Основні поняття кінематики та кінематичні характеристики

Рух людини є механічним, тобто це зміна тіла чи його частин щодо інших тіл. Відносне переміщення визначає кінематика.

Кінематика – розділ механіки, в якому вивчається механічний рух, але не розглядаються причини, що викликають цей рух. Опис руху як тіла людини (його частин) у різних видах спорту, і різних спортивних снарядів є невід'ємною частиною спортивної біомеханіки і зокрема кінематики.

Який би матеріальний об'єкт чи явище ми не розглядали, виявиться, що поза простором і поза часом нічого не існує. Будь-який предмет має просторові розміри та форму, знаходиться в якомусь місці простору по відношенню до іншого предмета. Будь-який процес, в якому беруть участь матеріальні об'єкти, має в часі початок і кінець, що триває в часі, може відбуватися раніше або пізніше іншого процесу. Саме тому виникає необхідність вимірювати просторову і тимчасову протяжності.

Основні одиниці виміру кінематичних характеристик у міжнародній системі вимірів СІ.

Простір.Одну сорокамільйонну частину довжини земного меридіана, що проходить через Париж, була названа метром. Тому довжина вимірюється в метрах (м) та кратних йому одиницях виміру: кілометрах (км), сантиметрах (см) тощо.

Час- Одне з фундаментальних понять. Можна сказати, що це те, що відокремлює дві послідовні події. Один із способів виміряти час – це використовувати будь-який процес, що регулярно повторюється. Одна вісімдесяти шести тисячна частина земної доби була обрана за одиницю часу і була названа секундою (с) і кратних їй одиницях (хвилинах, годинниках і т. д.).

У спорті використовуються спеціальні часові характеристики:

Момент часу(t) - це тимчасовий захід положення матеріальної точки, ланок тіла або системи тіл. Моментами часу позначають початок і закінчення руху або якоїсь його частини або фази.

Тривалість руху(∆t) – це його тимчасовий захід, який вимірюється різницею моментів закінчення та початку руху∆t = tкон. - tпоч.

Темп руху(N) - це тимчасова міра повторності рухів, що повторюються в одиницю часу. N = 1/∆t; (1/c) або (цикл/c).

Ритм рухів – це тимчасова міра співвідношення частин (фаз) рухів. Він визначається співвідношенням тривалості частин руху.

Положення тіла в просторі визначають відносно деякої системи відліку, яка включає в себе тіло відліку (тобто щодо чого розглядається рух) і систему координат, необхідну для опису на якісному рівні положення тіла в тій чи іншій частині простору.

З тілом відліку пов'язують початок та напрямок виміру. Наприклад, у низці змагань початком координат можна вибрати положення старту. Від нього вже розраховують різні змагальні дистанції у всіх циклічних видах спорту. Тим самим у обраній системі координат «старт – фініш» визначають відстань у просторі, на яку переміститься спортсмен під час руху. Будь-яке проміжне положення тіла спортсмена під час руху характеризується поточною координатою всередині обраного дистанційного інтервалу.

Для точного визначення спортивного результату правилами змагань передбачається за якою точкою (пункт відліку) ведеться відлік: по носку ковзана ковзаняра, по точці, що виступає грудної клітки бігуна-спринтера, або по задньому краю сліду приземляється стрибуна в довжину.

У деяких випадках для точного опису руху законів біомеханіки запроваджується поняття матеріальна точка.

Матеріальна точка – це тіло, розмірами та внутрішньою структурою якого в даних умовах можна знехтувати.

Рух тіл за характером та інтенсивністю можуть бути різними. Щоб охарактеризувати ці відмінності, у кінематиці вводять ряд термінів, наведених нижче.

Траєкторія – лінія, що описується в просторі точкою тіла, що рухається. При біомеханічному аналізі рухів передусім розглядають траєкторії рухів характерних точок людини. Як правило, такими точками є суглоби тіла. По виду траєкторії рухів ділять на прямолінійні (пряма лінія) і криволінійні (будь-яка лінія, відмінна від прямої).

Переміщення – це векторна різниця кінцевого та початкового положення тіла. Отже, рух характеризує остаточний результат руху.

Шлях – це довжина ділянки траєкторії, пройденої тілом або точкою тіла за вибраний проміжок часу.

КІНЕМАТИКА ТОЧКИ

Введення у кінематику

Кінематикоюназивають розділ теоретичної механіки, В якому вивчається рух матеріальних тіл з геометричної точки зору незалежно від прикладених сил.

Положення тіла, що рухається в просторі завжди визначається по відношенню до будь-якого іншого незмінного тіла, званого тілом відліку. Система координат, незмінно пов'язана з тілом відліку, називається системою відліку. У механіці Ньютона час вважається абсолютним і не пов'язаним з матерією, що рухається.Відповідно до цього воно протікає однаково у всіх системах відліку незалежно від їхнього руху. Основною одиницею виміру часу є секунда (с).

Якщо положення тіла по відношенню до обраної системи відліку з часом не змінюється, то кажуть, що тілощодо даної системи відліку перебуває у спокої. Якщо ж тіло змінює своє положення щодо обраної системи відліку, то кажуть, що воно рухається стосовно цієї системи. Тіло може бути в стані спокою по відношенню до однієї системи відліку, але рухатися (і до того ж зовсім по-різному) По відношенню до інших систем відліку. Наприклад, пасажир, який нерухомо сидить на лаві поїзда, що рухається, спочиває щодо системи відліку, пов'язаної з вагоном, але рухається по відношенню до системи відліку, пов'язаної з Землею. Точка, що лежить на поверхні катання колеса, рухається по відношенню до системи відліку, пов'язаної з вагоном, по колу, а по відношенню до системи відліку, пов'язаної із Землею, по циклоїді; та ж точка лежить по відношенню до системи координат, пов'язаної з колісною парою.

Таким чином, рух або спокій тіла можуть розглядатися лише стосовно будь-якої обраної системи відліку. Задати рух тіла щодо будь-якої системи відліку -означає дати функціональні залежності, за допомогою яких можна визначити положення тіла у будь-який момент часу щодо цієї системи.Різні точки одного й того тіла по відношенню до обраної системі відліку рухаються по-різному. Наприклад, по відношенню до системи, пов'язаної із Землею, точка поверхні катання колеса рухається циклоїдою, а центр колеса - прямою. Тому вивчення кінематики починають із кінематики точки.

§ 2. Способи завдання руху точки

Рух точки може бути заданий трьома способами:природним, векторним та координатним.

При природному способізавдання руху дається траєкторія, т. е. лінія, якою рухається точка (рис.2.1). На цій траєкторії вибирається деяка точка , яка приймається за початок відліку. Вибираються позитивне та негативне напрями відліку дугової координати, що визначає положення точки на траєкторії. Під час руху точки відстань змінюватиметься. Тому, щоб визначити положення точки в будь-який момент часу, достатньо встановити дугову координату як функцію часу:

Ця рівність називається рівнянням руху точки по даній траєкторії .

Отже, рух точки в даному випадку визначається сукупністю наступних даних: траєкторії точки, положення початку відліку дугової координати, позитивного та негативного напрямів відліку та функції .

При векторному способі завдання руху точки положення точки визначається величиною і напрямом радіуса-вектора, проведеного з нерухомого центру дану точку (рис. 2.2). Під час руху точки її радіус-вектор змінюється за величиною та напрямом. Тому, щоб визначити положення точки у будь-який момент часу, достатньо задати її радіус-вектор як функцію часу:

Ця рівність називається векторним рівнянням руху точки .

При координатному способі Завдання руху положення точки по відношенню до обраної системи відліку визначається за допомогою прямокутної системи декартових координат (рис. 2.3). При русі точки її координати змінюються з часом. Тому, щоб визначити положення точки у будь-який момент часу, достатньо задати координати , , як функції часу:

Ці рівності називаються рівняннями руху точки у прямокутних декартових координатах. . Рух точки у площині визначається двома рівняннями системи (2.3), прямолінійний рух – одним.

Між трьома описаними способами завдання руху існує взаємна зв'язок, що дозволяє від способу завдання руху перейти до іншого. У цьому легко переконатися, наприклад, при розгляді переходу від координатного способу завдання руху до векторному.

Припустимо, що рух точки задано у вигляді рівнянь (2.3). Маючи на увазі, що

можна записати

І це і є рівняння виду (2.2).

Завдання 2.1. Знайти рівняння руху та траєкторію середньої точки шатуна, а також рівняння руху повзуна кривошипно-повзунного механізму (рис. 2.4), якщо ; .

Рішення.Положення точки визначається двома координатами та . З рис. 2.4 видно, що

, .

Тоді з і :

; ; .

Підставляючи значення , і , отримуємо рівняння руху точки:

; .

Щоб знайти рівняння траєкторії точки у явній формі, треба виключити з рівнянь руху час . З цією метою проведемо необхідні перетворення в отриманих вище рівняннях руху:

; .

Зводячи в квадрат і складаючи ліві та праві частини цих рівнянь, отримаємо рівняння траєкторії у вигляді

.

Отже, траєкторія точки – еліпс.

Повзун рухається прямолінійно. Координату , що визначає положення точки, можна записати у вигляді

.

Швидкість та прискорення

Швидкість точки

У попередній статті рух тіла або точки визначено як зміну положення у просторі з часом. Для того щоб повніше охарактеризувати якісні та кількісні сторони руху введені поняття швидкості та прискорення.

Швидкість – це кінематична міра руху точки, що характеризує швидкість зміни її становища у просторі.
Швидкість є векторною величиною, т. е. вона характеризується як модулем (скалярної складової), а й напрямом у просторі.

Як відомо з фізики, при рівномірному русі швидкість може бути визначена довжиною шляху, пройденого за одиницю часу: v = s/t = const (передбачається, що початок відліку шляху та часу збігаються).
При прямолінійному русі швидкість постійна і з модулю, і за напрямом, та її вектор збігається з траєкторією.

Одиниця швидкостів системі СІвизначається співвідношенням довжина/час, тобто. м/с .

Очевидно, що при криволінійному русі швидкість точки змінюватиметься у напрямку.
Для того, щоб встановити напрямок вектора швидкості в кожний момент часу при криволінійному русі, розіб'ємо траєкторію на нескінченно малі ділянки шляху, які можна вважати (внаслідок їх малості) прямолінійними. Тоді на кожній ділянці умовна швидкість v п такого прямолінійного руху буде спрямована по хорді, а хорда, у свою чергу, при нескінченному зменшенні довжини дуги ( Δs прагне до нуля), співпадатиме з дотичною до цієї дуги.
З цього випливає, що при криволінійному русі вектор швидкості у кожний момент часу збігається з дотичною траєкторією. (Рис. 1а). Прямолінійний рух можна уявити, як окремий випадок криволінійного руху по дузі, радіус якої прагне нескінченності. (Траєкторія збігається з дотичною).

При нерівномірному русі точки модуль її швидкості з часом змінюється.
Уявімо точку, рух якої задано природним способомрівнянням s = f(t) .

Якщо за невеликий проміжок часу Δt точка пройшла шлях Δs , то її середня швидкість дорівнює:

vср = Δs/Δt.

Середня швидкість не дає уявлення про справжню швидкість у кожний момент часу (справжню швидкість інакше називають миттєвою). Очевидно, що чим менше проміжокчасу, протягом якого визначається середня швидкість, тим ближче її значення буде до миттєвої швидкості.

Справжня (миттєва) швидкість є межа, до якої прагне середня швидкість при Δt, що прагне нуля:

v = lim v ср при t→0 або v = lim (Δs/Δt) = ds/dt.

Таким чином, числове значення істинної швидкості дорівнює v = ds/dt .
Справжня (миттєва) швидкість за будь-якого руху точки дорівнює першої похідної координати (тобто відстані від початку відліку переміщення) за часом.

При Δt що прагне до нуля, Δs теж прагне нуля, і, як ми вже з'ясували, вектор швидкості буде спрямований по дотичній (тобто збігається з вектором істинної швидкості v ). З цього випливає, що межа вектора умовної швидкості v п , рівний межі відношення вектора переміщення точки до нескінченно малого проміжку часу, дорівнює вектору істинної швидкості точки.

Рис.1

Розглянемо приклад. Якщо диск, не обертаючись, може ковзати уздовж нерухомої в даній системі відліку осі (рис.1, а), то в цій системі відліку він, очевидно, має тільки один ступінь свободи - положення диска однозначно визначається, скажімо, координатою x його центру, що відраховується вздовж осі. Але якщо диск, крім того, може ще й обертатись (рис.1, б), то він набуває ще одного ступеня свободи - до координати xдодається кут повороту диска φ навколо осі. Якщо вісь із диском затиснута у рамці, яка може повертатися навколо вертикальної осі (рис.1, в), то число ступенів свободи стає рівним трьом – до xі φ додається кут повороту рамки ϕ .

Вільна матеріальна точка у просторі має три ступені свободи: наприклад декартові координати x, yі z. Координати точки можуть визначатися також у циліндричній ( r, 𝜑, z) та сферичної ( r, 𝜑, 𝜙) системах відліку, але число параметрів, що однозначно визначають положення точки в просторі завжди три.

Матеріальна точка на площині має два ступені свободи. Якщо у площині вибрати систему координат xОy,то координати xі yвизначають положення точки на площині, акоординату zтотожно дорівнює нулю.

