Znaky rovnobežnosti dvoch čiar

Veta 1. Ak je na priesečníku dvoch priamok sečnice:

diagonálne ležiace uhly sú rovnaké, príp

zodpovedajúce uhly sú rovnaké, príp

súčet jednostranných uhlov je potom 180°

čiary sú rovnobežné(obr. 1).

Dôkaz. Obmedzujeme sa na dôkaz prípadu 1.

Predpokladajme, že v priesečníku priamok a a b sečnicou AB cez ležiace uhly sú rovnaké. Napríklad ∠ 4 = ∠ 6. Dokážme, že || b.

Predpokladajme, že priamky a a b nie sú rovnobežné. Potom sa pretínajú v určitom bode M a následne jeden z uhlov 4 alebo 6 bude vonkajším uhlom trojuholníka ABM. Pre istotu nech je ∠ 4 vonkajší roh trojuholníka ABM a ∠ 6 vnútorný roh. Z vety o vonkajšom uhle trojuholníka vyplýva, že ∠ 4 je väčšie ako ∠ 6, čo je v rozpore s podmienkou, čiže priamky a a 6 sa nemôžu pretínať, preto sú rovnobežné.

Dôsledok 1. Dve odlišné čiary v rovine kolmej na tú istú čiaru sú rovnobežné(obr. 2).

Komentujte. Spôsob, akým sme práve dokázali prípad 1 vety 1, sa nazýva metóda dôkazu kontradikciou alebo redukciou do absurdity. Táto metóda dostala svoje prvé meno, pretože na začiatku úvahy je vyslovený predpoklad, ktorý je opačný (opačný) k tomu, čo sa požaduje dokázať. Redukcia na absurditu sa nazýva preto, že argumentáciou na základe vysloveného predpokladu dospejeme k absurdnému záveru (absurdita). Prijatie takéhoto záveru nás núti odmietnuť predpoklad uvedený na začiatku a prijať ten, ktorý bolo potrebné dokázať.

Úloha 1. Zostrojte priamku prechádzajúcu daným bodom M a rovnobežnú s danou priamkou a, ktorá neprechádza bodom M.

Riešenie. Bodom M kolmo na priamku a vedieme priamku p (obr. 3).

Potom vedieme priamku b bodom M kolmým na priamku p. Priamka b je rovnobežná s priamkou a podľa následku vety 1.

Z uvažovaného problému vyplýva dôležitý záver:
Cez bod, ktorý nie je na danej priamke, možno vždy nakresliť priamku rovnobežnú s danou priamkou..

Hlavná vlastnosť rovnobežných čiar je nasledovná.

Axióma rovnobežných čiar. Cez daný bod, ktorý nie je na danej priamke, vedie len jedna priamka rovnobežná s danou priamkou.

Zvážte niektoré vlastnosti rovnobežných čiar, ktoré vyplývajú z tejto axiómy.

1) Ak priamka pretína jednu z dvoch rovnobežných priamok, potom pretína druhú (obr. 4).

2) Ak sú dve rôzne čiary rovnobežné s treťou čiarou, potom sú rovnobežné (obr. 5).

Nasledujúca veta je tiež pravdivá.

Veta 2. Ak dve rovnobežné priamky pretína sečna, potom:

uhly ležania sú rovnaké;

zodpovedajúce uhly sú rovnaké;

súčet jednostranných uhlov je 180°.

Dôsledok 2. Ak je čiara kolmá na jednu z dvoch rovnobežných čiar, potom je tiež kolmá na druhú.(pozri obr.2).

Komentujte. Veta 2 sa nazýva inverzná veta 1. Záver 1. vety je podmienkou vety 2. A podmienka 1. vety je záverom 2. vety. Nie každá veta má inverznú, t.j. ak je daná veta pravdivá, potom môže byť inverzná veta nepravdivá.

Vysvetlíme si to na príklade vety o vertikálnych uhloch. Táto veta môže byť formulovaná nasledovne: ak sú dva uhly vertikálne, potom sú rovnaké. Inverzná veta by bola takáto: ak sú dva uhly rovnaké, potom sú vertikálne. A to, samozrejme, nie je pravda. Dva rovnaké uhly nemusia byť vôbec vertikálne.

