Definícia lineárnej funkcie

Uveďme definíciu lineárnej funkcie

Definícia

Funkcia v tvare $y=kx+b$, kde $k$ je nenulová, sa nazýva lineárna funkcia.

Graf lineárnej funkcie je priamka. Číslo $k$ sa nazýva sklon priamky.

Pre $b=0$ sa lineárna funkcia nazýva funkcia priamej úmernosti $y=kx$.

Zvážte obrázok 1.

Ryža. 1. Geometrický význam sklonu priamky

Zvážte trojuholník ABC. Vidíme, že $BC=kx_0+b$. Nájdite priesečník priamky $y=kx+b$ s osou $Ox$:

\ \

Takže $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Nájdite pomer týchto strán:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Na druhej strane $\frac(BC)(AC)=tg\uhol A$.

Z toho možno vyvodiť nasledujúci záver:

Záver

Geometrický význam koeficientu $k$. Sklon priamky $k$ sa rovná dotyčnici sklonu tejto priamky k osi $Ox$.

Štúdium lineárnej funkcie $f\left(x\right)=kx+b$ a jej grafu

Najprv zvážte funkciu $f\left(x\right)=kx+b$, kde $k > 0$.

1. $f"\vľavo(x\vpravo)=(\vľavo(kx+b\vpravo))"=k>0$. Preto sa táto funkcia zvyšuje v celej oblasti definície. Neexistujú žiadne extrémne body.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Graf (obr. 2).

Ryža. 2. Grafy funkcie $y=kx+b$, pre $k > 0$.

Teraz zvážte funkciu $f\left(x\right)=kx$, kde $k

1. Rozsah sú všetky čísla.
2. Rozsah sú všetky čísla.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Funkcia nie je párna ani nepárna.
4. Pre $x=0,f\vľavo(0\vpravo)=b$. Pre $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Priesečníky so súradnicovými osami: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ a $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\vľavo(x\vpravo)=(\vľavo(kx\vpravo))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Preto funkcia nemá žiadne inflexné body.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Graf (obr. 3).

>>Matematika: Lineárna funkcia a jej graf

Lineárna funkcia a jej graf

Algoritmus na zostavenie grafu rovnice ax + by + c = 0, ktorý sme sformulovali v § 28, sa matematikom pri všetkej jeho prehľadnosti a istote veľmi nepáči. Zvyčajne predkladajú nároky na prvé dva kroky algoritmu. Prečo, hovoria, riešiť rovnicu dvakrát vzhľadom na premennú y: najprv ax1 + bu + c = O, potom axi + bu + c = O? Nebolo by lepšie okamžite vyjadriť y z rovnice ax + by + c = 0, potom bude jednoduchšie (a hlavne rýchlejšie) vykonávať výpočty? Skontrolujme to. Najprv zvážte rovnica 3x - 2r + 6 = 0 (pozri príklad 2 z § 28).

Zadaním x špecifických hodnôt je ľahké vypočítať zodpovedajúce hodnoty y. Napríklad pre x = 0 dostaneme y = 3; pri x = -2 máme y = 0; pre x = 2 máme y = 6; pre x = 4 dostaneme: y = 9.

Vidíte, ako ľahko a rýchlo sa našli body (0; 3), (- 2; 0), (2; 6) a (4; 9), ktoré boli zvýraznené v príklade 2 z § 28.

Podobne rovnicu bx - 2y = 0 (pozri príklad 4 § 28) možno previesť do tvaru 2y = 16 -3x. potom y = 2,5x; je ľahké nájsť body (0; 0) a (2; 5), ktoré spĺňajú túto rovnicu.

Nakoniec rovnicu 3x + 2y - 16 = 0 z toho istého príkladu možno previesť do tvaru 2y = 16 -3x a potom je ľahké nájsť body (0; 0) a (2; 5), ktoré jej vyhovujú.

Pozrime sa teraz na tieto transformácie vo všeobecnej forme.

Lineárnu rovnicu (1) s dvoma premennými x a y je teda možné vždy previesť do tvaru
y = kx + m,(2) kde k,m sú čísla (koeficienty) a .

Táto konkrétna forma lineárnej rovnice sa bude nazývať lineárna funkcia.

