Aplikácia

Riešenie akéhokoľvek typu rovníc online na stránke na konsolidáciu preštudovaného materiálu študentmi a školákmi. Riešenie rovníc online. Rovnice online. Existujú algebraické, parametrické, transcendentálne, funkcionálne, diferenciálne a iné typy rovníc. Niektoré triedy rovníc majú analytické riešenia, ktoré sú vhodné v tom, že poskytujú nielen presnú hodnotu koreňa, ale umožňujú zapísať riešenie do formu vzorca, ktorý môže obsahovať parametre. Analytické výrazy umožňujú nielen vypočítať korene, ale analyzovať ich existenciu a ich počet v závislosti od hodnôt parametrov, čo je často ešte dôležitejšie pre praktické uplatnenie než špecifické koreňové hodnoty. Riešenie rovníc online.Rovnice online. Úlohou riešenia rovnice je nájsť také hodnoty argumentov, pre ktoré je táto rovnosť dosiahnutá. Na možné hodnoty argumentov je možné uložiť ďalšie podmienky (celé číslo, skutočné atď.). Riešenie rovníc online.Rovnice online. Rovnicu môžete vyriešiť online okamžite a s vysokou presnosťou výsledku. Argumenty daných funkcií (niekedy nazývané „premenné“) v prípade rovnice sa nazývajú „neznáme“. Hodnoty neznámych, pre ktoré je táto rovnosť dosiahnutá, sa nazývajú riešenia alebo korene danej rovnice. Hovorí sa, že korene spĺňajú danú rovnicu. Riešiť rovnicu online znamená nájsť množinu všetkých jej riešení (korene) alebo dokázať, že žiadne korene neexistujú. Riešenie rovníc online.Rovnice online. Ekvivalent alebo ekvivalent sa nazývajú rovnice, ktorých množiny koreňov sa zhodujú. Za ekvivalent sa považujú aj rovnice, ktoré nemajú korene. Ekvivalencia rovníc má vlastnosť symetrie: ak je jedna rovnica ekvivalentná inej, potom je druhá rovnica ekvivalentná prvej. Ekvivalencia rovníc má vlastnosť tranzitivity: ak je jedna rovnica ekvivalentná druhej a druhá je ekvivalentná tretej, potom je prvá rovnica ekvivalentná tretej. Vlastnosť ekvivalencie rovníc umožňuje vykonávať s nimi transformácie, na ktorých sú založené metódy ich riešenia. Riešenie rovníc online.Rovnice online. Stránka vám umožní vyriešiť rovnicu online. Rovnice, pre ktoré sú známe analytické riešenia, zahŕňajú algebraické rovnice nie vyššie ako štvrtý stupeň: lineárnu rovnicu, kvadratickú rovnicu, kubickú rovnicu a rovnicu štvrtého stupňa. Algebraické rovnice vyšších stupňov vo všeobecnom prípade nemajú analytické riešenie, hoci niektoré z nich možno redukovať na rovnice nižšie stupne. Rovnice, ktoré zahŕňajú transcendentálne funkcie, sa nazývajú transcendentálne. Medzi nimi sú známe analytické riešenia pre niektoré goniometrické rovnice, pretože nuly goniometrické funkcie dobre známy. Vo všeobecnom prípade, keď nie je možné nájsť analytické riešenie, sa používajú numerické metódy. Numerické metódy nedávajú presné riešenie, ale umožňujú len zúžiť interval, v ktorom leží koreň, na určitú vopred určenú hodnotu. Riešenie rovníc online.. Online rovnice.. Namiesto online rovnice si predstavíme, ako ten istý výraz tvorí lineárnu závislosť a to nielen pozdĺž priamej dotyčnice, ale aj v samotnom bode ohybu grafu. Táto metóda je pri štúdiu predmetu vždy nevyhnutná. Často sa stáva, že riešenie rovníc sa pomocou nekonečných čísel a zapisovacích vektorov približuje ku konečnej hodnote. Je potrebné skontrolovať počiatočné údaje a to je podstatou úlohy. V opačnom prípade sa lokálna podmienka prevedie na vzorec. Inverzia priamky od danú funkciu, ktorú kalkulačka rovníc vypočíta bez veľkého oneskorenia pri vykonávaní, výsada priestoru poslúži ako sieť. Pôjde o výkon študentov vo vedeckom prostredí. Avšak, rovnako ako všetky vyššie uvedené, nám pomôže v procese hľadania, a keď rovnicu úplne vyriešite, potom výslednú odpoveď uložte na koncoch priamky. Čiary v priestore sa pretínajú v bode a tento bod sa nazýva pretínaný čiarami. Interval na linke je označený tak, ako bolo uvedené vyššie. Najvyšší príspevok o štúdiu matematiky bude zverejnený. Priradenie hodnoty argumentu z parametricky definovanej plochy a riešenie rovnice online bude môcť naznačiť princípy produktívneho volania funkcie. Möbiov pás, alebo ako sa tomu hovorí nekonečno, vyzerá ako osmička. Toto je jednostranný povrch, nie obojstranný. Podľa všetkým dobre známeho princípu budeme objektívne akceptovať lineárne rovnice ako základné označenie také, aké sú v študijnom odbore. Iba dve hodnoty za sebou daných argumentov dokážu odhaliť smer vektora. Predpokladať, že iné riešenie online rovníc je oveľa viac než len jeho riešenie, znamená získať na výstupe plnohodnotnú verziu invariantu. Bez integrovaného prístupu je pre študentov ťažké naučiť sa tento materiál. Tak ako doteraz, pre každý špeciálny prípad naša pohodlná a inteligentná online kalkulačka rovníc pomôže každému v ťažkej chvíli, pretože stačí zadať vstupné parametre a systém sám vypočíta odpoveď. Predtým, ako začneme zadávať údaje, potrebujeme vstupný nástroj, ktorý sa dá urobiť bez väčších problémov. Číslo každého skóre odpovede bude kvadratickou rovnicou vedúcou k našim záverom, ale nie je to také ľahké, pretože je ľahké dokázať opak. Teória pre svoje zvláštnosti nie je podložená praktickými poznatkami. Vidieť zlomkovú kalkulačku vo fáze publikovania odpovede nie je v matematike ľahká úloha, pretože alternatíva zápisu čísla na množinu zvyšuje rast funkcie. Nebolo by však nekorektné nehovoriť o školení žiakov, preto sa vyjadríme každý toľko, koľko je potrebné urobiť. Predtým nájdená kubická rovnica bude právom patriť do oblasti definície a bude obsahovať priestor číselných hodnôt, ako aj symbolických premenných. Keď sa naši študenti naučili alebo zapamätali vetu, preukážu sa iba s lepšia strana a budeme za nich radi. Na rozdiel od množiny priesečníkov polí sú naše online rovnice opísané rovinou pohybu pozdĺž násobenia dvoch a troch číselných kombinovaných čiar. Množina v matematike nie je jednoznačne definovaná. Najlepším riešením je podľa študentov písomný prejav doplnený do konca. Ako bolo povedané vedecký jazyk, abstrakcia symbolických výrazov nie je zahrnutá do stavu veci, ale riešenie rovníc dáva vo všetkých známych prípadoch jednoznačný výsledok. Dĺžka sedenia učiteľa závisí od potrieb v tejto ponuke. Analýza ukázala potrebu všetkých výpočtových techník v mnohých oblastiach a je úplne jasné, že kalkulačka rovníc je nepostrádateľným nástrojom v nadaných rukách študenta. Lojálny prístup k štúdiu matematiky určuje dôležitosť pohľadov rôznych smerov. Chcete určiť jednu z kľúčových viet a vyriešiť rovnicu takým spôsobom, v závislosti od odpovede, ktorej bude ďalšia potreba jej aplikácie. Analytika v tejto oblasti naberá na obrátkach. Začnime od začiatku a odvodíme vzorec. Po prelomení úrovne zvýšenia funkcie povedie dotyčnica v inflexnom bode nevyhnutne k tomu, že riešenie rovnice online bude jedným z hlavných aspektov pri zostavovaní rovnakého grafu z argumentu funkcie. Amatérsky prístup má právo na uplatnenie, ak táto podmienka nie je v rozpore so závermi študentov. Je to podúloha, ktorá dáva analýzu