Základné pojmy kinematiky a kinematické charakteristiky

Pohyb človeka je mechanický, to znamená, že ide o zmenu tela alebo jeho častí voči iným telám. Relatívny pohyb popisuje kinematika.

Kinematika – odvetvie mechaniky, ktoré študuje mechanický pohyb, ale nezohľadňuje príčiny, ktoré tento pohyb spôsobujú. Neoddeliteľnou súčasťou športovej biomechaniky a najmä kinematiky je popis pohybu ľudského tela (jeho častí) pri rôznych športoch a rôznych športových pomôckach.

Bez ohľadu na to, aký materiálny objekt alebo jav zvážime, ukáže sa, že nič neexistuje mimo priestoru a času. Akýkoľvek objekt má priestorové rozmery a tvar, nachádza sa na nejakom mieste v priestore vo vzťahu k inému objektu. Akýkoľvek proces, na ktorom sa zúčastňujú hmotné predmety, má začiatok a koniec v čase, ako dlho trvá v čase, môže byť vykonaný skôr alebo neskôr ako iný proces. Preto je potrebné merať priestorový a časový rozsah.

Hlavné jednotky merania kinematických charakteristík v medzinárodnom systéme meraní SI.

Priestor. Jedna štyridsaťmilióntina dĺžky zemského poludníka prechádzajúceho Parížom sa nazývala meter. Preto sa dĺžka meria v metroch (m) a vo viacerých jednotkách merania: kilometre (km), centimetre (cm) atď.

Čas je jedným zo základných pojmov. Dá sa povedať, že toto oddeľuje dve po sebe nasledujúce udalosti. Jedným zo spôsobov merania času je použitie akéhokoľvek pravidelne sa opakujúceho procesu. Jedna osemdesiatšesťtisícina pozemského dňa bola vybraná ako jednotka času a nazývala sa sekunda (s) a jej násobky (minúty, hodiny atď.).

V športe sa používajú špeciálne časové charakteristiky:

Okamih času(t)- ide o dočasné meranie polohy hmotného bodu, väzieb telesa alebo sústavy telies. Časové momenty označujú začiatok a koniec pohybu alebo niektorú z jeho častí alebo fáz.

Trvanie pohybu(∆t) – toto je jeho časová miera, ktorá sa meria rozdielom medzi momentmi konca a začiatku pohybu∆t = tcon. – tini.

Tempo pohybu(N) - je to dočasná miera opakovania pohybov opakovaných za jednotku času. N = 1/At; (1/c) alebo (cyklus/c).

Rytmus pohybov – ide o dočasné meranie pomeru častí (fáz) pohybov. Je určená pomerom trvania častí pohybu.

Poloha tela v priestore je určená vzhľadom na nejaký referenčný systém, ktorý zahŕňa referenčné teleso (to znamená, voči ktorému sa pohyb zvažuje) a súradnicový systém potrebný na opísanie polohy tela v určitej časti priestoru. na kvalitatívnej úrovni.

Referenčné teleso je spojené so začiatkom a smerom merania. Napríklad v mnohých súťažiach môže byť počiatočná poloha zvolená ako počiatok súradníc. Z nej sa už vo všetkých cyklických športoch počítajú rôzne súťažné vzdialenosti. Vo zvolenom súradnicovom systéme „štart – cieľ“ teda určíte vzdialenosť v priestore, o ktorú sa športovec pri pohybe bude pohybovať. Akákoľvek medzipoloha tela športovca počas pohybu je charakterizovaná aktuálnou súradnicou v rámci zvoleného intervalu vzdialenosti.

Na presné určenie športového výsledku pravidlá súťaže stanovujú, ktorý bod (referenčný bod) sa počíta: pozdĺž špičky korčuliarskej korčule, pozdĺž vyčnievajúceho bodu hrudníka šprintéra alebo pozdĺž odtokovej hrany stopy. pristávací mostík na dĺžku.

V niektorých prípadoch sa na presný opis pohybu zákonov biomechaniky zavádza pojem hmotný bod.

Materiálny bod – ide o teleso, ktorého rozmery a vnútornú stavbu možno za daných podmienok zanedbať.

Pohyb telies môže mať rôznu povahu a intenzitu. Na charakterizáciu týchto rozdielov sa v kinematike zavádza množstvo pojmov, ktoré sú uvedené nižšie.

Trajektória – čiara opísaná v priestore pohyblivým bodom telesa. Pri biomechanickej analýze pohybov sa v prvom rade zvažujú trajektórie pohybov charakteristických bodov človeka. Spravidla sú tieto body kĺbmi tela. Podľa typu trajektórie pohybov sa delia na priamočiare (priamka) a krivočiara (akákoľvek iná ako priamka).

sťahovanie – je vektorový rozdiel medzi konečnou a počiatočnou polohou tela. Preto posun charakterizuje konečný výsledok pohybu.

Cesta – toto je dĺžka úseku trajektórie, ktorú prejde teleso alebo bod telesa počas zvoleného časového obdobia.

KINEMATIKA BODU

Úvod do kinematiky

kinematika s názvom sekcia teoretická mechanika, ktorá študuje pohyb hmotných telies z geometrického hľadiska bez ohľadu na pôsobiace sily.

Poloha pohybujúceho sa telesa v priestore je vždy určená vo vzťahu k akémukoľvek inému nemennému telesu, tzv referenčný orgán. Nazýva sa súradnicový systém, ktorý je vždy spojený s referenčným telom referenčný systém. V newtonovskej mechanike sa čas považuje za absolútny a nesúvisí s pohybom hmoty. V súlade s tým postupuje rovnako vo všetkých vzťažných sústavách bez ohľadu na ich pohyb. Základnou jednotkou času je sekunda (s).

Ak sa poloha tela vzhľadom na zvolený referenčný systém v priebehu času nemení, potom to hovoria telo vzhľadom na daný referenčný rámec je v kľude. Ak teleso zmení svoju polohu vzhľadom na zvolenú referenčnú sústavu, potom sa hovorí, že sa pohybuje vzhľadom na túto sústavu. Teleso môže byť v pokoji vzhľadom na jeden referenčný rámec, ale môže sa pohybovať (a navyše úplne rôznymi spôsobmi) vzhľadom na iné referenčné systémy. Napríklad cestujúci sediaci nehybne na lavici idúceho vlaku je v pokoji vzhľadom na referenčnú sústavu spojenú s automobilom, ale pohybuje sa vzhľadom na referenčnú sústavu spojenú so Zemou. Bod ležiaci na povrchu behúňa kolesa sa pohybuje vo vzťahu k referenčnej sústave spojenej s automobilom pozdĺž kruhu a vo vzťahu k referenčnej sústave spojenej so Zemou pozdĺž cykloidy; ten istý bod je v pokoji vzhľadom na súradnicový systém spojený s dvojkolesím.

Touto cestou, pohyb alebo pokoj telesa možno uvažovať iba vo vzťahu k nejakej zvolenej vzťažnej sústave. Nastavte pohyb tela vzhľadom na ľubovoľnú referenčnú sústavu -znamená poskytnúť funkčné závislosti, pomocou ktorých je možné určiť polohu tela v akomkoľvek časovom okamihu vzhľadom na tento systém. Rôzne body toho istého telesa sa vzhľadom na zvolenú referenčnú sústavu pohybujú odlišne. Napríklad vo vzťahu k systému spojenému so Zemou sa bod povrchu behúňa kolesa pohybuje pozdĺž cykloidy a stred kolesa - v priamke. Preto sa štúdium kinematiky začína kinematikou bodu.

§ 2. Metódy určenia pohybu bodu

Pohyb bodu je možné určiť tromi spôsobmi:prirodzené, vektorové a súradnicové.

S prirodzenou cestouúlohou pohybu je daná trajektória, teda priamka, po ktorej sa bod pohybuje (obr. 2.1). Na tejto trajektórii sa vyberie určitý bod, ktorý sa berie ako počiatok. Vyberie sa kladný a záporný smer počítania oblúkovej súradnice, ktorá určuje polohu bodu na trajektórii. Ako sa bod pohybuje, vzdialenosť sa mení. Preto na určenie polohy bodu v akomkoľvek časovom bode stačí určiť súradnicu oblúka ako funkciu času:

Táto rovnosť sa nazýva pohybová rovnica bodu po danej trajektórii .

Pohyb bodu v posudzovanom prípade je teda určený súhrnom nasledujúcich údajov: trajektória bodu, poloha začiatku oblúkovej súradnice, kladný a záporný smer referencie a funkcia .

Pri vektorovej metóde zadávania pohybu bodu je poloha bodu určená veľkosťou a smerom vektora polomeru ťahaného od pevného stredu k danému bodu (obr. 2.2). Keď sa bod pohybuje, jeho vektor polomeru mení veľkosť a smer. Preto na určenie polohy bodu v akomkoľvek čase stačí určiť jeho vektor polomeru ako funkciu času:

Táto rovnosť sa nazýva vektorová rovnica pohybu bodu .

S metódou súradníc úloha pohybu sa poloha bodu vo vzťahu k zvolenému referenčnému systému určí pomocou pravouhlého systému kartézskych súradníc (obr. 2.3). Keď sa bod pohybuje, jeho súradnice sa časom menia. Preto na určenie polohy bodu kedykoľvek stačí zadať súradnice , , ako funkcia času:

Tieto rovnosti sa nazývajú pohybové rovnice bodu v pravouhlých karteziánskych súradniciach . Pohyb bodu v rovine určujú dve rovnice sústavy (2.3), priamočiary pohyb - jedna.

Medzi tromi opísanými spôsobmi udávania pohybu existuje vzájomná súvislosť, ktorá umožňuje prejsť od jedného spôsobu udávania pohybu k druhému. Dá sa to ľahko overiť napríklad pri zvažovaní prechodu zo súradnicovej metódy zadávania pohybu na vektor.

Predpokladajme, že pohyb bodu je daný vo forme rovníc (2.3). S ohľadom na to

dá sa napísať

A toto je rovnica tvaru (2.2).

Úloha 2.1. Nájdite pohybovú rovnicu a trajektóriu stredu ojnice, ako aj pohybovú rovnicu posúvača kľukového mechanizmu (obr. 2.4), ak ; .

Riešenie. Poloha bodu je určená dvomi súradnicami a . Z obr. 2.4 to ukazuje

, .

Potom od a :

; ; .

Nahrádzanie hodnôt , a získame pohybové rovnice bodu:

; .

Na nájdenie rovnice trajektórie bodu v explicitnej forme je potrebné vylúčiť čas z pohybových rovníc. Za týmto účelom vykonáme potrebné transformácie v pohybových rovniciach získaných vyššie:

; .

Umocnenie a sčítanie ľavej a pravej strany týchto rovníc dostaneme rovnicu trajektórie v tvare

.

Preto je trajektória bodu elipsa.

Posúvač sa pohybuje v priamom smere. Súradnicu, ktorá určuje polohu bodu, možno zapísať ako

.

Rýchlosť a zrýchlenie

Bodová rýchlosť

V predchádzajúcom článku je pohyb telesa alebo bodu definovaný ako zmena polohy v priestore v čase. Aby sa lepšie charakterizovali kvalitatívne a kvantitatívne aspekty pohybu, zaviedli sa pojmy rýchlosť a zrýchlenie.

Rýchlosť je kinematická miera pohybu bodu, charakterizujúca rýchlosť zmeny jeho polohy v priestore.
Rýchlosť je vektorová veličina, t.j. je charakterizovaná nielen modulom (skalárnou zložkou), ale aj smerom v priestore.

Ako je známe z fyziky, pri rovnomernom pohybe možno rýchlosť určiť podľa dĺžky dráhy prejdenej za jednotku času: v = s/t = konšt (predpokladá sa, že pôvod cesty a čas sa zhodujú).
Pri priamočiarom pohybe je rýchlosť konštantná v absolútnej hodnote aj v smere a jej vektor sa zhoduje s trajektóriou.

Jednotka rýchlosti v systéme SI určená pomerom dĺžka/čas, t.j. pani .

Je zrejmé, že pri krivočiarom pohybe sa rýchlosť bodu zmení v smere.
Aby sme určili smer vektora rýchlosti v každom časovom okamihu pri krivočiarom pohybe, rozdelíme trajektóriu na nekonečne malé úseky dráhy, ktoré možno považovať (kvôli svojej malej veľkosti) za priamočiare. Potom na každej sekcii podmienená rýchlosť v p takýto priamočiary pohyb bude smerovať pozdĺž tetivy a tetiva zase s nekonečným zmenšovaním dĺžky oblúka ( Δs má tendenciu k nule) sa zhoduje s dotyčnicou k tomuto oblúku.
Z toho vyplýva, že pri krivočiarom pohybe sa vektor rýchlosti v každom časovom okamihu zhoduje s dotyčnicou k trajektórii (obr. 1a). Priamočiary pohyb možno znázorniť ako špeciálny prípad krivočiareho pohybu pozdĺž oblúka, ktorého polomer má tendenciu k nekonečnu (dráha sa zhoduje s dotyčnicou).

Pri nerovnomernom pohybe bodu sa modul jeho rýchlosti v čase mení.
Predstavte si bod, ktorého pohyb je daný prirodzeným spôsobom rovnica s = f(t) .

Ak na krátku dobu Δt bod prešiel Δs , potom jeho priemerná rýchlosť je:

vav = ∆s/∆t.

Priemerná rýchlosť neposkytuje predstavu o skutočnej rýchlosti v danom časovom okamihu (skutočná rýchlosť sa inak nazýva okamžitá). Je zrejmé, že čo menšia medzeračas, za ktorý sa priemerná rýchlosť zisťuje, tým viac sa jej hodnota približuje k okamžitej rýchlosti.

Skutočná (okamžitá) rýchlosť je limit, ku ktorému smeruje priemerná rýchlosť, keď Δt smeruje k nule:

v = lim v cf pri t→0 alebo v = lim (Δs/Δt) = ds/dt.

Číselná hodnota skutočnej rýchlosti je teda v = ds/dt .
Skutočná (okamžitá) rýchlosť akéhokoľvek pohybu bodu sa rovná prvej derivácii súradnice (t. j. vzdialenosti od začiatku pohybu) vzhľadom na čas.

O Δt sklon k nule Δs má tiež tendenciu k nule, a ako sme už zistili, vektor rýchlosti bude smerovať tangenciálne (t. j. bude sa zhodovať so skutočným vektorom rýchlosti v ). Z toho vyplýva, že limit vektora podmienenej rýchlosti v p , rovná limitu pomeru vektora posunutia bodu k infinitezimálnemu časovému intervalu, sa rovná skutočnému vektoru rýchlosti bodu.

Obr.1

Zvážte príklad. Ak sa disk môže bez otáčania posúvať pozdĺž pevnej osi v danej referenčnej sústave (obr. 1, a), tak v danej vzťažnej sústave má zjavne len jeden stupeň voľnosti - poloha disku je jednoznačne určená povedzme súradnicou x jeho stredu, meranou pozdĺž osi. Ak sa však disk môže navyše aj otáčať (obr. 1, b), potom získa ešte jeden stupeň voľnosti - k súradnici X pripočíta sa uhol natočenia φ disku okolo osi. Ak je os s kotúčom upnutá v ráme, ktorý sa môže otáčať okolo zvislej osi (obr. v), potom sa počet stupňov voľnosti rovná trom - až X a φ sa pridá uhol natočenia rámu ϕ .

Voľný hmotný bod v priestore má tri stupne voľnosti: napr Kartézske súradnice x, y a z. Súradnice bodu možno určiť aj vo valcovom ( r, 𝜑, z) a sférický ( r, 𝜑, 𝜙) referenčné systémy, ale počet parametrov, ktoré jednoznačne určujú polohu bodu v priestore, sú vždy tri.