Použitím rovnosti (2) je ľahké, zadaním konkrétnej hodnoty x, vypočítať zodpovedajúcu hodnotu y. Nech napr.

y = 2x + 3. Potom:
ak x = 0, potom y = 3;
ak x = 1, potom y = 5;
ak x = -1, potom y = 1;
ak x = 3, potom y = 9 atď.

Zvyčajne sú tieto výsledky prezentované vo formulári tabuľky:

Hodnoty y z druhého riadku tabuľky sa nazývajú hodnoty lineárnej funkcie y \u003d 2x + 3 v bodoch x \u003d 0, x \u003d 1, x \u003d -1, x \u003d -3.

V rovnici (1) sú premenné xnu rovnaké, ale v rovnici (2) nie sú: jednej z nich - premennej x priraďujeme konkrétne hodnoty, pričom hodnota premennej y závisí od zvolenej hodnoty premennej. premenná x. Preto sa zvyčajne hovorí, že x je nezávislá premenná (alebo argument), y je závislá premenná.

Všimnite si, že lineárna funkcia je špeciálny druh lineárnej rovnice s dvoma premennými. rovnicový graf y - kx + m, ako každá lineárna rovnica s dvoma premennými, je priamka - nazýva sa aj grafom lineárnej funkcie y = kx + mp. Nasledujúca veta je teda pravdivá.

Príklad 1 Zostrojte graf lineárnej funkcie y \u003d 2x + 3.

Riešenie. Urobme si tabuľku:

V druhej situácii môže nezávislá premenná x, ktorá označuje, ako v prvej situácii, počet dní, nadobudnúť iba hodnoty 1, 2, 3, ..., 16. V skutočnosti, ak x \u003d 16 , potom pomocou vzorca y \u003d 500 - Z0x nájdeme: y \u003d 500 - 30 16 \u003d 20. To znamená, že už 17. deň nebude možné vyskladniť 30 ton uhlia, pretože do toho dňa zostane v sklade len 20 ton a proces vývozu uhlia bude musieť byť zastavený. Preto rafinovaný matematický model druhej situácie vyzerá takto:

y \u003d 500 - ZOD:, kde x \u003d 1, 2, 3, .... 16.

V tretej situácii nezávislý premenlivý x môže teoreticky nadobudnúť akúkoľvek nezápornú hodnotu (napr. hodnota x = 0, hodnota x = 2, hodnota x = 3,5 atď.), ale v praxi turista nemôže kráčať konštantnou rýchlosťou bez spánku a odpočinku tak dlho. ako chce on. Takže sme museli urobiť rozumné limity pre x, povedzme 0< х < 6 (т. е. турист идет не более 6 ч).

Pripomeňme, že geometrický model neprísnej dvojitej nerovnosti 0< х < 6 служит отрезок (рис. 37). Значит, уточненная модель третьей ситуации выглядит так: у = 15 + 4х, где х принадлежит отрезку .

Namiesto slovného spojenia „x patrí do množiny X“ súhlasíme s napísaním (znejú: „prvok x patrí do množiny X“, e je znakom príslušnosti). Ako vidíte, naša znalosť matematického jazyka neustále pokračuje.

Ak by sa lineárna funkcia y \u003d kx + m mala brať do úvahy nie pre všetky hodnoty x, ale iba pre hodnoty x z nejakého číselného intervalu X, potom píšu:

Príklad 2. Vytvorte graf lineárnej funkcie:

Riešenie a) Zostavte tabuľku pre lineárnu funkciu y = 2x + 1

Postavme body (-3; 7) a (2; -3) na súradnicovej rovine xOy a nakreslíme cez ne priamku. Toto je graf rovnice y \u003d -2x: + 1. Ďalej vyberte segment spájajúci zostrojené body (obr. 38). Tento segment je grafom lineárnej funkcie y \u003d -2x + 1, kde xe [-3, 2].