do pozadia, ktorá sa dostáva do pozadia. matematické podmienky ako lineárne rovnice v existujúcej oblasti definície objektu. Odsadenie v smere ortogonality ruší výhodu osamelej absolútnej hodnoty. Modulo, riešenie rovníc online dáva rovnaký počet riešení, ak zátvorky otvoríte najskôr znamienkom plus a potom znamienkom mínus. V tomto prípade existuje dvakrát toľko riešení a výsledok bude presnejší. Stabilná a správna online kalkulačka rovníc je úspechom pri dosahovaní zamýšľaného cieľa v úlohe stanovenej učiteľom. Zdá sa, že je možné zvoliť potrebnú metódu vzhľadom na výrazné rozdiely v názoroch veľkých vedcov. Výsledná kvadratická rovnica popisuje krivku priamok, takzvanú parabolu a znamienko určí jej konvexnosť v štvorcovom súradnicovom systéme. Z rovnice získame diskriminant aj samotné korene podľa Vietovej vety. Výraz je potrebné prezentovať ako vlastný alebo nevlastný zlomok a v prvej fáze použiť zlomkovú kalkulačku. V závislosti od toho sa vytvorí plán našich ďalších výpočtov. Matematika s teoretickým prístupom je užitočná v každej fáze. Výsledok určite uvedieme ako kubickú rovnicu, pretože do tohto výrazu skryjeme jej korene, aby sme študentovi na vysokej škole zjednodušili úlohu. Akékoľvek metódy sú dobré, ak sú vhodné na povrchovú analýzu. Extra aritmetické operácie nevedú k chybám vo výpočtoch. Určite odpoveď s danou presnosťou. Pomocou riešenia rovníc si povedzme na rovinu – nájsť nezávislú premennú z danej funkcie nie je také jednoduché, najmä počas študijného obdobia rovnobežné čiary v nekonečne. Vzhľadom na výnimku je potreba veľmi zrejmá. Rozdiel v polarite je jednoznačný. Zo skúseností s vyučovaním v ústavoch si náš učiteľ odniesol hlavná lekcia, na ktorom boli rovnice študované online v plnom matematickom zmysle. Tu išlo o vyššie úsilie a špeciálne zručnosti pri aplikácii teórie. V prospech našich záverov by sme sa nemali pozerať cez hranol. Až donedávna sa verilo, že uzavretá množina rýchlo rastie na ploche tak, ako je, a riešenie rovníc jednoducho treba preskúmať. V prvej fáze sme nezohľadnili všetky možné možnosti, ale takýto prístup je opodstatnenejší ako kedykoľvek predtým. Dodatočné akcie so zátvorkami odôvodňujú určité pokroky pozdĺž osi y a úsečky, ktoré nemožno prehliadnuť voľným okom. Existuje inflexný bod v zmysle širokého proporcionálneho zvýšenia funkcie. Opäť si ukážeme, ako bude potrebná podmienka aplikovaná na celom intervale klesania tej či onej klesajúcej polohy vektora. V obmedzenom priestore vyberieme premennú z úvodného bloku nášho skriptu. Systém postavený ako základ na troch vektoroch je zodpovedný za absenciu hlavného momentu sily. Kalkulačka rovníc však odvodila a pomohla nájsť všetky členy zostrojenej rovnice, a to ako nad povrchom, tak aj pozdĺž rovnobežných čiar. Opíšme kruh okolo počiatočného bodu. Začneme sa teda pohybovať nahor pozdĺž línií rezu a dotyčnica bude opisovať kružnicu po celej jej dĺžke, v dôsledku čoho dostaneme krivku, ktorá sa nazýva evolventa. Mimochodom, povedzme si o tejto krivke trochu histórie. Faktom je, že historicky v matematike neexistoval koncept samotnej matematiky v čistom zmysle, ako je tomu dnes. Predtým sa všetci vedci zaoberali jednou spoločnou vecou, ​​teda vedou. Neskôr, o niekoľko storočí neskôr, keď vedecký svet plné kolosálneho množstva informácií, ľudstvo stále vyčleňovalo mnoho disciplín. Stále zostávajú nezmenené. A predsa sa vedci na celom svete každý rok snažia dokázať, že veda je neobmedzená a rovnicu nevyriešite, ak nemáte znalosti o prírodných vedách. Skoncovať s tým možno nebude možné. Myslieť na to je rovnako zbytočné ako ohrievať vzduch vonku. Nájdite interval, v ktorom argument svojou kladnou hodnotou určuje modul hodnoty v prudko rastúcom smere. Reakcia pomôže nájsť aspoň tri riešenia, no bude potrebné ich skontrolovať. Začnime tým, že rovnicu musíme vyriešiť online pomocou unikátnej služby našej webovej stránky. Zadáme obe časti danej rovnice, stlačíme tlačidlo „RIEŠIŤ“ a dostaneme presnú odpoveď v priebehu niekoľkých sekúnd. V špeciálnych prípadoch si vezmeme knihu o matematike a skontrolujeme našu odpoveď, a to, že sa pozrieme iba na odpoveď a všetko bude jasné. Rovnaký projekt vyletí na umelom redundantnom hranole. Existuje rovnobežník so svojimi rovnobežnými stranami a vysvetľuje mnohé princípy a prístupy k štúdiu priestorového vzťahu vzostupného procesu akumulácie dutého priestoru v prírodných vzorcoch. Nejednoznačné lineárne rovnice ukazujú závislosť požadovanej premennej od nášho momentálne bežného riešenia a je potrebné nejako odvodiť a priniesť nesprávny zlomok na netriviálny prípad. Na priamke označíme desať bodov a cez každý bod nakreslíme krivku v danom smere a konvexnosťou nahor. Naša kalkulačka rovníc bez väčších problémov predloží výraz v takej forme, že jeho kontrola platnosti pravidiel bude zrejmá už na začiatku záznamu. Systém špeciálnych reprezentácií stability pre matematikov v prvom rade, pokiaľ vzorec neustanovuje inak. Na to odpovieme podrobnou prezentáciou správy o izomorfnom stave plastickej sústavy telies a riešenie rovníc online popíše pohyb každého hmotného bodu v tejto sústave. Na úrovni hĺbkovej štúdie bude potrebné detailne objasniť otázku inverzií aspoň spodnej vrstvy priestoru. Vo vzostupnom poradí na úseku diskontinuity funkcie použijeme všeobecnú metódu vynikajúceho výskumníka, mimochodom, nášho krajana a nižšie si povieme o správaní lietadla. Vzhľadom na silné charakteristiky analyticky danej funkcie používame online kalkulačku rovníc iba na určený účel v rámci odvodených limitov autority. Ak budeme ďalej argumentovať, zastavíme náš prehľad o homogenite samotnej rovnice, to znamená, že jej pravá strana sa rovná nule. Opäť si overíme správnosť nášho rozhodnutia v matematike. Aby sme sa vyhli triviálnemu riešeniu, vykonáme určité úpravy počiatočných podmienok pre problém podmienenej stability systému. Zostavme kvadratickú rovnicu, ku ktorej pomocou známeho vzorca vypíšeme dve položky a nájdeme záporné korene. Ak jeden koreň presahuje druhý a tretí koreň o päť jednotiek, potom vykonaním zmien v hlavnom argumente skreslíme počiatočné podmienky podproblému. V jadre je niečo neobvyklé v matematike vždy opísať s presnosťou na stotiny kladného čísla. Kalkulačka zlomkov je niekoľkonásobne lepšia ako jej náprotivky na podobných zdrojoch v najlepšom momente zaťaženia servera. Na povrch vektora rýchlosti rastúceho pozdĺž osi y nakreslíme sedem línií ohnutých v opačných smeroch. Súmerateľnosť argumentu priradenej funkcie vedie počítadlo zostatku obnovy. V matematike možno tento jav znázorniť pomocou kubickej rovnice s imaginárnymi koeficientmi, ako aj v bipolárnom postupe klesajúcich čiar. Kritické body teplotného rozdielu v mnohých významoch a priebehu opisujú proces rozkladu komplexu zlomková funkcia pre multiplikátory. Ak vám bolo povedané, aby ste rovnicu vyriešili, neponáhľajte sa s tým túto minútu, určite najprv zhodnoťte celý akčný