Hmotný bod v rovine má dva stupne voľnosti. Ak zvolíme súradnicový systém v rovine xОy, potom súradnice X a r určiť polohu bodu v rovine, súradnicu z sa identicky rovná nule.

Voľný hmotný bod na povrchu akéhokoľvek druhu má dva stupne voľnosti. Napríklad: polohu bodu na povrchu Zeme určujú dva parametre: zemepisná šírka a dĺžka.

Hmotný bod na krivke akéhokoľvek druhu má jeden stupeň voľnosti. Parameter, ktorý určuje polohu bodu na krivke, môže byť napríklad vzdialenosť pozdĺž krivky od začiatku.

Uvažujme dva hmotné body v priestore spojené pevnou tyčou dĺžky l(obr. 2). Poloha každého bodu je určená tromi parametrami, ktoré sú však spojené.

Obr.2

Rovnica l 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 je rovnica komunikácie. Z tejto rovnice môže byť každá súradnica vyjadrená v podmienkach ďalších piatich súradníc (päť nezávislých parametrov). Preto tieto dva body majú (2∙3-1=5) päť stupňov voľnosti.

Uvažujme tri hmotné body v priestore, ktoré neležia na jednej priamke a sú spojené tromi tuhými tyčami. Počet stupňov voľnosti týchto bodov je (3∙3-3=6) šesť.

Voľné tuhé teleso má vo všeobecnosti 6 stupňov voľnosti. Skutočne, poloha telesa v priestore vzhľadom na akýkoľvek referenčný systém je určená nastavením jeho troch bodov, ktoré neležia na jednej priamke, a vzdialenosti medzi bodmi v pevnom telese zostávajú nezmenené počas ktoréhokoľvek z jeho pohybov. Podľa vyššie uvedeného by sa počet stupňov voľnosti mal rovnať šiestim.

translačný pohyb

V kinematike, rovnako ako v štatistike, budeme všetky tuhé telesá považovať za absolútne tuhé.

Absolútne pevné telo volal hmotné telo, geometrický tvar ktorého rozmery sa nemenia žiadnymi mechanickými vplyvmi iných telies a vzdialenosť medzi akýmikoľvek dvoma bodmi zostáva konštantná.

Kinematika tuhého telesa, ako aj dynamika tuhého telesa, je jednou z najťažších častí kurzu teoretickej mechaniky.

Úlohy kinematiky tuhého telesa sú rozdelené do dvoch častí:

1) nastavenie pohybu a určenie kinematických charakteristík pohybu tela ako celku;

2) určenie kinematických charakteristík pohybu jednotlivých bodov telesa.

Existuje päť typov pevného pohybu tela:

1) pohyb vpred;

2) rotácia okolo pevnej osi;

3) plochý pohyb;

4) rotácia okolo pevného bodu;

5) voľný pohyb.

Prvé dva sa nazývajú najjednoduchšie pohyby tuhého telesa.

Začnime uvažovaním translačného pohybu tuhého telesa.

Translačný nazývaný taký pohyb tuhého telesa, pri ktorom sa každá priamka nakreslená v tomto telese pohybuje, pričom zostáva rovnobežná s jeho počiatočným smerom.

Translačný pohyb by sa nemal zamieňať s priamočiarym. Počas translačného pohybu telesa môžu byť trajektórie jeho bodov ľubovoľné zakrivené čiary. Uveďme si príklady.

1. Karoséria auta na priamom vodorovnom úseku cesty sa pohybuje dopredu. V tomto prípade budú trajektórie jeho bodov priamky.

2. Partner AB(obr. 3) sa počas otáčania kľukami pohybuje dopredu aj O 1 A a O 2 B (akákoľvek priamka v ňom nakreslená zostáva rovnobežná s jej počiatočným smerom). Hroty dvojčiat sa pohybujú pozdĺž kruhov.

Obr.3

Pedále bicykla sa pri pohybe posúvajú dopredu voči jeho rámu, piesty vo valcoch spaľovacieho motora voči valcom, kabíny ruského kolesa v parkoch (obr. 4) voči Zemi.

Obr.4

Vlastnosti translačného pohybu určuje nasledujúca veta: pri translačnom pohybe všetky body telesa opisujú rovnaké (pri superponovaní zhodné) trajektórie a majú v každom okamihu rovnakú rýchlosť a zrýchlenie v absolútnej hodnote a smere.

Pre dôkaz uvažujme tuhé teleso, ktoré vykonáva translačný pohyb vzhľadom na referenčnú sústavu Oxyz. Vezmite dva ľubovoľné body v tele ALE a AT, ktorých pozície v danom okamihu t sú určené polomerovými vektormi a (obr. 5).

Obr.5

Nakreslíme vektor spájajúci tieto body.

Zároveň aj dĺžka AB je konštantná, ako vzdialenosť medzi bodmi tuhého telesa a smer AB zostáva nezmenená, keď sa telo pohybuje dopredu. Takže vektor AB zostáva konštantná počas celého pohybu tela AB= konštanta). V dôsledku toho sa trajektória bodu B získa z trajektórie bodu A paralelným posunom všetkých jeho bodov o konštantný vektor . Preto trajektórie bodov ALE a AT budú skutočne rovnaké (pri superponovaní zhodné) krivky.

Na zistenie rýchlosti bodov ALE a AT Rozlišujme obe časti rovnosti s ohľadom na čas. Získajte

Ale derivácia konštantného vektora AB rovná sa nule. Derivácie vektorov a vzhľadom na čas udávajú rýchlosti bodov ALE a AT. Vo výsledku to zistíme

tie. že rýchlosti bodov ALE a AT telesá sú v každom okamihu rovnaké v module aj v smere. Ak vezmeme časové derivácie z oboch častí získanej rovnosti:

Preto zrýchlenia bodov ALE a AT telesá v každom okamihu sú tiež rovnaké v module a smere.

Od bodov ALE a AT boli zvolené ľubovoľne, zo zistených výsledkov vyplýva, že všetky body telesa majú svoje trajektórie, rovnako aj rýchlosti a zrýchlenia budú v ľubovoľnom čase rovnaké. Tým je teorém dokázaný.

Z vety vyplýva, že translačný pohyb tuhého telesa je určený pohybom ktoréhokoľvek z jeho bodov. V dôsledku toho sa štúdium translačného pohybu telesa redukuje na problém kinematiky bodu, ktorý sme už uvažovali.

Pri translačnom pohybe sa rýchlosť spoločná pre všetky body telesa nazýva rýchlosť translačného pohybu telesa a zrýchlenie sa nazýva zrýchlenie translačného pohybu telesa. Vektory a môžu byť zobrazené ako pripojené k akémukoľvek bodu tela.

Všimnite si, že pojmy rýchlosť a zrýchlenie telesa majú zmysel iba v translačných pohyboch. Vo všetkých ostatných prípadoch sa body tela, ako uvidíme, pohybujú rôznymi rýchlosťami a zrýchleniami a pojmy<<скорость тела>> alebo<<ускорение тела>> lebo tieto pohyby strácajú zmysel.

Obr.6

Počas času ∆t sa teleso, pohybujúce sa z bodu A do bodu B, posunie rovnajúce sa tetive AB a prejde dráhu rovnajúcu sa dĺžke oblúka. l.

Vektor polomeru sa otáča o uhol ∆φ. Uhol je vyjadrený v radiánoch.

Rýchlosť telesa po dráhe (kruhu) smeruje tangenciálne k dráhe. Nazýva sa to lineárna rýchlosť. Modul lineárnej rýchlosti sa rovná pomeru dĺžky kruhového oblúka l na časový interval ∆t, počas ktorého bol tento oblúk prekonaný:

Skalárna fyzikálna veličina, ktorá sa číselne rovná pomeru uhla natočenia vektora polomeru k časovému intervalu, počas ktorého k tejto rotácii došlo, sa nazýva uhlová rýchlosť:

Jednotkou SI uhlovej rýchlosti je radián za sekundu.

Pri rovnomernom pohybe v kruhu sú uhlová rýchlosť a modul lineárnej rýchlosti konštantné hodnoty: ω=konšt; v=konšt.

Polohu telesa je možné určiť, ak je známy modul polomerového vektora a uhol φ, ktorý zviera s osou Ox (uhlová súradnica). Ak je v počiatočnom čase t 0 =0 uhlová súradnica rovná φ 0 a v čase t je rovná φ, potom sa uhol natočenia ∆φ vektora polomeru počas času ∆t=t-t 0 rovná ∆φ=φ-φ 0 . Potom z posledného vzorca možno získať kinematickú rovnicu pohybu hmotného bodu pozdĺž kruhu:

Umožňuje kedykoľvek určiť polohu tela t.

Vzhľadom na to dostaneme:

Vzorec vzťahu medzi lineárnou a uhlovou rýchlosťou.

Časový úsek T, počas ktorého teleso vykoná jednu úplnú otáčku, sa nazýva perióda rotácie:

Kde N je počet otáčok uskutočnených telesom za čas Δt.

Za čas ∆t=T teleso prejde dráhu l= 2πR. v dôsledku toho

Pri ∆t→0 je uhol ∆φ→0 a teda β→90°. Kolmica na dotyčnicu ku kružnici je polomer. Preto je nasmerovaný pozdĺž polomeru smerom k stredu, a preto sa nazýva dostredivé zrýchlenie:

Modul , smer sa plynule mení (obr. 8). Preto tento pohyb nie je rovnomerne zrýchlený.

Obr.8

Obr.9

Potom je poloha telesa v každom časovom okamihu jednoznačne určená uhlom φ medzi týmito polrovinami zosnímaným so zodpovedajúcim znamienkom, ktorý budeme nazývať uhol natočenia telesa. Uhol φ budeme považovať za kladný, ak je vynesený z pevnej roviny proti smeru hodinových ručičiek (pre pozorovateľa pozerajúceho z kladného konca osi Az), a záporný, ak je v smere hodinových ručičiek. Uhol φ budeme merať vždy v radiánoch. Aby ste kedykoľvek poznali polohu tela, potrebujete poznať závislosť uhla φ od času t, t.j.

Rovnica vyjadruje zákon rotačného pohybu tuhého telesa okolo pevnej osi.

Pri rotačnom pohybe absolútne tuhého telesa okolo pevnej osi polomer-vektorové uhly otáčania rôzne body telá sú rovnaké.

Hlavnými kinematickými charakteristikami rotačného pohybu tuhého telesa sú jeho uhlová rýchlosť ω a uhlové zrýchlenie ε.

Ak sa teleso za čas ∆t=t 1 -t otočí o uhol ∆φ=φ 1 -φ, potom bude numericky priemerná uhlová rýchlosť telesa za tento časový úsek . V limite ako ∆t→0 nájdeme to

Číselná hodnota uhlovej rýchlosti telesa v danom časovom okamihu sa teda rovná prvej derivácii uhla natočenia vzhľadom na čas. Znamienko ω určuje smer otáčania telesa. Je ľahké vidieť, že keď je rotácia proti smeru hodinových ručičiek, ω>0, a keď je v smere hodinových ručičiek, potom ω<0.

Rozmer uhlovej rýchlosti je 1/T (t.j. 1/čas); ako merná jednotka sa zvyčajne používa rad / s alebo, čo je tiež 1 / s (s -1), pretože radián je bezrozmerná veličina.

Uhlová rýchlosť telesa môže byť vyjadrená ako vektor, ktorého modul sa rovná | | a ktorý je nasmerovaný pozdĺž osi otáčania telesa v smere, z ktorého je vidieť, že rotácia prebieha proti smeru hodinových ručičiek (obr. 10). Takýto vektor okamžite určuje modul uhlovej rýchlosti a os otáčania a smer otáčania okolo tejto osi.

Obr.10

Uhol natočenia a uhlová rýchlosť charakterizujú pohyb celého absolútne tuhého telesa ako celku. Lineárna rýchlosť ktoréhokoľvek bodu absolútne tuhého telesa je úmerná vzdialenosti bodu od osi otáčania:

Pri rovnomernej rotácii absolútne tuhého telesa sú uhly rotácie telesa v akýchkoľvek rovnakých časových intervaloch rovnaké, neexistujú žiadne tangenciálne zrýchlenia v rôznych bodoch telesa a normálne zrýchlenie bodu telesa závisí od jeho vzdialenosť od osi otáčania:

Vektor smeruje pozdĺž polomeru trajektórie bodu k osi rotácie.

Uhlové zrýchlenie charakterizuje zmenu uhlovej rýchlosti telesa v priebehu času. Ak sa v priebehu času ∆t=t 1 -t uhlová rýchlosť telesa zmení o ∆ω=ω 1 -ω, potom bude číselná hodnota priemerného uhlového zrýchlenia telesa za tento časový úsek . V limite ako ∆t→0 nájdeme,

Číselná hodnota uhlového zrýchlenia telesa v danom časovom okamihu sa teda rovná prvej derivácii uhlovej rýchlosti alebo druhej derivácii uhla natočenia telesa vzhľadom na čas.

Rozmer uhlového zrýchlenia 1/T 2 (1/čas 2); ako merná jednotka sa zvyčajne používa rad / s 2 alebo, čo je rovnaké, 1 / s 2 (s-2).

Ak sa modul uhlovej rýchlosti s časom zvyšuje, rotácia telesa sa nazýva zrýchlená a ak sa znižuje, nazýva sa pomalá. Je ľahké vidieť, že rotácia bude zrýchlená, keď hodnoty ω a ε majú rovnaké znamienko, a pomalá, keď sú odlišné.

Uhlové zrýchlenie telesa (analogicky s uhlovou rýchlosťou) možno tiež znázorniť ako vektor ε smerujúci pozdĺž osi rotácie. V čom

Smer ε sa zhoduje so smerom ω, keď sa teleso otáča rýchlo a (obr. 10, a), opačný k ω pri pomalej rotácii (obr. 10, b).

Obr.11 12

2. Zrýchlenia bodov tela. Na nájdenie zrýchlenia bodu M použite vzorce

V našom prípade ρ=h. Náhradná hodnota v do výrazov a τ a a n dostaneme:

alebo nakoniec:

Tangenciálna zložka zrýchlenia a τ smeruje tangenciálne k trajektórii (v smere pohybu pri zrýchlenej rotácii telesa a v opačnom smere pri pomalej rotácii); normálová zložka a n smeruje vždy pozdĺž polomeru PANI k osi otáčania (obr. 12). Plné bodové zrýchlenie M bude

Odchýlka vektora celkového zrýchlenia od polomeru opísaného bodu kružnice je určená uhlom μ, ktorý sa vypočíta podľa vzorca

Nahradením hodnôt a τ a a n získame

Keďže ω a ε majú rovnakú hodnotu v danom časovom okamihu pre všetky body telesa, zrýchlenia všetkých bodov rotujúceho tuhého telesa sú úmerné ich vzdialenostiam od osi rotácie a tvoria v danom časovom okamihu rovnaký uhol μ s polomermi kružníc, ktoré opisujú . Akceleračné pole bodov rotujúceho tuhého telesa má tvar znázornený na obr.14.

Obr.13 Obr.14

3. Vektory rýchlosti a zrýchlenia bodov telesa. Aby sme našli výrazy priamo pre vektory v a a, kreslíme z ľubovoľného bodu O osi AB vektor polomeru bodu M(obr. 13). Potom h=r∙sinα a podľa vzorca

Takže mo

Lístok 1.

Kinematika. mechanický pohyb. Hmotný bod a absolútne tuhé telo. Kinematika hmotného bodu a translačný pohyb tuhého telesa. Dráha, dráha, pohyb, rýchlosť, zrýchlenie.

Lístok 2.

Kinematika hmotného bodu Rýchlosť, zrýchlenie, tangenciálne, normálne a plné zrýchlenie.