Вільна матеріальна точка на поверхні будь-якого виду має два ступені свободи. Наприклад: положення точки на поверхні Землі визначається двома параметрами: широтою та довготою.

Матеріальна точка на кривій будь-якого виду має один ступінь свободи. Параметром, що визначає положення точки на кривій, може бути, наприклад, відстань уздовж кривої від початку відліку.

Розглянемо дві матеріальні точки у просторі, з'єднані жорстким стрижнем довжини l(Рис.2). Положення кожної точки визначається трьома параметрами, але ними накладено зв'язок.

Рис.2

Рівняння l 2 =(x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2 є рівнянням зв'язку. З цього рівняння будь-яка одна координата може бути виражена через решту п'яти координат (п'ять незалежних параметрів). Тому ці дві точки мають (2∙3-1=5) п'ять ступенів свободи.

Розглянемо три матеріальні точки у просторі, що не лежать на одній прямій, з'єднані трьома жорсткими стрижнями. Число ступенів свободи цих точок дорівнює (3∙3-3=6) шести.

Вільне тверде тіло має 6 ступенів свободи. Справді, положення тіла у просторі щодо будь-якої системи відліку, визначається завданням трьох його точок, які лежать однією прямий, і відстані між точками в твердому тілі залишаються незмінними за будь-яких його рухах. Відповідно до вище сказаного, число ступенів свободи має дорівнювати шести.

Поступальний рух

У кінематиці, як і в статистиці, розглядатимемо всі тверді тіла як абсолютно тверді.

Абсолютно твердим тіломназивається матеріальне тіло, геометрична формаякого і розміри не змінюються за жодних механічних впливів з боку інших тіл, а відстань між будь-якими двома його точками залишається постійною.

Кінематика твердого тіла, як і динаміка твердого тіла, одна із найважчих розділів курсу теоретичної механіки.

Завдання кінематики твердого тіла розпадаються на дві частини:

1) завдання руху та визначення кінематичних характеристик руху тіла в цілому;

2) визначення кінематичних характеристик руху окремих точок тіла.

Існує п'ять видів руху твердого тіла:

1) поступальний рух;

2) обертання довкола нерухомої осі;

3) плоский рух;

4) обертання навколо нерухомої точки;

5) вільний рух.

Перші два називаються найпростішими рухами твердого тіла.

Почнемо із розгляду поступального руху твердого тіла.

Поступальнимназивається такий рух твердого тіла, при якому будь-яка пряма, проведена в цьому тілі, переміщається, залишаючись паралельною своєму початковому напрямку.

Поступальний рух не слід змішувати з прямолінійним. При поступальному русі тіла траєкторії його точок може бути будь-якими кривими лініями. Наведемо приклади.

1. Кузов автомобіля на прямому горизонтальному ділянці дороги рухається поступально. У цьому траєкторії його точок будуть прямими лініями.

2. Спарник АВ(рис.3) при обертанні кривошипів O 1 A і O 2 B також рухається поступально (будь-яка проведена в ньому пряма залишається паралельною її початковому напрямку). Крапки спарника рухаються при цьому по колам.

Рис.3

Поступально рухаються педалі велосипеда щодо його рами під час руху, поршні у циліндрах двигуна внутрішнього згоряння щодо циліндрів, кабіни колеса огляду у парках (рис.4) щодо Землі.

Рис.4

Властивості поступального руху визначаються наступною теоремою: при поступальному русі всі точки тіла описують однакові (при накладенні збігаються) траєкторії і мають у кожний момент часу однакові за модулем і напрямом швидкості та прискорення.

Для доказу розглянемо тверде тіло, яке здійснює поступальний рух щодо системи відліку Oxyz. Візьмемо у тілі дві довільні точки Аі У, положення яких у момент часу tвизначаються радіусами-векторами та (рис.5).

Рис.5

Проведемо вектор, що з'єднує ці точки.

При цьому довжина АВпостійна, як відстань між точками твердого тіла, а напрямок АВзалишається незмінним, оскільки тіло рухається поступально. Таким чином, вектор АВу весь час руху тіла залишається постійним ( AB= Const). Внаслідок цього, траєкторія точки виходить з траєкторії точки А паралельним зміщенням всіх її точок на постійний вектор . Отже, траєкторії точок Аі Убудуть дійсно однаковими (при накладенні кривими).

Для знаходження швидкостей точок Аі Упродиференціюємо обидві частини рівності за часом. Отримаємо

Але похідна від постійного вектора АВдорівнює нулю. Похідні від векторів і за часом дають швидкості точок. Аі У. В результаті знаходимо, що

тобто. що швидкості точок Аі Утіла у будь-який момент часу однакові і за модулем, і за напрямом. Беручи від обох частин здобутої рівності похідні за часом:

Отже, прискорення точок Аі Утіла в будь-який момент часу теж однакові за модулем та напрямом.

Оскільки точки Аі Убули обрані довільно, то зі знайдених результатів випливає, що всі точки тіла їх траєкторії, а також швидкості і прискорення в будь-який момент часу будуть однакові. Отже, теорема доведена.

З теореми випливає, що поступальний рух твердого тіла визначається рухом якоїсь однієї з його точки. Отже, вивчення поступального руху тіла зводиться до завдання кінематики точки, нами вже розглянутої.

При поступальному русі загальну всім точок тіла швидкість називають швидкістю поступального руху тіла, а прискорення - прискоренням поступального руху тіла. Вектори можна зображати прикладеними в будь-якій точці тіла.

Зауважимо, що поняття про швидкість та прискорення тіла мають сенс лише за поступального руху. В інших випадках точки тіла, як ми побачимо, рухаються з різними швидкостями і прискореннями, і терміни<<скорость тела>> або<<ускорение тела>> цих рухів втрачають сенс.

Рис.6

За час ∆t тіло, рухаючись з точки А до точки В, здійснює переміщення , що дорівнює хорді АВ, і проходить шлях, що дорівнює довжині дуги l.

Радіус-вектор повертається на кут ∆φ. Кут виражають у радіанах.

Швидкість руху тіла по траєкторії (кола) спрямована по дотичній до траєкторії. Вона називається лінійною швидкістю. Модуль лінійної швидкості дорівнює відношенню довжини дуги кола lдо проміжку часу ∆t, за який ця дуга пройдено:

Скалярна фізична величина, чисельно рівна відношенню кута повороту радіуса-вектора до проміжку часу, за який цей поворот стався, називається кутовою швидкістю:

У СІ одиницею кутової швидкості є радіан на секунду.

При рівномірному русі коло кутова швидкість і модуль лінійної швидкості - величини постійні: ω=const; v = const.

Положення тіла можна визначити, якщо відомий модуль радіуса вектора і кут φ, який він складає з віссю Ох (кутова координата). Якщо початковий момент часу t 0 =0 кутова координата дорівнює φ 0 , а момент часу t вона дорівнює φ, то кут повороту ∆φ радіуса-вектора за час ∆t=t-t 0 дорівнює ∆φ=φ-φ 0 . Тоді з останньої формули можна отримати кінематичне рівняння руху матеріальної точки по колу:

Воно дозволяє визначити положення тіла у будь-який момент часу t.

Враховуючи, що , отримуємо:

Формула зв'язку між лінійною та кутовою швидкістю.

Проміжок часу Т, протягом якого тіло робить один повний оборот, називається періодом обертання:

Де N – число оборотів, скоєних тілом під час Δt.

За час ∆t=Т тіло проходить шлях l=2πR. Отже,

При ∆t→0 кут ∆φ→0 і, отже, β→90°. Перпендикуляром до дотичної до кола є радіус. Отже, направлено по радіусу до центру і тому називається доцентровим прискоренням:

Модуль, напрямок безперервно змінюється (рис. 8). Тому цей рух не є рівноприскореним.

Рис.8

Рис.9

Тоді положення тіла в будь-який момент часу однозначно визначиться узятим з відповідним знаком кутом між цими напівплощинами, який назвемо кутом повороту тіла. Будемо вважати кут φ позитивним, якщо він відкладений від нерухомої площини у напрямку проти ходу годинникової стрілки (для спостерігача, що дивиться з позитивного кінця осі Az), і негативним, якщо протягом годинної стрілки. Вимірювати кут φ завжди в радіанах. Щоб знати положення тіла у будь-який момент часу, треба знати залежність кута від часу t, тобто.

Рівняння виражає закон обертального руху твердого тіла довкола нерухомої осі.

При обертальному русі абсолютно твердого тіла навколо нерухомої осі кути повороту радіуса-вектора різних точоктіла однакові.

Основними кінематичними характеристиками обертального руху твердого тіла є його кутова швидкість і кутове прискорення ε.

Якщо за проміжок часу ∆t=t 1 -t тіло здійснює поворот на кут ∆φ=φ 1 -φ, то чисельно середньою кутовою швидкістю тіла за цей проміжок часу буде . У межі при ∆t→0 знайдемо, що

Таким чином, числове значення кутової швидкості тіла в даний момент часу дорівнює першій похідній від кута повороту за часом. Знак визначає напрямок обертання тіла. Легко бачити, що коли обертання відбувається проти ходу годинникової стрілки, ω>0, а коли по ходу годинникової стрілки, то ω<0.

Розмірність кутової швидкості 1/Т (тобто 1/час); як одиниця виміру зазвичай застосовують рад/с або, що теж, 1/с (з -1), так як радіан - величина безрозмірна.

Кутову швидкість тіла можна зобразити у вигляді вектора, модуль якого дорівнює | | і який спрямований вздовж осі обертання тіла в той бік, звідки обертання видно тим, що відбувається проти ходу годинникової стрілки (рис.10). Такий вектор визначає одночасно і модуль кутової швидкості, і вісь обертання, і напрямок обертання навколо цієї осі.

Рис.10

Кут повороту та кутова швидкість характеризують рух усього абсолютно твердого тіла загалом. Лінійна швидкість будь-якої точки абсолютно твердого тіла пропорційна відстані точки від осі обертання:

При рівномірному обертанні абсолютно твердого тіла кути повороту тіла за будь-які рівні проміжки часу однакові, тангенціальні прискорення у різних точок тіла відсутні, а прискорення нормальної точки тіла залежить від її відстані до осі обертання:

Вектор спрямований на радіус траєкторії точки до осі обертання.

Кутове прискорення характеризує зміну з часом кутової швидкості тіла. Якщо за проміжок часу ∆t=t 1 -t кутова швидкість тіла змінюється на величину ∆ω=ω 1 -ω, числове значення середнього кутового прискорення тіла за цей проміжок часу буде . У межі при ∆t→0 знайдемо,

Таким чином, числове значення кутового прискорення, тіла в даний момент часу дорівнює першій похідній від кутової швидкості або другий похідний від кута повороту тіла за часом.

Розмірність кутового прискорення 1/T 2 (1/час 2); як одиниця виміру зазвичай застосовується рад/с 2 або, що те саме, 1/с 2 (с-2).

Якщо модуль кутової швидкості з часом зростає, обертання тіла називається прискореним, а якщо зменшується - уповільненим. Легко бачити, що обертання буде прискореним, коли величини ω і εмають однакові знаки, і уповільненим, коли різні.

Кутове прискорення тіла (за аналогією з кутовою швидкістю) можна зобразити у вигляді вектора ε, спрямованого вздовж осі обертання. При цьому

Напрямок ε збігається із напрямком ω, коли тіло обертається прискорено і (рис.10,а), протилежно ω при уповільненому обертанні (рис.10,б).

Рис.11 Мал. 12

2. Прискорення точок тіла. Для знаходження прискорення точки Мскористаємося формулами

У разі ρ=h. Підставляючи значення vу висловлювання a τ і a n , отримаємо:

або остаточно:

Дотична складова прискорення a τ направлена ​​по дотичній до траєкторії (у бік руху при прискореному обертанні тіла та у зворотний бік при уповільненому); нормальна складова a n завжди спрямована по радіусу МСдо осі обертання (рис.12). Повне прискорення точки Мбуде

Відхилення вектора повного прискорення від радіусу описуваної точкою кола визначається кутом μ, який обчислюється за формулою

Підставляючи сюди значення a і a n, отримуємо

Оскільки ? . Поле прискорень точок твердого тіла, що обертається, має вигляд, показаний на рис.14.

Рис.13 Рис.14

3. Вектори швидкості та прискорення точок тіла. Щоб знайти вирази безпосередньо для векторів v та a, проведемо з довільної точки Проосі АВрадіус-вектор точки М(Рис. 13). Тоді h=r∙sinα та за формулою

Таким чином, мо

Квиток 1.

Кінематіка. Механічне рух. Матеріальна точка та абсолютно тверде тіло. Кінематика матеріальної точки та поступального руху твердого тіла. Траєкторія, шлях, рух, швидкість, прискорення.

Білет 2.

Кінематика матеріальної точки. Швидкість, прискорення. Тангенціальне, нормальне та повне прискорення.

Кінематика- Розділ фізики, що вивчає рух тіл, не цікавлячись причинами, що зумовлюють цей рух.

Механі́ чеський рух́ ня -це зміна положення тіла у просторі щодо інших тіл із плином часу. (механічний рух характеризується трьома фізичними величинами: переміщенням, швидкістю та прискоренням)

Характеристики механічного рухупов'язані між собою основними кінематичними рівняннями:

Матеріальна точка- Тіло, розмірами якого, в умовах даного завдання, можна принебречь.