plán a až potom zaujmite správny prístup. Výhody to určite bude. Ľahkosť v práci je zrejmá a v matematike je to rovnaké. Vyriešte rovnicu online. Všetky online rovnice sú určitým typom záznamu čísel alebo parametrov a premennou, ktorú je potrebné definovať. Vypočítajte túto premennú, to znamená nájdite konkrétne hodnoty alebo intervaly množiny hodnôt, pre ktoré bude identita splnená. Počiatočné a konečné podmienky priamo závisia. Všeobecné riešenie rovníc spravidla obsahuje niektoré premenné a konštanty, ktorých nastavením získame celé rodiny riešení pre daný problémový výrok. Vo všeobecnosti to odôvodňuje vynaložené úsilie v smere zvýšenia funkčnosti priestorovej kocky so stranou rovnajúcou sa 100 centimetrom. Veta alebo lemma môžete použiť v ktorejkoľvek fáze vytvárania odpovede. Stránka postupne vydáva kalkulačku rovníc, ak je to potrebné, v akomkoľvek intervale súčtu súčinov ukáž najmenšia hodnota. Takáto guľôčka ako dutá v polovici prípadov vo väčšej miere nespĺňa požiadavky na stanovenie medziodpovede. Minimálne na osi y v smere klesajúceho vektorového znázornenia bude tento podiel nepochybne optimálnejší ako predchádzajúci výraz. V hodinu, kedy lineárne funkcie Ak to bude úplná bodová analýza, v skutočnosti dáme dokopy všetky naše komplexné čísla a priestory bipolárnej roviny. Dosadením premennej do výsledného výrazu rovnicu vyriešite po etapách a dáte najpodrobnejšiu odpoveď s vysokou presnosťou. Opäť platí, že preverenie si svojich činov v matematike bude dobrou formou zo strany študenta. Podiel v pomere zlomkov stanovil integritu výsledku pre všetkých dôležité oblasti nulová vektorová aktivita. Triviálnosť sa potvrdzuje na konci vykonaných akcií. S jednoduchým súborom úloh nemôžu mať študenti ťažkosti, ak vyriešia rovnicu online v čo najkratšom čase, ale nezabúdajú na všetky druhy pravidiel. Množina podmnožín sa pretína v oblasti konvergujúcej notácie. V rôznych prípadoch výrobok nie je chybne faktorizovaný. S riešením rovnice online vám pomôže naša prvá sekcia o základoch matematických techník pre významné sekcie pre študentov univerzít a technických škôl. Zodpovedanie príkladov nás nenechá čakať niekoľko dní, keďže proces najlepšej interakcie vektorovej analýzy so sekvenčným hľadaním riešení bol patentovaný začiatkom minulého storočia. Ukazuje sa, že snahy o spojenie s okolitým tímom nevyšli nazmar, v prvom rade sa zjavne čakalo na niečo iné. O niekoľko generácií neskôr vedci z celého sveta verili, že matematika je kráľovnou vied. Či už ide o ľavú alebo správnu odpoveď, vyčerpávajúce pojmy treba aj tak napísať do troch riadkov, keďže v našom prípade budeme hovoriť jednoznačne len o vektorovej analýze vlastností matice. Nelineárne a lineárne rovnice spolu s bikvadratickými rovnicami zaujali osobitné miesto v našej knihe o najlepších metódach na výpočet trajektórie pohybu v priestore všetkých hmotné body uzavretý systém. Pomôžte nám uviesť myšlienku do života lineárna analýza skalárny súčin troch po sebe nasledujúcich vektorov. Na konci každého nastavenia je úloha uľahčená zavedením optimalizovaných numerických výnimiek v kontexte vykonávaných prekrytí numerického priestoru. Iný rozsudok nebude odporovať nájdenej odpovedi v ľubovoľnej forme trojuholníka v kruhu. Uhol medzi týmito dvoma vektormi obsahuje požadované percento marže a riešenie rovníc online často odhalí nejaký spoločný koreň rovnice na rozdiel od počiatočných podmienok. Výnimka zohráva úlohu katalyzátora v celom nevyhnutnom procese hľadania pozitívneho riešenia v oblasti definície funkcií. Ak sa nehovorí, že nemôžete používať počítač, potom je online kalkulačka rovníc ako stvorená pre vaše náročné úlohy. Stačí zadať vaše podmienené údaje v správnom formáte a náš server vám v čo najkratšom čase vystaví plnohodnotnú výslednú odpoveď. Exponenciálna funkcia rastie oveľa rýchlejšie ako lineárna. Svedčia o tom Talmudy šikovnej knižničnej literatúry. Výpočet vykoná vo všeobecnom zmysle, ako by to urobila daná kvadratická rovnica s tromi komplexnými koeficientmi. Parabola v hornej časti polroviny charakterizuje priamočiary rovnobežný pohyb pozdĺž osí bodu. Tu stojí za zmienku potenciálny rozdiel v pracovnom priestore tela. Na oplátku za suboptimálny výsledok naša zlomková kalkulačka právom zaberá prvé miesto v matematickom hodnotení prehľadu funkčných programov na zadnej strane. Jednoduchosť používania tejto služby ocenia milióny používateľov internetu. Ak si s tým neviete rady, potom vám radi pomôžeme. Chceme tiež vyzdvihnúť a vyzdvihnúť kubickú rovnicu z množstva úloh pre žiakov prvého stupňa základných škôl, keď potrebujete rýchlo nájsť jej korene a nakresliť graf funkcie do roviny. vyššie stupne reprodukcia je jednou z najťažších matematické problémy na ústave a na jeho štúdium je vyčlenený dostatočný počet hodín. Ako všetky lineárne rovnice, ani naša nie je výnimkou z mnohých objektívnych pravidiel, pozrite sa na to z rôznych uhlov pohľadu a ukáže sa, že je jednoduché a postačujúce na nastavenie počiatočných podmienok. Interval nárastu sa zhoduje s intervalom konvexnosti funkcie. Riešenie rovníc online. Štúdium teórie je založené na online rovniciach z mnohých sekcií o štúdiu hlavnej disciplíny. V prípade takéhoto prístupu pri neistých problémoch je veľmi jednoduché prezentovať riešenie rovníc vo vopred určenom tvare a nielen vyvodzovať závery, ale aj predpovedať výsledok takéhoto pozitívneho riešenia. Služba nám najviac pomôže naučiť sa predmetnú oblasť najlepšie tradície matematika, tak ako je to zvykom na východe. V najlepších momentoch časového intervalu sa podobné úlohy násobili spoločným násobiteľom desaťkrát. S množstvom násobení viacerých premenných v kalkulačke rovníc sa začalo násobiť kvalitou a nie kvantitatívnymi premennými, ako sú napríklad hmotnosť alebo telesná hmotnosť. Aby sme sa vyhli prípadom nerovnováhy materiálového systému, je nám celkom samozrejmé odvodenie trojrozmerného prevodníka na triviálnej konvergencii nedegenerovaných matematických matíc. Splňte úlohu a vyriešte rovnicu v daných súradniciach, pretože výstup je vopred neznámy, rovnako ako všetky premenné zahrnuté v post-priestorovom čase sú neznáme. Na krátky čas vytlačte spoločný činiteľ zo zátvoriek a vydeľte ho najväčším spoločný deliteľ obe časti vopred. Z výslednej pokrytej podmnožiny čísel vytiahnite podrobným spôsobom tridsaťtri bodov za sebou v krátkom čase. Pokiaľ v v tom najlepšom pre každého študenta je možné rovnicu vyriešiť online s pohľadom dopredu, povedzme si jednu dôležitú, no kľúčovú vec, bez ktorej sa nám v budúcnosti nebude ľahko žiť. V minulom storočí si veľký vedec všimol množstvo zákonitostí v teórii matematiky. V praxi to dopadlo nie celkom očakávaným dojmom z udalostí. V zásade však práve toto riešenie rovníc online pomáha zlepšiť pochopenie a vnímanie holistického prístupu k štúdiu a praktickému upevňovaniu študentmi preberanej teoretickej látky. Počas štúdia je to oveľa jednoduchšie.