Zvyčajne hovoria toto: vykreslili sme lineárnu funkciu y \u003d - 2x + 1 na segment [- 3, 2].

b) Čím sa tento príklad líši od predchádzajúceho? Lineárna funkcia je rovnaká (y \u003d -2x + 1), čo znamená, že ako jej graf slúži rovnaká priamka. Ale buď opatrný! - tentoraz x e (-3, 2), t.j. hodnoty x = -3 a x = 2 sa neberú do úvahy, nepatria do intervalu (-3, 2). Ako sme vyznačili konce intervalu na súradnicovej čiare? Svetlé kruhy (obr. 39), o tom sme hovorili v § 26. Podobne body (- 3; 7) a B; - 3) budú musieť byť na výkrese označené svetlými krúžkami. To nám pripomenie, že sa berú len tie body priamky y \u003d - 2x + 1, ktoré ležia medzi bodmi označenými krúžkami (obr. 40). Niekedy sa však v takýchto prípadoch nepoužívajú svetelné kruhy, ale šípky (obr. 41). To nie je zásadné, hlavnou vecou je pochopiť, čo je v stávke.

Príklad 3 Nájdite najväčšie a najmenšie hodnoty lineárnej funkcie na segmente.
Riešenie. Urobme tabuľku pre lineárnu funkciu

Zostrojíme body (0; 4) a (6; 7) na súradnicovej rovine xOy a nakreslíme cez ne priamku - graf lineárnej funkcie x (obr. 42).

Túto lineárnu funkciu musíme uvažovať nie ako celok, ale na segmente, t.j. pre x e.

Zodpovedajúci segment grafu je na výkrese zvýraznený. Všimli sme si, že najväčšia ordináta bodov patriacich do vybranej časti je 7 - to je najväčšia hodnota lineárnej funkcie na segmente. Zvyčajne sa používa tento zápis: y max = 7.

Všimli sme si, že najmenšia ordináta bodov patriacich do časti priamky zvýraznenej na obrázku 42 je 4 - to je najmenšia hodnota lineárnej funkcie na segmente.
Zvyčajne použite nasledujúci záznam: y meno. = 4.

Príklad 4 Nájdite y naib a y naim. pre lineárnu funkciu y = -1,5x + 3,5

a) na segmente; b) na intervale (1,5);
c) v polovičnom intervale .

Riešenie. Urobme tabuľku pre lineárnu funkciu y \u003d -l, 5x + 3,5:

Zostrojíme body (1; 2) a (5; - 4) na súradnicovej rovine xOy a nakreslíme cez ne priamku (obr. 43-47). Na zostrojenej priamke vyberieme časť zodpovedajúcu hodnotám x zo segmentu (obr. 43), z intervalu A, 5) (obr. 44), z polovičného intervalu (obr. 47) .

a) Pomocou obrázku 43 je ľahké dospieť k záveru, že y max \u003d 2 (lineárna funkcia dosahuje túto hodnotu pri x \u003d 1) a y max. = - 4 (lineárna funkcia dosahuje túto hodnotu pri x = 5).

b) Pomocou obrázku 44 sme dospeli k záveru, že táto lineárna funkcia nemá ani najväčšie, ani najmenšie hodnoty v danom intervale. prečo? Faktom je, že na rozdiel od predchádzajúceho prípadu sú oba konce segmentu, v ktorých boli dosiahnuté najväčšie a najmenšie hodnoty, vylúčené z úvahy.

c) Pomocou obrázku 45 sme dospeli k záveru, že y max. = 2 (ako v prvom prípade), pričom lineárna funkcia nemá najmenšiu hodnotu (ako v druhom prípade).

d) Pomocou obrázku 46 dospejeme k záveru: y max = 3,5 (lineárna funkcia dosahuje túto hodnotu pri x = 0) a y max. neexistuje.

e) Pomocou obrázku 47 dospejeme k záveru: y max = -1 (lineárna funkcia dosahuje túto hodnotu pri x = 3) a y max neexistuje.

Príklad 5. Nakreslite lineárnu funkciu

y \u003d 2x - 6. Pomocou grafu odpovedzte na nasledujúce otázky:

a) pri akej hodnote x bude y = 0?
b) pre aké hodnoty x bude y > 0?
c) pre aké hodnoty x bude y< 0?

Riešenie. Urobme tabuľku pre lineárnu funkciu y \u003d 2x-6:

Nakreslite priamku cez body (0; - 6) a (3; 0) - graf funkcie y \u003d 2x - 6 (obr. 48).

a) y \u003d 0 na x \u003d 3. Graf pretína os x v bode x \u003d 3, toto je bod so súradnicou y \u003d 0.
b) y > 0 pre x > 3. V skutočnosti, ak x > 3, potom je priamka umiestnená nad osou x, čo znamená, že súradnice zodpovedajúcich bodov priamky sú kladné.

c) pri< 0 при х < 3. В самом деле если х < 3, то прямая расположена ниже оси х, значит, ординаты соответствующих точек прямой отрицательны. A

Všimnite si, že v tomto príklade sme sa rozhodli pomocou grafu:

a) rovnica 2x - 6 = 0 (dostane x = 3);
b) nerovnosť 2x - 6 > 0 (dostali sme x > 3);
c) nerovnosť 2x - 6< 0 (получили х < 3).