Kinematika- odvetvie fyziky, ktoré študuje pohyb telies, pričom sa nezaujíma o dôvody, ktoré tento pohyb spôsobujú.

Mechaní šachové hnutié nie - je zmena polohy tela v priestore vzhľadom na iné telesá v priebehu času. (mechanický pohyb je charakterizovaný tromi fyzikálnymi veličinami: posunutím, rýchlosťou a zrýchlením)

Charakteristika mechanický pohyb sú prepojené hlavnými kinematickými rovnicami:

Materiálny bod- teleso, ktorého rozmery za podmienok tohto problému možno zanedbať.

Absolútne tuhé telo- teleso, ktorého deformáciu možno v podmienkach tohto problému zanedbať.

Kinematika hmotného bodu a translačný pohyb tuhého telesa: ?

pohyb v pravouhlom, krivočiarom súradnicovom systéme

ako zapísať rôznych systémov súradnice cez vektor polomeru

Trajektória - nejaká čiara opisujúca pohyb podložky. bodov.

cesta - skalárnu hodnotu charakterizujúcu dĺžka trajektórie telesa.

pohybujúce sa - príjemná priamka nakreslená z počiatočnej polohy pohybujúceho sa bodu do jeho konečnej polohy (vektorové množstvo)

rýchlosť:

Vektorová veličina, ktorá charakterizuje rýchlosť častice pohybujúcej sa po trajektórii, po ktorej sa táto častica pohybuje v každom časovom okamihu.

Časová derivácia polomeru časticového vektora.

Derivácia posunu vzhľadom na čas.

zrýchlenie:

Vektorová veličina charakterizujúca rýchlosť zmeny vektora rýchlosti.

Derivácia rýchlosti vzhľadom na čas.

Tangenciálne zrýchlenie - smeruje tangenciálne k trajektórii. Je súčasťou vektora zrýchlenia a. Charakterizuje zmenu rýchlosti modulo.

Dostredivé alebo normálne zrýchlenie – nastáva, keď sa bod pohybuje po kružnici. Je súčasťou vektora zrýchlenia a. Normálny vektor zrýchlenia je vždy nasmerovaný do stredu kruhu.

Celkové zrýchlenie je druhá odmocnina súčtu druhých mocnín normálnych a tangenciálnych zrýchlení.

Lístok 3

Kinematika rotačného pohybu hmotného bodu. Uhlové hodnoty. Vzťah medzi uhlovými a lineárnymi veličinami.

Kinematika rotačného pohybu hmotného bodu.

Rotačný pohyb - pohyb, pri ktorom všetky body telesa opisujú kružnice, ktorých stredy ležia na jednej priamke, ktorá sa nazýva os otáčania.

Os otáčania prechádza stredom tela, cez telo a môže byť umiestnená mimo neho.

Rotačný pohyb hmotného bodu je pohyb hmotného bodu po kružnici.

Hlavné charakteristiky kinematiky rotačného pohybu: uhlová rýchlosť, uhlové zrýchlenie.

Uhlové posunutie je vektorová veličina, ktorá charakterizuje zmenu uhlovej súradnice v procese jej pohybu.

Uhlová rýchlosť - pomer uhla natočenia vektora polomeru bodu k časovému intervalu, počas ktorého k tomuto otočeniu došlo. (Smer pozdĺž osi, okolo ktorej sa teleso otáča)

Frekvencia otáčania - fyzikálna veličina meraná počtom úplných otáčok vykonaných bodom za jednotku času s rovnomerným pohybom v jednom smere (n)

Obdobie otáčania - časové obdobie, počas ktorého sa bod úplne otočí,

pohybovať sa (T)

N je počet otáčok, ktoré teleso vykoná za čas t.

Uhlové zrýchlenie je veličina, ktorá charakterizuje zmenu vektora uhlovej rýchlosti s časom.

Vzťah medzi uhlovými a lineárnymi veličinami:

Vzťah medzi lineárnou a uhlovou rýchlosťou.

Vzťah medzi tangenciálnym a uhlovým zrýchlením.

vzťah medzi normálnym (dostredivým) zrýchlením, uhlovou rýchlosťou a lineárnou rýchlosťou.

Lístok 4.

Dynamika hmotného bodu. Klasická mechanika, hranice jej použiteľnosti. Newtonove zákony. Inerciálne vzťažné sústavy.

Dynamika hmotného bodu:

Newtonove zákony

Zákony zachovania (hybnosť, moment hybnosti, energia)

Klasická mechanika je odvetvie fyziky, ktoré na základe Newtonových zákonov a Galileiho princípu relativity študuje zákony zmeny polôh telies a príčiny, ktoré ich spôsobujú.

Klasická mechanika sa delí na:

statika (ktorá uvažuje o rovnováhe telies)

kinematika (ktorá študuje geometrické vlastnosti pohybu bez zváženia jeho príčin)

dynamika (ktorá uvažuje o pohybe telies).

Hranice použiteľnosti klasickej mechaniky:

Pri rýchlostiach blízkych rýchlosti svetla prestáva fungovať klasická mechanika.

Vlastnosti mikrosveta (atómy a subatomárne častice) nemožno pochopiť v rámci klasickej mechaniky

Klasická mechanika sa stáva neefektívnou pri posudzovaní systémov s veľmi veľkým počtom častíc

Prvý Newtonov zákon (zákon zotrvačnosti):

Existujú také referenčné systémy, voči ktorým je hmotný bod v neprítomnosti vonkajších vplyvov v pokoji alebo sa pohybuje rovnomerne a priamočiaro.

Druhý Newtonov zákon:

V inerciálnej vzťažnej sústave sa súčin hmotnosti telesa a jeho zrýchlenia rovná sile pôsobiacej na teleso.

Tretí Newtonov zákon:

Sily, ktorými na seba vzájomne pôsobiace telesá pôsobia, majú rovnakú veľkosť a opačný smer.

Referenčný systém - súbor telies, ktoré nie sú voči sebe vyvýšené, vo vzťahu ku ktorým sa berú do úvahy pohyby (zahŕňa referenčné teleso, súradnicový systém, hodiny)

Inerciálna vzťažná sústava je vzťažná sústava, v ktorej platí zákon zotrvačnosti: každé teleso, ktoré nie je ovplyvnené vonkajšími silami alebo je pôsobenie týchto síl kompenzované, je v pokoji alebo rovnomernom priamočiarom pohybe.

Zotrvačnosť je vlastnosť vlastná telesám () zmena rýchlosti telesa si vyžaduje čas.

Hmotnosť je kvantitatívna charakteristika zotrvačnosti.

Lístok 5.

Ťažisko (zotrvačnosť) tela. Hybnosť hmotného bodu a tuhého telesa. Zákon zachovania hybnosti. Pohyb ťažiska.

Ťažisko sústavy hmotných bodov je bod, ktorého poloha charakterizuje rozloženie hmoty sústavy v priestore.

rozloženie hmotností v súradnicovom systéme.

Poloha ťažiska telesa závisí od toho, ako je jeho hmotnosť rozložená po objeme telesa.

Pohyb ťažiska je určený len vonkajšími silami pôsobiacimi na sústavu Vnútorné sily sústavy neovplyvňujú polohu ťažiska.

poloha ťažiska.

Ťažisko uzavretého systému sa pohybuje priamočiaro a rovnomerne alebo zostáva nehybné.

Hybnosť hmotného bodu je vektorová veličina rovná produktu hmotnosť bodu k jeho rýchlosti.

Hybnosť telesa sa rovná súčtu impulzov jeho jednotlivých prvkov.

Zmena hybnosti mat. bod je úmerný použitej sile a má rovnaký smer ako sila.

Hybnosť systému mat. body je možné meniť len vonkajšími silami a zmena hybnosti sústavy je úmerná súčtu vonkajších síl a zhoduje sa s ňou v smere.Vnútorné sily meniace impulzy jednotlivých telies sústavy robia nezmení celkový impulz systému.

Zákon zachovania hybnosti:

ak je súčet vonkajších síl pôsobiacich na teleso sústavy rovný nule, potom sa hybnosť sústavy zachová.

Lístok 6.

Silová práca. Energia. Moc. Kinetická a potenciálna energia.Sily v prírode.

Práca je fyzikálna veličina, ktorá charakterizuje výsledok pôsobenia sily a číselne sa rovná skalárnemu súčinu vektora sily a vektora posunutia, úplne pod pôsobením tejto sily.

A \u003d F S cosa (uhol medzi smerom sily a smerom pohybu)

Práca sa nevykoná, ak:

Sila pôsobí, ale teleso sa nehýbe

Teleso sa pohybuje a sila je nulová

Uhol m / d vektormi sily a posunutia je 90 stupňov

Výkon je fyzikálna veličina, ktorá charakterizuje rýchlosť vykonávania práce a číselne sa rovná pomeru práce k intervalu, za ktorý sa práca vykonáva.

Priemerný výkon; okamžitá sila.

Výkon ukazuje, koľko práce sa vykoná za jednotku času.

Energia je skalárna fyzikálna veličina, ktorá je jedinou mierou rôznych foriem pohybu hmoty a mierou prechodu pohybu hmoty z jednej formy do druhej.

Mechanická energia je veličina, ktorá charakterizuje pohyb a interakciu telies a je funkciou rýchlosti a relatívnej polohy telies. Rovná sa súčtu kinetických a potenciálnych energií.

Fyzikálna veličina rovnajúca sa polovici súčinu hmotnosti telesa a druhej mocniny jeho rýchlosti sa nazýva kinetická energia telesa.

Kinetická energia je energia pohybu.

Fyzikálna veličina rovnajúca sa súčinu hmotnosti telesa modulom zrýchlenia voľného pádu a výšky, do ktorej sa teleso zdvihne nad povrch Zeme, sa nazýva potenciálna energia interakcie telesa a Zem.

Potenciálna energia-energia interakcie.

A \u003d - (Ep2 - Ep1).

1. Sila trenia.

Trenie je jedným z typov interakcie medzi telesami. Dochádza k nemu pri kontakte dvoch telies.Vznikajú v dôsledku interakcie medzi atómami a molekulami kontaktujúcich telies.(Sily suchého trenia sú sily, ktoré vznikajú pri kontakte dvoch pevných telies v neprítomnosti kvapaliny resp. plynná vrstva medzi nimi.Statická trecia sila má vždy rovnakú veľkosť ako vonkajšia sila a smeruje opačným smerom.Ak je vonkajšia sila väčšia ako (Ftr)max, nastáva klzné trenie.)

μ sa nazýva koeficient klzného trenia.

2. Sila pružnosti. Hookov zákon.

Pri deformácii telesa vzniká sila, ktorá sa snaží obnoviť predchádzajúce rozmery a tvar telesa – sila pružnosti.

(úmerné deformácii telesa a smerujúce v smere opačnom k ​​smeru pohybu častíc telesa počas deformácie)

Fcontrol = –kx.

Koeficient k sa nazýva tuhosť telesa.

Napätie v ťahu (x > 0) a napätie v tlaku (x< 0).

Hookov zákon: deformácia ε je úmerná napätiu σ, kde E je Youngov modul.

3. Podporte reakčnú silu.

Elastická sila pôsobiaca na teleso zo strany podpery (alebo zavesenia) sa nazýva reakčná sila podpery. Keď sa telesá dostanú do kontaktu, reakčná sila podpery smeruje kolmo na kontaktnú plochu.

Hmotnosť telesa je sila, ktorou teleso v dôsledku svojej príťažlivosti k Zemi pôsobí na podperu alebo záves.

4. Gravitácia. Jedným z prejavov sily univerzálnej gravitácie je sila gravitácie.

5. Gravitačná sila (gravitačná sila)

Všetky telesá sú k sebe priťahované silou, ktorá je priamo úmerná ich hmotnosti a nepriamo úmerná štvorcu vzdialenosti medzi nimi.

Lístok 7.

Konzervatívne a disipatívne sily. Zákon zachovania mechanickej energie. Rovnovážny stav mechanického systému.

Konzervatívne sily (potenciálne sily) - sily, ktorých pôsobenie nezávisí od tvaru trajektórie (závisí len od počiatočného a konečného bodu pôsobenia síl)

Konzervatívne sily - také sily, ktorých práca na akejkoľvek uzavretej trajektórii sa rovná 0.

Práca konzervatívnych síl pozdĺž ľubovoľného uzavretého obrysu je 0;

Sila pôsobiaca na hmotný bod sa nazýva konzervatívna alebo potenciálna, ak práca vykonaná touto silou pri pohybe tohto bodu z ľubovoľnej polohy 1 do inej 2 nezávisí od toho, na ktorej trajektórii tento pohyb prebehol:

Obrátenie smeru pohybu bodu po trajektórii spôsobí zmenu znamienka konzervatívnej sily, pretože sa zmení znamienko veličiny. Preto pri pohybe hmotného bodu napríklad po uzavretej trajektórii je práca konzervatívnej sily nulová.

Príkladom konzervatívnych síl sú sily univerzálnej gravitácie, sily pružnosti, sily elektrostatickej interakcie nabitých telies. Pole, ktorého práca síl pri pohybe hmotného bodu po ľubovoľnej uzavretej trajektórii sa rovná nule, sa nazýva potenciál.

Disipatívne sily sú sily, pri ktorých pôsobení na pohybujúci sa mechanický systém jeho celková mechanická energia klesá a prechádza na iné, nemechanické formy energie, napríklad na teplo.

príklad disipačných síl: sila viskózneho alebo suchého trenia.

Zákon zachovania mechanickej energie:

Súčet kinetickej a potenciálnej energie telies, ktoré tvoria uzavretý systém a vzájomne pôsobia prostredníctvom gravitačných a elastických síl, zostáva nezmenený.

Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2

Uzavretý systém je systém, ktorý nie je ovplyvnený vonkajšími silami alebo je pôsobenie kompenzované.

Rovnovážny stav mechanického systému:

Statika je odvetvie mechaniky, ktoré študuje podmienky pre rovnováhu telies.

Aby bolo nerotujúce teleso v rovnováhe, je potrebné, aby výslednica všetkých síl pôsobiacich na teleso bola rovná nule.

Ak sa teleso môže otáčať okolo nejakej osi, potom pre jeho rovnováhu nestačí, aby výslednica všetkých síl bola nulová.

Pravidlo momentov: teleso s pevnou osou otáčania je v rovnováhe, ak je algebraický súčet momentov všetkých síl pôsobiacich na teleso okolo tejto osi nulový: M1 + M2 + ... = 0.

Dĺžka kolmice vedenej od osi rotácie k pôsobisku sily sa nazýva rameno sily.

Súčin modulu sily F a ramena d sa nazýva moment sily M. Momenty tých síl, ktoré majú tendenciu otáčať teleso proti smeru hodinových ručičiek, sa považujú za kladné.

Lístok 8.

Kinematika rotačného pohybu tuhého telesa. Uhlový posun, uhlová rýchlosť, uhlové zrýchlenie. Vzťah medzi lineárnymi a uhlovými charakteristikami. Kinetická energia rotačného pohybu.

Pre kinematický popis rotácie tuhého telesa je vhodné použiť uhlové veličiny: uhlový posun Δφ, uhlová rýchlosť ω

V týchto vzorcoch sú uhly vyjadrené v radiánoch. Keď sa tuhé teleso otáča okolo pevnej osi, všetky jeho body sa pohybujú s rovnakými uhlovými rýchlosťami a rovnakými uhlovými zrýchleniami. Kladný smer otáčania sa zvyčajne predpokladá proti smeru hodinových ručičiek.

Rotačný pohyb tuhého telesa:

1) okolo osi - pohyb, pri ktorom sú všetky body tela ležiace na osi otáčania nehybné a zvyšné body tela opisujú kruhy so stredom na osi;

2) okolo bodu - pohyb telesa, v ktorom je jeden z jeho bodov O nehybný a všetky ostatné sa pohybujú po povrchoch gúľ so stredom v bode O.