=

Budeme analyzovať dva typy systémov riešenia rovníc:

1. Riešenie sústavy substitučnou metódou.
2. Riešenie sústavy po členoch sčítaním (odčítaním) rovníc sústavy.

Aby sme vyriešili sústavu rovníc substitučná metóda musíte postupovať podľa jednoduchého algoritmu:
1. Vyjadrujeme. Z ľubovoľnej rovnice vyjadríme jednu premennú.
2. Náhradník. Do inej rovnice dosadíme namiesto vyjadrenej premennej výslednú hodnotu.
3. Výslednú rovnicu riešime s jednou premennou. Nájdeme riešenie systému.

Vyriešiť systém sčítaním (odčítaním) po členoch potrebovať:
1. Vyberte premennú, pre ktorú urobíme rovnaké koeficienty.
2. Rovnice sčítame alebo odčítame, vo výsledku dostaneme rovnicu s jednou premennou.
3. Vyriešime výslednú lineárnu rovnicu. Nájdeme riešenie systému.

Riešením sústavy sú priesečníky grafov funkcie.

Pozrime sa podrobne na riešenie systémov pomocou príkladov.

Príklad č. 1:

Riešime substitučnou metódou

Riešenie sústavy rovníc substitučnou metódou

2x+5y=1 (1 rovnica)
x-10y=3 (2. rovnica)

1. Express
Je vidieť, že v druhej rovnici je premenná x s koeficientom 1, preto sa ukazuje, že najjednoduchšie je vyjadriť premennú x z druhej rovnice.
x = 3 + 10 rokov

2. Po vyjadrení dosadíme do prvej rovnice namiesto premennej x 3 + 10y.
2(3+10r)+5y=1

3. Výslednú rovnicu riešime s jednou premennou.
2(3+10r)+5y=1 (otvorené zátvorky)
6 + 20 rokov + 5 rokov = 1
25r = 1-6
25r=-5 |: (25)
y=-5:25
y = -0,2

Riešením sústavy rovníc sú priesečníky grafov, preto potrebujeme nájsť x a y, pretože priesečník sa skladá z x a y. Nájdite x, v prvom odseku, kde sme vyjadrili, dosadíme y.
x = 3 + 10 rokov
x=3+10*(-0,2)=1

Na prvom mieste je zvykom písať body, napíšeme premennú x a na druhé miesto premennú y.
Odpoveď: (1; -0,2)

Príklad č. 2:

Riešime sčítaním (odčítaním) po členoch.