Абсолютно тверде тіло- Тіло, деформацією якого можна знехтувати, в умовах даного завдання.

Кінематика матеріальної точки та поступального руху твердого тіла: ?

рух у прямокутній, криволінійній системі координат

як записати в різних системахкоординат через радіус вектор

Траєкторія -деяка лінія, що описується рух мат. точки.

Шлях -скалярна величина, що характеризує довжину траєкторії руху тіла.

Переміщення -нравленный відрізок прямий, проведений з початкового положення точки, що рухається в її кінцеве положення (векторна величина)

Швидкість:

Векторна величина, що характеризує швидкість переміщення частки траєкторії, в який рухається ця частка в кожен момент часу.

Похідна радіус вектор частки за часом.

Похідна від руху по часу.

Прискорення:

Векторний розмір, що характеризує швидкість зміни вектора швидкості.

Похідна від швидкості за часом.

Тангенціальне прискорення - спрямоване по дотичній до траєкторії. Є складовою прискорення вектора a. Характеризує зміну швидкості за модулем.

Центрошвидке або Нормальне прискорення - виникає при русі точки по колу. Є складовою прискорення вектора a. Вектор нормального прискорення завжди спрямований до центру кола.

Повне прискорення - це корінь квадатний із суми квадратів нормального та тангенцального прискорень.

Квиток 3

Кінематика обертального руху матеріальної точки. Кутові величини. Зв'язок між кутовими та лінійними величинами.

Кінематика обертального руху матеріальної точки.

Обертальний рух - рух, при якому всі точки тіла описують кола, центри яких лежать на одній прямій, званій віссю обертання.

Вісь обертання проходить через центр тіла, через тіло, а може знаходиться поза ним.

Обертальний рух матеріальної точки - рух матеріальної точки по колу.

Основні характеристики кінематики обертального руху: кутова швидкість, кутове прискорення.

Кутове переміщення - векторна величина, що характеризує зміну кутової координати у процесі її руху.

Кутова швидкість - відношення кута повороту радіус-вектора точки до проміжку часу, за який відбувся цей поворот. (Напрямок вздовж осі навколо якої обертається тіло)

Частота обертання - фізична величина, що вимірюється числом повних оборотів, що здійснюються точкою в одиницю часу при рівномірному русі в одному напрямку (n)

Період обертання - проміжок часу, протягом якого точка здійснює повний обіг,

рухаючись по колу (T)

N – число оборотів, скоєних тілом під час t.

Кутове прискорення - величина, що характеризує зміну вектора кутової швидкості з часом.

Зв'язок між кутовими та лінійними величинами:

Зв'язок між лінійною та кутовою швидкістю.

Зв'язок між тангенціальним та кутовим прискоренням.

в'язь між нормальним (відцентровим) прискоренням, кутовою швидкістю та лінійною швидкістю.

Квиток 4.

Динаміка матеріальної точки. Класична механіка, межі її застосування. Закони Ньютона. Інерційні системи відліку.

Динаміка матеріальної точки:

Закони Ньютона

Закони збереження (імпульсу, моменту імпульсу, енергії)

Класична механіка - розділ фізики, що вивчає закони зміни положень тіл і причини, що викликають, заснований на законах Ньютона і принципі відносності Галілея.

Класична механіка поділяється на:

статику (яка розглядає рівновагу тіл)

кінематику (яка вивчає геометричну властивість руху без розгляду його причин)

динаміку (яка розглядає рух тіл).

Межі застосування класичної механіки:

При швидкостях, близьких до швидкості світла, класична механіка перестає працювати

Властивості мікросвіту (атомів та субатомних частинок) не можуть бути зрозумілі в рамках класичної механіки

Класична механіка стає неефективною при розгляді систем з дуже великою кількістю часток

Перший закон Ньютона (закон інерції):

Існують такі системи відліку, щодо яких матеріальна точка за відсутності зовнішніх впливів перебуває у стані спокою чи рухається рівномірно та прямолінійно.

Другий закон Ньютона:

В інерційній системі відліку добуток маси тіла на його прискорення дорівнює діючій на тіло силі.

Третій закон Ньютона:

Сили, з якими діють один на одного тіла, що взаємодіють, рівні за модулем і протилежні за напрямом.

Система відліку - сукупність неподвижних щодо одне одного тіл, стосовно яких розглядається руху (включає у собі тіло відліку, систему уоординат, годинник)

Інерційна система відліку - система відліку, в якій справедливий закон інерції: будь-яке тіло, на яке не діють зовнішні сили або дія цих сил компенсується, перебуває у стані спокою або рівномірного прямолінійного руху.

Інертність - властивість властиве тілам()для зміни швидкості тіла потрібен час.

Маса – кількісна характеристика інертності.

Квиток 5.

Цент мас (інерції) тіла. Імпульс матеріальної точки та твердого тіла. Закон збереження імпульсу. Рух центру мас.

Центр мас системи матеріальних точок - точка, положення якої характеризує розподіл маси системи в просторі.

розподіл мас у системі координат.

Положення центру мас тіла залежить від цього, як розподіляється по об'єму тіла його маса.

Рух центру мас визначається лише зовнішніми силами, що діють на систему. Внутрішня сила системи не впливає на положення центру мас.

становище центру мас.

Центр мас замкнутої системи рухається прямолінійно і рівномірно або залишається нерухомим.

Імпульс матеріальної точки. рівна добуткумаси точки на її швидкість.

Імпульс тіла дорівнює сумі імпульсів окремих елементів.

Зміна імпульсу мат. точки пропорційний прикладеній силі і має такий самий напрямок, як і сила.

Імпульс системи мат. точок можуть змінити тільки зовнішні сили, причому зміна імпульсу системи пропорційно сумі зовнішніх сил і збігається з нею за напрямком.

Закон збереження імпульсу:

якщо сума зовнішніх сил, які діють тіло системи, дорівнює нулю, то імпульс системи зберігається.

Квиток 6.

Робота сил. Енергія. Потужність. Кінетична та потенційна енергія.Сили у природі.

Робота - фізична величина, що характеризує результат дії сили і численно дорівнює скалярному виробленню вектора сили та вектора переміщення, зовсім під дією цієї сили.

A = F · S · cosа (а-кут між напрямом сили та напрямом переміщення)

Робота не відбувається якщо:

Сила діє, а тіло не переміщається

Тіло переміщається, а сила дорівнює нулю

Кут м/д векторами сили і переміщення дорівнює 90 градусів

Потужність-фізична величина, що характеризує швидкість виконання роботи і численно дорівнює відношенню роботи до інтервалу, за який робота виконана.

Середня потужність; миттєва потужність.

Потужність показує, яка робота виконана за одиницю часу.

Енергією - це скалярна фізична величина, що є єдиною мірою різних форм руху матерії та мірою переходу руху матерії з одних форм до інших.

Механічна енергія - це величина, що характеризує рух і взаємодію тіл і є функцією швидкостей і взаємного розташування тіл. Вона дорівнює сумі кінетичної та потенційної енергії.

Фізична величина, що дорівнює половині добутку маси тіла на квадрат його швидкості, називається кінетичною енергією тіла.

Кінетична енергія-енергія руху.

Фізичну величину, що дорівнює добутку маси тіла на модуль прискорення вільного падіння і на висоту, на яку піднято тіло над поверхнею Землі, називають потенційною енергією взаємодії тіла та Землі.

Потенційна енергія – енергія взаємодії.

А = - (Ер2 - Ер1).

1.Сила тертя.

Тертя – одне із видів взаємодії тел. Воно виникає при зіткненні двох тіл. Вони виникають внаслідок взаємодії між атомами і молекулами дотичних тіл. спрямована в протилежний бік. Якщо зовнішня сила більша (Fтр)max, виникає тертя ковзання.)

μ називають коефіцієнтом тертя ковзання.

2.Сила пружності. Закон Гука.

При деформації тіла виникає сила, яка прагне відновити колишні розміри та форму тіла – сила пружності.

(пропорційна деформації тіла і спрямована у бік, протилежний до напрямку переміщення частинок тіла при деформації)

Fпр = -kx.

Коефіцієнт k називається жорсткістю тіла.

Деформація розтягування (x > 0) та стиснення (x< 0).

Закон Гука: відносна деформація ε пропорційна напрузі σ де Е- модуль Юнга.

3.Сила реакції опори.

Пружну силу, що діє на тіло з боку опори (або підвісу), називають силою реакції опори. При зіткненні тіл сила реакції опори спрямована перпендикулярно дотику поверхні.

Вага тіла називають силу, з якою тіло внаслідок його тяжіння до Землі діє на опору або підвіс.

4.Сила тяжкості. Одним із проявів сили всесвітнього тяжіння є сила тяжіння.

5.Гравітаційна сила (сила тяжіння)

всі тіла притягуються один до одного з силою, прямо пропорційною їх масам і обернено пропорційною квадрату відстані між ними.

Квиток 7.

Консервативні та дисипативні сили. Закон збереження механічсекой енергії. Умови рівноваги механічної системи.

Консервативні сили (потенційні сили) - сили, робота яких не залежить від форми траєкторії (залежить тільки від початкової та кінцевої точки докладання сил)

Консервативні сили – такі сили, робота з будь-якої замкнутої траєкторії яких дорівнює 0.

Робота консервативних сил за довільним замкнутим контуром дорівнює 0;

Силу , що діє на матеріальну точку, називають консервативною або потенційною, якщо робота , що здійснюється цією силою при переміщенні цієї точки з довільного положення 1 в інше 2, не залежить від того, якою траєкторією це переміщення відбулося:

Зміна напрямку руху точки вздовж траєкторії на протилежне викликає зміну знака консервативної сили, оскільки величина змінює знак. Тому при переміщенні матеріальної точки вздовж замкнутої траєкторії, наприклад, робота консервативної сили дорівнює нулю.

Прикладом консервативних сил можуть бути сили всесвітнього тяжіння, сили пружності, сили електростатичної взаємодії заряджених тіл. Поле, робота сил якого по переміщенню матеріальної точки вздовж довільної замкнутої траєкторії дорівнює нулю, називається потенційним.

Дисипативні сили - сили, при дії яких на механічну систему, що рухається, її повна механічна енергія зменшується, переходячи в інші, немеханічні форми енергії, наприклад в теплоту.

приклад дисипативних сил: сила в'язкого чи сухого тертя.

Закон збереження механічної енергії:

Сума кінетичної та потенційної енергії тіл, що становлять замкнуту систему та взаємодіють між собою за допомогою сил тяжіння та сил пружності, залишається незмінною.

Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2

Замкнена система-це система, на яку не діють зовнішні сили або з дія скомпенсовано.

Умови рівноваги механічної системи:

Статика - розділ механіки, що вивчає умови рівноваги тел.

Щоб тіло, що не обертається, знаходилося в рівновазі, необхідно, щоб рівнодіюча всіх сил, прикладених до тіла, дорівнювала нулю.

Якщо тіло може обертатися щодо деякої осі, то для його рівноваги недостатньо рівності нулю рівнодіє всіх сил.

Правило моментів: тіло, що має нерухому вісь обертання, знаходиться в рівновазі, якщо сума алгебри всіх прикладених до тіла сил щодо цієї осі дорівнює нулю: M1 + M2 + ... = 0.

Довжина перпендикуляра, проведеного від осі обертання лінії дії сили, називається плечем сили.

Добуток модуля сили F на плече d називається моментом сили M. Позитивними вважаються моменти тих сил, які прагнуть повернути тіло проти годинникової стрілки.

Квиток 8.

Кінематика обертального руху твердого тіла. Кутове рух, кутова швидкість, кутове прискорення. Зв'язок між лінійними та кутовими характеристиками. Кінетична енергія обертального руху.

Для кінематичного опису обертання твердого тіла зручно використовувати кутові величини: кутове переміщення Δφ, кутову швидкість ω

У цих формулах кути виражаються у радіанах. При обертанні твердого тіла щодо нерухомої осі всі точки рухаються з однаковими кутовими швидкостями і однаковими кутовими прискореннями. За позитивний напрямок обертання зазвичай приймають напрямок проти годинникової стрілки.

Обертальний рух твердого тіла:

1) навколо осі - рух, у якому всі точки тіла, що лежать осі обертання, нерухомі, інші точки тіла описують кола з центрами на осі;

2) навколо точки - рух тіла, у якому одна його точка Про нерухома, проте інші рухаються поверхнями сфер із центром у точці Про.

Кінетична енергія обертального руху.

Кінетична енергія обертального руху – енергія тіла, пов'язана з його обертанням.

Розіб'ємо тіло, що обертається, на малі елементи Δmi. Відстань до осі обертання позначимо через ri, модулі лінійних швидкостей – через υi. Тоді кінетичну енергію тіла, що обертається, можна записати у вигляді:

Фізична величина залежить від розподілу мас тіла, що обертається щодо осі обертання. Вона називається моментом інерції I тіла щодо цієї осі:

У межі при Δm → 0 ця сума перетворюється на інтеграл.

Таким чином, кінетичну енергію твердого тіла, що обертається щодо нерухомої осі, можна уявити у вигляді:

Кінетична енергія обертального руху визначається моментом інерції тіла щодо осі обертання та його кутовою швидкістю.

