Úloha 16:

Je možné vymeniť 25 rubľov za desať bankoviek v nominálnych hodnotách 1, 3 a 5 rubľov? Riešenie:

odpoveď: Nie

Úloha 17:

Peťa si kúpil bežný zošit s objemom 96 listov a všetky jeho strany očísloval v poradí číslami od 1 do 192. Vasya z tohto zošita vytrhol 25 listov a zrátal všetkých 50 čísel, ktoré sú na nich napísané. Mohol urobiť rok 1990? Riešenie:

Na každom hárku je súčet čísiel strán nepárny a súčet 25 nepárnych čísel je nepárny.

Úloha 18:

Súčin 22 celých čísel sa rovná 1. Dokážte, že ich súčet sa nerovná nule. Riešenie:

Medzi týmito číslami - párne číslo„mínusové jednotky“, a aby sa súčet rovnal nule, musí ich byť presne 11.

Úloha 19:

Je možné vytvoriť magický štvorec z prvých 36 prvočísel? Riešenie:

Medzi týmito číslami je jedno (2) párne a ostatné sú nepárne. Preto v riadku, kde je dvojka, je súčet čísel nepárny a v ostatných párny.

Úloha 20:

Za sebou sa píšu čísla od 1 do 10. Je možné medzi ne umiestniť znamienka „+“ a „-“ tak, aby sa hodnota výsledného výrazu rovnala nule?

Poznámka: Vezmite prosím na vedomie záporné čísla sú tiež párne a nepárne. Riešenie:

Súčet čísel od 1 do 10 je totiž 55 a zmenou znamienok v ňom zmeníme celý výraz na párne číslo.

Úloha 21:

Kobylka skáče v priamom smere a prvýkrát skočil 1 cm nejakým smerom, druhýkrát skočil 2 cm atď. Dokážte, že po skokoch v roku 1985 nemôže byť tam, kde začínal. Riešenie:

Poznámka: Súčet 1 + 2 + … + 1985 je nepárny.

Úloha 22:

Na tabuli sú napísané čísla 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Je povolené vymazať z tabule ľubovoľné dve čísla a zapísať namiesto nich modul ich rozdielu. Na tabuli tak nakoniec zostane len jedno číslo. Môže byť nula? Riešenie:

Skontrolujte, či uvedené operácie nemenia paritu súčtu všetkých čísel napísaných na tabuli.

Úloha 23:

Je možné pokryť šachovnica domino 1 × 2 tak, aby zostali voľné len bunky a1 a h8? Riešenie:

Každé domino pokrýva jedno čierne a jedno biele políčko, a keď sú polia a1 a h8 vyhodené, je čiernych o 2 menej ako bielych.

Úloha 24:

K 17-miestnemu číslu bolo pridané číslo napísané rovnakými číslicami, ale v opačnom poradí. Dokážte, že aspoň jedna číslica výsledného súčtu je párna. Riešenie:

Analyzujte dva prípady: súčet prvej a poslednej číslice čísla je menší ako 10 a súčet prvej a poslednej číslice čísla nie je menší ako 10. Ak predpokladáme, že všetky číslice súčtu sú nepárne , potom v prvom prípade by nemalo byť jediné prenášanie v čísliciach (čo samozrejme vedie k rozporu) a v druhom prípade sa strieda prítomnosť prenášania pri pohybe sprava doľava alebo zľava doprava s absenciou prenosu a výsledkom je, že číslica súčtu v deviatej číslici je nevyhnutne párna.

Úloha 25:

V ľudovom tíme je 100 ľudí a každý večer traja chodia do služby. Môže sa po nejakom čase ukázať, že každý bol v službe s každým presne raz? Riešenie:

Keďže pri každej povinnosti, na ktorej sa podieľa táto osoba, je v službe s ďalšími dvoma, potom sa všetko ostatné môže rozdeliť do dvojíc. 99 je však nepárne číslo.

Úloha 26:

Na priamke je vyznačených 45 bodov, ktoré ležia mimo segmentu AB. Dokážte, že súčet vzdialeností z týchto bodov do bodu A sa nerovná súčtu vzdialeností z týchto bodov do bodu B. Riešenie:

Pre ľubovoľný bod X ležiaci mimo AB máme AX - BX = ± AB. Ak predpokladáme, že súčty vzdialeností sú rovnaké, potom dostaneme, že výraz ± AB ± AB ± … ± AB, v ktorom je zahrnutých 45 členov, sa rovná nule. Ale to je nemožné.