Riešenie sústavy rovníc sčítacou metódou

3x-2y=1 (1 rovnica)
2x-3y=-10 (2. rovnica)

1. Vyberte premennú, povedzme, že vyberieme x. V prvej rovnici má premenná x koeficient 3, v druhej - 2. Musíme urobiť koeficienty rovnaké, na to máme právo rovnice vynásobiť alebo deliť ľubovoľným číslom. Vynásobte prvú rovnicu 2 a druhú 3, aby ste dostali celkový koeficient 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Od prvej rovnice odčítajte druhú, aby ste sa zbavili premennej x Vyriešte lineárnu rovnicu.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y = 6,4

3. Nájdite x. Nájdené y dosadíme do ktorejkoľvek z rovníc, povedzme do prvej rovnice.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x = 1 + 12,8
3x=13,8 |:3
x = 4,6

Priesečník bude x=4,6; y = 6,4
Odpoveď: (4,6; 6,4)

Chcete sa pripraviť na skúšky zadarmo? Doučovateľ online je zadarmo. Nežartuj.

Bezplatná kalkulačka ponúkaná do vašej pozornosti má bohatý arzenál možností na matematické výpočty. Umožňuje vám používať online kalkulačku v rôznych odboroch aktivity: vzdelávacie, profesionálny a komerčné. Obľúbené je samozrejme najmä používanie online kalkulačky študentov a školákov, výrazne im to uľahčuje vykonávanie rôznych výpočtov.

Kalkulačka však môže byť užitočným nástrojom v niektorých oblastiach podnikania a pre ľudí rôznych profesií. Samozrejme, nutnosť používania kalkulačky pri podnikaní či práci je daná predovšetkým samotným druhom činnosti. Ak je podnikanie a povolanie spojené s neustálymi výpočtami a výpočtami, potom stojí za to vyskúšať elektronickú kalkulačku a posúdiť mieru jej užitočnosti pre konkrétny podnik.

Táto online kalkulačka to dokáže

• Správne vykonávať štandardné matematické funkcie napísané v jednom riadku ako - 12*3-(7/2) a dokáže spracovať čísla väčšie, ako počítame obrovské čísla v online kalkulačke. Ani nevieme, ako také číslo správne zavolať ( je tam 34 znakov a to vôbec nie je limit).
• Okrem dotyčnica, kosínus, sínus a ďalšie štandardné funkcie - kalkulačka podporuje výpočtové operácie oblúková dotyčnica, oblúková dotyčnica a ďalšie.
• K dispozícii v arzenáli logaritmy, faktoriály a ďalšie skvelé funkcie
• Táto online kalkulačka môže robiť grafy!!!

Na vykresľovanie grafov služba využíva špeciálne tlačidlo (vykresľuje sa sivý graf) alebo doslovné znázornenie tejto funkcie (Plot). Ak chcete vytvoriť graf v online kalkulačke, stačí napísať funkciu: plot(tan(x)),x=-360..360.

Vzali sme najjednoduchší graf pre dotyčnicu a za desatinnou čiarkou sme označili rozsah premennej X od -360 do 360.

Môžete vytvoriť absolútne akúkoľvek funkciu s ľubovoľným počtom premenných, napríklad: plot(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4) Alebo ešte zložitejšie, ako si dokážete predstaviť. Pozornosť venujeme správaniu premennej X - interval od a do je vyznačený pomocou dvoch bodov.

Jediné negatívum (aj keď je ťažké to nazvať negatívom) tohto online kalkulačka to je to, že nevie stavať gule a iné trojrozmerné postavy - iba rovinu.

Ako pracovať s matematickou kalkulačkou

1. Displej (obrazovka kalkulačky) zobrazuje zadaný výraz a výsledok jeho výpočtu bežnými znakmi, ako píšeme na papier. Toto pole slúži len na zobrazenie aktuálnej operácie. Záznam sa zobrazuje na displeji, keď zadávate matematický výraz do vstupného riadku.

2. Vstupné pole výrazu je určené na zápis výrazu, ktorý sa má vypočítať. Tu je potrebné poznamenať, že matematické symboly používané v počítačových programoch sa nie vždy zhodujú s tými, ktoré zvyčajne používame na papieri. V prehľade každej funkcie kalkulačky nájdete správne označenie pre konkrétnu operáciu a príklady výpočtov v kalkulačke. Na tejto stránke nižšie je zoznam všetkých možných operácií v kalkulačke s uvedením ich správneho pravopisu.

3. Panel nástrojov - sú to tlačidlá kalkulačky, ktoré nahrádzajú manuálne zadávanie matematických symbolov označujúcich príslušnú operáciu. Niektoré tlačidlá kalkulačky (prídavné funkcie, prevodník jednotiek, riešenie matíc a rovníc, grafy) dopĺňajú panel úloh o nové polia, kde sa zadávajú údaje pre konkrétny výpočet. Pole "História" obsahuje príklady písania matematických výrazov, ako aj vašich posledných šesť záznamov.

Upozorňujeme, že keď stlačíte tlačidlá na volanie doplnkových funkcií, prevodník hodnôt, riešenie matíc a rovníc, vykresľovanie grafov, celý panel kalkulačky sa posunie nahor a zakryje časť displeja. Vyplňte požadované polia a stlačte tlačidlo „I“ (na obrázku zvýraznené červenou farbou), aby ste videli displej v plnej veľkosti.

4. Numerická klávesnica obsahuje čísla a aritmetické znaky. Tlačidlo "C" vymaže celý záznam v poli na zadanie výrazu. Ak chcete odstrániť znaky jeden po druhom, musíte použiť šípku napravo od vstupného riadku.

Pokúste sa vždy uzavrieť zátvorky na konci výrazu. Pre väčšinu operácií to nie je kritické, online kalkulačka všetko vypočíta správne. V niektorých prípadoch sú však možné chyby. Napríklad pri zvýšení na zlomkovú mocninu, neuzavreté zátvorky spôsobia, že menovateľ zlomku v exponente prejde na menovateľa základne. Na displeji je zatváracia zátvorka označená bledosivou farbou, po dokončení nahrávania musí byť zatvorená.