Príklad 1 Dve rovnobežné čiary pretína tretia. Je známe, že rozdiel medzi dvoma vnútornými jednostrannými uhlami je 30°. Nájdite tie uhly.

Riešenie. Nech obrázok 6 spĺňa podmienku.

KAPITOLA III.
PARALELNÉ ČIARY

§ 35. ZNAKY PARALELY DVOCH PRIAMYCH ČIAR.

Veta, že dve kolmice k jednej priamke sú rovnobežné (§ 33), dáva znamenie, že dve priamky sú rovnobežné. Je možné odvodiť všeobecnejšie znaky rovnobežnosti dvoch priamok.

1. Prvý znak paralelizmu.

Ak sú v priesečníku dvoch priamok s treťou vnútorné uhly ležiace naprieč rovnaké, potom sú tieto priamky rovnobežné.

Nech priamky AB a CD pretínajú priamku EF a / 1 = / 2. Vezmite bod O - stred segmentu KL sečnice EF (obr. 189).

Pustime kolmicu OM z bodu O na priamku AB a pokračujeme v nej, kým sa nepretne s priamkou CD, AB_|_MN. Dokážme, že CD_|_MN.
Za týmto účelom zvážte dva trojuholníky: MOE a NOK. Tieto trojuholníky sú si navzájom rovné. Naozaj: / 1 = / 2 podmienkou vety; OK = OL - podľa konštrukcie;
/ MOL = / NOK ako zvislé rohy. Teda strana a dva k nej priľahlé uhly jedného trojuholníka sú rovnaké ako strana a dva k nej priľahlé uhly iného trojuholníka; v dôsledku toho /\ MOL = /\ NOK, a teda
/ LMO = / no ale / LMO je priamy, teda a / KNO je tiež priamy. Čiary AB a CD sú teda kolmé na tú istú čiaru MN, teda sú rovnobežné (§ 33), čo sa malo dokázať.

Poznámka. Priesečník priamok MO a CD možno určiť otočením trojuholníka MOL okolo bodu O o 180°.

2. Druhý znak paralelizmu.

Pozrime sa, či sú priamky AB a CD rovnobežné, ak v priesečníku ich tretej priamky EF sú príslušné uhly rovnaké.

Nech sú niektoré zodpovedajúce uhly rovnaké, napr / 3 = / 2 (dev. 190);
/ 3 = / 1, pretože rohy sú vertikálne; znamená, / 2 budú rovnaké / 1. Ale uhly 2 a 1 sú vnútorné priečne uhly a už vieme, že ak sú v priesečníku dvoch priamok treťou vnútorné priečne ležiace uhly rovnaké, potom sú tieto priamky rovnobežné. Preto AB || CD.

Ak sú v priesečníku dvoch čiar tretej zodpovedajúce uhly rovnaké, potom sú tieto dve čiary rovnobežné.

Na tejto vlastnosti je založená konštrukcia rovnobežných čiar pomocou pravítka a rysovacieho trojuholníka. Toto sa robí nasledovne.

Pripevníme trojuholník k pravítku tak, ako je to znázornené na obrázku 191. Trojuholník posunieme tak, aby sa jedna z jeho strán posúvala po pravítku a pozdĺž ktorejkoľvek inej strany trojuholníka nakreslíme niekoľko priamych čiar. Tieto čiary budú rovnobežné.

3. Tretí znak rovnobežnosti.

Uvedomme si, že na priesečníku dvoch priamok AB a CD treťou priamkou je súčet všetkých vnútorných jednostranných uhlov rovný 2. d(alebo 180°). Budú v tomto prípade priamky AB a CD rovnobežné (obr. 192).

Nechaj / 1 a / 2 vnútorné jednostranné uhly a pridajte až 2 d.
ale / 3 + / 2 = 2d ako susedné uhly. v dôsledku toho / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Odtiaľ / 1 = / 3, pričom tieto rohy ležia vo vnútri priečne. Preto AB || CD.

Ak sú na priesečníku dvoch priamok tretina, súčet vnútorných jednostranných uhlov sa rovná 2 d, potom sú tieto dve čiary rovnobežné.

Cvičenie.

Dokážte, že čiary sú rovnobežné:
a) ak sú vonkajšie priečne uhly rovnaké (obr. 193);
b) ak súčet vonkajších jednostranných uhlov je 2 d(čert 194).