Kinetická energia rotačného pohybu.

Kinetická energia rotačného pohybu je energia telesa spojená s jeho rotáciou.

Rozdeľme rotujúce teleso na malé prvky Δmi. Vzdialenosti k osi rotácie označujeme ri a moduly lineárnych rýchlostí υi. Potom možno kinetickú energiu rotujúceho telesa zapísať ako:

Fyzikálna veličina závisí od rozloženia hmotností rotujúceho telesa vzhľadom na os rotácie. Nazýva sa momentom zotrvačnosti I telesa okolo danej osi:

V limite ako Δm → 0 sa tento súčet stáva integrálom.

Kinetická energia tuhého telesa rotujúceho okolo pevnej osi teda môže byť vyjadrená ako:

Kinetická energia rotačného pohybu je určená momentom zotrvačnosti telesa okolo osi otáčania a jeho uhlovou rýchlosťou.

Lístok 9.

Dynamika rotačného pohybu. Moment sily. Moment zotrvačnosti. Steinerova veta.

Moment sily je veličina, ktorá charakterizuje rotačný účinok sily pri pôsobení na tuhé teleso. Existuje moment sily vzhľadom k stredu (bodu) a relatívne k osi.

1. Moment sily voči stredu O je vektorová veličina. Jeho modul Mo = Fh, kde F je modul sily a h je rameno (dĺžka kolmice zníženej z O na čiaru pôsobenia sily)

Pomocou vektorového súčinu je moment sily vyjadrený rovnosťou Mo = , kde r je vektor polomeru ťahaný z O do bodu pôsobenia sily.

2. Moment sily okolo osi je algebraická hodnota rovnajúca sa priemetu na túto os.

Moment sily (krútiaci moment; rotačný moment; krútiaci moment) je vektorová fyzikálna veličina rovnajúca sa súčinu polomerového vektora ťahaného z osi rotácie do bodu pôsobenia sily vektorom tejto sily.

tento výraz je druhým Newtonovým zákonom pre rotačný pohyb.

Platí len vtedy, ak:

a) ak moment M chápeme ako súčasť momentu vonkajšej sily, pri pôsobení ktorej sa teleso otáča okolo osi, ide o tangenciálnu zložku.

b) normálová zložka momentu sily sa nezúčastňuje na rotačnom pohybe, pretože Mn sa snaží vychýliť bod z trajektórie a podľa definície je zhodne rovný 0, pričom r-konšt. Mn=0 a Mz určuje tlaková sila na ložiská.

Moment zotrvačnosti je skalárna fyzikálna veličina, miera zotrvačnosti telesa pri rotačnom pohybe okolo osi, rovnako ako hmotnosť telesa je mierou jeho zotrvačnosti pri translačnom pohybe.

Moment zotrvačnosti závisí od hmotnosti telesa a od umiestnenia častíc telesa vzhľadom na os rotácie.

Tenká obruč Shank (upevnená v strede) Shank See

Homogénny valec Disk Ball.

(vpravo je obrázok k bodu 2 v Steinerovom t.)

Steinerova veta.

Moment zotrvačnosti daného telesa vzhľadom na danú os závisí nielen od hmotnosti, tvaru a rozmerov telesa, ale aj od polohy telesa vzhľadom na túto os.

Podľa Huygensovej - Steinerovej vety sa moment zotrvačnosti telesa J okolo ľubovoľnej osi rovná súčtu:

1) moment zotrvačnosti tohto telesa Jo vo vzťahu k osi prechádzajúcej ťažiskom tohto telesa a rovnobežnej s uvažovanou osou,

2) súčin telesnej hmotnosti druhou mocninou vzdialenosti medzi osami.

Lístok 10.

moment impulzu. Základná rovnica dynamiky rotačného pohybu (momentová rovnica). Zákon zachovania momentu hybnosti.

Moment hybnosti je fyzikálna veličina, ktorá závisí od toho, koľko hmoty rotuje a ako je rozložená vzhľadom na os rotácie a akou rýchlosťou rotácia nastáva.

Uhlový moment okolo bodu je pseudovektor.

Moment hybnosti okolo osi je skalárna veličina.

Moment hybnosti L častice vzhľadom na nejaký pôvod je určený vektorovým súčinom jej vektora polomeru a hybnosti: L=

r - polomerový vektor častice vzhľadom na zvolený pevný referenčný bod v danej referenčnej sústave.

P je hybnosť častice.

L = rp hriech ALE = p l;

Pre systémy rotujúce okolo jednej z osí symetrie (všeobecne povedané okolo takzvaných hlavných osí zotrvačnosti) platí vzťah:

moment hybnosti telesa okolo osi otáčania.

Moment hybnosti tuhého telesa okolo osi je súčtom momentov hybnosti jednotlivých častí.

Momentová rovnica.

Časová derivácia momentu hybnosti hmotného bodu vzhľadom na pevnú os sa rovná momentu sily pôsobiacej na bod vzhľadom na rovnakú os:

M=JE=J dw/dt=dl/dt

Zákon zachovania momentu hybnosti (zákon zachovania momentu hybnosti) - vektorový súčet všetkých momentov hybnosti okolo ľubovoľnej osi pre uzavretý systém zostáva v prípade rovnováhy systému konštantný. V súlade s tým sa moment hybnosti uzavretého systému vzhľadom na akýkoľvek pevný bod s časom nemení.

=> dL/dt=0 t.j. L=konšt

Práca a kinetická energia pri rotačnom pohybe. Kinetická energia pri pohybe v rovine.

Vonkajšia sila pôsobiaca na bod s hmotnosťou

Dráha, ktorú hmota prejde v čase dt

Ale rovná sa modulu momentu sily vzhľadom na os otáčania.

V dôsledku toho

vzhľadom na to

dostaneme výraz do práce:

Práca rotačného pohybu sa rovná práci vynaloženej na rotáciu celého telesa.

Práca počas rotačného pohybu je na zvýšení kinetickej energie:

Rovinný (rovinno-paralelný) pohyb je pohyb, pri ktorom sa všetky jeho body pohybujú rovnobežne s nejakou pevnou rovinou.

Kinetická energia pri rovinnom pohybe sa rovná súčtu kinetických energií translačných a rotačných pohybov:

Lístok 12.

Harmonické vibrácie. Voľné netlmené vibrácie. Harmonický oscilátor. Diferenciálna rovnica harmonického oscilátora a jej riešenie. Charakteristika netlmených kmitov. Rýchlosť a zrýchlenie pri netlmených kmitoch.

Mechanické vibrácie nazývané pohyby telies, ktoré sa presne (alebo približne) opakujú v pravidelných intervaloch. Zákon pohybu kmitajúceho telesa je daný nejakou periodickou funkciou času x = f (t).

Mechanické vibrácie, ako oscilačné procesy akýchkoľvek iných fyzickej povahy, môže byť slobodný a nútený.

Voľné vibrácie vznikajú pod vplyvom vnútorných síl systému po tom, čo sa systém dostal z rovnováhy. Kmity závažia na pružine alebo kmity kyvadla sú voľné kmity. Oscilácie, ktoré sa vyskytujú pri pôsobení vonkajších periodicky sa meniacich síl, sa nazývajú nútený.

Harmonické kmitanie je jav periodickej zmeny nejakej veličiny, pri ktorej má závislosť od argumentu charakter funkcie sínus alebo kosínus.

Oscilácie sa nazývajú harmonické, ak sú splnené tieto podmienky:

1) oscilácie kyvadla pokračujú donekonečna (keďže nedochádza k nevratným premenám energie);

2) jeho maximálna odchýlka vpravo od rovnovážnej polohy sa rovná maximálnej odchýlke vľavo;

3) čas odchýlky vpravo sa rovná času odchýlky vľavo;

4) povaha pohybu vpravo a vľavo od rovnovážnej polohy je rovnaká.

X \u003d Xm cos (ωt + φ0).

V= -A w o sin(w o + φ)=A w o cos(w o t+ φ+P/2)

a= -A w o *2 cos(w o t+ φ)= A w o *2 cos(w o t+ φ+P)

x je posunutie telesa z rovnovážnej polohy,

xm je amplitúda kmitania, t. j. maximálne posunutie z rovnovážnej polohy,

ω - frekvencia cyklických alebo kruhových oscilácií,

to je čas.

φ = ωt + φ0 sa nazýva fáza harmonického procesu

φ0 sa nazýva počiatočná fáza.

Minimálny časový interval, po ktorom dôjde k opakovaniu pohybu tela, sa nazýva perióda oscilácie T

Frekvencia kmitov f ukazuje, koľko kmitov sa vykoná za 1 s.

Spojité kmity - kmity s konštantnou amplitúdou.

Tlmené kmity sú kmity, ktorých energia s časom klesá.

Voľné netlmené vibrácie:

Zoberme si najjednoduchší mechanický oscilačný systém - kyvadlo v neviskóznem médiu.

Napíšme pohybovú rovnicu podľa druhého Newtonovho zákona:

Túto rovnicu napíšeme v priemetoch na os x. Priemet zrýchlenia na os x predstavíme ako druhú deriváciu súradnice x vzhľadom na čas.

Označte k/m w2 a dajte rovnici tvar:

Kde

Riešenie našej rovnice je funkciou tvaru:

Harmonický oscilátor je systém, ktorý pri premiestnení z rovnovážnej polohy zažije pôsobenie vratnej sily F úmernej posunutiu x (podľa Hookovho zákona):

k je kladná konštanta popisujúca tuhosť systému.

1. Ak je F jediná sila pôsobiaca na systém, potom sa systém nazýva jednoduchý alebo konzervatívny harmonický oscilátor.

2. Ak existuje aj trecia sila (tlmenie) úmerné rýchlosti pohybu (viskózne trenie), potom sa takýto systém nazýva tlmený alebo disipačný oscilátor.

Diferenciálna rovnica harmonického oscilátora a jej riešenie:

Ako model konzervatívneho harmonického oscilátora berieme záťaž s hmotnosťou m, upevnenú na pružine s tuhosťou k. Nech x je posunutie zaťaženia vzhľadom na rovnovážnu polohu. Potom podľa Hookovho zákona naň bude pôsobiť obnovujúca sila:

Pomocou druhého Newtonovho zákona píšeme:

Označením a nahradením zrýchlenia druhou deriváciou súradnice vzhľadom na čas píšeme:

Táto diferenciálna rovnica popisuje správanie konzervatívneho harmonického oscilátora. Koeficient ω0 sa nazýva cyklická frekvencia oscilátora.

Budeme hľadať riešenie tejto rovnice v tvare:

Tu - amplitúda, - frekvencia kmitov (ešte nie nevyhnutne rovná vlastnej frekvencii), - počiatočná fáza.

Dosadíme do diferenciálnej rovnice.

Amplitúda je znížená. To znamená, že môže mať ľubovoľnú hodnotu (vrátane nuly – to znamená, že záťaž je v pokoji v rovnovážnej polohe). Sínus môže byť tiež znížený, pretože rovnosť musí platiť kedykoľvek t. A podmienka pre frekvenciu oscilácie zostáva:

Záporná frekvencia môže byť vylúčená, pretože svojvoľnosť pri výbere tohto znaku je pokrytá svojvoľnosťou pri výbere počiatočnej fázy.

Všeobecné riešenie rovnice je napísané takto:

de amplitúda A a počiatočná fáza sú ľubovoľné konštanty.

Kinetická energia sa píše takto:

a potenciálna energia je

Charakteristika netlmených kmitov:

Amplitúda sa nemení

Frekvencia závisí od tuhosti a hmotnosti (pružina)

Rýchlosť netlmených kmitov:

Zrýchlenie netlmených kmitov:

Lístok 13.

Voľné tlmené vibrácie. Diferenciálna rovnica a jej riešenie. Dekrement, logaritmický dekrement, faktor tlmenia. Relaxačný čas.

Voľné tlmené vibrácie

Ak je možné zanedbať sily odporu voči pohybu a treniu, potom pri vyvedení systému z rovnováhy bude na zaťaženie pôsobiť iba sila pružnosti pružiny.

Napíšme pohybovú rovnicu zaťaženia zostavenú podľa 2. Newtonovho zákona:

Premietnime pohybovú rovnicu na os X.

transformovať:

pretože

toto je diferenciálna rovnica voľných harmonických netlmených kmitov.

Riešením rovnice je:

Diferenciálna rovnica a jej riešenie:

V každom oscilačnom systéme existujú odporové sily, ktorých pôsobenie vedie k zníženiu energie systému. Ak úbytok energie nie je doplnený prácou vonkajších síl, kmity sa rozpadnú.

Brzdná sila je úmerná rýchlosti:

r- konštantný, nazývaný koeficient odporu vzduchu. Znamienko mínus je spôsobené tým, že sila a rýchlosť majú opačný smer.

Rovnica druhého Newtonovho zákona v prítomnosti odporových síl má tvar:

Pomocou zápisu , prepíšeme pohybovú rovnicu takto:

Táto rovnica popisuje tlmené oscilácie systému

Riešením rovnice je:

Koeficient útlmu - hodnota je nepriamo úmerná času, počas ktorého sa amplitúda znížila e-krát.

Čas, po ktorom sa amplitúda kmitov zníži o faktor e, sa nazýva čas rozpadu

Počas tejto doby systém osciluje.

Dekrement tlmenia, kvantitatívna charakteristika rýchlosti tlmenia kmitov, je prirodzený logaritmus pomeru dvoch po sebe nasledujúcich maximálnych odchýlok hodnoty kmitania v rovnakom smere.

Logaritmický dekrement tlmenia je logaritmus pomeru amplitúd v momentoch po sebe nasledujúcich prechodov oscilačnej hodnoty cez maximum alebo minimum (tlmenie oscilácií je zvyčajne charakterizované logaritmickým tlmením):

S počtom vibrácií N súvisí vzťahom:

Relaxačný čas - čas, počas ktorého sa amplitúda tlmeného kmitania zníži o faktor e.

Vstupenka 14.

Nútené vibrácie. Kompletná diferenciálna rovnica vynútených kmitov a jej riešenie. Perióda a amplitúda vynútených kmitov.

Vynútené kmity sú kmity, ktoré vznikajú pod vplyvom vonkajších síl, ktoré sa časom menia.

Druhý Newtonov zákon pre t oscilátor (kyvadlo) možno zapísať ako:

Ak

a nahradíme zrýchlenie druhou deriváciou súradnice vzhľadom na čas, dostaneme nasledujúcu diferenciálnu rovnicu:

Všeobecné riešenie homogénnej rovnice:

kde A,φ sú ľubovoľné konštanty

Poďme nájsť konkrétne riešenie. Dosaďte do rovnice riešenie tvaru: a získajte hodnotu konštanty:

Potom bude konečné riešenie napísané takto:

Charakter vynútených kmitov závisí od charakteru pôsobenia vonkajšej sily, od jej veľkosti, smeru, frekvencie pôsobenia a nezávisí od veľkosti a vlastností kmitajúceho telesa.

Závislosť amplitúdy vynútených kmitov od frekvencie vonkajšej sily.

Perióda a amplitúda vynútených kmitov:

Amplitúda závisí od frekvencie vynútených kmitov, ak sa frekvencia rovná rezonančnej frekvencii, potom je amplitúda maximálna. Závisí to aj od koeficientu útlmu, ak je rovný 0, potom je amplitúda nekonečná.

Perióda súvisí s frekvenciou, vynútené kmity môžu mať ľubovoľnú periódu.

Vstupenka 15.

Nútené vibrácie. Perióda a amplitúda vynútených kmitov. Oscilačná frekvencia. Rezonancia, rezonančná frekvencia. Rodina rezonančných kriviek.