kľúč	Symbol	Prevádzka
pi	pi	konštantná pi
e	e	Eulerovo číslo
%	%	Percento
()	()	Otvoriť/Zatvoriť zátvorky
,	,	Čiarka
hriech	hriech (?)	Sínus uhla
cos	pretože (?)	Kosínus
opálenie	tan(y)	Tangenta
sinh	sinh()	Hyperbolický sínus
hotovosť	cosh()	Hyperbolický kosínus
tanh	tanh()	Hyperbolická dotyčnica
hriech-1	ako v()	Inverzný sínus
cos-1	acos()	inverzný kosínus
tan-1	opálenie()	inverzná dotyčnica
sinh-1	asinh()	Inverzný hyperbolický sínus
cosh-1	acosh()	Inverzný hyperbolický kosínus
tanh-1	atanh()	Inverzná hyperbolická tangens
x2	^2	Kvadratúra
x 3	^3	Kocka
x y	^	Umocňovanie
10 x	10^()	Umocnenie v základe 10
napr	exp()	Umocnenie Eulerovho čísla
vx	sqrt(x)	Odmocnina
3vx	sqrt3(x)	Koreň 3. stupňa
yvx	štvorec (x, y)	extrakcia koreňov
log 2 x	log2(x)	binárny logaritmus
log	log(x)	Desatinný logaritmus
ln	log(x)	prirodzený logaritmus
log yx	log(x,y)	Logaritmus
I / II		Minimalizovať/vyvolať ďalšie funkcie
jednotka		Prevodník jednotiek
matice		matice
vyriešiť		Rovnice a sústavy rovníc
		Plotovanie
Doplnkové funkcie (volanie pomocou tlačidla II)
mod	mod	Delenie so zvyškom
!	!	Faktorový
i/j	i/j	pomyselná jednotka
Re	Re()	Výber celej reálnej časti
Im	som()	Vylúčenie skutočnej časti
|x|	abs()	Absolútna hodnota čísla
Arg	arg()	Argument funkcie
nCr	ncr()	Binomický koeficient
gcd	gcd()	GCD
lcm	lcm()	NOC
súčet	suma()	Súčet hodnoty všetkých riešení
fac	faktorizovať ()	Prvotná faktorizácia
dif	diff()	Diferenciácia
Deg		stupňa
Rad		radiánov

I. os 2 \u003d 0 – neúplné kvadratická rovnica (b=0, c=0 ). Riešenie: x=0. odpoveď: 0.

Riešte rovnice.

2x·(x+3)=6x-x2.

Riešenie. Rozšírte zátvorky násobením 2x pre každý výraz v zátvorkách:

2x2 +6x=6x-x2 ; presun výrazov z pravej strany na ľavú:

2x2 +6x-6x+x2=0; Tu sú podobné výrazy:

3x 2 = 0, teda x = 0.

odpoveď: 0.

II. ax2+bx=0 –neúplné kvadratická rovnica (s = 0 ). Riešenie: x (ax+b)=0 → x 1 =0 alebo ax+b=0 → x 2 =-b/a. Odpoveď: 0; -b/a.

5x2 -26x=0.

Riešenie. Odstráňte spoločný faktor X pre zátvorky:

x(5x-26)=0; každý faktor môže byť nula:

x=0 alebo 5x-26=0→ 5x=26, obe strany rovnosti vydeľte 5 a dostaneme: x \u003d 5.2.

odpoveď: 0; 5,2.

Príklad 3 64x+4x2=0.

Riešenie. Odstráňte spoločný faktor 4x pre zátvorky:

4x(16+x)=0. Máme tri faktory, 4≠0, teda, resp x=0 alebo 16+x=0. Z poslednej rovnosti dostaneme x=-16.

odpoveď: -16; 0.

Príklad 4(x-3) 2 + 5 x = 9.

Riešenie. Použitím vzorca pre druhú mocninu rozdielu dvoch výrazov otvorte zátvorky:

x 2-6x+9+5x=9; transformovať do tvaru: x 2 -6x+9+5x-9=0; Tu sú podobné výrazy:

x2-x=0; vydržať X mimo zátvoriek dostaneme: x (x-1)=0. Odtiaľto resp x=0 alebo x-1=0→ x=1.

odpoveď: 0; 1.

III. ax2+c=0 –neúplné kvadratická rovnica (b=0 ); Riešenie: ax 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a.

Ak (-c/a)<0 , potom neexistujú žiadne skutočné korene. Ak (-s/a)>0

Príklad 5 x 2-49=0.

Riešenie.

x 2 \u003d 49 odtiaľto x=±7. odpoveď:-7; 7.

Príklad 6 9x2-4=0.

Riešenie.

Často je potrebné nájsť súčet druhých mocnín (x 1 2 + x 2 2) alebo súčet kociek (x 1 3 + x 2 3) koreňov kvadratickej rovnice, menej často - súčet prevrátených hodnôt druhé mocniny koreňov alebo súčet aritmetiky odmocniny od koreňov kvadratickej rovnice:

Vietova veta s tým môže pomôcť:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

expresné cez p a q:

1) súčet druhých mocnín koreňov rovnice x2+px+q=0;

2) súčet kociek koreňov rovnice x2+px+q=0.

Riešenie.

1) Výraz x 1 2 + x 2 2 získaná kvadratúrou oboch strán rovnice x 1 + x 2 \u003d-p;

(x 1 + x 2) 2 \u003d (-p) 2; otvorte zátvorky: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; vyjadríme požadované množstvo: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2x 1 x 2 \u003d p 2 -2q. Máme užitočnú rovnicu: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.

2) Výraz x 1 3 + x 2 3 reprezentovať pomocou vzorca súčet kociek v tvare:

(x 1 3 +x 2 3) = (x 1 + x 2) (x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2) = -p (p 2 -2q-q) = -p (p 2 -3q ).

Ďalšia užitočná rovnica: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 - 3q).

Príklady.

3) x 2-3x-4=0. Bez riešenia rovnice vypočítajte hodnotu výrazu x 1 2 + x 2 2.

Riešenie.

x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 3, a prácu x 1 ∙ x 2 \u003d q \u003dv príklade 1) rovnosť:

x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q. Máme -p= x 1 + x 2 = 3 → p2=32=9; q= x 1 x 2 = -4. Potom x12 + x22 = 9-2 (-4) = 9 + 8 = 17.

odpoveď: x12 + x22 = 17.

4) x 2-2x-4=0. Vypočítajte: x 1 3 + x 2 3 .

Riešenie.

Podľa Vietovej vety súčet koreňov tejto redukovanej kvadratickej rovnice x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 2, a prácu x 1 ∙ x 2 \u003d q \u003d-štyri. Použime to, čo sme získali ( v príklade 2) rovnosť: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q) \u003d 2(22-3 (-4))=2(4+12)=216=32.

odpoveď: x 1 3 + x 2 3 = 32.

Otázka: čo ak dostaneme neredukovanú kvadratickú rovnicu? Odpoveď: vždy sa dá „znížiť“ vydelením člen po člen prvým koeficientom.

5) 2x2 -5x-7=0. Bez riešenia vypočítajte: x 1 2 + x 2 2.

Riešenie. Dostali sme úplnú kvadratickú rovnicu. Vydeľte obe strany rovnice 2 (prvý koeficient) a získajte nasledujúcu kvadratickú rovnicu: x 2 – 2,5 x – 3,5 \u003d 0.

Podľa Vietovej vety je súčet koreňov 2,5 ; produktom koreňov je -3,5 .