Táto kapitola je venovaná štúdiu rovnobežiek. Toto je názov pre dve priame čiary v rovine, ktoré sa nepretínajú. V prostredí vidíme segmenty rovnobežných línií - sú to dve hrany obdĺžnikového stola, dve hrany knižného obalu, dve tyče trolejbusu atď. Rovnobežné línie zohrávajú v geometrii veľmi dôležitú úlohu. V tejto kapitole sa dozviete, čo sú axiómy geometrie a z čoho pozostáva axióma rovnobežných priamok - jedna z najznámejších axióm geometrie.

V časti 1 sme si všimli, že dve priamky majú buď jeden spoločný bod, to znamená, že sa pretínajú, alebo nemajú jediný spoločný bod, to znamená, že sa nepretínajú.

Definícia

Rovnobežnosť priamok a a b je označená takto: a || b.

Obrázok 98 zobrazuje čiary a a b kolmé na čiaru c. V časti 12 sme stanovili, že takéto priamky aab sa nepretínajú, to znamená, že sú rovnobežné.

Ryža. 98

Spolu s rovnobežnými čiarami sa často zvažujú paralelné segmenty. Tieto dva segmenty sa nazývajú paralelný ak ležia na rovnobežných líniách. Na obrázku 99 sú segmenty AB a CD rovnobežné (AB || CD) a segmenty MN a CD nie sú rovnobežné. Podobne sa určí rovnobežnosť úsečky a priamky (obr. 99, b), lúča a priamky, úsečky a lúča, dvoch lúčov (obr. 99, c).

Ryža. 99 Znaky rovnobežnosti dvoch čiar

Priame s sa volá sekanta vzhľadom na priamky a a b, ak ich pretína v dvoch bodoch (obr. 100). Na priesečníku čiar a a b tvorí sečna c osem uhlov, ktoré sú na obrázku 100 označené číslami. Niektoré dvojice týchto uhlov majú špeciálne názvy:

prekrížené rohy 3 a 5, 4 a 6;
jednostranné rohy 4 a 5, 3 a 6;
zodpovedajúce uhly: 1 a 5, 4 a 8, 2 a 6, 3 a 7.

Ryža. 100

Zvážte tri znaky rovnobežnosti dvoch čiar spojených s týmito pármi uhlov.

Veta

Dôkaz

Predpokladajme, že v priesečníku priamok a a b sečnicou AB sú ležiace uhly rovnaké: ∠1 = ∠2 (obr. 101, a).

Dokážme, že || b. Ak sú uhly 1 a 2 pravé (obr. 101, b), potom sú priamky a a b kolmé na priamku AB, a teda rovnobežné.

Ryža. 101

Zvážte prípad, keď uhly 1 a 2 nie sú správne.

Zo stredu O segmentu AB nakreslite kolmicu OH na priamku a (obr. 101, c). Na priamke b z bodu B odložíme úsečku VH 1 rovnú úsečke AH, ako je znázornené na obrázku 101, c a nakreslíme úsečku OH 1. Trojuholníky ONA a OH 1 V sú rovnaké na dvoch stranách a uhol medzi nimi (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2), teda ∠3 = ∠4 a ∠5 = ∠6. Z rovnosti ∠3 = ∠4 vyplýva, že bod H 1 leží na pokračovaní lúča OH, t.j. body H, O a H 1 ležia na tej istej priamke a z rovnosti ∠5 = ∠6 je vyplýva, že uhol 6 je priamka (keďže uhol 5 je pravý uhol). Takže priamky a a b sú kolmé na priamku HH 1, teda sú rovnobežné. Veta bola dokázaná.

Veta

Dôkaz

Nech je v priesečníku priamok a a b sečna s príslušnými uhlami rovnaká, napríklad ∠1 = ∠2 (obr. 102).

Ryža. 102

Pretože uhly 2 a 3 sú vertikálne, potom ∠2 = ∠3. Tieto dve rovnosti znamenajú, že ∠1 = ∠3. Ale uhly 1 a 3 sú krížové, takže priamky a a b sú rovnobežné. Veta bola dokázaná.

Veta

Dôkaz

Nech je v priesečníku priamok a a b sečna so súčtom jednostranných uhlov 180°, napríklad ∠1 + ∠4 = 180° (pozri obr. 102).