Úloha 27:

Do kruhu je usporiadaných 9 čísel – 4 jednotky a 5 núl. Každú sekundu sa s číslami vykoná nasledujúca operácia: medzi susedné čísla sa vloží nula, ak sú rôzne, a jedna, ak sú rovnaké; potom sa staré čísla vymažú. Môžu byť všetky čísla po určitom čase rovnaké? Riešenie:

Je jasné, že kombinácia deviatich jednotiek pred deviatimi nulami sa nedá získať. Ak bolo núl deväť, tak pri predchádzajúcom ťahu sa mali striedať nuly a jednotky, čo je nemožné, keďže ich je len nepárny počet.

Úloha 28:

Za okrúhlym stolom sedí 25 chlapcov a 25 dievčat. Dokážte, že jeden z ľudí, ktorí sedia pri stole, má oboch susedov chlapcov. Riešenie:

Urobme svoj dôkaz protirečením. Očíslujeme všetkých, ktorí sedia pri stole, v poradí od nejakého miesta. Ak je zapnuté k-té miesto sedí chlapec, je jasné, že na (k - 2)-tom a (k + 2)-tom mieste sú dievčatá. Ale keďže je rovnaký počet chlapcov a dievčat, pre každé dievča na n-tom mieste platí, že (n - 2) a (n + 2) miesto sú obsadené chlapcami. Ak teraz vezmeme do úvahy len tých 25 ľudí, ktorí sedia na „párnych“ miestach, tak dostaneme, že sa medzi nimi striedajú chlapci a dievčatá, ak obídu stôl nejakým smerom. Ale 25 je nepárne číslo.

Úloha 29:

Slimák sa plazí po rovine konštantnou rýchlosťou a každých 15 minút sa otáča do pravého uhla. Dokážte, že sa môže vrátiť do východiskového bodu až po celočíselnom počte hodín. Riešenie:

Je jasné, že počet a úsekov, v ktorých sa slimák plazil nahor alebo nadol, sa rovná počtu úsekov, v ktorých sa plazil doprava alebo doľava. Zostáva len poznamenať, že a je párne.

Úloha 30:

Tri kobylky hrajú preskok na priamke. Zakaždým, keď jeden z nich preskočí cez druhého (ale nie cez dvoch naraz!). Môžu sa po zoskoku v roku 1991 vrátiť na svoje pôvodné pozície? Riešenie:

Označme kobylky A, B a C. Usporiadanie kobyliek ABC, BCA a CAB (zľava doprava) nazvime správne a ACB, BAC a CBA nesprávne. Je ľahké vidieť, že pri akomkoľvek skoku sa typ usporiadania mení.

Úloha 31:

Mincí je 101, z toho 50 falošných, líšiacich sa hmotnosťou o 1 gram od pravých. Peťo si zobral jednu mincu a za jedno váženie na váhe so šípkou ukazujúcou rozdiel v hmotnostiach na pohároch chce zistiť, či je falošná. Dokáže to? Riešenie:

Túto mincu musíte odložiť a potom rozdeliť zvyšných 100 mincí na dve kôpky po 50 mincí a porovnať hmotnosti týchto kôp. Ak sa líšia párnym počtom gramov, potom je minca, o ktorú máme záujem, pravá. Ak je rozdiel medzi váhami nepárny, potom je minca falošná.

Úloha 32:

Je možné vypísať čísla od 1 do 9 za sebou raz tak, aby medzi jednotkou a dvoma, dvoma a tromi, ..., osem a deväť bol nepárny počet číslic? Riešenie:

V opačnom prípade by všetky čísla v riadku boli na miestach s rovnakou paritou.