Vstupenka 14.

Keď sa frekvencia vonkajšej sily zhoduje s frekvenciou vlastných kmitov tela, amplitúda vynútených kmitov sa prudko zvyšuje. Tento jav sa nazýva mechanická rezonancia.

Rezonancia je jav prudkého zvýšenia amplitúdy vynútených kmitov.

Zvýšenie amplitúdy je len dôsledkom rezonancie a dôvodom je zhoda vonkajšej frekvencie s vnútornou frekvenciou oscilačného systému.

Rezonančná frekvencia - frekvencia, pri ktorej je amplitúda maximálna (o niečo menšia ako prirodzená frekvencia)

Graf závislosti amplitúdy vynútených kmitov od frekvencie hnacej sily sa nazýva rezonančná krivka.

V závislosti od koeficientu útlmu získame rodinu rezonančných kriviek, čím menší koeficient, tým väčšia a vyššia krivka.

Lístok 16.

Pridanie vibrácií v jednom smere. Vektorový diagram. bije.

Pridanie niekoľkých harmonické vibrácie rovnakého smeru a rovnakej frekvencie je zrejmé, ak sú oscilácie znázornené graficky ako vektory v rovine. Takto získaná schéma sa nazýva vektorový diagram.

Zvážte sčítanie dvoch harmonických kmitov rovnakého smeru a rovnakej frekvencie:

Znázornime obe oscilácie pomocou vektorov A1 a A2. Zostrojme výsledný vektor A podľa pravidiel sčítania vektorov, priemet tohto vektora na os x sa rovná súčtu priemetov sčítaných vektorov:

Preto vektor A je výsledná oscilácia. Tento vektor sa otáča rovnakou uhlovou rýchlosťou ako vektory A1 a A2, takže súčet x1 a x2 je harmonické kmitanie s rovnakou frekvenciou, amplitúdou a fázou. Pomocou kosínusovej vety dostaneme, že

Reprezentácia harmonických kmitov pomocou vektorov umožňuje nahradiť sčítanie funkcií sčítaním vektorov, čo je oveľa jednoduchšie.

Údery - kmity s periodicky sa meniacou amplitúdou, ktoré sú výsledkom superpozície dvoch harmonických kmitov s mierne odlišnými, ale blízkymi frekvenciami.

Vstupenka 17.

Sčítanie vzájomne kolmých vibrácií. Vzťah medzi uhlovou rýchlosťou rotačného pohybu a cyklickou frekvenciou. Lissajousove postavy.

Sčítanie vzájomne kolmých kmitov:

Oscilácie v dvoch vzájomne kolmých smeroch prebiehajú nezávisle od seba:

Tu sú prirodzené frekvencie harmonických kmitov:

Zvážte trajektóriu pohybu tovaru:

v priebehu transformácií dostaneme:

Záťaž teda bude vykonávať periodické pohyby pozdĺž eliptickej trajektórie. Smer pohybu pozdĺž trajektórie a orientácia elipsy vzhľadom na osi závisia od počiatočného fázového rozdielu

Ak sa frekvencie dvoch navzájom kolmých kmitov nezhodujú, ale sú násobkami, potom sú trajektórie pohybu uzavreté krivky, nazývané Lissajousove obrazce. Všimnite si, že pomer frekvencií kmitov sa rovná pomeru počtu bodov dotyku Lissajousovho útvaru k stranám obdĺžnika, do ktorého je vpísaný.

Vstupenka 18.

Vibrácia bremena na pružine. Matematické a fyzikálne kyvadlo. Charakteristika vibrácií.

Aby podľa harmonického zákona došlo k voľným vibráciám, je potrebné, aby sila, ktorá má tendenciu vrátiť teleso do rovnovážnej polohy, bola úmerná posunutiu telesa z rovnovážnej polohy a smerovala v smere opačnom k ​​posunutiu. .

F (t) = ma (t) = –m ω2 x (t)

Fcontrol = –kx Hookov zákon.

Kruhová frekvencia ω0 voľných vibrácií zaťaženia pružiny sa zistí z druhého Newtonovho zákona:

Frekvencia ω0 sa nazýva vlastná frekvencia oscilačného systému.

Preto druhý Newtonov zákon pre zaťaženie pružiny možno napísať ako:

Riešením tejto rovnice sú harmonické funkcie tvaru:

x = xm cos (ωt + φ0).

Ak bola na druhej strane počiatočná rýchlosť udelená zaťaženiu, ktoré bolo v rovnovážnej polohe, pomocou prudkého zatlačenia

Matematické kyvadlo je oscilátor, čo je mechanický systém pozostávajúci z hmotného bodu zaveseného na beztiažovom neroztiahnuteľnom závite alebo na beztiažovej tyči v gravitačnom poli. Perióda malých kmitov matematického kyvadla dĺžky l v gravitačnom poli so zrýchlením voľného pádu g sa rovná

a málo závisí od amplitúdy a hmotnosti kyvadla.

Fyzické kyvadlo je oscilátor, čo je tuhé teleso, ktoré kmitá v poli akýchkoľvek síl okolo bodu, ktorý nie je ťažiskom tohto telesa, alebo pevnej osi kolmej na smer síl a neprechádzajúceho cez ťažisko tohto telesa

Vstupenka 19.

vlnový proces. Elastické vlny. Pozdĺžne a priečne vlny. Rovnica rovinná vlna. fázová rýchlosť. Vlnová rovnica a jej riešenie.

Vlna je fenomén šírenia sa v priestore v priebehu času poruchy fyzikálne množstvo.

V závislosti od fyzického média, v ktorom sa vlny šíria, existujú:

Vlny na povrchu kvapaliny;

Elastické vlny (zvuk, seizmické vlny);

Telesné vlny (šíriace sa v hrúbke média);

Elektromagnetické vlny (rádiové vlny, svetlo, röntgenové lúče);

Gravitačné vlny;

Vlny v plazme.

Vzhľadom na smer oscilácie častíc média:

Pozdĺžne vlny (kompresné vlny, P-vlny) - častice média kmitajú paralelne (pozdĺž) smeru šírenia vĺn (ako napr. pri šírení zvuku);

Priečne vlny (strižné vlny, S-vlny) - častice média kmitajú kolmo na smer šírenia vlny ( elektromagnetické vlny vlny na separačných plochách médií);

zmiešané vlny.

Podľa tvaru čela vlny (povrchy rovnakých fáz):

Rovinná vlna - fázové roviny sú kolmé na smer šírenia vlny a navzájom rovnobežné;

Sférická vlna - povrch fáz je guľa;

Valcová vlna - povrch fáz pripomína valec.

Elastické vlny ( zvukové vlny) - vlny šíriace sa v kvapalnom, pevnom a plynnom prostredí v dôsledku pôsobenia elastických síl.

Priečne vlny, vlny šíriace sa v smere kolmom na rovinu, v ktorej sú orientované posuny a rýchlosti vibrácií častíc.

Pozdĺžne vlny, vlny, ktorých smer šírenia sa zhoduje so smerom posunu častíc média.

Rovinná vlna, vlna, v ktorej všetky body ležiace v akejkoľvek rovine kolmej na smer jej šírenia v každom okamihu zodpovedajú rovnakým posunom a rýchlostiam častíc média.

Rovnica rovinnej vlny:

Fázová rýchlosť - rýchlosť pohybu bodu s konštantnou fázou oscilačný pohyb, v priestore pozdĺž daného smeru.

Ťažisko bodov, do ktorých oscilácie dospejú v čase t, sa nazýva čelo vlny.

Lokus bodov oscilujúcich v rovnakej fáze sa nazýva vlnová plocha.

Vlnová rovnica a jej riešenie:

Šírenie vĺn v homogénnom izotropnom prostredí je všeobecne opísané vlnovou rovnicou - Diferenciálnej rovnice v súkromných derivátoch.

Kde

Riešením rovnice je rovnica ľubovoľnej vlny, ktorá má tvar:

Lístok 20.

Prenos energie postupujúcou vlnou. Umov vektor. Pridanie vĺn. Princíp superpozície. stojatá vlna.

Vlna je zmena stavu média, ktorá sa v tomto médiu šíri a nesie so sebou energiu. (vlna je časovo premenné priestorové striedanie maxím a miním ľubovoľnej fyzikálnej veličiny, napr. hustoty látky, napätia elektrické pole, teplota)

Postupujúca vlna je vlnová porucha, ktorá sa mení v čase t a priestore z podľa výrazu:

kde je amplitúdová obálka vlny, K je vlnopočet a je fáza kmitov. Fázová rýchlosť tejto vlny je daná

kde je vlnová dĺžka.

Prenos energie - elastické prostredie, v ktorom sa šíri vlna, má ako kinetickú energiu kmitavého pohybu častíc, tak aj potenciálnu energiu v dôsledku deformácie prostredia.

Postupujúca vlna pri šírení v médiu prenáša energiu (na rozdiel od stojatej vlny).

Stojatá vlna je kmitanie v distribuovaných oscilačných sústavách s charakteristickým usporiadaním striedajúcich sa maxím (antínód) a miním (uzlov) amplitúdy. V praxi k takejto vlne dochádza pri odrazoch od prekážok a nehomogenít v dôsledku superpozície odrazenej vlny na dopadajúcu.V tomto prípade je mimoriadne dôležitá frekvencia, fáza a koeficient útlmu vlny v mieste odrazu. Príklady stojatého vlnenia môžu byť vibrácie strún, vibrácie vzduchu v organovej píšťale

Umov vektor (Umov-Poynting) - vektor hustoty energetického toku fyzické pole; sa číselne rovná energii prenesenej za jednotku času cez jednotkovú plochu kolmú na smer toku energie v danom bode.

Princíp superpozície je jedným z najviac všeobecné zákony v mnohých odvetviach fyziky.

Princíp superpozície vo svojej najjednoduchšej formulácii uvádza, že výsledkom pôsobenia viacerých vonkajších síl na časticu je jednoducho súčet výsledkov pôsobenia každej zo síl.

Princíp superpozície môže mať aj iné formulácie, ktoré, zdôrazňujeme, sú úplne ekvivalentné s tým, ktoré je uvedené vyššie:

Interakcia medzi dvoma časticami sa nemení, keď je zavedená tretia častica, ktorá tiež interaguje s prvými dvoma.

Interakčná energia všetkých častíc v mnohočasticovom systéme je jednoducho súčtom energií párových interakcií medzi všetkými možnými pármi častíc. V systéme nie sú žiadne viacčasticové interakcie.

Rovnice popisujúce správanie mnohočasticového systému sú lineárne v počte častíc.

Pridanie vĺn je sčítanie kmitov v každom bode.

Pridanie stojatých vĺn je sčítanie dvoch rovnakých vĺn šíriacich sa rôznymi smermi.

Vstupenka 21.

Inerciálne a neinerciálne vzťažné sústavy. Galileov princíp relativity.

Inerciálne- také vzťažné sústavy, v ktorých teleso, na ktoré nepôsobia sily alebo sú vyvážené, je v pokoji alebo sa pohybuje rovnomerne a priamočiaro

Neinerciálna vzťažná sústava- ľubovoľný referenčný systém, ktorý nie je inerciálny. Príklady neinerciálnych vzťažných sústav: sústava pohybujúca sa v priamke s konštantným zrýchlením, ako aj rotujúca sústava

Princíp relativity Galilea- základný fyzikálny princíp, podľa ktorého všetky fyzikálne procesy v inerciálnych vzťažných sústavách prebiehajú rovnako, bez ohľadu na to, či je sústava stacionárna alebo je v stave rovnomerného a priamočiareho pohybu.

Z toho vyplýva, že všetky prírodné zákony sú rovnaké vo všetkých inerciálnych vzťažných sústavách.

Lístok 22.

Fyzikálne základy molekulárno-kinetickej teórie. Základné zákony o plyne. Stavová rovnica ideálneho plynu. Základná rovnica molekulárnej kinetickej teórie.

Molekulárno-kinetická teória (skrátene MKT) je teória, ktorá uvažovala o štruktúre hmoty, najmä plynov, z hľadiska troch hlavných približne správnych ustanovení:

všetky telesá sú tvorené časticami, ktorých veľkosť možno zanedbať: atómy, molekuly a ióny;

častice sú v nepretržitom chaotickom pohybe (tepelnom);

častice navzájom interagujú absolútne elastickými zrážkami.

Za hlavné dôkazy týchto ustanovení sa považovali:

Difúzia

Brownov pohyb

Zmena stavu agregácie hmoty

Clapeyron - Mendelejevova rovnica - vzorec, ktorý stanovuje vzťah medzi tlakom, molárnym objemom a absolútnou teplotou ideálneho plynu.

PV = υRT υ = m/μ

Boyleov zákon - Mariotte hovorí:

Pri konštantnej teplote a hmotnosti ideálneho plynu je súčin jeho tlaku a objemu konštantný

pV= konštanta,

kde p- tlak plynu; V- objem plynu

Gay Lussac -V / T= konšt

Charles - P / T= konšt

Boyle - Mariotte - PV= konšt

Avogadrov zákon je jedným z najdôležitejších základných princípov chémie, ktorý hovorí, že „v rovnaké objemy rôzne plyny odoberané pri rovnakej teplote a tlaku obsahujú rovnaký počet molekúl.

dôsledok Avogadrovho zákona: jeden mól akéhokoľvek plynu za rovnakých podmienok zaberá rovnaký objem.

Najmä za normálnych podmienok, t.j. pri 0 °C (273K) a 101,3 kPa je objem 1 mol plynu 22,4 l / mol. Tento objem sa nazýva molárny objem plynu V m

Daltonove zákony:

Zákon celkového tlaku zmesi plynov - Tlak zmesi chemicky neinteragujúcich ideálnych plynov sa rovná súčtu parciálnych tlakov

Ptot = P1 + P2 + … + Pn

Zákon o rozpustnosti komponentov zmes plynov - Pri konštantnej teplote je rozpustnosť každej zo zložiek plynnej zmesi nad kvapalinou v danej kvapaline úmerná ich parciálnemu tlaku

Oba Daltonove zákony sú pre ideálne plyny prísne splnené. Pre skutočné plyny platia tieto zákony za predpokladu, že ich rozpustnosť je nízka a ich správanie sa blíži chovaniu ideálneho plynu.

Stavová rovnica ideálneho plynu - pozri Clapeyronovu-Mendelejevovu rovnicu PV = υRT υ = m/μ

Základná rovnica molekulovo - kinetickej teórie (MKT) -

= (i/2) * kT kde k je Boltzmannova konštanta - pomer plynovej konštanty R na číslo Avogadro, a i- počet stupňov voľnosti molekúl.

Základná rovnica molekulovo-kinetickej teórie. tlak plynu na stenu. Priemerná energia molekúl. Zákon ekvipartície. Počet stupňov voľnosti.

Tlak plynu na stenu - Molekuly pri svojom pohybe narážajú do seba, ako aj do stien nádoby, v ktorej sa plyn nachádza. V plyne je veľa molekúl, takže počet ich dopadov je veľmi veľký. Nárazová sila jednotlivej molekuly je síce malá, ale pôsobenie všetkých molekúl na steny nádoby je výrazné, vytvára tlak plynu

Priemerná energia molekuly je

Priemerná kinetická energia molekúl plynu (na molekulu) je určená výrazom

Ek = ½ m

Kinetická energia translačného pohybu atómov a molekúl, spriemerovaná za obrovský počet náhodne sa pohybujúcich častíc, je mierou toho, čo sa nazýva teplota. Ak teplota T merané v stupňoch Kelvina (K), potom jeho vzťah s E k je daný pomerom

Zákon ekvipartície je zákonom klasickej štatistickej fyziky, ktorý hovorí, že pre štatistický systém v stave termodynamickej rovnováhy existuje pre každý translačný a rotačný stupeň voľnosti priemerná kinetická energia. kT/2, a pre každý vibračný stupeň voľnosti - priemerná energia kT(kde T - absolútna teplota systému, k - Boltzmannova konštanta).

