на λ тоді

.

Нехай спільний дільник a 1 λ і a 2 є δ . Тоді δ входить множником у a 1 λ , m 1 a 2 λ і в a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (Див. "Дільність чисел",Твердження 2). Далі δ входить множником у a 2 λ і m 2 a 3 λ , і, отже, входить множником у a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Розмірковуючи так ми переконуємось, що δ входить множником у a n−1 λ і m n−1 a n λ , і, отже, в a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Так як a n+1 =1, то δ входить множником у λ . Отже число δ є спільним дільником чисел λ і a 2 .

Розглянемо окремі випадки теореми 1.

Слідство 1. Нехай aі cпрості числа щодо b. Тоді їхній твір acє простим числом щодо b.

Справді. З теореми 1 acі bмають тих же спільних дільників, що й cі b. Але числа cі bвзаємно прості, тобто. мають єдиний спільний дільник 1. acі bтакож мають єдиний спільний дільник 1. Отже acі bвзаємно прості.

Слідство 2. Нехай aі bвзаємно прості числа та нехай bділить ak. Тоді bділить і k.

Справді. З умови затвердження akі bмають спільний дільник b. У силу теореми 1, bмає бути спільним дільником bі k. Отже bділить k.

Наслідок 1 можна узагальнити.

Слідство 3. 1. Нехай числа a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m прості щодо числа b. Тоді a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m , добуток цих чисел простий щодо числа b.

2. Нехай маємо два ряди чисел

таких, що кожне число першого ряду просте по відношенню до кожного числа другого ряду. Тоді твір

Потрібно знайти такі числа, які поділяються на кожне із цих чисел.

Якщо число ділиться на a 1 , то воно має вигляд sa 1 , де sякесь число. Якщо qє найбільший спільний дільник чисел a 1 та a 2 , то

де s 1 - деяке ціле число. Тоді

є найменшим загальним кратним чисел a 1 та a 2 .

a 1 та a 2 взаємно прості, то найменше загальне кратне чисел a 1 та a 2:

Потрібно знайти найменше загальне кратне цих чисел.

З вищевикладеного випливає, що будь-яке кратне чисел a 1 , a 2 , a 3 має бути кратним чисел ε і a 3 і назад. Нехай найменше загальне кратне чисел ε і a 3 є ε 1 . Далі, кратне чисел a 1 , a 2 , a 3 , a 4 має бути кратним чисел ε 1 та a 4 . Нехай найменше загальне кратне чисел ε 1 та a 4 є ε 2 . Таким чином з'ясували, що всі кратні чисел a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m збігаються з кратними деякого певного числа ε n, яке називають найменшим загальним кратним даних чисел.

В окремому випадку, коли числа a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m взаємно прості, то найменше загальне кратне чисел a 1 , a 2 як було показано вище має вигляд (3). Далі, оскільки a 3 просте по відношенню до чисел a 1 , a 2 , тоді a 3 просте стосовно числа a 1 · a 2 (Наслідок 1). Значить найменше загальне кратне чисел a 1 ,a 2 ,a 3 є число a 1 · a 2 · a 3 . Розмірковуючи аналогічним чином, ми приходимо до наступних тверджень.

Твердження 1. Найменше загальне кратне взаємно простих чисел a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m дорівнює їхньому твору a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Твердження 2. Будь-яке число, яке поділяється на кожне із взаємно простих чисел a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m ділиться також на їх твір a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Онлайн калькулятор дозволяє швидко знаходити найбільший спільний дільник та найменше загальне кратне як для двох, так і для будь-якої іншої кількості чисел.

Калькулятор для знаходження НОД та НОК

Знайти НОД та НОК

Знайдено НІД та НОК: 5806

Як користуватися калькулятором

• Введіть цифри у полі для введення
• У разі введення некоректних символів, поле для введення буде підсвічене червоним.
• натисніть кнопку "Знайти НОД та НОК"

Як вводити числа

• Числа вводяться через прогалину, точку або кому
• Довжина чисел, що вводяться, не обмежена, так що знайти НОД і НОК довгих чисел не складе жодних труднощів

Що таке НОД та НОК?

Найбільший спільний дільниккількох чисел – це найбільше ціле число, на яке всі вихідні числа діляться без залишку. Найбільший спільний дільник скорочено записується як НІД.
Найменше загальне кратнекількох чисел – це найменше число, яке ділиться кожне з вихідних чисел без залишку. Найменше загальне кратне скорочено записується як НОК.

Як перевірити, чи число ділиться на інше число без залишку?