Toto dielo Peťa kúpil bežný zošit s objemom 96 listov a všetky jeho strany očísloval v poradí číslami od 1 do 192. Vasya vytiahol (Kontrola) na tému (AHD a finančná analýza), bol vyrobený na mieru našej spoločnosti špecialistov a prešiel jej úspešnou obhajobou. Práca - Peťa si kúpil spoločný zápisník s objemom 96 listov a všetky jeho strany očísloval v poradí číslami od 1 do 192. Vasya vytiahol na tému AHD a finančná analýza odráža jej tému a logickú zložku jej zverejnenia, tzv. je odhalená podstata skúmanej problematiky, zdôrazňujú sa hlavné ustanovenia a hlavné myšlienky tejto témy.
Dielo - Peťa si kúpil spoločný zošit s objemom 96 listov a všetky jeho strany očísloval v poradí číslami od 1 do 192. Vasya ho vytrhol, obsahuje: tabuľky, kresby, najnovšie literárne pramene, rok odovzdania a obhajoby. práca - 2017. V práci si Peťa kúpil bežný zošit v objeme 96 listov a všetky jeho strany očísloval v poradí číslami od 1 do 192. Vasya vytiahol (AHD a finančná analýza) je odhalená relevantnosť výskumnej témy, stupeň rozvoja problému sa odráža na základe hĺbkového hodnotenia a analýzy vedeckých a metodologickú literatúru, v práci na tému AHD a finančná analýza sa komplexne zvažuje predmet analýzy a jeho problematika po teoretickej aj praktickej stránke, formuluje sa cieľ a konkrétne úlohy skúmanej témy, je tu logika prezentácia materiálu a jeho postupnosť.

Sekcie: Matematika

Vážený účastník olympiády!

Školská matematická olympiáda sa koná jednokolovo.
K dispozícii je 5 úloh rôznych úrovní obtiažnosti.
Neexistujú žiadne špeciálne požiadavky na dizajn diela. Forma prezentácie riešenia problémov, ako aj spôsobov riešenia môže byť ľubovoľná. Ak máte nejaké individuálne myšlienky o konkrétnej úlohe, ale nemôžete dotiahnuť riešenie do konca, neváhajte uviesť všetky svoje myšlienky. Aj čiastočne vyriešené úlohy budú hodnotené zodpovedajúcim počtom bodov.
Začnite riešiť úlohy, ktoré sa vám zdajú jednoduchšie, a potom prejdite na zvyšok. Takto ušetríte čas.

Prajeme vám úspech!

školského javiska celoruská olympiádaškolákov v matematike

5. ročník

Cvičenie 1. Vo výraze 1*2*3*4*5 nahraďte „*“ znakmi akcií a zátvorky umiestnite takto. Ak chcete získať výraz, ktorého hodnota je 100.

Úloha 2. Je potrebné rozlúštiť záznam aritmetickej rovnosti, v ktorom sú čísla nahradené písmenami a rôzne čísla sú nahradené rôznymi písmenami, tie isté sú rovnaké.

PÄŤ – TRI \u003d DVA Je známe, že namiesto písm ALE musíte zadať číslo 2.

Úloha 3. Ako rozdeliť 80 kg klincov na dve časti - 15 kg a 65 kg pomocou panvových váh bez závažia?

Úloha 4. Rozstrihnite obrázok znázornený na obrázku na dve rovnaké časti tak, aby každá časť mala jednu hviezdu. Môžete rezať iba pozdĺž čiar mriežky.

Úloha 5. Šálka ​​s podšálkou spolu stojí 25 rubľov, zatiaľ čo 4 šálky a 3 podšálky stoja 88 rubľov. Nájdite cenu šálky a cenu podšálky.

6. trieda.

Cvičenie 1. Porovnajte zlomky bez toho, aby ste ich priviedli k spoločnému menovateľovi.

Úloha 2. Je potrebné rozlúštiť záznam aritmetickej rovnosti, v ktorom sú čísla nahradené písmenami a rôzne čísla sú nahradené rôznymi písmenami, tie isté sú rovnaké. Predpokladá sa, že pôvodná rovnosť je pravdivá a napísaná podľa obvyklých pravidiel aritmetiky.

PRÁCA
+ Vôľa
ŠŤASTIE

Úloha 3. Do letného tábora si prišli oddýchnuť traja kamaráti: Misha, Volodya a Petya. Je známe, že každý z nich má jedno z nasledujúcich priezvisk: Ivanov, Semenov, Gerasimov. Misha nie je Gerasimov. Voloďov otec je inžinier. Voloďa je v 6. triede. Gerasimov je v 5. ročníku. Ivanov otec je učiteľ. Aké je priezvisko každého z troch priateľov?