Keďže uhly 3 a 4 susedia, potom ∠3 + ∠4 = 180°. Z týchto dvoch rovností vyplýva, že priečne uhly 1 a 3 sú rovnaké, takže priamky a a b sú rovnobežné. Veta bola dokázaná.

Praktické spôsoby kreslenia paralelných čiar

Znaky rovnobežiek sú základom spôsobov konštrukcie rovnobežiek pomocou rôznych nástrojov používaných v praxi. Zvážte napríklad metódu konštrukcie rovnobežných čiar pomocou štvorca na kreslenie a pravítka. Aby sme vytvorili priamku prechádzajúcu bodom M a rovnobežnú s danou čiarou a, na priamu čiaru a aplikujeme štvorec kreslenia a na ňu pravítko, ako je znázornené na obrázku 103. Potom posúvaním štvorca pozdĺž pravítka zabezpečí, že bod M bude na strane štvorca a nakreslíme čiaru b. Čiary a a b sú rovnobežné, pretože zodpovedajúce uhly, označené na obrázku 103 písmenami α a β, sú rovnaké.

Ryža. 103 Obrázok 104 zobrazuje spôsob konštrukcie rovnobežných čiar pomocou T-štvorca. Táto metóda sa používa v praxi kreslenia.

Ryža. 104 Podobná metóda sa používa pri vykonávaní stolárskych prác, kde sa na označenie rovnobežných čiar používa úkos (dve drevené dosky pripevnené závesom, obr. 105).

Ryža. 105

Úlohy

186. Na obrázku 106 priamky a a b pretína priamka c. Dokážte, že || b ak:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45° a uhol 7 je trikrát väčší ako uhol 3.

Ryža. 106

187. Podľa obrázku 107 dokážte, že AB || D.E.

Ryža. 107

188. Segmenty AB a CD sa pretínajú v spoločnom strede. Dokážte, že čiary AC a BD sú rovnobežné.

189. Pomocou údajov na obrázku 108 dokážte, že BC || AD.

Ryža. 108

190. Na obrázku 109 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Dokážte, že DE || AS.

Ryža. 109

191. Úsečka VK je osou trojuholníka ABC. Bodom K sa vedie priamka, ktorá pretína stranu BC v bode M tak, že BM = MK. Dokážte, že čiary KM a AB sú rovnobežné.

192. V trojuholníku ABC je uhol A 40° a uhol ALL susediaci s uhlom ACB je 80°. Dokážte, že os uhla ALL je rovnobežná s priamkou AB.

193. V trojuholníku ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Čiara BD je vedená cez vrchol B tak, že lúč BC je osou uhla ABD. Dokážte, že čiary AC a BD sú rovnobežné.

194. Nakreslite trojuholník. Cez každý vrchol tohto trojuholníka pomocou štvorca a pravítka nakreslite priamku rovnobežnú s opačnou stranou.

195. Nakreslite trojuholník ABC a označte bod D na strane AC. Cez bod D pomocou štvorca a pravítka nakreslite rovné čiary rovnobežné s ostatnými dvoma stranami trojuholníka.

Táto kapitola je venovaná štúdiu rovnobežiek. Toto je názov pre dve priame čiary v rovine, ktoré sa nepretínajú. V prostredí vidíme segmenty rovnobežných línií - sú to dve hrany obdĺžnikového stola, dve hrany knižného obalu, dve tyče trolejbusu atď. Rovnobežné línie zohrávajú v geometrii veľmi dôležitú úlohu. V tejto kapitole sa dozviete, čo sú axiómy geometrie a z čoho pozostáva axióma rovnobežných priamok - jedna z najznámejších axióm geometrie.

V časti 1 sme si všimli, že dve priamky majú buď jeden spoločný bod, to znamená, že sa pretínajú, alebo nemajú jediný spoločný bod, to znamená, že sa nepretínajú.

Definícia

Rovnobežnosť priamok a a b je označená takto: a || b.

Obrázok 98 zobrazuje čiary a a b kolmé na čiaru c. V časti 12 sme stanovili, že takéto priamky aab sa nepretínajú, to znamená, že sú rovnobežné.