Veta o ekvipartícii hovorí, že kedy tepelná rovnováha energia je rozdelená rovnomerne medzi rôzne formy

Počet stupňov voľnosti - najmenšie číslo nezávislé súradnice, ktoré určujú polohu a konfiguráciu molekuly v priestore.

Počet stupňov voľnosti pre monatomickú molekulu - 3 (translačný pohyb v smere troch súradnicových osí), pre diatomický - 5 (tri translačné a dve rotačné, pretože rotácia okolo osi X je možná len pri veľmi vysokých teplotách), pre triatómové - 6 (tri translačné a tri rotačné).

Vstupenka 24.

Prvky klasickej štatistiky. distribučných funkcií. Maxwellovo rozdelenie podľa absolútnej hodnoty rýchlostí.

Vstupenka 25.

Maxwellovo rozdelenie podľa absolútnej hodnoty rýchlosti. Hľadanie charakteristických rýchlostí molekúl.

Prvky klasickej štatistiky:

Náhodná premenná je premenná, ktorá v dôsledku experimentu nadobúda jednu z mnohých hodnôt a výskyt tej či onej hodnoty tejto veličiny nemožno pred jej meraním presne predpovedať.

Spojitá náhodná premenná (CSV) je náhodná premenná, ktorá môže nadobudnúť všetky hodnoty z určitého konečného alebo nekonečného intervalu. Množina možných hodnôt spojitej náhodnej premennej je nekonečná a nespočítateľná.

Distribučná funkcia sa nazýva funkcia F(x), ktorá určuje pravdepodobnosť, že náhodná hodnota X ako výsledok testu nadobudne hodnotu menšiu ako x.

Distribučná funkcia je hustota pravdepodobnosti rozloženia častíc makroskopického systému z hľadiska súradníc, hybnosti alebo kvantových stavov. Distribučná funkcia je hlavnou charakteristikou najrozmanitejších (nielen fyzikálnych) systémov, ktoré sa vyznačujú náhodným správaním, t.j. náhodná zmena stavu systému a podľa toho aj jeho parametrov.

Maxwellovo rozdelenie podľa absolútnej hodnoty rýchlostí:

Molekuly plynu sa pri pohybe neustále zrážajú. Rýchlosť každej molekuly sa pri zrážke mení. Môže stúpať a klesať. RMS rýchlosť však zostáva nezmenená. Vysvetľuje to skutočnosť, že v plyne pri určitej teplote sa určité stacionárne rozloženie rýchlosti molekúl s časom nemení, čo sa riadi určitým štatistickým zákonom. Rýchlosť jednotlivej molekuly sa môže v priebehu času meniť, ale podiel molekúl s rýchlosťami v určitom rozsahu rýchlostí zostáva nezmenený.

Graf pomeru frakcie molekúl k rýchlostnému intervalu Δv t.j. .

V praxi je graf opísaný funkciou distribúcie rýchlosti molekúl alebo Maxwellovým zákonom:

Odvodený vzorec:

Keď sa zmení teplota plynu, zmení sa rýchlosť pohybu všetkých molekúl a následne aj najpravdepodobnejšia rýchlosť. Preto sa maximum krivky posunie doprava so stúpajúcou teplotou a doľava s poklesom teploty.

Výška maxima a mení sa s teplotou. Skutočnosť, že distribučná krivka začína na začiatku znamená, že v plyne nie sú žiadne nepohyblivé molekuly. Zo skutočnosti, že krivka sa asymptoticky približuje k osi x pri nekonečne vysokých rýchlostiach, vyplýva, že existuje len málo molekúl s veľmi vysokou rýchlosťou.

Lístok 26.

Boltzmannovo rozdelenie. Maxwell-Boltzmannovo rozdelenie. Boltzmannov barometrický vzorec.

Boltzmannovo rozdelenie je rozloženie energie častíc (atómov, molekúl) ideálneho plynu v podmienkach termodynamickej rovnováhy.

Boltzmannov distribučný zákon:

kde n je koncentrácia molekúl vo výške h,

n0 je koncentrácia molekúl na počiatočnej úrovni h = 0,

m je hmotnosť častíc,

g je zrýchlenie voľného pádu,

k je Boltzmannova konštanta,

T je teplota.

Maxwell-Boltzmannovo rozdelenie:

rovnovážne rozloženie častíc ideálneho plynu energiou (E) vo vonkajšom silovom poli (napr. v gravitačnom poli); je určená distribučnou funkciou:

kde E je súčet kinetických a potenciálnych energií častice,

T je absolútna teplota,

k - Boltzmannova konštanta

Barometrický vzorec je závislosť tlaku alebo hustoty plynu od nadmorskej výšky v gravitačnom poli. Pre ideálny plyn, ktorý má konštantnú teplotu T a nachádza sa v rovnomernom gravitačnom poli (vo všetkých bodoch jeho objemu je gravitačné zrýchlenie g rovnaké), má barometrický vzorec nasledujúci tvar:

kde p je tlak plynu vo vrstve umiestnenej vo výške h,

p0 - tlak na nulovej úrovni (h = h0),

M- molárna hmota plyn,

R je plynová konštanta,

T je absolútna teplota.

Z barometrického vzorca vyplýva, že koncentrácia molekúl n (alebo hustota plynu) klesá s výškou podľa rovnakého zákona:

kde m je hmotnosť molekuly plynu, k je Boltzmannova konštanta.

Lístok 27.

Prvý zákon termodynamiky. práca a teplo. Procesy. Práca vykonaná plynom v rôznych izoprocesoch. Prvý zákon termodynamiky v rôznych procesoch. Formulácie prvého začiatku.

Vstupenka 28.

Vnútorná energia ideálneho plynu. Tepelná kapacita ideálneho plynu pri konštantnom objeme a konštantnom tlaku. Mayerova rovnica.

Prvý zákon termodynamiky - jeden z troch základných zákonov termodynamiky, je zákon zachovania energie pre termodynamické systémy

Existuje niekoľko ekvivalentných formulácií prvého zákona termodynamiky:

1) Množstvo tepla prijatého systémom sa mení na jeho vnútornú energiu a pôsobí proti vonkajším silám

2) Zmena vnútornej energie sústavy pri jej prechode z jedného stavu do druhého sa rovná súčtu práce vonkajších síl a množstva tepla odovzdaného sústave a nezávisí od spôsobu, akým tento prechod prebieha. sa vykonáva

3) Zmena celkovej energie systému v kvázistatickom procese sa rovná množstvu tepla Q hlásené do systému, celkovo so zmenou energie spojenou s množstvom hmoty N pri chemickom potenciáli μ, a prac A„vykonávané na systéme vonkajšími silami a poľami, mínus práca A spáchaný samotným systémom proti vonkajším silám

ΔU = Q - A + μΔΝ + A`

Ideálny plyn je plyn, v ktorom sa predpokladá, že potenciálna energia molekúl môže byť zanedbaná v porovnaní s ich kinetickou energiou. Medzi molekulami nie sú žiadne príťažlivé ani odpudzujúce sily, zrážky častíc medzi sebou a so stenami nádoby sú absolútne elastické a čas interakcie medzi molekulami je zanedbateľne malý v porovnaní s priemerným časom medzi zrážkami.

Práca - Pri expanzii je práca plynu pozitívna. Po stlačení je negatívny. Touto cestou:

A" \u003d pDV - práca na plyne (A" - práca na expanzii plynu)

A= - pDV - práca vonkajších síl (А - práca vonkajších síl pri stláčaní plynu)

Tepelno-kinetická časť vnútornej energie látky, určená intenzívnym chaotickým pohybom molekúl a atómov, ktoré tvoria túto látku.

Tepelná kapacita ideálneho plynu je pomer tepla odovzdaného plynu k zmene teploty δT, ku ktorej došlo v tomto prípade.

Vnútorná energia ideálneho plynu je veličina, ktorá závisí len od jeho teploty a nezávisí od objemu.

Mayerova rovnica ukazuje, že rozdiel v tepelných kapacitách plynu sa rovná práci, ktorú vykoná jeden mól ideálneho plynu, keď sa jeho teplota zmení o 1 K, a vysvetľuje význam univerzálnej plynovej konštanty R.

Pre každý ideálny plyn platí Mayerov vzťah:

,

Procesy:

Izobarický proces je termodynamický proces, ktorý sa vyskytuje v systéme pri konštantnom tlaku.

Práca vykonaná plynom pri expanzii alebo stláčaní plynu je

Práca vykonaná plynom pri expanzii alebo stláčaní plynu:

Množstvo tepla prijatého alebo odovzdaného plynom:

pri konštantnej teplote dU = 0 sa preto celé množstvo tepla hlásené systému vynakladá na prácu proti vonkajším silám.

Tepelná kapacita:

Vstupenka 29.

adiabatický proces. Adiabatická rovnica. Poissonova rovnica. Práca v adiabatickom procese.

Adiabatický proces - termodynamický proces v makroskopickom systéme, pri ktorom systém neprijíma a nevydáva tepelnú energiu.

Pre adiabatický proces má prvý termodynamický zákon v dôsledku absencie výmeny tepla medzi systémom a médiom tvar:

Pri adiabatickom procese nedochádza k výmene tepla s okolím, t.j. 5Q=0. V dôsledku toho je tepelná kapacita ideálneho plynu v adiabatickom procese tiež nulová: Sadiab = 0.

Prácu vykoná plyn v dôsledku zmeny vnútornej energie Q=0, A=-DU

V adiabatickom procese sú tlak plynu a jeho objem spojené vzťahom:

pV*g=konšt., kde g=Cp/Cv.

V tomto prípade platia nasledujúce vzťahy:

p2/p1=(V1/V2)*g, *g-stupeň

T2/T1=(V1/V2)*(g-1), *(g-1)-stupeň

T2/T1=(p2/p1)*(g-1)/g. *(g-1)/g-stupeň

Vyššie uvedené vzťahy sa nazývajú Poissonove rovnice

rovnica adiabatického procesu.(Poissonova rovnica) g - adiabatický exponent

Lístok 30.

Druhý zákon termodynamiky. Carnotov cyklus. účinnosť ideálneho tepelného motora. Entropia a termodynamická pravdepodobnosť. Rôzne formulácie druhého zákona termodynamiky.

Druhý termodynamický zákon je fyzikálny princíp, ktorý obmedzuje smer procesov prenosu tepla medzi telesami.

Druhý termodynamický zákon hovorí, že samovoľný prenos tepla z telesa, ktoré je menej zahriate, na teleso, ktoré je viac zahriate, je nemožné.

Druhý termodynamický zákon zakazuje takzvané perpetum mobile druhého druhu, čo ukazuje na nemožnosť premeny všetkej vnútornej energie systému na užitočnú prácu.

Druhý termodynamický zákon je postulát, ktorý nemožno v rámci termodynamiky dokázať. Bol vytvorený na základe zovšeobecnenia experimentálnych faktov a získal množstvo experimentálnych potvrdení.

Clausius postulát: „Neexistuje žiadny proces, ktorého jediným výsledkom by bol prenos tepla z chladnejšieho telesa na teplejšie“(tento proces sa nazýva Clausiusov proces).

Thomsonov postulát: „Neexistuje žiadny kruhový proces, ktorého jediným výsledkom by bola produkcia práce ochladzovaním zásobníka tepla“(tento proces sa nazýva Thomsonov proces).

Carnotov cyklus je ideálny termodynamický cyklus.

Carnotov tepelný motor pracujúci podľa tohto cyklu má maximálnu účinnosť zo všetkých strojov, v ktorých sa maximálne a minimálne teploty vykonávaného cyklu zhodujú s maximálnymi a minimálnymi teplotami Carnotovho cyklu.

Carnotov cyklus pozostáva zo štyroch fáz:

1. Izotermická expanzia (na obrázku - proces A → B). Na začiatku procesu má pracovná tekutina teplotu Tn, teda teplotu ohrievača. Potom sa teleso dostane do kontaktu s ohrievačom, ktorý mu izotermicky (pri konštantnej teplote) odovzdá množstvo tepla QH. Súčasne sa zvyšuje objem pracovnej tekutiny.

2.Adiabatická (izoentropická) expanzia (na obrázku - proces B→C). Pracovná kvapalina sa odpojí od ohrievača a pokračuje v expanzii bez výmeny tepla s okolím. Zároveň sa jeho teplota zníži na teplotu chladničky.

3. Izotermická kompresia (na obrázku - proces C → D). Pracovná tekutina, ktorá má v tom čase teplotu TX, sa dostane do kontaktu s chladičom a začne sa izotermicky zmršťovať, čím chladiču dodáva množstvo tepla QX.

4.Adiabatická (izoentropická) kompresia (na obrázku - proces Г→А). Pracovná kvapalina je oddelená od chladničky a stlačená bez výmeny tepla s okolím. Zároveň sa jeho teplota zvýši na teplotu ohrievača.

Entropia- ukazovateľ náhodnosti alebo neporiadku v štruktúre fyzikálneho systému. V termodynamike entropia vyjadruje množstvo tepelnej energie dostupnej na vykonanie práce: čím menej energie, tým menšia entropia. Na úrovni vesmíru sa entropia zvyšuje. Energiu zo systému je možné odoberať iba prevedením do menej usporiadaného stavu. Podľa druhého zákona termodynamiky sa entropia v izolovanom systéme buď nezvyšuje, alebo sa zvyšuje počas akéhokoľvek procesu.

Pravdepodobnosť je termodynamická, počet spôsobov, ktorými možno realizovať stav fyzikálneho systému. V termodynamike je stav fyzikálneho systému charakterizovaný určitými hodnotami hustoty, tlaku, teploty a iných merateľných veličín.

Lístok 31.

Mikro a makro stavy. štatistická váha. reverzibilné a nie reverzibilné procesy. Entropia. Zákon o zvýšení entropie. Nernstova veta.

Lístok 30.

Štatistická váha je počet spôsobov, ktorými sa daný stav systémov. Štatistické váhy všetkých možných stavov systému určujú jeho entropiu.

Reverzibilné a nezvratné procesy.

Reverzibilný proces (teda rovnovážny) je termodynamický proces, ktorý môže prebiehať v doprednom aj spätnom smere, pričom prechádza cez rovnaké medzistavy a systém sa vracia do pôvodného stavu bez spotreby energie a v životné prostredie nedochádza k žiadnym makroskopickým zmenám.

(Reverzibilný proces môže byť kedykoľvek vykonaný v opačnom smere zmenou nejakej nezávislej premennej o nekonečne malé množstvo.

Najviac práce dajú reverzibilné procesy.

V praxi nie je možné realizovať reverzibilný proces. Plynie nekonečne pomaly a dá sa k nemu len priblížiť.)

Ireverzibilný proces je proces, ktorý nemožno uskutočniť v opačnom smere cez všetky rovnaké medzistavy. Všetky skutočné procesy sú nezvratné.

V adiabaticky izolovanom termodynamickom systéme nemôže entropia klesať: buď je zachovaná, ak v systéme prebiehajú iba reverzibilné procesy, alebo sa zvyšuje, ak v systéme prebieha aspoň jeden ireverzibilný proces.

Písomné vyhlásenie je ďalšou formuláciou druhého termodynamického zákona.

Nernstova veta (tretí termodynamický zákon) je fyzikálny princíp, ktorý určuje správanie entropie, keď sa teplota blíži k absolútnej nule. Je to jeden z postulátov termodynamiky, prijatý na základe zovšeobecnenia značného množstva experimentálnych údajov.