Komentujte. V ruštine sa ten istý objekt často nazýva inak, napríklad: „dom“, „budova“, „štruktúra“, „chata“, „zámok“, „kasáreň“, „chata“, „chata“. V matematickom jazyku je situácia približne rovnaká. Povedzme, že rovnosť s dvoma premennými y = kx + m, kde k, m sú špecifické čísla, možno nazvať lineárnou funkciou, možno nazvať lineárnou rovnicou s dvoma premennými x a y (alebo s dvoma neznámymi x a y), možno môže byť nazývaný vzorec, môže byť nazývaný môže byť nazývaný vzťahom spájajúcim x a y, dá sa to nakoniec nazvať vzťahom medzi x a y. Nevadí, hlavné je pochopiť, že vo všetkých prípadoch hovoríme o matematickom modeli y = kx + m

.

Zoberme si graf lineárnej funkcie znázornený na obrázku 49, a. Ak sa pohybujeme po tomto grafe zľava doprava, súradnice bodov grafu sa neustále zvyšujú, zdá sa, že „šplháme do kopca“. V takýchto prípadoch matematici používajú výraz zvýšenie a hovoria toto: ak k> 0, lineárna funkcia y \u003d kx + m sa zvyšuje.

Zoberme si graf lineárnej funkcie znázornený na obrázku 49, b. Ak sa po tomto grafe pohybujeme zľava doprava, súradnice bodov grafu neustále klesajú, zdá sa, že „ideme z kopca“. V takýchto prípadoch matematici používajú termín pokles a hovoria toto: ak k< О, то линейная функция у = kx + m убывает.

Lineárna funkcia v reálnom živote

Teraz si zhrňme túto tému. Už sme sa zoznámili s takou koncepciou, ako je lineárna funkcia, poznáme jej vlastnosti a naučili sme sa zostavovať grafy. Tiež ste zvážili špeciálne prípady lineárnej funkcie a naučili ste sa, od čoho závisí relatívna poloha grafov lineárnych funkcií. Ukazuje sa však, že s týmto matematickým modelom sa neustále stretávame aj v našom každodennom živote.

Zamyslime sa nad tým, aké skutočné životné situácie sú spojené s takým konceptom ako lineárne funkcie? A tiež, medzi akými veličinami alebo životnými situáciami je možné stanoviť lineárny vzťah?

Mnohí z vás pravdepodobne celkom nechápu, prečo sa potrebujú naučiť lineárne funkcie, pretože je nepravdepodobné, že by to bolo užitočné v neskoršom živote. Tu sa však hlboko mýlite, pretože s funkciami sa stretávame stále a všade. Keďže aj obvyklé mesačné nájomné je funkcia, ktorá závisí od mnohých premenných. A tieto premenné zahŕňajú plochu, počet obyvateľov, tarify, spotrebu elektriny atď.

Samozrejme, najbežnejšími príkladmi lineárnych funkcií závislosti, s ktorými sme sa stretli, sú hodiny matematiky.

Vy a ja sme riešili problémy, kde sme zisťovali vzdialenosti, ktoré prešli autá, vlaky alebo chodci pri určitej rýchlosti. Toto sú lineárne funkcie času pohybu. Ale tieto príklady sú použiteľné nielen v matematike, sú prítomné v našom každodennom živote.

Obsah kalórií v mliečnych výrobkoch závisí od obsahu tuku a takáto závislosť je spravidla lineárnou funkciou. Takže napríklad so zvýšením percenta obsahu tuku v kyslej smotane sa zvyšuje aj obsah kalórií v produkte.

Teraz urobme výpočty a nájdime hodnoty k a b riešením systému rovníc:

Teraz odvodíme vzorec závislosti:

V dôsledku toho sme dostali lineárny vzťah.