Квиток 9.

Динаміка обертального руху. Момент сили. Момент інерції. Теорема Штейнер.

Момент сили - величина, що характеризує обертальний ефект сили при дії на тверде тіло. Розрізняють момент сили щодо центру (точки) і щодо осі.

1.Момент сили щодо центру величина векторна. Його модуль Mo = Fh, де F - модуль сили, a h - плече (довжина перпендикуляра, опущеного з О на лінію дії сили)

За допомогою векторного добутку момент сили виражається рівністю Mo = , де r - радіус-вектор, проведений з О до точки докладання сили.

2.Момент сили щодо осі величина алгебраїчна, що дорівнює проекції на цю вісь.

Момент сили (крутний момент; крутний момент; крутний момент) - векторна фізична величина, що дорівнює добутку радіус-вектора, проведеного від осі обертання до точки докладання сили, на вектор цієї сили.

цей вираз є другим законом Ньютона для обертального руху.

Воно справедливе лише тоді:

а) якщо під моментом М розуміють частину моменту зовнішньої сили, під дією якої відбувається обертання тіла навколо осі – це тангенційна складова.

б) нормальна складова з моменту сили не бере участь у обертальному русі, оскільки Mn намагається змістити крапку з траєкторії, і за визначенням тотожно дорівнює 0, при r-const Mn = 0, а Mz - визначає силу тиску на підшипники.

Момент інерції - скалярна фізична величина, міра інертності тіла у обертовому русі навколо осі, подібно до того, як маса тіла є мірою його інертності у поступальному русі.

Момент інерції залежить від маси тіла та від розташування частинок тіла щодо осі обертання.

Тонкий обруч Стрежень (закріп. по середині) Стрижень Див.

Однорідний циліндр Диск Куля.

(праворуч зображення до пункту 2 у т. Штейнера)

Теорема Штейнер.

Момент інерції даного тіла щодо, який або даної осі залежить як від маси, форми і розмірів тіла, але й від положення тіла стосовно цієї осі.

Відповідно до теореми Гюйгенса - Штейнера - момент інерції тіла J щодо довільної осі дорівнює сумі:

1) моменту інерції цього тіла Jо, відносно осі, що проходить через центр мас цього тіла, і паралельної осі, що розглядається,

2) добутку маси тіла на квадрат відстані між осями.

Квиток 10.

Момент імпульсу. Основне рівняння динаміки обертального руху (рівняння моментів). Закон збереження моментів імпульсу.

Момент імпульсу - фізична величина, що залежить від того скільки маси обертається і як вона розподілена щодо осі обертання і з якою швидкістю відбувається обертання.

Момент імпульсу щодо точки – це псевдовектор.

Момент імпульсу щодо осі – скалярна величина.

Момент імпульсу L частки щодо деякого початку відліку визначається векторним добутком її радіус-вектора та імпульсу: L=

r - радіус-вектор частки щодо обраного нерухомого в даній системі відліку початку відліку.

P – імпульс частинки.

L = rp sin А = p l;

Для систем, що здійснюють обертання навколо однієї з осей симетрії (загалом кажучи, навколо так званих головних осей інерції), справедливе співвідношення:

момент імпульсу тіла щодо осі обертання.

Момент імпульсу твердого тіла щодо осі є сумою моментів імпульсу окремих частин.

Рівняння моментів.

Похідна за часом моменту імпульсу матеріальної точки щодо нерухомої осі дорівнює моменту сили, що діє на точку, щодо тієї ж осі:

M=JE=J dw/dt=dL/dt

Закон збереження моменту імпульсу (закон збереження кутового моменту) - векторна сума всіх моментів імпульсу щодо будь-якої осі для замкнутої системи залишається постійною у разі рівноваги системи. Відповідно, момент імпульсу замкнутої системи щодо будь-якої нерухомої точки не змінюється з часом.

=> dL/dt=0 тобто. L=const

Робота та кінетична енергія при обертальному русі. Кінетична енергія за плоского руху.

Зовнішня сила прикладена до точки масою

Шлях що проходить маса за час dt

Але дорівнює модулю моменту сили щодо осі обертання.

отже

з урахуванням, що

отримаємо вираз для роботи:

Робота обертального руху дорівнює роботі витраченої поворот всього тіла.

Робота при обертальному русі йде збільшення кінетичної енергії:

Плоский (плоскопаралельний) рух - це такий рух, при якому всі його точки переміщаються паралельно деякій нерухомій площині.

Кінетична енергія при плоскому русі дорівнює сумі кінетичних енергій поступального та обертального рухів:

Квиток 12.

Гармонійні коливання. Вільні незагасні коливання. Гармонійний осцилятор. Диференціальне рівняння гармонійного осцилятора та його вирішення. Характеристики незагасних коливань. Швидкість та прискорення у незагасаючих коливаннях.

Механічними коливанняминазивають рухи тіл, що повторюються точно (або приблизно) через однакові проміжки часу. Закон руху тіла, що здійснює коливання, визначається за допомогою деякої періодичної функції часу x = f (t).

Механічні коливання, як і коливальні процеси будь-якої іншої фізичної природи, можуть бути вільними та вимушеними.

Вільні коливаннявідбуваються під дією внутрішніх сил системи, після того, як система була виведена зі стану рівноваги. Коливання вантажу на пружині чи коливання маятника є вільними коливаннями. Коливання, що відбуваються під дією зовнішніх сил, що періодично змінюються, називаються вимушеними.

Гармонічне коливання - явище періодичного зміни будь-якої величини, у якому залежність від аргументу має характер функції синуса чи косинуса.

Коливання називаються гармонічними, якщо виконуються такі умови:

1) коливання маятника продовжуються нескінченно (оскільки немає незворотних перетворень енергії);

2) його максимальне відхилення вправо від положення рівноваги дорівнює максимальному відхиленню вліво;

3) час відхилення вправо дорівнює часу відхилення вліво;

4) характер руху праворуч і ліворуч від положення рівноваги однаковий.

Х = Хm cos (ωt + φ0).

V = -A w o sin (w o + φ) = A w o cos (w o t + φ + П/2)

a = -A w o * 2 cos (w o t + φ) = A w o * 2 cos (w o t + φ + П)

x – усунення тіла від положення рівноваги,

xm – амплітуда коливань, т. е. максимальне усунення положення рівноваги,

ω – циклічна або кругова частота коливань,

t – час.

φ = ωt + φ0 називається фазою гармонійного процесу

φ0 називають початковою фазою.

Мінімальний інтервал часу, через який відбувається повторення руху тіла, називається періодом коливань T

Частота коливань f показує, скільки коливань відбувається за 1 с.

Невигасні коливання - коливання з постійною амплітудою.

Затухаючі коливання - коливання, енергія яких зменшується з часом.

Вільні незагасні коливання:

Розглянемо найпростішу механічну коливальну систему - маятник в не в'язкому середовищі.

Запишемо рівняння руху згідно з другим законом Ньютона:

Запишемо це рівняння в проекціях на вісь х. Проекцію прискорення на вісь х уявімо як другу вироблену від координати х за часом.

Позначимо k/m через w2, і надамо рівнянню вигляд:

Де

Рішенням нашого рівняння є функція виду:

Гармонійний осцилятор - це система, яка при зміщенні з положення рівноваги зазнає дії повертаючої сили F, пропорційної зміщенню x (згідно із законом Гука):

k - позитивна константа, що описує жорсткість системи.

1.Якщо F єдина сила, що діє на систему, то систему називають простим або консервативним гармонічним осцилятором.

2.Якщо є ще й сила тертя (загасання), пропорційна швидкості руху (в'язке тертя), то таку систему називають загасаючим або дисипативним осцилятором.

Диференціальне рівняння гармонійного осцилятора та його розв'язання:

Як модель консервативного гармонійного осцилятора візьмемо вантаж маси m, закріплений на пружині жорсткістю k. Нехай x - це усунення вантажу щодо положення рівноваги. Тоді, згідно із законом Гука, на нього діятиме сила, що повертає:

Використовуючи другий закон Ньютона, запишемо:

Позначаючи та замінюючи прискорення на другу похідну від координати за часом , напишемо:

Це диференціальне рівняння визначає поведінку консервативного гармонійного осцилятора. Коефіцієнт ω0 називають циклічною частотою осцилятора.

Шукатимемо рішення цього рівняння у вигляді:

Тут – амплітуда, – частота коливань (поки не обов'язково дорівнює власній частоті), – початкова фаза.

Підставляємо у диференціальне рівняння.

Амплітуда скорочується. Значить, вона може мати будь-яке значення (у тому числі і нульове - це означає, що вантаж лежить у положенні рівноваги). На синус також можна скоротити, тому що рівність повинна виконуватися будь-якої миті часу t. І залишається умова на частоту коливань:

Негативну частоту можна відкинути, оскільки свавілля у виборі цього знака покривається свавіллям вибору початкової фази.

Загальне рішення рівняння записується як:

де амплітуда A та початкова фаза - довільні постійні.

Кінетична енергія записується у вигляді:

та потенційна енергія є

Характеристики незагасних коливань:

Амплітуда не змінюється

Частота залежить від жорсткості та маси (пружина)

Швидкість незагасних коливань:

Прискорення незагасаючих коливань:

Квиток 13.

Вільні загасаючі коливання. Диференціальне рівняння та його вирішення. Декремент, логарифмічний декремент, коефіцієнт загасання. Час релаксації.

Вільні загасаючі коливання

Якщо можна знехтувати силами опору руху і тертям, то при виведенні системи з рівноваги на вантаж буде діяти тільки сила пружності пружини.

Запишемо рівняння руху вантажу, складене за 2-м законом Ньютона:

Спроектуємо рівняння руху на вісь X.

перетворюємо:

т.к.

це диференціальне рівняння вільних гармонійних незагасних коливань.

Рішення рівняння має вигляд:

Диференціальне рівняння та його розв'язання:

У будь-якій коливальній системі є сили опору, дія яких призводить до зменшення енергії системи. Якщо спад енергії не поповнюється за рахунок роботи зовнішніх сил, коливання загасатимуть.

Сила опору пропорційна величині швидкості:

r – постійна величина, називається коефіцієнтом опору Знак мінус обумовлений тим, що сила та швидкість мають протилежні напрямки.

Рівняння другого закону Ньютона за наявності сил опору має вигляд:

Застосувавши позначення , , перепишемо рівняння руху так:

Це рівняння описує загасаючі коливання системи

Рішення рівняння має вигляд:

Коефіцієнт загасання - величина зворотна пропорційна часу протягом якого амплітуда зменшилася в раз.

Час, після якого амплітуда коливань зменшується в раз, називається часом згасання

За цей час система здійснює вагань.

Декремент згасання, кількісна характеристика швидкості загасання коливань, являє собою натуральний логарифм відношення двох наступних максимальних відхилень величини, що коливається, в одну і ту ж сторону.

Логарифмічним декрементом загасання називається логарифм відношення амплітуд в моменти послідовних проходів величини, що коливається через максимум або мінімум (загасання коливань прийнято характеризувати логарифмічним декрементом загасання):

Він пов'язаний із числом коливань N співвідношенням:

Час релаксації - час, протягом якого амплітуда загасаючого коливання зменшується в раз.

Квиток 14.

Вимушені коливання. Повне диференціальне рівняння вимушених коливань та його вирішення. Період та амплітуда вимушених коливань.

Вимушені коливання - коливання, що відбуваються під впливом зовнішніх сил, що змінюються у часі.

Другий закон Ньютона для осцилятора (маятника) запишеться у вигляді:

Якщо

та замінити прискорення на другу похідну від координати за часом, то отримаємо наступне диференціальне рівняння:

Загальне рішення однорідного рівняння:

де A,φ довільні постійні

Знайдемо приватне рішення. Підставимо в рівняння рішення виду: і отримаємо значення для константи:

Тоді остаточне рішення запишеться у вигляді:

Характер вимушених коливань залежить від характеру дії зовнішньої сили, від її величини, напряму, частоти дії і не залежить від розмірів і властивостей тіла, що коливається.

Залежність амплітуди вимушених коливань частоти дії зовнішньої сили.

Період та амплітуда вимушених коливань:

Амплітуда залежить від частоти вимушених коливань, якщо частота дорівнює резонансній частоті, то амплітуда максимальна. Також залежить від коефіцієнта згасання, якщо він дорівнює 0, то амплітуда нескінченна.

Період пов'язаний із частотою, вимушений коливання можуть мати будь-який період.

Квиток 15.

Вимушені коливання. Період та амплітуда вимушених коливань. Частота коливань. Резонанс, резонансна частота. Сімейство резонансних кривих.

Квиток 14.

При збігу частоти зовнішньої сили та частоти власних коливань тіла амплітуда вимушених коливань різко зростає. Таке явище називають механічним резонансом.

Резонанс - явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань.

Збільшення амплітуди – це лише наслідок резонансу, а причина – збіг зовнішньої частоти з внутрішньою частотою коливальної системи.

Резонансна частота – частота, в якій амплітуда максимальна (трохи менша від власної частоти)

Графік залежності амплітуди вимушених коливань від частоти сили, що змушує, називається резонансною кривою.

Залежно від коефіцієнта згасання отримуємо сімейство резонансних кривих, ніж коефіцієнт, тим менше крива більше і вище.