Úloha 4. Rozdeľte obrázok pozdĺž čiar mriežky na štyri rovnaké časti tak, aby každá časť mala jeden bod.

Úloha 5. Skákajúca vážka prespala polovicu času každého dňa červeného leta, tretinu každého dňa tancovala a šiestu časť spievala. Zvyšok času sa rozhodla venovať príprave na zimu. Koľko hodín denne sa Vážka pripravovala na zimu?

7. trieda.

Cvičenie 1. Vyriešte rébus, ak viete, že najväčšia číslica v čísle STRONG je 5:

ROZHODNITE sa
AK
SILNÝ

Úloha 2. Vyriešte rovnicu│7 - x│ = 9,3

Úloha 3. Po siedmich umytiach sa dĺžka, šírka a hrúbka mydla skrátili na polovicu. Koľko rovnakých praní vydrží zvyšné mydlo?

Úloha 4 . Rozdeľte obdĺžnik 4 × 9 buniek po stranách buniek na dve rovnaké časti tak, aby ste z nich potom vytvorili štvorec.

Úloha 5. Drevená kocka bola natretá bielou farbou zo všetkých strán a potom rozrezaná na 64 rovnakých kociek. Koľko kociek sa ukázalo byť farebných na troch stranách? Z dvoch strán?
Jedna strana? Koľko kociek nie je zafarbených?

8. trieda.

Cvičenie 1. Aké dve číslice končia číslo 13!

Úloha 2. Znížte zlomok:

Úloha 3. Školský dramatický krúžok, pripravujúci sa na inscenáciu úryvku z rozprávky A.S. Pushkin o cárovi Saltanovi sa rozhodol rozdeliť úlohy medzi účastníkov.
- Ja budem Černomor, - povedal Yura.
- Nie, ja budem Černomor, - povedal Kolja.
- Dobre, - pripustil mu Yura, - Môžem hrať Gvidona.
- No, môžem sa stať Saltanom, - Kolja tiež preukázal súhlas.
- Súhlasím, že budem iba Guidon! povedala Misha.
Želania chlapcov boli uspokojené. Ako boli rozdelené role?

Úloha 4. Medián AD je nakreslený v rovnoramennom trojuholníku ABC so základňou AB = 8m. Obvod trojuholníka ACD je o 2 m väčší ako obvod trojuholníka ABD. Nájsť AS.

Úloha 5. Nikolaj si kúpil bežný zošit s 96 hárkami a strany očísloval od 1 do 192. Jeho synovec Arthur z tohto zošita vytrhol 35 hárkov a zrátal všetkých 70 čísel, ktoré na nich boli napísané. Mohol by dostať rok 2010.

9. ročník

Cvičenie 1. Nájdite poslednú číslicu roku 1989 1989 .

Úloha 2. Súčet koreňov niekt kvadratická rovnica je 1 a súčet ich štvorcov je 2. Aký je súčet ich kociek?

Úloha 3. Pomocou troch mediánov m a , m b a m c ∆ ABC nájdite dĺžku strany AC = b.

Úloha 4. Znížte zlomok .

Úloha 5. Koľkými spôsobmi si môžete vybrať samohlásku a spoluhlásku v slove „kamzol“?

10. ročník

Cvičenie 1. V súčasnosti existujú mince 1, 2, 5, 10 rubľov. Uveďte všetky sumy peňazí, ktoré je možné zaplatiť párnym aj nepárnym počtom mincí.

Úloha 2. Dokážte, že 5 + 5 2 + 5 3 + … + 5 2010 je deliteľné 6.

Úloha 3. V štvoruholníku A B C D uhlopriečky sa pretínajú v bode M. To je známe AM = 1,
VM = 2, CM = 4. V akých hodnotách DMštvoruholník A B C D je lichobežník?

Úloha 4. Vyriešte sústavu rovníc

Úloha 5. Tridsať školákov – desiatnikov a jedenástky – si potriaslo rukami. Zároveň sa ukázalo, že každý desiaty žiak si podal ruku s ôsmimi jedenástymi a každý jedenásty so siedmimi žiakmi desiateho ročníka. Koľko žiakov desiateho ročníka a koľko jedenástka?