Riešime rovnakým spôsobom ako príklad 3) pomocou rovnosti: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.

x12 +x22 =p2-2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

odpoveď: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x2-5x-2=0. Nájsť:

Transformujme túto rovnosť a nahradením súčtu koreňov v zmysle Vietovej vety, -p, a produkt koreňov cez q, dostaneme ďalší užitočný vzorec. Pri odvodzovaní vzorca sme použili rovnosť 1): x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.

V našom príklade x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 5; x 1 ∙ x 2 \u003d q \u003d-2. Do výsledného vzorca nahraďte tieto hodnoty:

7) x 2 - 13 x + 36 = 0. Nájsť:

Transformujme tento súčet a získajme vzorec, pomocou ktorého bude možné nájsť súčet aritmetických odmocnín z koreňov kvadratickej rovnice.

Máme x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 13; x 1 ∙ x 2 \u003d q \u003d 36. Nahraďte tieto hodnoty do odvodeného vzorca:

Poradenstvo : vždy skontrolujte možnosť nájdenia koreňov kvadratickej rovnice podľa vhodným spôsobom, po všetkom 4 preskúmané užitočné vzorce vám umožní rýchlo dokončiť úlohu, predovšetkým v prípadoch, keď je diskriminant „nepohodlné“ číslo. Vo všetkých jednoduchých prípadoch nájdite korene a operujte ich. Napríklad v poslednom príklade vyberieme korene pomocou Vietovej vety: súčet koreňov by sa mal rovnať 13 a produkt z koreňov 36 . Aké sú tieto čísla? Samozrejme, 4 a 9. Teraz vypočítajte súčet druhých odmocnín týchto čísel: 2+3=5. To je všetko!

I. Vietova veta pre redukovanú kvadratickú rovnicu.

Súčet koreňov redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +px+q=0 sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu:

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

Nájdite korene danej kvadratickej rovnice pomocou Vietovej vety.

Príklad 1) x2-x-30=0. Toto je redukovaná kvadratická rovnica ( x 2 +px+q=0), druhý koeficient p = -1 a voľný termín q = -30. Najprv sa uistite, že daná rovnica má korene a že korene (ak nejaké existujú) budú vyjadrené ako celé čísla. Na to stačí, aby bol diskriminant plné námestie celé číslo.

Hľadanie diskriminujúceho D=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Teraz sa podľa Vietovej vety súčet koreňov musí rovnať druhému koeficientu, branému s opačným znamienkom, t.j. ( -p), a produkt sa rovná voľnému termínu, t.j. ( q). potom:

xi + x2 = 1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30. Musíme vybrať také dve čísla, aby sa ich súčin rovnal -30 , a suma je jednotka. Toto sú čísla -5 a 6 . Odpoveď: -5; 6.

Príklad 2) x 2 +6x+8=0. Máme redukovanú kvadratickú rovnicu s druhým koeficientom p=6 a voľný člen q = 8. Uistite sa, že existujú celé čísla. Nájdime diskriminantov D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Diskriminant D 1 je dokonalá druhá mocnina čísla 1 , takže korene tejto rovnice sú celé čísla. Korene volíme podľa Vietovej vety: súčet koreňov sa rovná –p=-6, a produktom koreňov je q = 8. Toto sú čísla -4 a -2 .

V skutočnosti: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Odpoveď: -4; -2.

Príklad 3) x 2 +2x-4=0. V tejto redukovanej kvadratickej rovnici druhý koeficient p=2 a voľný termín q = -4. Nájdime diskriminantov D1, keďže druhý koeficient je párne číslo. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Diskriminant nie je dokonalá druhá mocnina čísla, tak to robíme my záver: korene tejto rovnice nie sú celé čísla a nemožno ich nájsť pomocou Vietovej vety. Túto rovnicu teda riešime ako obvykle podľa vzorcov (v tento prípad vzorce). Dostaneme:

Príklad 4). Napíšte kvadratickú rovnicu pomocou jej koreňov ak x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.

Riešenie. Požadovaná rovnica bude napísaná v tvare: x 2 +px+q=0, navyše na základe Vietovej vety –p=x1 +x2=-7+4=-3 ->p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Potom bude mať rovnica tvar: x2 +3x-28=0.

Príklad 5). Napíšte kvadratickú rovnicu pomocou jej koreňov, ak:

II. Vietov teorém pre úplnú kvadratickú rovnicu ax2+bx+c=0.

Súčet koreňov je mínus b deleno a, produktom koreňov je s deleno a:

x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.

Príklad 6). Nájdite súčet koreňov kvadratickej rovnice 2x2 -7x-11=0.

Riešenie.

Sme presvedčení, že táto rovnica bude mať korene. Na to stačí napísať výraz pre diskriminant a bez toho, aby ste ho vypočítali, sa uistite, že je diskriminant väčší ako nula. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . A teraz poďme použiť teorém Vieta pre úplné kvadratické rovnice.

x 1 + x 2 = -b:a=- (-7):2=3,5.

Príklad 7). Nájdite súčin koreňov kvadratickej rovnice 3x2 +8x-21=0.

Riešenie.

Nájdime diskriminantov D1, keďže druhý koeficient ( 8 ) je párne číslo. D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Kvadratická rovnica má 2 koreň, podľa Vietovej vety súčin koreňov x 1 ∙ x 2 \u003d c: a=-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0 je všeobecná kvadratická rovnica

Diskriminačný D=b2-4ac.

Ak D>0, potom máme dva skutočné korene:

Ak D = 0, potom máme jeden koreň (alebo dva rovnaké korene) x=-b/(2a).

Ak D<0, то действительных корней нет.

Príklad 1) 2x2 + 5x-3=0.

Riešenie. a=2; b=5; c=-3.

D = b 2-4ac=52-4∙2∙(-3)=25+24=49=72 >0; 2 skutočné korene.

4x2 +21x+5=0.

Riešenie. a=4; b=21; c=5.

D = b 2-4ac=212 - 4∙4∙5=441-80=361=192 >0; 2 skutočné korene.

II. ax2+bx+c=0 – špeciálna kvadratická rovnica na párnu sekundu

koeficient b

Príklad 3) 3x2 -10x+3=0.

Riešenie. a=3; b\u003d -10 (párne číslo); c=3.

Príklad 4) 5x2-14x-3=0.

Riešenie. a=5; b= -14 (párne číslo); c=-3.

Príklad 5) 71 x 2 + 144 x + 4 = 0.

Riešenie. a=71; b=144 (párne číslo); c=4.

Príklad 6) 9x 2 -30x+25=0.

Riešenie. a=9; b\u003d -30 (párne číslo); c=25.

III. ax2+bx+c=0 – kvadratická rovnica súkromný typ, za predpokladu: a-b+c=0.

Prvý koreň je vždy mínus jedna a druhý koreň je mínus s deleno a:

x 1 \u003d -1, x 2 \u003d - c / a.

Príklad 7) 2x2+9x+7=0.

Riešenie. a=2; b=9; c=7. Pozrime sa na rovnosť: a-b+c=0. Dostaneme: 2-9+7=0 .