Квиток 16.

Складання коливань одного напряму. Векторні діаграми. Биття.

Складання кількох гармонійних коливаньодного напрямку та однакової частоти стає наочним, якщо зображати коливання графічно у вигляді векторів на площині. Отримана у такий спосіб схема називається векторної діаграмою.

Розглянемо додавання двох гармонійних коливань одного напрямку та однакової частоти:

Представимо обидва коливання за допомогою векторів A1 і А2. Побудуємо за правилами складання векторів результуючий вектор А, проекція цього вектора на вісь x дорівнює сумі проекцій векторів, що складаються:

Тому, вектор A являє собою резуль-туюче коливання. Цей вектор обертається з тією ж кутовою швидкістю, як і вектори А1 і А2, так що сума x1 і х2 є гармонічним коливанням з такою самою частотою, амплітудою і фазою. Використовуючи теорему косінусів, отримуємо, що

Подання гармонійних коливань за допомогою векторів дозволяє замінити складання функцій додаванням векторів, що значно простіше.

Биття - коливання з амплітудою, що періодично змінюється, що виникають в результаті накладання двох гармонійних коливань з дещо різними, але близькими частотами.

Квиток 17.

Складання взаємно перпендикулярних коливань. Зв'язок між кутовою швидкістю обертального руху та циклічною частотою. Фігури Лісаж.

Складання взаємно перпендикулярних коливань:

Коливання у двох взаємно перпендикулярних напрямках відбуваються незалежно один від одного:

Тут власні частоти гармонійних коливань рівні:

Розглянемо траєкторію руху вантажів:

у ході перетворень отримаємо:

Таким чином, вантаж здійснюватиме періодичні рухи еліптичною траєкторією. Напрямок руху вздовж траєкторії та орієнтація еліпса щодо осей залежать від початкової різниці фаз

Якщо частоти двох взаємно-перпендикулярних коливань не збігаються, але є кратними, то траєкторії руху являють собою замкнуті криві, які називаються фігурами Ліссажу. Зазначимо, що відношення частот коливань дорівнює відношенню чисел точок торкання фігури Лісаж до сторін прямокутника, в який вона вписана.

Квиток 18.

Вагання вантажу на пружині. Математичний та фізичний маятник. Характеристики коливань.

Для того, щоб вільні коливання відбувалися за гармонійним законом, необхідно, щоб сила, яка прагне повернути тіло в положення рівноваги, була пропорційна зміщенню тіла з положення рівноваги і спрямована у протилежний зсув.

F (t) = ma (t) = -m ω2 x (t)

Fпр = -kx закон Гука.

Кругова частота ω0 вільних коливань вантажу на пружині знаходиться з другого закону Ньютона:

Частота ω0 називається власною частотою коливальної системи.

Тому другий закон Ньютона для вантажу на пружині може бути записаний у вигляді:

Рішенням цього рівняння є гармонійні функції виду:

x = xm cos (ωt + φ0).

Якщо ж вантажу, що перебував у положенні рівноваги, за допомогою різкого поштовху було повідомлено початкову швидкість

Математичний маятник - осцилятор, що є механічною системою, що складається з матеріальної точки, підвішеної на невагомій нерозтяжній нитці або на невагомому стрижні в полі тяжкості. Період малих коливань математичного маятника довжини l у полі тяжкості із прискоренням вільного падіння g дорівнює

і мало залежить від амплітуди та маси маятника.

Фізичний маятник - осцилятор, що є твердим тілом, що здійснює коливання в полі будь-яких сил щодо точки, що не є центром мас цього тіла, або нерухомої осі, перпендикулярної напрямку дії сил і не проходить через центр мас цього тіла

Квиток 19.

Хвильовий процес. Пружні хвилі. Поздовжні та поперечні хвилі. Рівняння плоскої хвилі. Фазова швидкість. Хвильове рівняння та його рішення.

Хвиля - це явище поширення у просторі з часом обурення фізичної величини.

Залежно від фізичного середовища, в якому поширюються хвилі, розрізняють:

Хвилі лежить на поверхні рідини;

Пружні хвилі (звук, сейсмічні хвилі);

Об'ємні хвилі (що розповсюджуються в товщі середовища);

Електромагнітні хвилі (радіохвилі, світло, рентгенівські промені);

Гравітаційні хвилі;

Хвилі у плазмі.

По відношенню до напрямку коливань частинок середовища:

Поздовжні хвилі (хвилі стиснення, P-хвилі) - частки середовища коливаються паралельно (за) напрямом поширення хвилі (як, наприклад, у разі поширення звуку);

Поперечні хвилі (хвилі зсуву, S-хвилі) - частки середовища коливаються перпендикулярно до напряму поширення хвилі ( електромагнітні хвилі, хвилі на поверхнях поділу середовищ);

Хвилі змішаного типу.

По виду фронту хвилі (поверхні рівних фаз):

Плоска хвиля - площини фаз перпендикулярні до напряму поширення хвилі і паралельні один одному;

Сферична хвиля – поверхнею фаз є сфера;

Циліндрична хвиля – поверхня фаз нагадує циліндр.

Пружні хвилі ( звукові хвилі) - хвилі, що розповсюджуються в рідких, твердих та газоподібних середовищах за рахунок дії пружних сил.

Поперечні хвилі, хвилі, що розповсюджуються в напрямку, перпендикулярному до площини, в якій орієнтовані зміщення та коливальні швидкості частинок.

Поздовжні хвилі, хвилі, напрямок поширення яких збігається з напрямком зміщень частинок середовища.

Плоска хвиля, хвиля, в якій всім точкам, що лежать у будь-якій площині, перпендикулярній до напряму її поширення, у кожний момент відповідають однакові зсуви та швидкості частинок середовища

Рівняння плоскої хвилі:

Фазова швидкість - швидкість переміщення точки, що володіє постійною фазою коливального руху, у просторі вздовж заданого напрямку.

Геометричне місце точок, яких доходять коливання на час t, називається хвильовим фронтом.

Геометричне місце точок, що коливаються в однаковій фазі, називається хвильовою поверхнею.

Хвильове рівняння та його розв'язання:

Поширення хвиль в однорідному ізотропному середовищі в загальному випадку описується хвильовим рівнянням. диференціальним рівнянняму приватних похідних.

Де

Рішенням рівняння є рівняння будь-якої хвилі, яке має вигляд:

Білет 20.

Перенесення енергії хвилею, що біжить. Векторні умови. Складання хвиль. Принцип суперпозиції. Стояча хвиля.

Хвиля - зміна стану середовища, що розповсюджується в цьому середовищі та переносить із собою енергію. (хвилею називають просторове чергування максимумів і мінімумів будь-якої фізичної величини, що змінюється згодом, наприклад, щільності речовини, напруженості електричного поля, температури)

Хвиля, що біжить - хвильове обурення, що змінюється в часі t і просторі z відповідно до виразу:

де - амплітудна огинаюча хвилі, K - хвильове число і - фаза коливань. Фазова швидкість цієї хвилі дається виразом

де – це довжина хвилі.

Перенесення енергії - пружне середовище, в якому поширюється хвиля, має як кінетичну енергію коливального руху частинок так і потенційну енергію, обумовлену деформацією середовища.

Біжуча хвиля при поширенні в середовищі переносить енергію (на відміну від стоячої хвилі).

Стояча хвиля - коливання в розподілених коливальних системах з характерним розташуванням максимумів (пучностей), що чергуються, і мінімумів (вузлів) амплітуди. Практично така хвиля виникає при відбиття від перешкод і неоднорідностей в результаті накладання відбитої хвилі на падаючу. При цьому вкрай важливе значення має частота, фаза і коефіцієнт загасання хвилі в місці відбиття.

Вектор Умова (Умова-Пойнтінга) - вектор щільності потоку енергії фізичного поля; чисельно дорівнює енергії, що переноситься в одиницю часу через одиничний майданчик, перпендикулярну до напрямку потоку енергії в даній точці.

Принцип суперпозиції - один із самих загальних законіву багатьох розділах фізики.

У найпростішому формулюванні принцип суперпозиції говорить: результат на частину кількох зовнішніх сил є просто сума результатів впливу кожної з сил.

Принцип суперпозиції може приймати й інші формулювання, які, наголосимо, повністю еквівалентні наведеній вище:

Взаємодія між двома частинками не змінюється при внесенні третьої частки, що також взаємодіє з першими двома.

Енергія взаємодії всіх частинок у багаточастинній системі є просто сума енергій парних взаємодій між усіма можливими парами частинок. У системі немає багаточасткових взаємодій.

Рівняння, що описують поведінку багаточасткової системи, є лінійними за кількістю частинок.

Складання хвиль - складання коливань у кожній точці.

Складання стоячих хвиль - складання двох однакових хвиль, що розповсюджуються в різних напрямках.

Квиток 21.

Інерційні та неінерційні системи відліку. Принцип відносності Галілео.

Інерційні- такі системи відліку, в яких тіло, на яке не діють сили, або вони врівноважені, перебуває у стані спокою або рухається рівномірно та прямолінійно

Неінерційна система відліку- довільна система відліку, що не є інерційною. Приклади неінерційних систем відліку: система, що рухається прямолінійно з постійним прискоренням, а також система, що обертається

Принцип відносності Галілея- фундаментальний фізичний принцип, за яким усі фізичні процеси в інерційних системах відліку протікають однаково, незалежно від цього, нерухома система чи вона перебуває у стані рівномірного і прямолінійного руху.

Звідси випливає, що це закони природи однакові в усіх інерційних системах відліку.

Квиток 22.

Фізичні засади молекулярно-кінетичної теорії. Основні газові закони Зрівняння стану ідеального газу. Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії.

Молекулярно-кінетична теорія (скорочено МКТ) - теорія, що розглядала будову речовини, переважно газів, з погляду трьох основних приблизно вірних положень:

всі тіла складаються з частинок, розміром яких можна знехтувати: атомів, молекул та іонів;

частки перебувають у безперервному хаотичному русі (тепловому);

частинки взаємодіють одна з одною шляхом абсолютно пружних зіткнень.

Основними доказами цих положень вважалися:

Дифузія

Броунівський рух

Зміна агрегатних станів речовини

рівняння Клапейрона - Менделєєва - формула, що встановлює залежність між тиском, молярним об'ємом та абсолютною температурою ідеального газу.

PV = υRT υ = m/μ

Закон Бойля - Маріотта говорить:

При постійній температурі та масі ідеального газу добуток його тиску та об'єму постійно

pV= const,

де p- Тиск газу; V- обсяг газу

Гей-Люссака - V / T= const

Шарля - P / T= const

Бойля - Маріотта - PV= const

Закон Авогадро - одне з важливих основних положень хімії, що свідчить, що «в рівних обсягахрізних газів, узятих при однакових температурі і тиску, міститься те саме число молекул».

слідство із закону Авогадро: один моль будь-якого газу за однакових умов займає однаковий обсяг.

Зокрема, за нормальних умов, тобто. при 0° С (273К) та 101,3 кПа, об'єм 1 моля газу, дорівнює 22,4 л/моль. Цей обсяг називають молярним об'ємом газу V m

Закони Дальтона:

Закон про сумарний тиск суміші газів - Тиск суміші хімічно не взаємодіючих ідеальних газів дорівнює сумі парціальних тисків.

P заг = P1 + P2 + … + Pn

Закон про розчинність компонентів газової суміші - При постійній температурі розчинність у цій рідині кожної з компонентів газової суміші, що знаходиться над рідиною, пропорційна їхньому парціальному тиску.

Обидва закони Дальтона суворо виконуються для ідеальних газів. Для реальних газів ці закони можна застосувати за умови, якщо їх розчинність невелика, а поведінка близька до поведінки ідеального газу.

Рівняння станів ідеального газу – див. рівняння Клапейрона - Менделєєва

Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії (МКТ) –

= (i/2) * kT де kє постійною Больцмана - ставленням газової постійної Rдо Авогадро, а i- Число ступенів свободи молекул.

Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії. Тиск газу стінку. Середня енергія молекул. Закон рівнорозподілу. Число ступенів свободи.

Тиск газу на стінку - При своєму русі молекули стикаються одна з одною, а також зі стінками судини, в якій знаходиться газ. Молекул у газі багато, тому кількість їх ударів дуже велика. Хоча сила удару окремої молекули мала, але дія всіх молекул об стінки судини значно, воно і створює тиск газу

Середня енергія молекули

Середня кінетична енергія молекул газу (з розрахунку на одну молекулу) визначається виразом

Ek = ½ m

Кінетична енергія поступального руху атомів і молекул, усереднена за величезним числом часток, що безладно рухаються, є мірилом того, що називається температурою. Якщо температура Tвимірюється в градусах Кельвіна (К), то зв'язок її з E kдається співвідношенням

Рівнорозподіл закон - закон класичної статистичної фізики, який стверджує, що для статистичної системи в стані термодинамічної рівноваги на кожний трансляційний і обертальний ступінь свободи припадає середня кінетична енергія kT/2, а на кожний коливальний ступінь свободи – середня енергія kT(де Т -абсолютна температура системи, k – Больцмана постійна).

теорема рівнорозподілу стверджує, що при тепловій рівновазіенергія розділена однаково між її різними формами

Число ступенів свободи - найменше числонезалежних координат, що визначають положення та конфігурацію молекули у просторі.