Tretí termodynamický zákon možno povedať takto:

"Prírastok entropie pri absolútna nula teplota má tendenciu ku konečnej hranici, nezávisle od rovnovážneho stavu systému.

kde x je ľubovoľný termodynamický parameter.

(Tretí termodynamický zákon platí len pre rovnovážne stavy.

Keďže na základe druhého termodynamického zákona možno entropiu určiť len do ľubovoľnej aditívnej konštanty (teda nie je určená samotná entropia, ale len jej zmena):

Tretí zákon termodynamiky možno použiť na presné určenie entropie. V tomto prípade sa entropia rovnovážneho systému pri absolútnej nulovej teplote považuje za rovnú nule.

Podľa tretieho zákona termodynamiky pri.)

Lístok 32.

skutočné plyny. Van de Waalsova rovnica. Vnútorná energia je skutočne plyn.

Skutočný plyn je plyn, ktorý nie je opísaný Clapeyronovou-Mendelejevovou stavovou rovnicou pre ideálny plyn.

Molekuly v skutočnom plyne sa navzájom ovplyvňujú a zaberajú určitý objem.

V praxi sa často popisuje zovšeobecnenou Mendelejevovou-Clapeyronovou rovnicou:

Stavová rovnica van der Waalsovho plynu je rovnica týkajúca sa hlavných termodynamických veličín vo van der Waalsovom modeli plynu.

(Pre presnejší popis správania sa reálnych plynov pri nízkych teplotách bol vytvorený van der Waalsov model plynu, ktorý berie do úvahy sily medzimolekulovej interakcie. V tomto modeli sa vnútorná energia U stáva funkciou nielen teploty, ale aj teploty, ale aj teploty. ale aj objemom.)

Tepelná stavová rovnica (alebo často len stavová rovnica) je vzťah medzi tlakom, objemom a teplotou.

Pre n mólov van der Waalsovho plynu vyzerá stavová rovnica takto:

p - tlak,

• T je absolútna teplota,

  R je univerzálna plynová konštanta.

Vnútorná energia skutočného plynu je súčtom kinetickej energie tepelný pohyb molekúl a potenciálnej energie medzimolekulovej interakcie

Lístok 33.

Fyzikálna kinetika. Fenomén transportu v plynoch. Počet zrážok a stredná voľná dráha molekúl.

Fyzikálna kinetika je mikroskopická teória procesov v nerovnovážnych prostrediach. V kinetike sa metódy kvantovej alebo klasickej štatistickej fyziky využívajú na štúdium procesov prenosu energie, hybnosti, náboja a hmoty v rôznych fyzikálnych systémoch (plyny, plazma, kvapaliny, pevné látky) a vplyv vonkajších polí na ne.

Transportné javy v plynoch sa pozorujú iba vtedy, ak je systém v nerovnovážnom stave.

Difúzia je proces prenosu hmoty alebo energie z oblasti s vysokou koncentráciou do oblasti s nízkou koncentráciou.

Tepelná vodivosť je prenos vnútornej energie z jednej časti tela do druhej alebo z jedného tela do druhého, keď sú v priamom kontakte.

Počet (frekvencia) zrážok a stredná voľná dráha molekúl.

pohybujúce sa s priemerná rýchlosť v priemere za čas τ prejde častica vzdialenosť rovnajúcu sa strednej voľnej dráhe< l >:

< l > = τ

τ je čas, ktorý sa molekula pohybuje medzi dvoma po sebe nasledujúcimi zrážkami (podobne ako perióda)

Potom je priemerný počet zrážok za jednotku času (priemerná frekvencia kolízií) prevrátená hodnota za obdobie:

v= 1 / τ = / = σn

Dlžka cesty< l>, pri ktorej sa pravdepodobnosť zrážky s časticami - cieľmi rovná jednej, sa nazýva stredná voľná dráha.

= 1 / σn

Lístok 34.

Difúzia v plynoch. difúzny koeficient. Viskozita plynov. Viskozitný koeficient. Tepelná vodivosť. Súčiniteľ tepelnej vodivosti.

Difúzia je proces prenosu hmoty alebo energie z oblasti s vysokou koncentráciou do oblasti s nízkou koncentráciou.

Difúzia v plynoch prebieha oveľa rýchlejšie ako v iných stavov agregácie, čo je spôsobené povahou tepelného pohybu častíc v týchto médiách.

Difúzny koeficient - množstvo látky, ktoré prejde za jednotku času úsekom jednotkovej plochy pri koncentračnom gradiente rovnajúcom sa jednej.

Difúzny koeficient odráža rýchlosť difúzie a je určený vlastnosťami média a typom difúznych častíc.

Viskozita (vnútorné trenie) je jedným z prenosových javov, vlastnosťou tekutých telies (kvapalín a plynov) odolávať pohybu jednej zo svojich častí voči druhej.

Keď hovoríme o viskozite, zvyčajne sa uvažuje o čísle viskozitný koeficient. Existuje niekoľko rôznych koeficientov viskozity v závislosti od pôsobiacich síl a povahy kvapaliny:

Dynamická viskozita (alebo absolútna viskozita) určuje správanie nestlačiteľnej newtonskej tekutiny.

Kinematická viskozita je dynamická viskozita delená hustotou pre newtonovské kvapaliny.

Objemová viskozita určuje správanie stlačiteľnej newtonovskej tekutiny.

Šmyková viskozita (Shear Viscosity) - koeficient šmykovej viskozity (pre nenewtonovské kvapaliny)

Objemová viskozita – kompresný viskozitný koeficient (pre nenewtonovské kvapaliny)

Vedenie tepla je proces prenosu tepla, ktorý vedie k vyrovnaniu teploty v celom objeme systému.

Súčiniteľ tepelnej vodivosti - číselná charakteristika tepelnej vodivosti materiálu, ktorá sa rovná množstvu tepla, ktoré prejde materiálom s hrúbkou 1 m a plochou 1 m2 za hodinu pri rozdiele teplôt 1 °C na dvoch protiľahlých povrchoch.

Základná úroveň

možnosť 1

A1. Dráha pohybujúceho sa hmotného bodu v konečnom čase je

úsečka

časť lietadla

konečná množina bodov

medzi odpoveďami 1,2,3 nie je správna

A2. Stolička sa posunula najskôr o 6 m a potom o ďalších 8 m. Aký je celkový modul posunutia?

1) 2 m 2) 6 m 3) 10 m 4) nemožno určiť

A3. Plavec pláva proti prúdu rieky. Rýchlosť toku rieky je 0,5 m/s, rýchlosť plavca voči vode je 1,5 m/s. Modul rýchlosti plavca vzhľadom na breh je

1) 2 m/s 2) 1,5 m/s 3) 1 m/s 4) 0,5 m/s

A4. Jedno teleso, ktoré sa pohybuje v priamom smere, prejde každú sekundu vzdialenosť 5 m. Ďalšie teleso, ktoré sa pohybuje v priamom smere v jednom smere, prejde vzdialenosť 10 m za sekundu. Pohyby týchto tiel

A5. Graf ukazuje závislosť súradnice X telesa pohybujúceho sa pozdĺž osi OX od času. Aká je počiatočná súradnica tela?

3) -1 m 4) - 2 m

A6. Aká funkcia v(t) popisuje závislosť rýchlostného modulu od času pre rovnomerný priamočiary pohyb? (dĺžka je v metroch, čas je v sekundách)

1) v= 5t2)v= 5/t3)v= 5 4)v= -5

A7. Modul rýchlosti tela sa nejaký čas zvýšil dvakrát. Ktoré tvrdenie by bolo správne?

zrýchlenie tela sa zvýšilo 2 krát

zrýchlenie sa znížilo 2 krát

zrýchlenie sa nezmenilo

telo sa pohybuje so zrýchlením

A8. Teleso, pohybujúce sa v priamom smere a rovnomerne zrýchlené, zvýšilo svoju rýchlosť z 2 na 8 m/s za 6 s. Aké je zrýchlenie tela?

1) 1 m/s2 2) 1,2 m/s2 3) 2,0 m/s2 4) 2,4 m/s2

A9. Pri voľnom páde tela, jeho rýchlosť (vezmite g \u003d 10 m / s 2)

za prvú sekundu sa zvýši o 5 m / s, za druhú - o 10 m / s;

za prvú sekundu sa zvýši o 10 m / s, za druhú - o 20 m / s;

za prvú sekundu sa zvyšuje o 10 m / s, za druhú - o 10 m / s;

v prvej sekunde sa zvýši o 10 m/s a v druhej o 0 m/s.

A10. Rýchlosť obehu tela po obvode sa zvýšila 2 krát. dostredivé zrýchlenie telesa

1) zdvojnásobil 2) zoštvornásobil

3) znížené o 2-krát 4) znížené o 4-krát

Možnosť 2

A1. Riešia sa dve úlohy:

a. vypočíta sa dokovací manéver dvoch kozmických lodí;

b. vypočítava sa obdobie otáčania kozmickej lode okolo Zeme.

V ktorom prípade vesmírne lode možno považovať za materiálne body?

len v prvom prípade

len v druhom prípade

v oboch prípadoch

ani v prvom, ani v druhom prípade

A2. Auto dvakrát prešlo okolo Moskvy po obchvate, ktorého dĺžka je 109 km. Vzdialenosť prejdená autom je

1) 0 km 2) 109 km 3) 218 ​​km 4) 436 km

A3. Keď hovoria, že zmena dňa a noci na Zemi sa vysvetľuje východom a západom Slnka, majú na mysli referenčnú sústavu spojenú

1) so Slnkom 2) so Zemou

3) so stredom galaxie 4) s akýmkoľvek telesom

A4. Pri meraní charakteristík priamočiarych pohybov dvoch hmotných bodov boli hodnoty súradníc prvého bodu a rýchlosti druhého bodu zaznamenané v časových bodoch uvedených v tabuľkách 1 a 2:

Čo možno povedať o povahe týchto pohybov, za predpokladu, že to nezmenila v časových intervaloch medzi meraniami?

1) obaja jednotní

2) prvá je nerovnomerná, druhá je jednotná

3) prvá je jednotná, druhá je nerovnomerná

4) obe nerovnomerné

A5. Z grafu prejdenej vzdialenosti v závislosti od času určte rýchlosť cyklistu v čase t = 2 s. 1) 2 m/s 2) 3 m/s

3) 6 m/s4) 18 m/s

A6. Obrázok ukazuje grafy dráhy prejdenej jedným smerom v závislosti od času pre tri telesá. Ktoré z telies sa pohybovalo väčšou rýchlosťou? 1) 1 2) 2 3) 34) rýchlosti všetkých telies sú rovnaké

A7. Rýchlosť telesa pohybujúceho sa v priamom smere a rovnomerne zrýchľovaného sa menila pri pohybe z bodu 1 do bodu 2, ako je znázornené na obrázku. Aký je smer vektora zrýchlenia v tejto časti?

A8. Podľa grafu závislosti modulu rýchlosti od času znázorneného na obrázku určte zrýchlenie priamočiaro sa pohybujúceho telesa v čase t=2s.

1) 2 m/s 2 2) 3 m/s 2 3) 9 m/s 2 4) 27 m/s 2

A9. V trubici, z ktorej sa evakuuje vzduch, sa z rovnakej výšky súčasne spustí strela, korok a vtáčie pierko. Ktoré z telies sa dostane na dno trubice rýchlejšie?

1) peleta 2) korok 3) vtáčie perie 4) všetky tri telá súčasne.

A10. Auto na zákrute sa pohybuje po kruhovej dráhe s polomerom 50 m s konštantnou modulovou rýchlosťou 10 m/s. Aké je zrýchlenie auta?

1) 1 m/s 2 2) 2 m/s 2 3) 5 m/s 2 4) 0 m/s 2

Odpovede.

Počet pracovných miest

Popis trajektórie

Je zvykom opísať trajektóriu hmotného bodu pomocou polomerového vektora, ktorého smer, dĺžka a počiatočný bod závisia od času. V tomto prípade môže byť krivka opísaná koncom vektora polomeru v priestore reprezentovaná ako konjugované oblúky rôzneho zakrivenia, ktoré sa vo všeobecnosti nachádzajú v pretínajúcich sa rovinách. V tomto prípade je zakrivenie každého oblúka určené jeho polomerom zakrivenia smerujúcim k oblúku z okamžitého stredu otáčania, ktorý je v rovnakej rovine ako samotný oblúk. Priamka je navyše považovaná za obmedzujúci prípad krivky, ktorej polomer zakrivenia možno považovať za rovný nekonečnu, a preto môže byť trajektória vo všeobecnom prípade reprezentovaná ako množina konjugovaných oblúkov.

Je nevyhnutné, aby tvar trajektórie závisel od referenčného systému zvoleného na opis pohybu hmotného bodu. Takže priamočiary pohyb v inerciálnej sústave bude vo všeobecnosti parabolická v rovnomerne sa zrýchľujúcej vzťažnej sústave.

Vzťah k rýchlosti a normálnemu zrýchleniu

Rýchlosť hmotného bodu je vždy smerovaná tangenciálne k oblúku používanému na opis trajektórie bodu. Medzi rýchlosťou existuje vzťah v, normálne zrýchlenie a n a polomer zakrivenia trajektórie ρ v danom bode:

Súvislosť s rovnicami dynamiky

Predstavuje trajektóriu ako stopu zanechanú pohybom materiál bodov, spája čisto kinematický koncept trajektórie, ako geometrického problému, s dynamikou pohybu hmotného bodu, teda problémom určovania príčin jeho pohybu. V skutočnosti riešenie Newtonových rovníc (za prítomnosti úplného súboru počiatočných údajov) udáva trajektóriu hmotného bodu. A naopak, poznať trajektóriu hmotného bodu v inerciálnej vzťažnej sústave a jeho rýchlosti v každom časovom okamihu, je možné určiť sily, ktoré naň pôsobia.

Trajektória voľného hmotného bodu

Podľa prvého Newtonovho zákona, niekedy nazývaného aj zákon zotrvačnosti, musí existovať systém, v ktorom si voľné teleso zachováva (ako vektor) svoju rýchlosť. Takáto vzťažná sústava sa nazýva inerciálna. Trajektória takéhoto pohybu je priamka a samotný pohyb sa nazýva rovnomerný a priamočiary.

Pohyb pri pôsobení vonkajších síl v inerciálnej vzťažnej sústave

Ak v známej inerciálnej sústave rýchlosť objektu s hmotnosťou m zmeny smeru, aj keď veľkosť zostáva rovnaká, to znamená, že telo sa otáča a pohybuje sa pozdĺž oblúka s polomerom zakrivenia R, potom objekt zažije normálne zrýchlenie a n. Príčinou, ktorá spôsobuje toto zrýchlenie, je sila, ktorá je priamo úmerná tomuto zrýchleniu. Toto je podstata druhého Newtonovho zákona:

(1)

Kde je vektorový súčet síl pôsobiacich na teleso, jeho zrýchlenie a m- zotrvačná hmotnosť.

Vo všeobecnosti nie je telo vo svojom pohybe voľné a jeho poloha a v niektorých prípadoch aj rýchlosť sú obmedzené. Ak prepojenia ukladajú obmedzenia iba na súradnice tela, potom sa takéto prepojenia nazývajú geometrické. Ak sa tiež šíria rýchlosťami, potom sa nazývajú kinematické. Ak je možné rovnicu obmedzenia integrovať v priebehu času, potom sa takéto obmedzenie nazýva holonomické.

Pôsobenie väzieb na sústavu pohybujúcich sa telies je opísané silami nazývanými reakcie väzieb. V tomto prípade je sila zahrnutá na ľavej strane rovnice (1) vektorovým súčtom aktívnych (vonkajších) síl a reakcie väzieb.