Potom x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -c / a \u003d -7 / 2 \u003d -3,5. odpoveď: -1; -3,5.

IV. ax2+bx+c=0 – kvadratická rovnica určitého tvaru za podmienky : a+b+c=0.

Prvý koreň sa vždy rovná jednej a druhý koreň sa rovná s deleno a:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a.

Príklad 8) 2x2 -9x+7=0.

Riešenie. a=2; b=-9; c=7. Pozrime sa na rovnosť: a+b+c=0. Dostaneme: 2-9+7=0 .

Potom x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 7/2 \u003d 3.5. odpoveď: 1; 3,5.

Strana 1 z 1 1

Kvadratické rovnice sa študujú v 8. ročníku, takže tu nie je nič zložité. Schopnosť ich riešiť je nevyhnutná.

Kvadratická rovnica je rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde koeficienty a, b a c sú ľubovoľné čísla a a ≠ 0.

Pred štúdiom konkrétnych metód riešenia si všimneme, že všetky kvadratické rovnice možno rozdeliť do troch tried:

1. Nemať korene;
2. Majú presne jeden koreň;
3. Majú dva rôzne korene.

Toto je dôležitý rozdiel medzi kvadratickými a lineárnymi rovnicami, kde koreň vždy existuje a je jedinečný. Ako určiť, koľko koreňov má rovnica? Je na to úžasná vec - diskriminačný.

Diskriminačný

Nech je daná kvadratická rovnica ax 2 + bx + c = 0. Potom je diskriminantom jednoducho číslo D = b 2 − 4ac .

Tento vzorec musí byť známy naspamäť. Odkiaľ pochádza, nie je teraz dôležité. Ďalšia vec je dôležitá: podľa znamienka diskriminantu môžete určiť, koľko koreňov má kvadratická rovnica. menovite:

1. Ak D< 0, корней нет;
2. Ak D = 0, existuje práve jeden koreň;
3. Ak D > 0, budú existovať dva korene.

Upozorňujeme: diskriminant označuje počet koreňov a vôbec nie ich znaky, ako si z nejakého dôvodu mnohí ľudia myslia. Pozrite si príklady a sami všetko pochopíte:

Úloha. Koľko koreňov majú kvadratické rovnice:

1. x 2 - 8 x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Napíšeme koeficienty pre prvú rovnicu a nájdeme diskriminant:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Takže diskriminant je kladný, takže rovnica má dva rôzne korene. Druhú rovnicu analyzujeme rovnakým spôsobom:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminant je negatívny, neexistujú žiadne korene. Zostáva posledná rovnica:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminačný nula- koreň bude jeden.

Všimnite si, že koeficienty boli napísané pre každú rovnicu. Áno, je to dlhé, áno, je to zdĺhavé – ale nebudete si miešať šance a neurobíte hlúpe chyby. Vyberte si sami: rýchlosť alebo kvalitu.

Mimochodom, ak si „naplníte ruku“, po chvíli už nebudete musieť vypisovať všetky koeficienty. Takéto operácie budete vykonávať v hlave. Väčšina ľudí to začne robiť niekde po 50-70 vyriešených rovniciach - vo všeobecnosti nie tak veľa.

Korene kvadratickej rovnice

Teraz prejdime k riešeniu. Ak je diskriminant D > 0, korene možno nájsť pomocou vzorcov:

Základný vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Keď D = 0, môžete použiť ktorýkoľvek z týchto vzorcov – dostanete rovnaké číslo, ktoré bude odpoveďou. Nakoniec, ak D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2 x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Prvá rovnica:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ rovnica má dva korene. Poďme ich nájsť:

Druhá rovnica:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ rovnica má opäť dva korene. Poďme ich nájsť

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(zarovnať)\]

Nakoniec tretia rovnica:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ rovnica má jeden koreň. Môže sa použiť akýkoľvek vzorec. Napríklad ten prvý:

Ako vidíte z príkladov, všetko je veľmi jednoduché. Ak poznáte vzorce a viete počítať, nebudú žiadne problémy. Najčastejšie sa chyby vyskytujú, keď sa do vzorca dosadia záporné koeficienty. Tu opäť pomôže technika opísaná vyššie: pozrite sa na vzorec doslovne, namaľte každý krok - a veľmi skoro sa zbavte chýb.

Neúplné kvadratické rovnice

Stáva sa, že kvadratická rovnica je trochu odlišná od toho, čo je uvedené v definícii. Napríklad:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Je ľahké vidieť, že v týchto rovniciach chýba jeden z členov. Takéto kvadratické rovnice sa riešia ešte ľahšie ako štandardné: nepotrebujú ani vypočítať diskriminant. Predstavme si teda nový koncept:

Rovnica ax 2 + bx + c = 0 sa nazýva neúplná kvadratická rovnica, ak b = 0 alebo c = 0, t.j. koeficient premennej x alebo voľného prvku sa rovná nule.

Samozrejme, je možný veľmi ťažký prípad, keď sa oba tieto koeficienty rovnajú nule: b \u003d c \u003d 0. V tomto prípade má rovnica tvar ax 2 \u003d 0. Je zrejmé, že takáto rovnica má jedinú koreň: x \u003d 0.

Pozrime sa na ďalšie prípady. Nech b \u003d 0, potom dostaneme neúplnú kvadratickú rovnicu tvaru ax 2 + c \u003d 0. Poďme ju mierne transformovať:

Keďže aritmetická druhá odmocnina existuje len z nezáporného čísla, posledná rovnosť má zmysel len vtedy, keď (−c / a ) ≥ 0. Záver:

1. Ak neúplná kvadratická rovnica v tvare ax 2 + c = 0 spĺňa nerovnosť (−c / a ) ≥ 0, korene budú dva. Vzorec je uvedený vyššie;
2. Ak (-c / a)< 0, корней нет.

Ako vidíte, diskriminačný znak sa nevyžadoval - neúplný kvadratické rovnicežiadne zložité výpočty. V skutočnosti si ani netreba pamätať nerovnosť (−c / a ) ≥ 0. Stačí vyjadriť hodnotu x 2 a pozrieť sa, čo je na druhej strane znamienka rovnosti. Ak tu kladné číslo budú dva korene. Ak je negatívny, nebudú tam žiadne korene.

Teraz sa pozrime na rovnice tvaru ax 2 + bx = 0, v ktorých sa voľný prvok rovná nule. Všetko je tu jednoduché: vždy budú existovať dva korene. Polynóm stačí rozložiť na faktor:

Vyňatie spoločného faktora zo zátvorky

Súčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Odtiaľ pochádzajú korene. Na záver analyzujeme niekoľko z týchto rovníc:

Úloha. Riešte kvadratické rovnice:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Neexistujú žiadne korene, pretože štvorec sa nemôže rovnať zápornému číslu.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.