Ryža. 98

Spolu s rovnobežnými čiarami sa často zvažujú paralelné segmenty. Tieto dva segmenty sa nazývajú paralelný ak ležia na rovnobežných líniách. Na obrázku 99 sú segmenty AB a CD rovnobežné (AB || CD) a segmenty MN a CD nie sú rovnobežné. Podobne sa určí rovnobežnosť úsečky a priamky (obr. 99, b), lúča a priamky, úsečky a lúča, dvoch lúčov (obr. 99, c).

Ryža. 99 Znaky rovnobežnosti dvoch čiar

Priame s sa volá sekanta vzhľadom na priamky a a b, ak ich pretína v dvoch bodoch (obr. 100). Na priesečníku čiar a a b tvorí sečna c osem uhlov, ktoré sú na obrázku 100 označené číslami. Niektoré dvojice týchto uhlov majú špeciálne názvy:

prekrížené rohy 3 a 5, 4 a 6;
jednostranné rohy 4 a 5, 3 a 6;
zodpovedajúce uhly: 1 a 5, 4 a 8, 2 a 6, 3 a 7.

Ryža. 100

Zvážte tri znaky rovnobežnosti dvoch čiar spojených s týmito pármi uhlov.

Veta

Dôkaz

Predpokladajme, že v priesečníku priamok a a b sečnicou AB sú ležiace uhly rovnaké: ∠1 = ∠2 (obr. 101, a).

Dokážme, že || b. Ak sú uhly 1 a 2 pravé (obr. 101, b), potom sú priamky a a b kolmé na priamku AB, a teda rovnobežné.

Ryža. 101

Zvážte prípad, keď uhly 1 a 2 nie sú správne.

Zo stredu O segmentu AB nakreslite kolmicu OH na priamku a (obr. 101, c). Na priamke b z bodu B odložíme úsečku VH 1 rovnú úsečke AH, ako je znázornené na obrázku 101, c a nakreslíme úsečku OH 1. Trojuholníky ONA a OH 1 V sú rovnaké na dvoch stranách a uhol medzi nimi (AO = BO, AN = VN 1, ∠1 = ∠2), teda ∠3 = ∠4 a ∠5 = ∠6. Z rovnosti ∠3 = ∠4 vyplýva, že bod H 1 leží na pokračovaní lúča OH, t.j. body H, O a H 1 ležia na tej istej priamke a z rovnosti ∠5 = ∠6 je vyplýva, že uhol 6 je priamka (keďže uhol 5 je pravý uhol). Takže priamky a a b sú kolmé na priamku HH 1, teda sú rovnobežné. Veta bola dokázaná.

Veta

Dôkaz

Nech je v priesečníku priamok a a b sečna s príslušnými uhlami rovnaká, napríklad ∠1 = ∠2 (obr. 102).

Ryža. 102

Pretože uhly 2 a 3 sú vertikálne, potom ∠2 = ∠3. Tieto dve rovnosti znamenajú, že ∠1 = ∠3. Ale uhly 1 a 3 sú krížové, takže priamky a a b sú rovnobežné. Veta bola dokázaná.

Veta

Dôkaz

Nech je v priesečníku priamok a a b sečna so súčtom jednostranných uhlov 180°, napríklad ∠1 + ∠4 = 180° (pozri obr. 102).

Keďže uhly 3 a 4 susedia, potom ∠3 + ∠4 = 180°. Z týchto dvoch rovností vyplýva, že priečne uhly 1 a 3 sú rovnaké, takže priamky a a b sú rovnobežné. Veta bola dokázaná.

Praktické spôsoby kreslenia paralelných čiar

Znaky rovnobežiek sú základom spôsobov konštrukcie rovnobežiek pomocou rôznych nástrojov používaných v praxi. Zvážte napríklad metódu konštrukcie rovnobežných čiar pomocou štvorca na kreslenie a pravítka. Aby sme vytvorili priamku prechádzajúcu bodom M a rovnobežnú s danou čiarou a, na priamu čiaru a aplikujeme štvorec kreslenia a na ňu pravítko, ako je znázornené na obrázku 103. Potom posúvaním štvorca pozdĺž pravítka zabezpečí, že bod M bude na strane štvorca a nakreslíme čiaru b. Čiary a a b sú rovnobežné, pretože zodpovedajúce uhly, označené na obrázku 103 písmenami α a β, sú rovnaké.