Щоб дізнатися, чи одне число ділиться на інше без залишку, можна скористатися деякими властивостями ділимості чисел. Тоді, комбінуючи їх, можна перевіряти подільність на деякі з них та їх комбінації.

Деякі ознаки ділимості чисел

1. Ознака ділимості числа на 2
Щоб визначити, чи ділиться число на два (чи є парним), достатньо подивитися на останню цифру цього числа: якщо вона дорівнює 0, 2, 4, 6 або 8, то число парне, а значить ділиться на 2.
Приклад:визначити, чи ділиться на 2 число 34 938 .
Рішення:дивимося останню цифру: 8 - отже число ділиться на два.

2. Ознака ділимості числа на 3
Число ділиться на три тоді, коли сума його цифр ділиться на три. Таким чином, щоб визначити, чи ділиться число на 3, потрібно порахувати суму цифр і перевірити, чи вона ділиться на 3. Навіть якщо сума цифр вийшла дуже великою, можна повторити цей же процес знову.
Приклад:визначити, чи ділиться число 34 938 на 3.
Рішення:рахуємо суму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 ділиться на 3, а значить і число ділиться на три.

3. Ознака ділимості числа на 5
Число ділиться на 5 тоді, коли його остання цифра дорівнює нулю чи п'яти.
Приклад:визначити, чи ділиться число 34 938 на 5.
Рішення:дивимося на останню цифру: 8 - означає число НЕ ділиться п'ять.

4. Ознака ділимості числа на 9
Ця ознака дуже схожа на ознаку ділимості на трійку: число ділиться на 9 тоді, коли його цифр ділиться на 9.
Приклад:визначити, чи ділиться число 34 938 на 9.
Рішення:вважаємо суму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 ділиться на 9, отже, і число ділиться на дев'ять.

Як знайти НОД та НОК двох чисел

Як знайти НОД двох чисел

Найбільш простим способом обчислення найбільшого загального дільника двох чисел є пошук усіх можливих дільників цих чисел та вибір найбільшого з них.

Розглянемо цей спосіб з прикладу перебування НОД(28, 36) :

1. Розкладаємо обидва числа на множники: 28 = 1 · 2 · 2 · 7, 36 = 1 · 2 · 2 · 3 · 3
2. Знаходимо спільні множники, тобто ті, які є обох чисел: 1, 2 і 2.
3. Обчислюємо добуток цих множників: 1 · 2 · 2 = 4 - це і є найбільший загальний дільник чисел 28 і 36.

Як знайти НОК двох чисел

Найбільш поширені два способи знаходження найменшого кратного двох чисел. Перший спосіб полягає в тому, що можна виписати перші кратні двох чисел, а потім вибрати серед них таке число, яке буде загальним для обох чисел і при цьому найменшим. А другий полягає у знаходженні НОД цих чисел. Розглянемо лише його.

Для обчислення НОК потрібно обчислити добуток вихідних чисел і потім розділити його на попередньо знайдений НОД. Знайдемо НОК для тих же чисел 28 та 36:

1. Знаходимо добуток чисел 28 і 36: 28 · 36 = 1008
2. НОД(28, 36), як відомо, дорівнює 4
3. НОК(28, 36) = 1008/4 = 252 .

Знаходження НОД та НОК для кількох чисел

Найбільший спільний дільник можна знаходити і для кількох чисел, а не лише двох. Для цього числа, що підлягають пошуку найбільшого спільного дільника, розкладають на прості множники, потім знаходять добуток простих множників цих чисел. Також для знаходження НОД кількох чисел можна скористатися таким співвідношенням: НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c).

Аналогічне співвідношення діє і найменшого загального кратного чисел: НОК(a, b, c) = НОК(НОК(a, b), c)

Приклад:знайти НОД та НОК для чисел 12, 32 та 36.

1. Спочатку розкладемо числа на множники: 12 = 1 · 2 · 2 · 3 , 32 = 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 , 36 = 1 · 2 · 2 · 3 · 3 ?
2. Знайдемо множники: 1, 2 і 2 .
3. Їх твір дасть НОД: 1 · 2 · 2 = 4
4. Знайдемо тепер НОК: цього знайдемо спочатку НОК(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
5. Щоб знайти НОК всіх трьох чисел, потрібно знайти НОД(96, 36): 96 = 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 , 36 = 1 · 2 · 2 · 3 · 3 , НОД = 1 · 2 · 2 · 3 = 12 .
6. НОК (12, 32, 36) = 96 · 36 / 12 = 288 .

Школярам задають чимало завдань з математики. Серед них часто зустрічаються завдання з таким формулюванням: є два значення. Як знайти найменше загальне кратне для заданих чисел? Необхідно вміти виконувати такі завдання, оскільки отримані навички застосовують для роботи з дробами за різних знаменників. У статті розберемо, як знайти НОК та основні поняття.