Число ступенів свободи для одноатомної молекули - 3 (поступальний рух у напрямку трьох координатних осей), для двоатомної - 5 (три поступальних і дві обертальні, тому що обертання навколо осі Х можливе тільки при дуже високих температурах), для триатомної - 6 (Три поступальних та три обертальних).

Квиток 24.

Елементи класичної статистики. Функції розподілу. Розподіл Максвелла за абсолютним значенням швидкостей.

Квиток 25.

Розподіл Максвела за абсолютним значенням швидкості. Знаходження характерних швидкостей молекул.

Елементи класичної статистики:

Випадкова величина - це величина, яка приймає в результаті досвіду одне з безлічі значень, причому поява того чи іншого значення цієї величини до її виміру не можна точно передбачити.

Безперервною випадковою величиною (НСВ) називають випадкову величину, яка може набувати всіх значень деякого кінцевого або нескінченного проміжку. Безліч можливих значень безперервної випадкової величини нескінченно та незліченно.

Функцією розподілу називають функцію F(x), що визначає ймовірність того, що випадкова величинаХ в результаті випробування набуде значення, менше х.

Функція розподілу – щільність ймовірності розподілу частинок макроскопічної системи за координатами, імпульсами або квантовими станами. Функція розподілу є основний характеристикою найрізноманітніших (як фізичних) систем, яким властиво випадкове поведінка, тобто. випадкова зміна стану системи та, відповідно, її параметрів.

Розподіл Максвелла за абсолютним значенням швидкостей:

Молекули газу за свого руху постійно зіштовхуються. Швидкість кожної молекули під час зіткнення змінюється. Вона може зростати та зменшуватися. Проте середньоквадратична швидкість залишається незмінною. Це пояснюється тим, що в газі, що знаходиться при певній температурі, встановлюється деяке стаціонарне, розподіл молекул, що не змінюється з часом, за швидкостями, який підпорядковується певному статистичному закону. Швидкість окремої молекули з часом може змінюватися, проте частка молекул із швидкостями у певному інтервалі швидкостей залишається незмінною.

Графік відношення частки молекул до інтервалу швидкості Δv тобто. .

Практично графік описується функцією розподілу молекул за швидкостями чи законом Максвелла:

Виведений формули:

При зміні температури газу змінюватимуться швидкості руху всіх молекул, отже, і найімовірніша швидкість. Тому максимум кривої зміщуватиметься вправо при підвищенні температури і вліво при зниженні температури.

Висота максимуму змінюється при зміні температури. Те, що крива розподілу починається на початку координат, означає, що нерухомих молекул у газі немає. З того, що крива асимптотично наближається до осі абсцис при нескінченно більших швидкостях, випливає, що молекул з дуже великими швидкостями мало.

Квиток 26.

Розподіл Больцмана. Розподіл Максвлла-Больцмана. Барометрична формула Больцмана.

Розподіл Больцмана – розподіл за енергіями частинок (атомів, молекул) ідеального газу умовах термодинамічного рівноваги.

Закон розподілу Больцмана:

де n - Концентрація молекул на висоті h,

n0 - концентрація молекул на початковому рівні h = 0,

m - маса частинок,

g – прискорення вільного падіння,

k – постійна Больцмана,

T – температура.

Розподіл Максвелла-Больцмана:

рівноважний розподіл частинок ідеального газу за енергіями (E) у зовнішньому силовому полі (напр., у полі тяжіння); визначається функцією розподілу:

де E - сума кінетичної та потенційної енергій частки,

T - абсолютна температура,

k - постійна Больцмана

Барометрична формула - залежність тиску чи щільності газу від висоти у полі тяжкості. Для ідеального газу, що має постійну температуру T і знаходиться в однорідному полі тяжкості (у всіх точках його обсягу прискорення вільного падіння g однаково), барометрична формула має такий вигляд:

де p - тиск газу в шарі, розташованому на висоті h,

p0 - тиск на нульовому рівні (h = h0),

M - молярна масагазу,

R - постійна газова,

T – абсолютна температура.

З барометричної формули випливає, що концентрація молекул n (або щільність газу) зменшується з висотою за тим самим законом:

де m – маса молекули газу, k – постійна Больцмана.

Квиток 27.

Перший початок термодинаміки. Робота та теплота. Процеси. Робота здійснювана газом у різних ізопроцесах. Перший початок термодинаміки у різних процесах. Формулювання першого початку.

Квиток 28.

Внутрішня енергія ідеального газу. Теплоємність ідеального газу при постійному обсязі та при постійному тиску. Рівняння Майєра.

Перший початок термодинаміки - один із трьох основних законів термодинаміки, являє собою закон збереження енергії для термодинамічних систем

Існує кілька еквівалентних формулювань першого початку термодинаміки:

1) Кількість теплоти, отримана системою, йде на зміну її внутрішньої енергії та здійснення роботи проти зовнішніх сил

2) Зміна внутрішньої енергії системи при переході її з одного стану в інший дорівнює сумі роботи зовнішніх сил та кількості теплоти, переданої системі і не залежить від способу, яким здійснюється цей перехід

3) Зміна повної енергії системи в квазістатичному процесі дорівнює кількості теплоти Q, повідомленому системі, у сумі зі зміною енергії, пов'язаної з кількістю речовини Nпри хімічному потенціалі μ, та роботи A", скоєної над системою зовнішніми силами та полями, за вирахуванням роботи A, скоєною самою системою проти зовнішніх сил

ΔU = Q - A + μΔΝ + A`

Ідеальний газ - газ, у якій передбачається, що потенційної енергії молекул можна знехтувати проти їх кінетичної енергією. Між молекулами не діють сили тяжіння або відштовхування, зіткнення частинок між собою і зі стінками судини абсолютно пружні, а час взаємодії між молекулами дуже мало в порівнянні з середнім часом між зіткненнями.

Робота – При розширенні робота газу позитивна. При стисканні – негативна. Таким чином:

A" = pDV - робота газу (А" - робота газу з розширення)

A = - pDV - робота зовнішніх сил (А - робота зовнішніх сил зі стиснення газу)

Теплота-кінетична частина внутрішньої енергії речовини, яка визначається інтенсивним хаотичним рухом молекул і атомів, з яких ця речовина складається.

Теплоємність ідеального газу - це відношення тепла, повідомленого газу, до зміни температури Т, яке при цьому сталося.

Внутрішня енергія ідеального газу - величина, яка залежить тільки від його температури і не залежить від обсягу.

Рівняння Майєра показує, що відмінність теплоємностей газу дорівнює роботі, що здійснюється одним молем ідеального газу при зміні його температури на 1 K, і пояснює значення універсальної газової постійної R.

Для будь-якого ідеального газу справедливе співвідношення Майєра:

,

Процеси:

Ізобарний процес - термодинамічний процес, що відбувається в системі за постійного тиску.

Робота, що здійснюється газом при розширенні або стисканні газу, дорівнює

Робота, що здійснюється газом при розширенні або стисканні газу:

Кількість теплоти, що отримується або віддається газом:

при постійній температурі dU = 0, тому кількість теплоти витрачається на здійснення роботи проти зовнішніх сил.

Теплоємність:

Квиток 29.

Адіабатний процес. Рівняння адіабати. Рівняння Пуассона. Робота в адіабатному процесі.

Адіабатичний процес - термодинамічний процес у макроскопічній системі, при якому система не отримує та не віддає теплової енергії.

Для адіабатичного процесу перший початок термодинаміки через відсутність теплообміну системи з середовищем має вигляд:

У адіабатичному процесі теплообміну із довкіллям немає, тобто. δQ=0. Отже, теплоємність ідеального газу в адіабатичному процесі дорівнює нулю: Садіаб=0.

Робота здійснюється газом з допомогою зміни внутрішньої енергії Q=0, A=-DU

При адіабатичному процесі тиск газу та його обсяг пов'язані співвідношенням:

pV * g = const, де g = Cp / Cv.

При цьому справедливі такі стосунки:

p2/p1=(V1/V2)*g, *g-ступінь

T2/T1=(V1/V2)*(g-1), *(g-1)-ступінь

T2/T1=(p2/p1)*(g-1)/g. *(g-1)/g -ступінь

Наведені співвідношення звуться рівнянь Пуассона

рівняння адіабатичного процесу. (Рівняння Пуассона) g- показник адіабати

Квиток 30.

Другий початок термодинаміки. Цикл Карно. ККД ідеально теплової машини. Ентропія та термодинамічна ймовірність. Різні формулювання другого початку термодинаміки.

Другий початок термодинаміки – фізичний принцип, що накладає обмеження на напрямок процесів передачі тепла між тілами.

Друге початок термодинаміки говорить, що неможливий мимовільний перехід тепла від тіла, менш нагрітого, до тіла, нагрітішого.

Друге початок термодинаміки забороняє звані вічні двигуни другого роду, показуючи неможливість переходу всієї внутрішньої енергії системи в корисну роботу.

Другий початок термодинаміки є постулатом, що не доводиться в рамках термодинаміки. Воно було створено на основі узагальнення досвідчених фактів та набуло численних експериментальних підтверджень.

Постулат Клаузіуса: «Неможливий процес, єдиним результатом якого була б передача тепла від холоднішого тіла до гарячішого»(Такий процес називається процесом Клаузіуса).

Постулат Томсона: "Неможливий круговий процес, єдиним результатом якого було б проведення роботи за рахунок охолодження теплового резервуару"(Такий процес називається процесом Томсона).

Цикл Карно - ідеальний термодинамічний цикл.

Теплова машина Карно, що працює за цим циклом, має максимальний ККД з усіх машин, у яких максимальна та мінімальна температури здійснюваного циклу збігаються відповідно до максимальної та мінімальної температури циклу Карно.

Цикл Карно складається із чотирьох стадій:

1. Ізотермічне розширення (на малюнку – процес A→Б). На початку процесу робоче тіло має температуру Tн, тобто температуру нагрівача. Потім тіло приводиться в контакт з нагрівачем, який ізотермічно (при постійній температурі) передає кількість теплоти QH. При цьому обсяг робочого тіла зростає.

2.Адіабатичне (ізоентропічне) розширення (на малюнку - процес Б→В). Робоче тіло від'єднується від нагрівача і продовжує розширюватись без теплообміну з навколишнім середовищем. Його температура зменшується до температури холодильника.

3.Ізотермічний стиск (на малюнку - процес В→Г). Робоче тіло, що на той час має температуру TX, приводиться в контакт з холодильником і починає ізотермічно стискатися, віддаючи холодильнику кількість теплоти QX.

4.Адіабатичний (ізоентропічний) стиск (на малюнку - процес Г→А). Робоче тіло від'єднується від холодильника та стискається без теплообміну з навколишнім середовищем. Його температура збільшується до температури нагрівача.

Ентропія- Показник випадковості або невпорядкованості будови фізичної системи. У термодинаміці ентропія виражає кількість теплової енергії, придатної для роботи: чим енергії менше, тим менше ентропія. У масштабах Всесвіту ентропія зростає. Витягти енергію із системи можна лише шляхом переведення її в менш упорядкований стан. Згідно з другим законом термодинаміки, ентропія в ізольованій системі або не зростає або збільшується в ході будь-якого процесу.

Імовірність термодинамічна, число способів, якими може бути реалізований стан фізичної системи. У термодинаміці стан фізичної системи характеризується певними значеннями густини, тиску, температури та ін вимірних величин.

Квиток 31.

Мікро- та макростану. Статистична вага. Оборотні і не оборотні процеси. Ентропія. Закон зростання ентропії. Теорема Нернста.

Квиток 30.

Статистична вага - це число способів, якими може бути реалізовано даний стансистеми. Статистичні ваги всіх можливих станів системи визначають її ентропію.

Зворотні та незворотні процеси.

Оборотний процес (тобто рівноважний) - термодинамічний процес, який може проходити як у прямому, так і в зворотному напрямку, проходячи через однакові проміжні стани, причому система повертається у вихідний стан без витрат енергії, і в навколишньому середовищіне залишається макроскопічних змін.

(Зворотний процес можна будь-якої миті змусити протікати у зворотному напрямку, змінивши якусь незалежну змінну на нескінченно малу величину.

Оборотні процеси дають найбільшу роботу.

Насправді оборотний процес реалізувати неможливо. Він протікає нескінченно повільно, і можна лише наблизитись до нього.)

Необоротний процес - процес, який не можна провести в протилежному напрямку через ті самі проміжні стани. Усі реальні процеси необоротні.

В адіабатично ізольованій термодинамічній системі ентропія не може зменшуватися: вона або зберігається, якщо в системі відбуваються лише оборотні процеси, або зростає, якщо в системі протікає хоча б один необоротний процес.

Записане твердження є ще одним формулюванням другого початку термодинаміки.

Теорема Нернста (Третій початок термодинаміки) – фізичний принцип, що визначає поведінку ентропії при наближенні температури до абсолютного нуля. Є одним із постулатів термодинаміки, прийнятим на основі узагальнення значної кількості експериментальних даних.

Третій початок термодинаміки може бути сформульовано так:

«Збільшення ентропії при абсолютному нулітемператури прагне до кінцевої межі, яка залежить від того, в якому рівноважному стані знаходиться система».

Де x – будь-який термодинамічний параметр.