Ryža. 103 Obrázok 104 zobrazuje spôsob konštrukcie rovnobežných čiar pomocou T-štvorca. Táto metóda sa používa v praxi kreslenia.

Ryža. 104 Podobná metóda sa používa pri vykonávaní stolárskych prác, kde sa na označenie rovnobežných čiar používa úkos (dve drevené dosky pripevnené závesom, obr. 105).

Ryža. 105

Úlohy

186. Na obrázku 106 priamky a a b pretína priamka c. Dokážte, že || b ak:

a) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
b) ∠1 = ∠6;
c) ∠l = 45° a uhol 7 je trikrát väčší ako uhol 3.

Ryža. 106

187. Podľa obrázku 107 dokážte, že AB || D.E.

Ryža. 107

188. Segmenty AB a CD sa pretínajú v spoločnom strede. Dokážte, že čiary AC a BD sú rovnobežné.

189. Pomocou údajov na obrázku 108 dokážte, že BC || AD.

Ryža. 108

190. Na obrázku 109 AB = BC, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Dokážte, že DE || AS.

Ryža. 109

191. Úsečka VK je osou trojuholníka ABC. Bodom K sa vedie priamka, ktorá pretína stranu BC v bode M tak, že BM = MK. Dokážte, že čiary KM a AB sú rovnobežné.

192. V trojuholníku ABC je uhol A 40° a uhol ALL susediaci s uhlom ACB je 80°. Dokážte, že os uhla ALL je rovnobežná s priamkou AB.

193. V trojuholníku ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Čiara BD je vedená cez vrchol B tak, že lúč BC je osou uhla ABD. Dokážte, že čiary AC a BD sú rovnobežné.

194. Nakreslite trojuholník. Cez každý vrchol tohto trojuholníka pomocou štvorca a pravítka nakreslite priamku rovnobežnú s opačnou stranou.

195. Nakreslite trojuholník ABC a označte bod D na strane AC. Cez bod D pomocou štvorca a pravítka nakreslite rovné čiary rovnobežné s ostatnými dvoma stranami trojuholníka.

AB a ODD prekrížená treťou čiarou MN, potom uhly vytvorené v tomto prípade dostanú nasledujúce názvy v pároch:

zodpovedajúce uhly 1 a 5, 4 a 8, 2 a 6, 3 a 7;

vnútorné priečne ležiace rohy 3 a 5, 4 a 6;

vonkajšie priečne ležiace rohy 1 a 7, 2 a 8;

vnútorné jednostranné rohy 3 a 6, 4 a 5;

vonkajšie jednostranné rohy: 1 a 8, 2 a 7.

Takže ∠ 2 = ∠ 4 a ∠ 8 = ∠ 6, ale podľa dokázaného ∠ 4 = ∠ 6.

Preto ∠ 2 = ∠ 8.

3. Príslušné uhly 2 a 6 sú rovnaké, pretože ∠ 2 = ∠ 4 a ∠ 4 = ∠ 6. Tiež sa presvedčíme, že ostatné zodpovedajúce uhly sú rovnaké.

4. Sum vnútorné jednostranné rohy 3 a 6 bude 2d, pretože súčet priľahlé rohy 3 a 4 sa rovná 2d = 180 0 a ∠ 4 môže byť nahradené rovnakým ∠ 6. Uistite sa tiež, že súčet uhlov 4 a 5 sa rovná 2d.

5. Sum vonkajšie jednostranné rohy bude 2d, pretože tieto uhly sú rovnaké vnútorné jednostranné rohy ako rohy vertikálne.

Z vyššie dokázaného odôvodnenia dostávame inverzné vety.

Keď na priesečníku dvoch čiar ľubovoľnej tretej čiary dostaneme, že:

1. Vnútorné priečne ležiace uhly sú rovnaké;

alebo 2. Vonkajšie priečne ležiace uhly sú rovnaké;

alebo 3. Zodpovedajúce uhly sú rovnaké;

alebo 4. Súčet vnútorných jednostranných uhlov sa rovná 2d = 180 0 ;

alebo 5. Súčet vonkajšej jednostrannej je 2d = 180 0 ,

potom sú prvé dve čiary rovnobežné.