Перш ніж знайти відповідь на питання, як знаходити НОК, потрібно визначитися з терміном кратне. Найчастіше формулювання цього поняття звучить так: кратним деякому значенню А називають таке натуральне число, яке без залишку буде ділитися на А. Так, для 4 кратними будуть 8, 12, 16, 20 і так далі, до необхідної межі.

При цьому кількість дільників для конкретного значення може бути обмеженою, а кратних дуже багато. Також є така сама величина для натуральних значень. Це такий показник, який ділиться на них без залишку. Розібравшись із поняттям найменшого значення для певних показників, перейдемо до того, як його знаходити.

Знаходимо НОК

Найменше кратне двох чи більше показників є найменшим натуральним числом, яке повністю ділиться на всі ці числа.

Існує кілька способів знайти таке значення, Розглянемо такі способи:

1. Якщо числа невеликі, то випишіть у рядок всі, хто поділяється на нього. Продовжуйте це робити, допоки не знайдеться серед них спільне. У запису їх позначають буквою К. Наприклад, для 4 і 3 найменшим кратним є 12.
2. Якщо це великі або потрібно знайти кратне для 3 і більше значень, то слід скористатися іншою методикою, що передбачає розкладання чисел на прості множники. Спочатку розкладаєте найбільше із зазначених, потім усі інші. Кожна з них має свою кількість множників. Як приклад розкладемо 20 (2*2*5) та 50 (5*5*2). У меншого з них підкресліть множники та додайте до найбільшого. В результаті вийде 100, що і буде найменшим загальним кратним для вищеописаних чисел.
3. При знаходженні 3 чисел (16, 24 та 36) принципи такі самі, як і двох інших. Розкладемо кожне з них: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Не увійшли до розкладання найбільшого лише дві двійки з розкладання числа 16. Додаємо їх і отримуємо 144, яке є найменшим результатом для зазначених раніше чисельних значень.

Тепер ми знаємо, якою є загальна методика знаходження найменшого значення для двох, трьох і більше значень. Однак є й приватні методи, які допомагають шукати НОК, якщо попередні не допомагають.

Як знаходити НОД та НОК.

Приватні засоби знаходження

Як і для будь-якого математичного розділу, є окремі випадки знаходження НОК, які допомагають у специфічних ситуаціях:

• якщо одне з чисел ділиться на інші без залишку, то найнижче кратне цих чисел дорівнює йому (НОК 60 і 15 і 15);
• взаємно прості числа немає спільних простих дільників. Їх найменше значення дорівнює добутку цих чисел. Таким чином, для чисел 7 та 8 таким буде 56;
• це правило працює й інших випадків, включаючи спеціальні, про які можна прочитати в спеціалізованій літературі. Сюди слід віднести і випадки розкладання складених чисел, які є темою окремих статей і навіть кандидатських дисертацій.

Окремі випадки трапляються рідше, ніж стандартні приклади. Але завдяки їм можна навчитися працювати з дробами різного ступеня складності. Особливо це актуально для дробів, де є різні знаменники.

Небагато прикладів

Розберемо кілька прикладів, завдяки яким можна зрозуміти принцип знаходження найменшого кратного:

1. Знаходимо НОК (35; 40). Розкладаємо спочатку 35 = 5 * 7, потім 40 = 5 * 8. Додаємо до найменшої цифри 8 і отримуємо НОК 280.
2. НОК (45; 54). Розкладаємо кожне з них: 45 = 3 * 3 * 5 і 54 = 3 * 3 * 6. Додаємо до 45 цифру 6. Отримуємо НОК, що дорівнює 270.
3. Та й останній приклад. Є 5 і 4. Простих кратних їм немає, тому найменше загальне кратне у разі буде їх твір, рівне 20.

Завдяки прикладам можна зрозуміти, як є НОК, які є нюанси і в чому полягає сенс таких маніпуляцій.

Знаходить НОК набагато простіше, ніж здається спочатку. Для цього застосовується як просте розкладання, так і множення простих значень один на одного. Уміння працювати з даним розділом математики допомагає при подальшому вивченні математичних тем, особливо дробів різного ступеня складності.

Не забувайте періодично вирішувати приклади у різний спосіб, це розвиває логічний апарат і дозволяє запам'ятати численні терміни. Вивчайте методи знаходження такого показника і ви зможете добре працювати з рештою математичних розділів. Вдалого вивчення математики!

Відео

Це відео допоможе вам зрозуміти та запам'ятати, як знаходити найменше загальне кратне.