(Третій початок термодинаміки відноситься лише до рівноважних станів.

Оскільки на основі другого початку термодинаміки ентропію можна визначити тільки з точністю до довільної адитивної постійної (тобто визначається не сама ентропія, а тільки її зміна):

третій початок термодинаміки може бути використаний для точного визначення ентропії. При цьому ентропію рівноважної системи за абсолютного нуля температури вважають рівною нулю.

Відповідно до третього початку термодинаміки, за значення .)

Квиток 32.

Реальні гази. Рівняння Ван-де-Ваальса. Внутрішня енергія реального газу.

Реальний газ – газ, який не описується рівнянням стану ідеального газу Клапейрона – Менделєєва.

Молекули у реальному газі взаємодіють між собою та займають певний обсяг.

Насправді часто описується узагальненим рівнянням Менделєєва - Клапейрона:

Рівняння стану газу Ван-дер-Ваальса - рівняння, що зв'язує основні термодинамічні величини моделі газу Ван-дер-Ваальса.

(Для більш точного опису поведінки реальних газів за низьких температур була створена модель газу Ван-дер-Ваальса, що враховує сили міжмолекулярної взаємодії. У цій моделі внутрішня енергія U стає функцією не тільки температури, а й об'єму.)

Термічним рівнянням стану (або, часто, просто рівнянням стану) називається зв'язок між тиском, об'ємом та температурою.

Для н молей газу Ван-дер-Ваальса рівняння стану виглядає так:

p - тиск,

• T - абсолютна температура,

  R – універсальна газова постійна.

Внутрішня енергія реального газу складається з кінетичної енергії теплового рухумолекул та потенційної енергії міжмолекулярної взаємодії

Квиток 33.

Фізична кінетика. Явище перенесення у газах. Число зіткнень та середня довжина вільного пробігу молекул.

Фізична кінетика-мікроскопічна теорія процесів у нерівноважних середовищах. У кінетиці методами квантової чи класичної статистичної фізики вивчають процеси перенесення енергії, імпульсу, заряду та речовини у різних фізичних системах (газах, плазмі, рідинах, твердих тілах) та вплив на них зовнішніх полів.

Явлення перенесення у газах спостерігаються лише тому випадку, якщо система перебуває у нерівноважному стані.

Дифузія - процес перенесення матерії або енергії з області з високою концентрацією в область з низькою концентрацією.

Теплопровідність - передачі внутрішньої енергії від однієї частини тіла до іншої або від одного тіла до іншого при безпосередньому контакті.

Число(Частота) зіткнень та середня довжина вільного пробігу молекул.

Рухаючись зі середньою швидкістю в середньому за час τ частка проходить відстань, рівну середній довжині вільного пробігу< l >:

< l > = τ

τ – це час, який молекула рухається між двома послідовними суударениями (аналог періоду)

Тоді середня кількість зіткнень за одиницю часу (середня частота зіткнень) є величина, обернена до періоду:

v= 1 / τ = / = σn

Довжина колії< l>, при якій ймовірність зіткнення з частинками - мішенями стає рівною одиниці, називається середньою довжиною вільного пробігу.

= 1 / σn

Квиток 34.

Дифузія у газах. Коефіцієнт дифузії. В'язкість газів. Коефіцієнт в'язкості. Теплопровідність. Коефіцієнт теплопровідності.

Дифузія - процес перенесення матерії або енергії з області з високою концентрацією в область з низькою концентрацією.

Дифузія в газах відбувається набагато швидше, ніж в інших. агрегатних станахщо обумовлено характером теплового руху частинок у цих середовищах.

Коефіцієнт дифузії - кількість речовини, що проходить в одиницю часу через ділянку одиничної площі при градієнті концентрації, що дорівнює одиниці.

Коефіцієнт дифузії відображає швидкість дифузії і визначається властивостями середовища та типом дифузних частинок.

В'язкість (внутрішнє тертя) - одне з явищ перенесення, властивість текучих тіл (рідин і газів) чинити опір переміщенню однієї частини відносно іншої.

Коли говорять про в'язкість, то число, яке зазвичай розглядають, це коефіцієнт в'язкості. Існує кілька різних коефіцієнтів в'язкості, що залежать від діючих сил та природи рідини:

Динамічна в'язкість (або абсолютна в'язкість) визначає поведінку нестисливої ​​ньтонівської рідини.

Кінематична в'язкість це динамічна в'язкість поділена на щільність для ньютонівських рідин.

Об'ємна в'язкість визначає поведінку ньютонівської рідини, що стискається.

В'язкість при зсуві (Зсувна в'язкість) – коефіцієнт в'язкості при зсувних навантаженнях (для неньютонівських рідин)

Об'ємна в'язкість – коефіцієнт в'язкості при стисканні (для неньютонівських рідин)

Теплопровідність – процес перенесення теплоти, що веде до вирівнювання температури по всьому об'єму системи.

Коефіцієнт теплопровідності - чисельна характеристика теплопровідності матеріалу, що дорівнює кількості теплоти, що проходить через матеріал товщиною 1 м і площею 1 кв.м за годину при різниці температур на двох протилежних поверхнях 1 град.C.

Базовий рівень

Варіант 1

А1.Траєкторія матеріальної точки, що рухається, за кінцевий час це

відрізок лінії

частина площини

кінцевий набір точок

серед відповідей 1,2,3 немає правильного

А2.Стілець пересунули спочатку на 6 м, а потім ще на 8 м. Чому дорівнює модуль повного переміщення?

1) 2 м 2) 6 м 3) 10 м 4) не можна визначити

А3.Пловець пливе проти течії річки. Швидкість течії річки 0,5 м/с, швидкість плавця щодо води 1,5 м/с. Модуль швидкості плавця щодо берега дорівнює

1) 2 м/с 2) 1,5 м/с 3) 1м/с 4) 0,5 м/с

А4.Рухаючись прямолінійно, одне тіло за кожну секунду проходить шлях 5 м. Інше тіло, рухаючись прямо в одному напрямку, за кожну секунду проходить шлях 10м. Рухи цих тіл

А5.На графіці зображено залежність координатиXтіла, що рухається вздовж осі ОХ, від часу. Яка початкова координата тіла?

3) -1 м; 4) - 2 м.

А6.Яка функціяv(t) визначає залежність модуля швидкості від часу при рівномірному прямолінійному русі? (довжина вимірюється за метри, час - за секунди)

1) v = 5t2) v = 5/t3) v = 5 4) v = -5

А7.Модуль швидкості тіла за деякий час збільшився у 2 рази. Яке твердження буде правильним?

прискорення тіла зросло вдвічі

прискорення зменшилось у 2 рази

прискорення не змінилося

тіло рухається із прискоренням

А8.Тіло, рухаючись прямолінійно та рівноприскорено, збільшило свою швидкість від 2 до 8 м/с за 6с. Яким є прискорення тіла?

1) 1м/с 2 2) 1,2м/с 2 3) 2,0м/с 2 4) 2,4м/с 2

А9.При вільному падінні його швидкість (прийнятиg=10м/с 2)

за першу секунду збільшується на 5м/с; за другу – на 10м/с;

за першу секунду збільшується на 10м/с; за другу – на 20м/с;

за першу секунду збільшується на 10м/с; за другу – на 10м/с;

за першу секунду збільшується на 10м/с, а другу - на 0м/с.

А10.Швидкість обігу тіла по колу збільшилась у 2 рази. Центрошвидке прискорення тіла

1) збільшилось у 2 рази 2) збільшилось у 4 рази

3) зменшилось у 2 рази 4) зменшилось у 4 рази

Варіант 2

А1.Вирішуються дві задачі:

а. розраховується маневр стикування двох космічних кораблів;

б. розраховується період обігу космічних кораблів навколо Землі.

В якому випадку космічні корабліЧи можна розглядати як матеріальні точки?

тільки в першому випадку

тільки у другому випадку

в обох випадках

ні в першому, ні в другому випадку

А2.Автомобіль двічі об'їхав Москву кільцевою дорогою, довжина якої 109 км. Шлях, пройдений автомобілем, дорівнює

1) 0 км 2) 109 км 3) 218 ​​км 4) 436 км

А3.Коли кажуть, що зміна дня і ночі на Землі пояснюється сходом і заходом Сонця, мають на увазі систему відліку пов'язану

1) із Сонцем 2) із Землею

3) із центром галактики 4) з будь-яким тілом

А4.При вимірі характеристик прямолінійних рухів двох матеріальних точок зафіксовано значення координати першої точки та швидкості другої точки в моменти часу, зазначені відповідно у таблицях 1 та 2:

Що можна сказати про характер цих рухів, припускаючи, що він не змінювавсяу проміжках часу між моментами вимірів?

1)обидва рівномірні

2) перше - нерівномірне, друге - рівномірне

3) перше - рівномірне, друге нерівномірне

4) обидва нерівномірні

А5.За графіком залежності пройденого шляху від часу визначте швидкість велосипедиста на момент часу t = 2 с. 1) 2 м/с 2) 3 м/с

3) 6 м/с4) 18 м/с

А6.На малюнку представлені графіки залежності пройденого в одному напрямку шляху часу для трьох тіл. Яке тіло рухалося з більшою швидкістю? 1) 1 2) 2 3) 34) швидкості всіх тіл однакові

А7.Швидкість тіла, що рухається прямолінійно та рівноприскорено, змінилася при переміщенні з точки 1 до точки 2 так, як показано на малюнку. Який напрямок має вектор прискорення на цій ділянці?

А8.За графіком залежності модуля швидкості від часу, представленого на малюнку, визначте прискорення прямолінійно рухомого тіла в момент часу t = 2с.

1) 2 м/с 2 2) 3 м/с 2 3) 9 м/с 2 4) 27м/с 2

А9.У трубці, з якої відкачано повітря, з однієї висоти одночасно скидаються дробинка, пробка і пташине перо. Яке тіло швидше досягне дна трубки?

1) дробинка 2) пробка 3) пташине перо 4) всі три тіла одночасно.

А10.Автомобіль на повороті рухається круговою траєкторією радіусом 50м з постійною по модулю швидкістю 10 м/с. Яке прискорення автомобіля?

1) 1 м/с 2 2) 2 м/с 2 3) 5 м/с 2 4) 0 м/с 2

Відповіді.

Номер завдання

Опис траєкторії

Прийнято описувати траєкторію матеріальної точки за допомогою радіус-вектора, напрям, довжина та початкова точка якого залежать від часу. При цьому крива, що описується кінцем радіус-вектора в просторі може бути представлена ​​у вигляді сполучених дуг різної кривизни, що знаходяться в загальному випадку в площинах, що перетинаються. У цьому кривизна кожної дуги визначається її радіусом кривизни , спрямованому до дузі з миттєвого центру повороту, що у тій площині, як і сама дуга. При цьому пряма лінія розглядається як граничний випадок кривої, радіус кривизни якої може вважатися рівним нескінченності. Тому траєкторія в загальному випадку може бути представлена ​​як сукупність сполучених дуг.

Істотно, що форма траєкторії залежить від системи відліку, обраної описи руху матеріальної точки. Так прямолінійний рухв інерційній системі в загальному випадку буде параболічним в системі відліку, що рівномірно прискорюється.

Зв'язок зі швидкістю та нормальним прискоренням

Швидкість матеріальної точки завжди спрямована щодо дотичної до дуги, що використовується для опису траєкторії точки. При цьому існує зв'язок між величиною швидкості v, нормальним прискоренням a nі радіусом кривизни траєкторії в даній точці:

Зв'язок із рівняннями динаміки

Подання траєкторії як сліду, що залишається рухом матеріальноїточки, що пов'язує суто кінематичне поняття про траєкторію, як геометричну проблему, з динамікою руху матеріальної точки, тобто проблемою визначення причин її руху. Фактично рішення рівнянь Ньютона (за наявності повного набору вихідних даних) дає траєкторію матеріальної точки. І навпаки, знаючи траєкторію матеріальної точки в інерційній системі відлікута її швидкість у кожен момент часу, можна визначити сили, що діяли на неї.

Траєкторія вільної матеріальної точки

Відповідно до Першого закону Ньютона, іноді званим законом інерції має існувати така система, в якій вільне тіло зберігає (як вектор) свою швидкість. Така система відліку називається інерційною. Траєкторією такого руху є пряма лінія, а сам рух називається рівномірним та прямолінійним.

Рух під дією зовнішніх сил в інерційній системі відліку

Якщо у свідомо інерційній системі швидкість руху об'єкта з масою mзмінюється у напрямку, навіть залишаючись колишньою за величиною, тобто тіло робить поворот і рухається по дузі з радіусом кривизни R, то об'єкт відчуває нормальне прискорення a n. Причиною, що викликає це прискорення, є сила прямо пропорційна цьому прискоренню. У цьому полягає суть Другого закону Ньютона:

(1)

Де є векторна сума сил, що діють на тіло, його прискорення, а m- Інерційна маса.

У загальному випадку тіло не буває вільно у своєму русі, і на його становище, а в деяких випадках і на швидкість накладаються обмеження - зв'язки. Якщо зв'язки накладають обмеження лише координати тіла, такі зв'язку називаються геометричними. Якщо ж вони поширюються і на швидкості, вони називаються кінематичними. Якщо рівняння зв'язку може бути проінтегроване в часі, такий зв'язок називається голономной .