Ak chcete poznať rýchlosť šírenia zvuku v závislosti od teploty, je možné zistiť pomocou vzorca: v \u003d 331 + 0,6 t, kde v je rýchlosť (v m / s), t je teplota. Ak nakreslíme graf tejto závislosti, uvidíme, že bude lineárny, čiže bude predstavovať priamku.

A takéto praktické využitie poznatkov pri aplikácii lineárnej funkčnej závislosti možno vymenovať ešte dlho. Počnúc poplatkami za telefón, dĺžkou a výškou vlasov a dokonca aj prísloviami v literatúre. A tento zoznam môže pokračovať donekonečna.

Kalendár-tematické plánovanie v matematike, video v matematike online, Matematika v škole na stiahnutie

A. V. Pogorelov, Geometria pre ročníky 7-11, Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie

Lineárna funkcia je funkciou tvaru y=kx+b, kde x je nezávislá premenná, kab sú ľubovoľné čísla.
Graf lineárnej funkcie je priamka.

1. Ak chcete nakresliť funkčný graf, potrebujeme súradnice dvoch bodov patriacich do grafu funkcie. Aby ste ich našli, musíte vziať dve hodnoty x, nahradiť ich do rovnice funkcie a vypočítať z nich zodpovedajúce hodnoty y.

Napríklad na vykreslenie funkcie y= x+2 je vhodné vziať x=0 a x=3, potom sa súradnice týchto bodov budú rovnať y=2 a y=3. Získame body A(0;2) a B(3;3). Spojme ich a získame graf funkcie y= x+2:

2. Vo vzorci y=kx+b sa číslo k nazýva koeficient proporcionality:
ak k>0, potom funkcia y=kx+b narastá
ak k
Koeficient b znázorňuje posun grafu funkcie pozdĺž osi OY:
ak b>0, potom graf funkcie y=kx+b získame z grafu funkcie y=kx posunutím b jednotiek nahor pozdĺž osi OY
ak b
Na obrázku nižšie sú znázornené grafy funkcií y=2x+3; y = 1/2 x + 3; y=x+3

Všimnite si, že vo všetkých týchto funkciách je koeficient k Nad nulou, a funkcie sú zvyšujúci sa. Navyše, čím väčšia je hodnota k, tým väčší je uhol sklonu priamky voči kladnému smeru osi OX.

Vo všetkých funkciách b=3 - a vidíme, že všetky grafy pretínajú os OY v bode (0;3)

Teraz zvážte grafy funkcií y=-2x+3; y = - 1/2 x + 3; y=-x+3

Tentoraz vo všetkých funkciách koeficient k menej ako nula a funkcie znížiť. Koeficient b=3 a grafy ako v predchádzajúcom prípade pretínajú os OY v bode (0;3)

Uvažujme grafy funkcií y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Teraz sú vo všetkých rovniciach funkcií koeficienty k rovné 2. A dostali sme tri rovnobežné priamky.

Koeficienty b sú však odlišné a tieto grafy pretínajú os OY v rôznych bodoch:
Graf funkcie y=2x+3 (b=3) pretína os OY v bode (0;3)
Graf funkcie y=2x (b=0) pretína os OY v bode (0;0) - počiatok.
Graf funkcie y=2x-3 (b=-3) pretína os OY v bode (0;-3)

Ak teda poznáme znamienka koeficientov k a b, tak si hneď vieme predstaviť, ako vyzerá graf funkcie y=kx+b.
Ak k 0

Ak k>0 a b>0, potom graf funkcie y=kx+b vyzerá takto:

Ak k>0 a b, potom graf funkcie y=kx+b vyzerá takto:

Ak k, potom graf funkcie y=kx+b vyzerá takto:

Ak k=0, potom sa funkcia y=kx+b zmení na funkciu y=b a jej graf vyzerá takto:

Súradnice všetkých bodov grafu funkcie y=b sa rovnajú b If b = 0, potom graf funkcie y=kx (priama úmernosť) prechádza počiatkom:

3. Samostatne si všimneme graf rovnice x=a. Graf tejto rovnice je priamka rovnobežná s osou OY, ktorej všetky body majú úsečku x=a.

Napríklad graf rovnice x=3 vyzerá takto:
Pozor! Rovnica x=a nie je funkcia, pretože jedna hodnota argumentu zodpovedá rôznym hodnotám funkcie, čo nezodpovedá definícii funkcie.