Je nevyhnutné, aby v prípade holonomických obmedzení bolo možné opísať pohyb mechanických systémov v zovšeobecnených súradniciach, ktoré sú zahrnuté v Lagrangeových rovniciach. Počet týchto rovníc závisí len od počtu stupňov voľnosti sústavy a nezávisí od počtu telies zaradených do sústavy, ktorých polohu treba určiť pre úplný popis pohyb.

Ak sú väzby pôsobiace v systéme ideálne, to znamená, že neprenášajú energiu pohybu do iných druhov energie, tak pri riešení Lagrangeových rovníc sú všetky neznáme reakcie väzieb automaticky vylúčené.

Nakoniec, ak aktívnych síl patria do triedy potenciálu, potom s vhodným zovšeobecnením pojmov je možné použiť Lagrangeove rovnice nielen v mechanike, ale aj v iných oblastiach fyziky.

Sily pôsobiace na hmotný bod v tomto chápaní jednoznačne určujú tvar trajektórie jeho pohybu (za známych počiatočných podmienok). Opačné tvrdenie vo všeobecnosti nie je pravdivé, pretože rovnaká trajektória môže prebiehať s rôznymi kombináciami aktívnych síl a väzbových reakcií.

Pohyb pri pôsobení vonkajších síl v neinerciálnej vzťažnej sústave

Ak je vzťažná sústava neinerciálna (to znamená, že sa pohybuje s určitým zrýchlením voči inerciálnej sústave), potom je možné v nej použiť aj výraz (1), avšak na ľavej strane je potrebné vziať do úvahy takzvané zotrvačné sily (vrátane odstredivej sily a Coriolisovej sily spojenej s rotáciou neinerciálnej vzťažnej sústavy) .

Ilustračné

Trajektórie toho istého pohybu v rôznych referenčných sústavách Hore v inerciálnej sústave je v priamej línii nad otočným stolíkom unášané deravé vedro s farbou. Dole v neinerciálnom stave (stopa farby pre pozorovateľa stojaceho na javisku)

Ako príklad uveďme pracovníka divadla pohybujúceho sa v priestore roštu nad javiskom vo vzťahu k budove divadla rovnomerne a priamočiary a prenášanie otáčanie scéna deravého vedra s farbou. Zanechá na ňom stopu od padajúcej farby vo forme odvíjacia špirála(ak sa pohybuje od stred otáčania scény) a vírenie- v opačnom prípade. V tomto čase bude teda jeho kolega, ktorý je zodpovedný za čistotu otočného stolíka a je na ňom, nútený nosiť netečúce vedro pod prvým, pričom bude neustále pod prvým. A bude aj jeho pohyb vo vzťahu k budove uniforma a priamočiary, aj keď s ohľadom na scénu, ktorá je neinerciálna sústava, jeho pohyb bude skrútený a nerovnomerné. Navyše, aby čelil driftu v smere rotácie, musí svalovým úsilím prekonať pôsobenie Coriolisovej sily, čo jeho horný kolega nad javiskom nezažíva, hoci trajektórie oboch v inerciálna sústava divadelné budovy predstavia rovné čiary.

Možno si však predstaviť, že úlohou kolegov, o ktorých sa tu uvažuje, je práve aplikácia rovno linky na otočný stupeň. V tomto prípade musí spodok vyžadovať, aby sa vrch pohyboval po krivke, ktorá je zrkadlový odraz stopy predtým rozliatej farby. v dôsledku toho priamočiary pohyb v neinerciálna sústava odkaz nebude pre pozorovateľa v inerciálnej sústave.

ďalej uniforma pohyb tela v jednom systéme, môže byť nerovnomerné v inom. Takže, dve kvapky farby, ktoré spadli rôzne momentyčas z deravého vedra, a to ako vo svojom vlastnom referenčnom rámci, tak aj v rámci nižšieho kolegu nehybného vzhľadom na budovu (na javisku, ktoré sa už prestalo otáčať), sa bude pohybovať v priamom smere (smerom do stredu zem). Rozdiel bude v tom, že pre pozorovateľa pod týmto pohybom bude zrýchlené a pre jeho horného kolegu, ak by narazil, padne, pohybujúce sa spolu s ktoroukoľvek z kvapiek, vzdialenosť medzi kvapkami sa proporcionálne zväčší prvý stupeňčas, teda vzájomný pohyb kvapiek a ich pozorovateľa v jeho zrýchlené bude súradnicový systém uniforma s rýchlosťou v, určené oneskorením Δ t medzi okamihmi padajúcich kvapiek:

v = gΔ t .

Kde g- gravitačné zrýchlenie .

Preto tvar trajektórie a rýchlosť tela pozdĺž nej, uvažované v určitom referenčnom rámci, o ktorých sa vopred nič nevie nedáva jednoznačnú predstavu o silách pôsobiacich na telo. O tom, či je tento systém dostatočne zotrvačný, je možné rozhodnúť len na základe rozboru príčin vzniku pôsobiacich síl.

Takže v neinerciálnej sústave:

• Zakrivenie trajektórie a/alebo nekonzistentnosť rýchlosti nie sú dostatočnými argumentmi v prospech tvrdenia, že na teleso pohybujúce sa po ňom pôsobia vonkajšie sily, čo v konečnom dôsledku možno vysvetliť gravitačnými alebo elektromagnetickými poľami.
• Priamosť trajektórie je nedostatočným argumentom v prospech tvrdenia, že na teleso pohybujúce sa po nej nepôsobia žiadne sily.

Poznámky

Literatúra

• Newton I. Matematické princípy prírodnej filozofie. Za. a cca. A. N. Krylovej. Moskva: Nauka, 1989
• Frish S. A. a Timoreva A. V. Kurz všeobecnej fyziky, učebnica pre fyzikálne, matematické a fyzikálno-technické fakulty verejné vysoké školy, zväzok I. M.: GITTL, 1957

Odkazy

• http://av-physics.narod.ru/mechanics/trajectory.htm [ neautorizovaný zdroj?] Trajektória a vektor posunutia, časť učebnice fyziky

Pojem hmotný bod. Trajektória. Cesta a pohyb. Referenčný systém. Rýchlosť a zrýchlenie pri krivočiarom pohybe. Normálne a tangenciálne zrýchlenia. Klasifikácia mechanických pohybov.

Predmet mechanika . Mechanika je odvetvie fyziky, ktoré sa venuje štúdiu zákonov najjednoduchšej formy pohybu hmoty - mechanického pohybu.

Mechanika pozostáva z troch podsekcií: kinematika, dynamika a statika.

Kinematika študuje pohyb telies bez toho, aby bral do úvahy príčiny, ktoré ho spôsobujú. Pracuje s takými veličinami, ako je výtlak, prejdená vzdialenosť, čas, rýchlosť a zrýchlenie.

Dynamika skúma zákonitosti a príčiny, ktoré spôsobujú pohyb telies, t.j. študuje pohyb hmotných telies pri pôsobení síl, ktoré na ne pôsobia. Ku kinematickým veličinám sa pridávajú veličiny – sila a hmotnosť.

ATstatické skúmať podmienky rovnováhy pre sústavu telies.

Mechanický pohyb teleso je zmena jeho polohy v priestore vzhľadom na iné telesá v priebehu času.

Materiálny bod - teleso, ktorého veľkosť a tvar možno za daných pohybových podmienok zanedbať vzhľadom na hmotnosť telesa sústredenú v danom bode. Model hmotného bodu je najjednoduchším modelom pohybu tela vo fyzike. Teleso možno považovať za hmotný bod, keď jeho rozmery sú oveľa menšie ako charakteristické vzdialenosti v úlohe.

Na opis mechanického pohybu je potrebné uviesť telo, voči ktorému sa pohyb uvažuje. Volá sa ľubovoľne zvolené nehybné teleso, vo vzťahu ku ktorému sa zvažuje pohyb tohto telesa referenčný orgán .

Referenčný systém - referenčný orgán spolu so súradnicovým systémom as ním spojenými hodinami.

Zvážte pohyb hmotného bodu M v pravouhlom súradnicovom systéme, pričom počiatok umiestnite do bodu O.

Polohu bodu M vzhľadom na referenčnú sústavu je možné nastaviť nielen pomocou troch karteziánskych súradníc, ale aj pomocou jednej vektorovej veličiny - vektora polomeru bodu M ťahaného do tohto bodu z počiatku súradnicový systém (obr. 1.1). Ak sú jednotkové vektory (orty) osí pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému, potom

alebo časová závislosť vektora polomeru tohto bodu

Volajú sa tri skalárne rovnice (1.2) alebo im ekvivalentná jedna vektorová rovnica (1.3). kinematické rovnice pohybu hmotného bodu .

trajektórie hmotný bod je čiara opísaná v priestore týmto bodom počas jeho pohybu (miesto koncov vektora polomeru častice). V závislosti od tvaru trajektórie sa rozlišujú priamočiare a krivočiare pohyby bodu. Ak všetky časti trajektórie bodu ležia v rovnakej rovine, potom sa pohyb bodu nazýva plochý.

Rovnice (1.2) a (1.3) definujú trajektóriu bodu v takzvanom parametrickom tvare. Úlohu parametra zohráva čas t. Riešením týchto rovníc spoločne a vylúčením času t z nich nájdeme rovnicu trajektórie.

dlhá cesta hmotný bod je súčet dĺžok všetkých úsekov trajektórie, ktoré bod prejde počas uvažovaného časového obdobia.

Vektor posunutia hmotný bod je vektor spájajúci počiatočnú a konečnú polohu hmotného bodu, t.j. prírastok polomeru-vektora bodu za uvažovaný časový interval

Pri priamočiarom pohybe sa vektor posunutia zhoduje s príslušným úsekom trajektórie. Zo skutočnosti, že posunutie je vektor, vyplýva zákon nezávislosti pohybov, potvrdený skúsenosťou: ak sa hmotný bod zúčastňuje viacerých pohybov, potom sa výsledné posunutie bodu rovná vektorovému súčtu jeho posunutí, ktoré vykonal. za rovnaký čas v každom z pohybov samostatne

Na charakterizáciu pohybu hmotného bodu sa zavádza vektorová fyzikálna veličina - rýchlosť , veličina určujúca ako rýchlosť pohybu, tak aj smer pohybu v danom čase.

Nech sa hmotný bod pohybuje pozdĺž krivočiarej trajektórie MN tak, aby v čase t bol v bode M a v čase v bode N. Vektory polomerov bodov M a N sú rovnaké a dĺžka oblúka MN je (Obr. 1.3).

Vektor priemernej rýchlosti bodov v časovom intervale od t predtým t+Δ t sa nazýva pomer prírastku vektora polomeru bodu za toto časové obdobie k jeho hodnote:

Vektor priemernej rýchlosti je nasmerovaný rovnakým spôsobom ako vektor posunutia t.j. pozdĺž akordu MN.

Okamžitá rýchlosť alebo rýchlosť v danom čase . Ak vo výraze (1.5) prejdeme k limitu s tendenciou k nule, potom dostaneme výraz pre vektor rýchlosti m.t. v čase t jeho prechodu cez dráhu t.M.

V procese znižovania hodnoty sa bod N približuje k t.M a tetiva MN, otáčajúca sa okolo t.M, sa v limite zhoduje v smere s dotyčnicou k trajektórii v bode M. Preto vektora rýchlosťvpohyblivý bod nasmerovaný po dotyčnicovej trajektórii v smere pohybu. Vektor rýchlosti v hmotného bodu možno rozložiť na tri zložky nasmerované pozdĺž osí pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému.

Z porovnania výrazov (1.7) a (1.8) vyplýva, že priemety rýchlosti hmotného bodu na osi pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému sa rovnajú prvým časovým deriváciám zodpovedajúcich súradníc bodu:

Pohyb, pri ktorom sa nemení smer rýchlosti hmotného bodu, sa nazýva priamočiary. Ak číselná hodnota okamžitej rýchlosti bodu zostane počas pohybu nezmenená, potom sa takýto pohyb nazýva rovnomerný.

Ak v ľubovoľne rovnakých časových intervaloch bod prechádza dráhami rôznych dĺžok, potom sa číselná hodnota jeho okamžitej rýchlosti v čase mení. Takýto pohyb sa nazýva nerovnomerný.

V tomto prípade sa často používa skalárna hodnota, ktorá sa nazýva priemerná pozemná rýchlosť nie rovnomerný pohyb na tejto časti trajektórie. Rovná sa číselnej hodnote rýchlosti takého rovnomerného pohybu, pri ktorom sa prechodom dráhy strávi rovnaký čas ako pri danom nerovnomernom pohybe:

Pretože len v prípade priamočiareho pohybu s konštantnou rýchlosťou v smere, potom vo všeobecnom prípade:

Hodnotu cesty prejdenej bodom možno graficky znázorniť oblasťou obrazca ohraničenej krivky v = f (t), priamy t = t 1 a t = t 1 a časová os na grafe rýchlosti.

Zákon sčítania rýchlostí . Ak sa hmotný bod súčasne zúčastňuje niekoľkých pohybov, potom sa výsledné posunutie v súlade so zákonom nezávislosti pohybu rovná vektorovému (geometrickému) súčtu elementárnych posunov spôsobených každým z týchto pohybov samostatne:

Podľa definície (1.6):

Rýchlosť výsledného pohybu sa teda rovná geometrickému súčtu rýchlostí všetkých pohybov, na ktorých sa hmotný bod zúčastňuje (toto ustanovenie sa nazýva zákon sčítania rýchlostí).

Keď sa bod pohybuje, okamžitá rýchlosť sa môže meniť čo do veľkosti aj smeru. Zrýchlenie charakterizuje rýchlosť zmeny modulu a smeru vektora rýchlosti, t.j. zmena veľkosti vektora rýchlosti za jednotku času.

Stredný vektor zrýchlenia . Pomer prírastku rýchlosti k časovému intervalu, počas ktorého k tomuto prírastku došlo, vyjadruje priemerné zrýchlenie:

Vektor priemerného zrýchlenia sa zhoduje v smere s vektorom.

Zrýchlenie, alebo okamžité zrýchlenie sa rovná limitu priemerného zrýchlenia, keď má časový interval tendenciu k nule:

V projekciách na zodpovedajúce súradnice osi:

Pri priamočiarom pohybe sa vektory rýchlosti a zrýchlenia zhodujú so smerom trajektórie. Zvážte pohyb hmotného bodu pozdĺž krivočiarej trajektórie roviny. Vektor rýchlosti v ktoromkoľvek bode trajektórie smeruje tangenciálne k nemu. Predpokladajme, že v t.M trajektórie bola rýchlosť , a v t.M 1 sa stala . Zároveň predpokladáme, že časový interval pri prechode bodu na ceste z M do M 1 je taký malý, že zmenu veľkosti a smeru zrýchlenia možno zanedbať. Na nájdenie vektora zmeny rýchlosti je potrebné určiť vektorový rozdiel:

Aby sme to urobili, posunieme ho rovnobežne so sebou, pričom jeho začiatok zarovnáme s bodom M. Rozdiel dvoch vektorov sa rovná vektoru spájajúcemu ich konce sa rovná strane AC MAC, postavenej na vektoroch rýchlosti, ako na strany. Vektor rozložíme na dve zložky AB a AD, a obidve cez a . Vektor zmeny rýchlosti sa teda rovná súčtu vektorov dvoch vektorov:

Zrýchlenie hmotného bodu teda možno znázorniť ako vektorový súčet normálových a tangenciálnych zrýchlení tohto bodu.

Podľa definície:

kde - pozemná rýchlosť pozdĺž trajektórie, ktorá sa zhoduje s absolútnou hodnotou okamžitej rýchlosti v danom okamihu. Vektor tangenciálneho zrýchlenia smeruje tangenciálne k trajektórii telesa.