Дія зв'язків на систему тіл, що рухаються, описується силами, званими реакціями зв'язків. У такому випадку сила, що входить до лівої частини рівняння (1), є векторною сумою активних (зовнішніх) сил і реакції зв'язків.

Істотно, що у разі голономних зв'язків стає можливим описати рух механічних систем в узагальнених координатах, що входять до рівнянь Лагранжа. Число цих рівнянь залежить лише від числа ступенів свободи системи і не залежить від кількості тіл, що входять до системи, положення яких необхідно визначати для повного описуруху.

Якщо ж зв'язки, що діють у системі ідеальні, тобто в них не відбувається перехід енергії руху в інші види енергії, то при вирішенні рівнянь Лагранжа автоматично виключаються всі невідомі реакції зв'язків.

Зрештою, якщо діючі силиналежать до класу потенційних, то за відповідного узагальнення понять стає можливим використання рівнянь Лагранжа у механіці, а й інших галузях фізики.

Чинні на матеріальну точку сили у цьому розумінні однозначно визначають форму траєкторії її руху (за відомих початкових умов). Зворотне твердження в загальному випадку не справедливе, оскільки та сама траєкторія може мати місце при різних комбінаціях активних сил і реакцій зв'язку.

Рух під дією зовнішніх сил у неінерційній системі відліку

Якщо система відліку неінерційна (тобто рухається з деяким прискоренням щодо інерційної системи відліку), то в ній також можливе використання виразу (1), проте в лівій частині необхідно врахувати так звані сили інерції (у тому числі відцентрову силу і силу Коріоліса, пов'язані з обертанням неінерційної системи відліку).

Ілюстрація

Траєкторії одного і того ж руху в різних системах відліку. Вгорі в інерційній системі діряве відро з фарбою несуть по прямій над сценою, що повертається. Внизу в неінерційній (слід від фарби для спостерігача, що стоїть на сцені)

Як приклад, розглянемо працівника театру, що пересувається у колосниковому просторі над сценою по відношенню до будівлі театру рівномірноі прямолінійноі несе над обертаєтьсясцени дірки відро з фарбою. Він залишатиме на ній слід від падаючої фарби у формі спіралі, що розкручується(якщо рухається відцентру обертання сцени) та закручується- у протилежному випадку. В цей час його колега, який відповідає за чистоту обертової сцени і на ній знаходиться, буде тому змушений нести під першим відером, що недиряве, постійно перебуваючи під першим. І його рух по відношенню до будівлі також буде рівномірнимі прямолінійним, хоча по відношенню до сцени, яка є неінерційною системою, його рух буде викривленимі нерівномірним. Більш того, для того, щоб протидіяти зносу в напрямку обертання, він повинен м'язовим зусиллям долати дію сили Коріоліса, яке не відчуває його верхнього колега над сценою, хоча траєкторії обох у інерційної системибудівлі театру представлятимуть прямі лінії.

Але можна собі уявити, що завданням колег, що розглядаються тут, є саме нанесення прямийлінії на обертової сцени. У цьому випадку нижній повинен вимагати від верхнього руху по кривій, що є дзеркальним відображеннямсліду від раніше розлитої фарби. Отже, прямолінійний рухв неінерційної системивідліку не буде такимдля спостерігача в інерційній системі.

Більш того, рівномірнерух тіла в одній системі, можливо нерівномірнимв інший. Так, дві краплі фарби, що впали в різні моментичасу з дірявого відра, як у власній системі відліку, так і в системі нерухомого по відношенню до будівлі нижнього колеги (на сцені, що вже припинила обертання), будуть рухатися по прямій (до центру Землі). Відмінність полягатиме в тому, що для нижнього спостерігача цей рух буде прискореним, а для верхнього його колеги, якщо він, оступившись, падатиме, рухаючись разом з будь-якою з крапель, відстань між краплями буде збільшуватися пропорційно першого ступенячасу, тобто взаємний рух крапель та їх спостерігача у його прискореноюсистемі координат буде рівномірнимзі швидкістю v, що визначається затримкою Δ tміж моментами падіння крапель:

v = gΔ t .

Де g- прискорення вільного падіння .

Тому форма траєкторії та швидкість руху по ній тіла, що розглядається в деякій системі відліку, про яку заздалегідь нічого не відомо, не дає однозначного уявлення про сили, які діють тіло. Вирішити питання про те, чи є ця система достатньо інерційною, можна лише на основі аналізу причин виникнення діючих сил.

Таким чином, у неінерційній системі:

• Кривизна траєкторії та/або мінливість швидкості є недостатнім аргументом на користь твердження про те, що на тіло, що рухається по ній, діють зовнішні сили, які в кінцевому випадку можуть бути пояснені гравітаційними або електромагнітними полями.
• Прямолінійність траєкторії є недостатнім аргументом на користь твердження про те, що на тіло, що рухається по ній, не діють ніякі сили.

Примітки

Література

• Ньютон І.Математичні засади натуральної філософії. Пров. та прим. А. Н. Крилова. М: Наука, 1989
• Фріш С. А. та Тиморьова А. В.Курс загальної фізики, Підручник для фізико-математичних та фізико-технічних факультетів державних університетів, Том I. М.: ГІТТЛ, 1957

Посилання

• http://av-physics.narod.ru/mechanics/trajectory.htm [ неавторитетне джерело?] Траєкторія та вектор переміщення, розділ підручника з фізики

Концепція матеріальної точки. Траєкторія. Шлях та переміщення. Система відліку. Швидкість та прискорення при криволінійному русі. Нормальне та тангенціальне прискорення. Класифікація механічних рухів

Предмет механіки . Механікою називають розділ фізики, присвячений вивченню закономірностей найпростішої форми руху матерії – механічного руху.

Механіка складається з трьох підрозділів: кінематики, динаміки та статики.

Кінематика вивчає рух тіл без урахування причин, що його викликають. Вона оперує такими величинами як переміщення, пройдений шлях, час, швидкість руху та прискорення.

Динаміка досліджує закони та причини, що викликають рух тіл, тобто. вивчає рух матеріальних тіл під впливом прикладених до них сил. До кінематичних величин додаються величини - сила та маса.

Устатики досліджують умови рівноваги системи тел.

Механічним рухом тіланазивається зміна його положення у просторі щодо інших тіл з плином часу.

Матеріальна точка - Тіло, розмірами і формою якого можна знехтувати в умовах руху, вважаючи масу тіла зосередженою в даній точці. Модель матеріальної точки – найпростіша модель руху тіла у фізиці. Тіло можна вважати матеріальною точкою, коли його розміри набагато менші за характерні відстані в задачі.

Для опису механічного руху необхідно вказати тіло, щодо якого розглядається рух. Довільно обране нерухоме тіло, стосовно якого розглядається рух даного тіла, називається тілом відліку .

Система відліку - тіло відліку разом із пов'язаними з ним системою координат та годинами.

Розглянемо рух матеріальної точки М у прямокутній системі координат, помістивши початок координат у точку О.

Положення точки М щодо системи відліку можна задати не лише за допомогою трьох декартових координат, але також за допомогою однієї векторної величини - радіуса-вектора точки М, проведеного в цю точку з початку системи координат (рис. 1.1). Якщо - одиничні вектори (орти) осей прямокутної декартової системи координат, то

або залежність від часу радіус-вектор цієї точки

Три скалярні рівняння (1.2) або еквівалентне їм одне векторне рівняння (1.3) називаються кінематичними рівняннями руху матеріальної точки .

Траєкторією матеріальної точки називається лінія, що описується простором цією точкою при її русі (геометричне місце кінців радіуса-вектора частки). Залежно від форми траєкторії розрізняють прямолінійний і криволінійний рух точки. Якщо всі ділянки траєкторії точки лежать в одній площині, рух точки називають плоским.

Рівняння (1.2) та (1.3) задають траєкторію точки в так званій параметричній формі. Роль параметра відіграє час t. Вирішуючи ці рівняння разом і виключаючи час t, знайдемо рівняння траєкторії.

Довжиною шляху матеріальної точки називають суму довжин всіх ділянок траєкторії, пройдених точкою за проміжок часу, що розглядається.

Вектор переміщення матеріальної точки називається вектор, який би початкове і кінцеве становище матеріальної точки, тобто. збільшення радіуса-вектора точки за розглянутий проміжок часу

При прямолінійному русі вектор переміщення збігається з ділянкою траєкторії. З того, що переміщення є вектором, слід підтверджується на досвіді закону незалежності рухів: якщо матеріальна точка бере участь у кількох рухах, то результуюче переміщення точки дорівнює векторній сумі її переміщень, що здійснюються нею за той же час у кожному з рухів нарізно

Для характеристики руху матеріальної точки вводять векторну фізичну величину швидкість , величину, що визначає як швидкість руху, так і напрямок руху в даний момент часу.

Нехай матеріальна точка рухається по криволінійній траєкторії МN так, що в момент часу t вона знаходиться в т.м, а в момент часу в т. n. ).

Вектор середньої швидкості точки в інтервалі часу від tдо t+Δ tназивають відношення збільшення радіуса-вектора точки за цей проміжок часу до його величини:

Вектор середньої швидкості спрямований як вектор переміщення тобто. вздовж хорди МN.

Миттєва швидкість або швидкість в даний момент часу . Якщо у виразі (1.5) перейти до межі, спрямовуючи до нуля, ми отримаємо вираз для вектора швидкості м.т. у час t проходження її через т.м траєкторії.

У процесі зменшення величини точка N наближається до т.м, і хорда МN, повертаючись навколо т.м, межі збігається у напрямку з дотичної до траєкторії в точці М. Тому векторта швидкістьvточки, що рухається, направлені по дотичній траєкторії в бік руху. p align="justify"> Вектор швидкості v матеріальної точки можна розкласти на три складові, спрямовані вздовж осей прямокутної декартової системи координат.

Зі зіставлення виразів (1.7) і (1.8) випливає, що проекції швидкості матеріальної точки на осі прямокутної декартової системи координат дорівнюють першим похідним за часом від відповідних координат точки:

Рух, у якому напрям швидкості матеріальної точки не змінюється, називається прямолінійним. Якщо чисельне значення миттєвої швидкості точки залишається під час руху незмінним, такий рух називається рівномірним.

Якщо ж за довільні рівні проміжки часу точка проходить шляхи різної довжини, чисельне значення її миттєвої швидкості з часом змінюється. Такий рух називають нерівномірним.

У цьому випадку часто користуються скалярною величиною, яка називається середньою дорожньою швидкістю рівномірного рухуна даній ділянці траєкторії. Вона дорівнює чисельному значенню швидкості такого рівномірного руху, при якому на проходження шляху витрачається той же час, що і за заданого нерівномірного руху:

Т.к. лише у разі прямолінійного руху з незмінною за напрямом швидкістю, то у загальному випадку:

Величину пройденого точкою шляху можна уявити графічно площею фігури обмеженою кривою v = f (t), прямими t = t 1 і t = t 1 та віссю часу на графіку швидкості.

Закон складання швидкостей . Якщо матеріальна точка одночасно бере участь у кількох рухах, то результуюче переміщення відповідно до закону незалежності руху дорівнює векторній (геометричній) сумі елементарних переміщень, обумовлених кожним з цих рухів окремо:

Відповідно до визначення (1.6):

Таким чином, швидкість результуючого руху дорівнює геометричній сумі швидкостей всіх рухів, в яких бере участь матеріальна точка, (це положення має назву закону складання швидкостей).

При русі точки миттєва швидкість може змінюватися як за величиною, так і за напрямом. Прискорення характеризує швидкість зміни модуля та напрями вектора швидкості, тобто. Зміна величини вектора швидкості за одиницю часу.

Вектор середнього прискорення . Відношення збільшення швидкості до проміжку часу, протягом якого відбулося це збільшення, виражає середнє прискорення:

Вектор середнього прискорення збігається у напрямку з вектором .

Прискорення або миттєве прискорення дорівнює межі середнього прискорення при прагненні проміжку часу до нуля:

У проекціях на відповідні координати осі:

При прямолінійному русі вектори швидкості та прискорення збігаються з напрямком траєкторії. Розглянемо рух матеріальної точки по криволінійній плоскій траєкторії. Вектор швидкості в будь-якій точці траєкторії спрямований щодо до неї. Припустимо, що у т.м траєкторії швидкість була , а т.м 1 стала . При цьому вважаємо, що проміжок часу при переході точки на шляху з М М 1 настільки малий, що зміною прискорення за величиною і напрямом можна знехтувати. Для того, щоб знайти вектор зміни швидкості, необхідно визначити векторну різницю:

Для цього перенесемо паралельно самому собі, поєднуючи його початок з точкою М. Різниця двох векторів дорівнює вектору, що з'єднує їх кінці дорівнює боці АС МАС, побудованого на векторах швидкостей, як на сторонах. Розкладемо вектор на дві складові АВ і АТ, і обидві відповідно через і . Таким чином, вектор зміни швидкості дорівнює векторній сумі двох векторів:

Таким чином, прискорення матеріальної точки можна представити як векторну суму нормального та тангенціального прискорень цієї точки.

За визначенням:

де - колійна швидкість вздовж траєкторії, що збігається з абсолютною величиною миттєвої швидкості в даний момент. Вектор тангенціального прискорення спрямований щодо траєкторії руху тіла.