4. Podmienka pre rovnobežnosť dvoch čiar:

Graf funkcie y=k 1 x+b 1 je rovnobežný s grafom funkcie y=k 2 x+b 2 ak k 1 =k 2

5. Podmienka, aby dve priame čiary boli kolmé:

Graf funkcie y=k 1 x+b 1 je kolmý na graf funkcie y=k 2 x+b 2, ak k 1 *k 2 =-1 alebo k 1 =-1/k 2

6. Priesečníky grafu funkcie y=kx+b so súradnicovými osami.

s osou OY. Abscisa ľubovoľného bodu, ktorý patrí k osi OY, sa rovná nule. Preto, aby ste našli priesečník s osou OY, musíte v rovnici funkcie nahradiť x namiesto x nulu. Dostaneme y=b. To znamená, že priesečník s osou OY má súradnice (0;b).

S osou x: Ordináta ktoréhokoľvek bodu patriaceho k osi x je nula. Preto, aby ste našli priesečník s osou OX, musíte do rovnice funkcie nahradiť nulu namiesto y. Dostaneme 0=kx+b. Preto x=-b/k. To znamená, že priesečník s osou OX má súradnice (-b / k; 0):

Lineárna funkcia sa nazýva funkcia formy y = kx + b, definované na množine všetkých reálnych čísel. Tu k– uhlový koeficient (skutočné číslo), b – bezplatný člen (skutočné číslo), X je nezávislá premenná.

V konkrétnom prípade, ak k = 0, získame konštantnú funkciu y=b, ktorej grafom je priamka rovnobežná s osou Ox, prechádzajúca bodom so súradnicami (0;b).

Ak b = 0, potom dostaneme funkciu y=kx, ktorý je v priamej úmere.

b – dĺžka segmentu, ktorý odreže čiaru pozdĺž osi Oy, počítajúc od začiatku.

Geometrický význam koeficientu k – uhol sklonu priamo do kladného smeru osi Ox sa považuje za proti smeru hodinových ručičiek.

Vlastnosti lineárnej funkcie:

1) Definičný obor lineárnej funkcie je celá reálna os;

2) Ak k ≠ 0, potom rozsahom lineárnej funkcie je celá reálna os. Ak k = 0, potom rozsah lineárnej funkcie pozostáva z čísla b;

3) Rovnomernosť a nepárnosť lineárnej funkcie závisí od hodnôt koeficientov k a b.

a) b ≠ 0, k = 0, v dôsledku toho y = b je párne;

b) b = 0, k ≠ 0, V dôsledku toho y = kx je nepárne;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, V dôsledku toho y = kx + b je všeobecná funkcia;

d) b = 0, k = 0, V dôsledku toho y = 0 je párna aj nepárna funkcia.

4) Lineárna funkcia nemá vlastnosť periodicity;

5) Priesečníky so súradnicovými osami:

Vôl: y = kx + b = 0, x = -b/k, V dôsledku toho (-b/k; 0)- priesečník s osou x.

oj: y=0k+b=b, V dôsledku toho (0;b) je priesečník s osou y.

Poznámka.Ak b = 0 a k = 0, potom funkciu y=0 zmizne pre akúkoľvek hodnotu premennej X. Ak b ≠ 0 a k = 0, potom funkciu y=b nezmizne pre žiadnu hodnotu premennej X.

6) Intervaly stálosti znamienka závisia od koeficientu k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b- pozitívny pri X od (-b/k; +∞),

y = kx + b- negatívny pri X od (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- pozitívny pri X od (-∞; -b/k),

y = kx + b- negatívny pri X od (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b pozitívne v celej oblasti definície,

k = 0, b< 0; y = kx + b je negatívny v celej oblasti definície.

7) Intervaly monotónnosti lineárnej funkcie závisia od koeficientu k.

k > 0, V dôsledku toho y = kx + b sa zvyšuje v celej oblasti definície,

k< 0 , V dôsledku toho y = kx + b klesá v celej oblasti definície.

8) Graf lineárnej funkcie je priamka. Na nakreslenie rovnej čiary stačí poznať dva body. Poloha priamky v rovine súradníc závisí od hodnôt koeficientov k a b. Nižšie je uvedená tabuľka, ktorá to jasne ilustruje.